（应用数学专业论文）广义模糊正则子半群及广义模糊理想.pdf

摘要 摘要 本文给出了半群中的广义模糊( 弱) 正则子半群，( ，v 吼丑) 一模糊( 弱) 正则子半群， 广义模糊理想和广义模糊半素的概念、研究它们的性质以及等价刻画另外还研究了半群 中广义模糊理想与正则半群和完全正则半群的关系减弱条件推广其他学者的研究成果， 并运用反证法、代数和数学分析的方法进行研究 第二章首先在2 1 中给出本章的预备知识其次在2 2 中弓i a t ( ，v q 仇) ) 一模糊 正则子半群的概念，并研究了它的性质，得到( ，v q ( 础) ) 一模糊正则子半群与广义模糊 正则子半群是等价的最后在2 3 中引入( ，v q ( 五) 一模糊弱正则子半群的概念，并研究 它的性质，也得到( ，v g ( 础) ) 一模糊弱正则子半群与广义模糊弱正则子半群是等价的 第三章3 1 中给出各种广义模糊理想的定义在3 2 中给出各种广义模糊理想的等价 刻画和性质并研究各种广义模糊理想之间的关系 第四章用广义模糊理想( 拟理想、内理想、双边理想、双理想、广义双理想) 刻画了 正则半群 第五章引入了半群的广义模糊半素的概念并给出其等价刻画用广义模糊半素和广 义模糊理想刻画了完全正则半群 关键词：( ，v q ( 五，们) 一摸糊正则子半群；( ，v q ( 五，) ) 一模糊弱正则子半群；广义模糊正则 子半群；广义模糊理想；广义模糊半素，t 正则半群；完全正则半群 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sa r t i c l eg a v et h en o t i o n so fg e n e r a l i z e df u z z y ( w e a k l y ) r e g u l a rs u b s e m i g r o u p ， ( ，v q ，) ) 一f u z z y ( w e a k l y ) r e g u l a rs u b s e m i g r o u p ，g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l sa n dg e n e r a l i z e df u z z ys e m i p r i m ei ns e m i g r o u p s a n dw es t u d i e dt h e p r o p e r t i e sa n de q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no ft h e m b e s i d e st h a tt h er e l a t i o n sb e t w e e ng e n e r a l i z e df u z z yi d e a l sa n dr e g u l a r s e m i g r o u pa n dc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u pw e r es t u d i e dt o o i nt h ew e a k e n e dc o n d i t i o n sw e g e n e r a l i z e dt h eo t h e rs c h o l a r sr e s u l t s ，a n ds t u d i e dt h e mb yr e d u c t it oa b s u r d i t y , a l g e b r aa n d m a t h e m a t i c a la n a l y s i s i nc h a p t e r2 , f i r s ti nt h es e c t i o no f2 1 ，w eg a v et h ep r e p a r a t i o no ft h i sc h a p t e r n e x ti nt h e s e c t i o no f 2 2 ，( ，v q 丑，) ) 一f u z z yr e g u l a rs u b s e m i g r o u pw a sd e f i n e d ，a n dt h ep r o p e r t i e sw e r e s t u d i e d m o r e o v e rw eg a i n e dg e n e r a l i z e df u z z yr e g u l