（应用数学专业论文）线性和非线性涡旋方程初值问题解析研究.pdf

中文摘要 本论文根据大气动力学原理，对大气涡旋环流中比较突出的轴对称涡旋环 流进行了分析，通过对环境场和涡旋无量纲方程的进化，得到了环境场对涡旋 能量结构影响的机制模型与非线性涡旋方程的扰动涡旋值。多年来很多学者致 力于影响涡旋能量的因素研究，发现平面涡平流，斜压性，一作用，口一作用 和凝结潜热作用等等对台风动能和动能变化率产生的影响，作者将研究中不常 考虑的环境场进行了详细分析，从环境流的领域研究轴对称涡旋的演变方程、 能量变化的特征，不仅具有理论意义，而且具有重要的实用价值。在论文的第 一部分，作者将环境场复杂化将普遍被视为常数或一次线性切变流玎：邸的 环境场进化为弱二次切交流i ：s y - e y ：，给出扰动流函数的解析解，进而分析涡 旋扰动能量的特征，得到了一系列较为有用的直观图形，结果证明涡旋扰动能 量和弱二次切变流的二次切变系数窖有关，除此之外还与台风涡旋径向边界值 有关。在第二部分，作者将线性涡旋方程加入一个非线性扰动。堕一。堕，进化 咖 缸 轴对称涡旋扰动方程，将所有的分析建立在非线性涡旋扰动方程上，得出一个 新的扰动流函数的无量纲值与扰动涡度。 关键词：弱二次切变，涡旋，流函数，扰动能，非线性。 2 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w eh a v e i n v e s t i g a t e dt h ev o r t e xa x i s y m m e t r e z a t i o n i nt h e a t m o s p h e r ea n da l s od i s c o v e r e ds o m eu s e f u lm e c h a n i s m sa b o u tt h ev o r t e xe n e r g y e f f e c t e db yb a s i cf l o wa n dan e wv o r t m t y - v a l u ei nan o n l i n e a re q u a t i o n f o rm a n y y e a r s ，a c a d e m i c i a n sb e n dt h e m s e l v e st ot h es t u d yw h i c hl e a dt ot h ee h e n g eo ft h e p e r t u r b a t i o ne n e r g ya n dh a v ef o u n dt h a tt h ev o r t e xa d v e c t i o n ，b a r o e l i n i c ，厂- e f f e 吐 8 一e f f e c ta n ds oo nw e r ee f f e c t i v eo nt h ev o r t e xe n e r g y n o ww ed i s c u s st h ee n e r g y m e c h a n i s mu n d e rt h eb a s i cf l o w i ti sn o to n l ya c a d e m i cb u ta l s op r a c t i c a l f i r s t ，w e c h a n g e dt h es i m p l es h e a rf l o wi n t ot h ew e a k l ys e c o n d t i m es h e a rf l o wt os h o ws o m e u s e f u lc o n c l u s i o n s i ti ss h o w nt h a tt h ev o r t e xe n e r g yh a sr e l a t i o n s h i p sw i t ht h e w e a k l ys e c o n d t i m es h e a ri n t e n s i t yp a r a m e t e r 占a n dt h em e r i d i o n a lm a r g ! no ft h e h u r r i c a n ev o r t e xw h i c h n e g l e c t e di nt h ef i r s t - t i m es h e a rb a s i cf l o w s e c o n d , w ea d d a nn o n l i n e a r p e r t u r b a t i o ni n t ot h e l i n e a r v o r t i c i t ye q u a t i o na n dg e t an e w p e r t u r b a t i o n v a l u ea n dp e r t u r b a t i o n - v o r t i c i t yi nan o n l i n e a re q u a t i o n k e y ：w e a k l y s e c o n d t i m es h e a r , v o r t e x ，s l r e a m f u n e t i o n ，p e r t u r b a t i o nk i n e t i c e n e r g y , n o n l i n e a r 3 第一章前言 1 1 研究的目的及意义 对于涡旋能量变化特征的分析，可以分很多领域研究和说明，目的在于找出能量影响机 制，深入分析涡旋能量的影响因子，促进对台风的理论和现实意义。