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山东大学硕士学位论文 中立时滞系统的稳定性分析与综合 摘要 时滞现象在实际工程问题中是普遍存在的，如通讯系统、生物系统、化工 过程以及电力系统中均存在时滞。时滞的存在使得系统的分析与综合变得更加 复杂和困难，同时时滞的存在也往往是导致系统不稳定和系统性能变差的根源。 因此，时滞系统的研究引起了人们的极大关注。 近年来诸多学者开始致力于中立时滞系统的研究，作为时滞系统的一个特 例，中立型微分系统理论具有理论和实践上的重要性。例如，中立型泛函微分 方程是输电线中电压与电流波动的自然模型，同时中立系统也经常出现在自动 控制，人口动态中。许多学者利用各种分析技术，如l y a p u n o v 方法，特征方程 法及状态方程解的方法，建立了许多中立时滞系统的稳定性准则。然而，关于 中立时滞系统的分析与综合方面的文献却很少见到，有许多问题亟待解决。 中立时滞系统的鲁棒控制是当前控制领域中的一个非常活跃的研究方向，从 鲁棒控制理论的发展来看，研究参数不确定中立时滞系统的鲁棒控制问题更具 有实际应用价值。本文对几类不确定中立时滞系统的鲁棒控制问题进行了深入 地研究。 基于l y a p u n o v 方法、r i c c a t i 不等式方法、线性矩阵不等式方法等为主要处理 手段，通过状态反馈和输出反馈两种方式对线性和非线性中立系统的鲁棒镇定 与鲁棒矾控制问题进行了研究。采用把时滞因素和不确定因素分开处理的思 路，通过构造适当形式的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函来处理时滞，采用不等式变换 和l m i 方法来处理不确定性，求得时滞独立的状态反馈和输出反馈控制律_ o 采用 时域方法来求解不确定中立系统的鲁棒以控制问题，此种方法具有一般性，并 容易推广到其它各类不确定时滞系统的鲁棒镇定与鲁棒玩控制问题。 针对一类状态具有固定时滞以及参数时变有界不确定性的中立系统，采用 l m i 技术研究了其时滞依赖的鲁棒镇定与以控制问题。通过构造一种特殊的 山东大学硕士学位论文 l y a p u n o v k r a s o v s k i i 泛函，并利用模型变换技术，首先研究了其标称系统的稳定 性分析和综合问题，然后此基础上给出了标称系统巩性能分析问题的l m i 解， 最后给出了不确定系统的基于状态反馈的巩控制问题的解，由于与时滞有关， 所以保守性较小。仿真实例验证了所得控制算法的有效性。 研究了两类中立时滞系统的基于观测器的控制问题。在实践中，由于各种 原因，很多情况下状态反馈无法实现，解决状态反馈在性能上的不可替代性和 实际中的无法实现性这一矛盾，其有效手段之一就是构造状态观测器，并通过 用观测器状态代替真实状态来实现所要求的状态反馈。对于线性系统，得到了 时滞依赖型观测器设计与镇定问题的解。对于非线性系统，利用算子型稳定性 定理和配方法，给出了相应的观测器设计与镇定问题的解。最后研究了中立时 滞系统的基于观测器的鲁棒h 。控制问题。在系统状态不可用的情况下，以重构 状态进行反馈，得出了基于观测器的鼠控制问题可解的条件。 文中大部分结果是基于l m i 方法的，这种方法的关键在于把控制目标如渐近 稳定性、h 。性能用线性矩阵不等式表示，把控制器参数用线性矩阵不等式的解 表示。在具体处理线性矩阵不等式矩阵的过程中，变量代换和合同变换，以及 s c h u r 补引理是的经常用到且行之有效方法。线性矩阵不等式可以有效地用内点 法进行数值求解，目前已成为研究控制问题的一种重要工具。 总之，本文对中立时滞系统的鲁棒控制与鼠控制问题虽然已取得了一些新 的结果，但还很不完善。无记忆线性控制方法非常保守，有时甚至是不可能的。 尽管如此，这不会影响人们对中立时滞系统的关注热情，关于中立系统的研究 仍将继续下去，这是因为中立型微分系统理论同时具有理论和实践上的重要性。 文中每章后面都有仿真实例，以说明文中方法的正确性和有效性。 关键词：中立时滞系统，泛函微分方程，l y a p u n o v 稳定性，不确定性，鲁棒控 制，h o o 控制，观测器。 2 山东大学硕士学位论文 s t a biiit ya n aiy sisa n ds y n t h e sisf o rn e u t r aid eia ys y s t e m s a b s tr a c t t i m ed e l a ya r i s e sq u 沁n a t u r a l l yi ni n d u s t r i a la n de n g i n e e r i n gs y s t e m s ，s u c ha s c o m m u n i c a t i o n s y s t e m s ，b i o l o g i c a ls y s t e m s ，c h e m i c a ls y s t e m sa n de l e c t r i c a l n e t w o r k s t h ee x i s t e n c eo fd e l a ym