（应用数学专业论文）脉冲种群生态模型研究.pdf

博士后研究工作报告 靳祯 上海交通大学数学系 本研究报告主要以中国博士后基金项目“脉冲种群生态模型研究”为主题展开 研究，研究内容主要包括在脉冲作用下v o l t e r r a 竞争系统种群的持续性，全局周期 解的存在性，在脉冲环境污染下的种群的弱平均持续生存，具有时滞的脉冲单种群 系统持续性等问题另外，作者利用细胞自动机建立了一些离散的传染病模型，并对 甲衡点的稳定性进行了研究和数值模拟，给出了基本再生数，其结论推广了相应的 常微分方程传染病模型为了更清楚了解我们研究工作的意义，我们首先介绍关于 脉冲种群系统研究概况及细胞自动机在传染病中的应用概况 一、脉；中种群系统研究概况 脉冲微分方程是上世纪末发展非常迅速的一个数学分支，是描述某些运动状态 在固定或不固定时刻的快速变化或跳跃，它是对自然界发展过程更真实的反映，脉 冲微分方程有着比普通微分方程更加丰富的性质和内容生物种群系统的许多现象 都可以用脉冲微分方程来刻化，如某些动物的季节性出生，渔业养殖与森林管理中 的收获、投放、种植，对癌细胞的化疗、环境污染中毒素的定期排放等都是一种脉冲 现象，对生物种群的控制往往也采取脉冲控制总之，脉冲微分方程在种群动力学 研究方面已显示出很好的应用前景，需要我们认真研究近几年，关于脉冲种群动 力学模型的研究已有一定的工作，但总体讲，好的结果还不足很多这里我们先介 绍一些脉冲方程的基本概念 脉冲微分方程可分为固定时刻的脉冲微分方程和非固定时刻的脉冲微分方程， 匿定时刻的脉冲微分方程是较简单的种一般可以表示为 芝滁睁t = 沁t k ，。 这里( 。，z ) d c r x r l 。( “) 3 z ( 。声) 一。( 铀，z ( 。；) 2 。l i r a ：。( 扎“称为脉冲时刻 且满足0 = t l t 2 t k 一熙。= 3 g 初始条件为 2 上述方程的解。( e ) 满足下列条件： 1 ) 对，方程的解就是普通微分方程。，= ，( # ，z ) 的解 2 ) 当t = 时方程的解有跳跃且满足 j 。( 百) = 。( ) ， 【茁( 砖) = 。( 仇) + 五( 飞) = z ( 九) + “扛( 飞) ) 三钆( ( 矗) ) 3 ) 在r k 时刻之后，方程的解z ( 幻屉满足下列初值同题的解( ) j 奄，( t ，口) ， 礓 t + l 【口( q ) = 。( 付) 例1 考虑方程 j 一之。( ) z t r a x = d k x ，t 一亿 【x ( t o ) = x o 按上面的定义，该方程的解可直：接解得： i z o 1 - i ( 1 + d k ) e x p ( 坛口( s ) d s ) ， t t o 孙幻勒卜 如戳l+dk)-ixoe x p ( 。正a ( s ) d s ) 以虹n ( 1正 ，t 0 时，可以看作是种 群在k 时刻的脉冲出生或放养，当巩 o ，凤0 ，孚是有理数，p = r i ( 盎) 1 e x p ( 一眉a ( s ) d s ) l 或芋 是无理数时，系统( 1 ) 不存在周期解从这一结论可以看出，当半足有理数时，p 的值决定系统( 1 ) 正周期解的存在性由肛 。 上式r 的值对应于不含脉冲的自治l o g i s t i c 方程i = z ( r l 一l z ) 中的内禀增长率h 该方程当n 0 时有惟一全局渐近稳定的正平衡点，当r 1 0 足常数收 获量设u 屉没有收获的l o g i s t i c 方程经过时间丁后，种群数量的最大增加量，则 有 ( e x p ( t 2 ) 一1 ) 2 n 。2 面面丌i 。 4 文【8 】8x , t - z 程( 3 ) 进行了研究，并给出了t 若e 0 ，使得 讯= x 且 叩( 札一t k - t ) 一m “帅- i - 掣l 一掣】) 5 哪，( 5 ) 上面给出的足脉冲l o 豳c i c 系统稳定性和浙近性同题下面考虑单种群在两个 斑块具有昧7 中扩散的系统， 5 一般地，单个种群在两个斑块扩散的常微分方程模型可以表示为下面的方程 x 。l ：= ：z 啡l ( a ：l - 一b 慨l x l ，) + 帕d l ( 。x 一2 - x 瑚1 ) , ， c s ， lz ：= z 2 2 一幻嚣2 ) + d 2 1 一z 2 ) ， _ 其中吼( o ) 代表在斑块，中种群在。时刻的数量，：7 ：2 ( f ) 代表在斑块，f 中种群在t 时刻的数量，d l 代表从斑块，f 到斑块f 的转移率，d 2 代表从斑块j 到斑块i i 的 转移率若种群的迁移是脉冲的，则可以用下面的脉冲微分方程来描述 1q = t l ( a l b , z 1 ) ， 笛笔葛警净” l z l = d i ( 。