（应用数学专业论文）一类不确定的随机微分系统的稳定性分析.pdf

) ，。 j 、! 、二- ，r g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：笠址导师签名：垒左窒丝 ” 日期：知年月7 日 k； q ，二 i 摘要 摘要 在现实中网络扮演着一个重要的角色，事实上它们主导着我们大部分的日常 生活，诸如能量传递、运输、协作、基因规则以及人工网络等等。因此，为了更 好的了解不同网络的动态行为，一个重要的理论基础就是调查网络的稳定性行为。 本文主要研究了带有变时滞的不确定的随机网络的鲁棒稳定性问题，取得如下研 究成果： 首先，本文讨论了一类连续型的带有混合时滞的不确定的随机神经网络的全 局鲁棒均方渐近稳定性问题，通过运用合适的不等式放缩方法以及构造合适的 l y a p u n o v 函数，深入的研究了随机神经网络的全局鲁棒均方渐近性行为，获得了 一些系统稳定性的判别准则。最后通过一个实例说明了结论的有效性。 其次，连续型神经网络已经取得了大量重要的结果，然而在实际执行和运用 中离散型式比其相应的连续形式更加重要。因此，在本文中讨论了离散型的不确 定的随机神经网络的稳定性问题，通过运用一些著名的不等式，一个线性矩阵不 等式的结论保证了神经网络的全局鲁棒均方指数稳定性，所获得的结论具有较小 的保守性。 最后，在离散网络系统中引入了分布时滞，通过运用l y a p u n o v 泛函结合自由 权矩阵方法以及反馈控制技术，获得了时滞依赖的充分条件保证了系统的全局鲁 棒均方渐近稳定性。 关键词：随机神经网络，线性矩阵不等式，时滞依赖准则，鲁棒渐近稳定，均方 指数稳定。 丫 补 3 q r ，_ a b s t r a c t n e t w o r k s1 , 1 a yo nav e r yi m p o r t a n tr o l ei no u rl i v e s i nt h ef a c t ，m o s to ft h et h i n g s t h a tc o n t r o lo u rl i v e s ，l i k ep o w e rt r a n s f o r m a t i o n , t r a n s p o r t a t i o n ，c o o p e r a t i o n , g e n e r e g u l a t o r ya n da r t i f i c i a ln e t w o r k s i no r d e rt o b e t t e ru n d e r s t a n dt h ed y n a m i c a lo f d i f f e r e n tk i n d so fn e t w o r k s ，a ni m p o r t a n tp r o b l e mi st os t u d yt h eb e h a v i o ro fs t a b i l i t yo f n e t w o r k s t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h er o b u s ts t a b i l i t yc r i t e r i af o rs t o c h a s t i cu n c e r t a i n n e t w o r k sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y sa n do u rc o n c l u s i o n sc a l lb ed e s c r i b e da sf o l l o w i n g ： a tf i r s t , w ed e a lw i t ht h ep r o b l e mo fg l o b a l l yr o b u s ta s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yi nt h e m e a ns q u a r ef o rac l a s so fu n c e r t a i nc o n t i n u o u s t i m es t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t h m i x e dd e l a y s b ye m p l o y i n gt h ei n e q u a l i t ym e t h o d sa n de s t a b l i s h i n gs o m es u i t a b l e l a y p u n o v f u n c t i o