其中环境流对其的影 响也是非常重耍和不容忽视的。由于平面涡平流，斜压性，厂一作用，卢一作用和凝结潜热 作用等等对台风动能和动能变化率产生的影响理论已经比较成熟，现在，国内外的研究重 点都转向了环境场对涡旋能量变化特征的研究。环境流对涡旋扰动的影响大小，环境流本 身自身的精确性，以及对非线性涡旋扰动方程的研究，一直都是比较圃难的课题。作者就 是围绕这几个方面对涡旋扰动的变化机制进行讨论。 1 2 国内外研究概况 在大气环流中，台风和飓风是比较具有代表性的天气现象，也是很多科研工作者热衷研 究的课题，因为这类涡旋运动给人们的生产生活带来巨大的影响，分析台风涡旋的能量影 响机制能够掌握足够多的影响因子，从而对台风强度和路径的预测均会产生重大的作用。 在台风涡旋的研究上，国内外很多学者都对以进行了深入的讨论。 在国内，对于台风涡旋各方面的研究是非常多的，田永祥，罗哲贤等一直致力与热带涡 旋的研究。1 9 9 4 年，罗哲贤、田永祥【1 1 在大气科学进展中发表论文详细讨论了口一效应的 垂直结构以及其对热带涡旋运动的影响。1 9 9 6 年，田永祥【2 】将涡旋移动的路径和斜压性结 合，在其发表的论文中详细分析了斜压性对涡旋的影响。指出：应用准地转斜压模式数值 模拟热带气旋的转动会出现小尺度涡旋，使得热带气旋的移动和移动的速度出现明显的摆 动和振荡。同年，徐祥德，陈联寿等口】在其发表论文中揭示了台风暖心结构及其热力非对 称结构特征，指出高、低层偶极子系统与台风内部次天气尺度垂直环境结构相关，且垂直 4 环境围上升支位置与台风移动方向有关。在此前不及，徐祥德等4 1 还利用数值试验模拟出 海洋温带气旋爆发发展热力结构的影响效应问题，揭示了垂直加热廓线特征在海洋气旋发 展诸影响因子中的关键作用及其潜热释放分布与海洋气旋动力热力结构形成的机理。中科， 康建伟等【5 “1 气象工作者在2 0 0 0 年与2 0 0 2 年分别发表论文讨论台风或飓风中的罗斯贝波 对台风能量的影响，指出波动能量可能径向传播从而影响整个台风的能量变化。2 0 0 3 年任 建，马镜娴等 7 】详细描述了三类物理量对台风的影响。研究表明：沿方位角方向的线性平 流可导致螺旋状涡带的形成；沿径向的线性平流在一定的参数集合可使涡量内传，台风略 有增强；定常台风环流下扰动涡量的非线性平流使得内传涡量明显增加，台风能量明显增 强。此外，李天明，朱永裎 ”，余志豪 9 等都对台风的研究作出重要的贡献。 在国外，台风的研究成果也是非常显著的。对台风的影响因子的研究都已经比较完善和 成熟了。1 9 8 9 年，f i o r i n o m i c h e a l & r u s s e l l l e l s b e r r yb o 】热带气旋运动中的涡旋结构的诸 多方面进行了详细探讨，对台风涡旋中的线性涡平流和非线性平流的作用进行了详细的数 值模拟，指出影响涡旋结构的几个有效因子，并分析了各自的影响力。1 9 9 1 年，o h n i s h i h m 】 发表文章讨论涡旋结构和非线性口一效应的具体关系。此外，从1 9 3 9 年m a c d o n l d i ”】的工 作开始，已经有很多研究 1 3 - 1 6 1 集中讨论台风或飓风中的罗斯贝波的相互作用。其上的诸多 研究多是将环境流忽略或是将环境流设为一个定常值使得研究简便。1 9 8 2 年，b r i a nf f r o r o l l ”1 将环境场考虑进来。假设环境场具有线性结构特征，得出影响涡旋强度的相关因 子，并讨论了相关模型。1 9 9 5 年，s m i t h i ”1 在次基础之上，研究了环境场是单切变流时涡 旋的能量大小和变化快慢的影响机制。研究表明：涡旋能量与环境流的关系是非常居大的， 不同的波数在同一环境场中的能量大小和变化率没有本质的区别，但是针对不同的涡旋， 不同的涡旋初始结构，能量特征会出现很多不同的变化形式。 除此之外，c a r r , l e i i i & w i l l a i m s ，1 l t ，d r i t s c h e i l 等f 1 9 - 2 9 】都对台风有非常详细的研究和讨论。 5 1 3 研究方法和研究成果 在台风涡旋的研究中，仅仅考虑台风自身的内力，斜压性，台风中生成r o s s b y 波及其 相互作用等等因素的研究是非常多的，大多数的研究都将环境流简化或者直接视为定常值， 这使得很多研究的准确性受到很大的影响。众所周知，环境流对台风涡旋的影响是不能被 忽略的，但是由于环境场和台风自身的复杂性而一直是一个困难的课题。