（应用数学专业论文）离散神经网络的周期解及稳定性.pdf

硕士学位论文 摘要 在神经网络的应用中，稳定性是一个关键有些模型存在平衡点，而有些模 型存在周期解神经网络的应用，有些要求这些平衡点或周期解渐近稳定；有些 提出了更高的要求，要求平衡点或周期解指数稳定因此，本文主要研究神经网 络周期解的存在性，以及细胞神经网络的全局渐近稳定和指数稳定性全文共分 四童： 第一章，我们陈述了研究神经网络的背景意义，介绍了一些有关神经网络模 型的研究成果另外，还给出了一些最基本的定义 第二章，我们利用拓扑度原理给出了非自治离散神经网络模型周期解的存在 性，指出并纠正了w e i r u iz h a o 等人在文章【1 1 中有关利用不动点原理对平衡点的 存在性证明的错误最后，还给出了非自治离散神经网络模型周期解渐近稳定的 充分条件 第三章，我们利用不动点原理证明了离散变时滞细胞神经网络模型平衡点的 存在性，并利用直接证明的方法给出了此模型全局指数稳定的充分条件 第四章，我们利用不动点原理和李雅普洛夫方法给出了离散时滞细胞神经网 络模型全局指数稳定的充分条件此结论是s m o h a m a d ，k g o p a l s a m y 2 结论的推 广 关键词：周期解；渐近稳定；神经网络；拓扑度；平衡点；李雅普洛夫函数；指数 稳定 离散神经网络的周期解及稳定性 a b s t r a c t s t a b i l i t yi sak e yi s s u ei na p p l i c a t i o n so fn e u r a ln e t w o r k s s o m en e u r a ln e t w o r km o d e l sh a v ef i x e dp o i n t s ，b u to t h e r sh a v ep e r i o d i cs o l u t i o n s i na p p l i c a t i o n s o fn e u r a ln e t w o r k s ，s o m er e q u e s tt h ea s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo ff i x e dp o i n t so rp e r i o d i cs o l u t i o n s s o m eh a v eh i g h e rr e q u i r e m e n t st h a tt h e yr e q u e s tt h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo ff i x e dp o i n t so rp e r i o d i cs o l u t i o n s i nt h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h e e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n so fn e u r a ln e t w o r k sa n dt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l s t a b i l i t ya n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n df i x e dp o i n t s t h ep a - p e rh a v ef o u rp a r t s ： i nt h ef i r s tc h a r p t e r ，w ep r e s e n tt h e b a c k g r o u n da n d t h en e c e s s i t yf o rt h e s t u d y o fn e u r a ln e t w o r k s t h e n ，w ei n t r o d u c es o m ek n o w nr e s u l t so fn e u r a ln e t w o r k s m o d e l s s o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa r eg i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i c s o l u t i o n sf o ran o n a u t o n o m o u sd i s c r e t e t i m en e u r a ln e t w o r k sb yu s