a rs u b s e m i g r o u pa n d ( e ，v g ( a ，) ) 一f u z z y r e g u l a rs u b s e m i g r o u pa r ee q u i v a l e n t f i n a l l yi nt h es e c t i o no f 2 3 ( ，v g ( 五，) ) 一f u z z yw e a k l y r e g u l a rs u b s e m i g r o u pw a sg i v e na n ds t u d i e d w ea l s og o tt h a tg e n e r a l i z e df u z z yw e a k l y r e g u l a rs u b s e m i g r o u pa n d ( e ，v 级z 。) ) 一f u z z yw e a k l yr e g u l a rs u b s e m i g r o u pa r ee q u i v a l e n t i nc h a p t e r3 ，t h ec o n c e p to fg e n e r a l i z e di d e a l sw e r ed e f i n e di nt h es e c t i o no f3 1 t h e ni n t h es e c t i o no f3 2t h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o na n dp r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e df u z z yi d e a l s w e r eg i v e n ，a n dt h er e l a t i o n so f g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l sw e r es t u d i e d i nc h a p t e r4 , w ed e p i c t e dt h er e g u a l rs e m i g r o u pb yg e n e r a l i z e df u z z y i d e a l s ( q u a s i i d e a l s ，i n t e r i o ri d e a l s ，t w o - s i d ei d e a l s ，b i - i d e a l s ，g e n e r a l i z e db i i d e a l s ) i nc h a p t e r5 , w eg a v et h ec o n c e p ta n dt h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e df u z z ys e m i p r i m ei n s e m i g r o u p s w eu s e dg e n e r a l i z e df u z z ys e m i p r i m ea n dg e n e r a l i z e df u z z yi d e a l si ns e m i g r o u p s t od e s c r i b ec o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p k e y w o r d s ：( ，v q ( a 1 0 ) 一f u z z yr e g u l a rs u b s e m i g r o u p s ；( ，v q ( 1 ，芦) ) 一f u z z yw e a k l y r e g u l a rs u b s e m i g r o u p s ；g e n e r a l i z e df u z z yr e g u l a rs u b s e m i g r o u p s ；g e n e r a l i z e df u z z yi d e a l s ； g e n e r a l i z e df u z z ys e m i p r i m e ；r e g u l a rs e m i g r o u p s ；c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人为获得江南大 学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 签 名：酉绷 日期：州25 。