（专门史专业论文）明清算学歌诀化及其在江南产业技术中的运用.pdf

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q i n gd y n a s t ya r i t h m e t i cf o r m u l ai nv e r s ew i t ht h i st i m e i n d u s t r y e c o n o m i cd e v e l o p m e n to fj i a n g n a n ，t h es o c i a lo p e r a t i v et e c h n o l o g yt op r o g r e s st h er e l a t e d n e s st o h a v et h ei m p o r t a n ta c a d e m i cv a l u ea n dt h es o c i a lm e a n i n g k e yw o r d s ：m i n g - q i n gj i a n g n a n a r i t h m e t i cf o r m u l ai nv e r s e r e c k o n i n gb y t h ea b a c u si n d u s t r i a lt e c h n o l o g y l i w r i t t e n b y ：s u o y u s u p e r v i s e db y ：p r o y ut o n g y u a n 罔三王 日永 绪j 仑1 第一章明清算学歌诀兴盛及其内容种类5 第一节元末明初算学启蒙中算学歌诀5 一、算学启蒙的产生及其历史背景5 二、算学启蒙中的歌诀举例”6 三、算学启蒙对算学歌诀化的影响“1 0 第二节明中后期算学统宗中算学歌诀1 1 一、成书和流传1 2 二、歌诀分类1 2 三、珠算口诀系统1 6 第三节民间算学歌诀的兴盛2 0 一、工匠算学歌诀2 0 二、音律知识算学歌诀2 2 三、其它算学歌诀2 2 第二章算学歌诀在江南产业技术中的运用2 5 第一节算学歌诀在农业技术及农村生活中的应用_ 2 5 一、丈量田地中的算学歌诀2 5 二、水利工程中的技术歌诀3 5 三、小农日常家计中计算歌诀3 8 第二节算学歌诀在建筑技术中的应用4 4 一、明清江南建筑技术的数量化4 4 二、建筑技术中的实数化歌诀4 6 三、建筑技术中的概数化歌诀5 0 第三节算学歌诀在商贸计算中应用5 3 一、商贸计算中珠算制度建立5 3 二、珠算四则运算歌诀的应用6 0 三、盈亏计算的歌诀6 3 四、商业难题歌诀 斤两换算歌诀 歌诀化与江南社会经济发展 明清算学教育与算学歌诀化 官方算学教育 民间算学教育7 3 歌诀化与民间算学知识普及7 6 算学歌诀化与江南产业技术的科学化7 7 产业技术科学化的含义7 7 明清江南产业技术科学化趋势7 8 算学歌诀化促进江南产业技术科学化7 9 算学歌诀化与江南商品经济发展81 明清江南商品市场的发展8 1 明清江南商品经济发达的算学基础8 4 8 7 j 8 9 本人出版或公开发表的论著、论文9 3 9 4 明清算学歌诀化及) e n ：江南产业技术中的运用绪论 绪论 一、选题依据 众所周知，从事农业、商业，和工业活动都需要一定的数学知识，尤其是计 算能力。大多数生产活动都涉及到度量衡，而度量衡则以实用数学为基础，可是 这一点在以往的研究中被全然忽视了。明清江南由于经济发达，农、工、商业对 数学的需要日益增加，例如，就我所知珠算技术与商业的关系是极为密切的，而 珠算是算盘搭配口诀的一整套的计算体系，如果不会口诀是没办法计算的。直到 现在还在使用的珠算加法口诀( “一上一 ，“一下五除四”，“一退九进一十 ，“二 上二 ，“二下五除三”等等) 和减法口诀( “一去一 ，“一上四去五 ，“一退十还 九”，“二去二 ，“二上三去五”等等) ，这些口诀的完善对促进了珠算技术的发展 有着重要的意义。 翻看明清科学技术文献，除去珠算口诀，很多数学著作中还存在有大量的其 它种类算学歌诀。