《垂线定理复习》PPT课件.ppt

直线和平面垂直的定义,如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直，记作,它们唯一的公共点即交点叫做垂足,直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面,唯一性公理一,m,A,过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,唯一性公理二,过一点有且只有一个平面和已知直线垂直,m,A,B,直线与平面垂直的判定定理,如果直线和平面内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线垂直平面。,即：,线不在多，重在相交,线面垂直的性质定理,如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行,判定线面垂直的一个命题,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面,定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，,（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（3）垂线段比任何一条斜线段都短,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(即斜射角)，叫做这条直线和这个平面所成的角。,一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；,一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0的角。,直线和平面所成角的范围是0，90。,平面的斜线和平面所成的角,如图，OA是平面的斜线，OB平面于B，AC是内不与AB重合的任意直线，OAB=，BAC=，OAC=，求证：cos=coscos,O,A,B,C,线面角（斜射角），射非角斜非角,三垂线定理的逆理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,定理,逆定理,三垂线定理及其逆定理包含几种垂直关系？,线射垂直,线面垂直,线斜垂直,直线和平面垂直,平面内的直线和平面一条斜线的射影垂直,平面内的直线和平面的一条斜线垂直,线射垂直,线斜垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线在平面内的射影垂直,平面内的一条直线和平面的一条斜线垂直,？,例3如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：BAC在平面内，点P，PEAB，PFAC，PO，垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：BAO=CAO,分析：要证BAO=CAO只须证OE=OF,OEAB,OFAC,P,?,?,?,证明：,PO,OE、OF是PE、PF在内的射影,PE=PF,OE=OF,由OE是PE的射影且PEAB,OEAB,同理可得OFAC,结论成立,例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：在道边取一点C，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20m,BC是AC的射影且CDBCCDAC,CDB=45，CDBC，CD=20mBC=20m，,在直角三角形ABC中,AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(m),答：电塔顶与道路的距离是25m。,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,例5直接利用三垂线定理证明下列各题：,已知：PA正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。求证：POBD，PCBD,(3)已知：在正方体AC1中，求证：A1CB1D1，A1CBC1,(2)已知：PA平面PBC，PB=PC，M是BC的中点，求证：BCAM,(1),(2),(3),若a是平面的斜线，直线b垂直于a在平面内的射影，则ab（）,若a是平面的斜线,b,直线b垂直于a在平面内的射影，则ab（）,若a是平面的斜线，直线b且b垂直于a在另一平面内的射影则ab（）,若a是平面的斜线，平面内的直线b垂直于a在平面内的射影，则ab（）,练习：判断下列命题的真假：,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,面ABCD面面B1BCC1面直线A1C斜线a直线AB垂线b,面ABCD面直线A1C斜线a直线B1B垂线b,思考题：（1）在四面体ABCD中，已知ABCD，ACBD。求证：ADBC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，连接BO，CO，DO，则BO，CO，DO分别为AB，AC，AD在平面BCD上的射影。,O,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,思考题：（1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。,（3）在四面体ABCD中，AB=AC=AD，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。,（4）在四面体ABCD中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心。,垂,外,内,（2）在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的心,垂,例在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证B1OPA,P,O,导析：正方体中有众多的线面垂直，为我们使用“三垂线定理”提供了极为便利的条件。,谁是基础平面呢？,若以平面BB1D1D为基础面，可有如下的证明方法，如图六因为AOBD，而BB1面ABCD，从而有AOBB1，得AO平面BB1D1D，故PO就是AP在平面BB1D1D上的射影,P,O,例在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证B1OPA,P,O,导析：正方体中有众多的线面垂直，为我们使用“三垂线定理”提供了极为便利的条件。,谁是基础平面呢？,若以平面A1ADD1为基础面，显然B1A1平面A1ADD1，只须作出O点在平面A1ADD1上的射影即可得到斜线B1O在平面A1ADD1上的射影。,如图，O点在平面A1ADD1上的射影恰为AD的中点M，只要证明A1MAP即可。这在正方形A1ADD1中是显然的结论。,基础平面,解题小结：不同的选择，使问题的解决过程有难有易，由此也体现出灵活性并非能轻而易举地获得，所以要加强训练。,F,有趣的是，在线段A1B1上任取一点F，结论都能有FOAP。原因何在？,1如图，PAABC所在平面，ABAC13，BC10，PA5，求点P到直线BC的距离,设BC的中点为D，连结PDABAC13，BC10，ADBC且AD12又PA平面ABC，PDBC即PD的长度就是P到直线BC的距离而PD13,2、RtA