2 一i ) ， 、7 【a x l = d 2 扛l x 2 ) ，t = n r ， 这里假设皿曲。是正常数0 0 ，0 冬句( f ) s 1 ，0 岛( # ) 1 由于系统( n ) 第二和第三个方程不含变量z ，故可以考虑下面两个子系统 o ) _ 叫( r 。_ r l c o o 卜扣o ) ) ，( 1 2 ) lz ( o ) = 跏 0 ， 及 i 晶( ) = k c 。( ) 一g c o ( t ) 一m c 0 ( t ) ，t n r ， ( ) ；h c 。( t ) ， ( 1 3 ) ia c o ( t ) = 0 a c ( t ) = b ， = n r 因为( 1 3 ) 是一个线性脉7 中微分方程组，易得该方程有惟一的全局吸引的正r 周期 解( ，蟊( ) ，磊( t ) ) 7 ，即画( 一r ) = 而( t ) 、磊( t + r ) = 磊( ) ，且当t 一。，c 对，对方程( 1 3 ) 任何解都有凸。( t ) 一面( o ) ( t ) 一五( t ) 利用上面给出的结论及比较定理，文1 1 越给出了种群持续生存和灭绝的脉冲周 期阈值而巷 7 多种群脉冲系统多种群脉冲动力系统目前的主要研究工作集中在两个方面， 其中之是v o l t e r r a 系统周期解的存在性、稳定性、持续性、分支理论等方面；之 二是研究多种群的脉冲稳定化，即常微分v o l t e r r a 系统甲- 衡点是不稳定的，当我们 对某一种群采取适当的脉冲控制时，使平衡点稳定研究周期解的主要方法足利用 比较定理、重合度理论、单调迭代方法、分支理论；研究稳定性则是利用般分析 的方法、l i y p u n o v 函数等下面介绍最近的研究进展 考虑周期脉冲v o l t e r r a 系统 i ( t ) = u ( o ) 口( t ) 一6 ( t ) u ( t ) 一c ( ) 口( t ) 】， u 7 ( t ) = ( t ) ( d ( t ) 一e ( t ) u ( t ) ，0 ) ( t ) 】，t n ， ( 1 4 ) 【“( 寸) = 5 l i u ( t d ，u ( 妒) = 5 2 v ( t d ， i = 1 ，2 ， 这里假设系统( 1 4 ) 是周期系统，即存在t 0 ，使口( ) ，6 ( o ) ，( t ) 是连续正周期函 数，存在正整数q 使得n + q = + z 嘶+ q = 6 k m ( ，江l ，2 ，) 易证聩= ( ( “，”) i u 0 ， 0 是( 1 4 ) 的正向不变集令 易知，当p l 1 ( 或p 2 1 ) 时，系统( 1 4 ) 有惟一半平凡周期解( i ，o ) ( 或( o ，i ) ) ，这里 面，d 分别是下列方程 “7 0 ) = u ( t ) 陋o ) 一6 ( t ) u ( t ) j ，t ，u ( t 产) = 5 1 1 u ( r i ) 和 口7 ( t ) = 口( t ) f d ( t ) 一，( t ) u 0 ) 1 ，t t ， ( ) = d a v ( r i ) ， 的周期解文 1 5 】利用脉冲微分方程比较原理和单调迭代方法证明了：若肛l 1 ，”2 l ，则系统( 1 4 ) 是永久持续生存，特别地，当g ( t ) ，6 ( t ) ，( t ) 是正常数时，系统( “) 的正周期解是惟一的；若p l l ，p 2 l ，1 2 1 a 1 0 ，i = 0 ，l ，2 ，姐和2 2 分别表示单位体积内正常细胞和癌细胞 的数量，a 1 a 2 表示两细胞的竞争系数，n ，孔分别表示经过药物化疗作用后两种 细胞各自存活下来的比例模型中的所有系数均为正常数 对于系统( 1 5 ) ，p a n e t t a 1 主要研究了其半平凡周期解的稳定性2 0 0 0 年， a b d e l k a d e rl a k m e c h e 和o v i d ea r i n o 考虑了更一般的两种群脉7 申系统； 。l = f l 忙1 z 2 ) ，t ， “，二f 2 冀i 。、扣“ ( 1 6 ) 茁l ( t - ) = e l ( z l ( 如) ，z o ( 缸) ) ， 。2 ( o - ) = 9 2 ( 。i ( “) ，j ( 以) ) # = 0 ，l ，2t， 其中0 1 ，e 2 是适当光滑的非负函数，f = ( f l ，f 2 ) 和e = ( e 。