（应用数学专业论文）广义burgershuxley方程的精确解.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要围绕广义b u r g e r - h u x l e y 方程的精确解进行了深入的研究与 探讨，通过几种方法得到了该方程及其特殊形式的若干新解。主要工作 包括以下几方面内容： 首先，介绍了研究工作的历史、现状、未来和本文的主要工作。 其次，介绍了与本文相关的一些基本概念、符号，给出了孤立子的 定义和发生机理，探讨了孤立波和孤立子的异同，对目前所知道的孤立 子按空间维数的高低进行了分类，同时对易于混淆的精确解、近似解和 相似解做了必要的说明。 再次，介绍了几种求解非线性方程的方法，如计算机代数解法、齐 次平衡法、b a c k l u n d 变换和a u t o b a c k l u n d 变换、改进的t a n h c o t h 法等。 最后，应用上面介绍的几种求解非线性方程的方法研究广义 b u r g e r - h u x l e y 方程及其特殊形式方程的精确解，得到了许多有意义的新 解。 关键词：广义b u r g e r s h u x l e y 方程，精确解，计算机代数解法，直接拟设 法，a u t o - b a c k l u n d 变换法，改进的t a n h c o t h 法，r i c c a t i 方程法 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i sp a p e rm a i n l yf o c u s e so nf i n d i n ge x a c ts o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e d b u r g e r s h u x l e ye q u a t i o n sa n dh a sc o n d u c t e dt h et h o r o u g hr e s e a r c ha n dt h e d i s c u s s i o n t h r o u g hs e r v e r a lm e t h o d s ，w h i c ho b t a i n e dan u m b e ro fn e w s o l u t i o n so ft h i se q u a t i o na n di t ss p e c i a lf o r me q u a t i o n s t h em a i nc o n t e n ti s d e p i c t e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , w es t u d yt h eh i s t o r y , c u r r e n ts i t u a t i o na n df u t u r eo fo u rr e s e a r c h ， a tt h es a m et i m ei n t r o d u c et h em a i nw o r ko ft h i sp a p e r s e c o n d l y , w ei n t r o d u c es o m ep r i m a r yc o n c e p t i o na n dd e n o t a t i o nr e l a t e t ot h i sp a p e r , g a v et h ed e f i n i t i o na n db e f a l l e nm e c h a n i s mo fs o l i t o n s ，d i s c u s s t h es i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e sb e t w e e ns o l i t o nw i t hs o l i t a r yw a v e ，c l a s s i f i e d t h es o l i t o n sw h i c hw eh a v ek n o w n a c c o r d i n gt ot h ed i m e n s i o no ft h es p a c e a tt h es a m e