（应用数学专业论文）一类奇异扩散方程组解关于非线性性质的连续依赖性.pdf

学术诚信声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立进行的研究工作及 取得的研究成果除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果本人依法享有和承担 由此论文产生的权利和责任 声明人( 签名) ：枰缙 时间：沪l 矿辱砜6 日 保护知识产权声明 本人完全了解集美大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借i ) l ，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文同意集美大学可以 用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容 作者( 签名) ：爿哪虢 导师( 签名) 活，：久 时间：护c 。犀7 目柚 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性 性质的连续依赖性 摘要 本文讨论了一类具源项的奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性，也讨论了解 的存在性、渐近性以及解的生命跨度 本文主要包含以下两部分内容 i 以o ( 让) = 俨( 0 仇 0 ) 为模型，讨论了n 维奇异扩散方 程饥= a a ( u ) 一s ( u ) 的第二初边值问题证明了如下结论： ( 1 ) 解关于初值的连续依赖性； ( 2 ) 广义解全局存在性； ( 3 ) 解的熄灭时间的估计； ( 4 ) 解的渐近性质； ( 5 ) 当m _ 1 ，a - - - + 0 时，解逼近于对应线性方程u t = u 的解u ( x ，t ，1 ，o ) ，并给出它们 显示的误差估计 i i 讨论了一类弱耦合方程组第一初边值问题： u t = u p ( a u + 口u ) ，( z ，t ) qx ( 0 ，丁) ， v t = v q ( a v + 6 u ) ， u ( z ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ， ( x ，t ) qx ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a qx ( 0 ，丁) ， u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，u ( z ，0 ) = o ( z ) ，x q 其中p ，q ，a ，b 均大于0 证明了： ( 1 ) 当p - - - + 0 ，q 斗0 时，方程组的解( u ，v ) 在l 2 空间中逼近于对应线性方程组 u t = a u + a v ， ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， 仇= a v + b u ， u ( x ，t ) = u ( z ，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = 亿o ( z ) ，u ( z ，0 ) = u o ( z ) ， 的解，并给出它们显示的误差估计； i ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a qx ( 0 ，丁) ， z q ( 2 ) 当a _ 0 ，b 。0 时，方程组的解( u ，t ，) 在l 2 空间中逼近于对应独立方程组 u t2u p a u ， 仇= v q a v ， u ( x ，t ) = v ( x ，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = 咖( z ) ，可( z ，0 ) = u o ( z ) ， ( x ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) qx ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) 0 1 2x ( 0 ，t ) ， z q 的解，同样也给出显式的误差估计； ( 