（应用数学专业论文）与算子有关的besovtriebellizorkin空间及其在pde中的应用.pdf

与算子有关的b e s o v ，t r i e b e l l i z o r k i n 空间 及其在p d f i 中的应用 专业：应用数学 硕士生：苏庆堂 指导教师：颜立新教授 摘要 经典的b e s o v 空间和t r i e b e l l i z o r k i n 空间在偏微分方程的研究中起了非常 重要的作用。j b o u r g a i n , t t a o ，c e k c n i g ，t k a t o 等人将它们运用到非线性发 展方程的研究中，获得了令人瞩目的结果。当前，带非光滑系数的非线性发展方 程边值问题或者边界非光滑的偏微分方程边值问题的研究引起了广泛关注，而这 时经典的b e s o v , t r i e b e l l i z o r k i n 空间可能不再是研究这些问题的合适空间。因此 有必要对经典的函数空间理论进行推广。aa u s c h e r , 八m c i n t o s h , x t d u o n g ， l i x i ny a h ，s h o f m a n n 等人研究了与算子有关的h a r d y 空间，b m o 空间，b e s o v 空间，将经典的函数空间理论进行了拓广。 本文研究了一类与算子有关的b e s o v 空间与t r i e b e l l i z o r k i n 空间。假设三生 成厶2 ( r ”) 上的一个解析半群 e - t l ) t 2 0 ，并且有p o i s s o n 热核界，则我们可以定义 与算子三关联的b e s o v 空间与t r i e b e l l i z o r k i n 空间，并且证明这些空间具备很多 与经典空间类似的良好性质。 本文分四章。在第一章我们简要介绍了函数空间的发展历史以及与算子有关 的函数空间的驱动力和发展，列举了本文需要用到的预备知识，例如b o c h n e r 积 分，算子半群等。 在第二章，我们定义了与算子三有关的b e s o v 空间 嫒乒( r n ) = f l p ( r 付) ：( j o n i i ( t l ) 七e l ，i i p ) q 譬) 1 q 0 ，k a 是整数，l 口是整数，l p ，i o ，k 口i s 孤i n t e g e r ，1 p o o ，1 g o o 。a tt h eb e g i n n i n gw e p r o v et h a tt h ed e f i n i t i o no f t h es p a c ei si n d e p e n d e n to f t h e c h o i c eo fk t h e nw es t u d y t h ep r o p e r t i e so ft h e s es p a c e s ，s u c h 嬲c o m p l e t e n e s s ，d e n s es u b s e t ，e m b e d d i n g t h e o r e m s ，e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s ，a n dt h ec o m p a r i s o nw i t ht h ec l a s s i c a l o n e s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h et r i e b e l - l i z o r k i ns p a c e sa s s o c i a t e dw i t ho p e r a t o rl 磁乒( r n ) = ai si n t e g e r ，1 p o o ，1 q 0 0 。a si nc h a p t e r2 ，w e 伍s f t p r o v et h a tt h ed e f i n i t i o no f t h es p a c ei si n d e p e n d e n to f t h ec h o i c eo f k t h e nw es t u d y t h ep r o p e r t i e so ft h e s es p a c e s ，s u c h 舔c o m p l e t e n e s s ，d e n s es u b s e t ，e m b e d d i n g t h e o r e m s ，e q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o n s ，a n dt h ec o m p a r i s o n w i t ht h ec l a s s i c a lo n e s i nc h a p t e r4 。