（应用数学专业论文）一类李纳系统的极限环.pdf

论文题目：一类李纳系统的极限环个数 学科专业：应用数学 学位申请人：闰辉 指导老师：韩茂安教授 摘要 本文第一章为引言，主要内容是介绍所研究课题的来源，现状，以及本文的研究方法 和主要结论 第二章主要研究一类近哈密顿系统，它的未扰系统有两个中心，个鞍点，个单同 宿环和个双同宿环通过引用三个引理，我们分别得到系统在两个中心，单同宿环和 双同宿环附近的m e l n i k o v 函数的展式通过对相关的m e l n i k o v 函数展式的研究，我们 得到了系统极限个数和分布情况本文将所述李纳系统的同宿分支和h o p f 分支放在一 起考虑，并结合双同宿环m e l n i k o v 函数的展式中系数的四种情况得到四个定理我们 对其中的两个定理进行的详细的证明，其它两个定理类似可证 第三章主要研究了一类确定的四次李纳系统的极限环个数和分布情况首先利用第 二章的引理得到了一般情况下相关的m e l n i k o v 函数的展式的系数，其次利用第二章的 定理，对个确定的四次李纳系统的极限环情况进行讨论最后证明了这个李纳系统分 别在3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9 次扰动下至少可以产生4 ，7 ，7 ，8 ，1 0 ，1 1 ，1 1 个极限环 关键词：极限环；同宿环；双同宿环；同宿分支；h o p f 分支 t h e s i st o p i c ：l i m i tc y c l e so fal i e n a r ds y s t e m s u b j e c t ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：y a nh u i i n s t r u c t o r ：p r o f e s s o rh a nm a o a n a b s t r a c t a sa ni n t r o d u c t i o n ，i nt h ef i r s tc h a p t e rw ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do fo u rr e s e a r c h a n dm a i nt o p i c st h a tw ew i l ls t u d yi nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s w ea l s og i v ead e s c r i p t i o n o fo u rm e t h o d sa n dr e s u l t sd e t a i n e di nt h i st h e s i si nt h ef i r s tc h a p t e r i nc h a p t e r2 ，w ei 畸n l yr e s e a r c hac l a s so fn e a r - h a m i l t o ns y s t e mw h o s eu n p e r - t u r b e ds y s t e mh a st w oc e n t e rp o i n t s ，o n es a d d l ep o i n t ，as i m p l eh o m o c l i n i cl o o pa n d ad o u b l eh o m o c l i n i cl o o p b yu s i n gt h r e el e m m a s ，w er e s p e c t i v e l yd e r i v et h em e l n i k o v f u n c t i o ne x p a n de x p r e s s i o n so ft h es y s t e mn e a rt w oc e n t e r ，s i m p l eh o m o c l i n i cl o o pa n d d o u b l eh o m o c l i n i cl o o p t h r o u g hr e s e a r c h i n ga b o u tt h er e l e v a n tm e l n i k o vf u n c t i o n e x p a n d i n ge x p r e s s i o n s ，w eo b t a i nal o w e rb o u n d o ft h en u m b e ra n dt