3 ) 当0 0 ) a sam o d e l ，w ed i s c u s st h e s i n g u l a rd i f f u s i o nu t = a a ( u ) 一，( 钆) w i t hs e c o n di n i t i a lb o u n d a r yv a l u ei st a k e no v e r w ep r o v e d t h a t ： ( 1 ) t h e r ee x i s t sau n i q u eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n ； ( 2 ) t h e r ee x i s t sg l o b a lg e n e r a l i z e ds o l u t i o ni fa n do n l yi fp 1 ； ( 3 ) t h e r ee x i s t sn ，t 2 0s u c ht h a t 乃t o 乃，w h e r et oi st h ee x t i n g u i s ht i m eo ft h e s o l u t i o n ； ( 4 ) t h es o l u t i o na p p r o a c h e st o 面i nl 2 - s p a c ea st 一。； ( 5 ) t h es o l u t i o nu ( x ，m ，o ) c o n v e r g e st oi t sc o r r e s p o n d i n gs o l u t i o nu ( x ，t ，1 ，o ) o ft h el i n e a r e q u a t i o n 啦= a ui nl 2 - s p a c ea smj1 ，a - 0 ，a n dt h ee x p l i c i te r r o re s t i m a t ei so b t a i n e d ： i i c o n s i d e r j o t l , 牡( x , t , m , a ) 一u ( x , t , m o , a o ) l 。如sc l m 一1 l + 。 1 锄= u p ( a u + o ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，丁) ， j 仇= v q ( a v + b u ) ，( z ，t ) q ( o ，t ) ， 装：蓑帅，翁凇引0 ，丁l w h e r ep ，g ，a ，b 0 ，w ep r o v et h a t ： ( 1 ) t h es o l u t i o n ( 乱，u ) c o n v e r g e st oi t sc o r r e s p o n d i n gs o l u t i o no fl i n e a re q u a t i o n 巨戛眇二， i i i ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) 0 f lx ( 0 ，t ) ， x q ( 2 ) t h e8 。l u t i o n ( u ，锄) c 。r i v e r g e st oi t sc o r r e s p 。n d i n g s 。l u t i 。n 。fi n d e p e n d e me q u 砒i 。n 隧蓑驴们， ( z ，t ) q ( o ，t ) ， ( z ，t ) q ( 0 ，t ) ， ( z ，t ) a q ( o ，t ) ， z q a n dt h ee x p l i c i te r r o re s t i m a t ei sa l s oo b t a i n e d f 3 ) t h es o l u t i o no fw e a k - c o u p l i n gp r o b l e m ( t 正，可) c o n v e r g e st oi t sa v e r a g ev a l u e o fs p a c e ( 西，西) i nl 2 - n o r mw h e n0 2 时称 为非牛顿渗流方程或发展的p l a p l a c e 方程这两个方程共同的特点是都具有退化性，即方 程( 