（应用数学专业论文）非模糊与模糊状态下的一类障碍期权定价.pdf

第i 页 非模糊与模糊状态下的一类障碍期权定价 应用数学专业 研究生胡容指导教师黄南京教授 金融衍生产品的定价是金融工程学的重要研究问题谈到金融衍生产品的 定价，大概要追溯到1 9 0 0 年l b a c h e l i e r 发表的学位论文“t h 6 0 r i ed el a s p 6 c u l a t i o n ”在这篇论文中，他提到了期权的定价问题然而，随着金融市 场的不断完善，越来越多的新型期权应运而生，因此如何给这些金融衍生产品 定价，也就随之成为现代金融学研究中的热点问题 本文将讨论非模糊与模糊状态下单障碍期权的定价在第二章中，作者运 用传统的定价思路，得到了非模糊状态下单障碍期权的定价公式考虑到我们 所研究的定价问题是一种从社会现象中剥离出来的模型，它存在和发展所依赖 的环境是社会环境，具有不确定性、复杂性和模糊性；而对模型进行判断、描述 的人，其思维也具有模糊性为此我们将采用z a d e h 所提出的模糊集理论来描 述这一不确定性，使建立的模型更具现实意义于是，在第三章中，作者将无风 险利率、波动率以及原生资产价格都视作模糊数，然后在模糊状态下讨论单障 碍期权的定价问题，而后给出具体的算例 关键词：障碍期权；标准欧式期权； 无风险对冲原理； b l a c k - s c h o l e s 公式；平价公式；模糊数； 优化 a b s t r a c t第i i 页 t h ep r i c i n gf o rac l a s so fb a r r i e ro p t i o n s u n d e rn o n - f u z z yo rf u z z yc o n d i t i o n m a j o rla p p l i e dm a t h e m a t i c s p o s t g r a d u a t e ：f l ur o n gs u p e r v i s o r ：h u a n gn a n j i n g t h ep r i c i n gf o rf i n a n c i a ld e r i v a t i v e si sa m o n gt h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e m s o ff i n a n c i a le n g i n e e r i n g i td a t e sb a c kt ol b a c h e l i e r sd e g r e ep a p e r “t h d o r i e d el as p d c u l a t i o n ”i n1 9 0 0 ，i nh i sp a p e r t h ep r i c i n gf o ro p t i o n sw a si n t r o d u c e d a n ds t u d i e dw i t ht h ep e r f e c t i o no ff i n a n c i a lm a r k e t ，m o r ea n dm o r ee x o t i c o p t i o n sc o m eu p n o w ，t h ep r i c i n gf o rt h e s ef i n a n c i a ld e r i v a t i v e si sb e c o m i n ga h o tp r o b l e mi nc u r r e n tf i n a n c e i n t h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ep r i c i n gf o rac l a s so fb a r r i e ro p t i o n sw h i c h h a v eas i n g l eb a r r i e ru n d e rn o n f u z z yo rf u z z yc o n d i t i o n i nc h a p t e r2 ，w ed e r i v e p r i c i n gf o r m u l a sf o rt h ec l a s so fb a r r i e ro p t i o n su n d e rn o n - f u z z yc o n d i t i o nb y a p p l y i n gt r a d i t i o n a lp r i c i n gm e t h o d o w i n gt ot h ep r i c i n gp r o b l e mi sa m o d e l a b s t r a c t e df r o ms o c i a lp h e n o m e n a t h ee n v i r o n m e n tw h i c hi tc a ne x i s ta