t i m e ，m a k eo u ts o m ee x p l a i nn e c e s s a r y t ot h ee x a c t s o l u t i o n s ，a p p r o x i m a t e l ys o l u t i o n sa n ds i m i l a rs o l u t i o n sw h i c ht e n dt ob e c o n f u e d t h i r d l y , w e i n t r o d u c es e v e r a lm e t h o d st oo b t a i ns o l u t i o n so ft h e n o n l i n e a re q u a t i o n s s u c h a s ，c o m p u t e ra l g e b r am e t h o d ，h o m o g e n e o u s b a l a n c em e t h o d ，b a c k l u n da n da u t o - b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n dm o d i f i e d t a n h c o t hm e t h o d f i n a l l y , u s i n gt h es e v e r a lm e t h o d st oo b t a i ns o l u t i o n so ft h en o n l i n e a r e q u a t i o n sw h i c hi n t r o d u c e da b o v e ，w es t u d yt h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e g e n e r a l i z e db u r g e r s h u x l e ye q u a t i o na n di t ss p e c i a lf o r me q u a t i o n s ，w h i c h o b t a i n e dan u m b e ro fn e ws o l u t i o n so ft h i s e q u a t i o na n di t ss p e c i a lf o r m e q u a t i o n s 江苏大学硕士学位论文 k e yw o r d s ：g e r n e r a l i z e db u r g e r s h u x l e y e q u a t i o n ，e x a c t s o l u t i o n s ， c o m p u t e ra l g e b r am e t h o d ，d i r e c t l y a n s a t z m e t h o d ， b a c k l u n da n d a u t o b a c k 1 u n d t r a n s f o r m a t i o na n d m o d i f i e dt a n h - c o t hm e t h o d ，r i c c a t ie q u a t i o n sm e t h o d 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密囤。 学位论文作者签名：高芝波 2 8 年应月熘日 八 7 胁 气 ：矿， 名 少 签 1 稚 年 j y ， 刻 谚 剥 砂 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：高芝渡 日期：五勿8 年j 2 月孑e t 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 众所周知，非线性科学是- l - j 研究非线性现象共性的基础科学。它是2 0 世纪 6 0 年代以来，在各门以非线性为特征的分支学科的基础上逐步发展起来的综合性 学科。非线性现象极为常见，如粒子或晶格非简谐振动、固体在高温或低温条件 下的热胀冷缩现象、非线性等离子振荡、潜水波在狭窄河道中的传播等。 近年来，非线性科学得到了迅速发展，现在人们认识到它的发展必将对自然 科学等学科的发展产生不可估量的影响。