0 2 ) 至少二阶连续可 微，且f 2 ( 。l ，0 ) ；e 2 ( 。l ，o ) 2 - - - 0 ，当矗0 时，e 。( x ) 0 i = l ，2 ，且第一象限是相 应于( l 6 ) 的第一和第二个方程的正向不变集设西足相应于系统( 1 6 ) 的第一和第 二个方程的流，则有 x ( ) = 蛋( e ，x o ) ，0 ts r x 汀+ ) = e ( x ( r ) ) = 0 ( 垂( f x o ) ) ， 其中x o = x ( o ) 定义算子皿 母( f 戈) = ( 皿i ( rx ) 口2 ( r j r ) ) = e ( 西o - x ) j 当z ：= 0 时，设由( 1 6 ) 的第一和第三个方程组成的系统有一个稳定确周期解 并记如( o ) = x 0 ，则 0 ，k 0 是常数，0 曼b k r 方程( 1 7 ) 的初始条件为 j z ( t ) = 曲( t ) ， 一r t 0 ， 门r 1 【西( t ) p e ( 一r ，o l ， 0 ，。) ) ，庐( o ) o ， 显然，系统( 1 7 ) 仍有惟一的正平衡点z = k ，关于平衡点矿= k 全局吸引性， 文【2 5 l 通过对研究具有脉冲的一般时滞微分方程的全局吸引性研究，给出平衡点 r = k 全局吸引性的条件是： 。o ，r r ( 1 + 6 ) l ，这里b ；m a x ( b k ，k 4 关于更一般的具有脉冲的时滞l o g i s t i c 种群系统的全局吸引性可参阅文献 2 5 1 从方程( 1 7 ) 可知，当b k = 0 时，其脉冲消失，此时系统变为具有时滞的l o g i s t i c 方 程，当r r 冬时，平衡点z = k 全局吸引，丽根据上述结论可知需要r rs1 ，显 然这个条件是比较强的，故我们猜测，上述结论的条件还可以放宽到r r ( l 舶) 曼 事实上唐光华f 2 6 等人给出了一类具有脉冲和时滞的l o g i s t i c 方程的全局吸引性， 把类似的不等式放大到； 把系统( 1 7 ) 的第一个方程作变换z ( t ) = k ( 1 + g ( ) ) 则方程( 1 7 ) 的第一个方程 变为 把方程( 1 9 ) 进一步推广到一般的形式，并考虑某种特定的脉冲，则可得下面的 l o g i s t i c 型脉冲泛函微分方程 iy ( t ) + 1 + ( o ) 】，( t ，口( 9 ( t ) ) ) = 0 【( o ) = 【l + g ( t k ) 严1 ， 0 ，t 垴 f 2 0 ) t = “，k = 0 ，1 ，2 ， 其中，( o ，y ) 是 o ，) r 上连续函数，g ( ) 居f o ，。) 上一个非减的连续函数，且满 足9 ( o ) 1( 2 2 ) 方程( 2 0 ) 在上面的假设下解存在惟一文 2 6 i 给出了关于零解全局吸引的三个 结论： 结论l 如果条件( 2 1 ) 成立，且曼( 1 “k ) ：o 。， k = 1 怒叫，r ( s ) 。巽。b _ l 奴。c 则满足初始条件( 2 2 ) 的任一解均趋于零 结论2 假设条件( 2 1 ) 成立，且对任一满足骢( t ) o 的连续函数y 均有 j ：”，( s ，( 9 ( s ) ) ) d s = o 。，z 0 。，( s ，一g ( g ( s ) ) ) d s = 一。，j 0j 如果妻( 1 一k ) 。c 、且 0 ，。) 一r ， ( 2 3 ) 恕唧詹( s ) 如曼0 如； ( 2 4 ， 则( 2 0 ) 和( 2 2 ) 的任一解均趋于零 洼：若结论2 的条件( 2 4 ) 用0 骢s u p f ：( t ) r ( s ) 如兰3 代替，则结论2 仍成立t 这 说明脉冲不影响方程( 2 0 ) 的全局吸引性 1 2 结论3 假设条件( 2 1 ) 和( 2 3 ) 成立，且 恕s 即厶。旦。斛 则( 2 0 ) 和( 2 2 ) 明仕一解均聪于罨 下面看一个具体的例子 考虑l o g i s t i c 脉冲时滞微分方程 7 ( 。) + ” 1 + 可( 。) h ( 亡一3 ) = o ，。2 o t 。七， ( 2 5 ) 【g ( 自+ ) = ( 1 + ( ) j 一1 ， k = 0 ，l ，2 ， 。 容易验证，当n t n + l 时， j ( ：。) ( s ) 。：i ； 。 、。b k d s = r i t ，；i “i 。b k d s = i 7 r 【1 十( 。