（应用数学专业论文）rn上某些半线性椭圆方程与方程组的多解.pdf

福建师范大学陈瑜硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gs o m ea p p r o a c hi nv a r i a t i o n 甜m e t h o d ss u c ha si d _ i n i m a x p r i n c i p l e ，n e h a r im a n i f o l da n dc o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ，w es t u d ym u l - t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st ot w os e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sa n do n es y s t e mo fs e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n si nr f i r s t ，w ec o n s i d e rt h em u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o ras e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ： i - & u y ( z ) u = ( x ，u ) ， t 乱日t ( r ) ( p 1 ) w h e r ey ( x ) m a y b ec h a n g es i g n ，b yu s i n gs y m m e t r i cm o u n t a i np a s st h e o r e m ，w e o b t a i ni n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sf o re q u a t i o n ( p 1 ) s e c o n d ，w ec o n s i d e rt h em u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o ran o n h o m o g e n e o u ss e m i - l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ： l n 对 r ， b yu s i n gm o u n t a i np a s st h e o r e ma n dc o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ，w eo b t a i n a tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n sf o re q u a t i o n ( 马) f i n a l l y , w ed i s c u s sas e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m ： i n健 i nr ( 玖，p ) b yu s i n gd e c o m p o s i t i o no fn e h a r im a n i f o l da n dc o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ， w eo b t a i na tl e a s tt w on o n t r i v i a ln o n n e g a t i v es o l u t i o n sf o rs y s t e m ( 取，p ) t h et h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w er e v i e ws o m eb a c k g r o u n da n dr e s u l t so na b o v em e n t i o n e d e l l i p t i ce q u a t i o n sa n ds f i t e m i nc h a p t e rt w o ，w er e c a l ls o m eb a s i ck n o w l e d g eo fs o b o l e vs p a c e s ，s o m eb a s i c l e m m a sa n dg i v es o m en o t a