（应用数学专业论文）一类隐式偏微分方程的dirichlet问题.pdf

摘要 本文给出了类依赖于自变量和未知函数的梯度的向量情况隐式偏微分方 程的d i r i c h l e t 问题 g ( x , d “( x ) ) = o i “( x ) = 妒( x ) a e x q x 0 q 的弱解的存在性的充分条件，并将该结果应用到一类非拟凸变分问题中去。本文 指出在适当的条件下。可以将原问题转化为一个微分包含问题： f d u ( x ) m ( z ) ，| v 【“( 工) = 9 ( 工) ， a e x q x a q 对于此微分包含问题运用b a i r e 稠密性方法，构造一个完备的度量空间，也就是 容许函数空间。再利用似然泛函构造出它的一列稠密开子集( 实际上是逼近解 集) ，从而由b a i r e 稠密性定理可以得到解的存在性。因此在对函数g 本身不作 任何要求( 如拟凸性。连续性或增长性条件) 的情况下，得n - ；原闷题的解的存 在性。 关键词lh a m i l t o n j a c o b i 方程，极小问题，b a i r e 稠密性方法 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e w eg i v es b 丘i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n st ot h e v e c t o r i a lh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n sw i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ： f g ( x ，d u ( x ) j = 0 口e 工q ， 【“( x ) = 妒( x ) x 弛， o b t a i n i n g ，i na d d i t i o n ，a l la p p l i c a t i o nt ot h et h e o r yo f e x i s t e n c eo f m i n i m i z e r s f o ra c l a s so f n o n c o n v e xv a r i a t i o n a lp r o b l e m s u n d e rs u i t a b l ec o m p a t i b i l i t yc o n d i t i o n s ， t h ea b o v e p r o b l e m c a l lb er e d u c e dt ot h e f o l l o w i n g d i f f e r e n t i a li n c l u s i o n s p r o b l e m ： f d u ( x ) m ( x ) ，( x ) x a e x q i “( x ) = 妒( x ) ， xed q b y t h i sw a yn oc o n v e x i t y , c o n t i n u i t yo rg r o w t hc o n d i t i o n a s s u m p t i o n o nf u n c t i o n g a r en e e d e d w ec a l ls h o wt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ed i f f e r e n t i a j i n c l u s i o n s p r o b l e mb y b n i r ec a t e g o r ym e t h o d a n ds ot h ef o r m a lp r o b l e m t h em a i n s t e p so f u s i n g b a i r ec a t e g o r ym e t h o da r ea sf o l l o w s f ! r s tw ec o n s t r u c ta c o m p l e t e m e t r i c s p a c e v t h e nw i t ht h eh e l po f t h el i k e l i h o o df u n c t i o n a l ，w eo b t a i