i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y t h em i s t a k e sa b o u tt h ec o n c l u s i o no ft h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t si nw e i r u iz h a o s p a p e r 1 】h a v eb e e np o i n t e do u ta n dc o r r e c t e d t h e n ，w ep r e s e n tas u f f i c i e n tc o n - d i t i o no fg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yi nn o n a u t o n o m o u sd i s c r e t e t i m en e u r a l n e t w o r k s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ep r o v et h ee x i s t e n c eo ff i x e dp o i n t si nd i s c r e t e t i m e v a r y i n gt i m e d e l a y e dc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sm o d e lb yu s i n gb r o u w e rt h e o r e m a n dw eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o no fg l o b a l l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi nt h i sm o d e l b ys t r a i g h tp r o o f i n g f i n a l l y , i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ep r e s e n ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fg l o b a l l ye x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fd i s c r e t e t i m et i m e - d e l a y e dc e l l u a rn e u r a ln e t w o r k sm o d e l b yu s i n gb r o u w e rt h e o r e ma n dl y a p u n o vt h e o r y o u rc o n c l u s i o n se x t e n dt h e s m o h a m a d ，sc o n c l u s i o n s 2 k e y w o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o n ；t o p o l o g i c a ld e g r e e ；n e u r a ln e t w o r k s a s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ；f i x e dp o i n t ；l y a p u n o vf u n c t i o n ；e x p o n e n t i a l s t a b i l i t y i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：邻讳札 日期：加争年弓月2 乙曰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 参跟 ( 囤铱 日期：) 牛年弓月2 z 日 日期：加d 午年仁月2 2 日 堡主兰垡丝奎 。- 。_ _ _ - 。_ - _ _ - _ _ _ _ _ _ - 。_ 。_ _ _ _ _ _ _ - _ - 。- 。_ _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。1 。_ - - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ 。_ _ - _ _ _ _ _ _ 。_ 。1 。_ 。- 。