明清算书中用诗词歌诀形式来表达数学内容，非常普遍，例如 这首猜算原酒 今携一壶酒，游春郊外走，逢友加一倍，入店饮九斗。 相逢三处店，饮尽壶中酒。试问能算士，如何知原有? 意思是讲一个人带着一壶酒，在郊外春游，遇见朋友，就往壶中加酒一倍， 然后与朋友进店饮酒一斗九，与朋友相逢三次，在三座店里饮“了酒，最后喝尽 壶中的酒，试问善于计算的人，壶中原有多少酒? 列成现在的算式就是： 【( 1 9 + 2 + 1 9 ) + 1 9 】2 = ( 2 8 5 + 2 + 1 9 ) 2 = 3 3 2 5 + 2 = 1 6 6 2 5 ( 斗) 。 此诗不仅朗朗上口，而且具有浓厚的生活气息。读罢全诗，仿佛在眼前展现 出一幅情趣盎然的携酒春游图。这种大众化的生动诗歌，无疑会引起读者的兴趣。 像这样的歌诀还有许多，并成为中国算学发展的一大特色，但是，学习了这 些歌诀之后要如何在实际中应用，少有人关注，所以，本文主要从算学歌诀化着 手，来探讨其在明清江南产业经济技术中的运用。这个方面的研究还很欠缺，因 此这个选题具有一定的开拓性。 程人位：直指算法统宗卷i 六，续修凹库全书予部天文算法类1 0 4 4 ) ，上海古籍版社，第2 0 3 页。 1 绪论叫清算学歌诀化及 e 在江南产业技术中的运用 二、研究综述 就我看到资料而言，与本文的研究直接相关的论文著作迄今还没发现。 以下面选取对本文写作启发比较大的著作或论文做一个简要的回顾： 首先是李俨的十三、十四世纪中国民间数学。这是相当专业数学史研究 著作，有些部分就我现有的水平理解还有难度，但是其中的一部分研究还是提供 给我很大的帮助和启发，比如书中列举一些古代的算书，而且还罗列了很多的算 学歌诀，并作了一些的分类和对比，缺憾就是这些歌诀未作解释，基本就事论事， 根本没有谈到这些歌诀的实际应用，基于此本文就在这些数学史专家研究的基础 上，做出进一步的延伸，探讨这些歌诀在实际产业经济中到底是如何运用的，希 望这样的研究能引起更多的人关注这个问题。 其次是李伯重的八股之外：明清江南的教育及其对经济的影响圆，文章主 要讲述了明清时期江南地区的精英教育及大众教育的内容( 特别是他们读写能力 和计算教育的培养) ，还有分析了教育对经济的影响，指出明清江南教育的普及 和发展对于明清江南经济的成长和江南经济成长模式的形成，起到了非常重要的 作用。其中谈到明清江南的计算教育尤其是珠算教育，但是没有涉及到算学歌诀 或是珠算口诀，应用也未提及，这就为本文的写作留下了很大的空间。 再有是张海英的从明清商书看商业知识的传授 ，此文主要讲述了随着社 会经济的发展而带来的社会经商、行商风气之盛，大量商书在社会上刊行，而这 种现象也凸现了那时期商人意识的觉醒和商人自身对这一职业的认可与重现，说 明了明清时期的商人已开始重视商业知识的累积和传播，并对子弟、生徒授以职 业的商贾教育。就经商而言，计算技术无疑非常重要，文中列举了一些实用的算 题，并给出解法，但对于相关的算学歌诀没有提到，珠算的应用更是没有谈到， 因此，本文第二章第三节专门论述了这些问题。 最后是劳汉生著的珠算与实用算术，此二牿主要从实用数学的角度柬审视 中国数学的发展历程。并对珠算的起源，算盘早期的结构，以及- 红r l f q 评价明代数 学等重大问题进行了深入的探讨研究。全书叙述全面、系统、新颖，严谨，岍于 。李俨：十三、十四山= 纪中国民问数学，科学 j l 版社1 9 5 7 年版。 国李们重：八股之外：i j 清江南的教育及e 对经济的影响，清史研究，2 0 0 4 年第1 期。 学张海英：从j 删清商书看商业知识的传授，浙江学刊，2 0 0 7 年第2 期。 回劳汉生：珠算与实用算术，河北科学技术 i j j 扳社2 0 0 2 年版。 2 明清算学歌诀化及t 在江南产业技术中的运用 绪论 是专- j ，性研究著作，算学歌诀内容介绍不多，实际的鹿用没有涉及，最重要的足 此- i s 为本文的写作提供了很多的理论知识，也j 仆司了不少思路。 三、研究资料 下面就论文写作中的使用的主要文献资料简要做一下分析： ( 一) 算学启蒙 作者是元代数学家朱世杰。 