1 9 8 2 年和1 9 9 5 年， b r i a nf f a r r e l l 和s m i t h 致力于环境场对台风涡旋的研究，但是只是简单地将环境场 看作单切变函数。本文讨论地重点就是环境场以及涡度方程的精确化之后对台风涡旋能量 的影响机制。在文章的第一部分，根据环境场应该更精确地视为抛物线方程这一理论，将 前人分析的一次线性切变流订= 妙加上一个弱= 次线性扰动，进化为：盯= 黟+ 2 ，将 扰动流函数进行摄动展开，得到不同的s 项，从而求得一个新的扰动流函数的解，借此分 析扰动动能的大小和变化率。提出了在一次切变中被忽视的，对涡旋扰动产生影响的物理 量，如：弱二次切变的系数占的大小；扰动涡旋运动影响到的南北径向边缘值。在文章的 第二部分，在线性涡度方程中假如非线性小扰动，进化将线性涡度方程，精确方程的模型 从而更完各地分析环境流，初始涡旋结构和涡旋扰动之间的关系。得到了新的扰动流函数 振幅大小，扰动涡旋等无量纲值，结果表明：当轴对称涡旋产生非线性小扰动时，扰动流 函数的最大振幅和环境流切变量s 有关，达到最大振幅的时间相比线性方程也发生变化， 另外，纬向和径向的扰动量。涡度的大小和径向波数f n 、纬向波数k 、环境场s 的切变量 相关。 6 第二章弱二次切变流轴对称涡旋演变的解析研究 2 1 引言 在大气涡旋环流中，轴对称涡旋比较突出，最显著的就是台风或是飓风，对人们的生活 生产有巨大的影响。对涡旋特别是台风的能量分析一直都是一个很重要的科研问题。通过 对能量机制的研究找出对其有影响的若干因素，予以分析，使其判断和预测更有准确性。 通常这类涡旋的能量与半衰期的变化和自身的运动性质有着紧密的联系，以往的研究都是 围绕着这个方向进行，任建等州将台风能量与平面涡平流联系起来，田永祥”， m o n t g o m e r y ”1 等将台风能量与斜压性，台风环流区域内小尺度涡旋与台风涡旋的相互作用 以及其他诸多因素紧密联系起来，得到了一系列研究台风涡旋能量及其变化规律的模型。 另一方面，由观察研究表明：环境场的变化对涡旋的结构和能量变化的影响也是很大的 3 1 - 3 2 ，但这方面的研究由于环境场的复杂性和台风涡旋演变过程中自身的复杂性等因素， 一直难以深入。1 9 9 5 年s m i t h 【1 s 】研究了环境场为一次线性切变流时涡旋扰动动能的变化规 律，指出扰动动能的大小和变化率与纬向波数及初始涡旋径向结构有关，并用不同的扰动 波加以不同的初始扰动予以说明。但对于较复杂的环境场研究较少。本文就是在前人研究 基础上研究更加复杂的环境场弱二次切变流涡旋扰动场能量变化的特征，拟在揭示基 本场的变化对涡旋场能量结构影响的机制。 2 2 弱二次切变流轴对称涡旋演变的解析解 ，平面正交直线坐标系中，正压无辐散流体的轴对称线性无量纲方程为 丝+ 玎堂+ v 堕：0 函盘 砂 其中善是扰动的涡度，孑为环境场涡度。善= 尝一罢，芋= 罢一罢 僦甜 出 峁 7 ( 2 ) 设无量纲的环境场表示为：订= s y 一印2 ，i = 0 其中s n e 为垂直方向上的一次切交量和 弱二次切变量量化之后的无量纲值，h 1 将( 2 ) 式和玩及矿代入( i ) ，得： 詈坍) 豢m = 。 ( 3 ) 对无辐散流， 设“：一掣，v _ 半 ( 4 ) 曲戚 将( 2 ) 和( 4 ) 代入方程( 3 ) ，得： c 昙懈，丢，苦专z s 警= 。 设= y o + 占矿1 + 占2 y 2 + ， ( 6 ) 将( 6 ) 式代入方程( 5 ) ，得： c 鲁啊，喜寺+ 静c ”占卅h 占知一m 取s 的各阶，得： 跚砖+ $ 毒苣每砜= o 椭：去+ 印参芬慨瓦0t 萨0 2 + 争一2 知= 。 其中( 8 ) 式中yo 是环境流为一次切变流时的扰动流函数， ( 9 ) 式中1 是环境流为一次切变流加上二次小扰动时的扰动流函数， 方程( 8 ) 解的傅立叶形式i i ? - 1 9 是： 成( 后，y ，r ) = 二g ( y ，yo ) 六( t ，y o , o ) e - 蜘。砂o ( 1 0 ) g ，y 。) = 一互1 j f i 。e k 一。- y 。) 。, y ，y - y y o 。 ( 1 1 ) 其中g ( y , y o ) 是格林函数，k 为纬向波数。翕( y o ，d ) 是纬向波数是k 时的初始涡旋 f o u r i e r 形式。 方程( 9 ) 的f o u r i e r 解”3 4 】为： 驴。( 七川y ) = e g ( y ，y 1 ) e e - s 哪l ( k , y 。，。) 一2 i k e 硼+ 矿。( i ”y f ) 饥2 洳一乳m + ( 罢一i 2 ) 蛾( k , y 1 , t ) d y l ( 1 2 ) 砂1 = 一茹：j 嵩。 将( 1 0 ) ，( 1 2 ) 进行f o u r i e r 逆变换，代入( 6 ) ，得： 如y = 去( 劬力e “蹴 = 击e 成蠢y ，咖“放+ 寺e 驴。( t y 力e 拙战 = 去e s “e g 以弘一脚。蠹( _ j 执，o ) 砒蕊 ( 1 3 ) + 兰r 。