t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fi n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sf o ra s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n i i 动协 m 卜 ) o一 让 ，j ，= 、u 假 时伊 一 珏 ，-、【 p 弛 一 2 口p 叫旦_从 口一+ 一口 亡1 叶卫邯 + u 1 - _ 以瞅 峨嘞掣 口l i r m m 日p 力悱荆眶 一剐峨一归畔 u 卜只 i m 印 一 一 u 、 ，1 - 彬 1 趾 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 i nc h a p t e rf o u r ，w ed i s c u s sm u l t i p l es o l u t i o n sf o ran o n h o m o g e n e o u ss e m i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o nw i t h o u ta rc o n d i t i o n i nc h a p t e rf i v e ，w eo b t a i nm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sf o ras e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m b yu s i n gt h et e c h n i q u eo fn e h a r im a n i f o l d k e y w o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n ；s e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m ；m o u n t a i n p a s st h e o r e m ；s y m m e t r i cm o u n t a i np a s st h e o r e m ；n e h a r im a n i f o l d ；c o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ；p sa p p r o a c h ；m u l t i p l es o l u t i o n s ；p o s i t i v es o l u t i o n s ；n o n t r i v - i a ls o l u t i o n s i i i 籼 j ， 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 中文文摘 近几十年来，对半线性椭圆方程与方程组的研究受到越来越多的重视，这主要 来自两个方面的原因：一方面，这些方程与方程组所涉及的大量问题来源于物理学、 化学以及生物学中的众多数学模型，因而有着强烈的实际应用背景；另一方面，对 这些问题的研究，也对数学本身提出了许多挑战性的问题，从而引起数学家、物理 学家和生物学家等的兴趣 对于半线性椭圆方程与方程组，主要是研究其在s o b o l e v 空间中的正解，变号 解以及多解的存在性其研究方法主要是非线性分析中的度理论和变分理论，而且 变分理论被越来越多的实例证实是一种最为有力的工具之一我们所考虑的半线性 椭圆方程与方程组的一个重要特征是它具有变分结构，即方程的解可视为s o b o l e v 空间上对应泛函i ( u ) 的临界点 为了寻找对应泛函x ( i t ) 在s o b o l e v 空间中的非零临界点，一种典型的方法是 按照p a l a i s 和s m a l e 的想法进行如下过程： ( 1 ) 利用，( 钆) 的几何结构导出( p s ) 序列； ( 2 ) 证明( p s ) 序列具有强收敛的子列。 对于区域有界，非线性顼满足临界增长或区域无界，非线性项满足次临界增长的半 线性椭圆方程或方程组，其对应泛函一般不满足( p s ) 条件但在数学和物理的许 多领域中往往又要求考虑无界区域或非线性项的增长是临界的情形由于紧性的缺 失，我们在处理上述两类问题时，通常的变分技巧如极小化方法、极小极大方法、 l j u s t e r n i k - s c h n i r e l m a n 理论、m o r s e 理论无法直接应用我们知道在研究方程的 多解问题时，常常用到对称山路引理、喷泉定理以及指标理论等而( p s ) 条件是 应用上述定理所必需的条件我们通过考虑集中紧性原理或p s 方法，则可以获得 紧性条件进而解决这两类失紧问题。 