（应用数学专业论文）一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性.pdf

幢 原创性声明 l l tf if i i i l l l l l l1 1 i ii ii y 17 9 3 3 3 0 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：鱼垒难 日期：2 翊q ：s ：因 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：整登堡导师签名：茎坠毪日期：2 旦乜：主：2 1 2 山东大学硕士学位论文 目录 中文摘要i 英文摘要i i i 符号说明v 第一章边值问题的研究背景与发展1 1 1 背景知识1 1 2 多点边值问题5 1 3 本文讨论的主要问题6 1 4 预备知识8 第二章相关g r e e n 函数及其性质9 2 1 g r e e n 函数的求解及其证明9 2 2g r e e n 函数的性质1 4 第三章至少一个正解的存在性2 l 3 1 相关理论与条件2 l 3 2 主要结果2 2 第四章至少兰个正解的存在性2 6 3 1 相关理论与条件2 6 3 2 主要结果2 7 总结3 l 参考文献3 2 致谢3 5 山东大学硕士学位论文 c o n t e n t s c h i n e s ea b s t r a c t ：i e n g l i s ha b s t r a c t i i i n o t a t i o n s v c h a p t e r1 c o n t e x ta n dd e v e l o p m e n t so fb v p s 1 1 1 c o n t e x to f t h eb v p s i 1 2 t h em u l t i p l ep o i n t sb v p s 5 1 3t h em a i ni s s u e so ft h i sa r t i c l e 6 1 4 p r i o rk n o w l e d g e 8 c h a p t e r2 r e l a t e dg r e e n f u n c t i o na n di t sp r o p e r t i e s 9 2 1 g r e e nf u n c t i o n ss o l v i n ga n dp r o o f 9 2 2p r o p e r t i e so ft h eg r e e nf u n c t i o n 1 4 c h a p t e r3 e x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n 2 l 3 1p r e r e q u i s i t e s 2 l 3 2 m a i nr e s u l t sa n di t sp r o o f 2 2 c h a p t e r4 e x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s 2 6 3 1p r e r e q u i s i t e s 2 6 3 2 m a i nr e s u l t sa n di t sp r o o f 2 7 s u m m a r y 3 1 r e f e r e n c e s 2 5 t h a n k s 3 5 一i i 一 簟 山东大学硕士学位论文 一类非线性三阶三点边值问题正解的存在性 作者：程华伟 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) ( 指导老师：黄淑祥) 摘要 由于三阶常微分方程边值问题在实际生活中经常遇到，在数学、物理 学、化学等许多科学领域中均有应用，近几年得到了广泛的关注其主要的研 究方法包括：上下解方法，度理论，以及g u o - k r a s n o s e l s k i i ，l e g g e t t - w i l l i a m s 等不动点定理以及其他理论 本文主要研究的是如下的一类三阶三点边值问题正解的存在性 1t l ( ) + a u ”( ) = 6 ( t ) ，( t ( ) ) ，0 0 ，0 ，7 0 主要思路是先构造相关的线性边值问题的g r e e n 函数，通过对g r e e n 函 数的分析得出一些重要性质，然后在不同限制条件下结合不同的不动点定理 得出非线性边值问题一个正解和三个正解的存在性 本文第一章介绍了边值问题相关内容的知识背景、发展概况、常用方法 以及本文所讨论的主要问题 第二章主要讨论的是问题相关的g r e e n 函数的求解、验证及其主要性质 的叙述和证明，此部分内容主要意义是为后面两章中的证明做准备 第三章主要是借鉴泛函中的方法，将非线性边值问题解的存在性转化为 抽象算子的不动点问题，从而运用锥上的不动点定理结合一定的限制条件，得 出边值问题一个正解的存在性 第四章与第三章类似，通过将非线性边值问题解的存在性化为抽象算子 的不动点问题，从而运用l e g g e t t - w i l l i a m s 不动点定理得出了边值问题三个 正解的存在性 总结部分给出了本文讨论的整体框架及其可能的扩展方向，并指明了本 文以后的改进方向 