一n ) 】， 因此，当0 r 时，由结论3 知，方程( 2 5 ) 的零解全局吸引，但当* 0 ，使得 叭础) ) h m ) ( 群一一i r 2 n 2 3 成立，其中 a 2 0 ( 0 a l l a 3 2 + a t 2 a 3 a )0 1 2 3 0 肛20 1 0 一1 五；i 再五_ 二? ：r 一面 当p 0 且。1 ，z 3 充分小时，可以控制口1 ，岛，风使矿( p l z i ，愚2 ：2 ，侥。3 ) 2y ( z l ，鲍，x 3 ) ， 从而使系统( 2 6 ) 和( 2 7 ) 永久持续生存 另外，x i n z h il i n t “1 利用l y a p u n o v 泛函给出了一类时滞脉7 申v o l t e r r a 系统的有 羿性的充分条件， v a n k am s t a i i l o v a 【3 3 】通过构构造l y a p u n o v 函数和r a z u m i k h i n 方 法给出了脉冲时滞l o g i s t i c 种群系统稳定性的充分条件 二、细胞自动机在传染病中的应用研究概况 细胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t a ) ，也称为元胞自动机、点格自动机、分子自动 机或单元自动机，是定义在一个由具有离散，有限状态的细胞组成的细胞空间上， 并按照一定局部规则，在离散的时间维上演化的动力学系统【4 l 】细胞自动机模型 足上世纪5 0 年代冯诺依曼为模拟生物学中的自我复制而提出的，上世纪7 0 年代 j h l c o n w a y 通过一个生命的游戏演示了细胞自动机能产生有序和无序、稳定和不稳 定等无法预测的演化行为进入上世纪8 0 年代，细胞自动机的研究有新的发展， w o l f r a m 提出四种分类t 平稳型、周期型、混沌型和复杂型，其中的复杂型成为现 代复杂科学的开始后来l a n g t o n 发明了自我繁衍细胞自动机，利用简洁的模型复 制出复杂系统中的分支、吸引子和自相似性等现象证明了复杂诞生于混沌边缘， 并开创了人工生命 圳一 胛训 婶+ r q | s i r 虬 驰 u 0 o 十 十 一 蛐哪 咄 研 现 地 = i j ，q，吃，地 ，、j【 1 4 细胞自动机自产生以来，已经被广泛地应用到生物学、生态学、信息科学、数 学、物理学、地学、材料学、医学等领域细胞自动机在研究系统动力系学、不平 衡或空间不同质的系统中强有力的工具利用细胞自动机技术对传染病的传播规律 及控制研究也是对传染病理论研究的重要方法但在这方面的研究才刚刚起步，在 国内仅见到是刘永信等人的工作 4 2 】，他们利用二维细胞自动机随机模型研究一类 s i r s 传染病，细胞的邻居是八邻居在国外利用细胞自动机研究传染病的主要的 工作是g c h s i r a k o u l i s 4 3 】和e a h m e d 4 4 ，4 5 1 及m a r i ad u r y e a i l 】等人s i r a k o u l i s 建立的模型是二维的s i r 细胞自动机传染病模型，并考虑了种群的运动和预防接 种，e ，a h m e d 建立的模型是一维的s i r 和s i s 缅胞自动机传染病模型，在文i 4 5 中考虑了人口的循环运动一维的细胞自动机传染府模型总之，目前讨论的细胞自 动机传染病模型是初步的，主要考虑同质个体的传染病传播过程进行研究，而由于 传染病的传播是一个变化的动态过程，它可受到病因、环境及人群特征等自然因素 和社会因数的影响而变化，在传播过程中，由于不同质个体健康状况或接触因素的 几率不同，对疾病的发病率、死亡率也不同；同时，我们研究个体的传染性等相关性 质也会遇到突发事件的影响，如传染病患者的隔离，易感人群的昧冲预防接种等 另外，还涉及到染病者的迁移等，这些都将导致系统规则的变化 三、我们的主要研究工作 该研究报告主要有两部分内容，第一部分是在脉冲作用下的种群系统的持续性 和周期解，包括脉冲作用下二维非自治v o l t e r r a 竞争系统的持续性，在脉冲环境污染 下的二维、，b l t e r r a 竞争系统的弱平均持续生存，具有时滞的单种群系统的持续性， n 种群v o l z e r r a 竞争系统的全局周期解的存在性；第二部分是利用细胞自动机对传 染病模型研究，包括染病者和潜伏者都传染的s e i s 、s e i r s 细胞自动机传染病模 型具体研究内容如下： l 、在脉冲作用下二维非自治v o k e r r a 竞争系统种群的持续性和绝灭屉目前国 