（应用数学专业论文）非线性发展方程的守恒律的若干构造方法及其应用.pdf

中文摘要 守恒的思想认为大自然是周而复始，无限循环的本质上，守恒源于对称， 这也使得人类对于对称和守恒的认识也逐渐从表面深入到内部，对称和守恒也 经历了从分立走向综合的漫长发展历程，对微分方程的研究守恒律起到重要 作用，特别是在微分方程的可积性，线性化，运动常数方面，甚至在求微分方程 的解析解和数值解方面因此，如何构造微分方程的守恒律就成为相当重要的 话题众所周知，n o e t h e r 定理对研究微分方程的守恒律起着非常重要的作用， 它深刻揭示了力学系统的守恒量与其内在的对称性的关系因此n o e t h e r 定理 就成为构造守恒律的经典方法然而，对e u l e r - l a g r a n g e 方程的限制严重制约 了n o e t h e r 定理的应用性如，对于发展方程，以及奇数阶方程等，n o e t h e r 定理 却不能构造出他们的守恒律为了解决这一难题，自然地基于n o c t h c r 定理的各 种各样的构造方法形成如：特征法，变分法，直接构造公式，截断n o e t h e r 方法， 以及伴随方程方法等等 本文第一章介绍了守恒律的基本知识以及文中采用的符号第二章详 细介绍了九种构造守恒律的方法第三章中利用上一章中介绍的方法分别 求解了非线性s c h r s d i n g e r 方程，f u j i m o t o - w a t a n a b e 方程，m a x w e l l i a n 模型方程， b l a c k - s c h o l e s 方程，五阶色散方程等方程的守恒律利用不同的方法得到了这些 方程的新的守恒律，所得的结果为对这些方程进行更深刻的讨论提供了有效信 息最后给出了本文的结论和需要进一步研究的问题 关键词 非线性发展方程( 组) ；对称群；守恒律；n o e t h e r 定理 a b s t r a c t ( 英文摘要) c o n s e r v a t i o nr e g a r d st h en a t u r em o v e si nc y c l e sa n dc i r c u l a t i o ni n f i n i t e l y i ne s s e n c e ，c o n s e r v a t i o no r i g i n a t e sf r o ms y m m e t r y i ta l s om a k e sh u m a nt h en i l - d e r s t a n d i n go fs y m m e t r ya n dc o n s e r v a t i o nd e e p e nf r o me x t e r n a li n t ot h ei n t e r i o r s y m m e t r ya n dc o n s e r v a t i o na l s oe x p e r i e n c eal o n gd e v e l o p i n gp r o c e s sf r o ms e p e r - a t i o nt oi n t e g r a t i o n 。i nt h es t u d yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o n s e r v a t i o nl a w sh a v e m a n ys i g n i f i c a n tu s e s ，p a r t i c u l a r l yw i t hr e g a r dt oi n t e g r a b i l i t ya n dl i n e a r i z a t i o n ， c o n s t a n to fm o t i o n ，a n a l y s i so fs o l u t i o n s ，a n dn u m e r i c a ls o l u t i o nm e t h o d s c o n - s e q u e n t l y ，a ni m p o r t a n tp r o b l e mi sh o wt oc a l c u l a t ea l lo ft h ec o n s e r v a t i o nl a w s f o rg i v e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a si sk n o w nt h a tn o e t h e rt h e o r e mp l a y sav i t a l r o l ei nt h ec o n s t r u c t i n gc o n s e r v a t i o nl a w so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o f o u n d l y r e v e a l e dt h ec o n n e c t i o nb e t w e e ns y m m e t r i e sa n dc o n s e r v e dv e c t o r so fm e c h a n i c s y s t e m 。