（应用数学专业论文）一类三通道的紧小波框架的构造.pdf

摘要 随着小波的发展，人们认识到满足紧支撑性，对称性和正交性的只有h a a r ：j 、波，于是人 们放弃正交性，开始转向构造小波框架紧小波框架满足a = b = i 时不会产生冗余，进而 人们开始转向此类紧小波框架的设计，并且在理论和应用上取得了一些成果c h u i 和h e 在文献【l 】证明了尺度函数相应的l a m e n t 多项式p ( z ) 满足不等式( s u b q m f 条件) ： i p ( z ) 严4 - i p ( - z ) 1 2 1 ，l z l = 1 是存在三个通道的紧框架的充分条件近年来，我们开始关注紧框架滤波器参数化设计，从 低通滤波器出发来构造紧框架，这样更能选择具有较好性质的低通滤波器基于这种考虑， 王海辉的文章【1 0 】中给出了一系列带有参数的四个通道的紧小波框架滤波器文献 1 0 1 中 同时给出了满足上述s u b - q m f 条件的低通滤波器的形式 在此基础上，本文采用文章【l 】中所提到的利用h o u s e h o l d e r 矩阵构造滤波器的方法， 将其应用于一组带有参数的长度为4 且具有较好性质的低通滤波器，给出了一组带有参 数的三个通道紧框架的公式低通滤波器形式为： h o - 石1 一竺2r h i = 石1 + - 讵y 2 = 彳1 + - 讵y | 1 1 3 = 石1 一望2 r ； 其中参数厂满足范围：0 厂 毕当参数r 取不同值时，得到相应的紧框架，且另个高通 的长度也为4 两个高通为： 其中： g l = c 9 1 0 ，g n ，9 1 2 ，9 1 3 ) ，9 22 ( 9 2 0 ，9 2 t ，9 2 2 ，9 2 3 ) ； g 。= 掣，g 。= 三兰弓挚，鄹俨 百鄹1 _ 莳 ( - 8 3 讵) 产+ ( 6 讵+ ) ，2 + ( 警+ 1 ) r - ( 学+ 素) 自22 丙v 聂2 r 百产一 (一号) z 9 1 32( 8 哆+ 6 州2 4 + 1 1 v r 2 ) r a 一+ ( 8 垣1 3 矿尘警) r 一( 学一壹! ( 西一如再丽 9 2 0 5 1 = 覆一2 - - ( 珏一；) z ( + 讵r ) 乒丽 黝1 飞可 i i i 4 r 2 ( 23 怕，2 + ( 讵+ 5 ) ，一学+ ；】 耽22 而云爵一 - 4 r 2 ( 2 、f 2 + 6 ) r 3 - ( 7 + 譬豸r 2 + ( 挈+ 孚动r 一( 杀讵+ ；) 】 肋2 忑云爵_ 一 我们选用了当参数r = 0 2 时具有相对较好的对称性和光滑性的紧框架( 2 2 式) ，与其 它融合方法的实验进行比较，通过直观观察和客观数据分析体现了研究三个通道紧小波 框架的，必要件 关键词：多分辨分析紧框架图像融合 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fw a v e l e t ，p e o p l ef i n d t h a th a a rw a v e l e ti st h eo n l yc o m p a c t l y - s u p p o r t e d ，s y m m e t r i ca n do r t h o g o n a lw a v e l e t t h e np e o p l eg i v e 叩o r t h o g o n a l i t yt od e s i g n w a v e l e tf r a m e s t i g h tw a v e l e tf r a m e sw i t ht h ec o n d i t i o na = b = id on o tp r o d u c er e d u n d a n t , s op e o p l eb e g i nt od e s i g ns u c ht i g h tw a v e l e tf r a m ea n dh a sg o ts o m er e s u l t si