山东大学硕士学位论文 本文写作的重点在于将边值问题解的存在性通过泛函的方法转化为抽象 算子不动点的存在性问题，其中抽象算子的构造是关键；本文的难点在于由于 二阶导数项的加入，导致问题复杂度大幅增加，使得g r e e n 函数的计算、验证 及性质的讨论难度增大很多 关键字：三阶三点边值问题，不动点定理，正解存在性，g r e e n 函数 山东大学硕士学位论文 e x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so f t h i r d - o r d e rt h r e ep o i n td i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h u a w e ic h e n g ( s c h o o lo fm a t h i m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) ( s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rs h u x i a n gh u a n g ) a b s t r a c t t h et h i r d - o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s o f t e ne n c o u n t e r e di no u rr e a ll i f e ，i ta p p l i e si nm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y a n dm a n yo t h e rs c i e n t i f i cf i e l d s i th a sb e e nw i d e l ys t u d i e di nr e c e n ty e a r s t h em a i nr e s e a r c hm e t h o d si n c l u d e ：u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o nm e t h o d s ，d e g r e e t h e o r y , g u o - k r a s n o s e l s k i i ，l e g g e t t - w i u i a m sa n d o t h e rf i x e d - p o i n tt h e o r e m s t h i sp a p e rs t u d i e st h ef o l l o w i n gt h i r d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m sf o rt h ee x i s t e n c eo fi t sp o s i t i v es o l u t i o n s i 牡“( t ) + a z t ”( t ) 粕( ) ，( ( ) ) ，0 t 0 ，0 7 0 t h em a i nm e t h o di sc o n s t r u c t i n gt h eg t e e nf u n c t i o no ft h er e l a t e dl i n e a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n a l y s i s i n gs o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e s ，a n df i n a l l y g e to n e o rt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n se x i s t e n c eb yd i f f e r e n tf i x e d - p o i n tt h e o r e m s c h a p t e ro n ed e s c r i b e st h ec o n t e n t so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n d r e l a t e db a c k g r o u n d ，d e v e l o p m e n t s ，a n dd e s c r i b e st h em a i nq u e s t i o ns t u d i e di n t h i sa r t i c l e t h es e c o n dc h a p t e rf o c u s e so nt h er e l e v a n tg r e e nf u n c t i o n ，s o l v i n g ，p r o o f o fc e r t i f i c u t i o na n di t sm a i nc h a r a c t e r b yu s i n gt h em e t h o d si nf u n c t i o n a la n a l y s i s ，w ec h a n g et