1 1 ) ( m 1 ) 和方程( 1 2 ) ( p 2 ) 分别在u = 0 和l v u i = 0 处退化由于这类具退化性的非 线性方程比线性方程更能反映某些物理实际，因此，早在几十年前就吸引了国内外众多数 学工作者的注意他们致力于这类方程理论和应用方面的研究其中渗流方程是h d a r e y 在 1 9 5 6 年由实验引入的【8 】 假设有一种可压流体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中流动由质量守恒定理： 口考= d i v ( p 才) 其中0 为介质的孔隙率，p 为流体密度，才为流体的渗流速度当我们考虑非牛顿流体时， 需要计及流量大小、分子与离子效应等诸多因素的影响，d a r e y 定理不再成立，代替它的是 以下非线性关系： p i 才= 一a i v p i a 一1v p 其中p 和p 分别表示流体的动量密度和压力，a 0 和a 0 是某些物理常数作简单换元 我们可得到非n e w t o n 渗流方程( 1 2 ) 当不可压流体在均匀的、各向同性的多孔介质中流动时，由连续性方程： 害+ d i v ( 才) = 0 ( 1 3 ) 再d a r e y 定律得 才= - k ( 0 ) v 妒 ( 1 4 ) 1 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 其中k ( 9 ) 为液导系数，为总位势若吸附作用、化学作用、渗透效应和热效应忽略，则有 其中皿是由于毛细血管作用产生的吸力而引起的静力学位势，z 为重力位势联合( 1 3 ) 一 ( 1 5 ) 式可得 赛= d i v ( 即) v 皿) + 百o a k ( 0 ) 合理选择七( 口) 等= d 。口m 一，克( p ) = g o o n ( 1 仇n ) 有 差= 缈+ 塞 如果所考虑的是流体在水平柱中的运动，则得到方程 o _ e ：臼m 珧一凸口 a 日 a 2 口m 0 8 n c o t a z 2 觇 再考虑双向渗流的情形假设有两种不可压流体，记为1 流体、2 流体，由于毛细管作用 和重力作用，在均匀多孔介质中流动介质是各向同性的和刚性的，并且认为渗透效应、热 效应和化学作用都可忽略由质量守恒和d a r c y 定律 ，筹+ d i v k - 0 ， ，2 1k = 一尬( s i ) g r a d q b i ，i = 1 ，2 其中仇表示i 流体的体积含量，即单位孔隙体积中i 流体所占体积，k 表示i 流体的渗透 速度，甄( 仇) 表示i 流体的液导系数，也表示i 流体的总位势。取坐标( z ，y ，z ) 使z 轴铅垂向 其中p i 和成分别表示i 流体的压力和密度由于介质是均匀的，孔隙率口= 目1 + 0 2 是常数， 不妨设它等于l 另外我们还有 p 2 + p l = p ( 8 1 ) 其中p ( 8 1 ) 为毛细管压力，由物理实际可知p ，( s ) 0 先考虑一种特殊情形： + = 0 此时可得到 等= d i v ( 础) g r a d 心。咄) 夕晏( 即1 ) ) 。( 1 6 ) 2 集美大学硕上学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 其中 日( s ) = 云簧骞端，。( s ) = 一日( s ) ( s ) ，。s 1 函数k ( s ) 具有下列性质： 凰：坐，江1 ，2 p t 兵中k o 为绝对渗透翠，五( s ) 和肫分别表不i 流体的相对渗透翠和粘性系数 叫i 臻篇誊 尼c s ， i 三耋：茎岂：；筹： 其中玩为i 流体的极限饱和度，玩( 0 ，1 ) ，0 1 + 0 2 0 时为正，而当 p = 0 时为零含有两个不同层次，例如年龄层次的群体发展可用下列方程组描述： ，害= d i v ( u g 删u 刊) ， ， i 窑= k d i v ( v g a r d ( “刊) 其中t t 和口表两个不同层次群体的密度，k 为正常数在k = 0 的极限情形下， 不随时间 而变化，而关于u 的方程变成 害= ( 扣+ d i v ( u g a r d 吐 在等离子体物理中也提出方程 丝：扩 ( 1 8 ) o t 。 