h ed i s t r i b u t i o no f t h el i m i tc y c l e so ft h es y s t e m t h eh o m o c l i n i ca n dh o p fb i f u r c a t i o n sa r ec o n s i d e r e d t o g e t h e r ，a d j o i n i n gt ot h ef o u rc a s e so ft h e c o e f f i c i e n t so ft h em e l n i k o vf u n c t i o ne x p a n d e x p r e s s i o nn e a rt h ed o u b l eh o m o c l i n i cl o o p ，w ed e r i v ef o u rt h e o r e m s w eg i v e ad e t a i l e d p r o o fa b o u tt h et w ot h e o r e m so ff o u r ，t h eo t h e r sc a n b ep r o v e da n a l o g o u s l y i nc h a p t e r3 ，t h en u m b e ra n dd i s t r i b u t i o no ft h el i m i tc y c l e sf o rac l a s sc o n c r e t e q u a r t i cl i e n a r ds y s t e m sa r er e s e a r c h e d f i r s t ，b yu s i n gt h el e m m a so b t a i n e di nc h a p t e r 2w ed e r i v et h er e l e v a n tm e l n i k o vf u n c t i o ne x p a n d i n ge x p r e s s i o ni ng e n e r a lc a s e t h e n u s i n gt h et h e o r e m si nc h a p t e rt w o ，b i f u r c a t i o n so ft h el i m i tc y c l e sf o r t h el i e n a r ds y s t e m a r ed i s c u s s e d f i n a l l y , w ep r o v et h i sl i e n a r ds y s t e mc a nr e s p e c t i v e l yb i f u r c a t e4 ，7 ，7 ， 8 ，1 0 ，1 1 ，1 1l i m i tc y c l e su n d e rt h ep e r t u r b a t i o no fd e g r e e s3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8a n d9 k e yw o r d s ：l i m i tc y c l e s ；h o m o c l i n i cl o o p ；d o u b l eh o m o c l i n i c ；h o m o c l i n i c b i f u r c a t i o n ；h o p fb i f u r c a t i o n 上海师范大学硕士学位论文学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 论文作者签名；i 司机日期：口j 年j 月f 眵日 上海师范大学硕士学位论文论文使用授权声明 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即；学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 论文作者签名：l 3 拐日期：p 歹年、r 月f 眵日 翩獬5 杈日年厂月夕日 3 7 上海师范大学硕士学位论文第一章引言和主要结果 第一章引言和主要结果 本文主要是研究一类李纳系统极限环的分布情况，它的未扰系统是一个有双同宿环 和单同宿环的四次系统 著名数学家d h i l b e r t 1 】于1 9 0 0 年在国际数学家大会上提出了二十三个数学难 题，其中第十六个问题的后一半就是；给定微分方程 咖 p n ( z ，y ) 一= = = - - - 一 d z q 。