全书内容包括面积、体积、比例、开方、高次方程、天元术等，有例题，有 方法，分门别类，由浅入深，循序渐进，是一部很好的数学启蒙读物。此书曾传 至朝鲜、日本，朝鲜有李朝世宗十五年( 1 4 3 3 ) 的庆州府刻本，清顺治十七年( 1 6 6 0 ) 金州府尹金始振翻刻。清罗士琳等人，请人于北京寻获金刻本，道光十九年( 1 8 3 9 ) 由阮元作序，在扬州刊刻，后来诸版都根据此版本。书中记载有大量算学歌诀。 ( 二) 九章算法比类大全 作者是明代数学家吴敬。全书共l o 卷，成书于明景泰元年( 1 4 5 0 ) 。 此书是在九章算术的基础上“前增乘除开方起例之法，中添详注比类， 后续锁积演段还原之方 ，增加搜集到的古算及当时的应用题1 2 0 0 问，共1 4 0 0 余问。许多问题反映了明代与商业资本有关的社会经济情况。首卷为目录及乘除 开方起例，列出大数、小数记法，度量衡单位，整数与分数的四则运算口诀及其 名词解释，是全书的预备知识。卷1 卷9 ，对应九章算术各章，仍沿用九 章算术各章名命名。每卷首先自详解九章算法及刘徽的海岛算经、王 孝通的缉古算经中引出数道“古问 ，然后结合当时人们生产、生活实际中 的应用问题比类，最后以诗词形式总结出算法。卷1 0 专论开方，包括开平方、开 立方、开高次方及开带从平方、开带从立方，所用方法为贾宪三角各廉和立成释 锁开方法，而未采用宋元数学家十分娴熟的先进的增乘开方法。书中提到了算盘， 并给出了珠算加减法的口诀，还创造了后来称之为“先十法 的加减捷算法。 ( 三) 算法统宗 作者是明代数学家程大位。 全书1 7 卷，算法统宗评述了珠算规则，完善了珠算口诀，确立了算盘用 法，完成了由筹算到珠算的彻底转变。书后附录“算经源流”一篇，著录了北宋 元丰七年( 10 8 4 年) 以来的数字书目5 1 种。万历二十一年( 1 5 1 3 年) 刊行。 l 0 绪论l 蝴清算学歌诀化及) t 在江南产业技术中的运用 算法统宗从初版至民国时期，出现了很多不同的翻刻本、改编本，民间 还有各种抄本流传，对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用。 四、研究内容和方法 ( 一) 研究内容 本文正文分三个部分来论述，第一部分是明清算学歌诀的内容，分时期总结 算学歌诀的内容；第二部分是算学歌诀在江南产业技术中的运用，分为三个部分 一是算学歌诀在农业技术和农村生活中的运用，二是算学歌诀在建筑技术中的应 用，三是算学歌诀在商业计算技术中的应用，从而清晰的展现算学歌诀在各大产 业技术中的应用情况；第三章算学歌诀化与江南经济发展，试图探讨歌诀化引 起江南算学知识普及由此对江南经济产生的深层次的影响。 ( 二) 研究方法 l 、统计分析法：文章中在研究算学歌诀应用时采用此方法，分f - j 另j 类可以使 问题研究的脉络清晰，分析问题更加透彻。 2 、个案研究法：本文在研究算学歌诀内容时采取此方法，由于歌诀数量较多， 不能巨细，采取个案详略得当，而且富有个性化。 3 、本文采用导师余同元教授产业技术理论化的概念，所谓产业技术理论化即 产业技术的科学化，主要是指经验性技术或技术的经验形态向理论知识形态转变 的过程。产业技术的科学化主要表现有文本化、数量化、则例化、数理化、标准 化和学科化等。在这个理论的指导下探讨在算学歌诀形成文本的过程和其中所表 现出的科学内涵，及其最终对于产业技术走向科学化的影响。 五、创新和不足 本文在选题和材料的利用研究的角度选择上，均试图有所创新。具体而言，第 一，学术界对明清时期江南地区的珠算教育及算学歌诀，点上的研究上做了一些 工作，但是几乎没有看见系统研究，这是本文在研究内容上的一个创新；第二， 在众多研究明清江南区域经济的文章中，对于产业经济，商业的研究，对于产业 状况及教育等关注较多，但很少有从算学歌诀这种有中国特色的科学技术传播方 式的角度来入手的，从这个意义上说，这是本文在立意上的一个创新之处。 由于时间上的仓促，资料的搜集还很不充分，对有些材料的解读还存在一些问 题，还有很多方面的研究也不够深入，这些都期待以后写作中改进。 