口“i _ ! ”g ( y ，y 1 ) e 一舰新曼( i 1 ，d ) 一2 i k e 一趴“+ 驴。( 以y l ，f ) ，骨q t - 一 奶2 i k e - s y , i n * ( 舞“2 郴州肭，疵 ( 1 4 ) 设初始涡度的f o u r i e r 形式是( 女，y ，。) 一2 ( y ，d ) 占( 也一女) 毒( 七，y ，d ) = 2 刀毒( y ，。) 占( 屯一七) 翕( y ，d ) = 一( t 2 + 曙弦岫 喜o ，d ) = 一 2 + ，? ) 8 廿 9 ( 1 5 a ) ( 1 5 b ) ( 1 5 c ) ( 1 5 d ) ，o 和 代表的是扰动为和矿1 所对应的初始经向波数。 将( 1 5 a ) ，( 1 5 b ) 代入( 1 4 ) ，得到f o u r i e r 解的逆变换形式 t o ，y ，t ) = y o i ( x , y ，f ) + 占妒 ，y ，t ) = e g 9 ，y 。弦“一翕( y 0 , o ) a y 。 + 三2 n e p “e g ( y ，y t ) p 州( 缈t ，。) 一2 i k e 舯+ 矿。( 七，y ) + y 12 i k e 一母牌+ ( ；一k 2 ) 矿。( 七，y ，力 方。 o y l 将( 1 5 c ) ，( 1 5 d ) 代入( 1 6 ) ，令f o = f l ，取其实数部分，得： 帆 ，y ，订 - ( 1 删蒜c o s 阱( ，0 一勰抄) s a r c t a n ( 一争一a r c 协争面+ 砉寰等等，s i n 陋+ c 如一艘抄， 一占1 4 k y 而( t 0 - k s t ) ( t g 而+ k 2 ) c 。s 噼+ ( 1 0 k s t ) y 肚2 + ( i o k s t ) 2 】2 。 一 2 t ( 1 ；+ k 2 ) k ，3 - 3 k ( o - ，k s t ) 2 _ s i n h + ( i o k s t ) y 恤+ 【l o 一甩w ) j 。 。 仆m ，蒜 一占 a r c t a n ( s t 哼i o a r c t a n 争品寰 ( 1 7 ) ( 1 8 ) +端ki o+ 垃筹掣2 + ( 一 ) 2 七2 + ( f o 一 & ) 2 】3 “ 将( 1 8 ) ，( 1 9 ) 代入( 1 7 ) ，运用三角函数关系式，有： 斧篙高 4 卜 ( x ，y ，r ) = 抠i 。c o s p _ 【缸+ ( f o 一般) 】) 其中c o s p = 赤b 廊p = 赤b一2 + 2 。+ 2 ( 2 0 ) ( 2 1 ) 可以看出扰动流函数的最大振幅相比较一次切变时的情形发生了很大的变化，达到最大振 幅所需要的时间也产生了变化。通过简要的估计，二次切变扰动流函数的最大振幅的大小 大约为： 竽瓜五丽丽丐二丽 ， 很明显，扰动流函数的振幅与环境流的二次切变强度有关。 2 3 扰动动能的变化 为研究扰动动能的变化规律，下面首先引进扰动动能密度。 取单位质量，扰动动能密度为： f 一蛐 曲一6 一( 1 + 2 e ) ( k 2 + 哟2 一面万丽 s i n 2 h + ( f 0 一k s t ) y ) + 圳一( 哼l o a r c t a a 矗s i n ：阱( f 0 - 酬 + s 汆a y 可2 ( k = 忑+ 1 0 2 两) = s i n 2 陬+ ( 如一般沙2 2 + ( f o 一七驰) 2 。 亿笔秀攀sin2妇+(iokst)yks 晴2 + ( ，。一t ) 2 】2 。 一占1 4 9 i , ( 1 0 - f k s t i ) ( 1 i ；+ 币k 2 一) 2s i n2 噼十( ，o k s t ) y i “ 2 + ( o 一般) 2 】2 。”o + s 驾喾笋浆譬。i n 2 k x + ( f 0 一般净】 k 2 + ( f o 一脚) 2 5 ” + s 史筹舞辫必埘叫州瑚从 ， 则在一个波长内的扰动动能 8 , 9 1 为： ( 曩) 5 f j ：2 e t 蚴， 一( 1 + 2 占) ( 七2 + l h 2 4 晴2 + u o k s t ) 2 + 占k ( t 了- 万2 ) ( i l o - k s i t ) ( 评k 2 r + i o a ) 2 ( y 1 + y 2 )(24)l+ ( 。一般) 2 2 “7 扰动动能的变化率是： 1 a ( e 女) 一2 k s ( 1 。一般) ( b ) d tk 2 + ( f o 一艘) 2 其中，y ，与) ，2 上是扰动涡旋运动的径向边界的无量纲值。 ( 2 4 ) ，( 2 5 ) 分别为二次切变流中涡旋动能和动能变化率的表达式。 当f = 0 时，即变为一次切交流时涡旋动能和动能变化率的表达式为： ( 蹴= 0 = 毋( 面k 2 + j 1 0 2 ) 2 丽。 一次切变时的扰动动能变化率为 志e 盟d t 卜 ( 。) k = o 塑坠二坐! 七2 + ( ，。一七野) 2 。 