n a lw ea t t a i ns o m em u c hb e t t e rs t a b i l i t yc r i t e n a sa b o u ta d d r e s s e d s y s t e m s ，f i n a l l yo n e n u m e r i c a le x a m p l eh a sb e e ng i v e nt od e m o n s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s s o fo u rr e s u l t s s e c o n d l y , c o n t i n u o u s t i m em a n n e rn e u r a ln e t w o r k sh a v eb e e na t t a i n e dal o to f i m p o r t a n tc o n c l u s i o n s h o w e v e r , i ni m p l e m e n t i n ga n da p p l i c a t i o n so fn e u r a ln e t w o r k s ， w ed i s c o v e rt h a td i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k sa r em u c hm o r ei m p o r t a n tt h a nt h e i r c o n t i n u o u s t i m ec o u n t e r p a r t t h e r e f o r e ，i nt h i sp a p e rw es t u d yt h es t a b i l i t yp r o b l e mo f d i s c r e t e - t i m eu n c e r t a i ns t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k s b y u s i n gs o m ew e l l - k n o w i n e q u a l i t i e s ，al i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c hi sd e v e l o p e d t oe s t a b l i s h s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h en e u r a ln e t w o r k st ob eg l o b a l l y , r o b u s t l y , e x p o n e n t i a ls t a b l e f i n a l l y , w ei n t r o d u c et h et e r mo ft h ed i s t r i b u t e dt i m ed e l a y si n t h ed i s c r e t e - t i m e s y s t e m s b ye m p l o y i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lc o m b i n e dt h eg e n e r a l i z e df r e e w e i g h i n g m a t r i xm e t h o da n df e e d b a c kc o n t r o l t e c h n i q u e ，w e o b t a i ns e v e r a l d e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o n st h a te n s u r et h es y s t e m st ob e 酉o b a l l yr o b u s ta s y m p t o f i c a l s t a b i l i t vi nt h em e a ns q u a r e k e yw o r k s ：s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k s ，l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y , d e l a y - d e p e n d e n t c r i t e r i a ，r o b u s ta s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nt h em e a n s q u a r e h 0 ， f - 盯 毒 ， q 目录 目录 第一章绪论。