f 8 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解江南大学有关保留、使用学位论文的规定： 江南大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并 且本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签 名：冒爱缬导师签名： 日 期： 第一章绪论 第一章绪论 本章首先简要介绍了模糊代数产生的背景，其次介绍模糊代数的发展情况，最后介绍本文 的主要内容及具体安排 1 1 模糊代数产生的背景研究进展及应用 1 9 6 5 年，美国控制论专家z a d e hla 【1 1 引入模糊集的概念，标志着模糊数学这门学 科的诞生，并指出模糊集具有广泛的应用，如工程技术，计算机，控制理论及应用，决策等领 域，同时吸引了一大批学者的注意力模糊数学是沿着理论和应用这两条线发展起来的在 其理论发展方面1 9 7 1 年r o s e n f e l d 2 】首先引入了模糊子群的定义，开创了模糊代数研究的 新领域国内外对模糊代数理论的研究包括模糊群理论，模糊环理论，模糊半群理论，模糊 交换代数理论，模糊粗糙代数等国外出版的专著有m o r d e s o njn 1 3 。5 l ，k u m a rr 【卅等；国内出 版的专著有【7 1 3 等 模糊子群理论研究方面，许多学者依据c l i f f o r d 和p r e s t o n 的著作【1 4 】和模糊子集的定 义对模糊子群进行研究19 7 5 年n e g o i t a 和r a l e s c u ”】给出r o s e n f e l d 关于f u z z y 子群概念 的一般化，将单位区间 0 ，1 改为一个适当的格结构，例如完备的完全分配格1 9 7 9 年 a n t h o n y 和s h e r w o o d 1 6 】又重新给出了f u z z y 子群的定义，将 0 ，1 】用三角范数来代替以后 许多学者按照r o s e n f e l d a n t h o n y s h e r w o o d 研究路线来研究模糊子群文献f l m 2 j 是对模糊 子群的部分研究1 9 8 6 年a t a n a s s o vk 首次提出了直觉模糊集的概念，用 0 ，1 】闭区间上的 两个实数。( x ) ，和1 ，。( x ) 分别表示x 属于和不属于模糊集彳的程度后来王涛等【2 3 彩1 在 此基础上定义了直觉模糊子群间的交，并运算，讨论了已知群的直觉模糊子群的格结 构1 9 9 0 年b i s w a sr 【2 6 】提出反模糊子群的概念，姚炳学，杨志辉等 2 7 - 3 6 】对此做了研究另一方 面1 9 9 2 年至2 0 0 0 年间b h a k a t 和d a s t 3 7 - 3 9 运用模糊点x ，和模糊子集a 之间的属于和重 于关系，给出了( 口，) 模糊子群的概念及性质，并进一步研究了( ，v q ) 模糊子群的性 质袁学海【4 0 】通过模糊点与模糊集之间的邻属关系，给出( ，口) 一模糊子群的定义，并得到 ( ，e v 口) 一模糊子群的的定义随后又引入一种新的截集【4 i j ，并利用这种截集来刻画 ( ，e v 口) 一模糊子群，同时也引入正规( ，e vg ) 一模糊子群的概念和的等价刻画其他 学者对这类模糊子群也做了研究 4 2 - 4 3 】 对于半群的模糊理论研究目前主要是在半群的模糊同余理论与半群的模糊子系统 理论( 包括模糊子半群，模糊理想，模糊正则子半群等) 等方面从1 9 8 0 年开始，k u r o k i 4 4 5 l l 将 模糊半群作为经典半群的推广引入了模糊半群的概念，并用模糊理想来研究模糊半群，开 始了模糊子半群理论及应用的研究，这是自模糊代数研究开始以来，模糊代数领域最活跃 的研究领域之一而模糊子半群中关于模糊正则子半群和模糊理想的研究又是热点之一 国内外都有不少的研究结果 5 2 4 2 】自2 0 0 3 年袁学海f 8 3 】对模糊子群进行了推广得到广义模 糊子群的概念，并研究了其性质，廖祖华等将广义模糊子群的概念推广得到广义模糊子半 江南大学硕士学位论文 群的概念随后廖祖华等将r o s e n f e l d 和b h a k a t 、d a s 定义的模糊子群进行统一，得到 ( ，v q ( 咖) ) 一模糊子群的概矧，并且引入了( ，v q ( a 川) 一模糊子半群瞰1 ，并讨论了它的 代数性质，得到一系列的结论 8 6 - 9 3 1 当a = 0 ，= 1 时与r o s e r r f e l d 意义下的定义一致；当 a = o ，= 0 5 时与b h a k a t 和d a s 的意义下的定义一致推广后的( ，v g ( 咖) ) 一模糊子 半群有丰富的层次结构 1 2 模糊代数的应用 模糊代数在其产生后的三十多年的时间里在模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、 模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索等方面得到了广泛的应用其中模糊半群理论 在模糊自动机，模糊形式语言及模糊编码理论中有重要应用( 见 3 ，9 4 9 5 】) 1 3 本文主要工作 1 将模糊半群中的模糊正则子半群推广到广义模糊正则子半群，并研究它的性质和 等价刻画然后引入( ，v q ( ) ) 一模糊正则子半群的概念，并证明厂“义模糊正则子半群和 ( ，v q ( ) ) - 模糊正则子半群是等价的再将条件减弱引入广义模糊弱正则子半群和 ( ，v q ( ) ) 一模糊弱正则子半群，同时证明它们也是等价的 2 首先将模糊半群中的模糊理想的概念推广到广义模糊理想其次用特征函数和截 集来给出广义模糊理想的等价刻画最后研究模糊理想的性质和各种广义模糊理想之间 的关系 3 研究广义模糊理想与正则半群的之间的关系用广义模糊理想( 拟理想、内理想、 双边理想、双理想、广义双理想) 来刻画正则半群 4 引入了半群中广义模糊半素的概念并给出其等价刻画应用广义模糊理想和广义 模糊半素来刻画完全正则半群 2 第二章( ，v q ( 五，) ) 一模糊( 弱) 正则子半群 第二章( ，ev q ( 五，) ) 一模糊( 弱) 正则子半群 2 1 预备知识 定义：2 1 1 一个映射a ：s 专 o ，1 称为s 中的模糊子集 定义：2 1 2 t 3 】半群s 中的模糊子集彳称为模糊子半群，若对所有x ，y s ，有 a ( x y ) a ( x ) a a ( y ) 定义2 1 3 凹1 设见，e o ，1 r 2 , 2 , u 用吒g ( 五，) 彳表示若ax a q ( a , u ) a ，那么表示为吃v q ( z ，) 么当 允= 0 ，= 0 5 ，就是通常的v 弘 定义2 2 2 半群s 中的模糊子集彳称为广义模糊正则子半群如果下面的条件满足： ( 1 ) 对任意x ，y s ，有a ( x y ) v 名彳( x ) 人彳( y ) 八； ( 2 ) g v j 任意x s ，9 x 。b ，使得a ( x ) v 五a ( x ) 八，其中 疋= x 。l 叉x 。x = x ，x s ) 定理2 2 i 半群s 中的模糊子集彳是广义模糊正则子半群当且仅当对任意的 口( 见，】，以g ，是s 的正则子半群 证明：设彳是半群s 中的广义模糊正则子半群，则彳也是s 中的广义模糊子半群根 据定理2 1 1v a ( 五， ，以o 是s 的子半群所以对任意x 以，口( 五， 由假设 得a ( x ) 口，根据定义2 2 2 ( 2 ) ，9 x r x 使得a ( x ) v 旯a ( x ) a 口1 t = 口由于 允 o r ，可以得到彳 ) 仅，因此x 。以所以以是半群s 的正则子半群 相反，若对任意口( 力，1 】，以囝是半群s 的正则子半群，则以也是s 的子半群 江南大学硕士学位论文 根据定理2 1 1 ，彳是s 的广义模糊子半群假设彳不是s r 的广义模糊正则子半群，那么 3 x s ，对任意x 。r ，有彳( x 。) v 名 么( x ) a 取口= 彳( x ) a ，则彳( x ) 伉，a ( x 。) 口且a a ，因此x 以由假设3 x 。r ，使得x 以，由此a ( x ) o t 和前面的 v x r ，有a ( x 。) 口矛盾所以么是半群s 的广义模糊i l - 贝u 子半群 定理2 2 2 半群s 的非空子集彳是正则子半群，当且仅当彳的特征函数e 是s 的广 义模糊正则子半群 证明：设彳是s 中正则子半群，则a 是s 中的子半群根据定理2 1 2 ，c 一是s 中的广 义模糊子半群如果c j 不是s 的广义模糊正则子半群，根据定义2 2 2 ( 2 ) ，3 x s 使得对任 意x 。