_ _ _ _ - - - 1 1 内容介绍 第1 章绪论 数字电子计算机的发明和发展改变了整个人类社会在不到半个世纪的时间 里，计算机已经经历了从电子管到晶体管到集成电路到大规模、超大规模集成电 路这样的几个飞跃然而，计算机从原理上和人脑相差甚远有些对人脑来说可 以轻而易举完成的任务，对于计算机却是非常困难的为了弥补计算机的不足之 处，使计算机更加智能化，人机界面对人更友善，人们正试图发展新一代的仿脑 计算机，这种机器是由大量像神经元这样的元件组成的，具有自组织和学习的能 力神经网络的兴起正是顺应了这一要求 1 9 4 3 年心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 首先提出了早期的神经元的m - p 模型： n 甄 + 1 ) = 日( 芝二纠d 筑( t ) 一仇) ， j = l 这里日为0 ，1 两值的单位阶梯函数 后来有1 9 6 1 年的c a i a n i e l l o 模型及1 9 7 1 年的n a g u m o - s a t o 模型，但真正带 来神经网络研究兴盛时期的标志是美国加州理工学院生物物理学家h o p f i e l d 教授 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇有关h o p f i e l d 神经网络模型 的文章】 近些年来，各种神经网络模型在信息处理，模式识别，自动控制，信号处理， 辅助决策，人工智能，计算机等领域得到了广泛的应用，并且对神经网络模型的 研究也取得了巨大的成绩1 1 , 5 “1 s ，如： l u o n a nc h e n 与k a z u y u k ia i h a r a i s 讨论了离散神经网络模型 y d t + 1 ) = k y i ( t ) + 鼍l 玎斌( t ) + a i 一叫“( 曲嘶 甄例2 再方；i 研， 其中i = i ，2 ，n ，t = 0 ，1 ，2 ，一 利用李雅普洛夫方法，他们获得了此系统渐近稳定的充分条件，而且还利用 了m a r o t t o 定理f l q 证明了此系统具有混沌结构 w e r u iz h a o ，w e il i n ，r o n g s o n gl i u 和j i o n gr u a n 1 在l u o n a nc h e n 目的基 础上，改进了李雅普洛夫函数，获得上述离散神经网络系统渐近稳定更为宽松的 充分条件 z h o uz h a n ，j i n gz h u j u n 和w a n g r u i q i 6 考虑了推广的离散神经网络模型： v i ( t + 1 ) = k v ( t ) + 翟l t 哟( 站+ a i 一“b 肼 一1 离散神经网络的周期解及稳定性 “。( t ) = s ( ( t ) ) ， 其中s ( x ) c 1 ，0 0 ，i = 1 ，2 ，一，n g w o - j e n gy u 等人在此基础上进一步研究了下列连续型变时滞细胞神经网络 模型平衡点的稳定性i t 6 ： 士( t ) = 一x ( t ) + a y ( x ( t ) ) + b y ( x ( t r ( t ) ) ) + “ 其中x ( t ) = z l ( t ) ，。( t ) 7 r n , ( z ( t ) ) = 【”1 ( z 1 ( t ) ) ，- - ，3 h ( z 。( t ) ) 7 彤。? a = 。“】。，b = 【b i j 】。，t ( t ) = h ( t ) i ，( t ) 】7 舻是随时间t 变化而变 化的 以上研究的模型都是连续的，而对应的离散变时滞细胞神经网络模型的稳定 性的研究尚未涉及本文将考虑离散变时滞细胞神经网络模型： x i ( n + 1 ) = k x 。( 礼) + 啦j 蜘( ( n ) ) + b | i j y j ( x j ( n 一巧( n ) ) ) + m j = lj = l 其中q ( n ) 随时间n 的变化而变化，n = 0 ，1 ，i = 1 ，2 ，m 我们将利用直接证明的方法给出上述模型指数稳定的充分条件 对于离散时滞细胞神经网络模型指数稳定的研究，s m o h a m a d 和a g n a i m 1 7 2 硕士学位论文 给出了下列时滞神经网络模型关于平衡点指数稳定的充分条件： 粥 甄十1 ) = e - a l h 她( 礼) 十o i ( h ) b ，s ( k | i ( p ) y j ( n p ) ) + 馥( ) ， j = lp = l m 。 玑+ 1 ) = e - c 4 h 挑m ) + 也( 危) d i j s ( 日巧( p ) 奶( n 一计) + 。