一l 1 1引言1 1 2 随机系统的基本理论以及相关的稳定性的基本概念：2 1 3 当前随机稳定性研究的主要成果。5 1 4 稳定性研究的主要方法6 第二章连续型的不确定的随机神经网络的稳定性分析7 2 1 引言7 2 2 系统的描述与狄尼导数的概念：7 2 3 重要引理及记号的简单说明9 2 4 主要结果1 0 2 5 数值仿真13 2 6 结论1 4 第三章离散型的不确定的随机神经网络的稳定性分析1 5 3 1引言1 5 3 2 系统的描述及预备知识1 5 3 3 主要结果1 7 3 4 数值仿真2 4 3 5 结论2 6 第四章无穷时滞的离散随机系统的鲁棒稳定性分析2 7 4 1 引言2 7 4 2 系统的描述及预备知识2 7 4 3 主要结果2 9 4 3 1 鲁棒稳定性2 9 4 3 2 状态反馈控制稳定。3 6 4 4 数值仿真3 7 4 5 结论3 9 目录 第五章展望与总结4 0 一致谢4 l 参考文献4 2 攻硕期间取得的研究成果4 6 i v 第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 稳定性的概念已经有悠久的历史了，早在1 7 世纪就出现过托里斯利原理，即 物体仅受重力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反之是不稳定的。同时 稳定性概念也早被拉普拉斯、拉格朗日、马克斯威尔、汤姆逊和德特、庞加莱等 采用过，但都无精确的数学定义，直到1 8 9 2 年，俄国数学动力学家李雅普诺夫的 博士论文“运动稳定性的一般问题”才给出了运动稳定性严格、精确地数学定义 和一般方法，从而奠定了稳定性理论的基础。随着时代的进步，特别是工程运用 上的极大发展，稳定性的重要意思更是凸显无疑，小到一个具体的控制系统，大 到一个社会系统、金融系统、生态系统，总是在各种偶然的或持续的干扰下运行 的，承受这种干扰之后，能否保持预定的运行或工作状态，而不至于失控，摇摆 不定，至关重要。 稳定性的理论研究都是基于某些特殊模型为研究对象的，但是随着研究不断 地深入，对于仅仅只考虑确定性模型已经远远无法满足实际问题的解决了。众所 周知，确定性系统模型是对实际系统的简化，它具有许多优点。诸如，系统模型 相对简单，易于分析、综合等，研究起来所需要工具一比较简单。然而，随着科 学技术的飞速发展，要求对实际问题的描述越来越精确，时滞、参数的不确定性 以及随机因素对系统的影响日益受到人们的重视，于是对某些实际过程的分析也 就有必要从通常的确定性观点转到随机观点，从而对这些实际系统的描述，也就 自然地从确定性的微分方程转到随机微分方程。当前，随机微分方程已飞速，广 泛地渗透于自然科学，工程技术的很多领域中，例如分子物理学，原子物理学， 化学动力学，固态扩展，结构稳定性和群体遗传学等很多个方面。因此，随机系 统的稳定性理论的研究与应用已经越来越受到人们的重视，并且依托常微分方程 稳定性理论与随机过程理论的基础上，发展特别迅猛，鉴于其在工程上和实际应 用上的越来越广泛，所以随机系统的稳定性研究已经成为当前学术领域的热点问 题之一。 随机动力系统理论研究源于2 0 世纪初e i n s t o n 等定量描述布朗运动的努力， 1 9 4 0 年1 9 6 0 年之间，相继发展了随机噪声理论。1 9 5 1 年伊藤发表了著名了伊藤 电子科技大学硕士学位论文 型随机微分方程( s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 的论文n 1 ，其中对随机给出了严格 而又确切的描述。1 9 6 0 年，k o z i n 嘲按照随机变量所服从的分布、随机过程的记忆 特征、平稳性等把随机系统分为随机参数为高斯白噪音的随机系统与随机参数为 非高斯白噪音的随机系统两大类。对于前者，其数学模型是伊藤随机微分方程， 称为伊藤型随机系统，后者则称为非伊藤型随机系统。需要指出的是，伊藤型随 机系统模型在工程、经济和社会领域有着非常广泛的应用。例如，金融市场上的 投资具有较大的风险性，其风险表现在金融市场的随机变化，金融市场广泛的采 用伊藤型随机系统模型；在工程领域的许多问题中，有色噪音也常用含有白噪音 的伊藤型随机系统来描述，如工业上广泛应用的直流调速系统模型中的有色白噪 音就是用白噪音来描述的d 1 。此外，许多有色噪音系统可以为含有白噪音的系统。 正因如此对伊藤型随机系统的研究是具有代表性的，也是十分必要的。