h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so fp v b s i n t ot h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t so fs o m eo p e r a t o r s ， i i i 山东大学硕士学位论文 a n dt h r e eg e tt h ee x i s t e n c eo fo n ep o s i t i v es o l u t i o nb yg u o - k r a s n o s e l s k i if i x e d - p o i n tt h e o r e mw i t hc e r t a i nr e s t r i c t i o n si nc h a p t e rt h r e e c h a p t e rf o u rg e tt h ee x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sb yl e g g e t t - w i l l i a m sf i x e d - p o i n tt h e o r e mw i t hc e r t a i nr e s t r i c t i o n s i ts h o w st h eo v e r a l lf r a m e w o r ka n dp o s s i b l ee 】【t e n s m no ft h i st h e s i si nt h e s u m m a r yp a r t t h em a i ni d e ao ft h i st h e s i si sc o n v e r t i n gt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o r b v p st ot h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t so fs o m ea b s t r a c to p e r a t o r sb yu s i n g f u n c t i o n a la n a l y s i sm e t h o d s t h ek e yi sc o n s t r u c t i n go ft h ea b s t r a c to p e r a t o r a n dt h ed i f f i c u l t yi st h ep r o b l e mb e c o m i n gm o r ec o m p l i c a t e df o rt h ep a r t i c i p a r t i o no ft h es e c o n do r d e rd e r i v a t i v e i tm a k e st h ea n a l y s i sa n dt h ep r o o fm o r e d i f f c u l t k e y w o r d s ：t h i r d - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m ，f i x e dp o i n t t h e o r e m ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s ，g r e e nf u n c t i o n r 山东大学硕士学位论文 r 7 c ( t ，8 ) g ，( ，8 ) c 陋，6 1 ， j c o ，1 l i i 8 a ：k _ k m i n t ，s m a x t ，s ) v 符号说明 实数域 区间j 的闭包 g r e e n 函数 g r e e n 函数关于t 的一阶导数 区间【o ，6 】上的连续函数空间 定义域为【0 ，1 】的连续函数空间 c o ，l 】空间中的范数 映k 到k 的算子 t 与8 的较小者 t 与s 的较大者 任意一个 一v 一 山东大学硕十学位论文 一 山东大学硕七学位论文 第一章边值问题的研究背景与发展 1 1 背景知识 微分方程边值问题( 简记为b v p ) 是微分方程理论研究中的一个基本问 题【l 】常微分方程边值问题有着广泛的实际背景，它在经典力学、电学、控 制论中有着及其重要的理论意义和应用价值常微分方程边值问题有着广泛 的实际背景，它在经典力学、电学、控制论中有着及其重要的理论意义和应 用价值随着科技的发展，在数学、医学、经济学、物理学、化学、生物学、 工程学、控制理论等许多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，在解决 这些非线性问题的工程中，逐渐形成了现代分析学中的一个非常重要的分支 一一非线性泛函分析它主要包括半序方法、拓扑度理论、锥理论和变分方 法等内容，为当今科技领域中的许多非线性问题提供了富有成效的理论工具， 尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性微分方程中发挥着不可替代的作 用 常微分方程的一个核心而又基本的问题，是确定一个常微分方程满足定 解条件的解是否存在，即定解问题一般的，给定一个常微分方程 z “= f ( t ，z ，z x n 一1 ) ， 其中，：i t p _ r ，当需要寻找满足特定条件 v ( z ) = 0 ， 的解时，就得到常微分方程定解问题，它由微分方程和定解条件构成，其中 u ：c ”1 _ r 与z 及z 的矗到n l 阶导数在t 的某些给定点上的取值有关 根据定解条件的不同，常微分方程定解问题主要有初值问题，边值问题和特征 值问题 常微分方程边值问题( b v p ) 是指，给定一个常微分方程 t 王( n ) = f ( t ，t 正，t i ( 俨1 ) ，t ， j 为r 上的某区间，：，r “_ r ，寻求其满足特定条件烈u ) = a 的解，其 中a r “，b ：俨。