4 _ ! j 】清算学歌诀化及其在江南产业技术中的运用第一章f j 清算学歌诀兴盛及1 e 内容种类 丛立 弟一覃明清算学歌诀兴盛及其内容种类 歌诀，分为诗歌和口诀，易记易诵，是中国传统科学技术的一种重要表达形 式，中国古代的算学家和广大的劳动人民将有中国语言特色的歌诀创造性的运用 于算学，算学问题、算学公式、运算法则、解题过程等都有用歌诀表达的，这成 为了中国古代算学传播普及的一种重要形式，也是中算的一大特色。 第一节元末明初算学启蒙中算学歌诀 一、算学启蒙的产生及其历史背景 中国古代数学体系大致是遵循着“经世致用 的观念展开的。古人在思想观 念、行为方式与思维方式等方面都有着极深的实用主义色彩，这些都对中国古代 数学有相当的影响。宋代数学家秦九韶在数书九章自序中把数学的功效概括为： “大则可以通神明，顺性命；小则可以经世务，类万物”。中国最古老的数学典籍 九章算术更是开数学实用性编纂体例之先河。1 6 世纪以前的中国数学书籍大 都是应用问题解法的集成，原则上均遵循九章算术的著述体例。这种实例集 锦的编写格式，深刻地反映出中国古代数学研究重实用轻理论的传统和风格。而 算学的歌诀化正是在这种实用性的基础上发展起来的。 歌诀作为中国数学传播的一种重要形式，唐代已在数学著作中出现，例如三 元化零歌、求一化零歌等书，虽然这些书今已失传，但是可以肯定其中有一 些歌诀。元末以来，算书成为算学歌诀的集大成者，算法全能集、详明算法、 数学通轨、盘珠算法等书中都有大量的歌诀。而这一时期最为著名的就是 朱世杰的算学启蒙。 隋唐之后，随着经济中心和文化中心逐渐南移，到了五代十国时期，长江中 下游一带，相对比较稳定，之后金兵入侵迫使宋王朝南迁，由此江南地区的农业、 手工业、商业和城市建设等都有较大发展。在这样的社会条件下，中国数学中自 晚唐以来形成的简化筹算的趋势有了进一步的发展，r 用数学和商用数学更加普 及。南宋时杨辉的著作可以作为这一倾向的开始，而朱世杰所著的算学启蒙， 则是这一倾向的继承和发展。 算学启蒙是元代算书，可是它的流传和应用主要在明清时期。它的作者 朱世杰在继承和发展北方的数学成就的基础上，还吸收了当时南方的数学成就 气 p-li_ii “_-o-il l r 第一章i 刃清算学歌诀兴盛及l e 内容种类i h j 清算学歌诀化及j e 在江南产业披术中的 各种日用、商用数学的口诀、歌诀等。原本南北之间的数学交流是比较少的， 由于朱世杰本人“周流四方，复游广陵( 今扬州) ”，在长期游学、讲学之后，于1 2 9 9 年和1 3 0 3 年在扬州刊刻了他的两部数学著作一算学启蒙和四元玉鉴。 据李伯重教授的考证明清中国童蒙教育中主要算学教材之- g o 为元代朱世杰 的算学启蒙，可见算学启蒙在明清算学教育中仍旧发挥重大作用。 二、算学启蒙中的歌诀举例 算学启蒙分上中下三卷，共2 0 门，2 5 9 问，内容包括四则运算、面积和 体积计算、比例问题、跺积问题、线性方程组、开方、天元术等多方面的数学知 识，形成一个相当完整的体系。“卷首”总括“是全书的纲要，包括了解题所必须 的各种定义、法则及数据。 算学启蒙中大量使用歌诀进行阐述。 释九数法) ) 。 释九数法即九九乘法歌，俗称“小九九”。这是最初等的算术基础， 所以列为第一项，所载口诀与今完全一致，如“一一如一”到“九九八十一 共 4 5 句。 一一如一 一二如二，二二如四。 一三如三，二三如六，三三如九。 一四如四，二四如八，三四一十二，四四一十六。 一五如五，二五一十，三五一十五， 四五二十，五五二十五。 一六如六，二六一十二，三六一十八，四六二十四，五六三十，六六三十六。 一七如七，二七一十四，三七二十一，四七二十八，五七三十五， 六七四十二，七七四十九。 一八如八，二八一十六，三八二十四，四八三十二，五八四十， 六八四十八，七八五十六，八八六十四。 一九如九，二九一十八，三九二十七，四九三十六，五九四十五， 六九五十四，七九六十三，八九七十二，九九八十一。 以上的口诀，翻译成阿拉伯数字，其实就是我们小学开始学习数学时整天背 诵的乘法口诀表： 国孔国平：李治朱世杰与会元数学，河北科学技术i n 版社2 0 0 0 年版，笫6 0 页。 