( h ) ， j = 1，= 1 其中吼( ) = l 鼍坐，如( ) = l 等坐，i = 1 ，2 ，m ，n ( o ) sm o h a m a ( 1 和k g o p a l s a m y 2 给出了下列离散时滞细胞神经网络模型指数 稳定的相关结论： mm 粕+ 1 ) = e - a i h 鞠( n ) + 也( ) b t j h ( x j ( n ) ) + c f f f j ( x j ( n 一玎) ) + 五 ， j = 1j = l 其中也( 九) = l = ：竽，i = 1 ，2 ，m ，礼( o ) 在本文最后，我们将在上述模 型的基础上进行推广，继续研究离散时滞细胞神经网络模型指数稳定，其模型如 下： mm 。 x i ( n + 1 ) = e - a l h 拂( n ) + 庐t ( ) 饥j 乃( q ( n ) ) + g j l j ( h i j ( p ) x i ( n p ) ) + 厶 ， j = 1j = lp = i 其中毋 ( ) = l - e 。- ，a i 型，i = 1 ，2 ，- ，m ，礼( o ) 我们以不动点定理、拓扑度原理、李雅普洛夫方法、动力系统定性分析等理 论相结合来进行我们的研究工作， 1 2 预备知识 为了方便起见，本文引用如下记号【”2 目：设z 表示所有整数构成的集合， 令a z ，记( 口) = o ，a + 1 ，n = ( 0 ) ，对任意的a ，b z ，y ( a ，b ) = o ，o + 1 ，6 ) ，( 口一) = ，一2 ，一1 ，o 一1 ，o ) 下面给出几个定义t 定义1 2 1 一个序列缸( t ) ) 罂1 称为p 周期的，若 x ( t + t ) = z ( t ) ，t ( o ) 定义1 2 2 我们称( l ( t ) ，2 ( t ) ，( t ) ) 为一个模型的解，是指( 蚍( t ) ，耽( t ) ， ( t ) ) 满足此模型 定义1 2 3 方程的一个解称为一周期解，若此解为口周期的 定义1 2 4 点被称为是，的乎衡点，若它是，的一个不动点，即： ，( z + ) = z + 定义1 2 5 一个系统被称为渐近稳定的，若对v e 0 ，j 6 = d ( e ，n o ) ，当| _ y ( o ) 一 旷 0 ， 一3 离散神经网络的周期解及稳定性 l y ( t ) 一y + i | e ，取n = g ：q _ x 为c 2 映象1s u p 。n f j ，( 。) 一 g ( z ) 0 ，m 0 ，及 a ， ( 0 ，1 ) ，使得 当i z o 一。+ | | d 时，z ( n ，n o ，如) 为以x 0 为初值的系统的解， 1 i z ( n o ，x o ) 一z | | 0 ，则由( 2 1 ) 可以得到： n 鼽( t + 1 ) = 仇( t ) + 伽( t ) + o 。， ( 2 3 ) j = l 其中i = 1 ，2 ，n 因为铂( t ) ( o ，1 ) ，( 2 3 ) 式不可能存在平衡点 在本章中，我们将研究下列非自治瞬变混沌神经网络模型( n t c n n ) 玑( h1 ) = k ( t ) y i ( t ) + 毗j ( t ) ( t ) + o 。( t ) 一毗t ( t ) o o m( 2 4 ) j = l 5 离散神经网络的周期解及稳定性 1 ( 。) 2 再丢而， ( 2 5 ) 其中i = 1 ，2 ，n ，t = 0 ，1 ，2 ， 执( t ) ：第i 个神经元在t 时刻的输出值； 矾( t ) ：第i 个神经元在t 时刻的状态量； ”甜( t ) ：第j 个神经元到第i 个神经元在t 时刻的连接权重； w i i ( t ) ：神经元在t 时刻自我反馈连接权重； 啦( t ) ：第i 个神经元在t 时刻的输出偏差； ( t ) ：神经元薄膜在t 时刻对传输的抑制因子； 0 ( t ) ：第i 个神经元在t 时刻的自我循环偏差； e ：输出函数的不合理参数“ 0 ) 令，( t ) 为n 周期函数，设 r 一1 而= 言坤) 一t = 0 利用m a w h i n 连续定理口”，我们得到了下面的结论； 定理2 1 2 若( a ) ( t ) ，”玎( t ) ，a i ( t ) ，a o ( t ) 为周期t 的周期函数，t 为正整数； ( b ) k ( t ) 一1 0 ，t = 0 ，1 ，且( t ) 一1 0 则系统n t c n n 存在t 周期解 当( t ) ，叫玎( t ) ，啦( t ) ，a o d t ) 为常数时，我们得到以下推论： 推论2 1 1 若k 1 ，则t c n n 模型至少存在一个平衡点 2 2 周期解存在性的证明 在这一节里，我们将对定理2 1 2 进行证叽首先，介绍一下m a w h i n 