w et r yt oa p p l yt h e s es p a c e st ot h es t u d yo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s w eg i v et h et i m e - s p a c ep r i o re s t i m a t eo f ac l a s so fl i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e yw o r d s ：h a r d yi n e q u a l i t y , s e m i g r o u p ，v e c t o r - v a l u e dm a x i m a li n e q u a l i t y , b e s o vs p a c e ，t r i e b e b l i z o r k i ns p a c e ，h a r d y - l i t t l e w o o d - s o b o l e vi n e q u a l i t y 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：絮灰重 学位论文使用授权声明 日期：勾l o 年5 月3 f 日 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学位论文作者签名：豸灰噬 日期：2 d f o 年岁月31 日 导师签名： 、 邪乞够 日期：伽f 年s 月5 1 日 第一章绪论 本章主要介绍该论文历史背景、现状以及要研究的问题。对该论文的研究工 作作了简要的概括，并且给出相关的预备知识。 1 1 研究背景 经典i 拘b e s o v 与t r i e b e l - l i z o r k i n 空间( 3 1 ，4 1 ) 始于二十世纪六十至八十年代， 近来已经在偏微分方程研究中得到广泛的应用( 【5 】， 6 】，【7 】， 8 】) 。众所周知，s o b o l e v 空间在p d e 研究中起着至关重要的作用( 9 】，【1 0 1 ， 1 1 ) ，但是s o b o l e v 空间( 2 】) 的某 些缺陷使得在很多场合下我们需要寻找新的替代空间，另一个驱动力是想对已 有的空间例如妒空间，h s l d e r 空间，l i p s c h i t z 空间，b e s s e l 位势空间等纳入同一个 框架进行统一的刻画，而b e s o v 空间以及t r i e b e l - l i z o r k i n 借助调和分析的实变理 论( 1 1 1 ，1 2 1 ，f 1 3 1 ) 特别是l i t t l e w o o d p a l a y 理论以及乘子理论实现了这些目标。 1 1 1函数空间的发展( f 4 1 ) 截止至2 0 世纪8 0 年代初，函数空间的发展大致分为三个阶段。 第一个阶段是2 0 世纪初至2 0 世纪3 0 年代。在这个阶段，p 可积函数空间口，m 次 可微函数空间c m 已经给研究得比较透彻；而h s l d e r 空间俨( 其中0 8 且不等于 整数) 以及h a r d y 空间俨( 0 p o o ) 也得n t 研究，并且这些研究预示了下一阶 段的到来。 s o b o l e v ( 1 4 ，1 5 1 ) 在1 9 3 5 1 9 3 8 几年间发表了一系列关于s o b o l e v 空间w m p 的 文章，在这些文章中他引入了分布理论并且建立了例如嵌入定理等的新结果，标 志着第二个阶段的到来。在随后的二十多年里，函数空间理论飞速发展，出现 t z y g m u n d ( 1 6 ) 空f n c 3 ，s l o b o d e c k i j ( 1 7 ) 空 n 嵋，b e s o v 空间( 1 8 】) a ；，q ，b e s s e l 位 势函数空间( f 2 0 1 ) ( 或者叫实数阶i 鬟s o b o l e v 空间) 职，平均振动函数空间b m o ( 1 9 1 ) 以及实变刻画的实h a r d y 空间f 1 1 1 ) 等。这一阶段的空间基本是通过显式范数或者 半范数的刻画得到的。 而到了2 0 世界6 0 年代，函数空间理论得到了更深远的发展，进入了第三个 阶段( 注意，第二阶段和第三阶段是有重叠的) 。这一阶段的显著特点是对已有的 空间用统一的方法和原则进行处理，并得到了大量新的空间。随着函数空间理 论的飞速发展，用统一的方法，统一的观点来看待和处理大量的函数空间成为 1 2中山大学硕士学位论文 一种需要。首先取得的重大突破是在b a n a c h 空间抽象插值理论这一框架下获得 的，通过抽象插值，我们可以从基本的函数空间例如口伊等出发获得新的空间 女i b e s o v 空间心，等。这样我们就可以用抽象插值空间理论将基本所有的空间纳 入统一的框架进行研究( 具体细节可见h t r i e b e l i 约著作3 1 ) 。