（应用数学专业论文）旗传递5（vk1）设计.pdf

摘要 群论和组合设计理论互相影响，互有贡献设计的自同构群的研究 可以帮助我们发现新的设计，同时，设计的自同构群又可以帮助我们 更清楚地了解某些群的结构。在群论和设计理论的研究中，利用有限 单群的分类定理，分类设计，已成为当今代数学，与组合设计的前沿 课题，其中尤其对分类旗一传递斯坦诺t 一设计的研究，已取得相当的 成果 本论文借鉴分类旗一传递斯坦诺4 一设计的方法，来研究有关斯坦 诺5 一设计的自同构群是旗一传递的情形 本论文由四章组成，第一，二章介绍了群论与设计理论的研究历 史与现状，及一些相关知识第三四章，简要介绍了一些几乎单群的 性质并证明了一些重要引理，随后分别研究了仿射型群，和一些几乎 单群旗一传递作用于斯坦诺5 一设计上的情形，并得到三个主要定理即： 主要定理l 设d = ( x ，t 1 , i ) 是非平凡的斯坦诺5 一设计，d 的自 圊构群g 旗一传递地作用在d 上，则g 不同构仿射型群， 主要定理2 设d ：( 置甄d 是非平凡的斯坦诺5 一设计，d 的 自同构群g 旗一传递地作用在d 上若g 是几乎单群，则 s o c ( 6 3 不同构于下列群： ( 王 。n = s z ( q ) ，v = q 2 l ，q 拳2 2 硝 2 ； ( 2 ) n 嚣r e ( q ) ，v = q 3 + l ，q = 3 2 什1 3 ； ( 3 ) n 篇p s u ( 3 ，q 2 ) ，v = q 3 + l ，q 2 ； ( 4 ) n = s p ( 2 a , 2 ) ，蠢3 ，y = 2 u - l _ + 2 a - l ； 主要定理3 设d = ( x ，b ，d 是非平凡的斯坦诺5 一设计，d 的自同 构群g 旗一传递地作用在d 上若g 是几乎单群，则， i ) s o c ( g ) 不同构于下列单群： ( 羔) n = p s l ( 2 ，1 1 ) v = l l ； ( 2 ) n ：p s l ( 2 ，8 ) 1 ，器2 8 ( n 不是2 一传递的) ； ( 3 ) n - - m , ，v = l l ，2 2 ，2 3 ； ( 4 ) ；m l ，v = 1 2 ； ( 5 ) 。= 簋，v = 1 5 ； ( 6 ) h s ，v = 1 7 6 ； ( 7 ) c 0 3 ，v = 2 7 6 ； ( 8 ) n ：4 ，v 5 i i ) 若= m ：，v = 1 2 ，则d 是一个斯坦诺5 一( 1 2 ，6 ，1 ) 设计，且 g m 2 i i i ) 若= 心，v = 2 4 ，则d 是一个斯坦诺5 一( 2 4 ，8 ，1 ) 设计，且 g 心 关键词仿射型群，几乎单群，斯坦诺t 一设计，旗一传递 自同构群 a b s t r a c t g r o u p - t h e o r ya n dd e s i g n - t h e o r ya f f e c te a c ho t h e r t a k i n gu s eo f t h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so fd e s i g n sc a l lh e l pu st of i n ds o m en e w d e s i g n s c o n v e r s e l y ，s t u d y i n g t h ea u t o m o r p h i s mg r o u p so fad e s i g n c a nm a k eu su n d e r s t a n dc l e a r l yt h es t r u c t u r eo fs o m eg r o u p s i nt h e r e s e a r c ha b o u tt h eg r o u p - t h e o r ya n dd e s i g n - t h e o r y ，t h ew o r kt h a tt h e c o n s e q u e n c eo ft h ec l a s s i f i c a t i o no ff i n i t es i m p l eg r o u p si su s e dt o s o l v ed e s i g np r o b l e mh a sb e c o m eah o tt o p i c e s p e c i a l l y ，t h e c l a s s i f i c a t i o no ff l a g - t r a n s i