（应用数学专业论文）非线性算子的正不动点及多项式零点的分布.pdf

摘要 本文致力于研究如下两个方面的问题： ( 1 ) 非线性算子正不动点的存在唯一性及其应用； ( 2 ) 多项式零点的分布，包括多项式的稳定性以及多项式零点的环形界。 全文共分五章。下面我们介绍一下各章的主要内容。 首先，在第一章我们简要介绍了本文的研究工作以及与之相关的背 景知识和发展概况。 在第二章预备知识中我们介绍了本文所需的基本概念及其性质，这 包括实b a n a c h 空间中锥、体锥、正规锥的概念及几类我们所要讨论的非 线性算子的定义，此外还给出了有界线性算子半群以及正半群的相关概 念和结论。 本文的三、四两章研究了非线性算子正不动点的存在唯一性及其在 非线性积分方程中的应用。 在第三章，我们利用非线性泛函分析中的半序方法、锥理论、逐次迭 代技术，结合正半群理论分别获得了带次线性扰动与仿射扰动的减算子 正不动点定理，并将其应用于非线性积分方程中得到了正解的存在唯一 性。就我们所知这方面的结果是新的。 在第四章，我们进一步研究了混合单调算子的正不动点。其一是考察 了两类具有凸凹性的混合单调算子并获得了相应的正不动点定理。其二， 我们给出了新的带仿射扰动的混合单调算子正不动点的存在唯一性及迭 代序列的收敛性定理。这些定理推广了以往的相关结果。它们都在非线 性积分方程的研究中取得了好的应用。 需要指出的是，在第三、四两章所获得的定理中并不要求所讨论的算 子具有紧性或连续性。 在第五章，我们讨论了自动控制领域所提出的多项式零点的分布问 题，这包括多项式的稳定性问题和多项式零点的环形界问题。在本章我 们给出了一个拟临界复多项式的稳定性判据，该判据较以往相关结果更 为简单且易于检验。另外我们获得了一个新的多项式零点的环形界，这 中国科学技术大学博士学位论文 改进了以前的相应结果。本章还举了几个数值的例子以说明我们结果的 优越性。 a b s t r a c t t h i st h e s i si sc o n c e r n e dw i t ht h ef o l l o w i n gp r o b l e m s ： ( 1 ) p o s i t i v ef i x e dp o i n t so fn o n l i n e a ro p e r a t o r sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ： ( 2 ) d i s t r i b u t i o no fp o l y n o m i a lz e r o s ，i n c l u d i n gt h es t a b i l i t yo fp o l y n o m i a l sa n dt h e a n n u l a rb o u n do fp o l y n o m i a lz e i o s i ti sd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s w en o wb r i e f l yd i s c u s st h ec o n t e n t so fe a c hc h a p t e r c h a p t e r1p r o v i d e sab r i e fi n t r o d u c t i o na n da no v e r v i e wo fb a c k g r o u n dm a t e r i a l sa n dr e c e n td e v e l o p m e n t si nn o n l i n e a rf l m c t i o n a la n a l y s i s ( e s p e c i a l l y ，t h ep a r t i a l o r d e r i n gm e t h o d s ) a n dt h ed i s t r i b u t i o no fp o l y n o m i a lz e r o s c h a p t e r2c o n t a i n ss o m ee l e m e n t a r yc o n c e p t sa n db a s i cr e s u l t sw h i c hw i l lb e u s e di nt h i st h e s i s ，i n c l u d i n gc o n e ，s o l i dc o n e ，n o r m a lc o n ei nr e a lb a n a c hs p a c e sa n d s e v e i a lc l a s s e so fn o n l i n e a ro p e r a t o r s i n a d d i t i o n ) w ei n t r o d u c eb r i e f l yt h et h e o r y o fs e m i g r o u p so fb o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sa n dp o s i t i v es e n f i g r o u p s c h a p t e r s3a n d4c o n s t i t u t eas u r v e yo fp o s i t i v e , f i x e dp o i n t so fn o n l i n e a ro p e r a t o r s i nc h a p t e r3 ，c o m b i n i n gt h ep a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i sa n dt h et h e o r yo fp o s i t i v es e m i g r o u p s ，w eo b t a i nt w op o