a k e st h es y s t e ma n a l y s i sa n ds y n t h e s i sb e c o m e m o r ec o m p l i c a t e da n dd i f f i c u h m e a n w h i l e ，d e l a yi sf r e q u e n t l yas o t t r c eo fi n s t a b i l i t y a n dp e r f o r m a n c ed e g r a d a t i o ni nm a n yd y n a m i cs y s t e m s ，a n dt h u sc o n s i d e r a b l e a t t e n t i o nh a sb e e np a i dt ot h er e s e a r c ho nt h es t a b i l i t ya n a l y s i sa n dc o n t r o l l e r s y n t h e s i so ft i m e d e l a ys y s t e m s i nr e c e n ty e a r s ，c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a sb e e nf o c u s e do nt h es t a b i l i t ya n a l y s i s o fv a r i o u sn e u t r a ld e l a ys y s t e m s t h et h e o r yo fn e u t r a ld e l a ys y s t e m si so fb o t h t h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a li n t e r e s t f o re x a m p l e ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f n e u t r a lt y p ea r et h en a t u r a lm o d e l so ff l u c t u a t i o n so fv o l t a g ea n dc u r r e n ti np r o b l e m s a r i s i n gi nt r a n s m i s s i o nl i n e s a l s o ，t h en e u t r a ls y s t e m so f t e na p p e a ri nt h es t u d yo f a u t o m a t i c c o n t r o l ，p o p u l a t i o nd y n a m i c s v a r i o u sa n a l y s i st e c h n i q u e ss u c h 嬲 l y a p u n o vt e c h n i q u e ，c h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o nm e t h o d ，o rs t a t es o l u t i o na p p r o a c hh a v e b e e nu t i l i z e dt od e r i v es t a b i l i t yc r i t e r i af o ra s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h es y s t e m sb y m a n yr e s e a r c h e r s a st ot h es t a b i l i t y ，h o w e v e r , t h ea n a l y s i sa n dc o n t r o l l e rs y n t h e s i st o t h en e u t r a ls y s t e m sh a v eb e e nr e c e i v e d v e r yl i t t l ea t t e n t i o n t h e r e a r em a n y c h a l l e n g i n gp r o b l e m st h a tn e e dt ob es o l v e d i nt h i sd i s s e r t a t i o n , w es t u d yr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dr o b u s th o 。