( ，) _ r n 与t ，t l ，u ( - - z ) 在自变量t 的至少两个给 山东大学硕士学位论文 定点上的取值有关例如： iz ”( ) = f ( t ，z ，z ) ， iz ( o ) = z ( 1 ) = 0 ， 就是一个边值问题 对常微分方程边值问题的研究最早始于牛顿和莱布尼茨建立微积分的最 初阶段早期的边值问题主要研究的是两点边值问题，三点和多点边值问题的 研究要稍晚一些 早期边值问题的一个著名实例是由瑞士数学家雅克比贝努利( j a c o b b e r n o u l l i ) 在1 6 9 0 年提出的悬链线问题( 即求自由悬挂于两定点的柔软、不可 伸长的绳子在重力作用下形成的曲线的问题) ，该问题可以转化为一个二阶常 微分方程的两点边值问题： f鱼：l。vi+y24-，d i 一= f x 2 i 可( n ) = q ，y ( b ) = p ， 另一个比较著名的常微分方程边值问题的例子是最速降线问题，即求一 个质点f l ：i a ( a ，q ) 下降至j j b ( b ，卢) 的用时最短的下降轨线问题该问题是由雅 克伯努利的弟弟约翰伯努利( j o h nb e r n o u l l i ) 在1 6 9 6 年提出，后来问题被牛 顿、莱布尼茨、伯努利兄弟等人归结为求积分 ， 1 厂6 j 。而上 的最小值，运用变分学原理，又转换成求解 k 豢反 d x ， ( 1 1 ) 这是一个常微分方程边值问题 1 8 世纪中，常微分方程边值问题的相关研究得到了长足的发展由于伯努 利兄弟、欧拉( l 够n 删e u l e r ) 、法国数学家拉格朗日( j l l a g r a n g e ) 等的卓越 一2 一 山东大学硕士学位论文 工作，在一阶及高阶常微分方程的求解上取得了重大进展，给出了各种解法， 常微分方程成为新的数学分支 1 9 世纪初，法国数学家傅里叶( j f o u r i e r ) 用分离变量法求解热传导问题， 导出了二阶常微分方程的两点边值问题 蟒等0 0 ， n 2 ， i 西( o ) = 圣“) = ， 、 其中a 是参数，由于边值问题( 1 2 ) 的解是否存在与a 的取值有关，从而导出 了特征值的概念 1 9 世纪3 0 年代，法国巴黎大学教授斯图姆和法兰西学院教授刘维尔共同 研究二阶常微分方程的两点边值问题，得到了s t u r m - l i o u v i l l e 边界条件，并形 成了s t u r m - l i o u v i l l e 理论 长期以来，人们对各类两点边值问题都进行了系统的研究以二阶常微 分方程为例，根据边界条件的不同，两点边值问题可以分为： d i r i c h l e t 边值问题： i ( ) = f ( t ，( ) ，( ) ) ，0 t 1 ， iu ( o ) = 0 ，札( 1 ) = o ； n e u m a n n 边值问题： i ( t ) = f ( t ，乱( t ) ，u 他) ) ，0 t l ， i 札，( 0 ) = 0 ，( 1 ) = o ； r o b i n 边值问题： l ( ) = f ( t ，孔( ) ，u 他) ) ，0 t l ， l 缸( o ) = 0 ，( 1 ) = o ； 周期边值问题： i ( ) = f ( t ，n ( ) ，( 观0 t 1 ， iu ( o ) = u ( 1 ) ， ( o ) = ( 1 ) ； 一3 一 山东大学硕十学位论文 以及上面提到的s t u t a n - l i o u v i l l e 边值问题： ， i ( ) = f ( t ，u ( t ) ，t 他) ) ，0 t l ， io m ( o ) 一届( o ) = 0 ， 6 t ( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 经过长期的研究，线性边值问题与非线性一阶、二阶方程两点边值问题 都已取得了系统而深刻的结果 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为边值问题研究的重要理论基础常微分运 算的积分运算的共同特征是它们作用到一个函数后得出新的函数，可以将这 些运算统一抽象为算子本文正是通过将三阶三点的非线性边值问题转化为 抽象算子不动点的存在性问题得到的解决 泛函分析正是算子概念的基础上发展起来的提到泛函分析的方法，不 得不提到g r e e n 函数g r e e n 函数是研究非线性常微分方程边值问题的重要 工具同时，根据g