内外尚未研究的问题，我们利用脉冲微分不等式给出了种群的持续生存和绝灭不等 式判据，该不等式既包含了内蔡增长率的积分均值，也包含了响应的脉冲量，是不 含脉 申的非自治v o l t e r r a 竞争系统钟群的持续性的推广，把竞争绝灭原理推广在具 有脉冲的非自治v o t t e r r a 竞争系统中 2 、利用重合度理论中的连续性定理研究了在脉7 巾作用下的种群模型的全局周 期解的存在性首先，考虑丁出生具有脉冲的n 种群v o l t e r r a 竞争系统的全局周期 解的存在性，并与没有脉冲的种群系统做了比较 3 、利用拉兹密辛( r a z u m i k h i n ) 方法研究了在脉冲作用下具有时滞的k o t o m o g o r o i 1 5 型种群时滞模型解的有界性和持续性在此基础上，进一步给出了在脉冲作用下具 有时滞的l o g i s t i c 方程解的持续性的条件 4 、针对大容量脉冲环境污染下种群的持续生存问题，我们重点研究两种群 v o l t e r r a 捕食被捕食系统在脉冲环境污染下各个种群弱平均持续生存的阈值条 件，该阈值条件与环境污染的脉冲周期有关 5 、建立了染病者和潜伏者都传染的s e i s 空问分布细胞自动机传染病模型， 并利用平均域分析方法和二项式分布，把该模型进一步转化为二维离散的动力学模 型，利用l y a p u n o v 函数和l a s a l l e 不变集原理研究了平衡点的稳定性，给出了基本 再生数，并进行了计算机仿真。通过研究和比较我们发现：利用细胞自动机建立的 传染病模型比利用常微分方程建立的传染病模型更加符合实际，更加注重空间个体 的差异；当细胞自动机传染病模型邻域半径趋于无限大且不区分个体的差异时，与 常微分方程传染病模型的定性性态完全一致 6 、把染病者和潜伏者分为不同状态，建立了染病者和潜伏者都传染的s e i r s 细胞自动机传染病模型，并进行了数值模拟；研究结论标明，对染病者和潜伏者进 行隔离到一定强度时疾病会绝灭，否则疾病会持续数值模拟也显示在染病者的恢 复率在一定参数下会出现混沌现象 r e f e r e n c e s ( 1 】vl a k s h m i k a n t h a r a ，d d b a i n o va n dp s s i m e o n o v ，t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n - t i a le q u a t i o n s ，b r 】ds c i e n t i f i c 1 9 8 9 2 1d r u m ib a i n o va n dp a v e ls u n e o n o v ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：p e r i o d i cs o l u - t i o n sa n da p p l i c a t i o n s ，l o n g m a ns c i e n t i f i ca n dt e c h n i c a l ，1 9 9 3 3 】d d b a i n o va n dp ，ss i m e o n o v ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ：a s y m p t o t i cp r o p - e r t i e s o ft h es o l u t i o n s w j r l ds c i e n t i f i c 1 9 9 5 【4 】a r k a d i ik h g e l i g ，a l e x a n d e rn c h u r i l o v ，s t a b i l i t ya n do s c i l a t i o n so fn o n l i n e a r p u l s e - m o d u l a t e ds y s t e m s ，b i r k h a u s e r ，1 9 9 8 【5 】s o a l ea n db 0o y e i a m i i m p u l s i v es y s t e m sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，i n t jm a t h e d u c s c it e c h n o t ，3 1 ( 4 ) ：5 3 9 - 5 4 4 ，2 0 0 0 6 】陈兰荪，脉冲微分方程与生命科学，甲顶山师专学报，v 