当然，抽象插值的方 法的不足之处在于它需要端点空间( 例如，后来出现的齐次空间，t r i e b e l 空间等不 能通过插值得到) 。而到了六十年代末七十年代初，调和分析实变方法的深远发展 使得抽象插值理论的缺陷在很大程度上得以弥补。通过l i t t l e w o o d - p a l a y 理论，乘 子理论，极大不等式等深刻的调和分析方法，人们得以将之前的函数空间纳入一 个统一的框架中用统一的观点进行处理。这些空间都被包含在脚空间成。以 及t r i e b e l - l i z o r k i n 空间露。中。而这些函数空间对应的齐次空间也得到相应的考 虑和统一的处理( 见f 4 1 ) 。 1 1 2经典b e s o v ，t r i e b e l - l i z o r k i n 空间的发展 经典的b e s o v 和n i e b e l l i z o r k i n 空间理论已经发展得比较成熟。首先b e s o v ( 【1 8 】) 在1 9 5 9 年引入了b e s o v 空间( l i p s c h i t z 空间) ，定义如下： a ；口( 瞅) = ，口：( 上。坐坠气半出) 1 口 o 。) 这里0 s 是整数，1 p ，q o 。，定义 a ； 口( ) = ，汐：( o ( 可扣川杀u ( z ，) 1 1 p ) q 警) 1 q o 。) 而通过汐空间与w m ，p 空间的插值，也可以得到与上述等价的b e s o v 空间( 细节参 ) j i h t r i e b e l 的著作 3 】) 。 更为深远的发展是l i t t l e w o o d p a l a y 垂论的应用将b e s o v 空间推广到了负指 数阶的情形。 第一章：绪论3 定义1 1 1 记西( r n ) 是所有满足妒= 叻( z ) ) 器ocs ( 舻) 及下面条件的集合 s u p pq o oc z ：i z l 2 ) ，s u p p 办c x ：一1 i z i 矽+ 1 ) ，j = 1 ，2 ， 并且对任意的多重指标o z ，存在正数c a 使得 分l n i i d 口( z ) isc a ，vj = 0 ，1 ，vz r 并且 o o 仍( z ) = 1 ，v z 黔 j = o 下面引入b e s o v 空间和n i e b e l - i i z o r h n 空间( 【4 】) 。 定义1 1 2 设一。o s o o ，0 q o o ，妒= 仍( z ) ) 罡o 圣( r n ) ，则 印，) 对0 p5o o ，定义 睇，口( r n ) = ，( r ) ，| | ，一p m s = i1 2 鲥f 一1 f 厂lk ( l p ) o 。) 俐对0 p o o ，定义 q ( r n ) = ，s 7 ( 时) ，i l 州。= 1 1 2 叮f 1 仍f ，l | l p ( 1 a ) 0 时，b e s o v 空间 与t r i e b e l - l i z o r k i n 空间可以用p o i s s o n 半群或者g a u s s 半群刻画，也就是 ( 1 ) 1 p ，q o o b ；，g ( r n ) = ，胪：1 1 ：1 1 日；。= 1 1 ：1 1 p + ( o ( 亡一5 lk e - t l 1 1 p ) 口d r ) 1 q ( 2 ) 1 p o o ，1 q o 。时 列时) = s 是整数。从这个观察，我们说经 典的b e s o v 空间或者t r i e b e l - l i z o r k i n 空间是与讴或者有关的空间。它们作为经 4中山大学硕士学位论文 典热方程或者波方程研究的底空间是自然而卓有成效的。然而当我们考虑带非光 滑系数的微分算子时，与标准的l a p l a c i a n 算子有关的函数空间未必是合适的空 间( 【2 1 ) 。基于上述考虑，人们对与算子有关的函数空间进行了研究。d u o n g ，x t ， l i x i n ，y a n ( 2 2 ，2 3 1 在2 0 0 5 年研究了与具热核界的算子有关的b m o 和h a r d y 空 间，d z i u b a i s k i ，j ( f 2 4 】) 等人研究了与s c h r s d i n g e r 算子( 带满足逆h 5 1 d e r 不等式的 位势) 有关的b m o 空间。h o f m a n n ，s ( 2 5 】) 等人在2 0 0 9 年研究了与一类散度形椭 圆算子有关的b m o 空间与h a r d y 空间。最近，h u y - q u yb u i ，x u a nt h i n hd u o n g ， y a nl i x i n ( 2 1 ) 等人研究了与算子有关的齐次b e s 0 v 空间霹乒，其中- 1 o 0 ，1 o a x h 的算子半群，如果z x 使得t ( t ) x 在t = o 处强可 微，即极限 1 i m t ( t ) x - x t - + o + t 在x 中存在，其极限记为a z ，则算子a 称为半群t ( 亡) 的无穷小生成元，简称为生 成元。