审朱世杰编、罗 ：林梭：新编算学启蒙，总括释九数法，道光h l 年维扬校刻本，第5 页 6 明清算学歌诀化及其柱江南产业技术中的运用第一章明清算学歌诀兴盛及 e 内容种类 1 1 = 1 1x 2 = 2 ，2 2 = 4 1 x 3 = 3 ，2 x 3 = 6 ，3 3 = 9 1x 4 = 4 ，2 x 4 = 8 ，3 4 = 1 2 ，4 x 4 = 1 6 1 x 5 = 5 ，2 5 = 1 0 ，3 x 5 = 1 5 ，4 x 5 = 2 0 ，5 x 5 = 2 5 1x 6 = 6 ，2 x 6 = 1 2 ，3 6 = 1 6 ，4 6 = 2 4 ，5 6 = 3 0 ，6 x 6 = 3 6 1 x 7 = 7 ，2 x 7 = 1 4 ，3 x 7 = 2 1 ，4 x 7 = 2 8 ，5 x 7 = 3 5 ，6 x 7 = 4 2 ，7 x 7 = 4 9 1 8 = 8 ，2 x 8 = 1 6 ，3 8 = 2 4 ，4 8 = 3 2 ，5 x 8 = 4 0 ，6 x 8 = 4 8 ，7 x 8 = 5 6 ，8 8 = 6 4 1 x 9 = 9 ，2 x 9 = 1 8 ，3 x 9 = 2 7 ，4 x 9 = 3 6 ，5 x 9 = 4 5 ，6 9 = 5 4 ，7 9 = 6 3 ，8 9 = 7 2 ，9 x 9 = 8 l 可见，“九九乘法表”在中国是源远流长。 ( 二) 九归除法 九归除法即归除歌诀。这是朱世杰在总结前人有关歌诀的基础上，加 以规范而成的，文字简练、准确，与流传至今的珠算归除歌诀几乎完全一致。现 照录如下： 一归如一进 二一添作五 三一三十一 四一二十二 五归添一倍 六一下加四 六五八十二 七一下加三七 七五七十一 八一下加二 八五六十二 九归随身下 见一进成十 逢二进成十 三二六十二 四二添作五 逢五进成十 六二三十二 逢六进成十 七二下加六 七六八十四 八二下加四 八六七十四 逢九进成十 逢三进成十 四三七十二逢四进成十 六三添作五六四六十四 三四十二 逢七进成十 八三下加六 八七八十六 七四五十五 八四添作五 逢八进成十 其实在这里指出除法运算过程就是：被除数= 除数商数+ 余数。“其实质可以 看成是运筹“归纳”程序中的一种除法。辞海中“归”的释义就是“归结、归并、 m 朱世杰：新编算学启蒙三卷总括一卷，引自续修四库全书子部天文算法类1 0 4 3 ) ) ，上海古籍 版祉，第1 5 4 - 1 5 5 页。 7 lji【l 归 法 就 出 朱 为 诗 减 称，诸分母子指分数及其运算方法，长阔堆积指面积、体积和垛积等运算，盈肭 互隐，盈肭即盈不足，正负行例指正负数运算规则，勾股弦数指勾股形及其有关 的定理，开方各色指各种开方术。 ( 三) 斤下留法与明纵横法 除去最基础的算法歌诀，书中还有生活中各种实用的歌诀，如斤下留法， 斤下留法即斤两化零歌。朱世杰说：“斤下带两者，当以十六约之，今则就省， 以此代之也。”杨辉曾编著“斤价化两歌 ，但文字不够简练。如下： 一求，隔位六二五；二求，退位一二五； 三求，一八七五记；四求，改日二十五； 五求，三一二五是；六求，两价三七五； 七求，四三七五置；八求，转身变做五。 在古代，由于一斤等于十六两，所以这首歌诀我们可以用现代的数学公式来 表示，其意思或许能更加清楚明白： “一求，隔位六二五 就是1 1 6 = 0 0 6 2 5 ： “二求，退位一二五 就是2 1 6 = 0 1 2 5 ： 。李培业：算法纂要校释， 安徽教育_ j j 版社1 9 8 6 年版，第5 2 页。 。7 朱世杰撰、罗：l ：林校：新编算学启蒙，总括斤两化零歌，第6 页。 8 塑堕丝堂坠鲨垡丝基垄坚塑兰些丝查! 塑垩旦 笙二皇! 塑堕簦堂坠望茎壁丝! ! 塑窒型鲞 “三求，- - ) k 七五记就是3 1 6 = 0 18 7 5 ； “四求，改日二十五 就是4 1 6 = 0 2 5 ； “五求，三一二五是”就是5 1 6 = 0 3 1 2 5 ； “六求，两价三七五 就是6 1 6 = 0 3 7 5 ： “七求，四三七五置”就是7 1 6 = o 4 3 7 5 ： “八求，转身变做五就是8 1 6 = o 5 。 