nas e r i e so f o p e n a n dd e n s es u b s e t i n v f i n a l l y , b yb a i r ec a t e g o r yt h e o r e m ，w ek n o w t h a tt h e s u b s e t n _ i s d e n s e i nv s e n k e y w o r d s ：h a m i l t o n - j a c o b i e q u a t i o n ，m i n i m u mp r o b l e m ，b a i r ec a t e g o r ym e t h o d i i 堡圭篓奎 二茎堕塞堡壁坌查堡竺里! ! 鎏! 竖塑墼 一 1绪论 本章简要叙述隐式偏微分方程的发展背景，并阐述隐式偏微分方程的理论 研究现状及存在问题，最后综述了将来的发展方向并介绍了本文的研究内容。 i 1引言 偏微分方程在变分法最优控制、物理、弹性力学、相变理论和金融数学 中都有着极其广泛的应用。对于线性偏微分方程而言，已经形成了一整套的理论 这些理论主要涉及到方程解的存在性、唯一性、光滑性等；而对于非线性方程而 言，由于方程本身的非线性性，从而带来很多的研究困难。所以，非线性方程的 解的存在性唯一性、光滑性的研究要复杂和困难的多，非线往方程的理论研究 还不完善， 非线性偏微分方程已经成为现代数学分析的非常重要的研究领域。近年来， 很多数学家对非线性方程进行了研究，其中包括拟线性方程和完全非线性方程。 最近，一类新的非线性偏微分方程一一隐式偏微分方程引起了很多数学家的兴 趣，比如c e l l i n a ，d a c a r o g n a 、m a r c e l l i n i ，l i o n s 、c r a n d a l l ，g r o m o v ， s y c h e v 等。他们用不同的方法得到了某些类型的隐式偏微分方程的解的存在性， 而且l i o n s 、c r a n d a l l 等人还讨论了一些特殊类型的方程的存在性、唯一性和 正则性等等。 1 2隐式偏微分方程的研究现状和发展方向 我们知道。非线性偏微分方程包括拟线性偏微分方程和完全非线性偏微分方 程，隐式偏微分方程是完全非线性方程。由于这类方程的完全非线性性，现在已 有的处理拟线性方程的理论和方法对完全菲线性方程已经不再适用，这促使人们 寻求新的方法和途径来研究完全非线性方程。上个世纪八十年代，c e l l i n a 首先 引入泛函分析方法来研究微分包含问题的( 弱) 解的存在性。引起了人们的广泛 关注，见【4 。这种方法以肋妇稠密性定理为基础。通过构造完备的度量空间， 引入适当的函数，构造该度量空间的一列稠密开子集，从而得到解的存在性。后 来c e i l i n a 又得到了梯度泛函极小问题的解的存在性的充分条件和必要条件( 见 5 】、 6 】、 7 ) 。之后d a c a r o g n a 、m a r c e l l i n i 等人利用这种方法得到了一系 列解的存在性结果( 见e 1 3 】， 1 4 、 1 5 、 1 6 j ， 1 7 、 1 9 】、 2 0 1 ， 2 9 、 3 6 】、 4 1 等) 。并将这些结果应用于变分法，最优控制、相交等问题中。 在1 9 9 9 年d a c a r o g n a ，m a r c e l l i n i 两个人系统地总结了别人在这方面已有的很 多结果，写成并出版了专著隐式偏微分方程( i m p l i c i tp a r t i a ld i f f e r e n t i a l 硕士论文一类隐式偏微分方程豹d i r i c h l e t 问题 e q u a t i o n s ) ) ) ，( 见 1 8 ) 。他们对未知函数是标量和向量两种情形分别对一阶方 程和高阶方程以及方程组进行了讨论。他们指出当隐式偏微分方程本身满足一定 的条件( 凸性条件和非凸性条件两种情形) ，而且其边界条件满足定的相容性 条件时，问题的解是存在的。对于阶方程的标量情况，他们得出下面的存在性 结果： 定理1 2 1 ：若f ：r ”斗r 凸，且在五r ”方向强制( 即3 m ，q o 使得，对任意 t r 都有尹售+ 现) 1 l l - q 成立) ，妒是仿射函数，且 ，( d 伊) 0 ， 则3 u 。