随着非线性科学的发展，非线性方程的 求解已成为广大物理学、力学、地球科学、生命科学、应用数学和工程技术工作 者研究的一个重要课题。多年来，许多数学家、物理学家为此做了大量的工作。 而在非线性科学发展的过程中，孤立波和孤立子正是推动非线性科学发展的重要 概念之一。下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状及本文的主要工作。 1 1 研究背景 孤立子理论是非线性科学的重要组成部分，可以广泛的应用于众多的自然科 学领域，如：光纤通信、等离子体、基本粒子、流体物理、固体物理、超导、激 光物理、生物物理、凝聚态物理、场论、天上涡旋星系的密度波、海上冲击波、 结构相变、液晶、气象学、化学、生命科学、微分几何等。因此，对孤立子的研 究具有重要的理论和实际意义。 孤立子最早在1 8 3 4 年由r u s s e l l 发现，在他的实验中，这个奇怪的水波长久 地保持自己的形状和波速，即是流体运动的一个稳定解，这就是“孤立波”的原 始定义。但由于r u s s e l l 未能建立合理描述孤立波的模型，因此他的学说未能使物 理学家们信服。在此以后有关孤立波的问题引起了广泛的争论。1 8 6 2 年和1 8 6 5 年 b a z i nh e 对孤立波进行了一系列的实验，证明了r u s s e l l 工作的正确性，当时相关 的数学模型仍然没有找到，直到1 8 9 5 年，荷兰阿姆斯特丹大学k o r t e w e g 教授和 他的学生d e v r i e s 在小振幅与长波假设下，从流体动力学中导出了单向运动的浅水 波方程： 鲁= 孙3 - 夏- 缸0 ( 、云1 7 2 - i - 尹2+ 三仃，这里r 为波峰高度，为水深， 江苏大学硕士学位论文 g 为重力加速度，口是与液体均匀运动有关的常数，仃是由仃= 1 _ 1 3 一兰定义的常 j p g 数，z 是毛细管现象的表面张力，p 是液体的密度。由变换“2 l _ j v 旦z 盯t 9 x f = - 嘉， z ，= 去矽+ 口，同时省去撇号即可得著名的k d v 方程：h ，+ 6 u u ， - t - u x = = 0 。在波 长趋于无限的情况下，该方程的一个解：u l ，f ) = 昙s e c h 2 ( 半。一c f ”后人称 u ，( x ，f ) 为钟型孤立子解。正是r u s s e l l 所发现的孤立波，k d v 方程的提出，从理论 上阐明了孤立波的存在，从而为这场争论画上了圆满的句号。 1 9 5 5 年，f e r m i ，p a s t a ，u 1 硼( f p u ) 将6 4 个质点用非线性弹簧连成一条非线 性振动弦，用计算机计算了一维非线性晶格在各个振动模之间的转换。初始时， 这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上，其他6 3 个质点的初始能量为零。按 照经典的理论，只要非线性效应存在，就会有能量均分，各态历经等现象出现。 即任何微弱的非线性相互作用，可导致系统的非平衡状态向平衡状态的过渡，但 实际计算的结果却与经典理论背道而驰。实际上，经过相当长时间之后，能量似 乎又回到了原来的初始分布，这就是著名的f p u 问题。由于f p u 问题是在频域空 间考察的，未能发现孤波解，因此该问题未能得到正确的解释。后来，人们发现 可以把晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，这恰好是f e r m i 研究的情况。t o d a 研究了这种模式的非线性振动，得到了孤波解，使f p u 问题得到正确的解答，从 而进一步激发起人们对孤立波的研究兴趣。 1 9 6 2 年，p e r r i n g 和s k y r m e 在研究基本粒子模型时对s i n e g o r d o n 方程进行数 值模拟实验，结果表明孤立波在碰撞前后波形和速度保持不变。1 9 6 5 年，z a b u s k y 和k r u s a l 详细考察了等离子体中孤立波的相互碰撞过程，进一步证实了孤立波在 碰撞前后波形和速度保持不变的论断，并把它命名为孤立子( s o l i t o n ) ，它是指一大 类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及具有相应的物理现象。