nt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n i nt h e 【l 】，c h u ia n dh ep r o v e dt h a tt h ei n e q u a l i t y ( t h es u b q m fc o n d i t i o n ) l e ( z ) f + i p ( - z ) 1 2 1 ，i z l = 1 i st h es u f f i c i e n tc o n d i t i o no fe x i s t e n c eo ft h r e e - c h a n n e lt i g h tf r a m e i nr e c e n ty e a r s ，w eb e g i n t op a ya r e n f i o nt ot h ed e s i g no ft i g h tf r a m ef i l t e rw i t hp a r a m e t e r s f r o mt h el o w - p a s sf i l t e rt o c o n s t r u c tt h et i g h tf r a m e ，w ec a ne l e c tl o w - p a s sf i l t e ro fb e t t e rn a t u r e i nt h ea r t i c l e 10 】w a n g h a i - h u ig a v eas e r i e so ff o u r - c h a n n e lt i g h tf r a m ef i l t e r sb yt h i sm e t h o d i nt h e 1 0 ，w eg e tt h e l o w - p a s sf i l t e rf o r mw h o s ec o r r e s p o n d i n gs e a l i n gf u n c t i o ns a t i s f i e st h es u b - q m fc o n d i t i o n o nt h e s eb a s i c ，w eg i v et h ef o r m u l aw i t ht h ep a r a m e t e rro ft h r e e - c h a n n e lt i g h tf r a m ei n t h eu s eo fh o u s e h o l d e rm a t r i xf i l t e rd e s i g nm e t h o d sm e n t i o n e di n 1 w h i c hi sa p p l i e dt oag r o u p o fl e n g t ho f4l o w p a s sf i l t e rw i t ht h ep a r a m e t e rra n db e t t e rn a t u r e t h el o w - p a s sf i l t e ri s ： 12 ， 1v 2 ， 1 4 2 ， 1 4 2 h o2 4 一_ r r | l l 2 石+ r r | 1 2 5 石+ r 厂 i 1 3 5 4 一2 r ； t h ep a r a m e t e rrs a t i s f i e st h ei n e q u a l i t y0 r 0 ， 使得下式成立： a 2 i 1 2 ( 1 5 ) i = ij e zl ：e z d 我们称函数集合a ( ：= i 屹：z = l ，j z , k z d 为由尺度函数妒l 2 ( r d ) f _ 成的m r a 的紧小波框架，每一个函数称作紧框架( 或紧小波框架生成元) 由上述( 1 5 ) 式可以得知，对于给定的，及任意函数g l 2 ( r ) ，有 由( 1 6 ) ，( 1 7 ) 式整理得 if + g 1 1 2 = i u + g ，以) 1 2 i = li 吃k 趔 if g1 1 2 = l 仃一g ，以， l = lj e zk d 4 u g = 4 ( ( 正以删g ) ， 1 = 1 zk e z a 则对于v f l 2 ( r d ) 有下式： 厂= ( ，畋) 畋 忙l e zt ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 上式表明，紧小波框架人( 1 壬，) 可表示l 2 ( r d ) 中任意，与正交小波基表示空间l 2 ( ) 相 比，紧小波框架表示口( ) 中，允许冗余性，这就使得产生许多种构造框架的方法 定义i 1 4 极小能量框架 5 妒驴满足r ，参在零点连续，h c o ) = 1 ，生成空间序列巧，则函数集甲：= 缈1 ，i lcv i 称作关于妒的极小能量小波框架，若下式成立： i 辑- ) 2 = l 辑如 ) 1 2 + i 仇玩 ) 1 2 ，y fe l 2 k e zk c ：zf = lt e z 由此定义可知极小能量框架、p 必是l 2 的紧框架 1 2 紧框架的构造条件 在此部分我们将介绍u e p 的等价形式以及构造紧框架的其它前提条件 1 2 1u e p 的等价形式 文献【l 】中给出t u e r 的等价形式： p l ( z 2 ) q l l ( z 2 ) q l 留) p 2 ( z 2 ) q 1 2 c z 2 ) q 胞( z 2 ) p l p ) q l i ( z 2 ) q l ( z 2 ) 尸2 ( z 2 ) q 1 2 ( z 2 ) q n 2 ( z 2 ) 其中：v s p ( z ) = p i c z b + z , 2 ( z 2 ) ， 讵岛( z ) = q j l p ) + z q , 2 ( z 2 ) ，j = 1 ，n = 1 2 ，i z i z = 1 1 2 2s u b - q m f 条件 c h u i 和h e 在文献【1 1 中给出t s u b - q m f 条件的等价形式，即： p ( z ) 1 2 + i p ( - z ) 1 2 1 ，i z l = 1 并且证明了一个重要的结论，表明了存在三个通道紧框架的充要条件，结论如下： 引理l若口且如) = l ，为具有紧支集的尺度函数，相应的l a u r e n t 多, 项式p ( z ) 满 足：i p ( z ) 1 2 + i p ( 一z ) 1 2 l ，l z l = 1 则存在一个与相应的极小能量框架、i ，= 砂1 ，炉l ，且砂1 ，炉 具有紧支集 证明略，见【l 】 6 1 2 3 低通滤波器的形式 与其它研究工作者不同的是，彭立中一直沿用的是由低通滤波器出发，选择较好的 低通滤波器进而构造框架，下面的结论给出了一组很好的低通滤波器，且满足上面提到 的s u b q m f 条件 引理2p ( z ) 满足：l p ( z ) 1 2 + l 以叼1 2 1 ，i z | z = 1 ，当且仅当： j i i o = 石1 ”c o s 口， 产孑1 + ，s i n 口 = 石1 - - r c o s p ，h 3 = 石1 一r s i n p 其中，0 ，竽，0 p 2 丌 证明略，见d o 注意到，当o r 等时，考虑低通滤波器具有对称性的紧框架，令i l o = h 3 ，h i = h 2 ，得 到r = o 或t a n 0 = 一l ，我们只讨论t 锄口= 一1 的情形，则有： 1d 2 。 l2 。 1q 2 ， 1 v 2 n o 一4 一百 严孑+ 丁j 1 22 石+ t 32 石一丁厂； 或者有 l、，2 ， l也 1 v 2 1 2 h o2 石+ f l2 4 一r 厂 22 4 一_ r 厂j 1 32 石+ r 一般情况下，滤波器的中间的值大于两边的值时，就会有好的性质，因此本文针对第 一种情形来构造紧框架即： 日= c 丢一萼，三+ 萼，丢+ 萼r ，丢一善f 2 r , ，。