、 但其中m 满足0 0 时，妒7 ( o ) 0 对应的初值条件为 u ( o ，z ) = e s ( x ) 其中6 ( z ) 为源函数它刻划初始时刻的瞬时能量释放这类物理过程引导人们去研究具有无 界初值和测度初值的退缩抛物方程的问题 方程( 1 8 ) 当m 1 时，具有退化性其退化点为“= 0 ；当m 1 时，d ( 0 ) = 0 ，表 示当u = 0 时扩散速率为0 ；而当m 1 的情形，它对应于多 孔介质的渗流过程z e l d o v i c h ，k o m p a n e e t s $ 1 b a r e n b l a t t 在上世纪中期作出开创性工作，得到 了一个从点源的热扩散的显式解此后渗流方程解的其它一些结论，如：正则性，稳定性等工 作随后被完成随着理论研究的深入，方程( 1 8 ) 的研究推广到m 1 得情形它对应一类快 速的分子扩散过程方程中参数m 的略微变化，影响到解的性质的变化却很大如解的正则 性，对于快扩散方程一般可得到光滑的正解，解的梯度一般也是连续的关于快扩散问题的 研究已有很多重要的结果f 9 】【1 0 i m a t t e ob o n f o r $ 1 j u a nl u i sv a z q u e s 讨论了方程( 1 8 ) 0 0 方程组的情形从物理意义上讲，是有能量交换的 两个系统边界条件为齐次的第一边界，此时系统能量并不守恒，并且两个系统相互制约， 相互关联，此时解的整体存在是指两个方程的解均要整体存在除此，还有解的渐近性质及 解的线性逼近都将在第3 章讨论本文第2 章讨论了，( u ) 0 的一种特殊情形，讨论了方程 u t = a u m a u p 设m 的范围为0 m 0 ( 0 对所有有定义的u 都成立若有函数瓦( z ，t ) 满足： i 砚妒( 面) + ，( 面) ，( z ，t ) q ( o ，t ) ， 雳9 ( 瓦) ， ( z ，) a q ( 。，t ) ， i 瓦( z ，0 ) u o ( z ) ， z q 则称面( z ，t ) 为( 1 9 ) 的上解根据最大值原理和比较法则，若“( z ，t ) 是问题( 1 9 ) 的解则在 qx 【0 ，t ) 上有瓦( z ，) u ( z ，) 类似地，若有函数型( z ，) 满足： iu _ t 砂( 笪) + ，( 型) ， ( z ，吒) q ( 0 ，t ) ， 鬻9 ( 笪) ， ( z 。) a q ( 0 ，t ) i 笪( z ，0 ) 咖( z ) ， z q 则称型( z ，t ) 为( 1 9 ) 的下解根据极值原理，我们容易得到在q f 0 ，t ) 上有型( z ，t ) s “( z ，) 0 白 & 幻 z 一叼 凸 n 归 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 考虑抛物方程组的初边值问题： f 等= 慨( 啦) + 施 札1 ) ，( 州) 锄( 0 ，t ) ， 鼠啦= 肌( u 1 ，u m ) ， ( z ，) a q ( o ，t ) ， ( 1 1 0 ) 【啦( z ，o ) ：u “巩z q ，( 江l ，2 ，m ) 这里碱( u i ) o 对所有有定义的u t 都成立，鼠讹= n t 鬻+ b i u i ，其中系数n t ，玩满足口t ，玩 0 ，啦+ 饥 0 ， ( z ，t ，u 1 ，) ，g i ( u 1 ，乱m ) 关于吻，歹i 递增，i ，j = 1 ，2 ，m 类似地我 们也可以定义上下解：将( 1 1 0 ) 中的“= ”号都变为“”时，称为上解，而将( 1 1 0 ) 中的“= ”都变 为“”时，称为下解通常我们记上解为( 面1 ，_ m ) ，下解为( 型1 ，笪m ) 根据抛物方程的比 较法则，我们容易得到在qx 【0 ，t ) 上有砚( z ，t ) 2u i ( x ，t ) 而鲍( z ，t ) 讹( z ，t ) ，i = 1 ，2 ，m 1 3 本文的主要内容和方法 第2 章讨论方程( 1 1 ) 的第二初边值问题： 当0 m 1 时，证明解关于初值的连续依赖性，从而得到解的唯一性；接着证明当且 仅当p 1 时，广义解全局存在所用的是能量估计的方法 顾永耕【1 6 】证明了半线性方程u t = a u n 川p i u 的第二初边值问题的全局解与p 的关 系仍是p 1 ，本文是对这个结果作了自然地推广 关于抛物方程解的熄灭时间的求解，一直是抛物方程很难解决的问题，我们可以通过 很多方法去估计熄灭时间的一个上界，却很难求解精确的熄灭时间本文在证明过程中，通 过适当设置参数a ，p 的关系，计算出解的熄灭时间所在的范围，即存在时刻乃，死，使 得乃t o t 2 接下来讨论解在整体存在时的渐近性质，即t - 时，解及其梯度的渐近性质 方程的解关于非线性性质的连续依赖性，指的是方程( 1 1 ) 的解关于参数m ，o 的连续变 化本文证明了当m - 1 且n _ 0 时，i i 札( z ，m ，o ) 0 l 。