它的 性质具体为：( 1 ) 能量比较集中；( 2 ) 孤立子相互碰撞时具有弹性散射现象。1 9 6 7 年g a r d n e rg r e e n ek r u s k a l 和m i u r a ( g g k m ) 发现反散射方法。把k d v 方程的初 值问题和一维s c h r o d i n g e r 方程的反散射问题联系起来，现代意义上的孤立子理论 才真正产生。1 9 6 8 年，l a x 引入l a x 对，将孤立子演化方程的求解问题和求l a x 2 江苏大学硕士学位论文 对联系起来，推广了g g k m 方法，使之能解初值问题。1 9 7 1 年，h i r o t a 提出h i r o t a 方法( 用双线性变换构造n 孤子解和b t ) 。1 9 7 2 年，人们找到了非线性s c h r o d i n g e r 方程的l a x 对，首次求出了方程的孤立子解。同年m w a d a t i 求得m k d v 方程的精 确解。 从此孤立子理论的研究工作得到了迅速发展。1 9 7 3 年，电子和光学界普及了 孤子理论，同年h a a e g a w at a p p e r t 预言光纤孤子的存在性。1 9 7 5 年，k r u m h a n s l s c h i e f f e r 开始研究孤波的统计力学。同年，w a h l q u i t 和e s t a b r o o k 以外微分形式为 工具提出延拓结构法。1 9 8 6 年，谷超豪从d a r b o x 矩阵出发构造出k d v 方程族的 b t 。1 9 8 9 年，c l a r k s o n 和k r u s k a l 提出对称约化的c k 直接法( 涵盖了群论的方 法l 。1 9 9 1 年，李翊神、楼森岳提出直接变量分离法。1 9 9 2 年，c o n t e 和m u s e t t e 提出r i c c a t i 方程法。 计算机代数出现后，尤其是吴文俊为数学机械化所做的革命性工作以来，对 于( n e e ) 精确解的研究焕发了勃勃生机。已能解决包括可积和不可积系统在内的 许多方程。如，1 9 9 6 年，p a r k e s 和d u 姆基于用t a n h 函数法解( n e e ) 给出 m a t h e m a t i c a 软件包。同年，王明亮提出齐次平衡法。2 0 0 0 年，范恩贵提出直接 代数法，对t a n h 函数法进行了推广，给出了求多孤子解的相似约化、b t 和孤波 解的直接法。同年，楼森岳等基于多变量分离法给出折叠子的定义和激发模式。 随后：。高以天和田畴研究了变系数( n e e ) ，得到了类孤子解。2 0 0 5 年，张鸿庆 等推广了r i c c a t i 方程法。 孤立波早期的研究只局限在一个很小的范围内，随着新问题的不断涌现，孤立 波的研究也就逐渐扩展到其他的学科领域。在1 9 5 0 年以前，孤立子的研究大都集 中在理论探讨，如提出逆散射方法并将它推广应用于非线性薛定谔方程和 s i n e g o r d o n 方程的求解，这些研究对发展孤立子理论至关重要。但当发现理论研 究在技术上有重大应用前景时，生产和技术的需要更能推动理论发展。当今孤立 子的发展已由前期的理论研究进展到实际应用。 在我国，孤立子理论的研究开始于2 0 世纪7 0 年代，当时杨振宁、李政道、 陈省身等教授回国讲学时，向国内同行介绍孤立子理论的研究进展，并指出它的 重要性。随后在中国科学院和国内部分高校相继开展了这方面的研究工作。1 9 8 0 年在厦门、1 9 8 6 年在上海分别召开了专题讨论会，推动了孤立子理论的研究活动。 3 江苏大学硕士学位论文 关于孤立子的著作可参见文献【1 】- 【7 】。 1 2 研究现状 孤立子理论是数学物理学的一个重要组成部分，其研究内容和方法已经非常 丰富，特别是近年来，国内外诸多学者对孤立子理论的进一步研究，使其得到了 很大的发展。 孤立子理论的产生和发展为非线性发展方程提供了大量的求解方法。而非线 性发展方程的求解已成为广大物理学、力学、地球科学、生命科学、应用数学、 和工程技术工作者研究的一个重要课题。多年来许多数学家、物理学家为此做了 大量的工作。演化方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，是包含时间变量t 的偏微分方程的 统称，它被用于描述随时间而演变的物理、力学或其他自然科学中的状态或过程。 