记 叫) = 沁x ：船掣! 捌咖) 一个自然的问题是什么算子会生成一致连续半群，强连续半群。首先，对一致连 续半群，有如下定理， 定理1 2 1 5 半群 互) t o 是一致连续半群的充要条件是其生成元a l ( x ) 。 下面的性质经常用到，因此我们也罗列在这里。 第一章：绪论 9 命题1 2 1 6 设 互) t o 是以a 为生成元的g 半群，则 ( ) l i m ，i _ o 丢丘枘t ( s ) x d s = t ( t ) x ，z x ( 2 ) f ot ( s ) x d s d ( a ) ，并且 a ( e t ( s ) z d s ) = t ( 亡) z z ，z x 俐若z d ( a ) ，则对t 0 ，t ( t ) x d ( a ) ，并且 面dt ( 亡) z = a t ( t ) z = t ( 亡) 血 “夕丁( t ) z t ( s ) z = f ：t ( a ) a x d a = f ：a t ( a ) x d a ，z d ( a ) 0 0 倒a 是x 中稠定闭算子，且nd ( 小) 在x 中稠密 n = l 下面的h i l l e y o s i d a 定理表述了能生成g 半群的线性算子的特征。 定理1 2 1 7 线性算子a 为某岛半群 o 和叫，当入 u 时入户( a ) ，并且 i i r ( 枷) n i l d ，n = 1 2 ， 1 2 3 2 解析半群 在很多具体问题中常常要求某些g 算子半群的定义域是复平面上包含非负 实轴的某个区域，因此我们简要介绍解析半群。 定义1 2 1 8 设d 6 = 入c ：i a r g a i o ) 是复平面c 中某个区域，当入 d 6uo 时，t ( i ) l ( x ) ，如果t ( 入) 是d 6 上的算子解析函数，并且满足 ( 1 ) t ( o = i ； f 砂t ( a 1 + 入2 ) = t ( 入1 ) 丁( a 2 ) ，a 1 ，a 2 d 6 j ( 3 ) l i m a 一+ 0 ，a d st ( a ) x = z ，z x 则称算子族t ( 入) 是d 6 上的算子半群若 互) t o 是g 半群，当它可以延拓成 复平面上巢包含非负实轴的某个区域中的解析半群时，就称t ( ) 是解析半群 下面定理回答了一致有界g 半群在什么条件下可以延拓成解析半群，对一般的g 半 群丁( 亡) ，考虑e 叫。t ( 亡) 即可。 1 0 中山大学硕士学位论文 定理1 2 1 9 设 正) t o 是x 上一致有界的g 半群，a 是其生成元，则下面的命题 是等价的。 p 正 - t o 可以延拓成d 6 q 的解析半群，并且t c a ) 在d ( 6 ) 的每个闭子扇形反= a ：l a r g a l 6 1 ( 6 1 0 ，使得对每个矿 0 ，r 0 都有 门 懈仃+ 7 7 ，a ) 1 1 葫 俐存在0 0 吾以及常数m ，使得 = 入：l a r g a 0 ，使得 l i a t ( t ) i i 5 u - 0 1 门 1 3 本文内容 本文主要研究了三个问题： 一是融中与算子有关的b e s o v 空间： 二是r n 中与算子有关的t r i e b e l - l i z o r k i n 空间； 三是这些空间在偏微分方程中的应用。 在第二章，我们定义了与算子三有关的b e s o v 空间 科( r n ) = 口是整数，l p 。o ，1 q o 。，l 在l 2 上生成解析半群且l 具 有p o i s s o n 热核界。首先我们证明了空间的定义是与k 的选取是无关的，从而是良 定的。然后我们探讨了这类空间的性质，例如稠密子集，嵌入定理，等价范数，与 经典空间的比较等。 第一章：绪论 1 1 在第三章，我们定义了与算子l 有关的t r i e b e l - l i z o r k i n 空间 搿( ) = q 是整数，1 p ，1 0 ，z r n 注记2 1 1 满足条件( s ) ，( k ) 的算亍是很多讷( 1 2 1 1 2 8 ) 门) r _ h 的l a p l a c i a n 算子以及沤i 俐船上的s c 帕班叼e r 算子一+ v ，其中o v l k ； 阳) p 上具有界实系数的散度型椭圆算子 我们指出一个在后面多次用到的性质，详细证明可见 2 9 】的t h e o r e m6 1 7 。 命题2 1 2 若l 满足例，倒，k n ，p k ，t ( z ，y ) 是( 圮) 七e - t l 的核，则v0 o 是整数，t 0 。 