纵观立体几何考题感悟向量方法解题.doc

纵观立体几何考题感悟向量方法解题 北京市第八十中学（100102）孙世林 每个学期的学期末全国各地的中小学都进行了期末考试，纵观北京各区高三数学期末考试立体几何考题，学生的得分情况不理想，在解题中为避免难度较大的几何推理，同学们常建立空间坐标系利用坐标形式的向量解决问题，但试题中往往没有明确的垂直关系，建立坐标系要通过一定的转化、证明，难度较大，一味强调坐标法会造成得分的困难，出现这种现象一是空间想象能力、几何推理有待提高，再有就是对向量知识本质认识不够，恰当利用非坐标形式的向量解题，既可避开技巧要求过高、转化复杂的几何法，又可以很好的回避有时建系的困难，下面就从近期的高三期末立体几何考题谈起： 1纵观空间位置关系问题感悟用非坐标形式向量解题 向量具有“数”与“形”双重身份，兼具代数的严谨与几何的直观，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如，首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则解题时可以将有关线、面用向量表示出来，再利用共线向量定理、共面向量定理及向量垂直的条件得到证明，这样可以很好的避开学生感觉困难的几何关系的论证。 例l（xx年北京市海淀区高三期末考试题） 如图l所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1B1B 点评：本题不存在两两垂直的三条棱，若建立空间坐标系需要找出一条和底面垂直的直线作为。轴，这样会使部分点的坐标不好确定：采取几何法，通过充分观察几何体的特征，可直观的猜测出直线EF与平面ABC平行，此处难度较大，需要学生有很好空间想象能力，接下来要在平面ABC内找一条线段与EF平行，再通过严格的几何推理与论证，也需要很好的思维能力：采取非坐标形式的向量，利用向 点评：本题很多学生误认为PA上平面ABCD，从而建立空间坐标系，利用向量的坐标形式进行垂直的证明，以至于不能得分，利用传统的几何法，难度在于点F是棱BC上动点，确定题目中的垂直关系有一定的难度，把相关线段AE、PF用具有垂直关系的向量4B,AP，BC来表示，再利用数量积的运算+便迎刃而解，这种办法突出向量的相互表示和运算，避免了繁琐的几何推理，收到了很好的效果。 2纵观“立几”中的探究性问题感悟如何选择向量的基底 非坐标形式的向量解决立体几何问题，关键是结合图形选择恰当的基底，构建基向量，利用向量加法、减法的几何意义，把有关向量表示出来，再把有关问题转化为向量之间的运算来解决 例3（xx年北京市东城区期末考试理科题） 点评：向量法是解决立体几何探究性问题明显优于传统的几何法，平时我们可以有意识的用非坐标形式的向量法解决探究问题的训练，这样可以很好的弥补坐标法的不足，完善数学思维，非坐标形式的向量解决立体几何问题，关键是选择合适的基底，构建基向量，利用向量加法、减法的几何意义，把有关向量表示出来，再把有关问题转化为向量之间的运算来解决。 3纵观“立几”的综合问题感悟从向量结果向几何结论的回归 立体几何是中学数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点，本部分知识要求学生要有很好空间想象能力、规范表达及严谨的几何推理能力，在平时的训练时适时的应用向量形式，特别是非向量形式的向量，再结合几何法解决问题，会开阔学生的思路，减少几何推理的思维量，降低难度，使问题解决避开难点，顺畅自然。 点评：本题的第三问是逆向思维的问题，利用平面PBC与平面PDC垂直反推棱PA的长，用坐标形式的向量求解建立空间坐标系会误把PBPDPA所在直线为x，y，z轴造成错误，若坐标系建得正确，求相关点的坐标又容易求错，采取非坐标形式的向量求出其中一个平面的法向量，利用此法向量和另一个平面是共面向量求出棱PA的长证明点共面问 点评：在建立空间坐标系困难较大的情况下，可选择一组基底，运用空间向量基本定理将有关线、面用空间向量表示，寻求非向量解法；空间向量基本定理告诉我们用空间任意三个不共面的向量（基底）可以线性表示空间中的任意一个向量（包括法向量），并且表示是唯一的，基底的选取是解题的前提和基础，一般选择边、角均为已知（或简单可求）的棱作为基底，如本题中选择(PA，PD，PD)或(AP，AB，AD)为基底，运用向量的有关知识表示相关的点、线、面，问题便迎刃而解。 向量作为一种数学工具，它既具有代数的运算又具有几何推理的功能，利用向量的几何意义和运算可以很方便的解决立体几何中很多问题，不可否定，用空间向量解决立体几何问题，我们首选的是向量的坐标形式，然而，适时的应用非坐标形式的向量，既可以避免繁琐的运算，减少推理论证的难度，降低运算量，又可降低对空间想象能力的要求，解题方法新颖，对提高