连续定 理 2 7 令a ，b 为实b a n a c h 空间，l ：d o mlca _ + b 为指标为零的f r e d h o l m 映射p ：a _ a ，q ：b _ b 为连续映射，且i m p = k e r l ，k e r q = i m l ， a = k e r l k e r p ，b = i m l i m q l p 为l 在d o m l mk e r p 上的限制， k p ：i m l _ k e r p md o t a l 为l p 的逆映射j ：i m q - 4k e r l 是i m q 到k e r l 上 的单同构映射 引理2 2 1 令nca 为一个有界开集，n ：a - b 是一个在菇上l 紧的连续算 子( 即：q n ：n _ 十b 和酶( j q ) n ：q - - 4b 都是紧的) 假设 ( 1 ) 对v a ( 0 ，1 ) ，z a q nd o m l ，l 嚣a n x ； ( 2 ) 对v x a f 2 nk e r l ，q n x o ； ( 3 ) d e g j q n , n nk e r l ，0 ) 0 6 僻陋鬻篓泛烈 p ( 兰) = q ( 至 = ( 薹三l 至 ，( 兰) a kp(兰=(窭一t-1三至tlx：i1萋lt妻-i薹i三童 q 协( ( k ( t ) 一1 ) m ( t )+ 。石i 可豇了而+ i 再万一w z l ( t ) a o l ( t ) 丽矿硼+ ，面而丽+ 丽一w 2 。( t ) a 0 2 ( t ) ( 女( ) 一1 ) 如( o ) +，w j ( t ) x j ( t ) 十丽一瓦而五丽 7 一 离散神经网络的周期解及稳定性 a 了 n 似( t ) 一1 ) ( t ) + 毗j 0 ) z j ( t ) + 吼0 ) 一w ( t ) a o i ( t ) = 皿( t ) ， j = l 则k p ( i q ) n ：a _ a ， 吕t ；- 1 0 皿( o l t “= - 1 0h 2 ( t 1 + t 皿+ + t 三b ( t ) + ：高墨( t ，) + 一t h e ( t ) + 字一句丽 警一t ) 一h 2 ( t ) 警一t ) 瓦西 显然，q n 和硒口一q ) n 是连续的，q ( 丽) 是有界因为集合a 是有限维 的，所以k e ( i q ) ( 豆) 在任意有界开集qca 上都是相对紧的因此，在 豆上是l 紧的 对应于算子l x = a z ，a ( 0 ，1 ) ，我们有： 2 x y l 耽 ： z l f ( k ( t ) 1 ) y l ( t ) 十n ，：1 叫1 ，( t ) q ( t ) + a l ( t ) 一 l l ) n 0 1 ( t ) 、l ( k ( t ) 1 ) 驰( ) + j ：朵】切巧( t ) q ( t ) + a 2 ( t ) 一w 鼢( t ) a o a ( t ) ( 七( t ) 一1 ) y 。( t ) 十冬l 叫n j ( t ) q ( z ) + ( t ) 令( y l ( ) ，抛( ) ，y n ( t ) ) 7 a 是( 2 6 ) 的一个解，对某些a ( 0 ，1 ) ，我们可以得 到； t l ( ( t ) t = o t lt 一1t 一1n ( ( t ) 一1 ( t ) = w 荆。叫( t ) 一w i j ( t ) x j ( t ) 0 = 0t = 0t = oj = l t ) 1 ) l l y , ( t ) l 1 w 荆。“( t ) i + 慨( t ) t ) l + t ) ， t = ot = ot = oj = l t = o 令g = m a x 慨( t ) a o i ( t ) l ：t = 0 ，1 ，t 一1 ) ，坝j = m a x i 叫。j ( t ) l ：t 0 ，1 ，一，? 一1 ，a i = m a x l a i ( t ) j ：t = 0 ，1 ，t 一1 ，k = m i n l k ( t ) 一1 t = 0 ，1 ，t 一1 ) 因为0 x t ) 1 ，我们有； t p - 1巾g + n ，= 1 w 0 + 4 。 l y , ( t ) l r 兰笔掣， 8 o i i 蛳0姚 n 一 盘 m 脚 + 幻町 叫 。州 n + m 曲 0 蹦 硕士学位论文 则 再令 虮( t 兄= t g + ，n ：1 w , j + a ： g + ? 显然，危是与a 无关的设r i + 兄+ + r = m 和 n = ( 玑( t ) ，珈( t ) ，一，( t ) ) 7 a ：i i ( y 1 ，y 2 ，) 7 i i = n l & x t o ，1 ，t 1 ) l y l i + m a , x t e o 1 ，一1 i y 2 l + + m a x t e o 州1 ，t1 i y n 因此，当( y 1 ，y 2 ，- ，g 。) 