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k _ 正则函数的某些r i e m a n n 边值问题 应用数学专业 研究生闰川指导教师杨丕文 论文摘要：本文利用复分析的方法讨论了复平面上的k 一正则函数的某些边 值问题在第一章中给出了k 正则函数的一类r i e m a n n 边值问题及非齐次k 阶方 程鬻= ，的r i e m a n n 边值问题的提法，讨论了该边值问题的可解条件和解的 表示使用类似于【7 1 的方法，通过将k 一函数的r i e m a n n 边值问题转化为解析函 数的r i e m a n n 边值问题，并利用文f 7 1 的结论得出其相关的可解条件和解的表达 式 在第二章中给出了无穷直线上含参变未知函数的k - 正则函数的r i e m a n n 边 值问题的提法，讨论了该边值问题的可解条件和解的表示 关键词：解析函数；k - 正则函数；非齐次k 阶方程鬻= ，；无穷直线；参变未知 函数；r i e m a n n 边值问题 第i 页，共2 8 页 s o m er i e m a n nb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so fk - r e g u l a r f u n c t i o n a p p l i e dm a t h e m a t i c s w r i t e r ：y a hc h u a n s u p e r v i s o r ：y a n gp i - w e n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，s o m eb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so fk - r e g u l a rf u n c t i o n o i lc o m p l e xp l a n ea r ed i s c u s s e db yt h et o o lo fc o m p l e xa n a l y s i s i nc h a p t e ro n e ，t h er i e m a n nb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so fk r e g u l a rf u n c - t i o na n dt h ee q u a t i o no fn - o r d e rs u c ha s 鬻= fa r eo b t a i n e d t h es o l v - a b l ec o n d i t i o n sa n dr e p r e s e n t a t i o n so fs o l u t i o n sa x ed i s c u s s e d t h er i e m a n n b o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so fk - r e g u l a rf u n c t i o n sa r et r a n s f o r m e di n t ot h er i e - m a n nb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so fa n a l y t i cf u n c t i o n si naw a y sl i k e 7 1 t h e r e l a t i v es o l v a b l ec o n d i t i o n sa n de x p r e s s i o n so fs o l u t i o n sa r ei n v e s t i g a t e di na w a yl i k e 【7 】 i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h er i e m a n nb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m so fk - r e g u l a r f u n c t i o n sw i t hu n k n o w nf u n c t i o ni ni n f i n i t el i n ea r ee x a m i n e d t h es o l v a b l e c o n d i t i o n sa n de x p r e s s i o n so fs o l u t i o n so ft h i sb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sa r e a l s od i s c u s s e d k e yw o r d s ：a n a l y t i cf u n c t i o n ；k - r e g u