t h e r e f o r en o e t h e rt h e o r e mh a sb e e na c l a s s i c a la p p r o a c hf o rc o n s e r v a - t i o nl a w s h o w e v e r ，t h er e s t r i c t i o nt oe u l e r - l a g r a n g ee q u a t i o nr e d u c e sa p p l i - c a t i o no fn o e t h e rt h e o r e ms i g n i f i c a n t l y f o re x a m p l e ，n o e t h e rt h e o r e mi sn o t a p p l i c a b l et oe v o l u t i o ne q u a t i o n s ，t od i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fa no d do r d e r ，e t c i no r d e rt oo v e r c o m et h e s ep r o b l e m s ，v a r i o u sg e n e r a l i z a t i o no fn o e t h e rt h e o r e m h a v eb e e nd i s c u s s e d ，s u c ha s ，c h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ，v a r i a t i o n a lm e t h o d ，d i r e c t c o n s t r u c t i o nm e t h o d ，p a r t i a ln o e t h e ra p p r o a c h ，a n da d j o i n te q u a t i o na p p r o a c h a n ds oo n t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i ns e c t i o n1 ，w ei n t r o d u c et h ee l e m e n - t a r yk n o w l e d g eo fc o n s e r v a t i o nl a w sa n dn o t a t i o n si n v o l v e di nt h ep a p e r i n s e c t i o n2 ，w es h o wn i n em e t h o d so fc o n s e r v a t i o nl a w sc o n s t r u c t i o n i ns e c t i o n 3 ，w ed i s c u s st h ec o n s e r v e dv e c t o ro fs e v e r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s - - - - n o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n ，f u j i m o t o - w a t a n a b ee q u a t i o n ，m a x w e l l i a nm o d e le q u a - l l t i o n ，b l a c k - s c h o l e se q u a t i o n ，f i f t h - o r d e rd i f f u s i o ne q u a t i o n ，a n ds oo n f i n a l l y , w ec o n s t r u c tn e wc o n s e r v a t i o nl a w sf o rt h o s ee q u a t i o n sv i ad i f f e r e n tm e t h o d s t h er e s u l tw h i c hw eo b t a i n e dc a l lg i v em o r eu s e f u li n f o r m a t i o nt ot h ec o r r e - s p o n d i n ge q u a t i o n s t h el a s tp a r ti st h e c o n