本文共分为五章： b 在第一章前言中主要介绍论文的研究背景 ，l 在第二章预备知识中介绍s o b o l e v 空间的一些知识并引入一些记号说明 在第三章中，我们考虑y ( x ) 可能变号的半线性椭圆方程，对非线性项( x ，i t ) 进行适当假设后，利用获得的( 尸s ) 条件结合对称山路引理我们得到如下主要结论： 定理3 1 1 若( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，则方程( p 1 ) 在x 上有无穷多个解 ， t 。 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 在第四章中，我们利用集中紧性原理和山路引理对一类非齐次半线性椭圆方程 进行研究，讨论在没有a r 条件下该方程的多解问题获得主要结论如下： 定理4 1 1 若在( ) 一( ) 假设下，存在m 0 满足如果h 0 ，h 0 并且 l i h l l 日一- ( r ) m ，那么方程( b ) 至少有两个正解 在第五章中，我们利用n e h a x i 流形的分解结合集中紧性原理对一类半线性椭 圆方程组进行研究，并获得如下结论： 定理5 1 1 假设权函数f ，g ，h 满足条件( a ) 和( b ) ，设 a 。= ( 皆群) 南( 鬻) 南蒋， 那么对于( a ，p ) 满足0 ( 1 a l l l f l l l p ) 南+ ( i i i i g l l 二p ) 南 ( g ) 南人0 ，问题( b ，p ) 至少有两个非平凡非负解 v 呻 仁 i 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 记号与约定 n ：自然数集 r ：实数域上的维欧氏空间 ( ，) ：内积 v ：任给 o ：直和 j ：存在 仍：空集 ：无穷 v ，：厂的梯度 ：l a p l a c e 算子 1 i ms u p ，l i r ai n f ：上极限，下极限 s u p ( a ) ，i n f ( a ) ：a 的上确界和下确界 s u p p ( f ) ：函数j p 的支集 b n ( o ) ；以零点为圆心，以r 为半径的球 o b r ( o ) ：球b n ( o ) 的边界 q ：r 中的一个连通开集， c 血c a ) = ；伊u 在q 内连续，v i a i 忌) 锘( q ) = 钆c 凫( q ) ；u 在a 中有紧支集) 汐( q ) = 让；厶l u l p d x ，其中1 p o ( 岛) 对于非齐次半线性椭圆方程多解的最早研究，可提及朱熹平的文章【5 4 】他在f ( x ，钆) = u p ( 1 0 对于z q 1 成立 ( a 2 ) f c ( e r ) 且存在常数g 0 和2 o 对于所有0 0 和所有z 酞成立 ( b ) h c ( r ) 且存在正数r h 1 满足1 h ( x ) 1 一c o e x p ( - - r h l x l ) 对于某个 c o 0 ，z = ( x l ，x 2 ，x n ) ， 彘= z 虱；一d 0 满足如果i l u i | = p 和u e + ，那么妒( u ) e ； ( i i ) 对于任何有限维子空间wce ，存在r = r ( w ) 对于乱彬l l l l r 满足 妒( u ) 0 那么妒拥有一列无界的临界值序列 5 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 l 司题( b ) 的极限方程为 缸-au+。(u蚪=i，(钆u),h 0 ( 2 1 1 ) i 缸 1 ( 腿) ，钆 p “7 定义 ，。( u ) = 互1 丘( i v u l 2 + u 2 ) 一丘- f ( , o ， 其中一f ( u ) = 片7 ( s ) 如； s = i n f ，0 0 ( u ) ；u h 1 ( 廷) ，让0 ，( ( ，0 。) 7 ( 乱) ，乱) = o 众所周知( 参看 2 1 和 2 8 ) ，极限方程( 2 1 1 ) 存在一个基态解t o o 满足s = j o o ( u o ) 而且有s u p ，( t w o ) = s 。0 成立 引理2 0 2 ( 8 ，引理3 1 】) 设_ ) ch 1 ( r n ) 是泛函j ( u ) 的一个( p s ) 。