（应用数学专业论文）突变理论及突变级数法在煤岩体失稳问题中的应用.pdf

论文题目：突变理论及突变级数法在煤岩体失稳问题中的应用 专 业：应用数学 硕 士 生：任树鑫 （签名） 指导教师：张天军 （签名） 摘 要 论文将地下工程中的层状煤岩体及发生层裂变形的煤岩体视为煤岩复合板模型， 采 用尖点突变理论研究了煤岩体失稳的过程； 利用突变级数法， 对煤与瓦斯的突出危险性 进行预测； 利用数值模拟软件对层状煤岩体中的渗流失稳问题进行了分析。 论文主要研 究内容和获得的主要结论如下： （1）根据工程实际，建立了煤岩复合板力学模型。采用尖点突变理论推导给出了 煤岩失稳破坏的判据， 描述了煤岩失稳的过程； 研究表明富含瓦斯煤岩失稳除了与煤岩 的物理力学性质和几何尺寸有关外， 岩板的面内载荷和文克勒地基系数是决定其稳定性 的重要因素。 （2）运用突变级数法，根据影响下裕口煤矿煤与瓦斯突出的因素建立综合评价指 标体系及煤与瓦斯突出的预测模型。研究突出矿井的突出情况，确定突变级数值，并对 此突变级数值进行了验证，结果与实际符合的较好，可以进行工程实际的检验。 （3）通过 rfpa2d 数值模拟，分析了支承压力及瓦斯渗流的影响。针对所建立的渗 流模型，分析了开挖步距对支撑压力，及对煤层瓦斯渗流的影响。 关 键 词：煤岩体；尖点突变；失稳；突变级数；渗流 研究类型：应用基础研究 subject : the application of catastrophe theory and catastrophe progression method in the coal and rock mass instability problem specialty : mathematics name : ren shuxin （signature） instructor : zhang tianjun （signature） abstract paper saw layer coal and rock underground and occurred layers fission as composite model, used a sharp point mutations theory to study the process of coal and rock instability; used the mutation progression method to forecast the coal and gas outburst dangerous; used numerical simulation software to analyze permeability erosion stability problems of coal and rock layers. the main research contents and conclusions are as follows: (1) according to the practical engineering, established the mechanical compound model of coal and rock. used sharp point mutations theoretical derivation to give the criterion of coal and rock instability and failure, described the process of coal and rock instability; research shows that besides of rich coal gas and coal rock instability has relation with the physical and mechanical properties and geometric dimension, the in-plane loading of rock plate and its foundation coefficient are important factors of its stability. (2) used mutations progression method, established prediction model of comprehensive evaluation index system and coal and gas outburst according to the influence of xia yu kou mine coal and gas outburst