l a rf u n c t i o n ；鬻= ，；i n f i n i t e l i n e ；u n k n o w nf u n c t i o n i r i e m a n nb o u n d a r y - v a l u ep r o b l e m s q u a t e r n i o ns p a c e ； h y p e r b o l i ce q u a t i o n 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注 不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律 结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不 符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。， 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大 学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规 定提交印刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入 有关数据库供检索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开 的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有 关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位 论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： ：11 到ni f 导师签名： 签字日期：坤年争月多日 。签字日期梦降午月影日 引言 解析函数的边值问题是在复变函数论的基础上建立起来的一门极为重要 的学科它与流体力学，弹性力学和空气动力学等方面都有非常紧密的联系， 在许多物理学和工程技术的实际问题中有着广泛的应用调和函数及广义解 析函数的理论与边值问题是解析函数理论与边值问题的推广，因此它同样也 是复变函数论的重要组成部分，并且它们之间有着大量相似的性质和结果 从我们国内来看，在五十年代起就有学者关心和从事这方面的研究工 作，复平面上低阶的函数理论已经发展到比较完善的程度如在文 1 书 中 就系统的论述了前面的几种函数的基本性质，给出了其d i r i c h l e t 边值问题， r i e m a n n 边值问题，r i e m a r m - h i l b e r t 边值问题的一般解法以及解的表示 所以近些年来，许多学者开始尝试把复变函数理论和文 3 】中解决椭圆型偏 微分方程中的方法向高阶和高维的情形推广，并且已经取得许多重要的结论 其中的一些结论已被广泛运用到各学科和实际应用中而这些工作主要集中 在复平面，高维空间两个方面在复平面上问题大多已经解决，新开展的研究主 要是以逆问题为主 1 复平面上的情形 复平面上的情形以多解析函数的边值问题和逆问题为主多解析函数是解 析函数理论的一种自然推广，与之有非常密切的联系早在1 9 0 8 年，俄国数学 家g v k o l o s s o v 求解平面弹性问题时首先给出了多解析函数的一般形式： f ( z ) = f o ( z ) + - 乏f l ( z ) + + 尹_ 1 一1 ( 名) ( m 1 ) 其中 ( z ) ( z = 0 ，1 ，佗一1 ) 是平面某一开集上的解析函数因为多解析函数 一般形式是由解析函数构成的，人们求解多解析函数问题往往将其转化为多 个解析函数的问题来解决依照这种方法解析函数的众多边值问题大多都已 从一阶推广到高阶的情形 双解析函数方面：1 9 9 5 年，赵祯在文【1 1 ，1 2 】中提出了双解析函数的概念， 阐述了其力学背景，并给出了双解析函数的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题可解条 件和解的表示1 9 9 8 年，王明华在文f 1 3 】中进一步研究了双解析函数的性质， 提出了一些与解析函数相似的性质，如p l e m e l j 积分公式，c a u c h y 型积分，并讨 第1 页，共2 8 页 引言 论了其h i l b e r t 边值问题2 0 0 4 年，王明华又在文 1 4 1 中讨论了双解析函数的一 类含参变未知函数的r i e m a n n 边值问题2 0 0 7 t g ，蒲松在文 1 5 中讨研究了双 解析函数及非齐次二阶方程辔= 厂的某些边值问题 在k - 解析函数方面：1 9 9 7 年，h b e g e h r 研究了多解析函数的h i l b e r t 边值问 题，并且给出了封闭曲线上多c a u c h y 型积分及其跳跃性质同年，m a k a l 和h b e g e h r 在文 