0 1 1 7n o2 t - 8 2 0 0 2 7 1x i n n i n gl i u ，l a n s u nc h e n ，g l o b a ld y n a m i c so ft h ep e r i o d i cl o g i s t i cs y s t e mw i t h p e r o d i ci m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s ，m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，v 0 1 2 8 9 ： 2 7 9 - 2 9 1 ，2 0 0 4 c s jx i a o y i n gz h a n g ，z h i s h e n gs h u n k ew a n g ，o p t i m a li m p u l s i v eh a r v e 或i n gp o l i c ， f o r s i n g l ep o p u l a t i o n n o n l i n e a ra n a l y s i s ，v 0 1 4 ：6 3 9 - 6 5 1 ，2 0 0 3 1 6 9 x i n z h il i u s t a b i l i t yr e s u l t sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ha p p l i c a t i o n st o p o p u l a t i o ng r o w t hm o d e l s ，d y n a m i c sa n ds t a b i l i t yo fs y s t e m s ，v o i 9 ：1 6 3 - 1 7 4 ， 1 9 9 4 1 0 】h u ij i n g c h e nl a n s u n ，as i n g l es p e c i e sm o d e lw i t hi m p u l s i v ed i f f u s i o n ，t oa p p e a r 【1 1 】s a n y it a n g ，l a n s u nc h e n ，t h ee f f e c to fs e a s o n a lh a r v e s t i n go ns t a 9 6 s t r u c t u r e d p o p u l a t i o nm o d e l s ，m a t h e m a t i c a lb i o l o g y , p u b l i s h e do n l i n e ，2 0 0 3 1 2 ls a n y it a n g ，l a n s u nc h e n ，m u l t i p l ea t t r a c t o r si ns t a g e - s t r u e t u z e dp o p u l a t i o nr o o d - e l sw i t hb i t hp u l s e s ，b u l l e t i no fm a t h e m a t i c a lb i o l o g y , v 0 1 6 5 ：4 7 9 - 4 9 5 ，2 0 0 3 1 锄马知恩，种群生态学的数学建模与研究，安徽教育出版社，1 9 9 6 14 】b i n gl i u ，l a n s u nc h e n ，y u j u a nz h a n g ，t h ee f f e c t so fi m p u l s i v et o x i c a n ti n p u to na p o p u l a t i o ni nap o l l u t e de n v i r o n m e n t t oa p p e a r 1 5 】j i a w e id o u l a n s u nc h e n ，k a i t a ll i ，am o n o t o n e - i t e r a t i v em e t h o df o rf i n d i n gp e r i o d i es o l u t i o n so fa ni m p u l s i v ec o m p e t i t i o ns y s t e mo nt u m o r - n o r i 蹦c e l li n t e r a c t i o n ， t oa p