t i v es t e i n e r4 - d e s i g nh a sb e e ng o t t e n t h eo b j e c to ft h ep r e s e n tp a p e ri st or e s e a r c hf l a g - t r a n s i t i v e s t e i n e r5 - d e s i g nu s i n gt h ew a yc l a s s i f y i n gf l a g - t r a n s i t i v es t e i n e r 4 一d e s i g n 一 t h i sp a p e rc o n s i s t e so ff o u rc h a p t e r s ，i nc h a p t e r1a n dc h a p t e r2 w eg i v es o m ei n t r o d u c t i o na b o u tt h eh i s t o r ya n dc u r r e n tr e s e a r c h s i t u a t i o no ft h eg r o u p - t h e o r ya n dd e s i g n t h e o r y , a n dt h e nw ei n t r o d u c e t h ee l e m e n t a r yc o n c e p t sa b o u tt h e m a l lo ft h e mf o r mt h eb a s i c k n o w l e d g es y s t e mo ft h i sp a p e r i nc h a p t e r3a n dc h a p t e r4 ，w e s i m p l yi n t r o d u c es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs o m ea l m o s ts i m p l et y p e g r o u p sa n dp r o v es o m ei m p o r t a n tl e m m e s ，a tl a s t ，p r o v et h et h r e e m a i nt h e o r e mr e s p e c t i v e l y m a i nt h e o r e m1l e td = ：x ，墨db ean o n - t r i v i a ls t e i n e r i s5 - d e s i g n , a n dgb eaf l a g - t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u po f d ， t h e ngi sn o ti s o m o r p h i ct oa f f i n et y p e m a i mt h e o r e m2l e td = 堪，b ，bb ean o n - t r i v i a ls t e i n e r 5 - d e s i g n ，a n dgb eaf l a g - t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u pd ，i fg i sa l m o s ts i m p l et y p e ，t h e ns o c ( g ) i s n ti s o m o r p h i ct ot h e f o l l o w i n gg r o u p s 1 ) 嚣s z ( q ) ，v = q 2 + l ，q 絮2 2 硝 2 ； ( 2 ) 。n = r e ( 窖) v = q 3 + l ，q 拳3 2 “1 3 ； ( 3 ) n = p s u ( 3 ，q 2 ) v = q 3 + l ，霉 2 ； ( 4 ) n = s p ( 2 d ，2 ) ，d 3 ，v = 2 2 d 一2 叠。