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 比较( 2 4 ) 一( 2 5 ) 和( 2 6 ) 一( 2 7 ) 可见：扰动动能以及动能的变化率与基本气流二次切变强 度占有关，二次切变流中扰动动能是一次切变流中扰动动能和一个有关二次切变强度s 的 1 2 骥 竺搬 能量的叠加；而二次切变流中动能的变化率也是一次切变流中动能变化率和一个有关= 次 切变强度s 的动能变化率的叠加 二次切变流中扰动动能及其变化率相比一次切变流，还 与扰动涡旋运动的径向边界有关。 1 9 9 5 年s m i t h ”1 已对( 2 6 ) ，( 2 7 ) 进行了重点讨论，分析了单切变环境流涡旋扰动的演变过 程。 现应着重讨论( 2 4 ) ，( 2 5 ) 两式，以比较弱二次环境流涡旋扰动与其不同与复杂之处。 若令：y l + y2 = 0 2 ，将其代入( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，得 1 d ( b ) 一 ( e 。) 西 一2 k s ( 1 0 - k s t ) 懈未篙鬟纛 4- 2502 55 i z i1 ：当i = 2 = 1 9 k 4 、 粗绩是；0 时，实线是= 0 1 时， 点划线是f = o 工时，间断线是# = n 3 时 f i g l ：p e r t u r b a t i o nk i n e t i c e n e r g yw i t h s- 250255 圈2 当t = z 厶= 1 时扰动动能变化率的太小 粗线是s = 0 时，实线是s = 0 1 时 点划线是s = o 2 时，问断线是= 0 , 3 f i 9 2 ：p e r t u r b a t i o nk i n e t i c e n e r g yg r o w s ( d e c a y s ) r a t e ( 2 8 ) ( 2 9 ) 搿舞器酽一卜 型“ w h e n = 0 ( s h a r p e n ) f = 0 1 ( s o l i d ) ， w i t h t 2 ，= 1 w h e n = 0 ( s h a r p e n ) ， s = 0 , 2 ( d o t ：d a s h ) ，f = 0 3 ( d a s h ) f = 0 i ( s o l i d ) ，f = 0 2 ( d o td a s h ) ，f = 0 3 ( d a s h ) 图3 ：= 0 1 时扰动动能太小- 实线是 = 1 矗= 1 点划线是七：2 。矗：i ，问断线是t = l ，= 2 f i 9 3 ：p e r t u r b a t i o nk i n e t i ce n e r g yw l z h t = 1 ，= i ( s o l i d ) = 2 ，= 1 ( d o td a s h ) = l ，= 2 ( d a s h ) 圈4 ：s = o 1 时扰动动能变化率的大小实线是k = k l o = l 点划线是七= 2 厶：1 ，间断线是k = 1 ，= 2 时 f i 9 4 ：p e r t u r b a t i o nk i n e t i c e n e r g yg r o w s ( d e c a y s ) r a t e _ i t h k = 1 , t o = 1 ( s o l i d ) ， t = 2 ，= i ( d o td a s h ) k = k = 2 ( d a s h ) 由图1 ，2 可知：当环境流中二次切变强度占增加时，动能的最大值随之增加：二次切 变量纲值增加为o 1 时，动能的最大值相比一次切变流中的动能最大值增加了约2 0 ；二 次切变量纲值为o 2 时，动能的最大值比量纲为0 1 时增加了约1 5 ；二次切变量纲变为 0 3 时，动能的最大值比量纲值为0 2 时增加了约1 3 ，这说明二次切变量的有无和强弱 对台风能量是有很大影响的。 另一方面，二次切变强度同样也影响扰动动能的变化率：环境流中二次切变强度越大， 扰动动能的增加和衰减过程就越快。 由图3 ，4 可知：波数也对扰动动能产生一定的影响。径向波数，。增加1 时，扰动动能 增加了约5 1 2 ；纬向波数k 增加1 时，扰动动能增加了约5 7 。 通过比较，根显然径向波数对扰动动能的影响比纬向要大。但是径向波数对动能的变 化率的影响却没有纬向明显。 除此以外，涡旋运动的径向边界对扰动动能的大小与变化也有一定的影响。 1 4 - 5- 25d255- j- 2507 5j 田5 ：当 = 2 ，f 。；l ，s = 0 1 时扰动动能圈6 ：当孟= 2 ，l 。