c o n t r o lp r o b l e m s f o rn e u t r a ld e l a ys y s t e m s ，a n dt h ec o n t r o lp r o b l e m sb a s e do no b s e r v e r s f i r s t ，b a s e d o nt h et w of u n d a m e n t a l s t a b i l i t yt h e o r e m so fn f d ea n ds u f f i c i e n t l yu s i n gt h e s t r u c t u r eo fu n c e r t a i n t i e sa n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，w ep r e s e n t e dt h e s o l v a b l ec o n d i t i o n so fr o b u s ts t a b i l i z a t i o na n dr o b u s th o oc o n t r o lp r o b l e m sf o rn e u t r a l d e l a ys y s t e m s ，m e a n w h i l e ，t h ec o r r e s p o n d i n gs c h e m e so fc o n t r o l l e rd e s i g n sa r eg i v e n 3 山东大学硕士学位论文 t h er e s u l t si nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea l l p r e s e n t e dv i as t a t ef e e d b a c k t os t a b i l i t y c r i t e r i o np o 证t ，t h er e s u l t sw ep r e s e n t e db yt h ed e l a yi n d e p e n d e n tc a s e s e c o n d ，t h e c o n t r o lp r o b l e m sb a s e do no b s e r v e r sf o rt w oc l a s sn e u t r a ls y s t e m sa l es t u d i e d f i n a l l y , r o b u s th c o n t r o lp r o b l e m sb a s e do no b s e r v e r sa l ec o n s i d e r e df o rac l a s so fn e u t r a l s y s t e m s t h es o l v a b l ec o n d i t i o n st or o b u s t 战c o n t r o lp r o b l e m sa r eg i v e ni nt e r m so f t h e r e c o n s t r u c t e ds t a t ew h e nt h er e a ls t a t e sa l en o ta v a i l a b l e t h em o s tr e s u l t so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ep r e s e n t e db ym e a n so fl m i s t h ek e yt o t h i sm e t h o di st oe x p r e s st h ec o n t r o lo b j e c t i v e s ，s u c ha sa s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y , h o o p e r f o r m a n c ee t c ，b ym e a n so fl m i s ，a n dt oe x p r e s st h ep a r a m e t e r so fc o n t r o l l e r si n t e r m so ft h es o l u t i o n st ol m i s s i m u l a t i o nr e s u l t sa r eg i v e na tt h ee n do fe a c hc h a p t e rt os h o wt h ev a l i d i t yo f e a c hr e s u l t k e y w o r d ：n e u t r a ld e l a ys y s t e m s ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，l y a p u n o vs t a b i l i t y , u n c e r t a i n t y , r o b u s tc o n t r o l ，i - lc o n t r o l ，o b s e r v e r 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：羽望蟹盔： e t 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：雄导师签名：避日 期：醴 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 时滞系统的研究背景和发展概况 1 1 1 常微分方程与时滞微分方程 在大量的自然与社会现象中有一类确定性的运动规律，它们可以用含有一 个白变量的未知函数及其微分或微商的方程来描述，这类方程即为常微分方程。 