序列那 么存在一个子列仍记为 ) 满足：存在( 尼) 的一个解白0 ) ，一个整数m 0 ，对 于i = 1 ，m ，点列 z 乏) cr 以及极限方程( 2 1 1 ) 的解仇( z ) 满足： 让nj 白在h 1 ( r ) 中成立， x ( u 犯) _ c = j ( 白) - t - 銎1p ( 忱) ， u 几一( 白+ 罂1 忱( 一z 乏) ) 一0 在日1 ( r ) 中成立， i z 乏f _ ( 3 0 ，i z 毳一霸i _ o o 对于1 i 歹m 成立， 如果发生m = 0 的情况，上述不出现忱和1 z 毳】， 引理2 0 3 ( 5 8 ，定理3 4 】) 设qcr n 是有界区域，则嵌入映射 i ：孵p ( q ) 一口( q )当坳 1 ，q 1 ，且；1 + 百1 = 1 若 厂口( q ) ，夕l q ( q ) ，且 上i 厂( z ) 夕( z ) l 如( 上i ，( 刮p 如) ；( 上| 夕( z ) | q 如) 。 6 第3 章一类半线性椭圆方程的无穷多解 第3 章一类半线性椭圆方程的无穷多解 3 1 引言 这一章主要考虑下面的问题： i - a u y ( z ) 让= ，( z ，u ) ， 、 【u h 1 ( r ) ， ( 只) 其中v ( x ) 可能改变符号y ( z ) ，厂( z ，u ) 满足如下条件； ( a 1 ) v 十( z ) l - 等( r ) ，m e a s x l r ；v ；v + ( z ) o ) 0 v 二( z ) l o o ( 跫) ， q 2 是带型域， 。1 i mv 一( z ) = a 0 对于z q 1 成立 1 z i + 。 ( a 2 ) ，g ( 珏x 碾) 且存在常数q 0 和2 竹，1 1 2 和1 2 是整 数) ，其中y ( z ) 在酞可能变号且厂( z ，u ) 满足一些增长性条件。现在，我们证明方 程( p 1 ) 在类似假设下，存在无穷多解考虑问题( p 1 ) 的一个困难是区域无界导致 7 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 问题失去紧性；另一个困难是v ( x ) 可能变号导致难以验证( 尸s ) 条件与对称山路 引理 方程( p 1 ) 的关联泛函为： j ( 让) ：= 互1 丘1 w 1 2 + v 一 ) u 2 d x 一丘v + ) u 2 d x 一丘f ( x ，u ) d x ，任意u x ， 其中f ( x ，“) = 片f ( x ，t ) d t ，x 为d ( 掣) 在引入的内积所诱导的范数忆1 1 1 下的闭 包 我们通过运用对称山路引理得到如下结论； 定理3 1 1 若( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，则方程( p 1 ) 在x 上有无穷多个解 3 2 ( p s ) 条件 引理3 2 1 ( 5 2 ，引理2 1 】) 假设( a 1 ) 成立，那么内积 ( u ，们1 ：- - 二( v u v v + v 一( x ) u v ) d x 是适定的；因此对应范数0 ：= ( u ，u ) t 是适定的；它等价于范数 j = ( 丘( i v u l 2 + u 2 u z ，互1 引理3 2 2 ( 【4 】) 假设v + ( z ) l 譬( 酞) 成立，那么对于特征值问题 - a u + v 一( z ) “= 肛y + ( z ) 乱，“e 存在一列特征值_ o 。，并且对应的特征函数列是e 的一个规范正交基 引理3 2 3 假设( a t ) ，( a 2 ) 和( a 3 ) 成立，对于每一个c r ，任何( p s ) c 序列是 有界的 证明：根据引理3 2 2 ，存在k n 满足特征值p 1 0 ，由( a 2 ) 和( a 3 ) 存在q 0 满足i f ( x ，u ) i qj uj a e l u l 2 选择 2 0 ；对于 r 1 ，我们有 j 6 训r ，( z ，钆n ) ( u n u ) d x 由于p ，l t n r u 对于所有的n 成立而且由( ) ，存在r 0 满足 缸啪，他 叫蚓训2 卜训2 s u p i r 一掣i 三( 3 2 7 ) ，( 1 t 上n l r n 陋i r ) l t z。l v 对于所有礼成立最后，由于在l s ( 如( o ) ) 中对于s 2 ，2 + ) 有_ u ( 见引理 2 0 3 ) ，我们再次利用( a 2 ) 导出 疋心，、m ，u 以刈) 如丢 ( 3 2 8 ) ，( i t n i f n l 重l 0 满足对于所有的z r 和t r 有， i f ( x ，亡) l c 5 ( i t l p + i t l 口) 由索伯列夫嵌入定理和( 3 2 2 ) 式，我们得到如下估计 z ( u ) 互1 丘( i w l 2 + v - ( z ) u 2 ) d x 一互1 丘v + ( z ) 让2 如一侥丘( 川p 十l u l 。) d x ；l i 乱 l i g i l u i 旧一g | l u i i ； 对于让x 2 成立设i 1 1 = 巳和u x 2 ， 讹) 妻q 2 _ g 矿一岛矿 o 对于旦适当小这样条件( i ) 对于e = 扩一g 矿一岛矿成立 从式( a 2 ) ，我们知道jp g 和d 0 满足对于每一个z r 和t 0 ，有 l i 川m 。