n d d e v e l o pi ni ss o c i a le n v i r o n m e n tt h a ti su n c e r t a i n ，c o m p l e xa n df u z z y a n dt h e t h o u g h to ft h em a nw h om a k ej u d g e m e n to nt h em o d e li su n c e r t a i n ，t o o i n v i e wo ft h e s ef a c t s ，t h ef u z z ys e t st h e o r yw h i c hw a sp r o p o s e db yz a d e hm a yb e au s e f u lt o o lf o rm o d e l i n gt h i sk i n do fi m p r e c i s ep r o b l e m i tm a k e st h em o d e l m o r er e a l i s t i c t h e n ，i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h ef u z z yi n t e r e s tr a t e ，f u z z y v o l a t i l i t ya n df u z z ys t o c kp r i c e ，a n dd i s c u s st h ep r i c i n gf o rt h ec l a s so fb a r r i e r o p t i o n su n d e rf u z z yc o n d i t i o n s o ，w ep r o p o s et h ef u z z yp a t t e r no ft h ep r i c i n g f o r m u l a s f i n a l l y ) w eg i v eae x a m p l e k e yw o r d s ：b a r r i e ro p t i o n s ；r e g u l a re u r o p e a no p t i o n s ；r i s k l e s sh e d g - i n gp r i n c i p l e ；b l a c k - s c h o l e sf o r m u l a s ；p u t c a l lp a r i t y ；f u z z yn u m b e r s ；o p t i m i z a t i o n 第一章序言 1 1 引言 经济史学家声称：早在古希腊时代，第一张借据产生的那一刻，金融就出现 了所谓金融，顾名思义就是指资金的融通或者说资本的借贷更进一步看，我 们认为，金融需要解决的核心问题就是：如何在不确定的环境下，对资源进行跨 期的最优配置 明确了金融的含义也就明确了金融学的对象和内容基于前面对“金融” 一词内涵的认识，我们说金融学是研究如何在不确定性的环境下，通过资本市 场，对资源进行跨期最优配置的- - 1 1 经济科学目前国内外大专院校的金融专业 中，开设了各种各样的金融学课程，例如投资学、公司金融学、金融工程学、金 融市场学、金融经济学、货币银行学、国际金融学、公共财政学、数理金融学、 金融( 市场) 计量经济学等其中，金融工程学主要侧重于金融衍生产品的定价 和实际运用，它最关心的是如何利用创新金融工具，来更有效的分配和再分配 个体所面临的形形色色的经济风险，以优化他们的风险收益特征 之所以要研究金融衍生产品的定价，是由于在金融市场、商品市场上，风 险无处不在：资产风险，利率风险，货币风险，信用风险，商品风险等风险可 以使人们意外获益；风险亦可以使人们意外受损，甚至带来灾难，所以，面对风 险有两种截然不同的态度：回避风险和承担风险金融衍生产品正是一种风险 管理的工具，它的价值依赖于其他更基本的原生资产( 或称标的资产) 的价格 变化在金融市场，商品市场有很多形式的金融衍生产品，远期合约( f o r w a r d c o n t r a c t s ) 、期权( o p t i o n s ) 和期货( f u t u r e s ) 是三种最基本的金融衍生产 品如果把原生资产设定为股票、债券、汇率或商品等，那么为了对这些原生资 产进行风险管理，相应的有：股票期权( 期货) 、债券期权( 期货) 、货币期权( 期 货) 以及商品期权( 期货) 等 谈到金融衍生产品的定价，大概要追溯到1 9 0 0 年l b a c h e l i e r 发表的学位 第一章序言第2 页 论文“t h o r i ed el as p 6 c u l a t i o n ”【1 】( 投机交易理论) 它被公认为是现代金融 学的里程碑在这篇论文中，他提到了期权的定价问题1 9 6 4 年p s a m u e l s o n 对l b a c h e l i e r 