r e e n 函数给出的算子表达式，可以较容易地给出边值问题 的有解性条件并利用迭代法建立逼近解 由于g r e e n 函数具有只与边值条件而与非线性项无关这一良好的性质， 对g r e e n 函数的精确形式的研究是十分有意义的对于经典的两点边值问题， 人们已经得到了g r e e n 函数的具体形式，然而对多点边值问题，尤其是对高阶 多点边值问题，还没有建立一般的求g r e e n 函数的方法由此可以得到一大批 常微分方程边值问题对应的g r e e n 函数对高阶及多点边值问题的g r e e n 函 数在f 3 】、f 1 2 】等相关文献中给出了一些方法和讨论 借助g r e e n 函数将微分方程边值问题解的存在性转化成算子不动点的存 在性，便于给出边值问题的有解性、多解性以及唯一性条件对于边值问题解 的存在性讨论，只有正解的存在性才有意义目前此方面问题应用的方法主要 有上下解方法与l e r a y - s c h a u d e r 建立的拓扑度理论以及一系列不动点定理 不动点方法通常用来讨论边值问题解的存在性，而在研究解的唯一性时却有 很大的局限性，有些学者通过结合上下解方法，一定程度上解决了这一问题 2 0 世纪3 0 年代数学家勒雷( j l e r a y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建立了l e r a y - s c h a u d e r 度理论，并在研究线性微分、积分、泛函方程时取得了巨大成功在 此推动下高阶微分方程的边值问题可以得以研究，并且形成了许多新的研究 方向从2 0 世纪8 0 年代开始有了对二阶常微分方程多点边值问题的讨论，也 一4 一 山东大学硕十学位论文 就是说所给定的两个定解条件涉及端点间的其他点上函数的值例如 l + ，( t ，t ，o ) = 0 ， it ( o ) = 扎( 1 ) 一a u ( e ) = 0 ， 就是一个常见的二阶常微分方程三点边值问题类似的还有四点边值问题、 m 点边值问题等，这些常微分方程多点边值问题也常常被称为常微分方程非 局部问题1 3 ，5 】 1 2 多点边值问题 常微分方程多点边值问题足指：方程的定解条件不仅依赖于解在区间端 点的取值，而且依赖于解在区间内部的一些点上的取值 常微分方程多点边值问题较两点边值问题可以更精确地描述许多实际模 型，所以有着更广泛的理论和实际背景在物理学、生物学、控制论等模型 中都有广泛应用，例如多孔介质流的研究中就有所涉及 当然还有许多力学和电学现象的描述过程中，考虑到实际测量的误差及 相关因素的干扰，通常会得到带有扰动项的m 点边值问题： ， i ( ) = f ( t ，u ( ) ，( ) ) ，0 t l ， cm 一2 m 一2 la u ( o ) 一z u ( o ) = en ( 矗) ，6 u ( 1 ) 一7 u 7 ( 1 ) = e 阮t | ，( 6 ) ， i = oi - - - - - - ( 其中，0 f l 已 & 一2 1 于此同时多点边值问题和许多经典的两点边值问题有很多相似点，某种 程度上两点边值问题可以归纳为某种形式的多点边值问题的特例例如m 点 边值问题 ， l ( ) = y ( t ，( ) ，u 心) ) ，0 t 1 ， cm 一2f n 一2 l 牡( o ) = a i u 7 ( & ) ，6 u ( 1 ) + 7 u ( 1 ) = b i u 7 ( 6 ) ， 、 i = o i = 0 如果，y = 0 ，6 = 1 ，a i = b i = 0 ( i = 1 ，m 一2 ) ，那么边值问题就退化 为两点d i r i c h l e t 边值问题； 而如果6 = 0 ，7 = l ，a i = b i = 0 ( i = l ，m 一2 ) ，则边值问题就会退 化为两点r o b i n 边值问题；其它情形类似 一5 一 山东大学硕士学位论文 因此，对多点边值问题的研究实际上也涵盖了对各类两点边值问题的研 究【5 1 ，【1 8 】 对于多点边值问题的研究方法，最常用的是基于锥与半序的上下解方 法、由b r o u w e r ，l e r a y , s c h a u d e r 建立的拓扑度理论及随之得到的一系列不 动点定理，而且这些理论与方法还正在不断的发展与完善中 拓扑度理论【2 】， 1 8 1 起源于用代数拓扑的方法研究映射的不动点最近几 十年，众多学者把拓扑度理论重新建立在分析学的基础上，并由此推出许多 著名的不动点定理，如：s c h a u d e r 不动点定理，锥压缩与锥拉伸不动点定理， m a w h i n 连续性定理等，这一系列工作使拓扑度方法成为研究分析数学，特别 是非线性微分方程的重要工具常用的方法是将微分运算抽象为某个算子， 通过考察该算子在某些区域上具有的性质，例如紧性、区域压缩与拉伸性质 等，根据不动点定理可得到给定算子在相应区域中不动点的存在性，进而得 到相应边值问题解的存在性结果 虽然不动点方法可以用来作为讨论边值问题解的存在性的有力工具，但 是它在研究解的唯一性时却有很大的局限性，而上下解方法就能很好的解决 这一问题 该方法以边值问题的上解和下解为初始值，构造相应迭代方程解的迭代 序列，最后验证上解序列和下解序列的极限函数就是边值问题的解，同时也 