( 2 ) 一0u ( z ，t ，1 ，0 ) i l l 。( q ) 第3 章讨论了一类弱耦合方程组 仇ut：=泸up。(a秽u+阮av，)，：zx，,。t，)eq f l x 。( 。o ，, t t ，) 的d i r i c h l e t 问题所片j 方法是方程组的比较原理 本章先从两个不同的方面研究解的逼近性质首先将弱耦合问题的解与线性方程 ( 1 1 1 ) 匿葚惦州吐嚣墨， 7 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 的解作比较，证明了存在正常数0 1 1 、仍2 满足 z t 加x , t , p , q h ( x , t , o , 0 ) j 2 蛐+ f 加x , t , p , q 一如 0 ) j 2 d 础 q 1p 2 - t - c 1 29 2 其中u ( z ，p ，口) ，v ( x ，p ，q ) 是问题( 1 1 1 ) 1 1 i 勺解，u ( x ，t ，0 ，o ) ，v ( x ，0 ，0 ) 是问题( 1 1 2 ) 的解，上式表 明我们可用熟知的线性问题的解去逼近于非线性问题的解 其次，将弱耦合问题的解与独立方程 薹主戛晏i耋。，：咖。z，霎霎蚤罨主i：， c - - 3 ， 问题的解作比较，证明了存在正常数q l 、q 2 满足 z t 乞i u ( z ，n ，6 ) 一u ( z ，岛。，。) 1 2 d x d t + o t 上i u ( x , t , a , b ) 一u ( x , t , o , 0 ) 1 2 d z d t q 1n 2 + q 2 6 2 其中u ( x ，t ，口 6 ) ，v ( x ，p ，q ) 是问题( 1 1 1 ) 的解，u ( x ，t ，o ，o ) ，v ( x ，t ，0 ，0 ) 是问题( 1 1 3 ) 的解，这样 也可用单个方程的解去逼近于非线性方程组的解 第3 节证明了问题( 1 1 1 ) 解的大时间性态，即t - o 。时解的变化趋势，问题( 1 1 1 ) 的解以 三2 范数逼近于解在空问的平均值( 面，可) 由此可度量解的衰减速率，并给出了误差估计： ul-p_fil-p)2dx+fl(u1一：一面19)2dzt：j；i：i妇 其中c + ，+ 是与t 有关的正常数这个结果与实际物理背景吻合 本章最后讨论了问题( 1 1 1 ) 的解关于初值整体存在的条件，即初值u o ， o 满足一定条件 时，整体解存在 8 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 2 1引言 第2 章具吸收项的快扩散方程边值问题 本章讨论如下问题： iu t = a u m 一，( t 正) ， ( z ，t ) q t ， 瓦o u - 0 ， ( 州) s t ， ( 2 1 ) i1 5 ( f i ，0 ) = 1 5 0 ( f i ) ， z q 其中0 m 1 ，f ( u ) = a u p ，a ，p 为正数，q 是他维空问中具光滑边界的有界区域，s t = o g l ( 0 ，t ) 0 u o ( x ) d f i 0 ，( o ) = 0 文中证明了当且仅当铲d s ( 1 + ，( s ) ) = o 。时，广义解全局存在 另外p e s a c k s 4 进一步研究了当咖( 札) = u m ，f ( u ) = u p 时的问题( 2 3 ) 由极值原理可知，对 任意的( z ，t ) q t 有u ( x ，) 0 故若问题( 2 3 ) 解存在，则解总是非负的但由于方程带热源 项，且齐次第二边界表示系统与外界无能量交换，这样问题( 2 3 ) 的非负解可能在有限时刻爆 破为此，p e s a c k s 证明了当p m 时，问题( 2 3 ) 解整体存在；当p u ( x o ( t ) ，t ) 当仳为已知光滑的正解时，算子 三= 4 + 吾n 最最+ c - u t 可看作线性算子其中 a = m u m - 1 ( z ，) ，b i = m ( m 一1 ) u m - 2 ( z ，t ) u 甄，c = 一n 护一1 并注意到c o ，这与塞i = = x o = o 矛盾所以有z 。