的模型进行了修改1 9 7 3 年3 月f b l a c k 和m s c h o l e s 【2 】又 通过进一步的分析，发表了关于期权定价的重要论文它成功地给出了标准欧 式期权( r e g u l a re u r o p e a no p t i o n s ) 的解析表达式，这就激发了人们研究期权 等金融衍生产品定价的热情然而，随着金融市场的不断完善，越来越多的新型 期权( e x o t i co p t i o n s ) 应运而生，因此如何给这些金融衍生产品定价，也就随 之成为现代金融学研究中的热点问题 障碍期权( 又名关卡期权，挡板期权b a r r i e ro p t i o n s ) 作为一种重要的新型 期权，它是一种颇受欢迎、应用广泛的路径有关衍生证券( 参见文献 3 ，4 】) 最早 提及障碍期权的文献是1 9 6 5 年g s n y d e r 所著的f 5 1 5 因为增加障碍值可以有效 减少期权金，因此障碍期权市场得到了快速的发展( 参见文献【6 】) 障碍期权的 最终收益不仅依赖于期权到期日原生资产的价格，而且与整个期权有效期内原 生资产价格的变化过程有关它包括单障碍期权( 只有一个障碍值( b a r r i e r ) ) 和 多障碍期权( 有两个或两个以上障碍值) 单障碍期权不同于标准欧式期权，它是 这样一张欧式期权合约，其最终收益不仅依赖于期权到期日原生资产的价格，而 且与整个期权有效期内原生资产价格是否达到某一规定障碍值有关按照原生 资产价格达到规定障碍值后期权的状态，单障碍期权又可以分成两大类：一类是 敲入期权( k n o c k - i no p t i o n s ) ，这类期权的特点是：当原生资产价格达到规定障 碍水平时，期权开始有效如果在期权的有效期内原生资产价格大于障碍值，那 么称为下降敲入期权( d o w n - a n d i no p t i o n s ) ；如果在期权的有效期内原生资产 价格小于障碍值，那么称为上升敲入期权( u p - a n d i no p t i o n s ) 另一类是敲出 期权( k n o c k - o u to p t i o n s ) ，这类期权的特点是：当原生资产价格达到规定障碍 水平时，期权终止有效如果在期权的有效期内原生资产价格大于障碍值，那么 称为下降敲出期权( d o w n a n d o u to p t i o n s ) ；如果在期权的有效期内原生资产 价格小于障碍值，那么称为上升敲出期权( u p - a n d o u to p t i o n s ) 由于每一类 欧式期权都可以分为看涨和看跌两大类，因此单障碍期权又可以细分为8 种类 别 7 】：( 1 ) 上升敲入看涨期权( a nu p - a n d - i nc a l lo p t i o n ) ；( 2 ) 上升敲入看跌 期权( a nu p - a n d - i np u to p t i o n ) ；( 3 ) 下降敲入看涨期权( ad o w n - a n d i nc a l l o p t i o n ) ；( 4 ) 下降敲入看跌期权( a d o w n - a n d i np u to p t i o n ) ；( 5 ) 上升敲出 第3 页 看涨期权( a nu p - a n d - o u tc a l lo p t i o n ) ；( 6 ) 上升敲出看跌期权( a nu p - a n d - o u t p u to p t i o n ) ；( 7 ) 下降敲出看涨期权( ad o w n - a n d o u tc a l lo p t i o n ) ；( 8 ) 下降 敲出看跌期权( ad o w n - a n d o u tp u to p t i o n ) 关于障碍期权的定价，自1 9 7 3 年r c m e r t o n 8 j 第一次提出有关障碍期 权的定价以后，涌现出了大量有关障碍期权的定价方法m r u b i n s t e i n 和e r e i n e r 【9 】9 ，d r i c h 【1 0 】先后利用期望法获得了障碍期权的封闭解某些学 术文献上也介绍了一系列有关障碍期权定价的数值分析方法，如p pb o y l e 和 s h l a u 的二叉树模型【1 l 】，pr i t c h k e n 的三叉树模型f 1 2 】，p p b o y l e 和 r s t i a n 的有限差分方法 1 3 】等等( 参见文献 1 4 ，1 5 】) 目前，运用神经网络 得到的定价方法也已经被提出( 参见文献f 1 6 】) 上述这些定价方法，几乎所有 都是用精确方法描述和建立的但是，我们所研究的定价问题显然是一种从社 会现象中剥离出来的模型，它存在和发展所依赖的环境是社会环境，具有不确 定性、复杂性和模糊性；而对模型进行判断、描述的人，其思维也具有模糊性 所有这一切都决定了我们不能对模型进行非此即彼的精确测量如果坚持用确 