( z ，y ) 其中r ，q n 是z ，y 的次数不高于钆的实系数多项式；问它最多有几个极限环以及它 们的相对位置，即对一切这样的n 次系统，能否估计出极限环个数的上界( 自然依赖于 n ) 有许多文章是关于这方面的研究的通常对于一般多项式找极限环的数目是很难 的为了在平面内找到尽可能多的极限环，数学家对李纳系统作了研究并取得了一些成 果考虑李纳方程 圣= y 一6 f ( x ) ，多= - g c x ) ， 其中f 和g 是多项式设h ( i ，j ) 表示系统最大的极限环个数，其中i 表示g 的次数，j 表示f 的次数对于i = 4 ，j = 5 ，6 ，7 ，8 ，9 情况，有以下主要结果t 1 在1 9 9 7 年，s l y n c h 2 】证明了h ( 4 ，5 ) 芝4 ，h ( 4 ，6 ) 6 ，h ( 4 ，7 ) 8 2 在2 0 0 6 年，p y u 和m h a n 【3 证明了h ( 4 ，5 ) 6 ，h ( 4 ，6 ) 7 ，h ( 4 ，7 ) 8 ，h ( 4 ，8 ) 9 ，h ( 4 ，9 ) 9 最近，在考虑同宿分支方面取得了一些进步在这篇文章中，我们考虑形式如下的李纳 系统 圣= y e f ( x ) ，雪= 一g ( z ) ， ( 1 1 ) 其中 f ( z ) = 啦，夕( z ) = z 4 + a x 3 + b x 2 + c x i n 1 第一章引言和主要结果上海师范大学硕士学位论文 假设系统( 1 i ) 有四个奇异点那么我们假定 夕( z ) = x ( x 一1 ) ( z q ) ( z p ) ，( 1 2 ) 其中0 q p 1 由【3 】可知系统( 1 1 ) i 。：o 根据q 和的取值有1 2 种不同的 情况我们仅对至少产生两族周期轨的情况感兴趣由 3 】，这种情况当且仅当下面条件 成立时出现： 、， 弋 。 j 二 。u y 历 烈 沙 ， x 心 ， 一 r j l ， x 。 c 图1 b ( i ) q ：嬲，o q p l ， q 2 葡f 万 畎吣从l 系统系统( 1 1 ) l 。= o 有：两个中心和两个鞍点，一个同宿和一个异宿多旋回，见图i ( a ) ； 2 上海师范大学硕士学位论文第一章引言和主要结果 ( i i ) q 嚣考，。 q 等暑，0 b ，j = 1 ，2 使得未绕系统( 2 1 2 ) 有三族周期轨形式如下 厶：h ( x ，y ) = h ，h ( k ，) ， 和 l i , ：h ( x ，y ) = h ，h ( ，无o ) ，歹= 1 ，2 ， 其中 骁一“= l ，1 0 是个通过双曲鞍点s ( x 。，舶) 的同宿环，。l i m ；l h = l 元。是个 通过双曲鞍点雪( 瓦，吼) 的双同宿环，。l i r a ：珥= 磕，j = 1 ，2 表示两个同宿环，且满 足三j i o2 三毛u 三2 。，姆；睨= 4 = ( ，织) ，歹= 1 ，2 表示两个中心如图2 所示 系统( 2 1 1 ) 的一阶m e l n i k o v 函数为 m ( ) = z ( 批一砌) ， 坞( ) 2 磊( 批一砌) ， h ( h o ，h o ) ， 一 ( 2 1 3 ) h ( ，) ，j = 1 ，2 关于m e l n i k o v 函数在h = 0 附近的性质，我们有如下引理： 4 上海师范大学硕士学位论文第二章同宿环附近的极限环 假定 y 。冬 沁、形i 一 。 炉心兰乡工 争 引理2 1 1 ( 【4 】) 考虑偿j o j 设 图2 日( 训) ：害【( 秒一弛) 2 一( z 一) z ) 】+ ( x - - x $ ) t ( 耖一y j , a o i + j 3 p ( z ，可，6 ) = a o ( x 一) ( 3 ，一舶) ，口( z ，! ，6 ) = b i j ( x 一) ( y 一玑) ， i + j 0l + j o 对于点( z ，y ) 在点s 附近然后对于h ( h o ，h o ) ，当h 充分靠近h o 时，m e l n i k o v 函 数有以下展式 m ( h , h o ) = 删+ c l ( 嘶一训n i h - h o l + ( c 2 ( 6 ) + ) ) ( 九一) ( 2 1 4 ) + ( c 3 0 ) + 5 c 1 ( 6 ) ) ( 一h o ) 2i nl h h o i + o ( i h h o l 2 ) ， 5 第二章同宿环附近的极限环 上海师范大学硕士学位论文 其中 c o ( 6 ) = m ( 。