i n 。f 带d 由式( a 3 ) ，存在常数锯满足对于每一个z r 和t r ，l f ( x ，亡) i g ， 其中a 1 = r a i n 口，p ) 事实上，给定e 0 ，对式( a 3 ) 进行积分，我们得到l t l e 和z r ， 尬一掣 i 通过令e o 和使用不等式l i i t l m 。i n 。f 萨d ，结论成立设是x 的一个有限 1 l 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 维子空间由于中所有范数等价且有 讹) 沙1 肛：1 上v + u 2 如一删u 憾 也由于口 2 ，条件( i i ) 满足这样就完成了定理的证明 1 2 - 第4 章一类非齐次半线性椭圆方程的多解 第4 章一类非齐次半线性椭圆方程的多解 4 1 引言 这一章主要研究非齐次半线性椭圆方程： 钆- a u 日+ 。( u r = ) f ，( u x , u ) 。+ 九z l ( 岛) 【钆日1 ( r ) ，u o rz 7 其中厂( z ，u ) 满足如下条件： ( ，1 ) f ( x ，u ) c 1 ( r r ，r + ) 且对于所有z r 和 i t 0 有f ( x ，u ) = 0 ( 如) 存在p ( 1 ，2 。一1 ) 满足u 毪磐= 0 ，对于z 则一致成立，其中2 堆= 鹊 当n 3 和2 4 = o o 当n = 1 ，2 ( ) l i 骢警= 0 ，对于z r 一致成立 ( ) l i 平雩半= + o o ，对于z 一致成立 ( f 5 ) 号掣对于z r 在u 0 上是一致严格增加的，在下面的意义下： u h i r n 。】f 艇r 岳( 掣) o 对于所有0 r l r 2 成立 ( ) j i m f ( x ，u ) = 7 ( “) 在【0 ，) 的任何紧子集上一致成立，对于所有z 酞， 钆0 有f ( x ，u ) ， ) 据我们所知，问题( p 2 ) 当f ( x ，u ) = 妒( 1 于对 叻 f， u9 0 满足 i ( u ) l l l u l i ：p 0 a 0 对于1 1 日一，( r ) m 成立 证明：对于任何u h 1 ( 酞) ，由( ) 一( ) 我们有f ( x ，让) ；2 + c u p + 1 ，v u 0 其中e 0 ，c 表示与e 和p 有关的常数 根据索伯列夫嵌入定理，我们得到 ( 钆) = 引“i 2 一丘f ( z ，u ) d x 一矗h ( x ) u d x i l u i l 2 一c ，e i l 让1 1 2 一c 2 l l 让i l p + 1 一i | 危1 1 日一，假) l | 钆i l ( 4 2 1 ) = ( 一c e ) l l u i l c 2 l i 让l | p i i h l l 一，( r ) 川训i 彤。t 知趣吁 1 4 取适当小并且令9 ( ) = ( ；一c l e ) t 一饧亡p 当t 0 满足错9 ( 亡) = g ( p o ) 令m = 掣，那么由( 4 2 1 ) 式， j ( u ) i i ：加q 0 对于i i h l l 一，( r ) m 成立 时，我们看到存在砌 0 存在m = 掣 0 满足 i 引理4 2 2 假设) 一( ) 成立，那么我们能找到一个t ，日1 ( r ) ，t ，0 ，1 1 影1 1 伽 满足i ( v ) 0 ，我们令 口( z ) = p ( ) 】一1 un 。e 一口k 1 2 直接地计算表明 1 w , ，1 2 = 1 和i 乳口窿= a d ( n ) 0 充分大满足i ( t l w 口) 0 ，然后取u = t l u a ，我们有j ( 口) p o ，( 牡) i ( v ) 0 满足： 例i ( u o + t w o ) 0 所以我们得到 i ( u o + t w o ) i ( u o ) + ，o o ( ) 由( 厶) ，我们得到当亡一+ o o 时，i o o ( t w o ) 一一0 0 ，所以( i ) 成立 ( i i ) 由( z ) ，我们有 1 6 第4 章类非齐次半线性椭圆方程的多解 s u p i ( u o + t w o ) = s u pi ( u o + t w o ) t 0t _ t o 根据j ( 铷+ t w o ) 关于t20 连续，我们能找到某个t 2 ( 0 ，t o ) 满足 s u p ，( 咖+ t w o ) i ( u o ) + s 。 