= 1 ，s = 0 1 时扰动动能变化卑 实线是y i + y 2 = 0 2 ，点划线是y l + y2 = 0 6 ，实线是y l + y 2 = 0 2 ，点划线是y l + ，2 = 0 6 ，问断线是 y l + y 2 = 1 同断线是y l + 一2 = 1 f i 9 5 ：p e r t u r b a t i o nk i n e t i ce n e r g yw i t h k = 2 ，n = 1 f i 9 6 ：p e r t u r b a t i o nk i n e t i c e n e r g yg l - o l l $ ( d e c a y s ) e = 0 1w h e n y l + ，2 = 0 2 ( s o l i d ) ， r a t ew i t h s ；0 1k = 2 ，1 0 = i y l + ，2 = 0 6 ( d o td a s h ) ，y 】+ y 2 = 1 ( d a s h ) w h e n y l + y 2 = 0 2 ( s o l i d ) y l + y 2 = 0 6 ( d o td a s h ) ，y i + y 2 = 1 ( d a s h ) 从图5 ，6 可知：涡旋运动的径向边界值的和增加，扰动动能减小，扰动动能最大值略有 减小；动能的增加过程和衰减过程加快。 若固定南边界y l ，则y 2 增加时，扰动动能减小；y 2 减小时，扰动动能增加。也就是说 扰动涡旋向高纬移动越多，失去能量越多，扰动动能越小，而扰动动能的变化越快。 若固定北边界) ，2 ，则y 1 增加时，扰动动能减小；y l 减小时，扰动动能增加。也就是说 扰动涡旋向低纬移动越多，获得能量越多，扰动动能越大，而扰动动能的变化越慢。 3 4 小结及讨论 弱二次切变流轴对称涡旋的演变过程是一个复杂的过程，扰动动能所依赖的物理因子 比一次切变环境流有所区别，某些物理因子在研究涡旋扰动过程中是很重要的因素，但在 一次切变流中被忽略。 ( 1 ) 考虑环境流的二次切变量时，台风能量的大小最大可以达到一次切变环境流时的 1 5 倍以上，台风能量的变化率最大也成数倍增长。 1 5 ( 2 ) 考虑二次切变量时，台风涡旋径向边界值对台风能量的变化有显著的影响。变化率 的最大值可以达到一次切变环境流时的2 - - 3 倍。 以上两条的具体分析已经在第2 2 部分详细给出。 通过对弱二次切变流轴对称涡旋的演变过程的分析，可以进化一次切变流的研究模式， 引进一些被忽略的有效物理因子，对涡旋扰动以及台风的研究有较大帮助。 本文的动力模式或出发方程( 1 ) 式，是在，v 哥= 0 和加= 0 等假设条件下的非常简单的 方程( 即相对涡度守恒) ，这在地球流体或大气动力学中数不常用的特殊方程。用它来讨论 台风( 作对称涡旋处理) ，显然是很粗糙和初步的。在台风动力学中，还有其他重要因素如； 一作用，一作用和凝结潜热作用等等对台风动能和动能变化率产生的影响，这有待进 一步的研究。 1 6 第三章单切变环境流在非线性涡度方程中的讨论 3 1 非线性涡旋扰动方程的引入 ，一平面正交直角坐标系中，正压无辐散流体的轴对称非线性涡旋方程 警+ 万荽+ v 誓+ 豢一，笋：o a融 却、西缸 其中善是扰动的涡度，芋是环境场的涡度 ，却抛：a v 融 7 盘 砂 7 缸 砂 “，v 分别是纬向和径向上的扰动流，_ ，可分别是纬向和径向上的环境流。 设无量纲的环境场为：f = 妙， 对无辐散流，引进流函数的概念，有： “；一型v ：塑 o y 盥 将( 3 1 ) 一( 3 3 ) 代入方程( 3 0 ) 可变为： 喙+ 印毒c 等+ 等，y c 詈号+ 詈台c 等+ 争y = 。 3 2 非线性涡旋扰动方程的解析解 将扰动流函数矿分别按小参数g 作幂级数展开，有 妒= s y l + s 2 矿2 + s 3 i f ，3 + ， 将( 3 5 ) 代入方程( 3 2 ) ，得： 1 7 ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) 曝+ 妙鲁芬s 2 h 麴笋号+ 塑业安生生兰) ( 善+ 芸) ( 妒：h ) ：o i 一面八石了十石芦八6 1 十占2 n _ u ( 3 6 ) 相：c 昙+ 印丢，c 导+ 争”。 ， 棚：晦+ 印毒每+ 等慨一c 等参+ 警昙，c 导+ 争”。， 其中( 3 7 ) 式中l 是线性涡旋方程中的扰动流函数。 ( 3 8 ) 式中y 2 是线性涡旋方程加上一个非线性扰动时多出的扰动流函数。 方程( 3 7 ) 的解的傅立叶形式是： 驴l ( k ，y ，f ) = e g ( y ，y 。) 喜( 七，y o , oe - i e s 9 。 ( 3 9 ) 其中g ( y ，) 是格林函数，k 为纬向波数，( 1 j ，y o ，d ) 是纬向波数是k 时的初始涡旋 f o u r i e r 形式。 g ( y ，y 。) = 一互1 t r l 。e k 。( r “- y 一，o 。, y ，y y y t ， ( 4 。) 方程( 3 8 ) 的f o u r i e r 解为： 晚( k , y ，t ) = e g 吣1 ) e 舯a k , y o ) 一芸e 一舭饿( k , y t , t ) + 量( 幼o i d ) + ：一e 一印肛毒生痧1 ( j ，y 。，r ) + 毒2 言( | ，y 。