c l u s i o n sa n dt h es t u d yi nt h ef u t u r e k e y w o r d s n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n ( s ) ；s y m m e t r yg r o u p ；c o n s e r v a t i o nl a w s ； n o e t h e rt h e o r e m 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 学位论文作者签名：- 二遁啦指导教师 珈7 年爿r 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：易谚多 聊7 年月 日 西北大学硕士学位论文 1 1引言 第一章绪论 人类在很早就孕育了守恒的思想守恒使大自然是周而复始，无限循环的 从本质上讲，守恒性源于对称性由于对称性意味着不变性，进一步发展就意味 着经过某种对称变换后物理规律的不变性，就意味着守恒在科学发展史上，人 类对于对称和守恒的认识也逐渐从表面深入到内部，对称和守恒也已经经历了 从分立走向综合的漫长发展历程，特别是在现代物理学中，对称性和守恒律对 科学家来说始终具有非凡的吸引力，是一个非常有趣和深刻的话题 随着自然科学的发展，人们对于守恒概念的认识也逐步深入，对称性与守 恒律密切联系的见解最早来源于经典力学1 7 世纪开始时，g a l i l e o ，l a g r a n g i a n ， j o u l e ，h e l m h o l t z 等科学家从不同方面获得了能量守恒定律到1 9 世纪中期， j a c o b i 1 和s c h t l t z 2 将对称的理论应用到物理学科中首次发现对称与守恒 律有密切联系发展到2 0 世纪上半叶时，e n g e l 3 】发现线性角动量守恒，线性 质量守恒和质心速度不变分别与平移变换，旋转变换及g a l i l e a n 变换的对 称性有着对应关系1 9 1 8 年德国女数学家a e n o e t h e r 4 受至l j k l e i n 与h i l b e r t 研 究e i n s t e i n 的相对论的启发，意识到对称性在守恒理论中的重要性，建立了 变分对称群的理论，并且提出了一个关于对称性与守恒律之间存在对应关 系的著名定理- - n o e t h e r 定理：作用量的每一种对称性都对应一个守恒定 律，有一个守恒量；反之，对于每一个守恒定律，必对应有一种对称性该 定理为物理学家研究未知事物提供了强有力的方法论工具在n o e t h e r 定 理提出后引起了学者们的高度重视，不断的对n o e t h e r 定理进行推广及应用 例如：1 9 2 1 年b e s s e l - h a g e n 5 】将n o e t h e r 定理推广到离散对称中；2 0 世纪中期， d j u k i c 6 1 1 7 1 和v u j a n o v i c s l y 将其推广到非保守系统中 作为能量守恒，动能守恒等基本物理守恒量的数学推广，微分方程( 组) 守恒 律是一种非常重要的概念，它不仅可以解释微分方程( 组) 的各种物理现象还给 】 第一章绪论 人们提供有效求解数值解或解析解的方法和条件，1 9 7 1 年l a x 【9 】利用守恒律证明 了整体解的存在性，并且给出了双曲方程存在激波解的条件d i p e r n a 1 0 n 进 一步发展了守恒律理论，通过扩充守恒律研究激波的衰变并且对解的存在性定 理给出了系统证明b e n j a m i n 12 1 ，h o l m ，m a r s d e n ，r a t i u 和w e i n s t e i n 1 3 】等人从 守恒律的观点出发研究稳定性问题守恒律又被m o r a w e t z 1 4 与s t r a u s s 1 5 应用 到散射理论在弹性理论中，b i l b y , m i l l e r 和w i l l i s 1 6 】得到守恒律对断裂和错位 起到了至关重要的作用k n o p s 和s t u a r t 1 7 借助守恒律证明了弹性均衡的唯一 性定理不仅如此，守恒律对研究非线性方程的可积性，线性化，及运动常数都 起到重要作用，并且在计算数学中较好的稳定差分格式也用到守恒律；更重要 的是孤立子的存在与无穷多个守恒律的存在有密切关系，一般来说，具有孤立 子解的的非线性发展方程，大都有无穷多个守恒律 既然守恒律有如此重要的作用，那么构造守恒律也成为学者们讨论的 焦点发展到现今，求守恒律的方法已有若干种，如：根据守恒律的定义 求守恒量的直接法；以及利用n o e t h e r 定理来构造守恒律，但n o e t h e r 定理的 局限性在于必须要求方程有变分及变分对称，且p l a g r a n g e 系统但大多数物 理方程( 组) 