( f 2 ) ，使得 f f ( d u ( x ) ) = 0 口p xe q 【“= 妒 x 弛 ( 1 2 i ) 对于更一般的情形有如下的存在性定理： 定理1 2 2 ：给定如下问题 黪竺肌伍”。0舢工xe讹oco(x) 。2 ) l “( x ) =工讹 7 其中q 是r ”中的开集，f ：q r r ”- r 连续，关于梯度变量凸且强制。如果 边界条件c o 满足相容性条件： r ( x ，c o ( x ) ，d 妒( 工) ) s0 口e x q 则对v 占 o ，3 u e 抽( q ) 使得“是问题( i 2 2 ) 的解，且陋一训p 占。 若f 非凸且只含有梯度项，则令e = 咎r ”：f ( f ) = o ，我们可得到下述微 分包含的解的存在性定理： 定理2 2 3 ：q 是r ”中的开集，占c r ”，伊坤) 满足相容性条件： d c o ( x ) e u i n t c o e ， c e x q ，( 1 2 3 ) 其中i n t c o e 表示集合e 的凸包的内部。 则ju 形1 。( q ) 使得： i d u ( x ) e a 量x q 1 “( x ) ：p ( x ) 工讹 ， ( 1 - 2 4 ) 对于向量情况的方程，若ecr ，则下述问题 2 f d u ( x ) e 口g 工q i “( x ) = 妒( x ) x n 如果将条件( 1 ，2 3 ) 推广为： d g o ( x 、e u i n t q c o e ， a e x q 其中i n t q c o e 表示集合e 的拟凸包的内部。则下面的结论表明，只有在e 和妒更 严格的条件下，才能保证解的存在性。此时要求p 是逐点仿射的，而且方程要满 足松弛性条件( 见n 7 、【1 8 ) ，同时需要将凸条件变为拟凸( 见( 2 5 、( 2 8 ) 条件。若e ，k c r ，我们说k 关于e 有松弛性，如果对于任意有界开集 q c r ”，任意一阶多项式心且d g ) = 善，满足： b ，0 ) ，d g ) ) i m x ，存在逐点仿射函数序列使得： + 列一( q ，r ”) 在1 幻，r ”净弱星收敛到 g ， 。g ) d “。g ) ) e u i n t k d i s t ( x , i g n g ) d 0 ) ；e ) 出呻0 ， 若f ：置哼r 拟凸，e = 存e r ：f ( 舌) - - o ，假定_ r c o e ( 表示集合e 的 秩凸包) 紧，且关于固定的彘i n t r c o e 是强星型的( s t r o n g l ys t a rs h a p e d ) ， 即对于v 掌r c o e ，v t ( o ，1 】，都有f 岛+ ( 1 一f ) i n t r c o e 。令p 是逐点仿射函数 d p ( 善) e 1 3 i n t r c o e ，a e x e f 2 ，则3 ”抽( q ，r “) ，使得： f f c d h ( x ) ) = 0 a e 工q 【“= 妒 x a q 对于该问题，如果此时r c o e 关于固定的彘i n t r c o e 是强星型的替换成 r c o e = c o e 。则问题的解依然存在。 对于更一般的情况，如果f ：q r ”r 寸震关于每个变量连续， f = f 0 ，s ，孝) 关于最后一个变量孝拟凸，且正齐次，令口：q x r ”- - 4 r ，连续且有 界，a ( x ，s ) a o 0 ，v ( x ，j ) q r ”，女果 硕士论文一类隐式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 r 话r m x 一：f ( x ，s ，善) = 口( x ，j ) ) = 眢r ：f ，s ，掌) 口 ，s ) 且妒c ：。( - 6 ，r ”) 满足y ( x ，妒( x ) ，d p ( x ) ) a ( x ，妒( x ) ) ，口丘x f 2 ，则问题 f f ( x ，“( x ) ，d 群( x ) ) = 口g ，“g ) ) 。e xeq 1 “( 工) = 伊( x ) x e 施 的解是存在的。 对于更一般的情况，f ：f 2 x r ”r ”一r 连续，且关于最后一个变量凸， 假定r c o 善e r ：f g 善) = o - - 存r ：f ( x ，s ，孝) o ) ，存在岛使得， f g ，s ，磊) o ，令伊c k ( - ，r “) ，且，扛，妒( 功，| d 矿( 瑚 0 ，则五可以分解成至 多可数个形式为毛+ q 五，毋占，i n 的不相交的集合和一个零测度集的并，即 五= 1 = ! b ，+ 每孬) u n ，岛b f e ，其中n 是零测度集。 