算学启蒙中所载斤两化零歌为： 一退六二五二留一二五三留一八七五四留二五 五留三一二五六留三七五七留四三七五八留单五 九留五六二五十留六二五十一留六八七五十二留七五 十三留八一二五十四留八七五十五留九三七五 因为1 斤= 1 6 两，故此歌诀共1 5 句，实际上给出了不足一斤的各两化为斤的 小数数值，相邻两数间相关0 0 6 2 5 。这个歌诀与杨辉的“斤价化两歌”相比，更 接近后世的珠算口诀。 明纵横法即筹算识位制度。筹算历史可以上溯到春秋战国时代，但在现存古 算书中以歌诀形式给出筹算识位制者，以孙子算经为最早。书中写道： 一纵十横百立千僵。 千十相望万百相当 筹算是以算筹作工具，摆成纵式和横式两种数字，按照纵横相间( 一纵十横， 百立千僵) 的原则表示任何自然数从而进行加减乘除开方以及其他代数计算。 举个例子，在孙子算经有这样一道题叫“鸡兔同笼”，即“今有鸡兔同 笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”? 算经里的“术文 和答案是“上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。答日： 鸡二十三，兔十二。 而术文中的“上置头，下置足 ，其实是在说用筹算时，头数要摆在上面， 足数要摆在下面；“半其足 意思为将足数折成一半，即用足数除以2 得之； “以头除足，以足除头”的“除”，并非“加减乘除 中的除法，而是“减去 和“抵消”的意思，而且古人在讲减法算式的时候，习惯将减数说在前面， m 朱世杰撰、罗_ 1 ：林校：新编算学启蒙，总括斤两化零歌，第6 页。 宙孔国- 卜：李治，未世杰1 j 金冗数学， i 】j 北科学技术i 版社2 0 0 0 年版，第31 6 页。 固梅荣照：i 一进位值制、筹算和珠算，自然科学史研究，2 0 0 5 年。 。 9 ，r，r ，r 第一章i j 清算学歌诀兴盛及1 内容种类 l 刿清算学歌诀化及j e 神：江南产业披术中的运用 而将被减数说在后面，那么“以头除足”意思就是用足数减去头数，而“以 足除头”，就是用头数减去足数。 其实这道题在求解的过程中，就是要进行两次减法，一次是4 7 3 5 = 1 2 ， 一次是3 5 1 2 = 2 3 。 算学启蒙进一步将上述歌诀扩充为十二句，更为完善，而且言简意赅， 朗朗上口，自此成为定式。现照录如下： 一纵十横百立千僵 千十相望万百相当 满六以上五在上方 六不积算五不单张 言十自过不满自当 若明此决可习九章 而后世珠算中的留头乘法即由此发展而来，此法与身外加法一理，只是首位 数大，更具一般性。笔算笔法自术位呼，而此法从次位呼起，显然适于珠算，易 于定位。 再如：九归除法门，九归除法门即多位除法，为纵横因法门和留头乘法门之 还原，与身外减法同理，只是更具一般性。朱世杰首先给出归除歌诀 实少法多从法归，实多满法进前居。 常存除数专心记，法实相停九十余。 但遇无除还头位，然将释九数呼除。 流传故泄真消息，求一穿韬总不如。 歌中言“但遇无除还头位 ，是因九归有“进成十 之法，若余实不受除则不 能进成十，即以本位之数移入下位，如本位一移作下位十，本位二移作下位二十 等，然后自下位呼之。 三、算学启蒙对算学歌诀化的影响 我们从元代数学书内容的转变，可以看出古代筹算向珠算转变的趋势。朱世 杰的算学启蒙，已总结出规范、简明的算法口诀，而且他不仅精通算理，在数 学的普及教育方面也是下了大功夫。例如纵横因法门中的一位数乘法法则： m 朱世杰撰、罗j 二林校：新编算学启蒙，总括明纵横法，第2 页。 峨朱世杰撰、罗：i ：林校：新编算学启蒙，j 二卷九归除法门，第1 2 页。 i o 塑塑簦兰壁盗些丝! ! 垄望堕兰些垫查主塑圣旦 笙二至婴塑簦堂坠盗登壁垄坚堕查型鲞 此法从来向上因，但言十者过其身。呼如本位须当作，知算纵横数目真。 身j i - 7 9 h 法f - j ) ) 中的首位数字是一的乘法法则： 算中加法最堪夸，言十之时就位加。