其中具有代表性的有：波动方程，k d v 方程，s i n g o r d o n 方程，b b m 方程，反应 扩散方程，热传导方程等。这些方程和物理问题、化学反应问题、生物学的种群 问题、流体力学的波动问题紧密相连，成功的描述了自然界中出现的大量现象， 广泛的应用于这些学科的许多分支中。如基本粒子，流体物理，等粒子体物理， 统计物理等。非线性演化方程的求解问题是古老而重要的研究课题，尽管数学家 和物理学家们在这方面做了大量了的研究，但由于其复杂性，仍有大量重要的非 线性发展方程无法求出精确解或难以找出具有物理意义的新解，即使已经求出精 确解，也是各有各的技巧，尚无统一的求解方法，到目前为止主要方法有：p a i n l e v e 截断展开法嘲、c k 直接法 9 1 、l i e 群法【1 0 l 、t a n h 函数法【1 1 】、推广的t a n l a 函数法【1 2 - 15 1 、 三角函数法【1 6 1 、j a c o b i 椭圆函数法【1 7 之0 1 、齐次平衡洲2 1 1 、a d o m i a nd e c o m p o s i t i o n 法1 2 2 、f 展开法【2 3 1 、r i c c a f i 方程法 2 4 。3 1 1 、反散射方法【3 2 。3 1 、b a c l d u n d 变换法【3 4 硼、 h i r o t a 双线性函数法3 7 1 、d a r b o x 变换法【3 8 】、小参数法、变分法、不变量法、各种 微扰法以及其它各种形式的拟设法等。这些方法可以归为三大类：( 1 ) 直接拟设 法，( 2 ) 间接拟设法( 该法又分为借助约束方程和借助算子两种) ，( 3 ) 分离变量 法。新的方法还在不断涌现，是对传统方法的修j 下和发展，从而构造更加精巧、 适用范围更加广泛的方法，能获得的新解也就越多。数学的发展史告诉我们，往 往是方法越简单，威力越强大，当然所蕴涵的数学原理也越丰富，求解也必然会 从单个方程走向一类方程、从单个解走向一类解、从常系数走向变系数、从低维 4 江苏大学硕士学位论文 走向高维、从低阶走向高阶。在孤立子的类型上也由传统的拓扑型孤屯子和非拓 扑型孤立，进步细分为多种类型，近束发现了两类特殊的孤口波解即c o m p a d o n 解和p e a k o n 解。1 9 9 3 年，以色列的r o s e n a u 和美国的h y m a n p t 为了研究流体 液滴变化规律模型k ( m ，n ) 在形成过程中非线性色散项的作用，研究了充分非线性 k d v 方程k ( m ，n ) “，十( “”) ，+ 恤“) 。= 0 ， 得到了一种紧的行波解( 即c o m p a d o n 解，在有限区问外为零的局部行波解，它 的振幅随速度增加而增加，但它的波宽，速度没有天系，保持不变) ，这种解在有 限区间外为0 ，是一种比孤立波还要强的局部行波解且具有类似孤市波的性质：碰 撞| j ，_ 后保持波形不变，这种碰撞是弹性的，能量几乎没有损失等，关r c o m p a a o n 解的研究见文献3 9 4 5 1 。若孤航子解存波峰处有一个不连续的阶导数，则称此 孤立，解为尖峰孤立，解( p e a k o n ) ，如图卜1 所不。 图卜1 尖峰孤立子解 随着研究的深入，新的孤于结构还将不断涌现，这对我们进步深入了解和 研究非线性科学必将提供新的视角。 1 3 本文的主要工作及其研究意义 本史t 要对广义b u r g e m h u x l e y 方程及其特殊形式的非线性发展方程的精确解 的计算问题进行研究，通过应用几种近年来新发现的方法，丰富和发展了已自的结 果，士要内容有：第二章介绍一些与精确解有关的概念。第= 章介绍求解非线性方 程的几种方法。如实指数遁近法及计算机代数计算、广义投射r i c c a t i 方程方法、齐 次平衡方法、b a c l l u n d 变换和a u 幻一b a c l d t m d 变换：改进的t a n h c o t h 法。第阳章应 5 江苏大学硕士学位论文 用第三章里提到的一些方法得到了广义b u r g e r s h u x l e y 方程及其特殊形式的非线性 发展方程的精确解。 本文研究的意义：本文通过应用几种近年来新发现的方法得到了广义 b u r g e r s h u x l e y 方程及其特殊形式的非线性发展方程的不同形式的精确解。