在此，我 们着重研究如下的伊藤型随机模型的稳定性： d x ( t ) = ( f ，x ( t ) ) d t + g ( t ，x ( t ) ) d c o ( t ) t t o x ( 岛) = ：c o ( 1 1 ) 由于随机系统的分类，以及所考虑的稳定性概念的不同，随机系统的稳定性也就 有许多种类不同的讨论方法，本文主要是运用线性矩阵不等式并且结合一些重要 的放缩手段和随机过程的理论、微分方程理论讨论几类均方值意义下的带有混合 时滞的参数不确定的伊藤型的随机微分系统的稳定性问题。 1 2 随机系统的基本理论以及相关的稳定性的基本概念 设( q ，f ，尸) 是具有自然滤波 f ) 舢的完备的概率空间，其中q 为样本空间，f 为事件域，尸是定义在f 上的概率测度。设彩( f ) = ( q ( f ) ，( f ) ，( f ) ) r( f o ) ， 是一个m 维的布朗( b r o w n ) 运动，定义在此概率空间上。记s ”是定义在概率空 间( n , f ，p ) 上的随机变量的集合，g y s ”上的均方范数为 = 瓜丽 z s ” 其中，e 表示数学期望。 设厂( f ) 是定义在概率空间( q ，f ，p ) 上并且取值于s 或s 雕”的随机过程，且 r l l 厂( f ) l 已疵 o o ，( o 口 6 ) ，那么，我们定义( f ) 在p ，6 】上的关于缈( f ) 的积分 2 ， 0 第一章绪论 为 。 r 巾) d 国( r ) = 1 鲁萎p 几- - ) 彩( + - ) 一彩( ) ( 1 - 2 ) 其中口= t o t t f = b 为x e f n - - a ，b 】的一个划分。a = m a x 缸，江o ，l ，n 一1 ) ， 缸= + 。一。我们把( 1 - 2 ) 式的积分称之为肠积分。 设r = 【o ，) ，设厂r r n , r “ ，g r r “，r “ 都是b o r e l 可测函数。 考虑肠型随机微分方程( 1 - 1 ) 式，设x , y r 4 ，t 0 定理1 1 1 2 1 如果以下条件( 1 3 ) 成立，则对任意的而r 4 ，系统( 1 1 ) 在均方意 义下存在唯一的解x ( f ，t o ，) 满足x ( ) = x o 。 叭r ，4 1 2 g ( 1 + 2 ) 0 9 ( r ，x ) 1 1 2 g ( 1 + i i x i l 2 ) ( 1 - 3 ) 帆f ，x ) - f ( t ，y ) i i - g i i x y l l 慨f ，x ) - g ( t ，y ) l l - 0 ，用砭( - - l ，o ) ，r ”) 表示所有z 可测c ( 卜f ，o ) ，r ”) 值的随机变量， 伊= 妒( s ) ：一f s o 且s u pe l 缈( j ) l p o ，h 0 ，使得 5 t ，t , 厂( f ，仍) 一厂( 厶冀) | + i g ( l 鲲_ g ( 厶经) i 工8 仍一仍8 ( 1 7 ) ( 皿) l 厂( f ，呼o ) l + l g ( t ，伊) l o ，存在万 0 ，当e l m 尸坑t _ t o 时，有 一e l l 石t ，t o ，x o ) 1 1 ， 0 ， 0 使得 e l l x ( t ，f o ，而) 旷- _ t o 当p = 2 时，称随机系统( 1 1 ) 为均方指数稳定。 1 3 当前随机稳定性研究的主要成果 由于随机微分系统的稳定性问题有着重要的理论意义和广泛的应用背景，对 其稳定性理论的研究与应用已经越来越多的受到了人们的重视，并且取得了大量 的研究成果。1 9 9 7 年，廖晓听，毛学荣研究了随机时滞h o p f i e l d 神经网络，得到 了解的均方指数稳定性；在文献e 4 2 中，s b l y t h e ，m a o x ，l i a o x 利用随机泛函微分 方程的r a z u m i k h i n 定理，b u r k h o l d e r - d a v i d s g u n d y 不等式以及b o r e l c a n t e l l i 引理 得到了平凡解的随机指数稳定性。