r x ，有巳( x ) v 旯 c a ( x ) a 取口= c a ( z ) a ，则e ( x ) 仅，巴“) 且 a o ，所以c a ( x ) = 1 ，即x 。a 因此彳是s 的正则子半群 定义2 2 3 设s = su 1 ) 且x 1 = 1 x = x ，v x s ，则s 。是具有单位元1 的半群s 中 的模糊子集彳，我们定义s 中的模糊子集彳如下： a ( 石) = 1 ，如果x = 1 且彳( x ) = a ( x ) 若x s 定理2 2 3 半群s 中的模糊子集彳是广义模糊正则子半群当且仅当任意 口( 旯，】，a a 中任意x 以存在一个幂等元p 以使得“= 吐且以是s 的 子半群 证明：设么是s 中的广义模糊正则子半群，则任意口( 名，】，根据定理2 2 1 ，以g 是s 的正则子半群对任意石a 口存在一个元素以使得x = x x o x 设e = x x 0 ，则 e 2 = ( 溉0 ) ( 溉i ) = ( x x o x ) x o = 麟o - - - e ，即e 是以中一个幂等元比吐，则有z = e y ， y 以即z = x x o y = x ( x o y ) 巩因此吐垃又对v z 以，则z = x y ，y 以 即z = ( x x o x ) y = ( x o c o ) ( 砂) = e ( x y ) 吮，所以以吼从而巩= e a 。且x = x z o x = x ( x o x ) 巩因此碰= ( x yjy 4 ) u = 巩，所以碰= 咆 相反地，要证彳是s 中的广义模糊正则子半群，依据定理2 2 1 ，我们只要证对任意 a ( 五， ，有4 9 是s 的正则子半群贝f j 只需证明v x 以，孤疋使得戈以事 实上v x 以，则彳 ) 口由已知可得存在一个幂等元e 以，使得以= 吐因此 砂以满足x = e y 且3 z 以满足泫= e 所以e x = e z y = e y = x ，进x z x = e x = x ， 4 第二章( ，v q ( 五) 一模糊( 弱) 正则子半群 因此z 疋且彳0 ) 口即z 以由v x a 口，3 z r 工，使得z 以，又以是s 中的子 半群，所以以是s 中的正则子半群结论得证 定义2 2 4 半群s 中的模糊子集彳称为( ，v q ( 旯川) 一模糊正则子半群若满足下面 的条件： ( 1 ) 对任意x ，y s ，和所有，( 见，1 】，若，虼：彳，则( 砂) 嘶 吃v q o , u ) a ； ( 2 ) 对任意x s ，所有口( 旯，1 】，若a ，| 13 x 。r 使得艺v g ( 旯川彳 定理2 2 4a 是半群s 中的模糊子集，下面的叙述等价： ( 1 ) a 是( ，v q ( 五，) ) 一模糊正则子半群； ( 2 ) 么是半群s 中的广义模糊正则子半群； ( 3 ) 对任意口( 见，川，a 。0 是s 中的正则子半群 证明：( 1 ) j ( 2 ) 我们首先要证对所有的x ，y s 有 a ( x y ) v 五么( x ) a 彳( 力a 假设存在，y o s ，使得彳( ) v 名 a ( x o ) aa ( y o ) 八肛选取口使得彳( ) v 见 口 口即( ) 口a ，( 蜘) 。a 根据定义2 2 4 ( 1 ) 有( x o y o ) 。v g ( a ，p ) a 但是a ( x o y o ) 6 c ，因此a ( x o y o ) + 口口+ 口 2 t ，与 ( ) 口v q ( 五，) 彳矛盾 现在我们要证对任意x s ，存在x 。r 使得a ( x ) v 兄彳( 工) a 1 t 假设存在x o s 使得v x j r 抽，a ( x j ) va a ( x o ) a 选取仅= a ( x o ) al u ，则得到 a ( x o ) 仅，彳( z j ) 伉且五 a t ，所以( ) 口彳根据定义2 2 4 ( 2 ) ，或氏使 ( 矗) 口v q ( 五川a 然而a ( 4 ) + = 2 t 所以( 砂) 口v q ( 兄，) a 还是因a 是广义模糊正则子 半群，根据定义2 2 2 ( 2 ) ，v x s ，3 x 皿使得a ( x 。) v 五a ( x ) a 设么( x ) = 口，则 屹a 当a 时，则a ( x 。) v 名口，又由于允 时，有a ( x ) ，则a ( x o ) + 口+ 口 + = 2 ，所以x 。g ( a ，芦) a 综上我们有： a ，3 x 1 r 且( x 。) 