1 6 1 中继续考察t p o m p e i u 算子和7 r 算子，并应用其讨论了复平面 上高阶偏微分方程的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题2 0 0 1 年，杨丕文在文【1 7 】中 研究了k - 正则函数的c a u c h y 积分公式，级数展开，p l e m e l j 公式，c a u c h y 型积分 及d i r i c h l e t 边值问题2 0 0 5 年，李觉友在文 9 】中给出了k - 正则函数的一些性质 和第一，二表示式，还讨论了k 正则函数的r i e m a n n - h i l b e r t 边值问题2 0 0 5 年， 杨柳在文1 8 1 中继续考察了k - 正则函数的c a u c h y 定理，m o r e r a 定理及透弧严 拓定理，并利用这些定理研究了其r i e m a a n 边值问题及逆问题的解法，给出了 相应的解的表达式2 0 0 6 年，张位全在文f 1 9 】中研究了k - 正则函数的一个带共 轭值的边值问题2 0 0 7 年，张斌儒在文 2 0 中进一步讨论了k - 正则函数及非齐 次k 阶方程尝= ，的r i e m a n n 边值问题 在逆问题方面：逆问题是基于解析函数边值问题的一类新兴理论，其研究 己开始起步1 9 9 6 年，李星在文 2 1 】中讨论了一类r i e m a n n 边值逆问题的可解 性1 9 9 9 年至2 0 0 6 年间，王明华在文f 2 2 2 6 】中给出了一系列解析函数边值逆问 题的数学提法，并通过将这些边值逆问题转化为一般的边值问题，借助解析函 数边值问题的相关理论，获得这些边值逆问题的可解条件和解的积分表达式 2 0 0 4 年，温小琴在文2 7 1 中给出了一类有关广义解析函数r i e m a n n 边值逆问题 的数学提法，并获得其解的积分表示同年，杨柳在文 2 8 】中研究了c l i f f o r d 分 析中一类r i e m a n n 边值逆问题的解的表达式和一类奇异积分方程组的解法 2 0 0 6 年，姚益民在文f 2 9 】中给出了共轭解析函数的一类r i e m a n n 边值逆问题的 数学提法，获得该问题正则型和非正则型时的可解性定理2 0 0 7 年，张斌儒在 文3 0 1 中提出了c 雎o r d 分析中广义k 正则函数的概念，并讨论了它的一些性质 和r i e m a a n 边值问题及r i e m a n n 边值逆问题 2 高维空间上的情形 高维空间上的情形主要可以分为三类：多复变，c l i f f o r d 分析以及介于两者 之间的四元数分析它们是基于单复变理论向高维空间的一种自然推广单复 y a n c h u a n 1 2 6 t o m 第2 页，共2 8 页毕业论文 引言 变已近取得比较完整的理论，并且成功解决了实际应用中的许多难题基于这 一事实，人们自然联想到在高维空间是否也有如此方便的工具来处理高维空间 的奇异积分方程 多复变函数的p d e m a n n - h i l b e r t 边值问题是基于单复变边值问题的一种自 然推广，但是多复变函数的理论在多方面都与单复变函数的理论有着本质的区 别例如，对多复变全纯函数来说，在一区域上的全纯函数，它的数值有时已不必 由全部边界上的数值确定此外，在单复变数中的著名的r i e m a n n 基本定理，在 多复变中不再成立例如，多圆柱和超球这两种单叶连通区域也不是全纯等价 的多复变空间中域的分类问题至今仍未解决而且，多圆柱和超球在多复变空 间中的代表性也远远不如单位圆在单复变的情形因此，有必要讨论各种不同 区域全纯函数的积分表示多复变全纯函数的积分表示理论已经受到国际上的 普遍重视典型域的理论不但内容具体和富有启发性，而且和边值问题，偏微分 方程的理论，广义函数的理论，微分几何等方面有广泛的联系 c l i f f o r d 分析是上世纪7 0 年代发展起来的研究从实向量空间映射到不 可交换的实c l i f f o r d 代数的新的数学分支，是将一维复分析推广到高维类似 于解析函数理论，c l i f f o r d 分析也建立了正则函数( 单演函数) 理论c l i f f o r d 代 数是由k t v a h l e n 在本世纪初建立的，它是一个可结合但不可交换的代 数c l i 助r d 分析在数学及其它分支、场论、量子力学等方面有着重要的应 用 四元数分析是复分析在高维空间中的另一种形式的推广，它在数学物理等 方面都有着重要的应用，如对m a x w e l l 方程，y a n g - m i l l 场理论等问题的研究作 用而对四元数的研究是从上世纪三十年代开始的，至今已得到很好的发展 但是单复变函数和高维空间中的函数之间有着本质的区别，许多基本问题 都尚未解决，有待国内外科研工作者继续研究和探索 受上述一系列工作的启发，本文讨论了高阶偏微分方程的某些边值问题，在 一定程度上推广了前面的某些工作 具体的说： 第一章是k - 解析函数的r i e m a n n 