，6 ) = 歹l h o q 如一刚， e l ( j ) = c 2 ( 6 ) d l o + b 0 1 = z h 魄 + 一q y - - a l o - - 谳 郇) = 而- 1 ( - 3 a a o - 6 2 1 + a 1 2 + 3 6 0 3 ) 一扣6 0 2 + a 1 1 ) ( 3 h 0 3 - h 2 1 ) + ( 2 a 2 0 + b 1 1 ) ( 3 h 3 0 一危1 2 ) 】) ， ( 2 1 5 ) b 和舌为某些常数 我们分别称系数c l ( 6 ) 和c 3 ( 6 ) 为鞍点在点s ( 钆，y o ) 的第一阶和第二阶局部m e l - n i k o v 系数 关于m e l n i k o v 函数在h = h j ，歹= 1 ，2 附近的性质，我们有 m a h ，j ) = ( 一b ) k + 1j f = 1 ，2 ， 走2 0 其中系数，k = 0 ，1 ，2 j = 1 ，2 可以从如下引理中获得 引理2 2 【5 】设( x 。，纨) = ：，旌) 或( z ：，醒) ，h 。= h i 或h 2 假设 脚川= 扣耐帕刊2 】+ ；毛嗽z 刊锄刊j ， 纯+ q y = 二c 巧( z z 。) 一玑) 歹 纯+ 2lc 巧( z z c ) 。( 秒一玑) + j 0 那么对于0 h 一1 ， 6 幻妒删2 善5 鼬w + 1 ， ( 2 1 6 ) 上海师范大学硕士学位论文第二章同宿环附近的极限环 其中 b o 2 2 7 r c o o ， 5 l = c 0 0 7 r 【1 2 5 、h 3 0 ：+ 磕3 ) + 互3 也2 l + 是；2 + 2 h s o h l 2 + 2 1 。3 ) 】- - c i o 万( 九1 2 + 3 危3 0 ) 一 c o l d - ( h 2 1 + 3 h o s ) + c 2 0 7 r + c 0 2 7 r ， 6 2 = c 0 0 a + c l o a l o + c o l a o l + c 2 0 a 2 0 + c l l a l l + c 0 2 a 0 2 一c 3 0 t r ( h 1 2 + 5 h 3 0 ) - 其中 c 1 2 7 r ( h 3 0 + h 1 2 ) 一c 2 1 7 r ( h 0 3 + h 2 1 ) 一c d 3 7 r ( 2 l + 5 h 0 3 ) + 7 t c 4 0 + 7 i c 0 4 + 芸c 2 2 ， u ( 2 1 7 ) 学7 r ( 危知+ h 0 4 3 ) + 百3 5 wl ，6 4 1 2 + 蟛1 ) + 百7 5 7 _ u ，l 6 2 1 2 镌1 + 3 3 ；o ) + t 3 1 5 w - - l ，i - 2 1 2 h 3 3 - - ；l 危孙) + 丁1 0 5 7 r ( ；2 盈+ 危敖，暹1 ) + 7 5 7 r h 2 1 h o a h a o h l 2 + 1 0 5 7 r ( 蹦k 九2 1 + h i o h m ) + 萼7 r ( ，罐2 h 3 0 + 九2 1 h o a ) + t 1 0 5 - ，i _ l ，z 6 0 2 3 h 3 0 h 1 2 + h 2 h 0 3 h 2 1 + 2 h 0 3 h 2 1 + 九；1 h 3 0 h 1 2 ) + 虿3 5 wl ，0 4 2 + 九孙) + 1 7 r ( ；3 + 碡1 ) - 4 - 互3 - ，i ，。2 2 2 + 5 r ( h 0 4 h 2 2 + h 4 0 h 2 2 ) + 3 r ( h 0 4 h a o + h l a h 3 1 ) 一学7 r ( 危0 4 + 盈 4 0 ) 一；，r ( h 2 0 3 h 4 0 + h ；o h 0 4 + 尼；2 h 4 0 + 危 2 h 0 4 + 镌1 危4 0 + ；1 2 2 ) 一5 7 r ( h 3 0 h 1 2 h o , + h 0 3 h 2 l 九2 2 + h s o h l 2 h 2 2 + h 0 3 h 2 1h 4 0 + h a o h 0 3 h 1 3 + h s o h 2 i h 3 + h 2 1 h 1 2 h 1 3 + h a o h 0 3 h 3 1 + h o a h l 2 h 3 1 + h 3 1 h 1 2 h 2 1 ) - 虿3 57 u ，6 0 3 2 危2 2 + h 南h 2 2 + ；2 h 0 4 + 危；1 危4 0 ) 一3 5 r ( h 0 3 h 2 1h 0 4 + h