在很多场合，这个自变量表示时间。例如： 弹簧的振动规律可表示为 戈o ) + 国2 x ( t ) = 0 行星运动中二体问题的运动规律表示为 袱( ，) = - k m m x ( f ) 面丽 俐一赢 在经济发展中出现的描述国民总收入分为积累基金g 和消费基金p 的秦元 勋方程为 尸o ) = a g ( 尸一p o ) + a 2 g 一五p ， g ( ，) = 如p 一h g 诸如此类的现象都可以统一地用微分方程组 毫( f ) = z 【五( ，) ，砭( f ) ，毛( ，) 】，i = 1 ，2 ，刀 ( 1 i 1 ) 及其初始条件 薯( 0 ) = 薯o ，i = 1 ，2 ，疗 ( 1 i 2 ) 来描述。这里，方程( 1 i 1 ) 的左右两边都只是同一时间r 的函数。也就是说我们 假定事物的发展趋势只由其当前的状态( 1 1 1 ) 右边的j c l ( f ) ，吃( f ) ，矗( f ) 来决定， 而不明显地依赖于其过去的状态。例如在二体运动中，当前两个星球间的吸引 力【槭( r ) ，蟛( f ) 】只与当前两个星球间的位置【x ( f ) ，y ( f ) 】有关，而与两星球间过去 5 山东大学硕士学位论文 的位置无关。可以简单地说，这些现象都是瞬时起作用的。在这种假设下的数 学模型，对大量事物的运动规律的描述是合适的。 然而，在研究自然和社会现象中，客观事物的运动规律是复杂的和多样的。 一般地说，在动力系统中总是不可避免地存在滞后现象，亦即事物的发展趋势 不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于事物过去的历史。为了阐明这类现象， 下面给出几个例子以表达问题的应用背景。 图1 1 广义简谐振动 f i g u r e1 1t h eg e n e r a is i m p l eh a r m o n i cv i b r a t i o n 例1 1 如图1 1 所示，弹簧的一端 固定，另一端系一质量为m 的物体。 理想化后的简谐振动方程为 戈( f ) + m 2 x ( t ) = 0( 1 1 3 ) 在( 1 1 2 ) 中假定略去弹簧质量，摩擦 力，空气阻力以及弹簧内部的能量消 耗。此外，还必须视物体棚为一质点。式中缈2 = k , m ，k 为弹簧的弹性系数。 现在设r t l 不是质点，它具有最一露长度，那末当弹簧力在一瞬间，作用于物体时 并不使物体立即移动。因为应力波从只到最通常以声速传播，到达界面昱后再 反射回来，若干次的来回反射才能使物体各点的加速度比较均匀，此时物体才 真正开始移动。若记从时刻f 到物体开始移动的时间间隔为f ，则( 1 1 2 ) 应修正 为 戈( f ) + 彩2 x ( t f ) = 0 ，( 1 1 4 ) 这就在系统中引入了滞量f 。以后可以看到( 1 1 3 ) 的解与( 1 1 2 ) 的解的性态是迥 然不同的。 例1 2 考虑两种生物种群之间的相互作用，它们可以是捕食与被捕食，资 源竞争或者互惠。设捕食者个体总数为y ( f ) ，被捕食者个体总数为x ( t ) ，则二 者的消长关系在不考虑滞后时可用如下的v o l t e r r a 方程组描述： 量( ，) = q 【1 一x o ) 尸】工o ) 一6 l y ( f ) x ( ，) ( 1 1 5 ) 6 山东大学硕士学位论文 夕( f ) = 一a 2 y ( t ) + b 2 x ( t ) y ( t )( 1 1 6 ) 其中尸为x o ) 之最大数目。实际上捕食者的生殖周期是比较长的，设其为f ，于 是w a n g e r s k y 和c m a h a g h a m 把( 1 1 6 ) 调整为1 捌 p ( t ) = - a y ( t ) + b 2 x ( t r ) y ( t f )( 1 1 7 ) 例1 3 在火箭燃烧的控制理论中，得到方程 缸o ) + ( 1 一，1 ) 甜o ) + 甩甜 一f ) = 0 ( 1 1 8 ) 例1 4 考察信息网络中的无损传输线路，导出如下的方程【2 1 f i ( t ) - k 磊( t 一2 s ) = f u ( t ) ，u ( t 一2 s ) ( 1 1 9 ) 从以上几个例子可以大致看到我们所要讨论的对象的广泛性。同时注意到 这些例子的共同特点之一是：诸方程的右方不仅依赖于未知函数( 例如x ( f ) ) ，而 且依赖于未知函数的过去的值( 例如x ( ，一f ) ，r 0 ) 。亦即当前发展的趋势明显地 依赖于过去的历史的状况。