是最大解和最小解利用上下解方法能刻划出边值问题的解所在的更确切的 位置，将任一解都用最大解、最小解来限制，并且进一步在一定条件下能得 到解的唯一性结果具体细节将在本文第2 章中进行详细讨论 1 3 本文讨论的主要问题 对高阶边值问题的讨论已有不少结果，像【1 3 1 中对三阶两点边值问题的 讨论，文献【2 6 】中对三阶两点边值问题的变号解的多重性做了讨论同时也有 很多文献对方程组边值问题正解的存在性给予讨论 文献【6 1 6 中研究了如下的四阶四点边值问题： 一6 一 山东大学硕士学位论文 fy ( 4 ( ) 一，( ，( ) ，y c t ) ) = 0 ，0 t l ， i 可( o ) = y ( 1 ) = 0 ， ia y ”( e 1 ) 一矿( - ) = 0 ， i - 锣”( s 2 ) + d 。i ”( e 2 ) = 0 ， 并给出了一个正解存在性的证明类似的，文献【l l 】中研究了四阶n l 点边值 问题，通过锥上的不动点定理给出了两个正解的存在性 对于三阶三点边值问题，2 0 0 2 年d o u g l a sr a n d e r s o n 在其文章【6 】中讨 论了非线性问题 iz ( ) = f ( t ，z ( t ) ) ，t l t t 3 ， lz ( 1 ) = z 7 ( t 2 ) = 0 ，7 x ( t 3 ) + 如”( t 3 ) = 0 ， 给出了其g r e e n 函数的性质，及该边值问题一个正解的存在性的证明，并在文 献【2 1 】中对多个正解的存在性进行了讨论 受此文启发，2 0 0 8 年l i - j u ng a o 等在【9 】中研究了问题 i ( t ) + n ( ) ，( u ( t ) ) = 0 ，0 t 0 ，0 0 ，0 o ) ， 咖( t ) ：= e - 越一1 + a t e a t l ， 7 - ：= e a s 一4 + n 一1 2 5 一口， p ( t ) ：= ，y e 一武一7 7 t e 一口一6 t a 2 e 一4 + 7 t 引理2 1 当七= 伊一4 + 7 a 2 e 一4 + a t e 一叼一，7 0 时问题( 1 3 ) 的g r e e n 函数 存在且唯一 q z 1 ( o ) 薪( ，7 ) z 2 ( o ) z ：( ，7 ) x 3 ( o ) 磊( ，7 ) 弦l ( 1 ) + 如：( 1 ) 怛2 ( 1 ) + 缸；( 1 ) 7 2 3 ( 1 ) + 6 ( 1 ) 对应于式子( 2 1 ) ，z l ( 0 ) = 1 ，x 2 ( t ) = t ，x 3 ( t ) = e 一越是方程0 ”( t ) + a u ”( t ) = 0 的基本解系， q 7e二：16一a二en) 一口e 一叼l ，y e d + 2 o ， 一9 一 章二第 的应对其财 0 乳+ 0 u 7 = 3 u 、乃n | i 屹 札 = 毗封q 题问 对瓤 明d证烈 山东大学硕士学位论文 则i q ( z ) l = 7 e 叶+ b a 2 e 一口+ a t e d | ，一，y = 七根据参考文献【1 ，3 ，5 】中的相关 定理可知，当且仅当k = l q i 0 时，式子( 2 1 ) 的g r e e n 函数存在且唯一 - 定理2 1 当线性边值问题( 2 1 ) 为非共振情况是，存在唯一得g r e e n 函数 c ( t ，s ) ，使得边值问题( 1 3 ) 的解可表示为： u ( t ) = f o j g ( ，s ) 6 ( s ) ，( 缸( s ) ) d s ， 其中的g ( t ，8 ) 表示如下 g ( t ，s ) = 口厂l p ( t ) 一厶( t ) e “一越+ a t 一口s 一1 i 石一十i 广一 a f t p ( t ) 一厶( t ) 磊一 e ”- a t + 孑a t - - a a - - 1 一7 1 + 厕j a z _ e a 一- ( )口2n 2 七 r ， 0 s 卵，s t l ； 0 8 ，0 t s ； ( 2 2 ) r s 1 ，s t l ； 一7 7 + i 5 习a 2 f e a s 一- a ( t ) 7 s l ，叼s 其中 ：= 1 一e ”蜘，厶：= + 如2 e 甜- 口，f 3 ：= e - a ，一e 一村 简便起见，我们将上面的4 个区域依次记为a , b ，c ，d 对应的g r e e n 函数分 别简记为g 。，g 6 ，g 。，g d 证明：我们来验证( 2 2 ) 中的c ( t ，s ) 是( 2 1 ) 对应的g r e e n 函数 c o g ( t ，s ) 疣 一1 0 一 f l ( y 一7 a e 一越一7 e 一。一b a 2 e o ) 一n 2 丘，3 1 一e ”一耐 g a n 厂l ( ，y 一7 a e d t 一，y e 一。一6 n 2 e 一口) 一口2 厶，3 k a 一丢( 罟拙一4 ) ( 。