证明：参考 3 h 。 影彦z j 1 0 ：设c r ”，令6 l ，6 2 r n ，6 f = o ) 7 吖 o ，x 只 ( 2 1 4 ) 其中只= 仁r ”： n 时，p ( x 。，矗) 0 ，3 z e ，使得，p ( x ，z ) f ，换句话说，对 垤x ，3 扛) c e 使得x 。_ x ，疗专。 定义2 - 2 ，? 包含绘定度量空间( x ，p ) 的最小的完备度量空间称为x 的完备化空 间。 定鲤2 2 6 ；每一个度量空间有一个完备化空间。 定r 藿r 2 2 7 ( b a i r e ) ：如果x 是完备度量空间，则每个由x 的稠密开子集组成的 可数族，其交在x 中稠密。 特别，( 除非在平凡的场合x = o 之外) ，这个交是不空的。这通常是本定理 的主要意义。 该定理在我们问题的证明中起着至关重要的作用。 参考【3 】或 3 8 。 影彦2 2 8 ( h t a l i ) ：令f 表示r “中一族闭球的集合，并且 s u p p ：耳( x ) f 0 ，存在g 中的元素包含x ，且它的直径小于s 。那么q 可以被一列g 中的互不相交的集合 和一个零测度集覆盖。 证明：见【2 2 】。 本小节内容可参考【3 9 】。 2 3似然泛函 定戈2 i j ，设k 5 r 为紧凸集，定义映射矗皓，丘) ：r 卜r u ) 厅g ，足) = o ，】卜k ，f 妒c y ，砂= 善 ，v 乎足。：，。) 其它 定义2 3 2 1 设e 互r 是可测集，我们定义似然泛函 l ( v ，e ) - f 缈( x ) ，足皿 ( 2 3 2 ) 其中v e r ( e ，r ) 。 启戈2 i j j 设x 是完备度量空间，映射，：x _ r 称为是下半连续的，如果对任 意k ) 。，x e x ，且h 斗x ，都有下式成立 ，o ) _ l u n i n ff ( x 。) ，宦义2 i 钾设x 是完备度量空间，映射f ：x 斗r 称为是上半连续的，如果对任 意扛。 。，x x ，且矗呻x ，都有下式成立： f ( x ) l i m s u p f ( x 。) 盐g z 3 5 若将上述两个定义中的x 。斗x 分别改成工。弱收敛或弱刈殳敛到x ，则 厂分别称为弱下( 上) 半连续和弱，下( 上) 半连续。 j 0 妒 ； 、， 砂孝 一 yp j ， 婶 o 硕士论文一类隐式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 苎留2 i 6 ，若，既上半连续，又下半连续，则，是连续的，g i 2 _ 亦然。 定戈2 王乃若x 是度量空间，称泛函j ：x 斗r 是凸的，若对。，x 2 x ，五( o ，1 ) 都有，似。+ ( 1 一五) x 2 ) ) + ( 1 一五) ，( x 2 ) 成立。 启义2 i 占：若x 是度量空间，称泛函j ：x r 是凹的，若对溉i ，x 2 x ，五( o ，1 ) 都有，q 而+ ( 1 一旯) x ：) a j ( x ，) + ( 1 一五) ，( x 2 ) 成立。 茔i y , 2 i 9 ，若将上述定义2 王7 和定义2 3 8 中的不等号“”和“”分别 换成“ ”，则分别称为严格凸的和严格凹的。 t 生i y , 2 i 如，由上述定义可知，若泛函j 是( 严格) 凸的，则一，是( 严格) 凹 的。 定冀孽2 3 1 1 ，若泛函j 既是凸的，又是凹的，则它必是仿射。 豌9 2 3 1 2 ：( 1 ) 映射善卜 皓，足) 是上半连续的。 ( 2 ) 映射手hj j i g ，k ) 是严格凹的。 ( 3 ) 矗皓，k ) 0 ，v 善k ； g ，k ) = o 当且仅当手e x i t ( k ) 。 ( 4 ) i i l g ，k 】d i a m ( k ) 。 ( 5 ) 似然泛函yh 三缈，e ) 关于r ( e ，r ”) 上的弱拓扑是上半连续 的：即对任意序列以 。，使得在p ( e ，r ) 中吆弱收敛到y ，都有 l ( v ，e ) l i m s u p l ( v , ，e ) 。 证明：对( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 见【1 1 。