在文献 5 中，z h o u q 通过利用非负半群的收敛 原理和t f i 公式，得出了随机时滞h n n s 的几乎必然指数稳定性和均方指数稳定 性，其构造的l y a p u n o v f u n c t i o n a l 相当简单，导出的结果以不等式给出，因此在数 值模拟过程中减少了计算量；最近，在文献 6 中，y a h l v 等又利用非负半群收敛 理论和m m a t r i x 原理讨论了随机r e a c t i o n d i f f u s i o nr n n s 的稳定性，得出了与时 滞大小和混沌影响无关的结果，但是着重强调了噪音波动对系统稳定性的影响； 在文献 7 中，作者利用l y a p u n o v 稳定性理论，通过构造恰当的 l y a p u n o v k r a s o v k s i if u n c t i o n ，分析了一类带有混合时滞的随机c o h e n g r o s s b e r g 神 经网系统的全局渐近稳定，其结果与啼1 不同，它以当前流行的线性矩阵不等式 ( l m i ) 给出，其结果与系统的放大函数a ，( x ) 无关，而在文献e s 中，则要求a ，( x ) 必须有界，因此文献 7 提升了文献 8 的结果，故相对于文献 8 而言其结果减少 了系统的保守性；在文献 9 中，y o n g h u i s u n 和j i n d e c a o 讨论了随机r n n s 系统 的p 阶指数稳定性，此结果的导出运用了一些重要的不等式，如c p 不等式， 5 电子科技大学硕士学位论文 b u r k h o l d e r - d a v i d s g u n d y 不等式。和以前的方法做比较，它避免了构造l y a p u n o v 函数的困难，并且指数稳定的准则很容易在工程上加以验证，缺陷就是得出结果 的条件强于我们常用的线性矩阵不等式( l m i ) 方法。 然而，大量随机系统的研究都集中在连续系统，离散形式的随机微分系统的 研究成果并不是很多。而在实际运用中，系统的仿真、试验、计算都是鉴于其离 散形式，因此研究离散系统的稳定性更加具有现实意义。在文献 1 0 中，y u r o n g l i u 等通过运用l y a p u n o v f u n c t i o n 和一些著名的不等式研究了参数不确定的离散型的 随机神经网络的鲁棒稳定性，并导出了全局鲁棒均方指数稳定性结果；在文献 1 1 中，y i j u n z h a n g 等讨论了带有变时滞的离散随机神经网络的鲁棒稳定性分析，并 且第一次针对时滞引入其概率分布，将原系统转化为带有时滞概率分布函数的t f i 型的离散随机神经网络系统，并且讨论了系统的全局鲁棒均方指数稳定性，显然 提升了文献 1 0 的结果。本文我们将结合这些已有的研究成果，讨论一些具体的 随机微分模型的稳定性问题，特别是对神经网络系统进行着重的研究。 1 4 稳定性研究的主要方法 我们在研究系统稳定性过程中，常常需要使用的最一般的方法是l y a p u n o v 直 接法，这个方法是在l y a p u n o v 的博士论文“运动稳定性的一般问题 中首次提出 的，也称为l y a p u n o v 函数法。其特点是只需知道解的存在，而无需求出系统的解 的条件下来分析系统的稳定性，而且它把解的稳定性与否同具有特殊性质的函数 ( 通常称为l y a p u n o v 函数) 存在性联系起来。正是由于这个方法的明显的几何直 观和简明的分析技巧，所以易于为实际和理论工作者所掌握，从而在科学技术的 许多领域中得到广泛地应用和发展，并奠定了常微分方程稳定性理论的基础。 l y a p u n o v 直接法已发展成为不仅是用来解决稳定性问题的基本方法，而且亦是研 究常微分方程定性理论的重要手段。 6 第二章连续型的不确定的随机神经网络的稳定性分析 第二章连续型的不确定的随机神经网络的稳定性分析 2 1引言 近些年由于神经网络系统在模式识别、影像处理以及组合优化等诸多领域的 广泛应用，越来越多的引起了大量科学研究者的兴趣。同时在研究实际问题中， 大家发现时滞、外界的随机扰动以及系统参数的不确定性都是可能引起系统稳定 与否的重要因素，所以对参数不确定的随机神经网络的稳定性分析问题就显得格 外的重要和具有实际意义。随后，人们开始对此问题给予了充分的重视，有很多 文章问世n 0 娩1 3 1 4 。1 5 1 ，其中在文献 1 2 中，作者讨论了带有离散和无界分布时滞的 递归神经网络的全局渐近稳定性问题，但是文中考虑的是确定性系统，所以出去 实际问题的考虑，本章将进一步通过运用l y a p u n o v 泛函、线性矩阵不等式以及随 机分析的知识继续讨论全局、鲁棒渐近稳定性问题，并且通过建立合适的l y a p u n o v 函数，大大降低了系统的保守性，我们通过一个实际的例子加以说明我们结果的 优越性。 