口v g ( 五川彳所以a 是( ，v q ( 旯，卢) ) 一模糊正则子半群 江南大学坝士学位论文 ( 2 ) ( 3 ) 由定理2 2 1 立得 定理2 2 5 半群s 中的模糊子集彳是广义模糊正则子半群，则对任意 x ，y s ，砂尺。使得a ( x y 。) v 彳彳( x ) aa ( y ) a t 证明：对任意x ，y s ，若么是半群s 中的广义模糊子半群，那么由定义2 2 2 ( 2 ) ，对 砂s ，砂尺。使得彳( y 。) v 名a ( y ) a 所以可以得到： a ( x y ) v 五= ( a ( x y ) v 兄) v 兄 ( 爿( x ) aa ( y ) a ) v 五 = ( 彳( x ) v 五) a ( a ( y ) v 名) a ( v 彳) 彳( x ) a ( 彳( 少) a i ) a = 彳( x ) a 彳( 少) a 结论得证 2 3 ( 与无力) 一模糊弱正则子半群和广义模糊弱正则子半群 定义2 3 1a 是半群s 中的模糊集，若以 = x s ia ( x ) 口) ，则以 称为口一强 截集 定义2 3 2 半群s 中的模糊子集a 称为广义模糊弱正则子半群，如果满足下面的条 件： ( 1 ) 对任意x ，y s ，有a ( x y ) v 五彳( x ) aa ) 人； ( 2 ) 对任意x s ，有va ( x 。) v 允彳( x ) a 工e t 0 定理2 3 1 半群s 中的模糊子集a 是广义模糊子半群当且仅当对任意口 兄，) ，非 空集合以，是半群s 中的子半群 证明：设a 是半群s 中的广义模糊子半群，依据定义2 1 3 ，有眠，y 以 o ， v a a ，) 有彳( 砂) v 兄彳( x ) a 么( y ) a 由于名口 口即 砂以 因此么 是s 中的子半群 相反地，对任意伉 旯，) ，以 o 是s 中的子半群假设么不是s 中的广义模糊 子半群，根据定义2 1 3 ，| x ，y s 使得彳( 砂) v 力 彳( 功a 彳( 少) 八选取口有a ( x y ) v 力 a 口，且兄 口 得出矛盾因此彳是广义模糊子半群 6 第二章( ，v 级丑，) ) 一模糊( 弱) 正则子半群 定理2 3 2 半群s 中的模糊子集彳是广义模糊弱正则子半群当且仅当对所有 反 a ，) ，以 囝是半群s 中的正则子半群 证明：由于彳是s 中的广义模糊弱正则子半群，则彳也是s 中的广义模糊子半群，由 定理2 3 1v a a ，) ，a a ，o 是s 中的子半群对任意x 以 ，仅 a ，) 则彳( x ) 口 根据定义2 3 2 ( 2 ) 有v a ( x ) v 力a ( x ) a 仅八= 反，又名口所以v 。a ( x 。) 口 工儿x 虬 设占= va ( x ) 一口 0 则存在3 x 。r x 使得a ( x ) v 。a ( x 。) 一= 伉即x 以 所 fcpj e o 以a 。，g 是s 中的正则子半群 相反地，对所有反 a ，) ，若以 彩是s 中的正则子半群，那么以，也是s 中的子 半群依据定理2 3 1 ，彳是s 中的广义模糊子半群若彳不是s 中的广义模糊弱正则子半 群，根据定义2 3 2 ( 2 ) ，9 x s ，使得v 彳( 功v 允 么( 功a 取一口使得 va ( x 。) v 名 口 口，v a ( x 。) 口且兄 即 a ( x 。) 口得出矛盾所以彳是s 中的广义模糊弱正则子半群 定理2 3 3 彳是半群s 中的正则子半群当且仅当彳的特征函数e 是s 中的广义模 糊弱正则子半群 证明：设彳是半群s 中的正则子半群，则彳也是s 中的子半群，根据定理2 1 2 ，c 是 s 中的广义模糊子半群若e 不是广义模糊弱正则子半群，根据定义2 3 2 ( 2 ) 存在x s 使得v g ( x ) v 名 巴 ) a , u 选取口，使得e “) v 五 口 口， j 儿j 吼 vg ( z ) 口，且名 口 o ，所以g ( x ) = 1 即9 x 。r 使得c a ( x ) = 1 即 工 ， je ， x a 因此么是半群s 中的正则子半群 定义2 3 3 半群s 中的模糊子集彳称为( ，v q ( a ，) ) 一模糊弱正则子半群若a 满足 下面条件： ( 1 ) 对任意五少s ，( o ，1 】，若，彳，则( 砂) 铂 吒ev q ( a ，) 么； 7 江南大学硕士学位论文 ( 2 ) g , j f f z , 意, x s ，o f ( 兄，1 】，若屹a ，则( u 。x 。) 