参考【1 2 1 以证明( 5 ) 。 定义z 王妇，一个b o r e l 测且局部可积函数f ：r “斗r 称为是拟凸的，如果 厂( 爿) s 士m e a s l 2 厂0 + d 妒( x ) 对v 有界区域q c r ”，v ae r ，v 妒酬一( q ，r “) 。 定义z i ，函数f ：r ”叶豆称为是秩一凸的，如果 ( t 4 + ( 1 2 ) 占) 矽( 爿) + ( 1 2 ) 歹i 功， 对于v 旯【o ，1 l4 ，b e r m x g r a n k ( a b ) 1 都成立。 定义2 3 1 5 ：函数厂：r 一豆称为是p o l y c o n v e x 的，如果存在函数 硕士论文一类隐式偏微分方程的d i r i e h l e t 问题 g ：r 咖一) 专趸凸，使得( 彳) = g ( 双彳) ) ，其中t ：r “”r r ( m , n ) 如下定义： 丁( 爿) = ( 一，d 巧：a ，日够。，4 ) ，g a a j ，a 表示爿的所有s 阶子式构成的矩阵， m 疗= m ；n b ，一k 仃o ，= ( ? ( ： ， r ( 用，甩) = 盯0 ) 。 5 l i 苎詹2 3 1 6 ：凸jp o l y c o n v e xj 拟凸j 秩一凸，但反之不一定成立。 扈壁2 3 1 7 ：泛函j ：x 寸胄，如果，是凸的，则必有j 弱下半连续。， 定窖2 3 1 8 ：设m 是x 中弱紧弱闭集，j ：m r 为弱下半连续泛函，则存在 m 使得 j ( x o ) 2 赠，( x ) 。 参考 2 4 】。 2 4s o b o l e v 空间 启戈2 t j ，设q c r ”是一个开集，”c 嘧) ，称集合 f = x q ：”( x ) 0 的闭包( 关于q ) 为u 的关于q 的支集，记作：s u p p u 。 换句话说，连续函数“的支集是在此集外”恒为0 的相对于q 的最小闭集。 詹艾2 t 2 7 令：q 斗r 可测，如果存在v ：q j r 可测，使得： l “( x ) d 妒( x ) 凼= 一【v o ) 妒0 ) 出， v 9 ea q xi = 1 ，l 则我们称“在区域q 内有弱导数，记成v x x ) = p “( x ) = 罢，其中 四。 q ( q ) = 移c ) ：旗有紧支集 。 谚劈2 t ， “的弱导数如果存在，则除去一个零测度集之外是唯一的。 舣刎，批瑚忡叶汕ma 霉谶嚣撒 w i , i 心) = 0 ： 2 - - - ，r ：“可测，具有一阶弱导数，肛i + f d 阢( n ) + m j 毋詹2 t 5 ，形1 。( q ) 在范数怯i i 。( 。，= 宝e 鼬s u p 0d “i + i ”1 ) 下是一个无穷维的完 i l 】 备 度量空间。 詹戈2 2 6 ，列，。( q ) 表示c 彳心) 在形1 ，”位) 中的闭包，即：v 材仨矽心) ，存在 u m c 孑 ) ，使得，峪。一h ，一o ，m - - o o ，则u e 吲) 。 启吠2 t 7 ，函数u ：q r 可测，若对觇，y q ，都有： f “( 工) 一( j ，) i _ c l x y i 则我们称甜l i p s c h i t z 函数。其中的常数c 称为三枷砌妇常数。 启罂2 t 8 ，耐田( q ) 的表示定理：令q c r n 有界开集，m 是c 1 的，则“：q r 是一个三枷幽比函数当且仅当“w 1 ”( q ) 。 翩2 t ，如果函数列k 。；。cr q ) ，并且忆k ( 肘 - b o o ，则存在一个 子序列每。， c 轧) 和群r 陋x 肚在r ( q ) 中弱收敛到甜。 苎超2 t j 口，若w ) ，l d u 。峙。m + 。d ，则存在一个子序列 0 。， c 函。j 和“w 1 。( q ) ，使得“t ，在矽1 。( q 冲弱收敛到。 该小节内容可参考 3 0 1 、【3 7 】。 硕士论文 一类隐式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 3主要定理 3 1问题的陈述 我们主要考虑下述隐式偏微分方程的d i r i c h l e t 边值问题： j g ! x ：d “= 0 础x q ， f 3 1 1 ) 【“l x j = 妒( x ) x a q ， 、 其中q c r ”开集，“1 ，。