q 则在z o 有a u mi 霉：茁。0 ，故在x o 处有 饥一a u v ，z = x o 解j 不等式可得u 。z 。现。，i 1 三：三三三， 1 1 0 p 1 ， 0 p 1 悫 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 引理2 1 2 设如同引理2 1 1 ，并且满足相容性条件等i 舰= o ，则问题( 2 1 ) 存在唯一解 让c o 。( 国t ) nc r 2 + 卢，1 + 譬( q t ) ，0 卢 1 。 证明：取否= 互1 6 ，构造如下的光滑函数： 其中 h ( r ) = k ( r ) = ；( 2 m ) m - 1 r 苎2 m ， 单调m r 2 m ， r m 一1 否r m ， 单调0 7 否， 2 6 m 一1 r 0 1 ( 2 m ) m 一2r 2 m ， 单调m r 2 m r m 一2 否 r m 单调0 r t o ，使得对任意的( z ，t ) 瓦。有万研丽再令t 1 = s u r , t 1 ：否s 1 砑 ，则在砚 上有s 1 ( z ，) 三札( z ；) 由引理2 1 1 可知t o 乃st 下证乃t 由孔的定义可知，存在 z 1 豆使得 钍( z 】，乃) = m 或u ( x 1 ，乃) = _ 若丑 t ，由引理2 1 1 有u ( x 1 ，砖) m t 万这与u ( z 1 ，乃) = 万矛盾，因此乃= t 故在g t 上有s l ( z ，t ) 兰u ( x ，t ) 又因为 u ( z ，t ) m t ，故由内正则性理论【2 】可知u ( x ，t ) c o o ( q t ) 证毕 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 2 2 解关于初值的连续依赖性 定理2 2 1 假设u l ，u 2 是问题( 2 1 ) 对应初值u l o ，u 2 0 的两个厂义解，则 上k u i d z zl 抛。一u 。l 如一n z 2 上i 碹一嵋l p 砌t ( 2 6 ) 证明：我们先证明正则化问题( 2 4 ) 的解关于对应初值连续依赖然后令j0 臣l j , - i 分 别记u 。， a o e 为“，u 0 ，取p ( z ) c o o ( r ) ，满足 f o ，z o ， p ( z ) 2 饮p 【一1e x p 南】，o z 0 本文的定理2 3 1 对该结论证明到奇异 扩散的情形 下面给出定理的证明 必要性的证明：即证明若问题( 2 1 ) 的解整体存在，则有p 1 ，反之我们欲证0 p 1 时，问题( 2 1 ) i 筝j 解局部存在将方程( 2 1 ) 两边乘以“，并在q 上积分可得 三：dfu 2 d x = - m f n u _ i v “ 2 d x - - a f l u p “乩 记1 1 2 ( 2 1 ) 表示( q ) 范数，注意到0 m 1 ，故有 ， 去磊d i i 仳1 1 l - - - 一m m 一1i iv u 岫z _ ni i 驯p p + 1 + l 应用g a g l i a r d o - n i r e n b e r g 不等式1 19 】有 i iu1 1 2 c0u 峙1 - - 0 1 | iv ui l ! ； ( 2 1 1 ) 其中p = 丽r 三，由0 o 使得 i iv ul 隆8 c 0 札i 璧：；+ j lv u 幢 取适当的有 夏a i iu 雌一ci i | | ； ( 2 1 2 ) 上式中c 与o ，扎，p 有关，并且k ( i ，2 ) 解( 2 1 2 ) 式可得 i iu1 1 2 i l lu o 幢一叫蕊1 1 3 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 必要性证毕 充分性的证明：即证明p 1 时，问题( 2 1 ) 存在全局解由定理2 2 1 司知，存在t 0 ， 使问题( 2 1 ) 在q t 上存在唯一的广义解，记 