factors. studied the situation of outburst mines, determined mutation grade level numerical values and verified them, results fit the practical, so it can undertake practical test. (3) through the rfpa2d numerical simulation, analyzed the influence of seepage pressure and gas bearing, based on the seepage model, analyzed the influence of excavation step to support pressure and coal gas seepage. keywords : coal and rock mass cusp catastrophe instability catastrophe progression method human factors seepage research type: application basis 1 绪论 1 1 绪论 1.1 选题背景及研究意义 1.1.1 选题背景 煤炭是我国的主体能源和重要工业原料， 煤炭工业是关系国家经济命脉的重要基础 产业1。国民经济的快速发展对煤炭的需求日益增加。据初步预计，到 2015 年，全国煤 炭需求可能达到 35 亿吨左右2， 煤炭供需矛盾十分突出。 然而在我国 620 处重点煤矿中， 具有突出和高瓦斯危险的矿井占 47.2%，煤炭生产的安全形势仍然十分严峻。特别是富 含瓦斯煤的开采，对生命和财产造成的损失更加严重。富含瓦斯煤层的采掘过程中发生 的多种灾害，如顶板失稳破坏、采空区冒落、岩爆、煤爆、煤与瓦斯突出以及采动引起 煤岩裂隙的贯通等，是由煤岩体的动力失稳引起的。其中煤与瓦斯突出是影响煤矿安全 生产最为严重的自然灾害之一，它是采掘工作面周围煤岩体快速破碎、伴随煤岩向巷道 抛出或移动、并大量涌出的一种极其复杂的动力现象，会造成人员伤亡和井巷机电设备 被毁、破坏通风系统，甚至引起瓦斯爆炸和火灾事故3。 近几年的经济快速发展对煤炭的需求迅速膨胀， 矿井开采深度以每年近 20m 的速度 向深部延伸，矿井的煤层瓦斯灾害威胁随之增加。本已十分脆弱的煤炭工业在自然条件 恶化、产量需求激增的条件下，由失稳导致的灾害事故接连不断的发生，甚至越来越严 重。为了保障高瓦斯矿井安全生产、提高其经济效益，急需对其进行准确可靠的预测预 报，以便采取有效的防治措施。因此，该方面的研究不仅具有重要的学术价值，而且具 有重要的经济、社会价值。 富含瓦斯煤层直接被开采、 围岩体变形破坏以及采空区顶板失稳冲击采空区垮矸均 会引起大量的瓦斯运移，从而造成瓦斯渗流、扩散、升浮、向回采空间自然涌出等正常 运移和超限聚积、突出、喷出等异常运移甚至导致爆炸。 作为一种非连续介质， 富含瓦斯煤岩是一种含有极其复杂和不规则原生孔隙和后生 裂隙的固流两相介质。随着煤炭采出，煤岩体各种因素影响处于一种动态平衡过程，当 这种动态平衡演化到临界点附近时，微小的扰动就可将原有的平衡状态打破，使煤岩体 发生失稳，失稳的发生是在瞬间完成的，具有突发性、瞬时震动性、巨大破坏性和复杂 性等特点。在煤炭开采过程中，富含瓦斯煤岩中所发生的各种失稳破坏现象，如顶板失 稳破坏、采空区冒落、岩爆、煤爆、煤与瓦斯突出以及采动引起煤岩裂隙的贯通等，均 表现为短时间内外部条件微小改变引起系统状态剧烈变化。 西安科技大学硕士学位论文 2 1.1.2 研究意义 富含瓦斯煤岩体的动力失稳是煤岩体本身结构和地应力共同作用的结果。 在众多的 动力失稳现象中， 突出的发生是一个复杂的非线性动力系统在时空演化过程中的灾变行 为。要了解其发生发展的过程就需要对煤的结构特性、及地质构造条件进行研究。岩体 的动力行为是典型的非线性现象。煤与瓦斯突出同样是一个非线性过程，从系统的观点 来看，突出是含瓦斯煤岩系统在外界扰动下发生的动力失稳现象。因此，从非线性角度 探讨煤与瓦斯突出的机理，寻求煤与瓦斯突出新的预测方法，是从本质上认识和解决煤 与瓦斯突出问题的一条正确途径，对于揭示富含瓦斯煤岩失稳破坏的机理，降低煤矿安 全事故具有重要的理论和工程意义。 1.2 本课题研究领域国内外的研究动态及发展趋势 1.2.1 富含瓦斯煤岩动力失稳研究的进展 富含瓦斯煤岩动力失稳灾害现象主要包括顶板失稳破坏、 采空区冒落、 岩爆、 煤爆、 煤与瓦斯突出等，其中尤其以煤与瓦斯突出危害最大。为此对富含瓦斯煤岩的研究各国 学者对此作出了不懈的努力。 