； m a i mt h e o r e m3l e td = ( x ，b ，db ean o n - t r i v i a ls t e i n e r 5 - d e s i g n ，a n dgb eaf l a g - t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u po f d ，i fg i sa l m o s ts i m p l et y p e ，t h e n i ) s o c ( g ) i sn o ti s o m o r p h i ct o ( 1 ) n = p s l ( 2 ，1 1 ) 1 ，= 1 1 ； ( 2 ) n = p s l ( 2 ，8 ) ，= 2 8 ( ni sn o t2 - t r a n s i t i v e ) ； ( 3 ) n = 帆，v - - 1 1 ，2 2 ，2 3 ； ( 4 ) n = m l ，v = 1 2 ； ( 5 ) n = 鸣，v = 1 5 ； ( 6 ) h s ，1 ，= 1 7 6 ； ( 7 ) c 0 3 ，1 ，= 2 7 6 ； ( 8 ) n = 4 ，1 ，5 i i ) i fn = m 2 ，1 ，= 1 2 ，t h e nd i sas t e i n e r5 - ( 1 2 ，6 , 1 ) d e s i g na n d g m 2 i i i ) i f = 心，v = 2 4 ，t h e n d i sas t e i n e r5 - ( 2 4 ，8 ，1 ) d e s i g na n d g m 2 4 一 一 k e yw o r d s a f f i n et y p eg r o u p ，a l m o s ts i m p l et y p eg r o u p ，s t e i n e r 5 - d e s i g n ，f l a g - t r a n s i t i v ea u t o m o r p h i s mg r o u p 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果论文主要是自己的研究所得，除了已注明的 地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得中南大学或其它单位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作 的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明 作者签名：霍丞纽 日期：竺! 年! !月二堑日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文对以上规 定中任何一项，本人表示同意，并愿意提供使用 作者签名：盈互缸导师签 硕士学位论文第一章绪论 1 1 群与设计的研究历史 第一章绪论 组合设计的主要研究对象是各种关联结构，它既有很强的理论性，又有广泛 应用价值组合设计的理论和方法在数理统计，运筹学，信息论和计算机科学中 都有重要应用关于设计的系统研究也许开始于1 7 8 2 年e u l e r 时代( 1 ) 到十 九世纪，p l u c k w e r ( 2 ，3 ) ，研究了一类具有3 长区的2 一设计，它们与一个平 面上的三次曲线有关1 0 0 l h o u s ( 4 ) 和k i r k 瑚n ( 5 ，6 ) 对同样的设计进行过研 究s t e i n e r ( 7 ) 也研究了这些设计及一些t 一设计( 现在称之为s t e i n e r 系) t 一 设计是一类十分重要的组合设计t 3 时的t 一设计理论的研究远非完善，6 时， 至今还未找到s ( t ，屯v ) 存在的例子，参见1 8 3 群论是现代代数中最基本和最重概念之一，它在数学本身以及现代科学技术 的很多方面都有广泛的应用在群论的重多分支中，有限群无论从理论本身还是 从实际应用来说都占据着更为突出的地位最近2 0 多年来，经过很多数学家的努 力，在有限群论方面，终于在1 9 8 1 年解决了著名的有限单群分类问题从此有限 群的面貌发生了很大的变化，抽象群和置换群的一些重大问题获得了解决 群论与设计理论相互影响，互有促进，用群论的现有成果和方法去研究组合结 构，为组合数学注入了新的活力，也成为现代群论界的一个新趋势九十年代初， 三位群论家和三位组合学家( 参见 9 ， 1 0 ， 1 1 ， 1 2 ， 1 3 ) 合作完成的 旗一传递2 - 设计的分类定理( 1 4 ) 可以作为这方面的突出表现同时，在此过程 中提出的问题成为了群论研究的新挑战目前国际上对旗一传递斯坦诺一设计的研 究是前沿课题 1 2 旗卡递斯坦诺t 一设计的研究现状 一个t 一( v ，七，名) 设计d = ( x ，b ，d 是由v 个点的集合x 和它的一些七一元子集 ( 称为区) 组成的集合口，且满足对于x 的任意，一子集，恰好有名个区包含 它d 的自同构群g 是s y m ( x ) 的这样的子群，对任意的g g ，b b 有b s b 一个，一化七，名) 当五= 1 时，称为斯坦诺f _ 设计( 或斯坦诺系) 特别的，t 2 。 ( 4 ) n = s z ( q ) ，v = q 2 + l ，g = 2 2 。+ 1 2 。 ( 5 ) n = r e ( q ) ，v = q 3 + l ，g = 3 2 。+ 1 3 。 ( 6 ) = s p ( 2 d ，2 ) ，d 3 ，v = 2 2 纠2 ： ( 7 ) n = p s l ( 2 ，1 1 ) ，1 ，= 1 1 ； ( 8 ) n = p s l ( 2 ，8 ) ，= 2 8 ，( n 不是2 一传递) 。 ( 9 ) n = m ，y = 1 l ，1 2 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ； ( 1 0 ) n = m t l ，v = 1 2 ； ( 1 1 ) n = 4 ， ，= 1 5 ； ( 1 2 ) h s ，1 ，= 1 7 6 ； 2 ( s u z u k i 群) ( r e e 群) ( m a t h i e u 群) ( h ig r o a n - s i m s ( h s ) 群) 硕士学位论文第一章绪论 ( 1 3 ) c o ， ：! = 2 7 6 ；( 最小的c o n w a y 群) 所列的群的基本性质，可以参看文献( 1 7 ， 1 8 ， 1 9 ， 2 0 ， 2 1 ) 定理1 2 1 3 设d = ( x ，b ) 是2 一( v ，k ，1 ) 设计，g 是它的2 一传递的自同构群 ( 在点集j 上) ，则下列之一成立： ( 1 ) d = p g ( d ，g ) ，即g f ( q ) 上的d - 维射影空间，d 2 且 e s l ( d ，q ) g s p f l ( d ，g ) 或者( d ，留) = ( 3 , 2 ) 且g = 4 ； ( 2 ) d = a g ( d ，g ) ，即g f ( q ) 上仿射空间，d 2 且g 是a f l ( d ，g ) 的2 一传递子 群： ( 3 ) d 是h e r m i t i a nu n i t a l ，它是这样的一个设计，点和区分别是g f ( q ) h 的 3 一维空间的9 3 + 1 个迷向卜维空间和非奇异2 一维空间，且 e s u ( 3 ，g ) g p r u ( 3 ，g ) ； ( 4 ) d 是r e eu n i t a l ，r e e ( q ) = 2 g 2 ( g ) g a u t ( r e e ( q ) ) ，这里 一留= 3 2 “3 ，q 是一个9 3 + 1 个点的集合，b 是g 中的对合的稳定点的集合： ( 5 ) d 是加力一d e s a r g u e s i o n 仿射平面，且k = 2 7 ( h e r e i n g 平面) 或 七= 9 ( n e a r f i e l d 平面) ( 2 2 ， 2 3 ) ( 6 ) d 是设计2 一( 3 6 ，3 2 ，1 ) 设计( 2 4 ) ，g = z ；s l ( 2 ，1 3 ) 1 2 2 旗一传递设计 定义1 2 2 1d = ( x ，鼠d 的一个旗是指一个对( x ，b ) ，这里工x ，b b ，且， “b ) l 设计d 称为旗一传递，如果它的自同构群在d 的旗集合上是传递的 设x x ，be b ，且g 旗一传递，则q 在包含工的区的集合上传递，g r 在b 上 点传递若| 3 ，则过一点x 的区以及不等于x 的点构成一个设计，从而由b l o c k 定 理知道一个点的稳定子群在其点上传递，故g 在点集x 上2 一传递参见 2 5 定理1 2 2 ：1 设d = ( x ，e d 是一个2 一o ，k ，1 ) 设计，它的自同构群是旗一传递 则下列之一成立： ( 1 ) d 是定理1 2 1 3 中之一 ( 2 ) d 是w i t t - b o s e - s h r i k a n d e 空间，即p s l ( 2 ，g ) g 5 p f l ( 2 ，留) ，这里 q = 矿8 x 是一个q ( q - 1 ) 2 个点的集合，丑是p s l ( 2 ，q ) 中对合的稳定点的集 厶 口 ( 3 )d 是n o n d e s a r g u e s i o n l u n e b u r g 仿射平面( 2 6 ) ，它的阶是k = 2 2 “： ( 4 ) ，是一个素数方幂，g a r l ( 1 ，力 定理1 2 2 2 蛔伽设d = ( x ，b ，i ) 是非平凡斯坦诺3 一设计，则d 的自同构 群g 旗一传递地作用在d 上当且仅当下列情形之一成立：， ( 1 ) d 同构与仿射平面a g ( d ，2 ) 上的3 一( 2 d ，4 ，1 ) 设计，且下列之一成立： ( 1 ) g 兰a g z ( d ，2 ) ，d 3 3 硕士学位论文第一章绪论 ( 2 ) g 兰a g l ( 1 ，8 ) 或g 兰盯0 ，8 ) ，d = 3 ( 3 ) g o 兰i t , ，d = 4 ( 4 ) g 兰a f l ( 1 ，3 2 ) ，d = 5 ( 2 ) d 同构于3 - ( q + 1 ，q + l ，1 ) 的设计，此设计的点是射影直线g f ( q ) u o o 的元素，而区是g f ( q ) u ) 分别在p g l ( 2 , q 。) 及p s l ( 2 , q 。) 0 为奇数) 下的 象，这里g 为素数方幂，且g s 3e 2 并且其诱导设计同构于2 一( g ，g ，1 ) 设计，此 诱导设计的点与区是仿射平面a g ( e ，g ) 上的点和线，且 p s l ( 2 ，q 。) gsp f l ( 2 ，q ) ( 3 ) d 同构于一个3 - ( q + l ，4 1 ) 设计，此设计的元素，其区是 0 ，1 ，占，咄在 p s l ( 2 ，g ) 下的象这里g 是g f ( q ) 上单位的第六本原根，且其诱导设计同构于 n e t t o 三系统n ( q ) ，且p s l ( 2 ，q ) g 勉( 2 ，g ) ( 4 ) d 同构于w i t t3 - ( 2 2 ，6 ，1 ) 设计，且g 心 定理i 2 2 3 嘲设d = ( x ，b ，d 是非平凡斯坦诺4 一设计，则d 的自同构群 g 旗一传递地作用在d 上当且仅当下列情形之一成立： 1 ) d 同构于w i t t4 - ( 1 1 ，5 ，1 ) 设计，并且g 兰m l ， 2 ) d 同构于w i t t4 一( 2 3 ，7 ，1 ) 设计，并且g 兰鸩3 关于w i t t t 一似七，1 ) 设计和与它相关联的阶为，的m a t h i e u 群m ，的详细介绍，可 参考 2 9 1 3 本文的主要工作 本文在分类2 一传递置换群的基础上，讨论了旗一传递斯坦诺5 一设计的分类情 况并且得到三个主要定理和下列两个设计： i ) 若= m 2 ，v = 1 2 ，则d 是一个斯坦诺5 - ( 1 2 ，6 ，1 ) 设计，且g m 2 i i ) 若 r = 蚝，v = 2 4 ，则d 是一个斯坦诺5 一( 2 4 ，8 ，1 ) 设计，且g 蚝 4 硕士学位论文第二章基本知识 第二章基本知识 在本章中，我们简单地介绍一下与本论文有关的群论和组合设计的基本概 念和基本知识 2 1 群论的基本知识 2 1 1 有限群的基本知识 定义2 1 1 1 群g 的子群m 称为极大子群，如果mcg ，且如果有g 的 子群丁满足m r 冬g ，那么总有t = m 或者t = g 定义2 1 1 2 群g 的子群日称为g 的正规子群，如果对于任意的石g ， 都有x - 1 h x h ，记为h 司g 定理2 1 1 1 ( 第一同构定理) 设nqg ，mqg ，且n m ，则 m i n 司6 1 n ，且有( ( g 忉i ( m 忉) 兰6 m 定理2 1 1 2 ( 第二同构定理) 设h g ，k 司g ，则( 日nk ) qh ，且有 h k i k 兰i i ( t - i n k ) 定义2 1 1 3 群g 称为其子群日，k 的直积，如果下面的条件满足： ( 1 ) h 司g ，kqg ； ( 2 ) g = h k ： ( 3 ) 日n k = 1 此时记为g = h xk 定义2 1 1 4 设g 为群，口，g g ，规定：a 暑= g a g ，称a 譬为a 在g 的共 轭变形称g 中元a b ( 或子集日，k ) 在g 中共轭，若存在元g g ，使得 a s = b ( 日g = k ) 共轭关系是等价关系于是群g 的所有元素依共轭关系可划分为若干等价 类，称之为共轭类 定义2 1 1 5g 为群，日是g 的子集，g g 若日g = h ，则称元素g 正规化日，而称g 中所有正规化日的元素的集合 g ( 日) = 塘g 旧g = 日 为何在g 中的正规化子 又若元素g 满足对所有h h 恒有h g = h ，则称g 元素中心化日，而称g 中 所有中心化日的元素的集合 c g ( ) = g g l h g = j i i ，v h i x 5 硕士学位论文第二章基本知识 为日在g 中的中心化子 规定z ( g ) = c g ( g ) ，称之为群g 的中心 定义2 1 1 6g 中元口所属的共轭类c 的长度l c l ：i g ：c g 缸) i 因此，i c i 是 l g l 的因子类似的，子群( 子集) h 的共轭子群( 子集) 的个数为i g ：g ( h ) i 也是蚓 的因子 定义2 1 1 7 设，f 为两个抽象群，口：f 啼a u t ( 聊是同态映射，则和 f 关于口的半直积g = n ：f 规定为 g = n f = ( 口，x ) l a n , x f ， 运算为 ( 口，x ) ( 6 ，) ，) = ( a b 叭砷，x y ) 和f 关于口的半直积g = n ：f ，即被f 的可裂扩张 定义2 1 1 8 如果群g 1 的正规子群只有g 和l ，则称g 是单群 1 9 8 1 年有限单群的分类已经完全解决，这些单群分成四大类：素数阶群； 交错群彳。o 5 ) ；李型单群和2 6 个散在单群其中李秩为1 的李型单群是 s u z u k i 群s z ( q ) ，r e e 群r ( g ) 和p s l ( 2 ，g ) ( q 3 ) 定义2 1 1 9 设g 为有限群，群g 的基柱( s o c l e ) 是指g 的所有极小正规子 群的积，记为s o c ( g ) 有限群g 称为几乎单群，如果存在非交换单群使得 t = s o c ( g ) qg a u t ( t ) 定义2 1 1 1 0g 是一个有限群，它的阶等于p ”( p 是素数) ，则称g 是一个 p 一群我们知道g 的中心不等于单位 定义2 1 1 1 1p 是素数，z 。是p 阶循环群刀是一正整数，称 g = z p z p z p 为p ”阶初等交换p 群，它同构于g f ( 力j 三的刀一维向量空间的加法群 定义2 1 1 1 2 设，为一域，y = ( f ，刀) 是f 上的r t 维向量空间y 的全体可 逆线性变换对于线性变换的乘积构成一个群g l ( n ，n ，叫做矿上一般线性群取 定y 的一组基m ，吃，则任意线性变换g g l ( n ，) 惟一对应的一个拧级可逆方 阵彳从而也可将g l ( n ，f ) 视为f 上全体非奇异n x 刀矩阵乘法构成的群，考虑 g l ( n ，d 到乘法群，的映射ghd e t ( g ) ，这是一个满同态，记同态核为： s l ( n ，f ) = g g l ( n ，f ) l d e t ( g ) = 1 ， 称为特殊线性群它是一般线性群的正规子群记e 为f 上刀级单位矩阵，令 z = a e l a f 。 为g l ( n ，d 之中心，有： p g l ( n ，f ) = g l ( n ，f ) z ， 称为一般射影群它是刀一l 维射影空间p ( n 一1 ，f ) 上的变换群进一步记 p s l ( n ，f ) = s l ( n ，d ( s l ( n ，f ) 厂、z ) ， 6 硕士学位论文 第二章基本知识 称为特殊射影群，其中，观( 刀，f ) n z = 以l 口f ，矿= 1 2 1 2 群在集合上的作用 设x = 缸，y ，z ，一) 是一个有限集合，其元素称为点表示x 上的对称群 所谓g 在x 上的作用伊指的是g 到s r 内的一个同态，即对每个元素口e g ，对 应石上的一个置换 认口) ：x 一， 并且满足： q ，y = 妒，a ，p g ，x x 如果k e r ( q , ) = l ，则称g 忠实地作用在x 上，这时g 看作x 上的置换群如果 胁( 们= g ，则称g 平凡地作用在x 上 定义2 1 2 1 q = 缸g k - x 。 则q 是g 的一个子群，称之为点x 的 稳定子群对于任意的p g ，都有g ，= 。q 设群g 作用在集合x 上，称二元素x ，y x 为等价的，如果存在口g ，使 得，= y ，记作x y 易验证关系“是x 上的等价关系x 对“一的一个等 价类叫做g 在x 上的一个轨道一个轨道所包含的元素的个数叫做该轨道的长 对于x x ，令护= r k g ，则护是包含x 的轨道 定义2 1 2 2 如果g 在x 上只有一个轨道，即x 本身，则称g 在x 上的 作用是传递的 定理2 1 2 3 设群g 作用在有限集合x 上，x x ，则i 护l _ l g ：q 1 特别 地，轨道的长是l g i 的因子 定义2 1 2 4 设g 是x 上的一个置换群，如果对于任意x x ，都有 q = l ，则称g 是半正则的如果g 是传递的，则称g 是正则的 2 1 3 群元素作为点 设g 是x 上的置换群，日g 是x 上的正则群我们取定一个点x x ，并 