而= s u p t ：问题( 2 1 ) 在q r a = 存在唯一解 如果而= o o ，则结论成立不然而 0 ，t ( o ，而) 这说明问题( 2 1 ) 的解在不熄灭这与而的定义矛盾，故问题( 2 1 ) 的解是整体存在的充 分件证毕 2 4 解的熄灭时间的估计 第3 节证明了问题( 2 1 ) 当且仅当p 1 时广义解全局存在本节讨论0 p 1 的情形 此时解局部存在，即解会在有限时间 趋于0 对于熄灭时间的求解一直是非线性抛 物方程的难点与热点，虽然精确的熄灭时问很难求解，但是我们可以找出熄火时间而的一 个范围 定理2 5 1 设0 p 1 ，0 m 1 ，是问题( 2 1 ) 解的熄灭时间，则有 丝等等p 止焉a ( 1p ( 2 1 3 ) n ( 1 一) 一”一 一) 、 证明：由引理2 1 1 的证明过程可知，问题( 2 j 1 ) 的正则解满足 ( z o ( t ) ，t ) 一a 谑( z o ( t ) ，t ) 其巾u e ( x o ，t ) = m 酵札。( z ，) 注意到0 _ f nu o d x + i q i ( m 1 - - p _ a ( 1 一p ) t ) 南一i q i m 故当t o 这就说明 a 【1 一p j ，q m 1 - 1 p - 矿( m r - r i o ) 1 - p 定理证毕 2 5 解的渐近性质 关于抛物方程的第二初边值问题解的渐近性质，已有一些研究成果女h s u y u 2 0 】讨论了方 程u t = d ( x ，t ，u ) z x u + f ( x ，t ，u ) 的第二初边值问题的渐近性质，得到的结果是 0u ( 。，t ) 一面| l 2 - 0 ，t _ o o 1 5 丛m p 一 一 小| | 一 一圯 磐 旷丽 型1 区 逊n 集美大学硕士学位论文一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 本节利用能量估计的方法得出了解的几种形式的渐近性质 以及 定理2 6 1 设p 1 且让是问题( 2 1 ) 的全局广义解，则存在正常数 尤l = l iv u 孑( q ) ，t $ 2 = i iu o 怯 6 1 = m x m m 一1 + ( m + p 一1 ) a m p 一1 ，如= a m p 一1 便得 i iv 札”慨哟k 1 e - 8 1 t , ( 2 1 4 ) 0 乱怯( n ) k 2 e 。弘 其中a 女口弓i 理1 2 1 证明：由极值原理可知，对任意的( z ，t ) q t ，我们有0 u ( x ，t ) m ，令 圣1 ( ) = 去i iv u 价嵫( 哟 则有 百d o l = v u m v u d x - = - fm u - , - l v 2 扩v 2 扩d x + a m 乱m + p l v 2 u m d z 注恿到0 m 1 ，p 1 ，故向由引理1 2 1 口j 得 等一m m 一1 上i v 2 “ 2d x + a m n u m + 一v 2 u 一m m m 。i iv 2 u mi i 羔：( q ) 一n m 五v 让仇却q v u m d z 一m m m 一1i iv 2 “ml l 羔。( q ) 一n ( m + p 一1 ) iv 1 2 u p 一1 d x 、7 ，n 一m m 一1i i v 2 u m 慨n 厂。( m + p 一1 ) m v 。上i v u 删id z 一m 入m m 一10v u m i l 苎。( n ) 一n ( m + p 一1 ) m p 一1i iv u ”f i 羔。( q ) 南p n n 吮r e 不等式可知 因此 同理，令 等纠 m ) 、m m - 1 + a ( m + p - 1 ) m v 。1 喇 v u m i l l 。m ) l lv 昭i l l 2 ( q ) e 一够 圣2 ( t ) = 刘1 u 嵫q ) 1 6 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 则有 从而有 定理证毕 等一上州z = 上v 札v u m d x 一口上扩 一m m m 一10v u i i 羔。( n ) 一a m p 一10 钍| l 色( n ) s 一2 a m p - 1 圣2 ( ) 让怯( 2 ) 剑u o 怯( q ) e 一豌 推论2 6 1 存在正常数七3 = 砺k l ，使得 0u m 一百mi i l 2 ( n ) k 3 e 一如。 