边值问题本章给出了一类解析函 数r i e m a n n 边值问题及非齐次k 阶方程尝= ，的r i e m a n n 边值问题的数学 提法，在将其转化为解析函数r i e m a n n 边值问题的基础上，利用解析函数的相 第3 页，共2 8 页毕业论文 引言 关理论，获得了该边值问题的可解条件和解的表示，进一步推广了文 1 8 ，2 0 】的 结果 第二章在本章中给出了无穷直线上含参变未知函数的k - 正则函数 的r i e m a n n 边值问题的提法，通过文 2 0 的方法消去参变函数转化为k - 正则 函数的r i e m a n n 边值问题获得了该边值问题的可解条件和解的表示进一步的 推广了文1 0 1 的结果 y a n c h u a n 1 2 6 c o m 第4 页，共2 8 页 毕业论文 第一章k - 正则函数的r i e m a n n 边值问题 在本章中给出了k 正则函数的一类r i e m a n n 边值问题及非齐次k 阶方 程学= ，的r i e m a n n 边值问题的提法，讨论了该边值问题的可解条件和解的 表示使用类似于【7 】的方法，通过将k 一函数i 拘r i e m a n n 边值问题转化为解析 函数的r i e m a n n 边值问题，并利用文 7 】的结论得出其相关的可解条件和解的 表达式 1 1预备知识 我们指出c r 方程组的复形式是： 罂：o ( i - i ) a 驴 。 这里 ( z ) = 让( z ，可) + 锄( z ，可) ，z = x + i y , 历0 = 互1 【瓦0 + 2 瓦0 ) ( 1 2 ) 定义1 1 1 1 1 7 1 假设g 是复平面上的区域，在区域g 上给定了复函数，要求它具有关 于虿的k 阶导数，如果给w ( z ) 满足以下方程式： 婴：o ( 1 - 3 ) a 砂 ” 则称( z ) 是d 上的k - 正则函数 以后将用d 七( g ) 表示所有的k - 正则函数构成的集合特别当n = 1 时，w ( z ) 即 为通常说的解析函数；当n = 2 时，w ( z ) u p 削! i 常说的双解析函数 从双解析函数以及解析函数的定义，容易验证以下性质： 性质1 w ( z ) 称为k 一正则函数的充要条件是裴等是解析函数； 第5 页，共2 8 页 一一二二二r i e m a n n 一 第一章k - 正则函数 边值问题 性质2 w ( z ) 称为k 一正则函数，则而o k - 2 w 肥i ! i 似肿函, 数 定理1 1 1m 唯一性定理，假设w ( z ) 是g 上的k - 正则函数，如果 a 七 万 a 仉7 0 - 2 o g ：= 0 o g = = 0 w l a g = 0 ( 1 4 ) 则( z ) 三0 ，这里a g 是g 的边界 证明 由性质( 1 ) ，易h n o 。k ；- l w 是解析函数，一般认为它不是常数，从而 根据解析函数的性质和条件，将有裴等= o ，z g ，依次推w ( z ) = 0 ，证 毕 定理1 1 2 o l ( 第一表示式) 如果( z ) d 七( g ) ，则有以下表示式成立： w ( z ) = 印伤( 名) ( 1 - 5 ) 磊。 其中尉妒= 岳蒜止善茅妒( ( ) 毗，歹= o ，1 ，k 一1 ，仍是解析函数，约 定r o = 1 证明 已知w ( z ) d 七( g ) ，7 、贝f 1 o a w 名，丽0 2 歹w ，面0 2 歹w ，警，均属于l p g ，p 1 根据文【5 】的已，算y - 理论中的定理1 3 3 及推论知，w ( z ) = p - 1 一1 + t k - 2 妒七一2 + + t 1 妒1 + 妒o 其中仇一l ( z ) ，仇一2 ( 名) ，妒1 ( z ) ，伽( 名) 是任意解 析函数证毕 定理1 1 3 州( 第二表示式) 如果( z ) d 免( g ) ，则有以下表示式成立： 毗，= 曩嘉i - 硼a 。 w ( z ) = 而z ( z ) 这里妒七是解析函数 y a n c h u a n 1 2 6 c , o m 第6 页，共2 8 页 ( 1 - 6 ) 毕业论文 证明 取仇一1 = 两8 - 1 w ，其中妒k - 1 ( z ) 是任意的解析函数，显然一1 ( z ) = 面砂- 1 一1 ( z ) 是七一正则函数，并且蓑普= 一1 ( z ) ，于是堕鼍蒜必= 0 同理：帆一2 ( z ) = 而砂一2 一2 ( z ) ，o k - 1 ( w - - 面w 器k _ r l - - 一w k _ 2 ) = 0 其中一2 ( z ) 是 任意的解析函数依此类推，最后得到塑生竺镰二坠：0 取w 一吼一】一 一肌= 伽( z ) ，其中( z ) 是任意的解析函数，于是即得w ( z ) = 矾一l ( z ) + 帆一2 ( z ) + + 肼( z ) + i p o ( z ) 证毕 对于有界区域d 内的n 正则函数，有如- f l 拘c a u c h y 积分公式成立 定理1 1 4f 1 7 1 ( c a u c h y 积分公式) 设d 是复平面内的一个有界区 域，l 为其边界a d 逐段光滑，若妒( z ) 在万内k 正则，r p ( d z ) c 佗一1 ( 万) ，则 ( 一1 ) 七一1 2 r i 慨苫g = o k - 雨i - 酉l 妒必： f “以吣一 ( 1 7 ) 定理1 1 5 1 力( t 。