且对每个点z x ，取由矿= z 唯一确定的h h 与之对应根据x 到日上的这 样一个映射，我们可以把g 看成日上的一个置换群，置换g g 对应于日上的 置换 其中厅g 由公式 | 胪) = x 炉，h g h 唯一确定我们仍用g 表示这个新置换仍用g 表示这些置换生成的日上的群 ( 这个群和g 只是在点的名称上不同) 新的点的优越性在于对它们可以定义一 7 硕士学位论文 第二章基本知识 个乘法，即日的乘法用h 表示日的一般元素，则对于任意的 七h ，h 七= h k 另外还有：如果 g 1 h g 日，且g g ， 那么h 暑= g h g 以上关于抽象群和置换群的内容可参看文献( 3 0 ， 3 1 ， 3 2 ， 3 3 ， 3 4 ， 3 5 ， 3 6 ) 2 1 4 不动点 对于x x ，如果对任意的g g ，有，- - x ，就称x 为g 的一个不动点对于x 上置换群g ，记g 在x 上的全体不动点为 风h ( g ) = 缸e x l x 是g 的不动点l 关于不动点的知识可参见文献( e 3 7 ， 3 8 ) 2 2 设计的基本概念 2 2 1 设计 定义2 2 1 1 称d = ( 置b ) 是一个区组设计，若： ( 1 ) x 是一个由，个称为点元素组成的集合： ( 2 ) b 是由b 个x 的七点组成的集合：称为区组作为元素组成的集合； ( 3 ) x 中任意给定的r 一子集都恰好含于b 的z 个成员中 我们记这样的d 为- ( ，七，a ) 设计，简称为f 一设计 规定：所有参数都为正整数，并且满足1 ， k t ，b 中的元素互不相同 2 2 2 设计的自同构 定义2 2 2 1 设计( x ，b ) 的一个自同构是指具有下述性质的x 的一个置换 万：如果b ，则石( ) b 显然一个设计的所有自同构组成一个群，称为这 个设计的自同构群，记为a u t ( d ) ，这里d 表示该设计 由( 3 9 ) 中引理3 4 2 知，一个t 一设计( x ，b ) o 2 ) 的自同构群在b 上作用 的是忠实的 以后我们用d 表示一个，一设计，b ，do 2 ) 结合前面传递和本原的定义，我们引入点传递( 本原) 和区传递( 本原) 的定义 定义2 2 2 2 设g a u t ( d ) ，如果g 作用在d 上是传递的，则称g 是点 ( 区) 传递的；如果g 作用在d 上是本原的，则称g 是点( 区) 本原的如果g 作 用在d 的旗集合上是传递的，则称g 是旗一传递的这里旗表示点一区对 8 硕士学位论文” 第二章基本知识 ( 口，b ) ( 口x ，b 曰) 如果t 一设计的自同构群在它的区集合上是传递的，则它也是点传递的参见 4 0 旗一传递的2 - ( v ，k ，1 ) 设计一定是点本原的 3 6 中有论述 2 2 3 区组设计的基本性质 定理2 2 3 1 一个卜设计d 也是一个s 一设计( 1 s f ) 如果d 作为r 一 设计的参数是r 一( ，七，名) ，则它作为s 一设计的参数是s - ( v ，j | ，以) ，且 五= 旯面( v - s x v - s 面- 1 ) 可( v i - t + 丽1 ) - s x k - - $ -t 4 ( 七一1 ) ( 七+ 1 ) 推论记凡= b = l b i ，厂= 五，则 ( 1 ) 6 ：v ( v - 1 ) - - - ( v - t + 1 ) ：。 k ( k 1 ) ( 七- t + 1 ) 。 o ( 2 ) b k = 订： ( 3 ) r ( k - 1 ) = 如( 1 ，一1 ) 以上内容可参看文献( 3 9 ， 4 1 ， 4 2 ， 4 3 ) 定理2 2 3 2 ( b l o c k 定理 3 7 ) 设g 作用在f 一设计d = ( x ，b ，) 上区传递， 则g 作用在d 上也是点传递 定理2 2 3 3 ( h i g m a n - m c l a u g h li n 定理 3 6 ) g 是旗一传递可推出g 点本一 原 定理2 2 3 4 ( c a m i n - g a g e n 定理 3 3 ) g 区一传递，且七l v ，则g 旗一传递 定理2 2 3 5 ( d e l a n d t s h e e r - - d o y e n 定理 4 4 如果g 在d 上区一传递，且有 1 ， ( 丛笔尘一1 ) z ，则g 是点一本原的 2 3 度量空间基础知识 命题2 3 1 令y 为度量空间，u 为的子空间，则 ( 1 ) 若非退化，则v = u 上上 ( 2 ) ( 上) 上= u ( 3 ) 若为全迷向的，则在上中的补非退化 ( 4 ) 