并不存在变分另外用n o e t h e r 定理构造出的守恒律仅是局部的 守恒律，对大多数方程还存在扩充的守恒律2 0 世纪六，七十年代，b o y e r 简 化了原始n o e t h e r 定理中的n o e t h e r 变换，这使得守恒律的计算量大大减小 然而这并不能拓宽n o e t h e r 定理的应用范围；同时s t e u d e l 提出特征法，定义 守恒律的特征，并用特征来构造其守恒律；若将变分对称作用到守恒律 的特征形式上，就称为变分法；n h i b r a g i m o v ，a h k a r a 与f m m a h o m e d 发 现微分方程的对称与其守恒量之间具有一定的关系，通过这种关系恒 等式亦可求出方程的守恒量；s t e p h e nc a n c o 与g e o r g eb l u m a n 根据已有的 理论，给出了场量方程以及c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程的守恒量构造公式； a h k a r a 与f m m a h o m e d 弓l 入了截断l a g r a n g i a n 的定义，在截断l a g r a n g i a n 的 意义下通过n o e t h e r 定理求解守恒量，并将这种方法定义为截断n o e t h e r ； i b r a g i m o v 提出了利用伴随方程求给定方程的守恒律的方法 2 两北大学硕士学位论文 本文的章节安排如下： 第一章：绪论简述了守恒律的发展历程及其重要作用并且介绍了有关守恒 律的基本知识及本文中采用的符号 第二章：守恒律的构造方法详细阐述了构造守恒律的九种方法 第三章：若干非线性发展方程( 组) 的守恒律本章中利用上一章中介绍的求 守恒律的方法计算不同方程的守恒律 最后，给出了本文的结论及需进一步研究的问题 1 2 守恒律的理论知识 先将本文中用剑的记号介缁如卜 记自变量为z = ( z 1 ，x 2 ，z n ) qc 舻，其中q 是r n 中的区域；因变 量记为u = u 1 ，护，牡m ) 胪，其导数为u 笋= 筹，u 易= 番；厂【叫表 示厂对z ，u 及其导数的函数关系；在此约定：上下重指标表示求和 全微分算子： d i = 矗埘杀嘲蠢+ - ，2 ( 1 1 ) e u l e r 算子： 既a = 杀一略+ 功功鑫+ 一 ( 1 2 ) 高阶导数 e u l e r 舅 子： 艮= 丢也去+ d j 。彘一 ( 1 3 ) l i e - b i c k l u n d 算子： 州i 差坩杀+ 篮蠹坞。彘+ ， ( 1 4 ) 其中 簖= d i ( 叼。) 一哼现( ) ， 第一章绪论 n o e t h e r 算子： 篮i ：= d i 。( 篮) 一蠓。d i ：) ， n 。= p + w q 既 + 耽( w n ) 既鑫，+ d i t d i 。( w a ) 。+ ，( 1 5 ) 伴随算子l 宰： v l u 】一仳三i v = d i v p ( x ) ( 1 6 ) 其中u ，u 是任意函数，p ( x ) = 1 ( z ) ，p n ( z ) ) 是任意向量函数l 奎i v l = o 是 l u 】= o 的伴随方程若l 【叫= 纠叫，则称l 叫= o 是自伴随方程 以下考虑微分方程( 组) g a ( z ，u 口，乱笋，u 嚣，) = 0 ( 1 7 ) 1 守恒律 对于方程( 1 7 ) ，若存在q 维光滑向量函数p = ( p 1 ，p 2 ，p q ) ，其中p = p u n 】，i = 1 ，2 ，q ，使得 d i v p = d 1 p 1 + d z p 2 + + d 口p q = 0 ( 1 8 ) 恒成立函数p = ( p 1 ，p 2 ，p q ) 称为守恒量特别地，当自变量为( z ，亡) ，称 p 。= p 。 乱q 1 称为守恒密度，p z = p z 乱口】称为守恒流若p 2 = 瓦a x ，p 霉= 一菩， x = x u a 】，则由此确定的守恒律称为平凡守恒律，否则称为非平凡守恒律 2 变分问题 将所考虑的问题转化为寻找某个泛函 跏卟上m ，心口，u 跏o l ) 如 ( 1 9 ) 的极值问题l u 口】是关于z ，仳a ，及牡q 的各阶导数的光滑函数，称：为l a g r a n g i a n 称j u n 】为作用量积分 4 西北大学硕士学位论文 e u l e r l a g r a n g e 方程为 既a ( u q 】) = 0 ( 1 1 0 ) 3 守恒因子 对满足方程( 1 7 ) 的函数u = ( 牡1 ，u 2 ，u m ) ，存在函数人au a 】= a 三， a q ，p = ( p 1 ，p 2 ，p q ) ，p = p u a 】，i = 1 ，2 ，口，使得 a i g 。