定常数来描述证券的某些性质，很可能导致模型的建立与实际不相吻合考虑 到这些事实， 9 6 5 年美国加利福尼亚州大学控制论教授l a z a d e h 1 7 1 所提 出的模糊集理论便成为构建这一不确定性问题的有利工具这一理论异于传统 的经典数学对一个元素是否属于某个集合，经典数学给出了肯定或否定的判断 ，而模糊集理论对属于程度却是用“隶属度”给予一种刻画，它把经典数学中的 集合理论推广到模糊集合理论，奠定了模糊数学的基础正是借助这一数学工 具，h 一c w u 【1 8 】得到了标准欧式期权的模糊型定价公式它克服了由于金融 市场的动荡不定所带来的不确定性，使所得结果更贴近现实 基于以上，本文讨论一类障碍期权一一单障碍期权的定价在第二章中，作 者运用传统的定价思路，先假定原生资产价格运动遵循几何b r o w n 运动，然后 通过形成自我融资的瞬间无风险资产组合，在无限小的时间间隔内通过调整原 生资产组合的权重就复制了单障碍期权的收益形态，这样就在无风险收益率同 单障碍期权价格、原生资产价格的瞬间变化之间建立了某种动态联系：这种联 系是用b - s 偏微分方程来显示的最后，在一定边界条件下求解这个偏微分方 程从而得到单障碍期权的定价公式在第三章中，由于考虑到金融市场的动荡 第一章序言第4 页 不定，作者将无风险利率、波动率以及原生资产价格都视作模糊数，然后在模糊 状态下讨论单障碍期权的定价问题，而后给出具体的算例 1 2 1 单障碍期权 1 2 预备知识 对于任意一份单障碍期权，我们规定： s 一一原生资产价格( 本文都认为是股票价格) ； & 一一t 时刻原生资产价格( 本文都认为是t 时刻股票价格) ； t 一一期权的到期日； k 一一期权的敲定价格； 一一障碍值； r 一一无风险利率 相应于8 种不同类别的单障碍期权，其最终收益函数可表示为 i 敲入期权 i i 敲出期权 上升敲入期权 。( s t 一- - 曲k ，) + + 【 ，1 一- 。i 函& 。 鼠s s , 吲t e i 咿o , t ，i ， ；莩姜； 上升敲出期权 ：k s t 一- - 禺k ，) + + i 岛s , 。 8 有 川一巩一n ( 0 ，t s ) ； 3 ) 增量独立岛。一b “。，b 。一b k ：，b b b t 。与b “都是互 相独立的；( 0 t 1 t 2 t 。) 则称随机过程( b ) t e t o 、。) 为( 标准) b r o w n 运动或w i e n e r 过程 尽管标准b r o w n 运动是构建微观金融模型的最基本模块，但它本身还不能 澄清我们遇到的各种金融( 价格运动) 现象，例如价格起点往往不是o ，它们的 增量具有非0 的数学期望，而且不一定具有单位方差率等因而接下来我们要 进一步来考察更为一般的b r o w n 运动 如果一个随机过程( ) * 1 0 川遵循一般b r o w n 运动，则它可以表示为： d s = a d t + b d 岛 其中a 、b 是常数 注意这里微分记号据表示微小时间间隔内，b t 的变化给s 带来的影响 显然d s 这种微分记法的确切意义有待于进一步明确 1 2 预备知识第7 页 随着b r o w n 运动概念的出现，l b a c h e l i e r 早在1 9 0 0 年就曾经假定股票运 动遵循标准b r o w n 运动过程，这就产生了一个问题，即股票价格也有可能成为 负数，这与现代股份公司的有限负债前提相矛盾但如果直接假设股票价格遵 循一般b r o w n 运动，则又忽略了一个事实：即投资者往往要求股票的期望收益 率是一个常数，而不管股票价格的绝对水平是多少因此研究者一般认为应用 于描述股价运动的适当形式应当是： d s = ( p q ) s d t + a s d b 其中q 为红利率，肛为期望回报率，一为波动率，q 、卢和口均为常数这被 称为几何b r o w n 运动 用b r o w n 运动刻画的粒子运动的每一条轨线是连续的，但是它是一条处处 不可微的曲线假定在 0 ，t 】上给定b r o w n 运动( b ) ，在【0 ，t 】上定义一个剖 分n ；0 = t o t l t n = t ，现考察相应于剖分的b r o w n 运动的二 次变差q ： q n = ( b 吣。一b “) 2 引理1 1 【1 9 】( 二次变差定理)对于区间【0 ，t 上的任意剖分1 7 ，b r o w n 运动 的二次变差q n 当2 0 m 蜓a _ x 一1 it k + l t ki _ o 时存在极限 。l i 。m 。