一言以蔽之，我们需要考虑时间滞后的现象一简称 为“时滞”现象。此时方程组( 1 1 1 ) 应换为泛函微分方程组 毫o ) 2 【，：，吒o ) ，x l ( t t - ) ，x , ( t - ) 】， ( 1 1 1 0 ) 0 ，f ，j = 1 ，2 ，行 、 这里，一般来说吃又可以是f 的函数。至于初始条件，也不象( 1 1 2 ) j j l j 样简单， 这在后面论述。 当所有的= 0 ( i ，j = 1 ，2 ，刀) 时，( 1 1 1 0 ) 是( 1 1 1 ) 型的常微分方程。所以 应当说在大多数场合应用常微分方程作为动力系统的模型只是一种近似，而且 这种近似必然是有条件的，只有符合一定条件的系统才可以略去滞量，否则将 失去必需的精确度，甚至导致错误的数学描述。 对于泛函微分方程，我们可以按照它的特点给出一个分类，从而指出各类 的理论及其应用上的特点。先看一个简单的例子。 例1 5 常系数线性方程 磁( f ) + 磁o 1 ) + 蹦( ，) + 出o 一1 ) = 0 ， ( 1 1 1 1 ) 这里滞量为1 。我们按其系数的不同取值把它划分为以下几种情况。 7 山东大学硕士学位论文 ( 1 ) 当口0 ，b = 0 ，d 0 时方程( 1 1 1 1 ) 称之为滞后型的，其特点是：方程中 未知函数 的最高阶导数不出现滞量。 ( 2 ) 当口0 ，b 0 时( 1 1 1 1 ) 称为中立型的，其特点是：方程中除了未知函数 的最高阶 导数以外还出现有滞量的最高阶导数。 ( 3 ) 口= 0 ，b 0 ，c 0 时，作一变量代换t = t i + 1 ，贝t j ( 1 。1 1 1 ) 化为 b j c ( t o + e x ( t i + 1 ) + 出( ) = 0 ( 1 1 1 2 ) ( 1 1 1 3 ) 称为超前型的，其特点是：方程中出现未知函数或者其低阶导数的变元 大于最高阶导数变元的情形，此时+ l 叫做超前变元，l 为“超前量”。 考虑比( 1 1 1 1 ) 更一般的方程 x 扣o ) = 厂 f ，x ( f ) ，x 七( f ) ，x ( f f ) ，x ( 一f ) ， ( 1 1 1 3 ) 其中l o n - 1 ，为非负整数，( f ) 表示x 的第f 阶导数。我们定义： ( 1 ) 当毛 o 时方程( 1 1 1 3 ) 为滞后型。 ( 2 ) 当= 甩，f 0 时方程( 1 1 1 3 ) 为中立型。 ( 3 ) 当 刀，r 0 ，t 吏j | l # xec ( a - r ，仃+ 创，彤) ，o ，薯) d ， 且当r p ，仃+ 4 】时x ( f ) 满足方程( 1 1 1 4 ) ，则称x o ) 为( 1 1 1 3 ) 毛e o - ，仃+ 彳】上的 一个解。初值问题为 麓答 5 ， 气lli1 l 【矗( 仃，矽) = 矽 r 一7 其中仃r ，矽c 是事先给定的。所谓初值l ；- j 题( i 1 1 4 ) 的解是指“对给定的仃，矽， 若存在么 o ，使得x o ，o r ，) 是( 1 1 1 4 ) 的一个解，且o p ，) = 成立。 以上都是滞后型泛函微分方程，对中立型泛函微分方程，仍记 薯= z o 删( 口【- r ) 0 】) ，毫= 鲁m 旧， 算子f ：r x c x c 一足”，则 砸) = f ( t ，薯，毫) ( 1 1 1 6 ) 是一个n f d e 。 1 1 2 发展概况 从最广泛的意义上说，泛函微分方程起源于一些古典的几何问题。如1 7 5 0 年的e u l e r 问题，1 8 0 6 年的p o i s s o n 问题等等。在这类问题中导出的泛函微分方 程长期以来除了个别特解外，还没有统一的求解办法，这种状况持续了一个多 世纪。 进入2 0 世纪以后，在很多学科中提出了越来越多的泛函微分方程，特别是 它的最重要的一类特殊情形一差分微分方程，这些学科是：自动控制理论，物 9 山东大学硕士学位论文 理学，生物学，医学，商业，经济学，化工，机械，电子工程问题以及数学自 身的几个分支，如数理统计，数论，博弈论，信息论等等。到4 0 年代末为止， 着重讨论线性常系数差分微分方程，并且主要是设计具体求解这些方程。所用 的方法无非是l a p l a c e 变换，类似于差分方程的分步法，以及各种展开和近似计 算方法。对稳定性的讨论，限于判断特征多项式根的分布问题。从理论上说， 这个问题在1 9 4 2 年已经由p o n t r y a y i n 解决( 但不是代数判据) 。此后十年间的工 作，在于初步建立基本理论和系统地推广常微分方程的种种结果，特别是 l y a p u n o v 第二方法。 然而，在推广l y a p u n o v 第二方法时遇到了极大的困难，即使是引用 r a z u m i k h i n 条件，v 函数的存在性仍无法保证。于是k r a s o v s k i i 于1 9 5 9 年提出 了滞后型泛函微分方程的普遍概念，虽然记号与( 1 1 1 5 ) 不同，但基本思想已经 确立。对这类r f d e 的系统研究在二十世纪六十年代全面展开。