，- 竺4 7 2 1 主要定理 2主要结论 结合【1 0 】所给出的低通形式及【1 】中框架存在的定理和构造框架的思路方法，现在对 引理2 所给出的低通滤波器形式构造另外两个高通滤波器 定理1 如果具有对称性的低通h = ( h oh ih 2h 3 ) 满足： j l o ：三一竺2 ：石1 + - 讵t ，圯：丢+ - 讵t ：孑1 一竺2 r ； 则构成三个通道的紧框架的两个高通为： 其中： g l = ( 8 1 0 ，g n ，9 1 2 ，9 1 3 ) ，9 22 ( 9 2 0 ，g e l ，g e e ，9 2 3 ) ； 3 f v r 2 r + i i 9 1 0 2 r 砺2 - - ， 3 r 2 + 警厂一 自1 。_ 万2 r 彳v一署 ( - 8 3 怕r 3 + ( 6 讵+ ；) r 2 + ( 华+ 1 ) r - ( 学+ 素) 舶22 忑云丽- 一 9 1 32 ( 8 讵+ 6 ) r 4 一( 2 4 + 1 1 场r 3 + ( 8 讵+ 1 3 ) f + ( 3 一学) r 一( 华一虽) ( v t 2 r 一；) 2 ( x f 2 r - ) - 4 r 2( + t 2 r ) 4 1 4 f 跏2 1 i 匿_ 1 - 弋瓦虿一 - 4 r 2 ( - 2 - 3 怕r 2 + ( 讵十5 ) r - 学+ ；】 勉= 忑云丽- 一 - 4 r 2 【( 2 讵+ 6 ) p 一( 7 + 萼、乏) r 2 + ( 孚+ 萼、2 ) r - ( 素讵+ ；) 】 舵32 而元丽一。 证明：令 p ( z ) = h o + j i l i z + j i z 2 孑+ 1 1 3 2 3 ， 9 记为 因为 并且设“= z 2 , 所以有下式： i p ( z ) 1 2 + i p ( - z ) 1 2 = | p ip ) 1 2 + i p 2 ( z 2 ) 1 2 ， i p i ( “) 1 2 + i p 2 ( u ) 1 2 1 ，川= 1 由硒e s z 引理可以找至l j l a u r e n t 多项式p 3 ( “) 满足： 经计算得： l p l ( “) 1 24 - i p 2 ( u ) 1 2 + i p 3 ( u ) 1 2 = 1 p 3 ( “) ：1 - - 一2 r 2 1 - - 2 r 2 u ， ( 2 1 ) 然后用对角矩阵d f 口g ( 矿驴沪) 左乘矩阵【尸i ( h ) p 2 ( u ) p 3 ( 雎) 】使得下面关于u 的多项式 的次数为正且取得最小， 则有 丽沪丽扩而r = 口j u j = j = o 由( 2 1 ) 式可知： 因此有 a o2 单+ r 4 单一r 4 一再万 ，a l2 ( 孚一咖+ ( 萼+ r ) ( 孚+ 棚+ ( 竿一，) 柝- 2 r 2 u 一再虿 监一r 4 萼+ ， 再i ( 口j u j ) ( 口j u j ) = l ，i h i = l ； j = oj = o 口弘= 0 考虑h o u s e h o i d e r 矩阵h l = 厶一砰2y ，t ，其中 1 0 ，= a l + i a l i e l2 经计算可知。 ，( e l ：= ( 100 ) 7 ) ， 讵r 一 一份一 一何一 l 一 因为对称矩阵圩l 是规范正交的，就有n r n , = h ，因此有 o o h l a o 的第一个元素为0 经计算得 ( 日i 伽) r ( 日l a 一) = 4 a 刀= 0 日。而i 铲而j 3 万丽】7 = 警h 3 r 一竽 讵，一； l q - f - s _ s r 2 讵，i d i a g ( u 一1 1 1 ) h l u t l p i ( 蹦) 纪尸2 ( “) d 3 p 3 ( “) 】1 = o o 。o 一 。一。一 类似地定义飓= 如一弄两丁，其中 解得： 哥= 私i + i 磊t e t = l 2 ( 1 8 , - 2 ) 石而研 皇a n l ： ll r r 一 卜 盛。尘。 学篙将 r r 一 学监。 