a o h 4 0 h 1 2 + h 0 3 h 1 3 h 1 2 + h a l h 2 1 h a o ) ， a l o = 3 5 r c h 3 0 h 4 0 + 5 7 r ( 九1 2 0 4 + h 1 2 h a o + h 3 1 h 3 1 + h o a h l 3 + h 3 0 h 2 2 ) + 3 r ( h 1 2 h 2 2 + h l a h 2 1 + h o a h 3 l + h 0 4 h a o ) 一互5 训、，6 3 1 2 + 3 ；3 h a o + 3 h 1 2 2 h 3 0 + 3 ；1 h 1 2 - 6 h 1 2 h 2 1 h 0 3 + 6 h 0 3 h 2 1 h 3 0 ) 一下1 0 5 - - 2 3 0 3 一警7 r ( 3 3 h 1 2 + ；1 h z o + 巯九1 2 ) ， 7 第二章同宿环附近的极限环上海师范大学硕士学位论文 a o l = 3 5 t f h 0 3 h 0 4 + 5 r ( h 2 1 h 4 0 + h 2 1 h 0 4 + h 1 2 h 1 3 + h 3 0 h 3 1 + h 0 3 h 2 2 ) + 3 丌( 2 l h 2 2 + h 1 2 h 3 1 + h 3 0 h 1 3 + h a o h 0 3 ) 一；丌( ；1 + 3 h 2 h o a + 3 ；1 h 0 3 + 3 2 h 2 l + 6 h x 2 h 2 1h a o + 6 h o a h l 2 h z o ) 一t 1 0 5 - ，i _ ，l 6 0 3 3 一警丌( 孙 2 1 + ；2 h 0 3 + 3 3 h 2 1 ) ， a 2 0 = i 3 5 7 _ _ l 3 0 2 + 互5 | ，il ，6 0 3 2 + h 2 1 + 2 h 1 2 h a o ) + 互3 wl ，。2 1 2 + 2 h 0 3 h 2 1 ) 一7 r ( 0 4 + h 2 2 + 5 h 4 0 ) ， 5 7 r ( h 0 3 h 1 2 + h 3 0 h 2 1 ) + 3 7 r ( 0 3 3 0 + h 1 2 h 2 1 ) 一7 r ( h 1 3 + h 3 1 ) ， a 0 2 = 虿3 5 7 i ，0 3 2 + 互5 7 ，6 3 0 2 + h 1 2 2 + 2 h 2 1 h 0 3 ) + i 3 w ，2 2 1 + 2 h 3 0 h 1 2 ) 一7 r ( 危4 0 + h 2 2 + 5 ，札) 关于m e l n i k o v 函数在h = 元。附近的性质，我们有如下引理： 经霞 引理2 3 【4 ，6 】考虑俾f f ) 令 日( 训) = 害 ( 一吼) 2 一( x - - x s ) 2 ) 】+ i + j 2 3 巧( z 一雳。) ( 秒一蟊) ，a 0 p ( z ，y ，6 ) = 5 t j ( x x s ) 一蟊) ，q ( z ，y ，6 ) = 如。一瓦) 一吼) ， i + j oi + j i 0 对于点( z ，y ) 在点雪附近，当h ( 五o ，h o ) 且h 充分靠近元。时，m e l n i k o v 函数有以 下展式 m ( h ，6 ) = 仑o ( 6 ) + 2 e 1 ( 6 ) ( 一碥) i ni h h o i + c 2 ( 5 ) ( h k ) + 2 6 3 ( 6 ) ( 危一h o ) 2 i n i h 一无o l + d ( ( 一巯) 2 ) ， 且对于h ( ，瓦) ，在h = h o 附近有 8 0 0 ，j = 1 ，2 ，3 的情况，其他情况类似可证 为了简单起见，令= 2 和c 2 ( 晶) 0 那么由( 2 2 2 ) 可知系数6 0 l ，6 ( k 。一1 ) ，1 ， 6 0 2 ，b ( 七2 - 1 ) 1 a d l ，如，6 1 ，c 0 ，c 1 能被看成自由参数由于p l = b k 。1 ( 南) 邑l ( 品) 0 ，p 2 = b k 2 2 ( 品) 勃( 南) 0 ，p 3 = c k 。0 0 ) 而1 0 0 ) 0 ，为了明确起见，我们可以假定 历1 ( 品) 0 ，那么有k ，1 0 0 ) 0 ，k 。2 ( 南) 0 ，而2 ( 品) 0 ，仇。