s i t i v ef i x e dp o i n t t h e o r e m sf o rd e c r e a s i n go p e r a t o r sw i t hn o n l i n e a rp e r t u r b a t i o nv i ai t e r a t i v et e c h n i q u e t h ep e r t u r b a t i o no p e r a t o r sa r es u b l i n e a ra n da f f i n e ，r e s p e c t i v e l y t oo u r k n o w l e d g e ，r e s u l t so ft h i st y p ea r es c a r ei nt h el i t e r a t u r ea n dt h et h e o r e m si nt h i s c h a p t e ra r ed e f i n i t e l yn e w a sa p p l i c a t i o n sw eg i v ee x a m p l e st on o n l i n e a ri n t e g r a l e q u a t i o n s ，a n ds h o wt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ef u r t h e ri n v e s t i g a t ep o s i t i v ef i x e dp o i n t so fm i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r s 4 i sc e n t e r e da r o u n dt w oc l a s s e so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw i t h c o n v e x i t ya n dc o n c a v i t y ，a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ei t e r a t i v es e q u e n c e st op o s i t i v e f i x e dp o i n t si sp r o v e d i n 4 2 ，w eg e tan e we x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo f p o s i t i v ef i x e dp o i n t sf o rm i x e dm o n o t o n eo p e r a t m sw i t ha f l i n ep e r t u r b a t i o n t h e s e t h e o r e m se x t e n dt h ee x i s t i n gc o r r e s p o n d i n go n e sa n da r ea p p l i e dt on o n l i n e a ri n t e i l l 中国科学技术大学博士学位论文 g r a le q u a t i o n s i ts h o u l db ep o i n t e do u tt h a tw ed o n tr e q u i r et h eo p e r a t o r sd i s c u s s e di nc h a p t e r s3a n d4t ob ec o m p a c ta n dc o n t i n u o u s c h a p t e r5 ，t h el a s tc h a p t e ro ft h i sw o i k ，i sd e y o t e dt ot h es t u d yo ft h ed i s t r i b u t i o no fp o l y n o m i a lz e r o s ，i n c l u d i n gt h es t a b i l i t yo fp o l y n o m i a l sa n dt h ea n n u l a r b o u n do fp o l y n o m i a lz e r o s i nt h i sc h a p t e r ，as i m p l es t a b i l i t yc r i t e r i o no fq u a s i c r i t i c a lp o l y n o m i a l si sg i v e n c o m p a r e dw i t ht h ep r e v i o u sr e s u l t s ，t h i sm e t h o dc a l l t e s tq u i c k l yt h es t a b i l i t yo fc o m p l e xp o l y n o m i a l su n d e rt h eq u a s i c r i t i c a lc o n d i t i o n a l s oi nc h a p t e r5w eo b t a i na na n n u l a rb o u n do fp o l y n o m i a lz e r o s i ns o m ec a s e s ， i ti m p r o v e st h ee x i s t i n gc o r r e s p o n d i n gr e s u l t s m o r e o v e r ，f o rt h es a k eo fi l l u s t r a t i n g o u rr e s u l t s ，s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oa n a l y z et h er e l a t i v es t a b i l i t yo r t h ei n s t a b i l i t yo fl i n e a rd i s c r e t e t i m es y s t e m s l v 第一章绪论 本章简要介绍了与本文所研究问题( 包括非线性算子的正不动点及 多项式零点的分布) 有关的背景知识、发展概况以及我们的主要工作。 