中国科学院力学研究所从力学角度对突出过程做了大量的 研究工作，并提出了突出破坏过程及瓦斯渗流的机制方程4。长期以来，在地下开采工 程中沿用材料力学、弹塑粘性理论等传统科学为基础的确定性求解方法，特别是对于各 种冲击地压及煤与瓦斯突出现象，传统的破坏判据未收到恰如人意的效果，对失稳的判 断和预测也常常出现大的误差。随着非线性科学的发展，一些数学理论应用到工程实际 取得了一些行之有效的解决途径。fuzzy 数学方法用来预测和分析河谷下采矿岩体移动 变形问题的预测结果与实测结果相吻合5；根据突变学思想，应用数学方法对夏甸金矿 矿柱稳定性进行了系统的研究6；郑良飞7利用数学方法将黄土路堑高边坡的滑裂面概 化为抛物线形，导出了稳定性的分析表达式；陈国灿8应用突变理论建立了梁柱失稳的 尖点突变模型，分析了梁柱失稳过程中平衡的特性。本文在判断这类地下工程结构的稳 定性时，采用突变理论对其稳定性进行分析。 1.2.2 非线性数学方法在富含瓦斯煤岩动力失稳分析中的应用 自 1963 年洛伦兹发表决定论非周期流论文以来，非线性科学得到了迅猛的发 展，非线性科学是为解决自然界广泛存在的复杂性而发展起来的，是一门跨学科的综合 性基础科学，旨在揭示非线性系统的共性、复杂性、基本特征和运动规律。而非线性动 力学在非线性问题中的优势是当前科学研究的前沿。 非线性动力学理论主要包括突变理 论、混沌理论、分叉理论、耗散结构理论、分形理论、协同论等。虽然这些理论仍在不 1 绪论 3 断发展和完善之中，但已被广泛应用于数理科学、空间科学、地球科学和工程科学等学 科，并取得了令人瞩目的成果9。 1972 年，比利时数学家 r.thom 创立了突变理论。该理论是研究不连续现象的一个 新兴数学分支，它采用精密的数学工具为各类突变建立了模型，直观地描述了在临界点 附近，外部条件微小改变引起系统突然的跳跃质变的规律。由于突变理论可直接处理不 连续现象，而不联系任何特殊的内在机制，这就使它特别适用于内部作用尚属未知系统 的研究，并适用于可观察到的不连续性的情况。该理论为现实世界的形态发生问题中突 变现象提供了可利用的数学框架和工具。 作为一种旨在应用的理论，突变理论出现后已经取得了许多应用成果。该理论不仅 在力学、物理学、大气学、生物学等领域渗透很快，而且在研究地学中的非稳定问题中 也得到了很好的应用。在国外，henley(1976)最早应用突变理论分析研究了火山爆发、 相变、蚀流和断层运动的定性模型；cubitt 和 shaw 解释了大陆架的沉积过程。在国内， 突变理论在岩石力学与工程研究领域中的应用取得了很大进展。潘一山10、秦四清11、 李江腾12利用尖点突变理论研究了地下硐室岩爆、 边坡失稳和岩石破坏过程等岩石力学 问题。孙强13运用燕尾突变分析了斜坡的失稳，分析了斜坡失稳与刚度比的关系。刘学 增14运用突变理论对于隧道失稳破坏问题进行过一些有意义的探讨。近年来，不少学者 正致力于突变理论在地下开采工程中的研究应用。 肖福坤15通过建立煤与瓦斯突出的尖 点突变模型，得出了瓦斯突出起动的突变机制和条件。徐涛等16通过数值模拟，再现了 煤岩介质在瓦斯压力、地应力和煤岩力学性质等因素综合作用下由裂纹萌生、扩展、相 互作用、贯通直至失稳抛出的全过程，揭示了采动影响下煤岩介质渐进破坏诱致突变的 非线性本质。李江腾17应用断裂力学理论、能量原理及突变理论推导矿柱失稳的临界载 荷及临界应力，提出了矿柱发生失稳的屈曲模型。潘岳18建立了硐室岩爆的突变模型， 给出岩爆释放地震能计算式。 富含瓦斯煤岩体动力失稳灾害中的煤与瓦斯突出(简称突出)， 煤与瓦斯突出是指煤 矿采掘过程中煤与瓦斯在一定条件下的突然喷出。这种喷出在较短的时间内(数十秒至 数分钟)产生很大的冲击力量，破坏工作面煤壁，从煤层深部排出大量的煤和瓦斯气体， 并伴有强烈的声响19。煤与瓦斯突出是煤矿井下一种极其复杂的动力现象，严重威胁着 煤矿的安全生产.。随着我国矿井采掘强度和深度的加大，煤与瓦斯突出问题日益严重. 准确可靠地预测煤与瓦斯突出,是煤矿安全技术研究的重要课题20,21。 预测煤与瓦斯突出 方面，传统的预测方法包括：单项指标法22,23、综合指标法24、地质指标法25、地址统 计法、瓦斯地质单元法26、无线电波透视探测技术27、地质动力区划法28,29等。国内国 外主要有以下五种， 用微震技术预测突出危险性， 根据煤层温度状况预测突出的危险性， 利用煤层中涌出的氦体积或氡浓度的变化预测突出，利用电磁辐射强度预测突出危险， 应用专家系统进行突出预测30。煤与瓦斯突出是影响突出矿井安全的主要因素。自有记 西安科技大学硕士学位论文 4 载以来， 我国煤矿突出事故不断发生，因此对突出矿井进行综合预测是关系煤矿安全 生产的重要问题。