在众多 的解中，一部分是原来方法已经得出的解，而更重要的一部分是通过这些方法得 到了原有的方法得不到的结果。这些新的解扩充了广义b u r g e r s h u x l e y 方程及其特 殊形式的非线性发展方程的解，这对研究非线性发展方程精确解具有十分重要的 意义。 6 江苏大学硕士学位论文 第二章基本概念 2 1 孤立子的定义和发生机理 目前对孤立子还没有一个确切的定义。数学中，将孤立子理解为非线性发展 方程的局部行波解，所谓局部是指微分方程的解在空间的无穷远处趋于零或确定 常数的情况。也就是说，孤立子指的是稳定的孤立波且具有如下性质：( 1 ) 能量 比较集中。( 2 ) 相互碰撞时具有类似粒子性质的弹性散射现象。( 3 ) 几乎处处正 则。目前对孤立子一般有如下两种定义： 定义1 ：孤立子 ( 1 ) 是波动问题中的一种能量有限局域解。 ( 2 ) 能在空间给定区域稳定存在。 ( 3 ) 相互作用不改变各自的特性。 定义2 ：孤立子 ( 1 ) 是向单方向传播的行波。 ( 2 ) 分布在空间的一个小区域中。 ( 3 ) 波动形状不随时间演变而发生变化。 ( 4 ) 相互之间的作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。 比较这两个定义可以看出它们的本质实质上是一样的。同时孤立子具有一切 粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，也遵循一般的自然 规律，如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动 的介质里。 发生机理：孤立子理论的首要问题是孤立子是如何形成的? 事实上，通过研 究具有孤子解的非线性方程我们可以发现，这些方程都可表示成： 运动项+ 色散项+ 非线性项= 0或 运动项+ 色散项+ 非线性项+ 耗散项= 0 其中的运动项主要包括了状态矢量随时间的变化，这是物质始终处于运动状态的 具体体现，没有必要去深入研究它，但色散项和非线性项具有重要作用。现在一 般认为孤立子之所以产生，归根结底就是由于色散效应和非线性作用相互影响和 7 江苏大学硕士学位论文 相互平衡造成的。 2 2 孤立波和孤立子 孤立波在形态上：孤立波是存在于自然界里的相干结构( 或称拟序结构) 。它 是一种行波，既可以速度v 在空间传播，又可以处于静止状态。 孤立子人们将具有弹性碰撞特性的孤立波称为“孤立子s o l i t o n ，简称“孤 子 。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散的、形态上稳定的准粒子。 2 3 孤立子的结构和分类 从拓扑性质角度，孤立子可分为拓扑性孤立子和非拓扑性孤立子。拓扑性孤 波存在的必要条件是有简并真空态( 基态) ，即在无穷远处存在不同的真空态，或 者说有不同的边界条件；有孤立子解时，无穷远处的边界条件就与没有孤立子解 时不同。而非拓扑性孤立子不需要简并真空态，无论有无孤立子解，在无穷远处 都有相同的边界条件。一般来说，钟型分布的正、负( 暗) 孤立子及其序列都是非 拓扑的，但是k i n k 孤立子( 其模方或其导数却是钟型的，如光纤中基本暗孤子就 是例子) 是拓扑孤子。需要注意的是，同一方程可能支持两类不同拓扑性质的孤波 解，如( n l s ) 方程支持明孤子解和小振幅明暗孤子解( 非拓扑) 及基本暗孤子解( 拓 扑) 。 按空间的维数来分，孤立子可分为 1 ( 1 + 1 ) 维空间中的孤子 ( 明，暗) 钟型孤立子、( 反) 扭型孤立子、奇异型孤立子、紧描：( c o m p a c t o n ) 、 尖峰孤立子( p e a k o n ) 、呼吸子、 类孤立子、n 孤立子、光孤子等。 2 ( 2 + 1 ) 维空间中的孤子 ( 明，暗) 钟型孤立子、( 反) 扭型孤立子、奇异型孤立子、( 多类) 紧孤立子 ( c o m p a c t o n ) 、( 多类) 尖峰孤立子f e e a k o n ) 、呼吸子、 类孤立子、n - 孤立子、 ( 多) d o r m a i n 解( 直线孤子) 、( 参：) s o l i f f 解( 半直线孤子) 、圆锥曲线孤子( 抛物孤子、双 曲孤子、r i n g 环孤子) 、( 多类) l u m p 孤子( 团孤子) 、峰孤子、方形孤子、棱形孤子、 瞬子、似瞬子、折叠子、光孤子、激子孤子、声子孤子、磁子孤子、质子孤子、 液晶孤子、分子孤子、m 型孤子、w 型孤子、涡旋孤子和水孤子等。 