可f 刃) 若妒( z ) 在区域d 内k - 正则，比e d ，只要k ：i z - a l r 含于d ，则妒( z ) 在k 内能展成幂级数： 妒( z ) = ( k o + 6 m l 乏+ k ( 七- 1 ) 砂一1 ) ( z 一口) m n = 0 ( 1 - 8 ) 其中，b m n = 南片，滞d c = 丛关产，亿= o ，1 ，k 一1r p ：i ( 一。i = p ，0 p r ，( z ) 展式是唯一的 定理1 1 6 1 7 1 ( 己n 让r e 优) 若妒( z ) 在圆环h ：r 1 2 一。i r ( 7 o ，r + o 。) 内n - 正则，则妒( z ) 在能展成： 妒( z ) = 竹= 一 ( + b n l - 乏+ b n ( 舻1 ) 妒_ 1 ) ( z o ) n 其中，k 七= 丽1 片，滞d ( p r ，且展式是唯一的 ( 1 - 9 ) ：鳢挚，k ：0 ，1 ，n - 1 ，r 为圆周i e 一口i ：p ，r y a n c h u a n 1 2 6 c o r n 第7 页，共2 8 页 毕业论文 。一力 一二 矿盯二u k 二 ，一0 丛” 脚 d厂，坩 第一章k - 正则函数9 9 r i e m a n n 边值问题 定理1 1 7 1 若圣( 亡) = 圣( 冗e 印) 是= r ( o r o o ) 上的连续实值函 数，则在圆h r 上以西( 亡) 为边界的d i r i c h l e t i h - j 题的解是存在唯一的，即 存在唯一的在h r 内的调和函数u ( t ) = 圣( 亡) ，u ( z ) 具有如- v 的p o i s s o n 积分 表示式： 心) = 去小觑( 眚( 1 - 1 0 ) 其中，t - - - r e i 妒， r 定理1 - 1 8p 1 ( 零点定理) 若( z ) d ( g ) 则它的零点必是孤立的并且零 点的个数一定是有限的。 定理1 1 9p 。( 奇点定理) 若w ( z ) d k ( g ) 贝i j 它的奇点必是孤立的并且奇 点的个数一定是有限的。 设，( 名) 是区域d 上的已知函数，下面我们考察d 上的非齐次k 阶方 程磐= ， 引理1 1 1 设，( z ) 是定义在复平面上的有界区域d 内的已知函数，非 齐次k 阶方程鬻= ，记 死，= 器上譬玳) 魄( 1 - 1 1 ) 若，l 1 ( d ) 则t k s 是方程的一个弱解，而当厂瓯( d ) ，0 q 2 , n t i s q ( 面) ，0 q 1 y a n c h u a n 1 2 6 c o r n第8 页，共2 8 页毕业论文 第一章k - 正则函数r i e m a n n 边值问题 1 2 问题的提出 设d + 是由互不相交的光滑闭曲线l o ，l 1 ，己围成的多连通区域 ( l o 包含l 1 ，l 2 ，l n 在其内部) ，记己= l o + l 1 + + l n ，d + + l 在全 平面的余集记为为的d ，且分别用d 1 ，d 2 ，d 表示l 1 ，l 2 ，l n 围成的有界 区域，不防设0 d + ，求在d + ，d 一内分片k 正则的函数w ( z ) ，( ( o 。) 有界) ，使 得w ( z ) ，瓦a w ，券在l 两侧可连续严拓到l 上，且满足边界条件 ， lw + ( t ) = g 1 ( t ) w 一( t ) + f l ( t ) 警g 2 ( 亡) 警( 讣肿) ( 1 _ 1 2 ) i - ” i 刁a k - 1 丁w + = g 知( t ) 等竿( t ) + 厶( t ) 其中g f ( 亡) ， ( 芒) 0 = 1 ，2 ，忌) 是l 上给定的h s l d e r 连续函数，g ( 亡) 0 ，( i = 1 ，2 ，k ) 称之为k 正则函数的p d e m a n n 边值问题，记为r ，当 ( 亡) = 如( ) = = a ( t ) = o 称之为蜀问题。 1 3 问题的解法 把( 1 6 ) 式代入( 1 一1 1 ) 的第k 行，可得到 妒+ 一lz ) = g 七( 芒) 妒蠢1 ( z ) + 厶( 亡) 这里设k 航= 去厶a r g a k ( t ) ，其中= 釜ok 艇由文【7 的方法， 到g 七( t ) 的分解 a k ( t ) = 苦t l ( 1 1 3 ) 我们可以得 ( 1 一1 4 ) 托( 亡) = - 南z ) e r ( z ) ；) z ze d 。