= d i v 只 ( 1 1 1 ) 则称 人三，a 】为方程( 1 7 ) 的守恒因子 守恒因子中仳关于z 的最高阶导数的阶数称为守恒律的阶数 4 特征 称g 维向量q qu q 】= ( q 1 ，q 口) 是向量场u = 矗+ 矿丽0 的特征，若q n 满 足 驴= 矿而0 一u 笋 ( 1 1 2 ) 5 变分对称 向量场 钞= 瓦0 + 矿而0 ( 1 1 3 ) 是泛函圳u q 】= 如l ( x ，u a ，u 笋，u 寄) d x 的变分对称当且仅当存锄维向量函 数b u q 】满足 v ( l ) + l 现p = d i b 。( 1 1 4 ) 6 变分导数 对变分问题j 叫的变分导数定义为满足 融d ：。j 【，+ 酬= f6 j 阶) ) 如 ( 1 1 5 ) 第一章绪论 的q 维函数 6 j u l = ( 6 1 j ，6 q j u ) ( 1 1 6 ) 7 伴随对称 方程( 1 7 ) 的伴随对称= u 1 ( z ，让q ，) 满足 c 鼻 札口】u 7 = g 7 p 【铲】u 1 一d i ( q ipu q 】u 7 ) + d i d j ( c , , 一y p u aw 1 ) + ( 1 1 7 ) 8 伴随不变条件 c 巩 v 1 u 7 【u 】= 一u 孑 u 】g 1 u 1 + d i ( 嵋。 u 】g v 【u 】) 一 d t d j ( 嵋 u 】g 7 u ) + ( 1 1 8 ) 9 c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程 可从偏微分方程( 组) 中解出因变量关于某一自变量的最高阶导数，则称该 偏微分方程( 组) 是c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程 例如：k d v 方程u t + u u 茹+ 黜= 0 是c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程，由于u t = - - u u x 一“z z z 波方程u 耐= 0 通过变换 也可化为c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 形式u t t = u ( 1 1 9 ) b b m 方程u + u x + 乱u z + u x 疵= o 及对称正则长波方程乱t t + u z z + ( u 2 ) 耐+ 钆z 赋= 0 不是c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程 6 一 十 亡 z = = t z i-jlil_， 两北大学硕士学位论文 2 1 直接方法 第二章守恒律的构造方法 直接法是利用守恒律的定义直接求守恒量，即从方程 d i v p = d i p 。i 俨：0 = 0( 2 1 ) 中得到尸1 ，p 2 ，p 口此时，( 2 1 ) 式称为方程( 1 7 ) 的局部守恒律l a p l a c e 18 】最 先应用直接方法构造出方程的局部守恒律一般来说，当系统不存在l a g r a n g e 系 统时都采用直接法来构造守恒律但由于该方法的计算的难度较大，常被用于 项数较少的单个一阶偏微分方程上或是预先假定所求守恒量的形式 2 2 n o e t h e r 定理 由于e u l e r - l a g r a n g e 方程是研究许多物理问题的关键方程因此人们也就 期望守恒律也可以直接从e u l e r - l a g r a n g e 方程中得到，在长期的探索研究过程 中，n o e t h e r 首先发现对称性与守恒律之间有着对应关系，提出若能找到使作用 量积分 帅q 】= 上m ，让q ，u 轴孔) 如 不变的变换对寻找守恒律更有意义，并且提出这种不变性与守恒律之间有如下 关系 定理2 1 ：( n o e t h e r 定理i ) 设向量场 u 卅瓦0 + 矿杀+ 篮去+ t 。砾0 “ ( 2 2 ) 是变换 ( 2 3 ) 2 2 e e d d + + 、l，、l， 嗲嗲 让 u a l 口1 砰 砰 口 口 冰 铲 7 z z 1 1 ， 叼 卜 + i 口 z 乱 i i = 1 奉 z 1 u ，ii-(1l【 第二章守恒律的构造方法 的生成子，其中四= d i ( r a ) 一哼d i ( ) ，鳍i ：= d i 。( 鳍) 一略。d i ：( ) 若对任意 函数u q ，存在向量函数b u d 】= ( b 1 ，b 2 ，b n ) 满足 u c l ) + 工d t 。= d i b 。，( 2 4 ) 即是j 【u 】的变分对称，或称为n o e t h e r 对称$ 1 j e u l e r - l a g r a n g e 方程 有n o e t h e r 守恒量 p = f i l + ( w 口) 矿，叩口一哼j 】一b = ( l ) 一b ( 2 5 ) 其中( w q ) 满足 u ( l ) = e u a ( l ) 矿+ d i ( w a ) 【u q ，矿】( 2 6 ) 1 9 6 7 年，b o y e r 1 9 】发现n o e t h e r 定理中所考虑的变换( 2 3 ) 可以简化为 。