1 9 7 0 年左右由 h a l e 与c r u z 共同分离出中立型泛函微分方程【l l ，得出与r f d e 平行的基本理论 与稳定性理论。至于具有无限滞后的系统，严格的理论基础直到1 9 7 8 年才由h a l e 和k a t o 共同建立【2 1 ，在1 9 7 8 1 9 8 3 这五年间，对无限滞后系统的研究，占据了 泛函微分方程这一分支的重要地位。 1 2h 。控制的发展状况 二十世纪五十年代，随着人类在宇宙探索方面取得的辉煌成绩和计算机的 广泛使用，动态系统优化控制理论发展成为现代控制理论的一个重要分支一最 优控制理论。最优控制理论在系统工程、人口控制理论、经济管理和决策、以 及航空航天等领域都发挥了重要的作用。具有广泛工程背景的线性二次型最优 控制问题：l q g ( l i n e a rq u a d r a t i cg a u s s i a n ) i h 题或h 2 控制问题，就是将最优控制 理论应用于工业过程控制的产物。虽然使用h 2 范数作为系统的性能指标往往能 使系统获得较好的动态和稳态性能，但系统的鲁棒性有时却较差。所谓鲁棒性， 是指在不确定存在的情况下，系统仍然保留预期的设计品质的属性。 我们知道，在实际系统中，被控对象往往会受到各种各样不确定性因素的 影响，譬如：作用于被控过程的各种干扰信号、传感器量测噪声等等。并且由 于一些限制的影响，使得在一些具体问题中对系统的不确定性难以实现干扰解 耦，或用匹配条件来消除干扰。在这种情况下，用h 2 方法设计的控制器因其鲁 1 0 山东大学硕士学位论文 棒性较差，闭环系统的稳定性就难以得到保证。除此之外，有许多情况，干扰 信号w 不是具有已知特征( 统计特性或能量谱) 的信号，我们仅知道干扰信号w 属于某个已知的信号集合，如w 为能量有限的信号，即w 厶 0 ，o o ) ，这时就不 能应用h 2 方法。h 2 方法自身的弱点使得它在实际应用中受到很大的限制，应用 效果也不尽如人意。 针对上述问题，进入八十年代后，随着鲁棒控制理论的兴起，使系统具有 较强鲁棒性的h 。优化控制理论应运而生。h 。控制就是在保证系统稳定的同时 能将干扰对系统性能的影响抑制在一定的水平之下。换句话说，就是控制对象 关于干扰具有鲁棒性。在控制能量相同的情况下，h 。控制要比古典的最优控制 策略l q g 和h 2 控制拥有更好的性能。建立在频域方法上的h 。优化控制理论是 在1 9 8 1 年由加拿大学者z a m e s 首先提出的【6 】。之后，它经历了从频域到时域两 个发展阶段。1 9 8 8 年，g l o v e r 和d o y l e 建立了h 控制的状态空间方法【7 1 。大 约同一时间，他们又与k h a r g o n e k a r 和f r a n c i s 进一步发展了这一方法，这就是 著名的d g k f 论文【8 】。文中将标准h 控制问题归结为两个代数r i c c a t i 方程的 求解问题，这一成果的取得表明h 控制理论的发展己进入成熟阶段。之后，h 。 控制的状态空间方法获得了蓬勃的发展。先后经历了从定常系统到时变系统1 9 1 、 从线性系统到非线性系统【1 0 。1 刃、从连续系统到离散系统【1 3 , 1 4 1 、从确定系统到不确 定系统 1 5 , 16 】、从无时滞系统到时滞系统1 7 1 9 1 以及从单目标控制到多目标控制口o ，2 1 1 的发展历程。目前，线性系统的h 控制理论的状态空间法发展已基本完善，研 究主要利用r i c c a t i 方程或r i c c a t i 不等式，以及线性矩阵不等式( l m i ) 。非线性 系统的h 。控制的状态空间法是近年来一个热门的研究方向，研究主要利用 h j i ( h a m i l t o nj a e e o b ii s s a c s ) 方程或h j i 不等式。 h 。控制器设计是一种依赖于模型的设计方法。进行h 控制器的设计时， 首先必须建立被控对象的数学模型，然后，将该模型化为h 。标准控制问题所对 应的增广被控对象的模型，最后，按照h 。标准控制问题的求解方法进行控制器 的设计。在工程实际中，许多控制问题都可以转化为h 。标准控制问题，如鲁棒 稳定性、跟踪、鲁棒镇定、干扰抑制、加权敏感性、双灵敏度设计等。下面给 出h 。标准控制问题的框图。 山东大学硕七学位论文 图l ，5h 。标准控制问题的框图 f i g u r e1 5t h eb l o c kd i a g r a mr e p r e s e n t a t i o no f i - ls t a n d a r dc o n t r o l 图1 5 中的各信号均为向量值信号。其中，w 为外部输入信号，包括干扰和 传感器噪声。z 为被控输出信号，通常包括跟踪误差、调节误差。“为控制信号， y 为量测输出信号，如传感器的输出信号。从图中我们可以看到，比控制处理 的是具有多输入和多输出的多变量被控对象的鲁棒和最优控制问题。古典的最 优控制策略所研究的单输入单输出情况可以视为多输入多输出情况的一种特 例，这正是h 。优化控制器设计方法的优势所在。