+ 一 ( 1 一1 5 ) 其中7 r ( 名) = ( z a x ) z n 2 ) m ( z 一口) m ，a l ，a 2 ，a n i ；l - j d j 的固定点 邢，之刍上学， y a n c h u a n 1 2 6 c o m 第9 页，共2 8 页 毕业论文 堑二皇塾里型里塾堕堕竺竺呈垫篁塑壅 其中g j ) = 亡一慨7 r ( z ) g ( 亡) 洲础) 2 裂z 霜班删删名) 其中只。( z ) = + 1 z + 花二从叫p 纠 ( 2 ) 当标数雠 o ，问题r 在点o 。有界的可解条件为 z 器严拈o ， 佗- 0 l ，魄一2 当上述条件满足时，其解可以表示为 。呲，2 裂v 厂j ，焉- - c 班 在把( 1 1 6 ) 式代入( 1 一1 1 ) 式的第k - 1 行得到：“、 陋七一2 ( 芒) + 却詹一z ) 】+ = g 七一l ( 亡) p 七一2 ( 亡) + 却知一l ( 亡) 】+ 氏一】 ) 妒 ： 亡) = g k 一1 ( 孟) 妒孟2 ( 古) + 矽o l ( 亡) g 七一1 ( 亡) + 一l ( 芒) 一面囊1 ( 亡) ( 1 1 6 ) ，令咒一12 和0 1 ( 芒) 瓯一1 ( 亡) + ，七一1 ( z ) 一却0 1 ( 亡) 那么( 1 1 6 ) 式可以化为 妒0 2 ( 右) = g 七一1 ( 芒) 妒i 2 ( 亡) + 以一l 同样我们由 7 】的方法我们可以得到； ( i ) 当标数圪麾一1 芝0 ，可以求得一2 ( z ) 的通解 幽归掣z 揣出+ 酗 ( n ) 当标数，一：，j 、o 时，我们同样可以得到一2 ( 亡) 的可解条件 z 器黝一o ， 二l _ 二：二= 叫牡x k - l ( z ) f l ：- 1 、( t ) - - 1 。_ 1 、y ) 习如 一，、一 我们鉴照上面步骤，把( 1 6 ) 式依次带、入( 1 j 1 ) 的第k 一2 行，第k - 3 i f , ，第l 行，分别求出一3 ( 名) ，一4 ( 2 ) ，妒。( 二) ，那羞我猫就嘉乏手篆 y 龃c h u a n 1 2 6 c o r n 第l o 页，共2 8 页 毕业论文 第一章k - 正则函数的p d e m a i m 边值问题 一个垆m ( z ) ，就得至u t r i h - j 题的解。 定理1 3 1 ( 1 ) 当标数慨0 ，( i = 1 ，2 ，庇) ，对于问题r 它在点o o 的通解可 以表示成 彬( z ) ：k - 1 ，1 m12 m 妒m ( z )彬( z ) = ，m 。 妒m ( z ) m = o 其中 忱( z ) = 民z ) = c 4 0 + c 4 1 z + + q 尤z 出+ 五+ l ( z ) 民+ 。( 名) ，i = 0 ，1 ，k 一1 ( 2 ) 当标数愧 0 ，( i = 0 ，1 ，k 一1 ) ，它在点有界的可解条件为 z 器黜- o ， 当上述条件满足时， 其中 令以= ，那么 ( 1 1 7 ) 扎= 0 ，1 ，一代七一l 一2 ，i = 0 ，1 ，k 一1 ( 1 1 8 ) 问题的解 七一1 晔) 2 轰刍尹州z ) 纵扣掣z 赫出 f ( t ) = g t ( t ) 防慨( 亡) + + = 知一 ( k 一 ) ! 一1 ( t ) 】- - c i ( t ) - 2 妒i ( t ) + + r l p r ( 。) x ( z ) 2 【z l r 一( z 慨) e r ( z ) ， 2 d + z d 一( i = 1 ，2 ，尼) 砂一i ( k i ) ! ( 1 - 1 9 ) 一1 ( 亡) 】+ + 五( t ) ( 1 2 0 ) ( 3 ) 当标数k = ( t o o ，k l ，k 七一1 ) ，有0 i 1 i 2 i 竹l 纯一1 ， 圪如 2 ) 9 的已知函数，称上述问题为程磐= f 的r i e m a n n 边值问题，记为尉 记慨= 2 去a l a r g g i ( t ) ，i = 1 ，2 ，七为上述边值问题的指标 由引理1 1 2 可得警= ，的通解为 w ( z ) = 死，+ u ( z ) ( 1 - 2 2 ) 其中u ( z ) 为d 内的任意k 正则函数，将( 1 2 2 ) 式代入( 1 2 1 ) 式并化简的 l 钍+ ( ) = a l ( t ) u 一( 亡) + h l ( t ) 筹- g 2 ( 亡) 等( ( 1 - 2 3 ) | ” i 与筹= g 七( 亡) 为筹( 亡) + k ( 亡) ， 亡己 其中( 亡) = ( g ( ) 一1 ) 毛；掣( 亡) + 五( 亡) ，i = 1 ，2 ，七；罨伊( 亡) = 死f 由引理1 1 1 可知h ( 亡) 是l 上的h 类函数，从而问题转化为求k i e 则函 数u ( z ) 的r i e m a n n 边值问题，根据前面的讨论可以得到如下的可解性结论 y a n c h u a n 1 2 6 c o m 第1 2 页，共2 8 页毕业论文 第一章k 正则函数r i e m a n n 边值问题 定理1 4 1 ( 1 ) 当标数畅0 ，( i = 1 ，2 ，后) ，对于问题r 它在点o o 的通解可 以表示成 毗) = 薹k - 1 嘉尹删+ 死， 其中 慨( z ) = 丽x i ( z ) 止瓦丽h k ( t ) 出+ 五+ ( z ) 民制， r ( z ) = c 4 0 + 白1 z + + q 尤z 1 = 0 ，1 ， ( 2 ) 当标数慨 0 ，( i = 1 ，2 ，忌) ，它在点o 。