孚鼋雩 孚舞龉 令 经计算得 飓d i a g ( u 一1 11 ) 日i 【1 币万 日= h 2d i a g ( u 一111 ) 日i = ( 宰表示未知的式子) 其中： a = 三c 掣，+ 口 要一、，2 厂 b = 一：( 其中： b l2 ) + 历 ：( r 一孚) 一( r + 孚) 一j ( 孚+ r ) + ( ，一等) a c ( - - 6 8 怕，3 + ( 1 2 + 华) r 2 + ( ；+ 怕，一( ；+ 喾) ( 西一；) 2 ( 1 6 + 6 、f 2 ) r 4 一( 2 4x 2 + 2 2 ) r 3 + ( 1 6 + 1 3x 2 ) r 2 一( 3 讵+ 孕) 厂一；+ 喾 c ：三 h ( 讶一 ) 、i - - 8 r 2 d ：一三坚 “ 则有 ；一佰 r 2 r ) 忻面 f 矿+ + ( 西一；) 3 ( 历一i ) 2 ( 4 + 6v 2 ) r 3 + ( 一8 7 怕，2 + ( 学+ 孚) ，一；一学】 ( 西一；) 3 瓦丽丽】r = a i a g ( u 卅i i - t 2u - t 3 ) h d i a g ( 111 ) 吼 那么( p l ( “) p 2 ( u ) 尸3 ( “) ) 7 是下面矩阵的第一行元素， 1 2 d i a g ( 1 11 ) h d i a g ( u n 俨) 。l u l = 1 记为： d i a g ( 1 1 1 ) h d i a g ( t 9 1 俨u , 3 ) = 因此我们有： p l ( u ) p 2 ( u ) q l i ( u ) q 1 2 ( u ) q 2 1 ( u ) q z 2 ( u ) p i ( u ) q 1 1 0 ) q 2 1 ( u ) e k u ) p 2 ( 比) 口ll ( h ) q 1 2 ( u ) q 2 1 ( u ) q 2 2 ( u ) p 2 ( “) q 1 2 ( “) q 2 2 ( u ) p 3 ( “) q 1 3 ( 功 q 2 3 ( u ) = 1 2 ，m u = 1 设 毋( z ) ：= 竺2 ( 级i f z 2 ) + z 驰渤i = 1 , 2 因此得到两个高通表示为： q l ( z ) = g i o ( z ) + z g l l ( z ) + z 2 9 1 2 ( z ) + z 3 9 1 3 ( z ) ， q 2 ( z ) = g z o ( z ) - i - z 9 2 l ( z ) + z 2 9 笠( z ) + z 3 9 2 3 ( z ) 其中： 鼬= 等- = 酱， 证毕 ( - 8 3v 互) r 3 + ( 6 讵+ ；) r 2 + ( 华+ 1 ) r - ( 学+ 素) 印22 可贾巧- 一 。一( 8 讵+ 6 ) 厂4 - ( 2 4 + 11 均，3 + ( 8 讵+ 1 3 ) r 2 + ( 3 一学) r 一( 学一墨) 自32 1 忑2 r = 歹一； ( v一号) z ( 俗一 ) 一4 r 2( + 讵r ) 一4 r 2 跏2 1 j f 黝2 弋瓦r 以- 4 r 2 ( 一2 3 怕r 2 + ( 讵+ 5 ) 卜学+ ；】 25 可贾丽- 一 - 4 r 2 ( 2 讵+ 6 ) 厂3 一( 7 + 竽讵) r 2 + ( 挈+ 萼、劾，一( 素讵+ ；) 】 戤32 葡云可一 1 3 2 2 特例 我们总希望所找到的紧框架的光滑性，对称性较好通过小波实验比较，当r 取不同 f f 时( o 厂 竽) ，利用m a n a b 作出其小波图，我们观察所得厂取0 2 时光滑性和对称性相 对较好，滤波器为： 1 4 h = ( 0 1 0 8 6 0 3 9 1 4 0 3 9 1 4 0 1 0 8 6 ) g i = ( - 0 0 3 11 0 11 2 1 0 2 8 3 00 4 2 6 1 ) ( 2 2 ) 9 2 = ( - - 0 1 0 4 0 0 3 7 5 0 0 4 9 3 1 0 0 1 4 0 ) 当r 取0 2 时小波框架图如下： 图2 1 ( a ) 为，取0 2 时的低通，( b ) ，( c ) 为相应的两个高通 3 紧框架的应用 3 1图像融合基本知识 