牡：三：+ e 叼q 。z ，仳a ，仳 ，晖，+ 。e 2 ， 并且证明了这两种变换的等价性，这样n o e t h e r 定理叙述为： 定理2 2 ：设 ( 2 7 ) 阽矿杀删柙云+ d i ld i 2 嗉+ 一 ( 2 8 ) 是变换( 2 7 ) 的生成子对任意函数u 口，存在向量函数a u a 】= ( a 1 ，a 2 ，a n ) ， 满足 u ( l ) = d i a 。， 则方程既a ( ) = o 的n o e t h e r 守恒量为 尸4 = ( w q ) 4u 口，叼a 】一a 。 其中( q ) 满足( 2 6 ) 注：上述定理中所考虑的变换( 2 3 ) ( 2 7 ) 必须满足 fl 刊如= 上。啦+ ，u s 弦 8 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 两北大学硕士学位论文 2 3 特征方法 s t e u d e l 在文献 2 0 1 中提出守恒律特征形式，并且建立了根据守恒律的特征 可求守恒律的理论 2 1 1 2 2 2 3 2 4 定义2 1 ：若存在函数q 口= ( q 譬，q 尹) ，使得 d i p 4 = q q g q ， ( 2 1 2 ) 则q q 称守恒律的特征( 2 1 2 ) 式为守恒律的特征形式 定理2 3 ：向量场 吲去 未 ( 2 1 3 ) g j i u = 厶l ( x ，u q ，u 尹，u 嚣) 如的变分对称， q n ( z ，u ) = 圹一u 笋( 2 1 4 ) 是向量场v 的特征，则q a 也是方程既a ( l ) = o 的守恒律的特征即存在函数 p u 口】- ( p 1 ，p 2 ，p q ) 满足 d t p | = q a 既a ( 己) ( 2 1 5 ) 2 4 变分方法 由于特征q 可以直接从定义式( 2 1 2 ) 中求得，也可以通过对( 2 1 2 ) 的变分导 数求得因此就得到了守恒律的变分方法【2 5 1 ，并且这种方法与特征法比较起来 更容易求解出特征的决定方程 命题2 1 ：对方程( 1 7 ) ，函数q q 是其守恒律的特征当且仅当 0 5 a ( q 口) + a ( g a ) = 0 ( 2 1 6 ) 其中d p = 薏功，d ；= ( - - d ) k 筹 9 第二章守恒律的构造方法 命题2 2 ：向量场u = 矗+ 矿赤是变分对称当且仅当叼= q q 杀也是变分 对称 定理2 4 ：向量场u = f 矗+ 矿杀的特征q 口是守恒律d t p i = o 的特征当且仅 当”是泛函j 【u q 的变分对称 2 5 微分方程的解空间上的变分方法 变分方法适用于任意函数，若仅考虑满足方程的函数的变分导数，则得到 解空间上的变分，并基于此得到计算守恒律的新方法 命题2 3 ：对满足方程( 1 7 ) 的函数俨，函数q 口是守恒律的特征当且仅当 0 5 。( q q ) = 0 ( 2 1 7 ) 微分方程的解空间上的变分方法即将( 2 1 2 ) 的变分导数限制在所求方程的 解空间上，即 邑n ( q a g d ) i g a ；0 = 0 ( 2 1 8 ) 显然，由( 2 1 8 ) 式得出的特征q 的决定方程数少于变分方法中决定方程的个数， 但求出的特征q 的个数却不一定比变分方法中的多，有时由于我们算出的特 征q 是伴随对称的特征，因此并不对应方程的某个守恒量 5 2 6 对称条件法 1 9 9 8 年，i b r a g i m o v 2 6 】发现n o e t h e r 守恒量与“e b 托k l u n d 对称之间有如下 关系： 定理2 5 ：n o e t h e r 守恒量p u a 】= ( p 1 ，p n ) 与n o e t h e r 对称满足如下关系， u ( p ) + d 七( 艮) p 一p 七d 七( ) = ( d k ( b 七) ) 十b 七| d 七( ) 一d 知( 詹) b 一x ( b ) ( 2 1 9 ) 1 0 两北大学硕士学位论文 引理2 1 ：l i e - b i c k l u n d 对称u 满足( 1 4 ) ，则u 与算子 d = u z 1b 慨= ( 卜z 1 去+ ( t a - - z 1 砒) 未+ ， ( 2 2 0 ) 等价，且d 满足关系 g i ( l ) + l d i ( f z 1 ) = o ，江1 ，佗 ( 2 2 1 ) a h k a r a 与f m m a h o m e d 2 7 】提出对不存在l a g r a n g i a l l 的系统，对称与守恒 量也存在类似的关系，由于此对称条件对于构造守恒律起到了重要作用，它使 直接法中的决定方程更容易求解，并且对求方程的群不变解以及常微分方程的 