( 南) 0 由( 2 1 4 ) ， 1 0 上海师范大学硕士学位论文第二章同宿环附近的极限环 ( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 和( 2 1 1 0 ) 知道 m ( h ，南) = c 2 ( 品) ( 一九o ) + d ( ( 一h o ) 2 l n l h 一九o i ) 0 ，0 0 ，0 h h o 1 ， 舰( ，如) = 黾( 如) ( 九一元o ) + 0 ( ( 九一h o ) 2 l n l h 一无o i ) 0 ，t = 1 ，2 ，0 0 ， = 1 ，2 ，0 0 充分小，存在h 0 1 ( 巯，h o ) ，h 0 2 ( h 1 ，h o ) ，h 0 3 ( h 2 ，h o ) 满足 m ( h o l ，5 0 ) = 0 ，m ( h o l c o ，6 0 ) m ( h o l + e 0 ，南) 0 ， m 1 ( h 0 2 ，晶) = 0 ，m l ( h 一印，6 0 ) m l ( h 0 2 + o ，6 0 ) 0 ， ( 2 2 3 ) ( h 0 3 ，5 0 ) = 0 ，m 2 ( h 0 3 一e o ，5 0 ) m 2 ( h 0 3 + o ，晶) 0 按顺序改变c 0 ，c 1 的符号，使得 0 c o - - c 1 1 成立，则函数m ( h ，j ) 在h = h o 附近有两个简单的零点顺次改变6 ；0 1 7 一，b k ，一1 ，1 和 6 0 2 ，k 。一1 ，2 的符号，使得 且 b i 一1 ，l b i l 0 ，z = 1 ，七1 ，0 i b o l i i b k l l b 一1 ，l b j l 0 ，j = 1 ，k 2 ，0 l b 0 2 l j b k 2 2 l ， 则函数舰( 九，6 ) 在h = h i 附近有后1 个简单的零点，且函数( ，6 ) 在h = h 2 附 近有个简单的零点 1 1 第二章同宿环附近的极限环 上海师范大学硕士学位论文 最后顺次改变岛1 ，锄，e l 的符号，使得 0 6 d l 一e l 1 ，0 如一a 1 1 ( 2 2 4 ) 则函数m 1 ( h ，6 ) 和m j ( h ，6 ) 在h = - o 附近分别有2 个简单的零点在条件( 2 2 4 ) 下，可以得出0 茚一2 a 1 l ，这表明在h = 元。附近，函数m ( h ，6 ) 在区间( h o ，h o ) 上至少有1 个简单零点 而且由条件( 2 2 3 ) 不难知道，系统在扰动的情况下，在危，j = l ，2 ，3 附近存在 蟛，使得 m ( 蝣，6 ) = 0 ，m ( 咙一印，j ) m ( 蝣+ c o ，6 ) 0 尬( ：，占) = 0 ，尬( ：一印，6 ) 舰( i + 印，6 ) 0 ，j = 1 ，2 ，3 的情况，其他情况类似的 可以证明为了简单起见，令k 3 = 2 和e 五( 6 0 ) 0 那么由( 2 2 6 ) 可知系数 6 0 1 ，k l 一1 ，1 ，6 0 2 ，b k 2 1 ，2 ，茚1 ，如，6 l ，而l ，c o ，e l 能被看成自由参数由于 p l = b k ，1 ( 晶) 西( 南) 0 ，p 2 = 6 胁2 ( 品) 已2 ( 品) 0 ，p 3 = 而( 如) 舀2 2 ( 品) 0 ，为了明确起 见，我们假定勃( 品) 0 ，那么有b k 。l ( 品) 0 ，巩，2 ( 品) 0 ，c 2 ( 晶) 0 由( 2 1 4 ) ， ( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) ，( 2 1 _ 9 ) 和( 2 2 5 ) 可知 和 m ( h ，品) m ( h ，品) m l ( h ，品) ( ，6 0 ) o a ( 3 0 ) ( h 一九o ) 十d ( ( 危一，幻) 2 l n l h 一i ) 0 ， 西( 品) ( 一无o ) 2 l n l h 一无o i + d ( ( 一无o ) 2 ) 0 ， 5 2 2 ( 5 0 ) ( h k ) + d ( ( 危一k ) 2 l n l h 一无o i ) 0 ， 0 h o h 1 0 h 一九o 1 ， 0 h o h 1 0 0 ，i = 1 ，2 ，0 0 充分小，存在h 0 1 ，h 0 2 ，h 0 3 使得 1 3 第二章同宿环附近的极限环 上海师范大学硕士学位论文 m ( h m ，品) = 0 ，m ( h o l e o ，, 5 0 ) m ( h o l + e o ，如) 0 ， m l ( h 0 2 ，晶) = 0 ，m l ( h 0 2 6 0 ，5 0 ) m l ( h 0 2 + c o ，南) 0 ， ( 2 2 7 ) m 2 ( h 0 3 ，品) = 0 ，m 2 ( h 0 3 一e o ，o o ) m 2 ( h o s + e o ，南) 0 ， 现在顺次改变c o ，c 1 的符号，使得 0 c o - - c 1 1 成立，则函数m ( h ，6 ) 在( k ，h o ) 附近有2 个简单的零点 然后顺次改变6 0 1 ，b k 。