( q ，r ”) ，映射g ：n r _ r ，妒是边界条件。 苎留i j j ；( 1 ) 若q 有界，则u = 妒，x a q ，意味着 “一伊州一( q ，r “) = 旷。( q ，震) n 咏。b ，r ”) ( 2 ) 若q 无界，则u = 红z a q ，意味着 u 一妒杪吲7 ( f 2 i ) i n t s u p p p t ) ，v 妒c ；陋”，r ”) 由于该问题依赖于自变量x ，从而增加了困难。我们主要采用近年来入们常 用的泛函分析方法解决该边值问题的弱解的存在性问题。对于这类问题，前人已 经得出了解的存在性结果，但都是对方程本身提出了条件，主要是要求函数g 关 于未知函数的梯度是拟凸的，而拟凸性条件是不易验证的。而我们用的这种稠密 性方法证明了在一定的相容性条件下，即使不需要g 的( 拟) 凸性，连续性或增 长性也能得出解的存在性。主要的困难是要找到一个完备的度量空间以应用 b a i r e 稠密性方法。 利用b a i r e 稠密性方法证明弱解的存在性的主要思路是：寻找一个完备的度 量空间y ，并构造出它的的一列稠密开子集帆) 。，其中t 是由逼近解构成的集 合，则由b a i r e 稠密性方法可知，n 圪即所求的解的集合。下一节我们将对此作 具体的讨论。 该问题与下述的变分问题相关： 给定能量泛函 ，( “) = 【g ( x ，d u g 眦f ( 3 1 2 ) 其中妒+ 吲( q ，r ”) ，映射g ：q r 一r 。我们知道该泛函的极小问题， 不能用变分法的宣接方法来求所谓直接法即：寻找变分问题的极小4 l ) 芋歹! j u 。， 使得在某种意义下具有一定的紧性，而且，被积函数关于梯度变量是拟凸的， 塑主堡兰二鲞堕壅堡塑坌查堡墼里! ! ! 堂坠塑望 一 则泛函存在极小。因为一般来讲，泛函，的极小化序列在缈押，r “) 中不弱紧， 而且如果不假设苫关于第二个变量孝是拟凸的，则泛函j 不是弱、下半连续的。 若给定g ( x ，善) o 在q r 上，则问题( 3 1 1 ) 的解，就是泛函( 3 1 2 ) 的极 小值函数。因而我们可以把泛函的极值问题转化成一个微分方程的边值问题。 3 2主要定理 对于问题( 3 1 1 ) 中的隐式偏微分方程，如果对魄q 都存在两个矩阵 m ( z ) ，( x ) r ”，使得g ( x ，m ( 力) = g ( x ，( x ) ) = 0 ，则若微分包含问题： f d u ( x ) ( 时( 工) ，( x ) ， a e x q i ( x ) = 伊( x ) ，x a q 的弱解存在，则它也是原问题( 3 1 1 ) 的解。因此下面我们着重解决此微分包含 问题。 启戈王2 j j 设m 0 ) ，( x ) 月，且肘o ) = c o b ( x ) ，o ) = c o d ( x ) ，其中 c r m , 6 0 ) ，d ( 力er 她r 4 ) r 我们称( d ，( d 满足条彳牛( c ) ，如果它满足下 述条件： 3 b 一, d r ”，使得，石6 0 ) j ( x ) s 孑。a e x q ( 3 2 i ) 3 c 。( q ，r ”净的两个序列舰( x ) l 。，b ( 曲k ，使得 6 ，( x ) 6 ( x ) ，d f ( x ) d ( x ) a e z q ，v f e n ( 3 2 2 ) 6 ，( x ) 一6 ( x ) ，4 ( 工) _ d ( x ) ， ，专。o ，_ ( q ，r “) ( 3 2 3 ) 定r 霆i 三2 ，令q 是r “中的有界开子集，m ( x ) ，n ( x ) 满足条件( c ) 。令 p e w 抽，r ”) 是一个逐点仿射函数且满足d 妒( 工) 阻( x ) ，( x ) 】。a t e z q ， 贝。存在“妒+ 陟0 。b ，r ”) 使得d “( z ) ，( 工) ，( x ) ) ，a e 工q 。 茳起王2 3 ：【m ( x ) ，( x ) 】表示连接肠( x ) 和( x ) 两点之间的线段，即对任意 a e o ) ，( z ) j 总存在z f o j l j 使得彳= 五耐( x ) + ( i 五) ( x ) 。 