e 删一驰卅) + ：1 ( 1 一州) 一丢( 罟拙一n ) ( n e 删一雠卅) ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) 山东大学硕七学位论文 0 2 g ( t ，s ) 一：= o r 2 0 3 a ( t ，s ) 一= o r s 丢( ( 1 一e 一鲫) ，y a e - a t e - a t ( + 乩2 e a s - a ) ) + e 一越 ( a ) 丢( ( 1 一e 邶删) m e 叫一e 一时( t r + 6 a 2 e ”一4 ) ) ( b ) 一昙( ，y r + 乩2 e a s - a ) e - a t + 一越 ( c ) 一k ( - y r + 6 矿e “一4 ) e 一以 ( d ) 昙( 一n 2 叩埘( 1 一一越) + ( + 6 a e a s - a ) e 一越) 一0 e 一越( a ) k ( - a 2 7 e - 吐( 1 _ e a s - a t ) + ( ，y 7 + 6 a e a s - a ) e 一耐) ( b ) 越( t r + 6 a e 一口) 一扩卅 ( c ) 丢e 卅+ 6 口“) ( d ) 在以下的叙述中，我们做如下简写：在a b ，c ，d 四个区域上的e ( t ，s ) 分别简 写为： 倪：= c a ( ，s ) = v ( t ，s ) ，( 厶s ) ( a ) g b ：= g b ( t ，s ) = c ( t ，s ) ，( t ：s ) ( b ) g c ：= g c ( 岛s ) = a ( t ，s ) ，( t ，3 ) ( c ) g d ：= g d ( t ，8 ) = a ( t ，s ) ，( t ，s ) ( d ) ：2 壶( 1 一e 邪一唧) ( 7 e 一缸一7 一化一。一6 t n 2 e “+ ，y ) 显然有g b = g d + a ，g 。= g 。+ a ，同时对应的g 关于t 的导数简写为 晓，瓯，碰，瓯 我们先验证方程成立： 1 ) 当t ，7 时， u ( ) = t g b ( s ) m ( s ) ) d s + 叩g 6 6 ( s ) m ( s ) ) d s + l g d b ( s ) m ( s ) ) d s 因为g 。( t ，s ) l 。；。= g b ( t ，s ) i 。：。，所以 一1 l 一 山东大学硕士学位论文 o ( t ) ：! ，( t ) g 口( t ，s ) i 。+ 厂。c ：o b ( s ) ，( 札( s ) ) d 5 + 厂岛6 ( s ) ，( 牡( s ) ) d s j oj t 一可( t ) g 6 ( t ，s ) l + g d b ( s ) f ( u ( s ) ) d s j 钌 = o - 6 ( s ) 弛( s ) ) 叼锐6 ( s ) m ( s ) ) d s + z 1 岛6 ( s ) m ( s ) ) 以 又因为( g ：一瓯) l 。爿= 0 或者说g ：l 。：。2gi 耐，于是硐： ， ( ) = 秒( ) i 。耐+ 6 ( s ) ，( ( s ) ) d s 一秒( ) l l = t ，o + z 叶g ：6 ( s ) ，( u ( s ) ) d s + 1 i t 6 ( s ) ，( 牡( 3 ) ) d s = z 。6 ( s ) 弛( s ) ) d 5 + ，叩6 ( 彬( 牡( 5 ) ) d s + z 1 6 ( 啪( u ( s ) ) d s 根据g = ：，g ：的性质，我们有：g = ：l 。= 。一g ：l 。= e ”一越i 。：。= 1 于是： 砸) = ( ) l + ! 6 ( s ) ，( u ( s ) ) d s 一可( t ) ，1 5 耐 + 叩珊州s ) ) d s + z 1 g ：，6 ( s 州s ) ) d s = z 6 ( s ) m ( s ) ) d s + 叩矾s ) 弛( s ) ) d s + z 1 筲6 ( s ) 弛( s ) ) d s + 可( t ) 根椐g r e e n 函数的形式很容易发现： = 一n ，= 一口，= 一n ，= 一n 所以牡( t ) = y ( t ) 一n 0 ( ) e p u ”( ) + n t l ”( t ) = y ( t ) 2 ) 同理可证当1 t 7 时 ( ) = 可( t ) ( 一) l 一“( t ) = 可( t ) + a u ”( ) 综上可知，g ( t ，s ) 满足问题( 1 3 ) 中的方程 b ) 下面验证g ( t ，s ) 满足三个给定的边界条件： 一1 2 一 山东大学硕士学位论文 1 ) 对边界u ( o ) = 0 ，0 = t 7 7 ， 酢) = t g 。b ( s 脚s ) ) d s + ，叩 札( 。) = o 叩( 1 6 6 ( s ) 厂( 让( s ) ) d s + z 1 即第一边界u ( o ) = 0 满足； 2 ) 对边界0 ( ，7 ) = 0 ，t = r 有： ( s ) m ( s ) ) d s + z 1 g d 6 ( s ) m ( s ) ) d 5 g - d 6 ( s ) ，( ( s ) ) d 5 = z 7 。d s + z 1 。山= 。 u ( t ) = 0 2 晓6 ( s ) m ( s ) ) d s + ，qg m ( s ) ) d s + z 1 嘭6 ( 5 ) m ( s ) ) d s 缸= z 叩生竺灶等生型州s ) ) d 5 + i 盟竺迷幽6 ( s 州s ) ) d s = r0 6 ( 町( 小)