另外，该方法还有如下的几个 优点：首先，鲁棒控制器的设计被赋予了一个清晰的理论；其次，尽管它回到 了输入输出模型，但仍保留了状态空问方法中某些计算上的优点：三是设计者 可以在很大程度上控制由系统产生的频率域响应性状，从而使该方法易于被工 程师们所接受。h 。控制理论的研究正处在不断发展和完善之中。 1 3 时滞系统鲁棒控制的研究概况 时滞系统由于其固有的复杂性，给控制系统分析与设计问题带来很大的困 难，尤其在系统存在时变不确定性的条件下控制问题更加复杂。现代数学，控 制理论和计算机技术的迅速发展为不确定时滞系统的研究提供了强有力的工 具。近几十年来，许多专家、学者作了很多努力，对具有参数不确定摄动和具 有时滞的鲁棒控制问题进行了广泛的研究，获得了相当一批成果。由于他们研 究的模型不尽相同，研究的方法和途径更是多种多样，想要全面而准确地描述 不确定时滞系统的鲁棒控制的研究概况几乎是不可能的。同时，由于模型上的 差异以及考虑问题的出发点不同，因而很难对各种不同的方法做出孰优孰劣的 判断。 1 2 山东大学硕士学位论文 对时变不确定时滞系统的研究大体可分为鲁棒控制与自适应控制两个主要 方向。简而言之，鲁棒控制是指设计确定的控制器以保证系统时变不确定条件 下的闭环控制是针对对象的变化通过修正模型与控制律以达到控制要求。不论 是鲁棒控制还是自适应控制，若采用频域分析法，则一般是限于处理慢时变或 不确知对象，因为频域研究借助谱分析、n y q u i s t l 蛩等来进行，而过程即使是很 简单的时变系统在频域描述也非常复杂。相对而言，时域设计方法的适用性较 广，是处理一般变时滞特性的较佳手段。由于时滞系统现有的自适应控制多为 间接自适应，它离不开模型的在线辨识。时滞对象的在线辨识不仅有一般系统 的闭环可辨识性问题，而且由于时滞参数的存在导致与其它非结构参数一同通 过r l s 等线性拟合辨识算法得到模型十分困难，从而会造成在线辨识模型计算量 的大大增加。鲁棒控制则不需要在线闭环辨识，且在控制器设计过程中只需知 道时滞大小及其变化率的上下限和各非结构参数的摄动范围即可。因而不确定 时滞系统的鲁棒控制已受到很多学者的重视并显示出较高的研究价值与广泛的 工程应用前景。 另一方面，近十年发展起来的以控制理论是目前解决鲁棒控制问题比较成 功且比较完善的理论体系。自从1 9 9 4 年韩国学者l e ej h 3 1 在时域中基于状态空 间模型，利用r i c c a t i 不等式方法提出时滞系统无记忆巩控制器设计问题以来， 时滞系统的也控制问题的研究取得了长足的发展，成为近年来也控制领域的 热点研究课题之一，并取得了丰硕的研究成果。 纵观时滞系统的研究和发展，有两条主要研究途径，即时域方法和频域方 法两大类。由于时域分析方法在处理时滞系统，尤其是不确定时滞系统方面具 有很大优势，因此下面从时域分析途径回顾一下时滞系统鲁棒控制的发展概况。 时滞系统的时域分析方法越来越成为时滞系统尤其是不确定时滞系统( 包 括系统矩阵的参数不确定性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器 综合的主要方法。时域分析方法克服了频域分析不能处理时变和参数摄动的不 中，而且具有方法简单、易于计算等优点，使其在实际工程应用中更加具有优 势。近年来有关不确定时滞系统的结论基本上都是用时域的分析方法取得的。 时域方法用的最多的是l y a p u n o v 直接设计方法。从二十世纪六十年代开始， l y a p u n o v 第二方法开始被用来处理线性系统的控制问题，接着该方法也很快被 山东大学硕士学位论文 引入到时滞系统的分析设计中来，l y a p u n o v 方法逐渐成为人们手中处理时滞系 统的有力武器。l y a p u n o v 方法的优点主要体现在两个方面，其一是方法统一， 所有问题几乎最后都转化为一个类r i c a a t i 方程的求解；其二是处理范围广泛， 不管是参数摄动还是时变时滞系统，都可以处理，这是其它方法做不到的。因 此，l y a p u n o v 方法在工业实际中有着广阔的应用前景。 利用l y a p u n o v 方法对时滞系统的研究结果可以分为两大类：时滞独立结果 和时滞依赖结果。所谓时滞独立结果，是指所得结论都是独立于时滞大小的， 即允许系统的滞后为无穷大，而对系统滞后的变化率一般都作小于l 的假设。 相反的，时滞依赖结果是跟系统滞后的大小有关，所得结论中包含时滞的信息。 作为时滞系统的一个特例，中立型微分系统( 状态导数中也含有时滞) 理论具 有理论和实践上的重要性，例如，中立型泛函微分方程是输电线中电压与电流 波动的自然模型，同时中立系统也经常出现在自动控制，人口动态中。许多作 者利用各种分析技术，如l y a p u n o v 方法，特征方程法及状态方程的解，建立了 许多中立系统渐近稳定的稳定性准则【4 7 1 。然而，同中立时滞系统稳定性的结果 相比，中立系统的分析与综合方面的文献却较少【8 捌。近来，x u 等【1 0 】解决了线性 中立时滞系统的和正实控制问题，并发展了相应的控制器设计方案。m a h m o u d 1 1 】 考虑了线性不确定性中立时滞系统的鲁棒坂控制问题，并得出一些可解性的充 分条件，但不是以线性矩阵不等式的形式给出的。 