2 2 系统的描述与狄尼导数的概念 本章我们将讨论如f 的带有混合时滞的递归( r e c u r r e n t ) 随机神经网络系统 工( ，) = f 一血( r ) + 矽( 工( r ) ) + c g ( z ( r f ( r ) ) ) + d l k ( r j ) 厂( z ( s ) ) 出 出 + 万( f ，x ( t ，) ，xt - f ( f ) ) ) d 缈( f ) ( 2 一l 其中工( f ) r ”是状态向量，f ( f ) 表示变时滞并且满足 0 f ( f ) ff 7 ( f ) r o 表示正定衰退率，矩阵b ，c 和 7 电子科技大学硕士学位论文 d 表示链接强度，厂( z ( f ) ) = ( 石( 五( f ) ) ，五( 屯( f ) ) ，z ( ( f ) ) ) 2 ， + g 卜( f ) ) = ( 蜀“( f ) ) ，k ( f ) ) ，晶( 吒( f ) ) ) 2 是神经元激活函数，并且满足下面三 个条件： ( 互) ：i z ( s ，) 一z ( 屯) l 厶l s i - s 2 1 ： 屯r l ( 屯) 一( 屯) j r i 岛- s 2 l & 屯r ( 互) ：对每个- ，= l ，2 ，刀，乃，g j 是有界函数 亿) ：乃( o ) = g ( o ) = o 所以我们很容易从上面的条件得出，对每个乃( ) 和毋( ) 满足 ( o ) 弓巧2g ；( s ，) 碍巧2 对任意0e r 艿：r xr “xr ”r “是连续函数有万( o ，0 ，0 ) = o ，并且我们假定下式成立 i t a c e 万rt ，石( r ) ，z ( ，一f ( ，) ) ) 彤( 船( 棋z ( 卜f ( z ) ) ) ，( f ) 岛石( f ) + ，( t - r ( t ) ) d , x ( t - r ( t ) ) ( 2 4 ) 其中d o = d 0 7 0q = d i r 0 。 我们在使用l y a p u n o v 直接法研究系统稳定性的时候，需要对l y a p u n o v 函数 沿着系统的轨迹求导数，为了让不可导的l y a p u n o v 函数也能证明稳定性的定理， 我们必须要放宽l y a p u n o v 函数可导的要求，因此我们引进狄尼( d i n i ) 导数，这 样使得证法往往会变的更简单。 i 发f ( t ) ec i ，r 】，i = t o ，+ o 。) ，v t i ，下面四个导数 d + 巾) 2 甄去( 巾+ 1 1 ) 一巾) ) ； d + 巾) _ l i m h ( f ( f + 办) 一巾) ) ； d 一厂( f ) 2 h 而+ 0 - 1 ( 厂( f + ) 一厂( f ) ) ； n 巾) - l i m h ( f ( f + ) 一巾) ) 。 分别称为f ( t ) 在点t 的右上导数、右下导数、左上导数、左下导数，它们统称为狄 尼导数。狄尼导数有可能为栩，但若不出现这种情况，狄尼导数恒存在，特别地， 第二章连续型的不确定的随机神经网络的稳定性分析 当厂( f ) 是满足局部李普希兹( l i p s c h i t z ) 条件时，四个狄尼导数均有限。显然( f ) 的导数存在当且仅当四个导数相等。 一 2 3 重要引理及记号的简单说明 在证明我们的结论之前，为了方便起见我们有必要简单的介绍一些十分有用 。 的结论。 引理2 1 ( s c h u r c o m p l e m e n t 引理) 假定常值对称矩阵l ，2 ，3 ，且l = ； o ， o z 2 = ：，则l + ；1 3 o ，则有下面 的不等式成立 r 暖+ 呀彤r 彤r q + r - 1 呀q 一 引理2 3 矩阵a ，d ，e 是具有合适维数的任意实矩阵，矩阵f ( f ) 满足 ，( f ) 2f ( t ) i ，这时我们有如下结果成立： ( i ) 对任意s o ，d f ( t ) n + d r f ( 0 7 n r 占- 1 d d r + e n r n ； ( i i ) 对任意矩阵p o 和向量占 o ，若有s ，一e p e r o ，这时我们有 ( a + d f ( t ) e ) p ( a + d f ( t ) e ) r y ) 表示矩阵x 和y 是对称矩阵且x 一】，是半正定矩阵( 相应的正定矩阵) ，1 1 | i 表示欧 氏范数，是具有合适维数的单位矩阵，k ( 么) 和九；。( 彳) 分别表示矩阵么的最大 和最小特征值，e f 表示数学期望运算符号，同时矩阵中的术号，表示省略掉的矩 阵对称部分，对于矩阵如果没有明确说明，我们都假设其具有合适的维数。 2 4 主要结果 定理2 5 假定互，五，互以及( 2 - 4 ) 式成立，则系统( 2 1 ) 是全局均方渐近稳 定的，如果存在正定矩阵尸，以及三个正定对角矩阵m 。，鸠，m ，满足下面的线性矩 阵不等式 l 馏p cp d 甲：l i 专_ ( 1 二m 。0 l 木誊 、木。 