一i 1 和6 0 2 ，b k , 一1 。2 的符号，使得 和 如一1 ，l b i x 0 ，i = 1 ，0 i b o l i i b k l l 如一1 ，l b j l 0 ，j = 1 ，如，0 1 6 0 2 l i b l , 。2 i ， 成立，则函数尬( 7 l ，6 ) 在h = h i 附近有七1 个简单零点函数 磊( ，6 ) 在h = h 2 附近 有如个简单的零点 最后顺次改变茚1 ，锄，仑1 ，而1 的符号，使得 0 南l 一6 l 而1 1 ，0 一仑1 1 ( 2 2 8 ) 成立，则函数m x ( h ，j ) 在h = k 附近有3 个简单的零点，并且函数m 2 ( h ，6 ) 在h = h o 附近有2 个简单的零点由( 2 2 8 ) 可知0 南一2 e l 1 成立，则函数m ( h ，6 ) 在 h = h o 附近有1 个简单的零点 而且由条件( 2 2 7 ) 不难知道，系统在扰动的情况下，在h o j ，j = 1 ，2 ，3 附近存在 1 4 上海师范大学硕士学位论文 第二章同宿环附近的极限环 蟛使得 m ( ，6 ) = 0 ，m ( 蚝一c o ，j ) m ( 燃+ c o ，6 ) 0 尬( i ，6 ) = 0 ，尬( 蝣一e o ，6 ) 尬( 九；+ o ，6 ) 0 m 2 ( h ；，j ) = 0 ，m 2 ( h ；一o ，6 ) ( 蝣+ e o ，6 ) 0 充分小，函数m ( h ，j ) ，尬( ，6 ) 和m 2 ( h ，6 ) 分别在( 五o ，) 内至少有 k 3 + 2 个简单零点，在h ( h l ，无o ) 内有k 2 + 4 个不同的简单零点，在h ( h 2 ，无o ) 内 有+ 3 个不同的简单零点这意味着系统至少存在k 1 + k 2 + k 3 + 9 个极限环 证毕 参照定理2 2 的证明过程，不难证明下面的定理 定理2 3 设系统( 2 1 1 ) 满足条件( 2 1 4 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 假设存在k l 0 ，k 2 0 ，3 k s 0 和品d 使得 b i l ( 6 0 ) = 0 ，i = 0 ，七l 一1 ，k ，1 ( 南) 0 ，0 k l ， b i 2 ( 6 0 ) = 0 ，i = 0 ，k 2 1 ，b k 。2 ( 南) 0 ，0 k 2 ，、 【2 2 9 ) 白( 品) = 0 ，i = 0 ，一1 ，c k 。o o ) 0 ，0 3 ， 岛l ( 品) = 岛2 ( 如) = 0 ，a 1 ( 南) = 0 ，面1 ( 品) 0 ，而2 ( 晶) = 0 ，e s ( 6 0 ) 0 其中而j = 锄i e ，：0 ，j = 1 ，2 ，西= 岛i e 。：0 并且 m 礼七墨垫尘丝垒曼堡堕l 巷专苦兽笔子垒纽兰超型1 6 ：而= k l + 南2 + 七3 + 4 ( 2 2 1 0 ) 设p 1 = b k 。l ( 2 i o ) 面1 ( 晶) ，p 2 = b k 。1 ( 品) 西( 晶) ，p 3 = ( 一1 ) 警】+ 1 氏。( 品) 而1 ( 南) ，则对于某些 充分接近于( 0 ，如) 的( e ，6 ) ，假如p 1 ，弘2 ，弘3 中有k ( 0 k 3 ) 个是正的，则系统 俾j 纠至少有尼l + 七2 + + k + 6 个极限环 仿照定理2 1 的证明，不难证明下面的定理 第二章同宿环附近的极限环上海师范大学硕士学位论文 定理2 4 设系统( 2 1 1 ) 满足条件( 2 1 4 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) 假设存在 k l 0 ，k 2 0 ，3 0 和品d 使得 玩l ( 晶) = 0 ，i = 0 ，七l 一1 ，玩。l ( 品) 0 ，0 h ， 兢2 ( 品) = 0 ，i = 0 ， 乜一1 ，b k 。2 ( 品) 0 ，0 乜， q ( 南) = 0 ，i = 0 ，乜一1 ，c k 。( 南) 0 ，0 3 ， 岛( 南) = 0 ， i = 0 ，2 ，j = 1 ，2 ， 6 1 ( 晶) = 0 ，西( 如) 0 其中西= 6 3 i e ，：0 且 r a n k 塑堕坐堕坠寇老等土逊型= k 1 + 也+ 如+ 5 ( 2 2 1 1 ) 设p l = b k 。