，f ) d y ， ( 4 1 ) 2 7 r 0 2 1钞1 再进行f o u r i e r 逆变换： y 1 ( k , y ，r ) = 去e e “e g ( y 挑) 旷舭邑( 七蜘矿瓦k 2e 趴+ 矿。( ky l , t ) + 点( o j 口) + 去。由舳击暾( ) + 击( b ) 奶班 通过计算求得实数部分为： 妒2 ( k , y ，f ) ：丁氅c 。s 陬+ ( 1 0 k s t ) y 一k 2 + ( z o k s t ) 2 ”“1 + 万赤丽警胂瞰( 2 0 一般沙 其中： 一警( s t a r c 劬汕卜叼+ r 一争 ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 一警砜般一三k 2 s 2 t 2 - 2 峨删t n 盟警丛 一2 ( 2 石一七2 ) a r c t a n ( 盯一i l o ) + a r c t a n 睾 ) ( 4 5 ) 则非线性涡度方程中的扰动流函数的实数部分为： t ( 七，y ，f ) = 占p 冲( _ j ，y ，f ) + 占2 y 2 ( 七，y ，r ) + = ( 6 + s 2 ) 羔c o s 阱( f 0 一船沙】 2 1 + 占i k 2 + ( 2 1 0 一脚) 2【7 7 + 氅：垃加c 。s 噼+ ( 2 l 。一k s t ) y l ( 4 6 ) 二芽 1 9 3 3 与线性涡旋扰动方程解析解的比较 ，平面正交直线坐标系中，正压无辐散流体的轴对称线性无量纲方程 为：唔+ 印昙，c 等等m = 。 此方程的解析解为u w ： 帆( t ，f ) = 去e p 妇e g ，y 。) 翕( _ j 执，d ) p 一机疵 ( 4 7 ) 求得实数部分：州七川= 占丙孺k 2 + 1 2 0 c 。s 缸+ ( ，0 一础沙】 ( 4 8 ) 其中k 为纬向波数，l o 为径向波数。 用实数部分来分析流函数振幅的大小，比较( 4 5 ) 与( 4 7 ) ，可以看出：在同样的环境场玎= 印 中，非线性扰动方程相比线性扰动方程的扰动流函数更为复杂，流函数的振幅大小发生变 化，流函数振幅达到最大所需要的时间也发生变化。 通过简单的运算可以看出，对于线性涡度方程，加入一个非线性扰动之后，振幅变化 了： 占2 羔c o s m ( f o 一般抄】 万赤可时学胂阱( 2 f 。一艘抄 ( 4 9 ) 其中： 一警( s t a r 咖汕卜再卜a r c 吐) 一警 ? 0 般2 n 2 一q ? o _ 蛳垫等笋丝 - 2 ( 2 茗搿) l a r c t a n ( 盯一争+ 蝴a n 扣。 凯= 艘时，最大熊肌等 ( 5 0 ) 而非线性涡度方程的最大振幅相比线性涡度方程多出了： s 2 器c o s 阱纯搬沙 + 占2 萨了面三丽矿 ，7 + 堡竽朋c 。s 噼+ ( 砜一般沙 这个多项式的最大值。直 观上可以观察看出：它是一个非常复杂的量，大小与纬向波数以及纬向波数有关，另一方 面，因为在柙，中，三角函数的系数都与环境流的切变量s 有关，所以流函数的最大振幅 一定与s 有关，但是在( 4 9 ) 中，可以看到：在同样的环境场中，线性涡度方程中所解得的 流函数的最大振幅与环境流的切变量是没有关系的。这是在线性涡度方程中考察所忽视的 由扰动流函数还可以得出扰动值纬向分量和径向分量的无量纲值 ( j 】 ，y ，r ) ：一丝峰业 删 卸) 鲁器等渤阱( ? 0 瑚沙】 。 _ j 2 + ( z 。一格”2 。 端时学肿阱( 2 f 。一酬 ( 5 1 ) ，。( t ，蹦) ：业峰幽 - _ ( 2 ) 瑞s i n 阱( 0 _ 酬 2 1 l 而寿丽时警舳阱( 弘叔抄】 ( 5 2 ) 而在线性涡度方程中， ( 七，蹦) ：一垫肇幽 c y = s 鲁祭( 1 0 尝k s t ) s i n 阱”触沙 2 + 一 。 。 v l ( t ，j ，) ：g t l k _ ( k 一, y , t ) ：一si!黑sin缸+(10kst)yk2 + 以一般) 2 ( 5 3 ) ( 5 4 ) 比较( 5 0 ) 一( 5 1 ) 和( 5 2 ) 一( 5 3 ) ，可以看出：非线性涡度方程中扰动值纬向分量和径向分量的的 大小与线性涡度方程相比较，大小和各自所依靠的物理量有明显的不同，加入非线性扰动 后，纬向和径向的扰动量各自多出了 f ：譬雩蜂掣s i _ n e k x + ( ? 。一k s t ) y 。t 2 + ( 1 0 一脚) 2 。 。” 绱时学删州2 b 酬 ( 5 5 ) 坍s 2 器s i l l 阱( f o 一酬 _ + ! 粤鱼脚s i n x + ( 2 l 。一k s t ) y ( 5 6 ) z 7 这两项，可以看出，考虑非线性小扰动之后，扰动的分量大小变得更加不确定，相对线性 方程，扰动的增加和减少和径向波数k ，纬向波数0 以及切变量s 有关，但是增加和减小 的幅度的规律难以寻找，这也在某一方面体现了台风研究的难度。 南 ， 一 黼掌= 芸一雾 = 一( s + s 2 ) i 糌c 。s h + ( 如一克辩) y 】 。