证明：p o n i c a r e 不等式和( 2 1 4 ) 式便得 2 6 解关于非线性性质的连续依赖性 ( 2 1 5 ) 方程( 2 1 ) 的非线性性质主要由参数m ，a ，p 决定当m = 1 时，方程( 2 1 ) 为半线性方程； 当m = l ，a = 0 时，方程( 2 1 ) 茭- j 线性方程记线性方程的解为u ( z ，t ，1 ，o ) ，当m _ l ，o - 0 时，问题( 2 1 ) 的解u ( x ，t ，m ，n ) 与线性问题的解u ( x ，1 ，0 ) 是否有某种逼近关系? 为此本节将 证明，当m _ 1 ，n - 0 时，问题( 2 1 ) 的解u ( x ，t ，m ，o ) 以l 2 范数逼近于对应线性问题的解 u ( x ，t ，1 ，0 ) ，这样我们就可以用线性问题的显式解估计非线性问题的解，这为求解非线性问 题的数值解提供了一种思路 定理2 6 1 假设u ( x ，m ，口) ，u ( x ，t ，1 ，o ) 是问题( 2 1 ) 及其对应线性方程的解则存在正常 数，c ”，使得 z t 上【乱( z ，t ，m ，口) 一让( x , t , 1 , 0 ) 】2 d x d t _ c i 仇一l i _ 卜v i i i 口| 2 ( 2 1 6 ) 瞪，筝 仁忉 1 7 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 的解u ( x ，t ，m ，o ) 作比较，证明nj0 时，i iu ( 叠，t ，m ，n ) 一u ( x ，t ，m ，o ) 悒2 ( q t ) - - c i 。1 2 ；再将问 题( 2 1 7 ) 的解u ( x ，t ，m ，0 ) 与线性问题 u t = u ， ( z ，t ) q r ， 裳扎 唯曲， ( 2 1 8 ) t ( z ，0 ) = 咖( z ) ，z q 的解u ( x ，t ，1 ，o ) 作比较，证明m - 1 时，i iu ( z ，t ，m ，o ) 一u ( x ，t ，1 ，o ) i i 苎。( q t ) c i m 一1 1 结合这 两个结论h 0 - 口j 证明定理2 6 1 引理2 6 1 记“是i 司趑( 2 1 7 ) 的解则有 i u 一面o l d x 、面i iu 0 一面oi l l 2 ( q ) e 一a “7 ”一h ( 2 1 9 ) ，2 其中a 如引理1 2 1 ，面( t ) = 丽1 上u d z 磊d 邵) i 南上矿d z - o 贝u 面( ) = 面( o ) ，故有 爰上( 钍叫2 d z = 2z ( 仳刊训z 一2 m 上俨。阢| 2 d z 一2 m 入m 一1 上( u 叫2 舨 解得 上( u 一面) 2 d x 上( u 。嘶) 2 妣_ 2 融胪1 注意到豆( ) = 面( o ) ，由h t i d e l 不等式 _ l 乱一面o l d x 厢j | u o 一锄i l l 2 ( q ) e m h ，n 证毕 引理2 6 2 假设u ( x ，t ，m ，o ) ，u ( z ，t ，1 ，0 ) 是问题( 2 1 7 ) 及( 2 1 8 ) 的解则存在正常数c 7 ，使 得 证明：设 z t 上阻( z m ，。) 一u ( z ， 1 0 ) 】2 d x d t _ c i m 一1 i ( 2 2 0 ) ) = f h 帆。 t z 1 8 集美大学硕士学位论文 一类奇异扩散方程( 组) 解关于非线性性质的连续依赖性 其中 则有 另外，由于 故 h = “m ( z ，t ，m ，0 ) 一1 i ( z ，t ，1 ，0 ) z t 【u ( x , t , m , 0 ) 一钍( x , t , 1 , 0 ) 】咖t d z p t = o t 上y 日v d z d t z t 上v 日v 咖d x d t = 互1 上( v ) 2 d zi 吾一：1 n o tv 日d t ) 2 d t z t 上 “( x , t , m , o ) 一让( x , t , 1 , 0 ) 】t d z d 。 注意到0 u ( x ，t ，m ，0 ) ，u ( x ，t ，1 ，0 ) m ，0