田云丽31运用 bp 神经网络对煤与瓦斯突出进行预测。 高明仕32应 用突变理论预测了煤（矿）柱失稳发生破坏的临界点位移。这些方法在煤与瓦斯突出预 测方面有很好的表现，但至今国内外对突出潜在强度的预测仍是一项空白，预测突出潜 在强度对突出矿井的分级管理及指导选用合理、有效、经济的防突措施很有意义，考虑 影响煤与瓦斯突出的因素是多种因素共同作用的结果，而对不同的矿井，影响突出的因 素的重要性不同， 而之前在煤与瓦斯突出预测方面并没有考虑影响突出因素的相对重要 性。而突变级数法在考虑多目标方面表现了很大的优势，李艳33运用突变级数法对区域 生态系统进行评价，论证了突变级数能够解决区域多目标决策问题。本文运用突变级数 法，结合影响煤与瓦斯突出因素对煤与瓦斯突出进行了预测。 自 1856 年法国工程师 darcy（达西）提出线性渗流定律以来，各国学者对 darcy 定 律进行了各种修正，如非线性渗流的幂定律、克林贝尔效应、二项式渗流定律等，由此 推动着渗流力学向更符合实际的方向发展。 我国 20 世纪 60 年代，才开始意识到研究瓦斯流动理论的意义，1965 年，周世宁院 士在我国首次提出了基于达西定律(darcys law)的线性瓦斯流动理论，对我国瓦斯流动 理论的研究具有极为深远的影响。 周世宁院士、林柏泉教授 34,35,36,37,38,39等系统地研究了含瓦斯煤体的变形规律、煤 样透气率等力学性质。 以鲜学福院士为首的学者，在煤层瓦斯渗流理论方面做了大量的研究工作。以达西 定律为基础，提出了非均质煤层的瓦斯流动数学模型；建立了非线性瓦斯流动模型，并 结合实际与各种渗流模型进行了分析比较， 深入地研究了地电场对瓦斯渗流的作用和影 响，提出了地应力场、地电场和地温场作用下瓦斯渗流基本规律，进而建立起了瓦斯渗 流的数学模型40,41,42,43,44,45；系统创建了多煤层瓦斯渗流相互影响的气固耦合理论 46,47,48,49，据此探讨了瓦斯抽放的合理布孔工程设计及抽放率问题。 李树刚 （1998） 在采场卸压瓦斯的运移规律明显受采动影响的认识基础之上50,51,52， 将煤岩体看作可变形介质，研究了综放开采矿山压力下，考虑煤岩体变形对瓦斯运移的 影响规律53。 杨天鸿，唐春安，梁正召，李连崇，朱万成54,55建立了描述非均匀岩石渗流-应力- 损伤耦合数学模型(fsdmodel)56,57,58,59，开发出岩石破裂过程渗流-应力-损伤耦合分析 计算系统（f-rfpa2d） 。该系统能对岩石试件在孔隙水压力和双轴荷载作用下裂纹的萌 生、扩展过程中渗透率演化及其渗流-应力耦合机制进行模拟分析。 上述分析结果表明，岩石膨胀性的变化和渗透性特征具有一致性60，即当应力增加 导致岩石破裂扩张，引起渗透性的提高，而应力增加导致岩石压缩变形或峰值后的破裂 带重新压缩闭合，将引起渗透性的降低。 1 绪论 5 1.3 论文的主要研究内容与方法 1.3.1 研究内容 本文围绕富含瓦斯煤岩体动力失稳这一主题，根据现场观察和实验结果，将地下工 程中的层状煤岩体及地应力、 瓦斯压力及地质构造应力等复杂应力条件下所产生的层裂 煤岩体视为文克勒地基复合板模型， 采用突变理论从宏观角度描述富含瓦斯煤岩采掘动 力失稳的机理。工程实际中，经过渗流的岩体会产生断裂现象，因此利用岩石分析软件 rfpa 分析采掘对支撑压力及瓦斯渗流的影响。主要研究内容包括以下几方面： （1）根据工程观测和试验结果，煤岩体发生动力失稳时，其变形为整体变形，可 将上、下部岩层看成为两种或多种不同组相物体合成的层状板。工程实际中，下部垫层 将对复合板产生弹性抗力，因此建立文克勒地基上的层合板更符合工程实际。本文将地 下采掘工程中产生的层状煤岩体视为复合板结构，建立了 winkler 地基上复合板模型， ； 采用尖点突变理论，研究复合板在面内载荷作用下的稳定性，给出其失稳判据；应用突 变理论研究结果解释煤岩发生动力失稳的机理。 （2）根据下裕口煤矿历年突出情况，利用突变级数法对煤矿的突出情况进行预测。 （3）利用 rfpa2d-flow 软件，对下裕口煤矿 23307 工作面进行数值模拟，分析开 挖步距对支撑压力、及瓦斯渗流的影响。为煤矿安全开采提供理论依据。 1.3.2 研究方法与技术路线 （1）针对本课题的研究内容，通过广泛的调研、查新并收集相关资料，掌握本研 究课题的国内外研究进展。 （2）寻求并获得煤矿企业支持，从高瓦斯矿井采集新鲜煤块制作出试验所需煤样。 （3）针对产生失稳破坏的层状及层裂煤岩体，建立文克勒地基复合板力学模型， 根据突变理论确定其控制参量和状态参量， 采用尖点突变理论给出煤岩复合板的失稳判 据，并揭示其突变失稳的演化过程以及瓦斯压力对其演化过程的影响。 （4）采集下裕口煤矿的突出数据，应用突变级数法对其后期突出进行预测。 （5）对下裕口煤矿的 23307 工作面进行数值模拟，研究开挖步距对支撑压力、瓦 斯渗流的影响。 论文采用的技术路线见图 1.1。 西安科技大学硕士学位论文 6 图 1.1 论文采用的技术路线 采动损害 调研、收集资料 下裕口煤矿突出 23307 工作面 复合材料结构力学理论 瓦斯渗流规律 数值模拟 瓦斯渗流控制方程 富含瓦斯煤岩体稳定性及预测 文克勒地基复合 板模型 煤体变形场方程 尖点突变 突变级数预 测法 2 温克勒地基下煤岩体失稳问题分析 7 2 温克勒地基下煤岩体失稳问题分析 采掘影响、瓦斯渗流、煤体破坏和失稳以及突出物的抛射等都可以用力学过程或力 学状态来描述。 煤岩体失稳从力学角度可以解释为固气耦合作用下瓦斯气体流动和含瓦 斯煤体的变形与失稳问题。而对这些问题的研究，各国学者都作出了很多有用的贡献。 突变理论是近年发展起来的研究参数连续变化导致系统状态突变的一门非线性科学。 突 变理论在分析地下工程稳定性方面表现了很多优势6,7,8。 本文在前人的基础上，根据复合材料结构力学理论61,62和突变理论对煤岩体复合板 失稳进行了相应的理论分析与研究。 2.1 层状煤岩体失稳的力学模型 2.1.1 煤岩体层状结构 在地下工程中，层状煤岩体较为常见63。当采掘活动改变环境应力时，层状煤岩体 将会出现溃曲和弯折两种弯曲变形破坏形式64。此外，煤层或岩层开采过程中，层状煤 岩体将由原来的三向受力状态变为平面受力状态，甚至出现单向受力状态，并在局部出 现高应力集中区，引起巷道煤壁内产生大量的次生裂纹。次生裂纹扩展和贯通导致层裂 结构的形成，层裂结构的稳定性对巷道围岩的稳定性起重要作用。层裂结构的形成与发 展是煤岩体失稳破坏的必要条件。 王启耀65采用偶应力的 cosserat 介质理论对水平层状 岩体特征及影响因素进行了模拟研究。韩昌瑞66对共和隧道进行数值模拟，计算结果与 破坏特征基本吻合。 根据层状岩体的赋存条件，巷道围岩的破坏形式可以概括为以下几种形式。图 2.1 所示为采掘过程中地下巷道洞室内顶底板及侧壁常见的层状煤岩体在地应力作用下发 生突然破坏时的情形。 （a） 、 （b） 、 （c） 、 （d）分别为顶板、底板以及洞室侧壁的破坏情 况。发生这种破坏的层状煤岩体的特点是层间错动极发育，它将坚硬岩层分割成板状或 碎裂板状结构，在自然和人工岩体工程中这种机制引起的破坏并不乏见，这些岩层主要 产生横向弯曲变形和纵向缩短变形。 假定在地应力作用下未破坏前的岩层具有均匀连续 性，则其压曲失稳破坏的力学模型可应用复合岩板模型进行分析。 （a） （b） （c） （d） 图 2.1 地下洞室内常见的层状煤岩体 西安科技大学硕士学位论文 8 2.1.2 层状煤岩体力学模型 赵志刚等67将有瓦斯压力参与的层裂体简化为圆形和矩形板状结构。图 2.2 所示为 圆形层裂体力学模型。层裂体右侧虚线表示已经开裂但尚未连通的裂缝，这些裂缝会在 瓦斯压力和地应力作用下逐渐贯通成大裂缝形成新的层裂体。 图 2.2 圆形层裂体的力学模型 王嘉新68根据修复工程中所遇到的问题，提出了一种双层温克勒地基上的双板模 型，并利用重三角级数求得了双层薄板弯曲问题的精确解。李国强69根据叠加原理，推 导了温克勒地基上四边自由矩形薄板角点的影响面。并对级数解的收敛速度、基础参数 及板长对解的影响进行了讨论。黄晓明70采用文克勒地基模型，推导了文克勒地基上无 限大板的纵向振动微分方程。 用 hankel 一 laplace 变换获得了任意轴对称荷载作用下的 挠度解。蔚旭灿71推导了温克勒地基上结合式双层板问题的中性面方程，并提出一种数 值法来求解此方程， 得到了中性面曲线； 最后分析了地基反应模量、 两层板泊松比比值、 模量比和厚度比对中性面位置的影响。李凤仪，王继仁，刘钦德72依据典型薄基岩浅埋 煤层覆岩结构及其力学特征，建立薄基岩浅埋煤层基岩梯度复合板模型，并利用傅里叶 变换确定了单一关键层位置及组成岩层分层。 采空区顶、底板，巷道顶、底板、侧壁及掘进头层裂体等地下工程中的层状结构有 时更接近板结构，应用板的理论对其进行分析可以得到更接近实际的结果。本文根据复 合材料结构力学理论，建立了 winkler 地基上复合煤岩体力学模型，其模型如图 2.3 所 示。对文克勒地基下煤岩复合版模型简化为图 2.4 所示的力学模型，其中（b）为图（a） 的单层板简化模型。假定复合板上覆载荷为 q0，各岩层的厚度为 hi，弹性模量为 ei，复 合板四周视为简支，而底板视为固支约束。 