有界的可解条件为 厂黑僦：o ， 尢耐( ) ” 当上述条件满足时， 其中 = 掣 其中磁= h k ， 佗= 0 ，1 ，- - t o k i 一2 ，i = 1 ，2 ，k 彬( z ) = 丕k - i 嘉尹( z ) + 瓦， 嘭( 亡) = g i ( ) 防慨( 亡) + + 砂一 ( k i ) ! 孬d t ， i = 0 ，1 ，惫一1 一1 ( 亡) 】- - g i ( t ) - 2 妒i ( t ) + - i - 胖出三 z d + z d 一 = 1 ，2 ，k ) 珈一i ( k i ) ! k 1 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) 吼一1 ( t ) 】十+ h i ( t ) ( 1 2 7 ) ( 3 ) 当标数心= ( k o ，k l ，一1 ) ，有0 i l i 2 i m 钆一1 ， 仡赴 0 ，l = 1 ，2 ，m ，而k 的其余分量为非负整数时，问题可解当且 仅当对于k = i l ，i 2 ，i m 时，条件( 1 2 5 ) 满足，当这些条件满足时，其 解w ( 2 ) = 揣翕尹妒m ( z ) ，其mc p i ( z ) ! 扫( 1 2 4 ) 式表示，而其余仇( 名) 由( 1 2 6 ) 式来表示 y a _ l l c h u a n 1 2 6 c o m第1 3 页，共2 8 页 毕业论文 桀蒜z 第二章无穷直线上含参变未知函数的k - 正则函数r i e m a n n 边 值问题 在本章中给出了无穷直线上含参变未知函数的k 一正则函数的r i e m a n n 边 值问题的提法，讨论了该边值问题的可解条件和解的表示进一步的推广了 文 1 0 】的结果 2 1预备知识 引理2 1 1m w ( z ) 是区域d ( d 为复平面内的一个区域) 内的k 正则函数的 充要条件是w ( z ) 可表示为 七一1 w ( z ) = 砜( z ) ，( 2 - 1 ) m = o 其中，( z ) ( 佗= 0 ，l ，k 一1 ) 是d 内的解析函数，且( z ) 在d 内的如方程( 2 - 1 ) 的表达式唯一 引理2 1 2 1 0 li f t d l ，d 2 是2 个无公共点的区域，在他们的边界上有一 段分段光滑曲线c 是公共点( 不含端点) ，w l ( z ) ，( 名) 分别在d 1 ，d 2 1 为k i e 则，w l ( z ) c 七一1 ( 瓦) ，在c 上有 则 w ( z ) = 肼( z ) = ( z ) a w ja w ja 可仡o w k 瓦2 = o z - ，。瓦2 = o zo zo z 聪w i ( z ) ，, ，z 2 6 簋d 1 c ( 2 - 2 ) 第二章无穷直线上含参变未知函数的k 正则函数r i e m a n n 边值问题 在区域d = d l y c y d 2 内正则 设l 是一无穷直线，不失一般性，可令此直线为x 轴，记为x ，且以x 轴 的正向为正向，并把上半平面记为z + ，下半平面记为z 一。 设f ( t ) 是定义在x _ h 的复值函数，如果在包含原点在其内部的充分大的闭 区间i 上，f ( t ) h p ，在i 之外( 即在士的领域内) 满足条件 i ，( 亡) 一，( 岛) l 4 i 一i p ，0 p 1 ，t ，t ，x j ， 厶 厶， a 为正常数，则称，( 亡) 宜( x ) ，简记为日 考察实轴上 拘c a u c h y 型积分 一刍e 妻需枷m x ( 2 - 3 ) 其中乃( 亡) ：i ，j = 1 ，2 ，忌，且这里的积分都理解为c a u c h y 主值积分。由 文 1 ，17 】可知，( 3 ) 式定义的函数w ( z ) 在z + 与z 一正则，并且类似于 1 中的定 理5 ，有： 定理2 1 1 1 明( p l e m e l j 公式) 设乃( 芒) 宜，歹 ： o ，1 ，2 ，七一 1 ，当z 从z + 与z + 内分别趋于t ( x ) 时，有 厂( 筹) + = 南麝跷m + 1 出( j 型- m - 1 卫) ! ( r - 竺t ) 刖丁) 打+ ；删， i ( 磐) 一= 刍虑名州宅篙群1 j - 1 ( 7 - ) d 7 - 一；厶( 亡) ， ( 2 - 4 ) 或 j ( 学) + 一( 群) 一= 厶( 亡) ， i ( o m w ) + 一( 万o m w ) 一= 去虑蹀m + 1 出( j 型- m - 1 叠) ! ( ，- - t 竺) 刖丁) d r ( 2 - 5 ) 2 2 问题的提出 求函数g u ( w ( z ) ，e 1 ( 亡) ，e 2 ( 亡) ，e 七( 亡) ) 其中彬( 2 ) 在x 轴上分侧连续的k 正 则函数，且( 。) 