口v z 儿 定理2 3 4a 是半群5 中的模糊子集，f 面的叙述等价： ( 1 ) 彳( ，v g ( 丑，) ) 一模糊弱正则子半群； ( 2 ) 彳是半群s 中的广义模糊弱i e 贝u 子半群； ( 3 ) 对任意及 五，) ，a 。，9 是s 中的正则子半群 证明：( 1 ) ( 2 ) 我们首先证明对任意x ，y s 有 a ( v ) v 兄彳( x ) a 彳( y ) ai t 假设存在，y o s 使得a ( x o y o ) v 名 a ( x o ) aa ( y o ) a 取口有 a ( x o y o ) v 2 a 口且兄 口 所以( x o ) 口a 且( y o ) 口a 根据定义2 3 3 ( 1 ) 有( ) v q ( a ，) 么但是彳( 蜘) 口 ，因此 彳( ) + 历 口+ 口2 ，矛盾 再证明对任意x s 有v a ( x ) v 兄彳( x ) m 假设存在s ，使得v a ( x o ) v 工k，jtcn 允 a ( x o ) ai t 选取o r 有v 。a ( x o ) v 允 口 且 而o 兄 口 即( x o ) 口a 依据定义2 3 3 ( 2 ) ，得到( u 戒) 。v q ( 川彳然而 v 。4 ( 毛) 口，所以彳( u 矗) + 口= v 。彳( 矗) + 口 + = 2 i t 因此 吮v 级圳丘既然a 是半群s 中的广义模糊 弱正则子半群，则有协s ，v 缸) v 五砸) 八令么( 石) = 口，则( z ) 口a 。当口有 x 吩 va ( x 。) v 兄口，又兄 时，有 工尼 o e r x 埏i 己 j v 也彳( x ) ，所以彳咝x ) + o r = l v e 足彳( x ) + 口+ 口 + = 驰，即咝l 垃训彳 综上所述( u 。x 。) 口v q ( a , u ) a ，因此么是( ，v g ( 旯，) ) 一模糊弱正则子半群 ( 2 ) ( 3 ) 见定理2 3 2 8 第三章广义模糊理想 第三章广义模糊理想 3 1 广义模糊理想的概念 定义3 1 1 【8 5 1 设彳是半群j s r 的一个模糊子集，五， o ，1 】且力 ，v x ，y s ，若 a ( x y ) v2 a ( y ) 八( a ( x y ) va a ( x ) a ) ，则a 称为s 的广义模糊左( 右) 理想 注：当彳既是半群s 的广义模糊左理想又是s 的广义模糊右理想时，称彳为s 的广 义模糊双边理想 定义3 1 2 设彳是半群s 的一个模糊子集，若力， o ，1 ，名 ，v x ，y ，z s 有 a ( x y z ) v 五彳( y ) 八，则a 称为s 的广义模糊内理想 定义3 1 3 8 5 1 设彳是半群s 的一个模糊子集，名，【o ，1 】且五 ，v x ，y ，z s 若 彳满足：( 1 ) a ( x y ) va 么( x ) 八彳( y ) 人； ( 2 ) a ( x y z ) v2 a ( x ) 八么( z ) 人 则称彳为s 的广义模糊双理想 注：若只满足条件( 2 ) ，则a 为s 的广义模糊广义双理想 定义3 1 4 设a 是半群s 的模糊子集，若a ， o ，1 】且五 ，v x s ，有 ( 彳os ) n ( so 彳) ( x ) 八a ( x ) va ，则a 称为s 的广义模糊拟理想其中： iv 彳( 少) 八s ( z ) ) ，若砂，z s ，使得z = y z ， ( 么os ) ( x ) = x = y z 、 。 io其他 3 2 广义模糊理想的性质 定理3 2 1 对半群s 中的任意模糊子集彳，b ，c 对v x s 有( 彳o ( 曰uc ) ) ) = ( a 。b ) ( x ) u ( a oc ) ( x ) 且( 4 。( bn c ) ) ( x ) = ( a 。曰) ( x ) n ( a 。c ) ( x ) 证明：设彳，b ，c 为半群s 中的任意模糊子集，对v x s 若不存在p ，q s 使 x = p q 则有( 彳。( buc ) ) ( x ) = o = ( 彳。b ) ( x ) u ( a 。c ) ( x ) ；若3 p ，q s 使得x = p g 则 有( 彳o ( 召uc ) ) ( x ) = v ( 彳( p ) 八( buc ) ( g ) ) = v ( 彳( p ) a ( 曰( g ) u c ( g ) ) ) = v ( ( 彳( p ) 八b ( g ) v ( 彳( p ) c ( g ) ) ) = ( a ob ) ( x ) u ( 么o c ) ( z ) 同理若不存在p ，q s 使x = p qn ( a 。