图像融合是信息融合的重要分支，是综合同一场景或目标的多源信息的技术通过图 像融合可克服单一图像在几何，光谱和空间分辨率等方面存在的局限性和差异性图像融 合技术在医学，遥感，计算机视觉，气象预报，自动目标检测等领域得到了广泛应用 3 1 1 l a p l a c i a n 图像融合算法 随着小波理论的不断发展，出现了许多图像融合的方法最初比较常用且融合效果明 显的是多分辨塔式融合算法，此融合算法是t t t b u r v 和a d e l s o n 首先在文献【1 2 】中提出的而 后还将其应用于图像处理，人或机器的视觉模型研究等如文献 1 3 1 _ 【l8 】 图像的多分辨塔式融合算法的基本原理是将原始图像分解成许多不同空间分辨率的 子图像，高分辨率的子图像放在下层，低分辨率的图像放在上层，从而形成一个金字塔形 状下面以l a p l a c i a n 的分解与重构过程来说明金字塔算法的基本原理 通常建立图像的l a p l a c i a n 分解首先要建立图像的g a u s s 塔分解，设原始图像为g o ，将 其作为g a u s s 金字塔的第0 层( 底层) ，g a u s s 塔的第，层的构造过程为：将z 一1 层图像和一个 具有低通特性的窗口函数w ( m ，厅) 进行卷积，再将卷积的结果进行隔行隔列的降采样，即： 0 l5 05i c f ，0 j 毋 其中：n 为g a u s s 金字塔的分解层数，a 为第z 层图像的列数，母为第，层图像的行数窗口函 数w ( m ，z ) 也叫权函数或生成核，其大小通常取5 5 ，具体为： w ( j ，z ，l ，1 ) = 瓦1 l4 41 6 62 4 41 6 l4 641 2 41 64 3 6 2 46 2 41 64 64l ( 3 1 ) 其中：矩阵的行号m ，列号n 从上至下，从左至右依次为2 ，1 ，0 ，l ，2 由于窗口函数形状类 似于g a u s s 分布，因此得到的图像金字塔称为g a u s s 金字塔g a u s s 金字塔的形成过程实施 了一系列的低通滤波器，所以随着分解层的不断增加，分辨率逐渐降低，图像逐渐模糊了 1 5 n+ ， 2m+2 卜 g疗m ：一 ：一 = g 而后由g a u s s 塔建立l a p l a c i a n 塔：将g ，内插放大，得到图像局，使目的尺寸与g h 的尺 寸相同，为此： 刚j ) ：4 蛊帆懈( 竽，字) o l n , o i c f o 小毋 历= _ 2 n = - 2 。 式中： g ；c 字，字，= g f ( 专字x 耋差警为整数时； ( 3 2 ) ( 3 2 ) 局的尺寸与g i 1 的尺寸相同，但二者并不相等，在原有像素间内插得新像素的值是通过原 有像素的加权平均得到的由于g f 是通过对g 卜l 低通滤波器得到的，所以局所包含的细节 信息少于g f - i 局和g f _ l 之间是有差别的 设： f = g t 一局+ 1 ， 当0 ， n 时； ( 3 3 ) i 上，p i = g ，当bn 时( 3 3 ) 由l p o ，l ，l p 2 ，l p 构成的塔称为l a p l a c i a n 塔，它的每一层是高斯塔的本层图像及其 上一层的内插放大图像的差可以看l a p l a c i a n 塔的分解包括低通滤波，降采样( 缩小尺 寸) ，内插( 放大尺寸) 和带通滤波( 图像相减) 四个步骤 图像的l a p l a c i a n 塔形分解是一种多尺度多分辨率分解，其各层均保留和突出了图像 的细节特征l a p l a c i a n 塔重构原图像的过程由( 3 3 ) 式可得： fg i = 上毋， 当z = n 时； ( 3 4 ) ig t = 乞p f + 风l ， 当0 z ：w ( q ) l c ( x , q ) 一- ( x p ) 1 2 翁 其中w ( 口) 表示权值，离p 点越近，权值越大，图像a 和b 的低频系数矩阵的区域方差显著性表 示为g ( a ，p ) 和g ( b ，p ) 此外用 如( p ) 定义图像a 和b 的低频系数矩阵在p 点的区域方差匹配 