可以说，l y a p u n o v 第二方法的出现给控制理论的研究注入了新鲜的血液， 使得许多原本很难解决甚至没法解决的问题有了解决的可能。特别是对于时变 系统以及非线性系统的研究，l y a p u n o v 方法显示出强大的优越性。然而在采用 该方法分析系统稳定性等问题的时也需要相当的经验和技巧，特别的，构造出 一个适当的l y a p u n o v 函数是一门艺术，这在一个侧面也反映了其无规律可寻。 然而这并不能减少l y a p u n o v 方法的魅力，它仍将是处理各种控制问题的首选方 法。 1 4 本文的主要工作 本文首先研究了中立时滞系统的稳定性与鲁棒以控制问题。以l y a p u n o v 方法、r i c c a t i 不等式方法、线性矩阵不等式方法等为主要处理手段，通过状态 1 4 山东大学硕士学位论文 反馈对线性中立系统的鲁棒镇定与鲁棒玩控制问题进行了研究，得nt 时滞独 立和时滞相关两类不同结果，基本建立了中立系统h 控制的理论框架；其次， 本文研究了基于观测器的控制问题。对两类中立系统设计了时滞状态观测器， 并给出了基于观测器的镇定问题的解：最后讨论了基于状态观也控制问题。文 中对每一结果都给出了仿真实例，以说明文中方法的有效性。 山东大学硕士学位论文 第二章基本概念及预备引理 2 1 泛函分析基本概念 泛函分析是现代数学中一个较新的重要分支，它起源于经典数学物理中的 变分问题、边值问题，概括了经典数学分析、函数论中的某些重要概念、问题 和成果。它受到量子物理学、现代工程技术和现代力学的有力刺激，综合地运 用分析的、代数的和几何的观点和方法，研究分析数学、现代物理和现代工程 技术提出的许多问题。近十年来泛函分析在自动控制理论、最优化理论等方面 的应用日益广泛和有效，国内外控制理论方面的论文、专著经常引用泛函分析 的内容和方法。本节介绍泛函分析的基本概念。 2 1 1 度量空间 定义2 1 1 度量空间设是x 一非空集合。假如对于x 中的任意一对元 素x ，y 都给定一个实数p ( x ，y ) 与它们对应，而且适合如下条件： 1 ) p ( x ，力0 ，而且p ( x ，y ) = 0 的充要条件是x = y ； 2 ) 成立三角不等式： p ( x ，夕) p ( x ，z ) + p ( y ，z )( z 彳) ； 那么称p ( 而力是两点墨y 间的距离，又称x 按照距离p 力成为度量空间或 距离空间，记为( x ，p ) ，x 中的元素称为点。 定义2 1 2 极限的概念设h 是度量空间( x ，p ) 上的点列，x x ，假如 当n 寸时数列p 魄，y ) j0 ，就说点列 按照距离p ( x ，y ) 收敛于x ，记作 l i r a = x ，或寸x 。这时称 为收敛点列，x 为 秭 的极限。 定义2 1 3 基本列与完备性设 矗 是度量空间( x ，p ) 上的点列。如果对 于任意占 0 ，存在n = ( g ) 0 ，当m ，r l n 时有，p 瓴，) 占，则称 ) 为 基本序列，简称基本列。如果x 中的每个基本序列均收敛，则称x 是完备的。 注l ：在实( 或复) 数空间中，基本序列必收敛。对于一般度量空间，基本序 1 6 山东大学硕七学位论文 赋范空间。完备的赋范线性空间叫做b a n a c h 空间。 例2 2 空间c a ，b 】设c a ，6 】是闭区间【口，b 】上的连续函数全体所成的线 性空间。当f c a ，b 】时，规定 i l s l l2 黝l l s ( x ) 0 c a ，6 】按范数i i q j 成为赋范线性空间，而且是一个b a n a c h 空间。 例2 3 在，z 维向量空间r ”中，对于z = ( 五，恐，吒) ，令 +一 悱i i 善# ( 2 2 1 ) 或者 i l x l - 2 孙| ，i l x l l 。= m 圈a x x , 这些都是范数。我们称( 2 2 1 ) 定义的范数为欧氏范数。 例2 4c 。，b 】表示在区间 a ，b 】上连续且在 口，b 】中处处七次连续可微函 数x o ) 全体所成的线性空间。在c 。陋，b 】中规定。 l 蠢 ，l l x l l = m 蚓a x 劲) 怫圳，眇( r ) i ( 2 汤 那么l i x l l , 黾c 1 口，6 】上的范数，按此范数c 【口，6 】构成一个b a n a c h 空间。 在任何一个赋范线性空间x 中，可以由范数引出两点间的距离：对于 x , y x ，令 p ( x ，y ) = l l x - y l l ( 2 2 3 ) 那么从范数的四个条件容易验证忙一卅满足距离的两个条件。由( 2 2 3 ) 规定的距 离p ( x ，y ) 称为相应于范数删的距离，或由范数i i q i 决定的距离。我们今后对每个 赋范线性空间总是按照( 2 2 3 ) 引入距离，使之成为度量空间。这样一来，就可以 在赋范线性空间中引入极限的概念。 定义2 1 5 设x 是赋范线性空间，毛x ，刀= 1 ，2 ，。如果存在x x ， 山东大学硕士学位论文 列却未