8 江苏大学硕士学位论文 3 ( n + 1 ) 维空间中的孤子 除了上述孤子类外，更多类别和形式的孤子结构有待我们去探寻和发现。 2 4 精确解、近似解和相似解 虽然到目前为止人们已掌握了大量寻求非线性方程精确解的方法，但求得精 确解的那些方程对于大量的非线性方程来说还是很少的，而且求解方法也是有限 的。所以，更多的非线性方程只能求得近似解或确定解的渐近行为。因而也就出 现了各种求近似解的摄动方法和求相似解的约化方法。摄动法的第一步是在方程 中引进无量纲的小参数s ( 0 s d ；第二步是将方程的解展开为小参数占的幂级 数，从而可以依次求得方程的各级近似解；第三步是分析摄动级数的收敛性。按 照收敛和不收敛( 通常在解的表达式中存在与t , t 2 ，成正比的永久项) 两种情况 又把摄动方法分为正规摄动法和奇异摄动法。奇异摄动法通常又包含：多尺度法、 p o i n c a r e l i g h t h i l l k u o 法、平均值法、k r y l o v b o g o l i u b o v m i t r o p o l s k i 法、约化摄动 法、幂级数展开法，具体可参见书f 3 1 。相似解也称群不变解，是在l i e 群变换之 下的不变解，是方程的一种特殊的精确解。通常一个非线性偏微分方程可以通过 相似变换约化为一个常微分方程。如果这样的常微分方程具有p a i n l e v e 性质，那 么这个非线性偏微分方程通常是可积的，至少应能通过相似变换求渐近解。 9 江苏大学硕士学位论文 第三章研究方法 寻找非线性偏微分方程的精确解长期以来受到数学物理学家的广泛关注。随着 孤立子理论的发展，人们提出了许多求解非线性偏微分方程的有效方法。如反散射 变换法、b a c k l u n d 变换法、达布变换法、双曲正切方法、齐次平衡法、直接化简法、 j a c o b i 椭圆函数法等。一般说来，这些方法可以分为三类：第一类是通过拟设求解 方程的精确解，叫做直接拟设法。第二类通过间接拟设方程的解为三角函数、双曲 函数、椭圆函数或其它显函数来求解方程精确解的方法，叫做间接拟设法。第二 类方法通常包括使用约束方程，使用变换式和使用算子三种。第三类是分离变量 法。要简洁、清晰地得到众多非线性偏微分方程的精确解仅靠现有的数学方法还 远远不够，这就需要我们进一步去探索和发现。本章我们将着重介绍近年来新发 现的几种求解非线性发展方程的方法。 3 1 实指数逼近法及计算机代数计算 1 9 7 8 年由a k o r p e l 提出了实指数方程，经w h e r e m a n 等发展为一种求解连续 非线性方程方法。这种方法是通过线性方程解级数来表示非线性方程的解，把方 程的解代入到非线性方程，通过展开非线性方程比较g ”的系数，得到级数系统a 。 的表达式。但如果直接用实指数逼近方法计算非线性方程，非常复杂且工作量很 大，而且不容易求出级数系统的通项式。而根据实指数逼近方法【删采用m a t h e m a t i c 编程求解方程的级数系数可方便得到a 。的通项式。在编程中主要是采用 l o g i c a l e x p a n d 逻辑展开函数来实现这个过程的，这种方法大大降低计算量，且求 解速度非常快。具体应用如下： 考虑如下非线性偏微分方程 u ，= g ，u ，u 。，) ( 3 1 1 ) 利用实指数逼近方法，将u 展开为级数形式： = 口o + 。g ”(gu ag o 。 c o t h ( k 孝：。一h a ( 一和御 o 以上各式中孝= 孝似力，a ，b ，b , k 为任意常数。分别将以上各式的矽和式( 3 4 1 ) 代入n e e s ，并令( j = o 工2 - - ) 的系数为零，可得到一关于口，的非线性代数方程组 ( n a e s ) ，借助m a t h e m a t i c a 软件求解该n a e s ，便可以由缈的形式得到n e e s 的 精确解。 3 4 2 推广的投射r i c c a t i 方程法 设n e e s 的解为：h ( 孝) = 口，厂+ b ，f 1 9 ( 3 4 2 ) ，( 9 ，g ( o 满足下列r i c c a t i 方程： f2 ( 1 ) 厂= h +