出 or = 讲口g ( r ，r ，民) o 1 0 ( 2 5 ) 第二章连续型的不确定的随机神经网络的稳定性分析 让： 我们建立如卜正足的l y a p u n o v 幽效采导出我们的槔疋性结果 ” 矿o ( f ) ，f ) = x r ( t ) p x ( t ) + 币) g r ( 工( s ) ) m ：g ( x ( s ) ) 出+ f - 嘶) ，( j ) q x ( j ) 凼 + 善n 鸭，j c o 勺( f ) f 彳( 勺( ，) ) 删f 对上式两边作用微分算子 l v ( z ( f ) ，f ) 2 x t ( f ) 尸( - 出( f ) + 矽( z ( f ) ) + q ( x ( f f ( r ) ) ) + d l 尼( 卜s ) 厂( 石( j ) ) 凼) + ，( r ) d o x ( f ) + ，( f f ( f ) ) d l 工o 一丁( f ) ) + g r ( 工( r ) ) m ：g ( 石( f ) ) - ( 1 - ) g rx ( t - - f ( t ) ) ) m l g ( x ( t - f ( f ) ) ) + ，( t ) d i x ( t ) 一，( 卜f ( r ) ) q z ( 卜f ( r ) ) + 厂r ( x ( r ) ) 鸠厂( z ( r ) ) 一( l 尼( ) ( z ( s ) ) 凼) m 3 ( l 后( ) 厂( z ( j ) ) 凼) ( 2 - 7 ) 由引理2 2 和条件互，我们可得： f t ( x ( f ) ) 召r 臌( f ) + x r ( f ) 聊( x ( f ) ) x r ( o l m ，l x ( t ) + x r ( t ) p b m ；m bp x ( t ) ( 2 8 ) g rx ( t - - f ( f ) ) ) c r a ( f ) + ，( f ) 尸国( xt - f ( f ) ) ) ( 1 一 d g r ( x ( 卜f ( f ) ) ) 必：g ( 工( f f ( f ) ) ) + 肜r ( t ) p c m ；一c 取( f ) ( 2 - 9 ) ( l 尼( ) 厂( x ( s ) ) 出) 2d 7 p x ( t ) ( r ) e d ( l 后( h ) ( x ( s ) ) 凼) ( l 尼( ，一s ) ( x ( s ) ) 出) 坞( l 寥( r s ) ( x ( 5 ) ) 出) + ，( r ) p d m ；1 d r p x ( r ) ( 2 1 0 ) 把( 2 8 ) 、( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 带入( 2 7 ) ，我们很容易得出 三y ( z ( f ) ，f ) x r ( f ) g x ( f ) 其中 g = 一p a 一管p + l m | l + p b m 1 b tp + p p c m ；1 c tp + p d m _ 、d pp + d q + r m 2 r + p d , + l m3 l 通过运用s c h u rc o m p l e m e n t 引理，由( 2 5 ) 我们知道上述矩阵式负定，且有 1 l 电子科技大学硕士学位论文 y ( z ( f ) ，f ) 一k 。( g ) 愀哪 此时对其两边取数学期望，很显然我们有 三e y ( x ( f ) ，f ) s 一丸痂( g ) e 0 石( f ) 1 1 2 ( 2 1 1 ) 这时由文献 1 2 和 1 6 3 ，( 2 一i i ) 暗示了系统：( 2 一1 ) 是全局均方渐近稳定的，定理 证毕。 由于参数不确定项鲋( f ) ，衄( f ) ，c ( f ) 和d ( f ) 没有被包含进系统( 2 - 1 ) ，所 以定理2 5 不能确定系统的全局鲁棒均方渐近稳定性。下面我们的工作就是要建 立足够的条件以确保系统的全局鲁棒均方渐近稳定性。 在证明之前，我们首先记 a ( t ) = a + z u t ( t ) 召( f ) = b + 衄( f ) c ( f ) = c + c ( f ) d ( t ) = d + a d ( t ) 鲋( f ) ，衄( f ) ，a c ( 0 ，衄( f ) = 胛( f ) 【l ，2 ，3 ，4 】 ( 2 1 2 ) 其中h ，m ( j = l ，2 ，3 ，4 ) 是具有合适维数的实常数矩阵并且f ( f ) 是不确定矩阵，满 足 f r ( f ) f ( f ) ， ( 2 1 3 ) 上述的两个式子( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 是在处理不确定项时经常用到的转化，它们已 经广泛的运用到鲁棒控制以及不确定系统的滤波设计当中，运用这样的处理方法 同时结合引理2 3 我们就能将不确定项巧妙地转化为容易处理的已知项，这样就 使得证明更加方便了。