有界，e t ( 亡) 0 = 1 ，2 ，知) 为x 轴上的h 类函数，且( o 。) 有 y a n c h u a n 1 2 6 c o i l l第1 5 页，共2 8 页毕业论文 第二章无穷直线上含参变未知函数的k - 正则函数r i e m a m a 边值问题 界，满足边界条件： e l l ( t ) w 十= g 1 2 ( t ) 肛+ g l ( t ) 0 1 ( t ) + h n ( t ) g l l 警( 亡) = g 1 2 虿o w + ( 亡) + 9 1 ( t ) e 2 ( t ) - i - h 1 2 ( t ) u g l l 可i g k - 1 w + t ， 、= g 1 2 笃衰竿( 亡) + g l ( 亡) e 知( 舌) + 1 忌( 亡) g 2 1 ( t ) w + = g 2 2 ( t ) w 一十9 2 ( t ) o l ( t ) + h 2 1 ( t ) g 2 1 警( 亡) = g 2 2 ( 亡) 警( 亡) + 9 2 ( t ) 0 2 ( t ) + h 2 2 ( t ) 0 k ”- l w 一 b 、1 ，、t = g 2 2 ( t ) 镨( 亡) + 夕2 ( 亡) e 如( 亡) + 九2 惫( 亡) t x ( 2 - 6 ) 其中g j 七，g j ( t ) ，h j ( t ) 疗， j ，k = 1 ，2 ，记 g m ，= 麟燃引 g 2 = 陋( g 1 2 ( t ) 蒯f l ( t ) ) j 且g ( 亡) 0 ，g j ( 0 0 ) 0 ，j = 1 ，2 ，( o o ) 有界，且设w 士( + ) = w 士( 一o 。) ，记g ( 亡) = 黜，显然有g ( 亡) o ，且g ( 亡) 膏，上述边值问题称为 实轴上的含参变未知函数的k - 正则函数瞰e m a n n 边值问题，简记为爿 f 扫g ( t ) 0 ，当t 从一连续变到+ o o 其像形成一封闭曲线，且不经过原 点，因此可定义： k = i n d x g ( t ) = 去时夕g ( 亡) 】x ， 称k 为问题r ”的指标。 y a n c h u a n 1 2 6 c o r n第1 6 页，共2 8 页毕业论文 第二章无穷直线上含参变未知函数的k - , t 则函数p d e m a n n 边值问题 2 3 问题硝7 的解法 由( 1 ) 式的第z ，七+ i ，( i = 1 ，2 ，尼) 式分别乘以厶( 亡) ， ( 亡) 后相减有 其中 r至 w + ( 亡) = g 2 ( 亡) w 一( 亡) + 九1 ( 亡) 警( 亡) = 酬警( t ) + 蜊 ( 2 7 ) 专警( ) = g 2 ( 亡) 丽o k - 阿l w - ( 亡) + ( 亡) t x = 怖( h l l ( t ) f 燃l ( t ) 喇= ( h 1 2 ( t ) 椰f l ( t ，) ； 姒归陋溅矧 由q ：g t 00 = 1 ，2 ) ，( 2 - 5 ) 式可以改写成 w + ( 亡) = g ( t ) w _ ( 亡) + g l ( t ) 警( 亡) = g ( t ) - 筹- - ( t ) + 鲍( 亡) o k - l w + i 、t ，、= g ( 亡) 可o k - i w - ( 亡) + 肌( 亡) t x ( 2 - 8 ) 其中g ( 亡) = 是播，吼( ) = 虿h i 丽( t ) ，o = 1 ，2 ，七) 显然g ( 亡) ，g i ( t ) f ，若仇( 亡) = 0 ( i = 1 ，2 ，尼) ，则称它为齐次型边值问 题，记为( 半) y a n c h u a n 1 2 6 c o l l 第1 7 页，共2 8 页毕业论文 第二章无穷直线上含参交未知函数的k - 正则函数r i e m a n n 边值问题 下面先讨论问题硝的齐次形式，即所求的分片k - 正则函数w ( z ) 满足边界 条件为 f 旷- g 旷 警( 归g ( 亡) 百o w - ( 亡) ( 2 - 9 ) i i 百o k - 丌i w + w = g ( 亡) 丽o k - 丌1 w - ( 亡) t x 定理2 3 1 【l o 】对于问题( 木) 的解，有如下的结论 ( 1 ) 当指标k 1 时，其一般解为 w ( z ) = 渺一1 尥斟l ( ：) + 砂一2 尥一k + 2 ( z ) + + 眠( z ) 】x ( z ) ， ( 2 - 1 0 ) 式中坞为j 次任意多项式，j = k - k + l ，k - k + 2 ，k ，并且当歹 o 时，m j = 0 ；n j = o 时，m j = c ，c 为任意的常数，x ( 名) 为( 2 1 2 ) 式 ( 2 ) 当指标圪= o 时，其一般解w ( z ) = c x ( z ) ( 3 ) 当指标圪 0 时，它只有零解 证明 由g ( 亡) 0 ，g ( t ) 日，且仡= i n d x g ( t ) ，于是令 g o