2 2 与算子有关白 j b e s o v 空间的定义 定义2 2 1 假设工满足俐，倒，厂p ( 舯) ，1 q 是整数，定义与算子l 有关的b e s d 口空间如下： 鹾乒( r 竹) = ，驴( 舯) ：i i 川罢手 q 的选取无关 定理2 2 3 假设l 满足俐，例，1 口是整 数，则存在常数c 1 ，q 0 刚川戮i l f l l qu p , q 驯，l | 龆 u p ，一p ，叮 我们先引入一个表示定理( 【2 1 】) 。 定理2 2 4 设l 是厶2 ( r n ) 上的稠定算子，且满足俐和倒设，汐( r n ) ，1 p v q c o ( 亡一口i i ( 亡lk + l e - 2 t l f l l p ) 口譬) v q - - c o ( 芒一a i i ( 亡l ) 七e t l f l l p ) 口譬) 1 7 q 反过来，注意到；胪e 吖l ，= 一l 七+ 1 e 叫l f ，从而有 a s u - - l k + l e - j lla 8 = l k e - l ll _ l k e - t l 1 4中山大学硕士学位论文 断言：i i l 詹e u l f l l b ；, 乒_ 0 ( u 一) 这是因为 l k e - u l 川鹾于- l l k e - u l 川p + = i + i i 显然，- 0 ，( u _ o 。) 因此我们有 ：仳 f l c u 一蠡i t - o ( 亡l ) k e - t l ( l k e - t , l f ) ll p ) 口秽q t - o i i ( t l ) k e - t l ( ( 乱l ) k e - 1 , l 剧i p ) ) 口铲口 一o ( t l ) 七e 一儿f = 上述积分在磁乒和汐意义下收敛。由 旷a)ke-tlii(tl)-tlflij0 p ) 口秽口 ( 亡一p ) 口等r b，、 1 口 o ( t k q - a q t q i l k + l e - o l 川；秽口 忻旷呲1 1 lk + l e - t l f l l p ) 口铲 当口= o o 时，由( 2 5 ) 以及m i n k o w s k i 不等式， t 一口ii ( t l ) 七e 吼川p 扩a o o 8 - a ll s k + l l 知+ 1 e 一。l ，i i p 8 口一知一1 d s op ) 亡七一a t s a 一七一1 d s 、 o 3 = 击磁盘 定理证毕。 我们自然关心什么函数包含在我们定义的b e s o v 空间里面，下面的性质则部 分回答了这个问题。 命题2 2 5 假设l 满足俐，例，1 q 是整数， 则v s 0 ，y p ， m ( ，训酸于 其中，m ( z ，可) 是( s l ) m e 一8 l 的核 c s _ a n f _ 第二章：与算子有关的b e s o v 空间 1 5 证明 考祭皿s ，t m ( i ) ：= 皿t ，m ( l ) 霍。，仇( l ) ，则 j s , t , m ( 耻躁+ s ) 矿e 邓刊l 因而其核豇 m ( z ，y ) 满足 m ( z ，y ) l c m i n 伸m ，( ；) m ) 肌( 酬 其中庇( z ，) 满足 嗽舢) i 万躁，v 。 e 1 令= 尼。，m ( ，可) ，则 ( 珈i = i 驯c 厕n 伸仇帝) 矗 从而 i i 皿t ，m ( l ) i i p c m i n ( 詈) m ，( 妄) m ) ( 亡+ s ) 一n p ， 因此 z ( 亡一a 1 1 ( t l ) 七e t l 妒1 1 p ) q 警) 1 7 口 g z ( 亡咄仇饥 ( 詈) m ，( 喜) m ) ( 亡+ s ) 哺) 口警) v 口 o 时，我们可以证明包含在锈乒中 的函数是很多的。 1 6中山大学硕士学位论文 命题2 2 6 假设1 o 且工是m 阶 微分算子，仇n ，有表达式 l = 口口( z ) 素o 。n k l a l _ m 其中。口是光滑函数则掣c s p p l q o l , l 证明显然 d ( l ) ，且对，掣，驴f d ( 五) ，vk n ，显然 | ( 。0 ( 亡一口l i lk e - n ，i i p ) q 警) v 口5c i l f l l p 并且我们有 z 1 ( t 二口| i ( t l ) k ：一t l f l l p ) q d t t 、，l l q = z 1 ( t 七一口i i e t l ( l 知，) | i j ；警) 1 7 口 c l i l 七f l l p 1 7 9 _ _ c tl l 知州p 命题2 2 7 假设l 满足俐，例，1 p 0 ，则b p a , l ( r n ) 稠 密于口( 舯) 证明 对任意f 驴( p ) ，定义 胁) = 南厶( 嘶吼慨协) 譬m 酣 我们想证明 ( 1 ) 厶b 剐a , l ( 、r n ) ( 2 ) 厶一，( 妒) 先证( 2 ) 令= f x , n 志厶( 嘶吼( ，( 般| i 一譬一厶 = 研1 厶( 嘶m 嘶浮 刊詹南q l = l i m ( e - t l f i o ( 卅三“弛) m e - t l 5 p n ” 第二章：与算子有关的b e s o v 空间 1 7 囚丌玎l l 一广su l i 妒付l l p 寸u 现证厶b p a , l ( 豫n ) 。