o t t 2 综上，我们只须表明 s u pi ( u o + t w o ) i ( u o ) 十铲 坛s t s t o 由( i ) 式，我们完成了证明 - 4 3 多重正解的存在性 对于由引理4 2 1 给出的p o ，我们记= “h 1 ( r ) ；f f u | f 0 ，我们有 ，( 亡妒) = 譬i i 垆1 1 2 一丘f ( x ，亡妒) 如一亡丘h ( x ) 妒d x 鲁l | 妒1 1 2 一亡j h ( x ) 妒d x 这样对于亡 0 适当小，我们有j ( 亡妒) i ( u o ) = i n f ，( u ) ；u 日1 ( 则) ，j 7 ( u ) = o ) 如果不是这样，i ( u ) 就有一个临界点不同于u o 这样方程( 忍) 至少有两个正解 如果是，由引理2 0 2 我们知道对于c ( 一，i ( u o ) + s ) ，( p s ) c 条件成立 从引理4 2 3 的证明，我们有，( u o + t w o ) 一一。当亡_ ，c o 时我们能够找到一个 常数亡3 0 满足u o + 亡3 o v o 然后我们定义一条道路伽( 亡) 为饷( 亡) = 乱o + t t s w o 显然加r 所以我们应用引理4 2 3 得到 署躏，( 饷( 亡) ) 1 满足2 o t + p 2 + ( 2 4 = 鹊当n 3 时， 2 = 。当n = 2 时) ，1 0 和所有留r 成立 ( b ) h c ( r ) 且存在正数r h 1 满足1 h ( x ) 1 一c oe x p ( - r h l x l ) 对于某个 c o 1 和所有z 酞成立 近年来，很多人研究与问题( 毋，p ) 相关的方程与方程组如，令q = p = ；， 缸= 钞，入= 肛和，= g ，那么在有界区域上问题( 歌，p ) 约化为带凹凸非线性项的半 线性数量场方程： 竺v ) i 印气枷 ) | 训p 2 乱 x q ， ， z a q 【占a ) 对于2 入。方程不存在正解吴 4 7 】证明了方程( 毋) 在权函数厂在 豆可能变号，厅三1 以及a 充分小的假设下至少拥有两个正解近来，在【5 0 中 吴宗芳在有界区域考虑了( 职) 并且通过在n e h a r i 流形中抽出( p s ) 序列得到了与 参数入有关的多解结论对于区域为酞的情形，吴 5 1 】得到了类似于( b ) 含变 号权的凹凸椭圆问题的多重结果进一步，对于r 上含变号权的问题( b ) 我们 仅仅知道这个结果 1 9 取 让 一 z 卢 叫旦一 m 立+ 一口本l 十 百 u 1 - d 以 舭 ，机 h卜“q丁m h摊喇距 忙州峨嚣瞅 u 二、日 i 叭叫 一 一 u 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 关于含凹凸非线性项的半线性椭圆方程组，k j b r o w n 和t f w u 在 1 1 】 中考虑了如下有界区域上的非线性边值问题： z q 。 z q z 0 q 他们表明在参数对( a ，肛) 属于r 2 的某些子集时，方程组至少有两个非平凡非负 解对于狄利克雷边值问题，吴 4 9 】在有界区域上考虑了问题( 取，p ) 并且也得到 ( a ，肛) 属于腿2 的某些子集时，方程组有多重结果对于更多类似的问题，我们提及 吴 4 8 】，a h a r n m o u 3 】，a d r i o u c h - e lh a m i d if 2 】，a l v e s - d em o r n i sf i l h o - s o u t o 5 】以 及f e n g - y u nl u 3 7 然而，在珏上这种问题却很少被研究进一步，我们不知道在r 上关于含 变号权的凹凸椭圆方程组的任何结果受到文章【4 9 5 1 】的启发，我们在这一章将 研究这一主题这一部分获得的主要结论为： 定理5 1 1 假设权函数f ，g 和h 满足条件( a ) 和( b ) 令 a 。= ( 皆群) 南( 篇) 南晾， 那么对于( 入，肛) 满足0 是n e h a r i 流形并且 ( 五，弘( 让，u ) ，( u ，口) ) = 惭，u ) 惰一( 丘a f l u l 口如+ n 肛9 d x ) 一缸h l u l 口i v l 卢d x 定义 纸p ( “，铆) = ( 天，肛( 钆，口) ，( u ，v ) ， 2 0 h 力砷恤 绯景影觚陬羞口娜 佃坝竺肛 笫5 苹一类半线性椭圆方程组的多解 = | 目日2 = = = = = = = = = = = ；= = = = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = ； = ： 那么 ( 以，p ( 牡，秒) ，( 