再芸可时警胂 h + ( 2 0 一般抄】 唯) 警器劳c o s 阱( f 0 一酬 黟时学舯阱( 2 7 。一酬 = 一( 占+ 占2 ) ( 七2 + 露) c o s h + ( o k s t ) y 一s ：研+ 姿堂川。s 噼+ ( 2 0 一k s t ) y ( 5 7 ) 而在线性涡度方程中的扰动涡度的无量纲的值为： 一占( 膏2 + 瞎) c o s 鼢+ ( ，0 一勰) y 】 ( 5 8 ) 比较( 5 6 ) 和( 5 7 ) ，可以看出：加入非线性小扰动之后，扰动涡度变化了 一g2 ( 2 + z ；) c 。s 妇+ ( 0 - k s t ) y 一f 2 叩+ ! 生芦 c 。s 缸+ ( 2 1 0 - k s t ) y ( 5 9 ) 可知，涡度变化的大小和纬向波数k ，径向波数，0 ，环境场的切变量s 有关，这些在 线性方程中被忽略；而线性方程中扰动涡度的最值只和径向波数和纬向波数有关，但加入 非线性扰动之后，所得到的扰动涡度的最值不仅与径向波数和纬向波数有关，还与环境场 的切蛮女小s 有关。 同时，扰动动能也发生变化： 既：氅篁 文l 仡) 芳s i l l 2 阱”础抄 ( 七：+ 略) 叩+ ! 生：趋l k ：+ ( ? 。一k s t ) z 【七：+ ( 2 1 。一k a t ) ：】 3 1 孝爵丽而万面磊斫一咖陬+ ( 1 0 - k s t ( 2 1 ( s t ) m 2 七2 + ( f o 一脚) 2 】 i 2 + o 一2 ”。 s i n k x + 2 ( 1 0 一般沙 在线性方程中； 耻生盟 ：害磊3 i n 2 + ( f 0 一般抄) 2 k 2 + ( z 。一2 一 ( 6 0 ) ( 6 1 ) 通过比较( s 8 ) 和( 5 9 ) ，可以分析相同的环境场在线性和非线性涡度方程中能量的大小 的差异，可以看出，考虑非线性小扰动时，扰动动能的大小比较线性涡度方程有很大的变 化，影响变化幅度的影子和上述影响扰动流函数，扰动涡旋等相同。 3 4 小结和讨论 通过上一小节的分析，可以知道，引进非线性小扰动所得到的扰动流函数的值，扰 动的纬向分量和径向分量，以及扰动涡度值和线性方程中的结果是有很大差距的。总结如 下： ( 1 ) 当在涡度方程中加入非线性小扰动时，扰动流函数的大小和振幅发生变化，最大振 幅比线性方程中多出一个物理量，分析这个物理量在不同时刻的正负，可以得到非 线性扰动方程得到的扰动值在何时使得最大振幅增大，何时减小，而最大振幅的变 化直接影响到扰动的能量以及扰动的变化快慢。 ( 2 ) 通过比较两个不同方程所得到的扰动涡度无量纲值，发现：在非线性涡度方程中， 2 4 扰动涡度比线性方程中得到的值相差一个物理量( 5 9 ) ，这个量和径向波数、纬向波 数有关，还与环境场的切变量s 相关，还是线性涡度方程中所忽略的一个物理量。 ( 3 ) 考虑非线性小扰动时扰动流函数的最大振幅以及扰动涡旋的最值不仅和纬向波数 k ，径向波数l 有关，还与环境场的切变值s 有关。而在线性涡度方程中，最大振 幅至于前两者相关。 ( 4 ) 扰动动能的变化的幅度和影响因子和( 2 ) ，( 3 ) 基本相同。 ( 5 ) 本章节的动力模式或出发方程式，是一个非常简单的方程( 即相对涡度守恒) ，用它 来讨论台风是很初步的。怎样将二次切变环境场代入非线性涡度方程中应用，怎样 将其他重要因素如；厂一作用，卢一作用和凝结潜热作用等等代入相对精确的方程 模型研究，由此得出更多的影响台风机制的物理量，还有待进一步的深入。 主要结论 本论文根据大气动力学原理，对大气涡旋环流中比较突出的轴对称涡旋环流进行了分 析，通过对环境场和涡旋无量纲方程的进化，得到了环境场对涡旋能量结构影响的机制模 型与非线性涡旋方程的扰动涡旋值。作者将研究中不常考虑的环境场进行了详细分析，从 环境流的领域研究轴对称涡旋的演变方程、能量变化的特征，不仅具有理论意义，而且具 有重要的实用价值，主要结论有： 在论文的第一部分，作者将环境场复杂化一将普遍被视为常数或一次线性切变流 瓦= 黟的环境场进化为弱二次切变流i = 母一耖2 ，给出扰动流函数的解析解，进而分析涡旋 扰动能量的特征，得到了一系列较为有用的直观图形，结果证明弱二次切变流轴对称涡旋 的演变过程是一个复杂的过程，扰动动能所依赖的物理因子比一次切变环境流有所区别， 某些物理因子在研究涡旋扰动过程中是很重要的因素，但在一次切变流中被忽略。 当环境流中二次切变强度s 增加时，动能的最大值随之增加：二次切变量纲值增加为 0 1 时。动能的最大值相比一次切变流中的动能最大值增加了约2 0 ；二次切变量纲值为 0 2 时，动能的最大值比量纲为0 1 时增加了约1 5 ；二次切变量纲变为0 - 3 时，动能的最 大值比量纲值为o 2 时增加了约1 3 ，这说明二次切变量的有无和强弱对台风能量是有很 大影响的。 另一方面，= 次切变强度同样也影响扰动动能的变化率：环境流中二次切变强度越大， 扰动动能的增加和衰减过程就越快。 波数也对扰动动能产生一定的影响。径向波数f 0 增加l 时，扰动动能增加了约5 1 2 ； 纬向波数k 增加1 时，扰动动能增加了约5 7 。通