( b nc ) ) ( x ) = 0 = ( a 。b ) ( x ) n ( 彳oc ) o ) ；若 3 p ，q s 使得x = 朋则有 江南大学硕十学位论文 ( 么。( bnc ) ) ( x ) = v ( a ( p ) k ( bi 1c ) ( g ) ) x = p q = v ( a ( p ) 八( t 了( q ) f lc ( g ) ) ) x = p q = v ( ( 么( 尸) 八召( g ) k ( 彳( p ) 八c ( g ) ) ) x = p q = ( a 。曰) ( x ) n ( 彳oc ) ( x ) 定理3 2 2 彳是半群 s r 的模糊子集，则彳是s 的广义模糊子半群，当且仅当 a ，【o ，1 】且见 口 a ( x o ) v 五由此得( a 。么) ( ) 口，彳( 而) 口且a 反，4 ( 6 ) 仅，即a 以，b a 。因为 幺是s 的子半群，所以x o = a b 包，与x o 诺以矛盾，综上得( 彳。彳) a av 五成立 反之，若( 彳oa ) 八av 五成立，则v a ( a ，】，v x ，y 幺，有( 彳oa ) ( x y ) 八 a ( x y ) v 名由于( ao 彳) ( 砂) 八= v ( a ( p ) 彳( g ) ) 八彳( x ) 八彳( y ) 八口 ，一i l 八口八= 仿，因此a ( x y ) va 坟又由仅 兄得a ( x y ) 仅，即x y a 。由此可得以是 半群s 的子半群，根据定理2 1 1 ，可得彳是半群s 的广义模糊子半群 引理3 2 1a 是半群s 的广义模糊左( 右) 理想，当且仅当v 仅( 五， ，4 g 是s 的左( 右) 理想 证明：设彳是s 的广义模糊左( 右) 理想，魄s ，y a 。( v x 4 ，y s ) ，则 a ( x y ) va a ( y ) 八a 八= 仅( a ( x y ) va 么( x ) 八a 八= 仅) 由于a 仅 p ，因此a ( x y ) 0 c ，即x y 4 所以s a , a 。( 4 s a 。) ，即以是s 的左( 右) 理想 相反，设a 。是s 的左( 右) 理想若彳不是s 的广义模糊左( 右) 理想，则3 x ，y s 使得a ( x y ) v 允 彳( 夕) 人( 彳( 砂) va 彳( x ) 八) 选取仅，得彳( 砂) va 口 a ( y ) 八，( a ( x y ) va 仅) ，彳( 砂) 仅且a a ( x o ) v 五) 选取仅，使得 ( s 。a ) ( x o ) k 口 a ( x o ) v 力( ( a 。s ) ( ) 八j u 口 a ( x o ) v 兄) ，由此可以得到 ( so 彳) ( ) 仅( ( 彳os ) ( ) a ) ra ( x 。) 及 4 0 2 删 ( v ( 彳( p ) ks ( 9 ) ) a ) _ rx oga a 由此| a ，b s 使得甄= b a ( x o = a b ) _ r 彳( 口) 反， o 一州 即a a 。且= b a 阻( 确= a b a 。s ) ，但仨a 。与彳。是s 的左( 右) 理想矛盾所 以综上可得( so 彳) k av 五( ( 彳os ) k av 旯) 反之，若( so 彳) a ava ( ( 彳os ) 人ava ) ，则觇s ，y a 。( 眠以 y s ) ，可得( s oa ) ( x y ) 八1 t 彳( x ) va ( ( 彳os ) ( 砂) k 彳( x ) va ) 由于 ( so 彳) ( 砂) k = v ( s ( p ) k 彳( g ) ) kj u y 一，y s ( x ) k 彳( y ) k l 八口k = 仅k = 仅 ( ( 彳os ) ( x y ) a = v ( 彳( p ) 人s ( g ) ) kl u ，一一 彳( x ) a s ( 少) k 口k1 k = 口kt t = 口) 由此a ( x y ) va a ，即得彳( 砂) 仅，即x y 以，所以s a 。a 。( a 。s a 。) 即4 是s 的左( 右) 理想，再依据引理3 2 1 ，得彳是s 的广义模糊左( 右) 理想 定理3 2 4a 是半群s 的左( 右) 理想，当且仅当么的特征函数e 是s 的广义模糊左 ( 右) 理想 证明：设么是s 的广义左( 右) 理想若巴不是s 的广义模糊左( 右) 理想，则 3 x ，y s ，使得c 一( x y ) v 旯 c j ( 少) 八