若全迷向，则曲( 引理2 3 2w 4 t t 引理令y 为域f 上的度量空间令和肜都是y 的子空间 9 硕士学位论文第二章基本知识 且有等距口：u 一形，则口可扩充为y 的一个等距 推论2 3 2( 1 ) 度量y 空间上等距群，在y 的极大全奇异子空间集合上传 递也在极大双曲子空间集合上传递 ( 2 ) 正交空间y 是它的极大双曲空间和一个定正交空间之直和，且在等距的意义 下，这一分解是唯一的 2 4 本文所用符号 本文的符号是标准和规范的： h gh 是g 的子群： 日q g日是g 的正规子群； l g lg 的阶； o ( g )g 的阶； 由元素g 生成的群； h 兰gh 同构于g ； s o t ( g )g 的所有极小正规子群的乘积，即g 的基柱； 0 ( 柳日在g 的正规化子； c g ( 忉日在g 的中心化子； z ( g )g 的中心； n ：hn 和日的半直积； n x hn 和日的直积； n ：h群被群日的可裂扩张； x o y x 被】，的不可裂扩张； 【m 】阶为m 的任意群； z _ 或m阶为m 的循环群； p 肛p t i n ，但p “1 不整除门； z ：，p “阶为p ”的初等交换p 一群； g f ( q ) ，q 个元素的有限域； f 域f 中的非零元； p g ( n , q )域g f ( q ) 上的刀维射影空间； g f ( n ，q )域g f ( g ) 上的n 维仿射空间； f i x ( h ) h 作用在一个集合上稳定的点的集合； 伊( 哟 欧拉函数； g g 的导群： 1 0 硕士学位论文 第二章基本知识 瓯 4 q 瓯 g l 同( k ) 靠个元素上的对称群； 刀个元素上的交错群： 刀阶二面体群； 点口的稳定子群； 线的稳定子群； 子集k 的不动点集合； 硕士学位论文第三章仿射型群与非平凡斯坦诺5 设计 3 1 引言 第三章仿射型群与斯坦诺5 设计 我们将一个t 一( v ，k ，1 ) 设计d 称为一个斯坦诺f 一设计( 有时也称为斯坦诺系 列) 若t 2 时，v - - t + l ( 七一，+ 2 ) ( 七一，+ 1 ) 若等号成立，则 ( f ，k ，d = ( 3 ，4 ，8 ) ，( 3 ，6 ，2 2 ) ，( 3 ，1 2 ，1 1 2 ) ，( 4 ，7 ，2 3 ) ，或( 5 ，8 ，2 4 ) 众所周知，当r = 2 时，命题3 1 1 的逆命题也成立即：g 点2 一传递地作用 于d 上可推出g 旗一传递地作用于d 上m i c h a e lh u b e r 主要根据命题 3 1 1 ，3 1 4 及2 重传递群的分类定理，对旗一传递斯坦诺4 一设计进行了完整的 分类，这些命题和2 重传递群的分类定理同样可以应用旗一传递斯坦诺5 一设计的 分类，我们要讨论的问题就是分类旗一传递斯坦诺5 一设计参见( 5 0 ， 5 1 ) 在这一章里，我们就仿射群旗一传递地作用于斯坦诺5 一设计上的情形进行讨 论，并得到了主要定理： 主要定理1 设d = ( x ，b ，d 是非平凡的斯坦诺5 一设计，d 的自同构群g 旗一传递地作用在d 上g 不为仿射型群，即下列情况不发生 ( 1 ) g a f l ( 1 ，p d ) ； ( 2 ) g o s l f ，p 4 ) ，d 2 a ； 口 ( 3 ) g o 印( 丝，p 口) ，d 2 a ； 口 ( 4 ) g opg 2 ( 2 口) ，d = 6 a ； ( 5 ) n = 4 或4 v = 2 4 ； ( 6 ) g o s t ( 2 ，3 ) 或s l ( 2 ，5 ) ，1 ，= p 2 , p = 5 ，7 ，1 1 ，1 9 ，2 3 ，2 9 ，5 9 ，o rv = 3 4 ； ( 7 ) g o 有一个阶为2 5 的超特殊的正规子群e ，并且g o e 同构于一个s 的子群，1 ，= 3 ； ( 8 ) 6 0 兰s l ( 2 ，1 3 ) ，1 ，= 3 6 3 2 预备知识 引理3 2 i 设d = ，b ，) 是，一( ，k ，名) 设计，则 ( 1 ) b k = 订： 妒t j 帆、t j 硕士学位论文第三章仿射型群与非平凡斯坦诺5 设计 m 柚啪也舯狲以离 ( 4 ) 特别地，如果，= 5 ，名= 1 ，那么 ( k - 2 x k - 3 x k 一4 ) 如= ( ，一2 x v 一3 ) ( ，一4 ) 从而可知 ( 七一2 ) ( 七一3 ) ( 七一4 ) l ( 1 ，一2 ) ( 1 ，一3 ) ( v 一4 ) 从引理3 2 1 我们可以算出当f = 5 ，名= 1 时 ，：(v-1)(v-2)