证明：记露= 善黑c i = m a x 饲，网j 硕士论文一类隐式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 由1 炭议由_ l 知 i i d y l l s 厨n 一 ( 3 2 4 ) 嘶= p 圳叫漱i d u ( 3 ( x x 高嚣数) ， 则显然p v o ，从而v o 非空a 我们考虑在r 范数下的完备化度量空间v 。则 y u o 妒+ 吲t 。，r ”) ：d “( z ) 【m ( x ) ，( x ) k 矗 事实上，任意取中的序列“ 。一“在r ，r ”) 中，因为 i i o 忆- m 一n 一，a c ，由注记( 2 5 1 0 ) ，我们可以抽出一个子序列仍记为k r 使得：在矽1 。的弱拓扑下收敛到虮一因而，显然我们有i i d “i i ，砑n 一。 现在考虑多值函数f ：q _ k ，f ( x ) = 阻( x ) ，( x ) 】，并考虑似然泛函 三：v _ r ：使得 三( “) = ( d “( x ) ，f ( x ) k ， 其中映射h 如式( 2 3 1 ) 中所定义。我们定义集合 以= u v ：l 牛 协砒 下面我们证明以) 。是y 中的一列稠密开子集。 第一步：集合圪在v 中是开集。 首先我们注意到映射f 关h a u s d o r f f 拓扑是连续的；而且，由命题( 2 3 1 2 ) 中关于h 的性质( 2 ) 可知，映射孝b g ，f ( x ) ) 是严格凹的，v x q ，因而似然泛 函l 在矿上关于弱拓扑1 。是上半连续的。 固定s e n ，我们要证集合在y 中是开集，只要证矿一k 是闭集即可。任 意取y t 中的序列钆l 。，t 使得_ 甜关于拓扑r 心，r ”) ，由于矿是r 拓扑 下的完备化度量空间，从而“v 。我们要进一步证明”v 一圪，只要证三( “) 一1 1 6 堡主堡苎 = 耋堕苎堡燮坌塑堡塑望! 生! 堕! ! 丝一 即可。由于三沁) ；，v t ，且由上述讨论可知我们可以假定机在拓扑矽。 中g 收敛到“，因此， ( “) l i m s u p 三0 。) 三。 这证明了v k 在v 中是闭集，所以乓在v 中是开集。 第二步：集合k 在矿中是稠密的。 固定s ，任意。 s 硐1 列臃_ 在y 中是稠密的 只要证圪在中是稠密的即可。事实上，由于矿是的完备化度量空间，并且 在圪中稠密，从而由三角不等式易知，k 在v 中是稠密的。因而我们只要构造 出v ，使得( d 0 ，v e ”，只要咖聊( e ) s 占，那么下述两个多元函数 x 卜_ 6 ( x ) ，6 ( x ) + ， ， x e x 卜- 西c x ，一；，讲( 工， ， x e 分别至少存在一个常数( 向量) 。由所幻，f 覆盖引理可知，不妨假定砒研( 人) s d ， w n 。 固定- ，n ，使得。令口j ，口；r ”，使得 町l c n 岛c x ，+ ；， ，口je lc 工，一；，一c z ， 觇卜， c 。2 s ， 因为踟，( 力e c 。6 ( ，c 。d 0 ) 】，而且“，在每个q ，上是仿射，所以不妨设 d u ( x ) = c o 巳，v x q j 其中口，是一个n 维常列向量。 显然，由式( 3 2 8 ) 和a ：的定义可知， d u j ( c 。口j ，c 。町) ( 3 2 9 ) 也就是说。 硕士论文一类臆式偏微分方程的d i r i e h l e t 问题 a j a i n ： ( 3 2 i o ) 令毛- 町一巳，5 ：- t a j ，并且令k ，s ：，。j 是r ”中紧凸集的极点， 且k ，j 2 ，。j 。令ei - c 。s ，i = 1 。，q 。则由引理( 2 1 1 0 ) 可知存在逐点仿 射函数伊吲一，r ”) ，使得 d 伤e k ，岛，玩j a e 鼽k ，方s 珊e 傩仁一：d p ，诺慨，日 吉s 令a ；_ b ：d 竹b 。，岛) ) ，则在一a ：上，恒有d 吼 且，岛 。 下面我们令 2 u j + 妒。 则显然_ e ，+ 列。沁- a ；，r “) ，v j 是一个逐点仿射函数，并且 犯_ 犯( t 。胪) 2 物k ( - s 古占占，而且，由式( 3 2 9 ) 可知： d v i = ) 珏i + d j 1 e m i + b l ，d u j + b z l 。譬p 巳+ c o 置，c o a j + c s 2 = 叠。口，+ c 固e 一口，l c 口，+ c 。眩一口，) 。每。口j ，c 。口疗 a e - x 一a ：( 3 2 1 1 ) 由式( 3 2 8 ) 可知s d v s ( x ) c 。