r a 夹支边界 层 裂 体 q1 层 裂 体 巷 道 煤 体 2 温克勒地基下煤岩体失稳问题分析 9 图 2.3 winkler 地基煤岩复合板模型 图 2.4 煤岩复合板力学模型 2.2 层状煤岩体的突变学分析 客观世界存在着两种基本变化方式，一种是运用微积分方法描述和解决连续变化、 另一种是不连续的飞跃。 自然界中非连续变化的现象比比皆是， 仅就采矿工程而言岩爆、 煤爆、顶板大面积垮落、煤层底板突水、冲击矿压、煤与瓦斯突出等现象，都是非连续 变化现象。 这类突变现象的一个共同特点是： 外界条件的微变导致系统宏观状态的剧变， 这只有在非线性系统中才能出现。对这类非连续变化的现象，寻找一种更好的数学方法 加以解决，就显得十分必要了。 突变理论是法国数学家 thom 于 1972 年在文章stabilite structurelle et morphogenese提出的，后来由 thompson、zeeman 和 poston 等人扩充和完善形成突变 理论。它是旨在研究自然界中不连续（跳跃性）变化现象的一种数学方法。主要以拓扑 学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则。 突变理论作为一种旨在应用的理论，虽然出现不久，但是已经取得了许多有价值的 成果，它不仅渗透到物理学、生物学、医学、等领域，而且也被应用于地学、工程地质、 岩土力学中的非稳定性问题。 任何一个系统，其状态总要保持平衡，系统由一个平衡状态跃变（而不是渐变）到 1 n1 n2 nj q0 x y z （b） （a） 西安科技大学硕士学位论文 10 新的平衡状态时就发生了突变。这个过程的全貌可通过一个光滑的平衡曲面来描述。突 变理论所研究的就是描述这种突变过程的所有可能的平衡曲面。千差万别的突变现象， 以它们的平衡曲面来分类，可以归结为若干基本类型。 thom 经过数学推导证明了渐变的控制因素（控制空间）所产生的突变行为（状态 空间） ，在控制空间不超过四维的情况下，自然界的各种形形色色的初等突变可以归结 为 7 种基本的类型， 按其几何形状分别为折叠型突变(fold catastrophe)、 尖点型突变(cusp catastrophe)、燕尾型突变(swallowtail catastrophe)、蝴蝶型突变(buttery catastrophe)、双曲 型脐点突变(hyperbolic umbilical catastrophe)、椭圆型脐点突变(elliptic umbilical catastrophe)、抛物型脐点突变(parabolic umbilical catastrophe)。七种基本的突变类型如表 2-1 所示。 表表 2-1 七种基本突变七种基本突变 名称 控制 变量 维数 状态 变量 维数 势函数标准形式 平衡曲面 m 折叠 1 1 uxxxv 3 03 2 ux 尖点 2 1 vxuxxxv 24 024 3 vuxx 燕尾 3 1 wxvxuxxxv 235 035 224 wxvxuxx 蝴蝶 4 1 wxvxuxtxxxv 2346 02346 235 wvxuxtxx 双曲 脐点 3 2 vyuxwxyyxyxv 33 , 03 03 2 2 vwxy uwyx 椭圆 脐点 3 2 3222 1 , 3 v x yxxyw xyuxvy 022 02 22 vwyxy uwxyx 抛物 脐点 4 2 vyuxtywxyxyyxv 2224 , 024 022 32 vtyyx uwxxy 突变理论作为一种旨在应用的理论，取得了许多方面的应用成果，它不仅渗透到物 理学、生物学、医学等领域，而且也被用于研究地学、采矿、岩土力学中的稳定性问题。 岩爆、煤爆、冲击矿压、煤与瓦斯突出等煤岩体采掘失稳现象均是典型的突变现象，利 用突变理论对其研究是恰当的。 2.2.1 煤岩复合板挠度的三角级数表示 在不考虑动态载荷，假定煤岩复合板在外部应力作用下已经发生弯曲变形，变形后 形成图 2.5 所示的双曲扁壳，则其压曲以后的挠度表达式可用重三角级数表示： 2 温克勒地基下煤岩体失稳问题分析 11 11 sinsin mn mn b yn a xm aw (2.1) 其中 amn为第 mn 项的振幅。在二阶近似条件下，薄板挠度可表示为： b y a x aw sinsin (2.2) 图 2.5 煤岩薄板变形后形成的双曲扁壳 2.2.2 煤岩复合板稳定性判定的尖点突变模型 建立复合板模型如图 2.6，并取板中面为坐标平面 xoy，各层材料的弹性主轴都与 z 轴重合。其边界条件为： 0, 0 0, 0 0, 0 0, 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 by by y y ax ax x x x w w x w w x w w x w w (2.3) 中面的同一法线上各点有相同的位移w， 这w即是板中面的挠度， 也是全板的挠度。 