记鲰= ，i n ，我们有 石( 亡一口i i ( 亡l ) 七e t l a l l p ) 口警) 1 7 q = 南忻旷i i ( 吼厶( s 啦比蜘铷q 妒 研1 盯旷af 。1 1 ( 酊) k l 2 k e - ( s + o l 姗d 竺s1 1 ) 口了d t 广 c 二 z ( 亡 ( s t k l 2 k e - ( t + s ) l g i i p ) q 警) ) v 口警 c 脒z 旷口l l ( s 刊2 k l 2 k e - ( t + s ) l g n f | p 薄) q 铲字 姗n i l p 麒z c 器，9 铲譬 c l j 夕n i i p 二 v 口警 2 3 基本性质 下面叙述露乒的一些性质。 命题2 3 1 假设l 满足俐，俐，1 0 ，3 n n ，使得v 似，仇n ，有 i i 厶一厶i i p + f ，( 知e一儿(厶一厶)iit-aij ( t l )p ) 口譬t , b ( ) v g 0 ，1 0 证明( 1 ) 设q 1 0 p ) 吼半= ，vo 而在t o 2 t t o 内有i i ( t o l ) 七e _ 汕f l l p c 1 ( t l ) k e 叫l 川p ，从而有 t o 0 + i i ( t o l ) 七e 一幻l ，i i p 一a ) 口，半a q - = 争t i a q li i ( t o l ) 七e 一。l ，i i 寄c ( q ，q 1 ) a q - 因此 s u pt _ a ii ( t l ) 七e q l 川p c a 这意味着b 蒜( r n ) qb 黯( 渺) q 2 的情形是q 2 = 的结论以及日副d e r 不等式的简单推论， t o ( t - n l l ( t l ) k e - t l 川p ) q 2 警) 讹 = z 。0 ( t - l l ( t l ) 知e t l 1 1 p ) 口1 ( 亡一。i ( t l ) 惫e t l 1 1 p ) 啦一- t 譬) 1 7 9 2 ( s u p 亡_ n i i ( t l ) k e - t l 川p ) 眈a q ，q 2 c a 因此磁, 。l ( r n ) 叶1 b p a , l ( 1 一r n ) ( 2 ) 只需证口2 口1 的情形，对口1 1 似 z 1 ( 亡一口2 1 1 ( 亡l ) 七e t l 1 1 p ) 船譬) 1 愚+ 1 7 q 2 = 1t - a , l i ( l ) 七e - t l f l l p ) 驰亡口，一n ：字) 1 们 严慨i f ( 砒f l l p ) q - 舻咭 0 1 ( t ( a , - a 2 ) q 2 ) 惫譬) 觜 ， - c 0 0 。( 亡一口1l | ( 亡己) 七e t l f ll p ) 口1 ；) 1 7 口1 ( 2 7 ) 2 4 等价范数 这一节我们证明一些等价命题，先证明一个常用的引理。 引理2 4 1 假设1 p 0 ，k = 1 ，2 ，我 们有 ( j ) i i 皿。，七( l ) 厂| i p c ( 忌) i l 皿t ，k ( l ) f l l p ，t 8 2 t ； ( 2 ) i i 。，k ( l ) f l p c ( k ) l l 吼，k ( l ) f l l p ，t 2 s t 证明 仅需要简单的运算，仅证( 1 ) ，( 2 ) 的证明类似。 i l 皿s , k ( l ) f l l p = i i c s l ) 七e 一5 l ，i i p = l i 鼍e - ( , - t ) l q f t , k ( l ) f l l p c 2 七l 皿t ，七( l ) f l l p 命题2 4 2 假设l 满足俐，倒，1 p 0 ，对- 厂i _ 2 ，下列 命题等价 例m i 且黯( r 。) o o j r 、1 ，口 俐 伽忡2 一k ( l ) f l l ； 一 o o r 、1 q 俐 2 j 伽i j ( l ) 川； 一 0 ，vt o t 2 t o ，我们有 li ( t l ) 詹e 以l 川p c ll ( t o l ) 七e q o l 川p 其中常数c 与亡无关，因而 0 0 。( 亡一a i | ( t 三) 知e t l 厂p ) 弘d tj 1 1 1 q = 。三。一o 。j 1 2 2 - j 。( 亡一口i i ( t l ) 七e t l ，| i p ) 。譬) 1 q 引，三o o l t 2 - 旷a 1 i 、i 2 - t - 1 , k p ) q 舻 c ( 2 ( 肿惮2 - ，- , , k ( l ) l l p ) a ) 1 口 c ( 2 j n 慨咄( l ) f ll p ) 口) 1 口 c (