让， ) ) = 2 l l ( u ，抄) 幢一g ( 厶a ，g d x + 丘卢g l v l q d x ) 一( q + p ) 丘h i l l 口i v l # d x 类似于g t a r a n t e l l o ( 4 2 】中使用的方法，我们分解m 、，p 为如下三个部分： = ( ( u ，u ) 职p ；( 奴p ( 札，钉) ，( 珏， ) ) 0 1 ； n o = ( 让，u ) m ，p ；( 氏弘( u ，u ) ，( 钍，u ) ) = o ； 友0 = ( ( 钆，钉) 慨，p ；( 妒j ，p ( u ，u ) ，( u ，钉) ) o ) 进一步，我们有下面的结果： 引理5 , 2 1 如果( 入，p ) 满足0 ( i a i i i f l i l 矿) 南+ ( 1 # l l l g l l l p ) 南 a o ，那么职，p = 0 证明；假设结论不成立，即对于( a ，肛) r 2 ( o ，o ) ) 满足0 ( i , x ll l f l l 工p 。) 南+ ( 1 肛l l l g l l ) 南 a 。时有职，p 仍 这样对于( u ，移) 职川我们有 0 = ( 氏“( 钆，u ) ，( 钆，可) ) = ( 2 q ) l l ( u ，v ) l l n 一( o c + 卢一q ) 丘h l u l 口i v l a d x = ( 2 0 t p ) i l ( u ，u ) i i 备 一( g q 一卢) ( 矗入f l u l q d x + 丘p g l v l a d x ) 那么我们得到 ，u ) 幢= 挚丘九川口i v l 卢d x 和 ，v ) l l 备= 端( 肪, v l u l q d x + 矗# g l v l q d x ) 由h s l d e r 不等式和s o b o l e v 嵌入定理( 参看引理2 0 。4 ) ，我们有 i i ( 钆, v ) 1 1 日( 学群) 南 和 ，v ) 1 1 日( 詈端) 南旁( ( l 州p 。) 南+ ( 1 p l l b l l l , , ) 葡2 ) i 1 这个意味着 ( n l l y l l p 。) 南+ ( 1 # l l b l l ) 南 ( 5 2 1 ) ( 5 2 2 ) ( 酱蟛) 南( 篇) 南喃 a o 2 1 福建师范大学陈瑜硕士学位论文 这是一个矛盾这样我们得到如果 0 ( 1 a l l l f l l l ，) 南+ ( 1 # l l l g l l 工，) 南 a o ， 我们有氓弘= 仍 由引理5 2 1 ，我们引入集合 ，y = _ ( a ，肛) 酞2 ( o ，o ) ) ；o 0 和丘h i l l 口i v l 卢d x 0 7 仫砂如果( 乱，钉) 岷p ，那么矗埘u i 口i v l i b d x 0 证明；证明是直接来自于以，p ( u ，口) 的定义和( j ，p ( u ，u ) ，( 仙，口) ) 的表达式 i 引理5 2 4 如果参数对( a ，弘) ，y ，那么 ，肛是强制的且在m ，p 上下方有界 证明：如果( u ，u ) m 那么由h s l d e r 不等式和s o b o l e v 嵌入定理 ，p ( 让，u ) = ( ；一南) i l ( u ，u ) 瞻一( ；一南) ( 丘，) f f m 2 d x + 乓p 9 i i 。d x ) ( ；一石b ) l l ( u ，v ) l l 备一( ；一再1 p ，s 。- ，苎一、a 川，f i 驴) 南 + ( 训p 。) 南) 孕， ) 惰 ( 5 2 3 ) 这样， ，p 是强制的且在m ，弘上下方有界 i 引理5 2 5 如果0 ( i x l l l ：l l 工p ) 南+ ( 1 肛l l l g l l 驴) 南 0 成立 2 2 证明：( i ) 设( 让，u ) 屹由于 ( j 小吐( 钆，硼= ( 2 _ q ) | l ( 让，训i 刍一( 口+ p _ 口) 厶制i 叩i 卢出 。， 我们有 所以 上九 u l 口l u i p d z 夏_ 季南1 1 ( u ，u ) l | 备 以，p ( u ，u ) = ( ；一j ) l l ( u ，钉) i i 备+ ( ：一石1 币) 矗h i l l 口i 移i 卢d x 【( 三一j ) + ( ；一南) 稿让，u ) 瞻 = 一雩辫口) 峙 ( 麓) 南 以p ( u ，口) 1 1 0 , ，u ) 1 1 日q 八互1 一互扔) | | ( 蒜) 孝 ( j 一( ；一南) ( ( 一( 吉一南) ( ( u ，v ) l l 刍- g i 州l ，。) 南十( i i i l 9 1 1 ) 南) 孕 蒯爨i p ll l g ) l l 嘉l 闩l ，l