因此，板中面外任一点位移，如下： x w zu ， y w zv (2.4) 因此，复合板的形变为： z x w x u x 2 2 ，z y w y u y 2 2 ，z yx w y u x v xy 2 2 (2.5) 复合板的第 k 层物理方程是： z y x b q 西安科技大学硕士学位论文 12 k xy y x k xy y x s s ss 66 22 1211 0 0 对称 (2.6) 其中 12 66 2 21 1 12 11 2 22 1 11 1 1 1 g s ee s e s e s 将式(2.5)代入(2.6)得其应力表达式： xy y x k k xy y x c c cc 66 22 1211 0 0 对称 (2.7) 其中 1266 2112 122 2112 211 12 2112 2 22 2112 1 11 11 1 1 gc ee c e c e c 图 2.6 内力方向图 33 11 3 11 3 0 nn nn heheeh hhheh q (2.8) 式中 h1、h2、hn岩板上各岩层厚度； e1、e2、en岩板上各岩层弹性模量； 、1、n各岩层重力密度； 2 温克勒地基下煤岩体失稳问题分析 13 e岩板本身的弹性模量； 由最小总势能原理，得复合板的总势能为： s yxds dswqkw yx w d y w d y w x w d x w du 0 2 2 66 2 2 2 22 2 2 2 2 12 2 2 2 11 2242 2 1 (2.9) 其中： k 为 kwinkler 地基系数，与梁下垫层的厚度及力学性质有关。 0 0 h e k e0地基的弹性模量， 0 h为垫层厚度 dij由下式给出 n n z z n ij z z z z ijij h h ij ji dzzcdzzcdzzcdzzcd 1 1 0 2 1 222212 2 2 (2.10) 当煤岩薄板挠度很小时，沿坐标方向的微分弧长可用挠度方程近似表示为： x x w sxd1d 2 1 2 ，y y w d1ds 2 1 2 y (2.11) 在哪里截断一个函数的 taylor 展开式是突变理论要解决的一个重要问题， 就是要求 这样得到的有限项级数能在展开点的小邻域内忠实代表原函数的拓扑结构， 定量近似也 是正确的73。由于经过四次泰勒展开后，被积函数在函数展开点的足够小邻域内可以代 表原函数的拓扑结构。因此将(2.2)式代入式(2.9)得，并对被积函数作泰勒展开，截断后 进行积分，得出所讨论模型系统的总势能函数的近似表达式： a abqabqabkabk a ab d a bd b ad ab d ab d ab d a b ka b qa a kb a qb a ab d ba d ab d ba d u 12121212 3 8 999 82 45 8444 88883 2 3 2 45 44 45 44 2 0 4 0 24 2 6 66 3 8 11 3 8 221266 4 66 3 6 0 66 0 6 4 3 8 22 3 8 22 3 10 22 3 10 22 (2.12) 令： 3 8 22 3 8 22 3 10 22 3 10 22 1 3 2 3 2 45 44 45 44 ab d ba d ab d ba d l 西安科技大学硕士学位论文 14 b ka b qa a kb a qb l 8888 6 0 66 0 6 2 ab d a bd b ad ab d ab d ab d l 3 8 999 82 45 8444 6 66 3 8 11 3 8 221266 4 66 3 12121212 2 0 4 0 24 4 abqabqabkabk l 则原式转化为： alalalalu 4 2 3 3 2 4 1 (2.13) 对(2.13)式令： 1 2 4 1 44 1 l l x l a 11 2 2 3 4 1 8 3 ll l lu 4 11 32 4 4 1 2ll ll lv 则系统总势能表达式可简化为以 u、v（相对应于 k-q0）为控制变量，以 x 为状态变 量的尖点突变模型。 vxuxxxv 24 4 1 其相空间为状态变量 x 以及 u、v 两个控制变量构成的三维空间。平衡曲面 m 的方 程为 0 3/ vuxxv 平衡曲面 m 在相空间中的图形为一具有褶皱的光滑曲面(见图 2.7)， 其上的点(x、 u、 v)称为势函数 v 的平衡点。 