度： m 2 ( p ) = 2 z q c q w ( q ) l c i ( a , 西q ) 万- i f 币( a , 面p ) l l c 万( n , q ) - 瓦一( b , p ) i m 2 ( p ) 的取值在0 和l 之间变化，其取值越小说明两幅图像的低频系数矩阵相关程度越低 设死为匹配度阈值，一般取( o 5 一1 ) 当 j f 2 q ) t 2 时，采用选项融合策略： fc o ，力， g ( a ，p ) g ( b ，p ) ，( 3 5 ) c ( ep ) = ic ( b ，p ) ，g ( a ，p ) g ( b ，p ) ( 3 5 7 ) 当尬( p ) = i 2 时，采用平均融合策略： f i ，。似c 似，p ) + w ：砌c ( b ，p ) ， g ( a ，p ) 之g ( b ，p ) ， ( 3 6 ) c 限p ) = 【l i ，嘲c ( b ，p ) + - ，舢，c ( b ，p ) ，g ( a ，p ) g ( 晟力( 3 6 7 ) 其中， ：o 5 - o 5 ( 掣) ，：1 - 该策略是基于邻域像素问的关联性，而且基于区域方差，可以有效的保留细节和边缘，因 此采用该策略得到的合成图像将比较清晰，细节比较丰富 3 3 紧框架的应用 下面是本文结合上文中提到的l a p l a c i a n 融合算法，基于正交小波的融合算法，利用文 献【1 0 】构造的四个通道的紧框架和我们构造的三个通道的紧框架分别进行图像融合基于 紧框架的图像融合方案如图3 1 和图3 2 ，基于正交小波的融合实验方案类似于上述方案 3 3 1 图像的几种融合方法比较 下面我们所进行的四个实验中，均是针对同一幅图像不同部位模糊来进行融合处理 我们选取l e n a 图，首先将给出两幅经过p h o t o s h o p 模糊处理过的l e n a 图，分别将头发部位和 眼睛部位进行模糊处理然后采用3 1 节中基于不同理论的融合方法，得出不同的融合效果 图像融合过程中低频所采用的融合算法是3 2 节中介绍的基于邻域像素间关联性和区域方 差的方法，高频均是取最大值 下面首先给出两幅经过模糊处理的图，如图3 3 然后分别给出基于l a p l a c i a n 塔，正交 小波，四个通道的紧框架，以及本文中所构造的三个通道的紧框架的图像融合效果图，如 1 9 图34 乖交小波我们采用h 拼小波，低通滤波器为h = ( 0 50 5 ) ，高通滤波器为g = 0 5n 5 ) 所选用的四个通道的蟥框架是王海辉的文章【lo 】中所给出的四个通道的紧框架如f ： 蚓去，一i ；，；，南 g i = 而i ，一i i ；一i i 而i ) c z ：c 去，一瓤萼一南 。7 去，如一孚，一南 既蕊 图3 3 ( 劬为模糊眼睛部位图，( b ) 为模糊头发部位图 根据图34 实验结果，观察可知基于l 卸l 扯i 扑塔的融合方法的效果图在原模糊部位恢 复较差基十h a 对小波的融合效果图锯齿过于明显基于四个通道的紧框架的融合在模糊 部位修复结果比基于l 砷i 哪塔的效果要好。相对于基于h 姐r ，j 、波的融合效果锯齿减少 然而整体效果( 如相关系数和峰值信噪比，见数据表) 差一些基于本文中构造的三个通道 的紧框架的融台效果图相对要好，而且后面数据表客观地表明了它所对应的相关系数较 高，峰值信噪比较大 2 0 州ihiiiuj土 酗艉 图3 4 ( a 】为基 = l a p l a c i a n 塔的融合效果圈，i b ) 为基于h a a r d 、波的融台效果罔 ( c ) 为基于四通道紧框架的效果图，( d ) 为基于本丈构造豹三通道紧框架的效果图 ( 1 ) 相关系数的比较 相关函数我们采用了文献 3 4 1 中随提到的函数模型 设，( 五一为一幅大d 置j m 朋均图像记为a g c x , y ) 是- - 幅村x 的图像记为b ，下面计 算两幅图像的相关性 p 表示矩阵a ，b 的相关系数具体定义如下： c o 帕毋 ”丽 其中v ( a 。毋是矩阵a ，b 的协方差。d ，仉分别) h a ，b 的方