q n 2 t ( 在l 2 的意义下) 基于b r o w n 运动的二次变差定理，我们建立了随机运算的基本法则，特别 是由随机过程形成的复合函数求微分的锁链法则一一i t 6 公式 引理1 2 【2 0 】( i t 5 公式)设k = y ( s ，t ) ，v 是二元可微函数若随机过程 s t 适合随机微分方程 d s t = p ( 岛，t ) d t + 口( ，t ) d w “ 则 埘= ( 瓦o v 印12 ( 跗) 等) 筹a s t = ( 罾+ p ( s 丽o v + j 1 以跗) 筹) d 蚪一( & ，幻盟o s d 眦 第一章序言第8 页 i t 6 公式是本文建立单障碍期权定价模型的基础 1 2 4 模糊数及基本概念 经典集合要求一个对象对于一个集合来说要么属于，要么不属于，两者必 居其一且仅居其一这种情况是对客观研究对象提取特征或划分等级的结果 但是。就人们对客观现象的认识和描述而言大多数情况并不具有这种“非此即 彼”性，这时所研究对象的集合并没有一个明确的边界有些现象，过于简单地 提取特征，就会歪曲事物本身的规律因此，必须扩充经典集合，于是便产生了 模糊集合论( 参见文献 1 7 ，2 6 ) 定义1 3 设x 是论域( 普通集合) ，称a 为论域x 上的模糊集( f u z z ys e t ) ， 是指在x 上给定一个映射 p i ：x - - - - - 4 【0 ，1 】 z 一卢石( z ) 0 ，1 】， p 彳叫做a 的隶属函数，p 彳( z ) 叫做z 对于a 的隶属度 用，( x ) 表示x 上模糊集合的全体，即 ，( x ) = a ：岈：x - - - - - 4 0 ，1 ) 定义1 4 设a ，僻) ，称( a ) 。= a 。= z ：p i ( z ) 口) ，a 0 ，1 】，为模糊 集a 的a 一水平集 模糊数作为特殊的模糊集，它是建立在实数域r 上的关于模糊数的定义 早在1 9 7 8 年d u b o i s 和p r a d ef 2 1 1 一文中就被提到，后经g o e t s c h e l 和v o x m a n 修改在文献【2 2 ，2 3 】中做了介绍 定义1 5称a 是模糊数，若a 是建立在实数域r 上的模糊集，且满足 ( i ) a 是正规模糊集，即至少存在一个元素z r ，使得u x ( x ) = 1 ； ( i i ) a 是凸模糊集，即 v a 【0 ，1 ，比，y r ，p 彳( a z + ( 1 一a ) 9 ) 兰m i n p 石( z ) ，p j ( ) ) ( 即卢彳是拟凹函数) 条件( i i ) 可以用下面条件替代。 1 2 预备知识第9 页 ( i i ) ，对v 【0 ，1 】，水平集凡是凸的 定义1 6称模糊数a 是有界闭模糊数，若满足 ( i ) 对v a ( 0 ，l 】，a 一水平集a 。是有界的； ( i i ) 对v o 【0 ，1 】，o - 水平集a 。是闭的 条件( i i ) 可以用下面条件替代； ( i i ) ，p i 是上半连续的 用兀( r ) 表示r 上的全体有界闭模糊数，即 矗( r ) = a ：a 为r 上的有界闭模糊数) 引理1 3 2 4 】a t o ( r ) 当且仅当其隶属函数 i 1 ， z 【m ，n 】口， p j ( z ) = l ( z ) ，z n ， 式中l ( z ) 为增函数，右连续，0 l ( z ) 1 ，且。旦l ( z ) = 0 ；r ( z ) 为减 函数，左连续，0 r ( z ) 1 ，且。里罕k r ( z ) = 0 引理1 3 说明一个有界闭模糊数a 可由a 1 = m a ，n a 厦l a ( x ) ，r a ( z ) 唯一确定记a = ( 【m ，n 】，“，r a ) 定义1 7设r 为实数域，称实有界闭集 为闭区间数 p 一，z + 】= z ：z 一z z + ，z 一，z + r ，z 一z + ) 记“o ”表示两闭区间数【a ，6 和 c ，d 的二元运算o “，e “或o ，则 a ，6 】o “( c ，d j 定义为 【a ，6 】o 。【c ，d 】三 z r ：z = 茁。剪，v z 【a ，6 ，v y c ，d ， 其中tr o l l 是通常意义的二元运算+ ，一或) 且当o c ，d 】时， 【a ，6 】o ，。 c ，d 】兰z r ：z = x y ，v z a ，6 】，v y c ，d 1 ) 第一章序言第1 0 页 有界闭模糊数的o t 一水平集) 。( o ( 0 ，1 】) 是闭区间数，则记( a ) 。= 【越，础 称模糊数a 是非负的，若p i ( z ) = o ，。 0 容易证明。若a 是非负 有界闭模糊数，则对任意的o z ( 0 ，1 】，雠和j 4 ：都是非负实数据式( 1 2 2 ) 可知，函数值p i ( z ) 表示z 接近闭区间【m ，n 的程度，亦称为信赖度由函数 p i ( z ) 所构成的图形是钟形曲线，从而由图可知z 越接近区间 m ，n 】，其信赖 度越高 三角模糊数a 作为一种特殊的有界闭模糊数，其隶属函数可表示为 o l z a 2 0 2 x a 3 其它， a 可记作a l ，a 2 ，n 3 ) ，其隶属函数p 互( 。) 的图形恰好类似三角形该三角模糊 数有。大约为a 。”或“近似等于e , 2 ”的含义其中a 2 称为a 的核，a 1 、a 3 分别称为左扩展值和右扩展值a 的水平集为 a 。