但遇呼如身下列，君从法式定无差。 这些歌诀主要还是用于筹算的，而且从元代整个数学研究的内容看，数学是 从研究高深问题逐渐转变为解决日常应用问题，也就是说数学从少数知识分子的 研究走向民间而珠算是从民间普及开来的，故数学自然与珠算相结合。人们从研 究筹算算法转入珠算算法，也就是如何把筹算算法改造得能在算盘上实现，是元 代数学发展的中心问题。算学启蒙正是处在这个历史的节点上，可以说，元代 是筹算逐渐衰落，珠算逐渐盛行的时代。 算学启蒙中的歌诀已经很接近后世的一些珠算口诀，而且这些歌诀朗朗上 口，便于理解和记忆，很受初学者欢迎。与算学启蒙中以歌诀表示算法相对 应，朱世杰在四元玉鉴中以歌谣形式提出一些算学问题。这些语言优美、合 辙押韵的歌谣增加了数学学习的趣味性，对普及数学教育也很有帮助。这种歌谣 形式的题目在之前的算学书中是不多见的，直到明代中期以后，程大位在算法 统宗中将这种歌谣化的精神发扬光大了 由于珠算代替筹算需要一个过程，甚至是一个较为缓慢的过程，所以要定出 珠算代替筹算的具体年代是有困难的因为一种计算工具代替另一种计算工具，先 要有一完整系统的理论，能适应社会发展的需要，并为人们所接受和采用。 算学启蒙之后，在商业界珠算代替筹算至迟在1 5 世纪末已经完成，而1 6 世纪则是珠算扩大应用领域并进一步发展的时期，就数学书籍的内容来说除了王 文素的算学宝鉴外，吴敬的九章详注比类算法大全，徐心鲁订正的盘珠 算法，柯尚迁的数学通轨都与珠算有关，甚至已明言珠算，一些珠算法及其 口诀已有雏形就客观原因来说，嘉靖至万历年间，长江流域和东南沿海各地商业 兴盛，手工业作坊也有所发展，广大工商人士急需珠算技术。正是由于社会实际 的需要，并在总结前人已有珠算成果的基础上，程大位的算法统宗应运而生了。 第二节明中后期算学统宗中算学歌诀 明代开始，用歌诀形式表现算法逐渐为数学家们所偏爱，特别是明代中期以 后，算书中使用诗词歌诀成了时尚。这一时期影响最大的一部算学书当属程大位 的算学统宗。 第一章明清算学歌诀兴盛及) e 内容种类 i 清算学歌诀化及j e 存江南产业技术中的运用 一、成书和流传 在中国珠算史上，影响最为深远的，非算法统宗莫属，书的作者程大位 ( 1 5 3 3 1 6 0 6 年) ，明代休宁人，擅长算学。从2 0 多岁起便在长江中下游吴楚( 今 江苏、浙江、湖南、湖北) 经商，由于对数学有浓厚的兴趣，不惜重金收罗了各 个时期很多算学书籍，为算学统宗的完成做足了资料准备。到4 0 岁左右，程 大位弃商返乡钻研数学，经过不懈的努力，到6 0 岁时( 1 5 9 2 年) ，终于“参会诸 家之法，附以一得之愚”，编著成了直指算法统宗十七卷。其后6 年，又在此 基础上，“删其繁芜，揭其要领 ，缩编为算法篡要四卷。 休宁明代属于徽州府，徽人多以经商为业，商贾交易要求快速，算盘是计算 的利器，商人自然要学会珠算技术，而此时江南一带珠算著作还不多见，所以，算 法统宗一经问世，凡从事计算的人，“莫不家藏一编”，足见影响之大。四库全 书总目提要评论算法统宗说：“此书专为珠算而作，其法皆切于民用，故世 俗通行。” 值得一提的是清乾隆二十二年( 1 7 5 7 年) ，7 8 岁的数学家梅毂成( 1 6 8 1 1 7 6 3 年) 修订了算法统宗，为增删算法统宗。在书中“退法歌一节他指出：“算 法之珠算，简妙极矣。一持筹之法，变而珠算，亦如篆籀八分之变楷，封建井田 之变郡县阡陌，皆变之极，而不复返者也。由此，可以看出他已充分了解珠算的 优越性。由于梅毂成的地位和影响，增删算法统宗对扭转长期以来士大夫轻视 珠算的积习，有一定的影n 向，客观上也促进了珠算的传播。 清代编古今图书集成把算法统综全部辑录，清代各地书坊出版的珠 算术书，不是算法统宗的翻刻本，就是改编本，此外，算法统宗还流传到 了日本，朝鲜等国家，足见影响之大。 二、歌诀分类 明代数学的特点之一是用诗词歌诀的形式来表达数学内容。程大位在算法 统宗中继承了明代数学的这个传统，把令人望而生畏的数学内容用诗词歌诀的 文学语言表达出来，使之趣味化，这对数学知识的传播起了不小的作用，特别是 某些题目以这种形式在民间广为流传，代代相传。