l ( 而) 西( 品) ，p 2 = 玩。2 ( 如) 西( 品) ，p 3 = ( 一1 ) 【譬】+ l c 七3 ( 南) 西( 品) ，则对于某些 充分接近于 ( 0 ，南) 的( e ，6 ) ，假如p l ，p 2 ，p 3 中有k ( 0 七3 ) 个是正的，则系统 偿f j ) 至少有七1 + + + k + 7 个极限环 上海师范大学硕士学位论文 第三章个李纳系统分别在三到九次扰动之下的极限环数目 第三章一类李纳系统分别在三到九次扰动之下的极限环数目 3 1 确定李纳系统相关的m e l n i k o v 系数 在这一章，我将运用第二章中的定理来证明定理( 1 1 ) 令e = 0 ，( 1 1 ) 变成 宕= y ，雪= 一9 ( z ) 7 f 毛一= 图3 ( 3 1 1 ) 系统( 3 1 1 ) 的象图见图3 系统( 3 1 1 ) 有两个中心a l ( a ，o ) ，a 2 ( 1 ，0 ) 和两个鞍 点o ( 0 ，o ) ，b ( 卢，o ) ，系统( 3 1 1 ) 的哈密顿函数是 日( 删) = 三秒2 一互1q p x 2 + 丢( 卢+ q + q 跏3 丢( 1 + 口+ 3 ) x 4 + 1 7 第三章个李纳系统分别在三到九次扰动之下的极限环数目上海师范大学硕士学位论文 显然，h ( o ) = h o = 0 ，设 h i = h ( a 1 ) = 一面1q 5 + 击q 4 + 西1a 4 p l o l 3 p ， h 2 = h ( a 2 ) = 一丽1 + 击+ 击a 一 口p ， h o = 日( b ) = 一嘉p 5 + 击+ 丧q 一 p 3 q 对于x 【0 ，l 】，函数h ( x ，0 ) 有四个极值点( 0 ，h o ) ，( q ，h i ) ，( p ，h o ) 和( 1 ，h 2 ) ，其中 0 q p 1 ，显然h i h o ，对于x 【0 ，l 】，h o ，h o 是函数h ( x ，0 ) 的极大值，h l ，h 2 是函数日( z ，0 ) 的极小值，由( 1 3 ) 可知无o 0 ，所以有h 1 ，h 2 元o 0 ，h ( h i ，h o ) ， i = 1 ，2 系统( 1 1 ) 的m e l n i k o v 函数是 m ( h ，6 ) = $ f ( x ) d y ，h ( h o ，h o ) ， j l ( h ) 坛( 九，6 ) = 币 f ( x ) d y ，h ( h i ，h o ) ，i = 1 ，2 ， ，l t ( ) 其中j = ( a l ，a , 2 ，) 那么取h ( 元o ，h o ) ，当h 充分靠近h o = 0 ，由引理2 1 ，我们有 m ( h ，6 ) = c o o ) + c l o ) h l ni h l + c 2 0 ) h + c 3 ( 6 ) 2i nl h i + o ( h 2 ) ，0 一h 1 由引理2 1 ，我们可以计算c 0 ( 6 ) ，c l ( 6 ) ，c 2 ( 6 ) ，c 3 ( 6 ) 首先，我们两次运用格林公式 得到 郇) = 坤= 五唯) 咖= 一壹i - - - - 1 。也 ( 3 1 2 ) 其中 五= j ( l o i x i - l y d z = z z 3 去t z f l ( z ) d z ，i = 1 ，2 ，n ， 其中l h 。由h ( x ，y ) = 0 或者y = 士击日( z ) ，给出，其中0 z z 3 ，f l ( z 3 ) = 0 ，且 我们有 我们可以计算 其中 j ；f = c 1 ( 6 ) = = 五1 f 。, i ：。= = 页1 。1 ， a = 硒， c 2 ( 6 ) = h 。( 一足一a 1 ) d t = 一 t ( - 1 ) 出= o 铝筹如， 接下来为了得到c 3 ( 6 ) ，我们作了形式如下的变量变换 z = ( a 卢) 丁- 1 u ， 在( 3 5 ) 的变换之下，系统( 1 1 ) 变成 y = 一( q p ) 口 i = 2 ，n 也= 何一，移= 厕一警u 2 + 警扛扩 n 其中p ( u ) = 一a z i a t u 则( 3 1 6 ) 1 。：o 的哈密顿函数是 i = l 诉m = 丢俩妒。) + 噤铲钍3 一等山由 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 1 9 五 吼