7 0 n n k e r l 时，( 可l ，y 2 一 利用拓扑度的性质，设 j = i ：i m q - - + k e r l ，( y l ，y 2 ，蜘) 7 斗( y t ，抛 我们有 肛) 0 蜘) 7 ， d e g ( j q n ( y 1 ，y 2 ，) 7 ，n n k e r l ，( o ，0 ，o ) 7 ) = d e g ( 币( v 1 ，y 2 ，1 ) ，q n k e r l ，( 0 ，0 ， = d e g ( 1 j i ( y l ，y 2 ，一，o ) ，n n k e r l ，( 0 ，0 ， = d e g ( ( 砸而，+ 丽一面丽面万， 一五i 了可羽) t ，n n k e r l ，( 0 ，0 由定理2 1 2 的条件( b ) ，方程 有唯一解 因此 ( k ( t ) 一1 ) y i ，o ) t ) ，0 ) t ) ，獗丁了沁+ 丽 + 丽一w i i ( t ) a o , ( t ) = 0 ，i = 1 2 一，n 孵= 萼器芦，z ，n d e g ( j q n ( y l ，y 2 ，鲰) 7 ，n n k e r l ，( o ，0 ，o ) 7 ) = s z 9 礼 k ( t ) 一1 0 0 k ( t ) 一1 o o 00可i f l = s i 9 n 1 ( 而= i ) ”1 0 满足引理2 2 1 的条件( 3 ) 综上所述， n t c n n 模型( 2 4 ) ，( 2 5 ) 存在周期 解证毕 2 3 周期解的渐近稳定性 在这一节中，首先我们给出系统n t c n n 的有界性 令 k = m a x i k ( t ) l ：t = 0 ，1 ，t 一1 ) 引理2 3 1 若0 k 1 ，则系统n t c n n 所有解有界 证明令 也= m a x 1 w 可( t ) l + t ) 一( t ) 。小( f ) i ：t = 0 ，1 ，t 一1 ) ，= 1 硕士学位论文 则 y i ( t + 1 ) l = l 血0 ) 矾( t ) + j n = l 鲫玎( t ) z j ( f ) + n t ( t ) 一叫。t ( t ) n 饿( 亡) k l y | l ( t ) l + d l sk 2 l y , ( t 一1 ) l + k d l + 魂 k 。+ 1j y , ( o ) l + 群也 l 虮( o ) i + i 南吨， 因为y d o ) ，吨有界，k 1 ，所以y i ( t + 1 ) 有界，t = 0 ，l 证毕 下面我们专虑( t ) ，啦j ( t ) ，。i ( t ) ，a o ( t ) 为t - 周期函数时，系统n t c n n 的渐近 性特别地，令： = m a x w i ( t ) l ：t = 0 ，1 ，丁一1 ) 设( 雪i ( t ) ，亟( t ) ，妊( t ) 尸为定理2 1 2 中存在的周期解，雪= m “ 霸( 驯：i = 1 ，2 ，n ，t = 0 ，1 ，- 一，r 1 我们有： 定理2 3 1 若定理2 1 2 的条件都成立，且釜1 眦， e ( 1 _ n k 厂、l + i e 玎- _ # ，则系统 n t c n n 全局渐近稳定 证明由于 i 挑( t + 1 ) 一吼 + 1 ) i 2 i k ( t ) ( y d t ) 一蟊( t ) ) + - 叫“( t ) ( i 南一五南) i s k l y i ( t ) 一蒯l + 。l 茬蒜镱燕| 1 利用中值定理，我们得到： e - w ( 。) 肛= e - 毋( 。) + e - 鳓( 。) 毋( ) 芒( 一珊( t ) e + 协( t ) e ) ， 其中一必( t ) 砖位于一协( t ) 与一毋( 之间 j 玑( t + 1 ) 一磊0 + 1 ) i k l y , ( t ) 一吼( ) i + 。仰。曼二警 蚴( t ) e 一协( t ) e l = k l y , ( t ) 一讯( t ) l + i 1 厶j n ：1 警| 协( t ) 一协( t ) ， 由定理条件可知0 k 1 ，由引理2 3 1 知驻( 瓴蟊( t ) 有界，对任一t ，总 3 1 = z ( t ) ，使得| y t ( t ) 一吼( t ) i = m a x l y ( t ) 一吼( t ) l ：i = 1 ，2 ，n ) ， 令 z ) 2 燃 j 玑( # ) 一吼( t ) f ) ， 则： z ( t + 1 ) 茎k z ( t ) + ， 群z ( t ) = 陋+ i 1 厶倒n 喾) z ( ) ( + 釜。