算法统宗全书共收有诗词 歌诀2 0 0 多个，其中有不少是经过长久流传的。从数学上讲，这些歌诀大概可以 分为三类。 1 2 型鲎簦堂鍪鎏些丝! ! 塑；坚堕兰些丝查! 竺望旦笙= 主! ! ! ! 堂丝堂坠望茎壁丝些塑查登鲞 第一类是对数学的总论。如“先贤格言讲述数学的重要性，学习数学的必 要性难度等，称“世间六艺任纷纷，算乃人之根本。知书不知算法，如临暗室昏 昏。谩同高手细评论，数彻无萦方寸。 又如“算法提纲”，讲学习数学的方法。 再如“算学节要”，讲述学习珠算乘除法的要领，强调“学算之人须努力”，“有能 致意用功夫，算学虽深可尽识。”这些都是对数学及数学教学的一般论述。 第二类是对各种算法、公式和数学方法的说明。如“定位总歌”、“十二字 决”、“定位秘诀 等是专门讲述定运算结果的。讲算法的如“因法歌”、“归 因总歌”、“九归歌”、“乘法歌 、“归除歌”、“加法歌”、“减法歌”、 “商除歌”等等。讲公式的歌诀也特别多，如“丈量田地总歌 及“又歌 ( 卷 三) 、“盘量仓窖歌”( 卷四) 、“匿价差分歌”( 卷五) 、“贵贱差分歌( 卷五) 、 “归除平方带纵歌 ( 卷六) 、各类求截积歌( 卷七) 、“筑堤歌”( 卷八) 、”二 色方程歌“( 卷十一) 、 各类勾股互求歌( 卷十二) ，等等。例如：勾股求弦、 勾弦求股、股弦求勾共歌 勾股求弦各自乘，乘来相并要分明。开方便见弦之教，法术从来有见成。 勾弦求股要推许，各自乘来各一张。以少减多余作实，实求股数要开方。 弦股求勾皆一例，算师熟记莫相忘。 按照我们现在学的数学知识而言，如果三个自然数，其中两个自然数的平 方和恰等于第三个数的平方，那么这样的三个数就叫做“勾股弦数”。勾、股、 弦本是直角三角形三个边的名称。较短的直角边称“勾”，较长的直角边称 “股”，斜边称“弦 。所谓勾股求弦、勾弦求股、股弦求勾就是知道其中两 个边，求第三边。 勾股容方、容圆共歌 勾股容方法最良， 勾股容圆法可知， 法除倍实为圆数， 以勾乘股实相当。 勾弦股数并为奇。 算者详之不用疑。 并之勾股数为法， 三数并来为法则， 以法除实便知方。 勾股相乘倍实宜。 例如九章算术勾股章第1 5 题“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何。 这道题其实意思是假设勾长为5 步，股长为1 2 步，问勾股形中内接正方形的边长 是多少。九章术日：并勾、股为法，勾股相乘为实，实如法而一，得方一步。 答日：方三步、十七分步之九。而这道题的解决方法就是用勾股的积除以勾股的 。郭世荣：算法统宗导读卷下，湖北教育 | 版2 0 0 0 年版，第3 4 0 页。 国程人位：直指算法统宗卷1 一二，续修四库全书予部天文算法类1 0 4 4 ，上海古籍i j i 版社，第1 6 9 页。 1 3 第一帝叨清算学歌诀兴盛及 e 内容种类 和即可得出答案，按照上面的歌诀而言， 法除实”其实就是用“实除以法”。 以上是有关于勾股定理的歌诀， 的范围很广。 它指 开平方法认商歌。 一百一十定无疑，一千三十有零余。 得商方除倍作廉，次商名隅并廉除。余数续商隅又倍，只依此法取空虚。 开平方法认商歌首先强调的是如何决定初商，从开平方是平方的还原的 角度，说明了如何根据实数的大小决定初商数。 总之，算法统宗全书中每个重要的算法和公式，都有一首或两首歌诀与之 相应，这样的歌诀共有1 0 0 多首，这1 0 0 多首歌诀基本上都是绝句形式。有些歌 诀能够相当准确的反应所述的算法或公式，不需要解释也能理解。 第三类是用歌诀形式编写题目，即所谓的“难题”。在卷十三卷十六中共 有难题1 0 8 个，在卷三卷十二中也有少量题目属于此类。算法统宗的难题 除了以五言、六言、七言等文体编题外，还涉及“西江月、水仙子、驻马听”等 各种词牌。比如这首西江月 净拣棉花弹细，相和共雇王婿，九斤十二是张昌，李德五斤四两。纺讫织成 布匹，一百八尺曾量，两家分布要明彰，莫得些儿偏向。 这首词的题意是：张李二家分别有棉九斤十二两和五斤四两，雇佣了王孀来直 补，得到1