约化也起到了重要作用 定理2 6 ：如果守恒量p 在l i e - b 苞c k l u n d 算- t u ( 1 4 ) 下保持不变，则对称u 与守 恒量p i 之间满足如下关系： u ( p ) + p 岛( f ) 一岛( ) = o ，i = 1 ，扎 ( 2 2 2 ) 注：若有( 2 2 2 ) 成立，称对称u 与守恒量p 相关 2 7 直接构造法 对场论方程 g n ( x ，u 口，砰，乱嚣) = 0 ( 2 2 3 ) s t e p h e nc a n c o 和g e o r g eb l u m a n 2 8 】【2 9 】系统阐述了守恒律的构造过程，并得到 了守恒量计算公式首先将给定的方程( 组) 线性化并且写出该线性化系统的伴 随系统，并求得伴随系统的解，并验证是否满足伴随不变条件最后对满足伴随 不变条件的解写出其对应守恒律 d i p 4u j - 0 1 1 ( 2 2 4 ) 第二章守恒律的构造方法 其中 p i 】：厂1 ( 梦【u 】+ y 三 u l u 。 ? u i d j u q + ) l ( ，：hdap u v l u4 - g 翟 v l u - - c ，】= ( - 9 【u 】+ o q + ) l ( ，：h， ，0 ，、 s i u 】= 人a 【u 1 g 乞7 u l v 7 + ( a n 【u 】g 蓦【u 】功v 1 一d 3 ( a q u l c 2 7 t v ) u 7 ) + ， 昵【u 】= 人雩。【u 】g a u 1 一d j ( 人孑叼 u l c a v 1 ) 4 - ， 亭 u 】= a 1 a i j 【u 】g a v l d 从( n a ，y a i j k 【u 】g q u 】) 4 - 注：若方程( 组) 的线性化系统与其伴随系统相同，则称该方程( 组) 是自伴随 的，反之亦然对自伴随系统则可用n o e t h e r 定理来计算守恒律 2 0 0 2 年s t e p h e nc a n c o 与g e o r g eb l u m a n 3 0 3 1 】【3 2 】针对c a u c h p k o v a l e v s k 扣 y a 型方程( 组) 进一步的优化了上面的直接构造法，利用扩充决定方程替代了伴 随不变条件在求解伴随系统时，着手于扩充决定方程往往比直接从伴随对称 决定方程更简便，并且结合伴随对称和扩充决定方程大大的减化了计算 考虑c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程( 组) g a = u 尹+ g a ( 芒，z ，u 口，乱 ，) = 0 ，q = 1 ，n( 2 2 5 ) 定理2 7 ：c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程( 组) ( 2 2 5 ) ，若对任意u a ( z ，) 存在函 数p 2 = p 。( 芒，z ，u a ，u ，乱) ，= p ( t ，z ，俨，) ，及人口= h q ( 厶z ，仳a ，u x a ，u x “x ) ，满足 d p 2 + d i ( p 一r ) = ( 牡尹+ 夕口) 人q 人a = 玩a ( p ) 其中一= c ( u 孑+ g a ) ，c 为常数。则方程( 2 。2 5 ) 具有守恒律 d t p t + d i p = 0 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 定理2 8 ：c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程( 组) ( 2 2 5 ) 的守恒因子a a 的决定条件 e 0 a ( ( u + 夕q ) 人口) = 0 ，( 2 2 9 ) 1 2 西北大学硕士学位论文 等价于方程组 0 = 一 d t a 口+ ( ；) 2 a p = 一鲁+ ( 等n 霹o a o 珊p + 。甄o a o 既d 卅+ 丽o g pa - p 让g p + + ( 一1 ) m 州瓦g p 叭q = 1 ， ( 2 3 0 ) 。= ( - 1 ) p + 1 堕o u f t i , + 瓦o a p ， ( 2 3 1 ) 0 ：( _ 1 ) ( g + 1 ，砥o a a + 巍一老吲1 巩+ o a p + + ( 一1 ) p 一口四d i 饥o 磊a p ，g - 1 ，p l ( 2 3 2 ) 0 _ - 券+ 券也0 哪a _ _ e + + ( - 1 ) d 知瓦o a o 一例) 2 ( 2 3 3 ) 其中皤= 砜；岛爿l = j t ( 2 3 0 ) 式称为伴随对称决定方程，( 2 a a ) - ( 2 3 3 ) 式称为扩充 决定方程 定理2 9 ：方程( 组) ( 2 2 5 ) 1 拘守恒因子 人a ) 的决定方程为( 2 a o ) - ( 2 3 3 ) 推论3 1 ：一阶c a u c h y - k o v a l e v s k a y a 型方程的守恒因子都是某一个变分的自 伴随对称 定理2 1 0 ：方程( 组) ( 2 2 5 ) 的非平凡守恒量p 2 = p 2 i t ，z ，u q ，喀) ，p = p i ( t ，z ，u n ，吣o t ) 分别为 p 一z 1 ( u 口一叫砌a + t 0 1k ( 她剐枞 ( 2 3 4 ) 尸瓤l a k ( 她捌枞+ z 1 ( u - f i , a b 】+ s 4 【u 一面，夕【( a ) 一入夕【叫+ ( 1 一入) 面t ；人【札( a ) ) d 入( 2 3 5 ) 其中 曝) = a u 口+ ( 1 一入) 矿 ( 2 3 6 ) 第二章守恒律的构造方法 a “仳( a ) 】= 人p ( 亡，z ，u ( a ) ，如仳( a ) ，霹( a ) ) ， ( 2 3 7 ) 9 p 【u ( 入) 1 _ g p ( t ，z ，u c x ) ，以u ( 入) ，霹u ( a ) ) ， ( 2 3 8 ) k ( t ，z ) = ( ( 厶) t + g p 让( a ) 】) 人p 【牡( a ) 】) i a ：o ， ( 2 3 9 ) 硝v 】= ( _ 1 ) 慨巩y p ) d j 巩( 笔) ， ( 2 4 。) i v , w ；a l = ( 瑚d i 。d i , v a ) d j 刚d j 蒜瓮) ( 2 4 1 ) 注：利用( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 构造守恒量时，必先取定函数俨 1 若人口【庐】，g 盯 庐】都是非奇异的，则可取铲= 0 。特别的，当铲= i t a = 0 时，贝l j k ( t ，z ) = 0 2 若存在p = 1 ，2 ，使得k 仳( a ) 】，g 口【乱( a ) 在u p = o 处都是退化的，此时 则需找到非零的俨，使人盯【叫，旷蚓非奇异 对非变分发展方程，可积方程，以及有扩充守恒律的非线性发展方程利用 此公式可以较方便的写出关于时间的守恒量p 由于关于空间的守恒量公式相 当的复杂，因此限制了其应用性，而对空间守恒量我们仍用( 2 1 2 ) 式来求解 2 8 截断n o e t h e r 方法 对于非变分问题的守恒律，n o e t h e r 定理已不能发挥作用由 此a h k a r a 与f m m a h o m e d 3 3 1 提出了截断n o e t h e r 对称方法构造守恒律这 种方法仅考虑截断l a g r a n g i a n 的对称，并用截断l a g r a n g i a n 替代t n o e t h e r 定理 中的l a g r a n g i a n 其构造过程与用n o e t h e r 定理十分类似，但此方法不仅可应用 到具有l a g r a n g e 系统的方程上，对不存在l a g r a n g e 系统的方程也可应用该方法 求解守恒律 假定方程( 1 7 ) 有如下形式 g n = a o + a l = 0 ( 2 4 2 ) 1 4 定义2 2 ： 若存在函数l = 己 u a 】及非零函数馏满足 风a ( l ) = 臂g 各( 2 4 3 ) 成立，其中g 各0 ，则称l 为方程( 2 4 2 ) 的截断l a 口a n g i a n ，( 2 4 3 ) 式称为e u l e r - l a g - r a n g e 型方程 定义2 3 ： 存在函数b 【u a 】= ( b 1 ，b n ) ，使方程( 2 4 2 ) 的l i e - b i c k l u n d 对称 嘲毫 杀+ 篮去坞。彘+ ( 2 4 4 ) 满足 u ( l ) + d i ( f ) = w a 鼠a ( ) + d i 曰， ( 2 4 5 ) 其中q = 矿一f u 孑是u 的特征，b l + ，c 为常数，则u 称为方程( 2 4 2 ) 1 拘 n o e t h e r 型对称 注：一般来说，n o e t h e r 型对称( 2 4 4 ) 并不能像n o e t h e r 对称一样可以做成l i e 代 数，但如果n o e t h e r 型对称是某个e u l e r - l a g r a n g e 型方程的对称，则使得( 2 4 4 ) a 足l i e 代数条件 定理2 1 1 ：l i e - b i c k l u n d 对称 毫w 杀+ 篮壶塌。彘+ 是方程( 2 4 2 ) 的截断l a g r a n g i a n 的n o e t h e r 型对称，当且仅当u 的特征胪是方程 ( 2 4 2 ) 守恒律d i p = o 的特征，且守恒量p 满足方程 p 4 = b 。一j v 。( l ) ( 2 4 6 ) 其中，i ：为n o e t h e r 算子 2 9 伴随方程方法 i b r a g