1 眠j 羔) z ( t ) ， 陋+ 釜。篇) 2 z ( t 一1 ) ( + e i l 吼j 寰) 州z ( o ) ， 其中z ( 0 ) 有界，根据条件知； + ；喜羔 ， 故t 当t - 十o 。时，l y i ( t + 1 ) 一口；0 + 1 ) i - 0 证毕 例2 3 1 考虑n = 2 时的n t c n n 模型： 2 y i ( t + 1 ) = k ( t ) y i ( t ) + 叫”( ) 她( t ) 十啦( t ) 一( t ) a o l ( t ) ， ( 2 7 ) j = 1 ( t ) 5 再靠， ( 2 8 ) 其中i = 1 ，2 ，k ( t ) = ；s i n ( ) + j 1 ， w v ( t ) = c o s ( 警) 一2 ，w 1 2 ( t ) = s i n ( 警) + 2 ， w 2 1 ( t ) = c o s ( ) + 2 ，w 2 2 ( t ) = s i n ( 警) 一2 ， a l ( t ) = s i n ( 警) 十c o s ( 警) ，a 2 ( t ) = s i n ( 譬) c o s ( 警) ， a m ( t ) = s i n ( 譬) 一c o s ( 警) ，a 0 2 ( t ) = s i n ( 警) + c o s ( 警) ， 则女( t ) ，叫d ( t ) ，嘞( t ) ，o 饥( t ) ，i ，j = 1 ，2 为周期为4 的函数，且 k ( t ) 一1 0 ，k ( t ) 一1 0 ， ； 根据定理2 1 2 ，上述模型存在周期为4 的周期解，如图2 1 和图2 2 所示图中 我们取当初值 y l ( o ) = ( 0 ，一1 0 ，3 ) t ， 与 y 2 ( o ) = ( 一3 ，0 ，1 0 ) t 的时候，系统( 2 ，7 ) ，( 2 8 ) 的示意图我们发现系统( 2 7 ) ，( 2 8 ) 存在周期为4 的周 期解 塑主兰垡堡苎 024681 01 21 41e f i g u r e2 1 ：y l t 0246 2 4 结论评价 81 01 21 41e f i g u r e 22 ：y 2 一t 本章研究的系统( 2 4 ) 、( 2 5 ) ( 即n t c n n 模型) 比系统( 21 ) 、( 2 2 ) ( 即t c n n 模型) 应用得更广泛、更具有实用性因为在具体操作中，由于设备、技术和人们 的客观需要等各种原因，代表着神经元的连接权重、神经元的输出偏差和抑制因 1 3 离散神经网络的周期解及稳定性 子的各个参数都不是固定的常数，而是关于时问t 的函数所以，我们考虑非自 治的情况，更加贴近现实 论文1 1 中，w e i r u iz h a o 等人在对t c n n 模型的平衡点存在性的研究中， 给出了下列结论： t c n n 模型至少存在一个平衡点 在本章的引言部分，我们已经给出了一个反例，说明上述结论是不正确的 同时以推论的形式给出了正确的结论： 若k 1 ，则t c n n 模型至少存在一个平衡点 、 对于本章研究的n t c n n 模型周期解的情况，上述结论只是当周期t = 1 的 时候的特殊情况，我们更是给出了当周期t 为正整数时的周期解存在的充分条 件： 若( a ) k ( t ) ，”玎( t ) ，吼( t ) ，a u ( t ) 为周期t 的周期函数，t 为正整数； ( b ) k ( t ) 一1 0 ，t = 0 ，1 ，且k ( t ) 一1 0 则系统n t c n n 存在t 周期解 因为我们研究的是周期为正整数t 的周期解，所以n t c n n 模型的各个参数 不可避免的要求为t 周期的关于第二个条件，我们发现它与t c n n 模型平衡 点存在的条件极为相似，由于参数k 是随时间t 的变化而变化的，所以必须要求 k ( t ) 一1 0 同时，我们也给出了n t c n n 模型周期解渐近稳定的充分条件： 若定理2 1 2 的条件都成立，且譬l 川j 0 ，使得 们( u ) 一弘( ) l 兰厶i u 一 l ，对v u ，v r ，i = 1 ，2 ，m 显然，根据( 凰) 可知玑是连续函数 下面一节，我们将证明d d c n n 模型平衡点的存在性 3 2 平衡点的存在性 在这一节中，我们利用b r o u w e r 不动点定理来证明系统d d c n n ( 3 2 ) 平衡点 的存在性 引理3 2 1 假设( h ) ，( 2 ) 成立，则d d c n n 模型( 3 ，2 ) 至少存在一个平衡点。 证明：若x + = ( 。! ，。；，。