= ( 1 一a ) a l + a 0 2 ，( 1 一a ) a 3 + o z a 2 ； 即a 鲁= ( 1 一o ) o l + 口0 2 ，a 兰= ( 1 一d ) 0 3 + d a 2 实数也是一种特殊的模糊数若记实数m 为模糊数a ，则其隶属函数为 俐= r 瓮 a 可表示为五；i 。 容易证明，对所有的o t 【0 ，l 】有( i f 。 ) ：= ( i 。 ) 譬= m 由于有界闭模糊数的o 水平集( 五) 。( a ( 0 ，1 】) 是闭区间数，因而在运算 时较为方便本文所提到的模糊数均指有界闭模糊数我们可以得到两有界闭模 糊数的运算法则设符号o ”表示两个有界闭模糊数a 和雪的二元运算o ， o ，o 或o a o b 所对应的隶属函数定义为 肛j o 百( z ) = s u p ( 。) ：。v ： m i n p j ( z ) ，p 百( ) ， 这里二元运算0 = 0 ，e ， 或0 分别对应二元运算。= + ，一，或 引理1 4 【2 4 设五和雪是两有界闭模糊数，则a o b 一，a e b 以及a o 豆 量一。 ，-li_i，、i_i、 = 、j z ，l a p 12 预备知识第1 1 页 都是模糊效，并且对任意的a ( 0 ，1 】其a 一水平集分别为 ( 五。百) 。= 五o 。鼠= 冠+ 豆：，a ：+ 豆g ， ( 五e 百) 。= 五e “鼠= 瞬一彰，韶一磁】， ( ao 豆k = 五o “鼠= 【m i n , 4 l 甓，殛殿，忍磁，积影) ， m a x 恐层，恐程，群髟，霹白- 。u ) 1 若对任意的o ( 0 ，1 】，豆所对应的水平集豆。恒不包含零，则a o 百也是 模糊数，且对任意的n ( 0 ，1 1 其。一水平集为 ( a q 豆) 。= 五o 。鼠 = h 篷 z a d e h 又将经典的扩展原理推广到模糊集 引理1 5 1 8 】设，表示实数域r 上一切模糊子集作成的集合，( x ) 是一实值 函数，且a ，从而由函数( x ) 可诱导出个模糊集值函数，：，一， 模糊集，( a ) 所对应的隶属函数可定义为 p ) ( r ) = s u pp ( z ) 一 ( z 一，( z ) ) 假设a 的隶属函数p 是上半连续的，且对所有的r ，集合 z ：r = ，( z ) ) 是紧 集( 即r 上的有界闭集) ，则，( a ) 的o 水平集为( ，( a ) ) 。= ( ( x ) ：z a 。) 引理1 6 【2 4 设a 是一模糊集，若其隶属函数为p ，且a 。= z ：卢 ( 。) a ) ，则 p ( 。) 2 嚣1 】。如ma 1 0 ，l 其中厶是集合a 的示性函数，即厶( z ) = l ，。a 且i a ( x ) = 0 ，z 芒a 筮即整既墨韶丝魂 ，、【 毫 、，j 丝船壑毋丝础 第二章单障碍期权定价 为研究方便，我们给出如下假设： 1 市场不存在套利机会； 2 证券交易不支付交易费用和税收( 市场是无摩擦的) 2 1 模型的建立 设s 表示做随机游动的原生资产价格，s 8 是障碍值用y 表示单障碍期 权的价格，它是一个关于s 和时间t 的二元函数在到期日t 时刻单障碍期权 的价格即为期权的最终收益，可表示为 v ( s ，t ) = ( s k ) + ，敲出看涨期权； ? k 一回+ ，篆盒薯冀翥袭； c z - - ， ( 一s ) + ，敲出看跌期权； 、7 0 ，敲入看跌期权， 其中k 是期权的敲定价格 当原生资产价格为障碍值岛，此时单障碍期权的价格为 y c 岛，。= 丧。如，味篓支篓袭! c z ，固 下面，我们将通过无风险对冲原理获得单障碍期权在期权有效期【0 ，卅内价 格v ( s ，t ) 的表达式首先，在风险中性世界中，假定原生资产价格s 服从几何 b r o w n 运动 d s = ( p q ) s d t + a s d b t ， 这里鼠是均值为零方差为出的标准b r o w n 运动，q 为红利率，“为期望回报 率，口为波动率，q 、“和口均为常数利用一对冲原理，我们来给出单障 碍期权定价的数学模型对于给定的单障碍期权y ，在相反方向交易份额的 2 1 模型的建立 第1 3 页 原生资产s ，使得构成投资组合丌t h = v a s 然后恰当选取值，使组合在时间段f t ，t + d t l 内是无风险的，这里d 亡是一 个时间间隔由于考虑到红利q ，投资组合n 在时间间隔出内的增量为 d i i = d v a d s a s q d t 另一方面，由组合i i 是无风险的，可以得到 d n = r h d t 这里r 表示无风险利率p 为常数) 由式( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) ，我们有 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) d v a d s = r i i d t a s q d t = r ( v a s ) d r + a s q d t ( 2 1 5 ) 由于v v ( s ，t ) ，s 又服从几何b r o w n 运动，因此由i t 6 公式 d y = f 罾+ 一啪丽o v + 互1 水2 貉卜+ 一s 丽o v d b t ( 2 1 6 ) 代( 2 1 6 ) 入( 2 1 5 ) 得 罾+ 一啪丽o v + j 1 2 s 2 筹一似一啪卜+ ( a s 丽o v - a a s ) a 鼠 = ( r y a r s + a s q ) d t 此时等式右端是无风险的，因此为消去等式左端的随机项必需d b t 的系数为0 ， 即选取 = 筹 把它代入上式，并消去d t 得 瓦o v 印12 s 2 筹+ ( r _ q ) s 筹州辄 ( 2 1 7 ) 第二章单障碍期权定价第1 4 页 这就是刻画单障碍期权价格变化的偏微分方程一一b l a c k - s c h o l e s 方程因此， 为了确定在合约有效期【0 ，卵内单障碍期权的价格，就要在区域d 上求解偏微 分方程( 2 1 7 ) 这里区域d 表示为 d ： ( ( s ，0 l o s ，o t st ) 1上升期权； ( 2 1 8 ) “一1 t ) i ss ，0 tst ) ，下降期权 p “刨 2 2b l a c k - s c h o l e s 公式和平价公式 我们可以通过在终值条件( 2 1 1 ) 以及边值条件( 2 1 2 ) 下，在( 2 1 8 ) 所定 义的区域d 上求解偏微分方程( 2 1 7 ) 来获得单障碍期权的定价公式为了说明 这一方法，我们以欧式上升敲出看涨期权( e u r o p e a nu p - a n d - o u tc a l lo p t i o n ) 为 例欧式上升敲出看涨期权的数学模型为，在区域d = ( s t ) l o s ，0 t t 上求解下列偏微分方程的终一边值问题 f 罾+ a 2 s 2 器+ p 一口) s 嚣一r v = 0 ，( s ，t ) d ， ( i ) v ( s ，t ) = ( s 一耳) + ， iv ( s b ，t ) = 0 ， 对于上述定解问题，我们可以采用m j b r c n n a n 和e s s c h w a r t z 在文献【27 j 中，rg e s k e 和k s h a s t r i 在文献【2 8 中，j h u l l 和a w h i t e 在文献【2 9 】以及 更多的文献中惯用的一种有效的变换 s 。_ 1 “石， v = s b 通过这种变换，定解问题( i ) 可简化为 f 象+ j 1 口2 5 0 2 u + ( r q 一譬) 爱一r u = 0 ，( z ，t ) d ， ( ，j ) u ( z ，t ) = ( e 。一k b ) + ， i ( o ，) = 0 ， 这里d = ( z ，t ) l 一0 3 z o ，0 tst ) ，= 嚣 2 2b l a c k - s c h o l e s 公式和平价公式第1 5 页 作函数代换 u ：e “+ 口( t 一。) 形 。= 一- 刍( r - q - 套= - r - 击c 一勃 定解问题( i i ) 又可简化为 f 警+ ；a 2 警= 0 ，( z ，t ) d ”， ( i i i ) w ( x ，t ) = e ”2 ( 酽一) + ， 1w ( o ，t ) = 0 ， 这里d ”= ( z ，) i 一。o z 0 ，0 t t ) 利用镜像法，定义 心，= 嚣：笛，舞 易见妒( z ) = 一妒( 一z ) 。即妒( z ) 是奇函数在此定义下，我们建立一个热传导方 程的c a u c h y 问题如下 ( 卅8 w ，南1 g 2 翻0 2 w _ _ 0 叫灿“， 这里d 胛= 忙，t ) i o 。 z ( 3 0 ，0 t t ) 由于定解问题( i v ) 的解必是奇函数，因此这个解在 ( z ，t ) i o o 。 0 ，0 t t ) 的限制必适合定解问题( i i i ) 这样，求解定解问题( i i i ) 可由求 解定解问题( i v ) 来代替 众所周知，热传导方程的c a u c h y 问题( i v ) 的解可以用p o i s s o n 公式表示 即 w ( x ，t ) = 意南肛踽北赋 蕊南 f 0o ：踽绯肛3 ( 0 。e - 踽觚飚 焉高肿龋- e 一踽卜e t 硝 第二章单障碍期权定价第1 6 页 由u 得到 u ( z ， ，= - r - 孬1 ( r g 百a 2 ) 2 。洲( 一) 1 未焉，。e 一踽- e - 踽卜( e - t ! - - k s ) + 蜓 口2 7 r ( t t ) j o 【 j 俨州) 1 杀一厂“。一书篙_ e _ $ 禹 。( e _ 一) 鹰 口、2 7 r ( t t ) j o 【j 、 熹f - - i n k b 。