6 0 ) ，c 。彳( x ) j = 陋o ) ，o ) j ，a e x j a ； 再令 忆2 萎叱1 ( 3 2 1 2 ) | t n j 其中a = ua ：。 | t n 而令 叫 ：= “l a - ，( 3 2 1 3 ) 1 9 硕士论文一类隐式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 式( 3 2 7 ) 。( 3 2 1 2 ) 和( 3 2 1 3 ) 便得v 在整个2 上郡召足义。并且 v e “+ 纠”幻，r ”) = 伊+ 吲。，r “) ，v 是逐点仿射函数；而且由构造可知， d v ) ，( x ) 】，a e ，xe q ，因此，v 。而且由上述构造可知，l l u - v i i r 占。 因此为了结束第二步只要证y 以即可。 我们对( v ) 做一下估计。由式( 3 2 8 ) 和( 3 2 1 1 ) 以及a 的定义可知， 。v c x ， c 。a c x ，c p ( 岛c x ，+ ；，) u c 。( 一c x ，一；，) ，c 。d c x ， ， a e ， x a a 。 因此由命题( 2 3 1 2 ) 中的性质( 4 ) ，( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) ，我们有 ( v ) = ( 西( x ) ，( x ) 炳 。一 ( d “( x ) ，f ( x ) 皿+ i “ ( d v ( x ) ，( x ) 皿+ 【 ( d ”( x ) ，f ( x ) 协 一a 廊孑一司) + 厨“b q + 州b ( x ) - b , ( x ) - 栌 + 卢( a 矽归一i l ) s p q a 肺一万l + 牙k 扎冲圳。+ 手胭) ) + 砑旷司 s 硐南面即l + 厨( 击+ 丽1 + 丽2 丽肥) + 厨即i = 去+ ( 去+ 石1 + 去 + 百1 = 石5 第二步证完! 由b a i r e 稠密性定理( 见定理2 2 7 ) 知，u ：= n 。乓在y 中稠密，从而非空。 任取玎u ，显然我们有d 玎( 工) 【m ( z ) ，( x ) ，a e ，工q ；而且，由命题( 2 3 1 2 ) 中的性质( 3 ) 和圪的构造，我们显然有上( 玎) = 0 。因此， ( d 玎( x ) ，( x ) ) ：0 ( a e ) ， 再由命题( 2 3 1 2 ) 中的性质( 3 ) 可知，d 厅( x ) 膨( x ) ，( z ) 。a e - ，x q 。 命题证京! 硕士论文一类臆式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 拦哲i 2 j ，定理中若假设q 无界，则该定理依然成立。 证明：事实上，我们知道这时q 总可以表示成一列互不相交的有界开集的并，从 而我们对每一个有界开集应用该定理即可得所要的结果。证毕! 茔留i2 彳，由上述的证明可知，用肋以稠密性定理得到解的稠密集，因而这样 得到的解一般来讲是不唯一的。 2 l 硕士论文一类踌式偏微分方程的d i r i c h l e t 问题 结论 本文给出了一类依赖于自变量和梯度变量的隐式偏微分方程的边值问题的 弱解的存在性，并把这个结果应用到变分问题中去。文章指出在一定的相容性的 条件下，即解存在的必要条件，该问题可以转化为一个只含有两个元素的微分包 含问题，而如果这两个元素可以分别用- - n 连续函数来逼近，则微分包含问题存 在弱解，从而原问题的解存在。这种方法可以更好的理解向量情况的隐式偏微分 方程的解存在性的充分条件具有松弛性。由于秩一凸包具有松弛性，因而我 们的结论和已有的存在性结果是一致的。 该文给出了一类非拟凸变分问题的解的存在性结果。但是仍然有一些闯题 尚待进一步研究： ( 1 ) g ( x ，曲= 0 和g ( x ，d e t 善) = 0 解的存在性结果已经有了，但在什么样的 条件下能得出g ( x ，斟d e t 孝) = 0 的解的存在性? 其中孝是”阶方阵，吲表示手作为 r 中向量的范数。 ( 2 ) 将本文的情况进行推广，则如何提相容性条件才能使下述问题的解存 在? g o ，a , 0 。善) = 0 ，其中善r ，a d j ；孝，1 s 墨m i n m ，玎 表示告的所有5 阶子 式构成的向置。 ( 3 ) 对于具体的问题能否用凸积分的方法来做?