p e a r 1 6 1s a n y it a n g ，l a n s u nc h e n ，t h ep e r o d i cp r e d a t o r p r e yl o t k a v o l t e r r am o d e lw i t h i m p u l s i v ee f f e c t j o u r n mo fm a e h a n i c si nm e d i c i n ea n db i o l o g y , v 0 1 2 ：2 6 2 9 6 ， 2 0 0 2 1 了】jc p a n e t t a ，am a t h e m a t i c a lm o d e lo fp e r i o d i c a l l yp u l s e dc h m o t h e r a y ：t u m o r r e c u r r e n c ea n dm e t a s t a s i si nac o m p e t i t i o ne n v i r o n m e n t b u l l e t i no fm a t h e m a t i c a l b i o l o g y v 0 1 5 8 ：4 2 5 - 4 4 7 ，1 9 9 6 1 8 l a b d e l k a d e rl a k m e c h e ，o v i d ea r i n o ，b i f u c a t i o no fn o nt r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n so f i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gc h e m o t h e r a p e u t i ct r e a t m e n t ，d y n a m i c so f c o n t i n u o u s d i s c r e t ea n di m p u s i v es y s t e m s v 0 1 7 ：2 6 5 2 8 7 ，2 0 0 0 1 9 】z h o n g h u al u x u e b i nc h i ，l a n s u nc h e n ，i m p u l s i v ec o n t r o ls t r a t e g i e si nb i o l o g i c a l c o n t r o lo fp e s t i c i d e t h e o r e t i c a lp o p u l a t i o nb i o l o g y , v 0 1 6 4 ：3 9 _ 4 7 2 0 0 3 2 0 1x i n n i n gl i n l a n s u nc h e n ，c o m p l e xd y n a r n i c so fh o l l i n gt y p ei il o t k a - v o l t e r r a p r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hi m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n so i lt h ep r e d a t o r c h a 。ss o l i t o n s a n df r a c t a l s v 0 1 1 6 ：3 1 1 - 3 2 0 ，2 0 0 3 2 1 杨志春，含脉冲的捕食与被捕食系统的持续生存和周期解， v 0 1 2 6 ：2 4 7 - 2 4 9 2 0 0 3 2 2 1 | 马长春，葛渭高，带有脉冲的捕食与被捕食系统的周期解， v o l2 1 ：5 3 7 5 4 0 2 0 0 1 2 3 iz h e nj i n m az h i e n h a nm a o a n t h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o i n t i o n so ft h en s p e c i e s l o t k a - v o l t e r r ac o m p e t i t i o ns y s t e m sw i t hi m p u l s i v e c h a o s s o l i t o n sa n df r a c t a l s2 2 ： 1 8 1 1 8 8 ，2 0