一幽孛f e k b ) d f 口、2 ( r t ) j o 一型：丝当 - - i n k be 一盟牢( 。t ) 一= = = = = = 一f l 一 i e 、一儿rj d a 、2 7 r ( t t 、，o 、 ：一e - q ( t - t ) 。，型铲。一喾础一。e - q ( t - - t ) 。，訾。一譬幽 、2 7 r j 一 2 7 r j 一” 一i k b c - r ( t - t ) ，半学。一雩如 l 何，一。 。 一 k b e - f r ( t - - o 产。气l一矿上。 8 2 l le-q(t-t)一-a击(r-q)x，兰等班。一譬如j i何 一。 。、 一警j 奔。l 、2 7 r一。 l + i 等。叫r 卅母a 每f 案地。 一一k b 。- r ( t - t ) - 舌( r - 。一铷尸与铲。一譬幽l 、2 7 rj - l = 等e 2 产e 譬山 矿一0 一 口 一 及 盯 以，一矿 一 叫 一 卢 计 萨 2 2b l a c k s c h o l e s 公式和平价公式第1 7 页 k b e 一7 ( t - t ) 2 7 rf 芦蔫池。 e - q ( 7 “卜寺( r - 咖r 型些斋等血型一， 一历_ 上。 82 + 去。叫r 叫母禹 妞。 一le - 何q ( t - t ) 矿产。气 一t k b e - r ( t - t ) ，簪e 一譬凼 一兰：孥：! 堂籍型。一譬如 酥j 一。 。 + 而k b 。一2 一a 2 k 产。| 又由v = s b u ，z = l n 毒以及k 。= 鸯，我们可以得到 v ( s ，t ) = e 吲”) s n ( d 1 ) 一k e r ( “) ( d 2 ) 一e 吲“( 睾) 一嘉( 口) s b n ( d 3 ) l ) b + k e l 盯_ ( 妾) 1 。寺p 1 ) ( d a ) 一 e - q 口- ) s ( d s ) 一e - r ( t - t ) ( d 6 ) 一e - “”气刍) 啊) s b n ( d 7 ) + 灯“r 埘( 妾) l - 知刊n ( d s ) ( 2 2 1 ) 其中 d l = d 3 = d 5 = d 7 = i n 嘉+ p q + 譬) ( 丁一t ) n 厅【1 i n 要+ ( r q + t t ) o - 、压( 1 i n 西s + ( r g + 譬) ( t t ) ! ! 羔生二! 呈! 坚二堕 n 厢 d 2 = d 1 一口、z t d 4 = d 3 一a x t t d 6 = d 5 一口归一t d s = d 7 一口、t t 第二章单障碍期权定价第1 8 页 这里( z ) 称为标准正态分布n ( o ，1 ) 的累计分布函数由具有相同敲定价格， 到期日和红利率的标准欧式看涨期权的b l a c k - s c h o l e s 公式 3 0 1 ，式( 2 2 1 ) 可 简化为 ， ，) = w q s ，t ) 一( 云) 1 。寺p 1 w e 口u l d r 型，。) 一阵。r ( s 一一( 蚤) 1 _ 寺( r 劬屹州一譬，t ) ( z 2 z ) 其中吧。“。，( s ，t ) 和。，( 譬，t ) 为敲定价格k = s b 时标准欧式看涨期权的 定价公式此时，我们便得到欧式上升敲出看涨期权的b l a c k - s c h o l e s 公式，即 。一一即) ：w 。舭凇，) 一( 妾) 1 。孝( r ，) w 叫。，( 譬，t ) 一 吃础船一( 蚤广嘉p 刊吃础，( 譬，t ) ( 2 2 3 ) 结合式( 1 2 1 ) 和式( 2 2 3 ) ，我们又立即可以得到具有相同障碍值、敲定价格、 到期日以及红利率的欧式上升敲入看涨期权的定价公式 训。( s ，t ) - ( 如m ( 和+ 吃。r ( s ，t ) 一( 妾广孝( r - 口吃，一，( 譬，t ) ( 2 2 4 ) 同理，我们可以得到欧式下降敲出看涨期权和欧式下降敲入看涨期权的定价公 式 。一即) ：。椰) 一( 毒) l - 如刊山，f 堕s ，t ) ( 2 z 5 ) 讲“跗) = ( 嘉) 1 扣_ q ) w 咖( 譬，t ) ( 2 2 6 ) 为了得到看跌单障碍期权定价的表达式，我们不再采用无风险对冲原理进 行直接推导。而是建立如下关于看跌一看涨单障碍期权的平价公式记p ( s ，t ) 2 2b l a c k - s c h o l e s 公式和平价公式第1 9 页 为看跌期权的价格，c ( s ，t ) 为看涨期权的价格 定理2 1对于上升敲出期权存在看跌一看涨平价公式 a p d 一叫t ( s ，t ) + s e 一9 ( t 叫1 1 一n ( d 5 ) 】= c u p d 一曲( s ，t ) + k e 一7 口一【1 一n ( d 6 ) + ( 扩妒 争弘) 【1 - n ( d 7 ) 】_ k e - r ( t - t ) - ( d 8 ) 】) 证明令w ( s t )