麓) r 为( 3 2 ) 的平衡点，则： 故 z ；= 。：+ a j y j ( z ；) + b i j y j ( z ；) + 胁 j = lj = l 女) z 净n 巧蜥( 弓) + b | l j y j ( z ；) + 胁 j = 1j = l 1 6 婴圭兰竺丝苎 z ：2 击( + b i j ) 跏( ) 十盎 定义函数只( ) 如下： 只( ) 2 击( 。一) 珊( q ) + 点， 峄南善l 。玎制) 点| ， 因为鼽0 = 1 ，2 ，m ) 上有界，令 g 2 熙8 u ，p i 们( 戤) i ， 麒f 高 f 妻ll a i j + b i j f g + f 惫f ， 令 肚滕( 南善i 口d 地i g + i 惫m 则 f ( r “) = ( f 1 ，f 2 ，一，f ) tcq = ( $ 】，。2 ，一，。) r m ：j 翰jsm i = 1 ，2 ，m ) ， 因为f 在q 上是连续的，f i o ：q 叶口根据b r o u w e r 定理，f 至少存在 一个不动点。+ 此不动点即为( 3 2 ) 的一个平衡点证毕 3 3 平衡点的指数稳定性 在这一节中，我们将证明d d c n n 模型的指数稳定性 定理3 3 1 若( 日i ) ，( 鹄) 成立，0 t ( n ) r ，( 1 ) ，且+ 銎l ( i 。玎f + l b i j i ) l y 1 ，i = 1 ，2 ，m 则系统d d c n n 全局指数稳定 证明因为0 n ( n ) r ，则系统( 3 , 2 ) 的初始条件可定义如下： 缸( z ) = 妒i ( ) ，z ( 一7 - ，o ) ，i = 1 ，2 ，m 由引理3 2 ，1 知，( 3 2 ) 存在平衡点，记为( 。：，。；，茹矗) t 定义非负序列x d n ) k ( x i ( n ) ) 如下： 誓( n ) = f 。t ( n ) 一。；j ， 一1 7 离散神经网络的周期解及稳定性 ( 五( n ) ) = 玑( 。；( 佗) ) 一玑( 。；) f ， 显然 mm x i = z ；+ 。西协( z ；) + 协( 巧) + j = lj = l 故由( 3 2 ) 知二 爿t ( 礼+ 1 ) = l 铂( 竹+ 1 ) 一x ；i = j k x t ( n ) + e 凳lo 巧珊( ( n ) ) + 凳1b i j y j ( x j ( n 一弓( n ) ) ) + 胁 一 z ；一y - = j m = 1o 玎蜥( 巧) 一凳1 峨，蜥( 哆) 一“i r 2 妯 i k l t x t ( n ) 一z ；l + 凳。| | | 协( ( n ) ) 一蜥( z ；) l + 銎。i j 。 i 蛳( z j ( n 一勺( n ) ) ) 一协( 。；) l = j k l x d , z ) + 凳，l 叼i 巧( 玛) + 是，j bj 巧( 玛一弓( n ) ) ) 茎l k l x d n ) + 凳，i a # i l j 玛( 礼) + 墨1i b i j i n j 玛( n 一勺( n ) ) ， 令 仕1 m 。“ i k l + + b , j ) l l j 一一 j = 1 m o 2 一m ， a 。x 。o l 戤( n ) 一z ；1 1 1 i 茎m ) 显然c 1 ，根据( 3 3 ) 式，我们可得 恐( 1 ) i k l x d o ) + 凳- 啦，l 岛玛( o ) + 器1i b 玎t l j x j ( 一勺( o ) ) i k t m o + 凳，l n 蚵l 岛慨+ e 凳- j 吣l 易 = i k l + 銎- + e 墨。i b i j i l j m a sc m o ， i 墨( 2 ) i k l x | ( 1 ) + 凳，l o 玎l 0 k ( 1 ) + 凳1i b # t l j x j ( 1 一勺( 1 ) ) i k l m o + 銎。j o 巧i 易+ 墨lj j 与m “1 9 蜘 五( 1 ) ，m o = + 凳- l o 嵇i 岛+ 凳，i i 易) g m o m o ， 一般地 五( t ) c m o ， 一1 8 型圭兰堡丝茎 由此有： x i ( r + 1 ) 茎l i 蕊一) + 凳l a i j l j x i ( r ) + 凳1 b t j l j 1 y l a x l _ ( n ， i 轨( n ) 一。：| | 1 i m ) 茎i k l c m o4 - e 器li a i j l j c m o + 凳1 b l j l l i c m o c 2 m o c m o ， 墨( 2 r ) 伊 由归纳法，我们可以推出，当礼= f i r + q ，q = 1 ，2 ，t 时 墨( 矿+ q