图 2.7 平衡曲面和控制平面图 2 温克勒地基下煤岩体失稳问题分析 15 分叉集方程为： 0274 23 vu (2.14) 分叉集在控制空间中就是满足式(2.14)的点。 令： 23 274vu 当0 时，有一个实根；0 时，有三个互异的实根；=0 时，三个实根中有两 个相同（u，v 均不为零）或三个均相同（u=v=0） 。由判别式所确定的分叉集 b 的曲线 是一条半立方抛物线。分叉集 b 将控制平面分为 e 和 j 两个区域，如图 2.8 所示，在区 域 e 中，0，系统是稳定的；在区域 j 中，0，系统有三个平衡点，其中两个稳定， 一个是不稳定的。研究和应用突变理论的关键不在稳定区域，而是在不稳定区域，因为 在这里系统才会表现出突变特性。 图 2.8 岩板的分叉集图 将 u，v 代入式 2.14 可以得到文克勒地基下煤岩复合板的分叉集方程 0 4 1 2 27 4 1 8 3 4 11 32 4 3 11 2 2 3 ll ll l ll l l (2.15) 2.2.3 煤岩薄板系统突变失稳的条件 式 2.15 是煤岩体失稳的充要力学条件， 显然只有当 u0 系统才能跨越分叉集发生 突变，系统发生突变的必要条件为： 2 1 2222 2 66 2 4 11 2 2 4 22 24 12 4 66 6622 2 22 135 3 8 999 2 45 44 430512 baba d a db b dadd ddd qk 或 q e e b2 b2 j j k q e e 西安科技大学硕士学位论文 16 2 1 2222 2 66 2 4 11 2 2 4 22 24 12 4 66 6622 2 22 135 3 8 999 2 45 44 430512 baba d a db b dadd ddd qk (2.16) 式(2.16)表明， winkler 地基系数在上述区间之内时系统会发生失稳。 因此 winkler 地基 系数与上覆岩体的载荷控制了煤岩体的失稳。如图 2.8 所示的分歧点集 b 对控制平面的 划分图中，外部区域 e 对应着煤岩复合板的稳定状态，此时，煤岩复合板或是失稳前的 状态，或是失稳后的状态，但两者只能存在一种。分歧点集 b 的内部区域 j 有两种可能 的状态，状态变量 x 位于平衡曲面 m 的上叶时，煤岩复合板稳定，没有发生破坏；状 态变量 x 位于平衡曲面 m 的下叶时，煤岩复合板对应失稳后的状态。分歧点集 b 表示 煤岩复合板发生失稳破坏，即所谓煤岩复合板稳定系统的突变点(失稳点)。因为煤岩复 合板稳定系统的状态的单向变化，所以突变点只能发生在分歧点集 b 的分支 b2上。在 b2附近控制变量微小改变，都可能引起状态变量 x 突跳的发生。 2.3 本章小结 （1）根据煤层的特点。建立文克勒地基下煤岩体的力学模型，并考虑在内外环境 因素的影响下,建立了更为完善的尖点突变模型， 在此基础上应用两个突变模型分析了煤 岩体外在因素的改变对煤岩体稳定性的影响。 （2）由以上的分析可知，文克勒地基下煤岩体动力失稳问题适合应用突变理论进 行分析， 满足尖点突变的模型。 突变理论是分析这种失稳现象的有效手段,它不仅可以得 到文克勒地基下煤岩体动力失稳必要条件,而且还得到了它的充分条件。 文克勒地基下煤 岩体动力突变失稳是多因素相互作用的综合结果,除与上覆岩石性质有关外,还与上覆岩 层的载荷,以及文克勒地基系数有关。 3 突变级数法在煤与瓦斯突出预测中的应用 17 3 突变级数法在煤与瓦斯突出预测中应用 3.1 煤与瓦斯突出机理 煤与瓦斯突出， 是煤矿井下含瓦斯煤岩以大部分煤岩呈粉碎状从煤岩层中向采掘空 间急剧(数秒到数分钟内完成)运动并伴随着大量瓦斯喷出的一种强烈的动力过程。 其发 生的突发性和危险性，使得对其发生过程的研究就显得尤为困难。因此，目前对突出机 理的认识只是停留在一些假说的基础上。通过现场观测和实验室实验研究，学者们提出 了众多解释突出机理的假说，归纳起来主要有以下几类74,75,76,77,78,79,80。 （1）瓦斯作用假说 瓦斯包说在瓦斯作用假说中占有重要的地位， 它认为煤层内存在着积聚高压瓦斯的 煤窝，在瓦斯压力作用下将松软的煤窝破碎从而使煤壁发生破坏并将煤炭抛出。瓦斯作 用假说比较常见的还有粉煤带说、煤孔隙结构不均匀说、突出波说、裂缝堵塞说等 （2）地压主导作用假说 地压主导作用假说认为，突出主要是高地应力作用的结果，构造应力占有重要的地 位。主要有岩石变形潜能说、应力集中说、剪切应力说、塑性变形说、振动波动说等。 (3)综合作用假说 综合作用假说认为突出是多种因素综合作用的结果， 但对各种因素在突出中所起的 作用却说法不一，有代表性的假说有振动说、分层分离说、动力效应说、游离瓦斯压力 说。 上述综合假说，比单因素说有所进步，