1 1 非线性算子的正不动点 在数学、物理学及许多工程技术学科中，人们经常会遇到各种各样由 非线性方程( 如非线性积分方程、非线性微分方程) 所描述的非线性问 题。例如，在核物理的中子迁移理论中，考虑位于两平面z = 一a 和z = a 之间的无限长板式核反应堆，则会出现下面的非线性积分微分方程( 参 见文献【3 0 】、 3 5 】、 7 8 、【7 9 】) ： p 瓦o u 一盯饥+ i c o 1 咄z ，弘7 ) d 。t = a f ( 丢u ( z m ) ， 其中， f ( 2 ) = c 七 ( 1 一z ) 七一1 + k z 】，c k 0 ，c 七= 1 ，k c 萨c ， 且c z ，c 3 ，c 中至少有一个不为零( 即f ( 。) o ) 。 相应的边界条件为： lu ( o ，) = 0 ，p 0 iu ( - a ，p ) = 0 ，z ：c k ( 1 一z ) 七 k = o 进而可考察h a m m e r s t e i n 积分算子 ，。o a 妒= e ( i x 一可1 ) g ( 妒( 秒) ) d y 一口 不动点的存在性。由此可见，非线性算子的不动点无论在理论还是应用都 发挥着重要作用，关于这方面的研究结果可参见文献【2 、【2 5 、 5 3 】、【5 5 。 此外，由锥可以定义序关系“”，从而可以确定研究对象的非负性。这 就促使我们将非线性方程非负解( 即等价非线性算子的正不动点) 的存 在性问题置于锥的框架中来进行研究。另外，序关系还可将通常的单调 2 第一章绪论 中国科学技术大学博士学位论文 1 1 非线性算子的正不动点 性、凸凹性概念推广到高维空间，故我们可以利用这些性质来讨论非连 续性或非紧性算子正不动点的存在性问题。上个世纪八十年代以来郭大 钧、杜一宏、v l a k s h m i k a n t h a m 、孙经先等专家在不考虑紧性或连续性 条件下，仅用有关序的不等式就获得了实序b a n a c h 空间上的非线性单 调算子( 如增算子、减算子、混合单调算子) 正不动点的存在唯一性以 及迭代序列的收敛性定理，并将其应用于无界区域上的非线性积分方程 及右端具有间断项的非线性微分方程中获得了正解的存在性( 可参见文 献 2 1 】、 2 2 】、 2 4 、 3 1 卜一 4 6 】、 6 3 】一【6 8 、 7 0 】、- 8 6 卜一 9 2 】、 1 0 7 卜【1 1 0 】、 1 1 3 】 等) 。这一系列出色的工作使得半序方法逐渐成为非线性泛函分析中的一 个富有成效的方法。 在本文的第三、四两章我们利用半序方法、锥理论、逐次迭代技术 以及正半群理论分别对带非线性扰动的减算子和混合单调算子进行了研 究，给出了新的正不动点定理并将其应用于非线性积分方程中得到了正 解的存在唯一性。这些定理推广了以往的相关结果。 在第三章，我们讨论了带非线性扰动的减算子的正不动点。近年来虽 然人t r x , ：l 减算子的不动点研究较多( 如 3 3 卜 3 5 】、幽卜【4 3 】、【g s 、 11 0 】 等) ，但基本上是单纯地对其进行研究。就我们所知，目前还没有带非线 性扰动的减算子正不动点的相关结果。 在本章第一节，我们给出了一个新的实序b a n a c h 空间上带次线性扰 动的减算子的正不动点定理，也就是算子c = a + b 的正不动点的存在 唯一性定理。这里a 为减算子而b 是次线性算子。另外，作为应用，我 们讨论了如下的非线性积分方程： ，。0 2 g ( t ，s ) 厂( z ( s ) ) d s = 【l + g 1 ) z ) g 2 ( t ) x ( t + 丁) ，t ，下酞， a l 获得了正解的存在唯一性。此部分内容可参见文献( 6 8 】。 在第二节我们研究了a 为凸减算子，b 为仿射算子时c = a + b 的正 不动点，得到了相应的存在唯一性定理，并应用于下面的非线性积分方 程： ，c ( o ，( z ( s ) ) d s = 【王+ c l ( t ) x ( t ) 一g 2 ( t ) x ( t4 - 丁) 一g 3 ( 亡) ，t ，丁鼹， ，0 3 第一章绪论 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 多项式零点的分布 同样得到了正解的存在唯一性。 在第四章，我们进一步考察了混合单调算子4 ( ，) 的正不动点。关于 这类问题已有很多结果( 如文献 1 5 、 1 6 】、 3 8 】、 3 9 】、 4 4 】、 8 9 】、【9 2 】、 1 0 7 卜 1 0 9 】等) 。其中 1 0 8 】和 1 0 9 】分别对具有一定凹、凸性的混合单调算子进 行了讨论。 在本章第一节，我们研究了两类混合单调算子的正不动点，获得了存 在唯一性定理，这些定理都改进了【1 0 9 】中的相应结果并被应用于r m 中 无界区域的h a m m e r s t e i n 积分方程的研究中。 在第二节，我们不仅改进了 1 0 8 】的相关结果，而且还得到了一个新 的带仿射扰动的凹凸混合单调算子的正不动点定理j 也就是如下的算子 方程 a ( x ，z ) + b x = z ， z e 的正解的存在唯一性定理。其中，e 为实序b a n a c h 空间，a ( - ，) 是具有凹 凸性的混合单调算子，而扰动算子b 为仿射算子。作为应用，我们研究 了如下无界区域上的非线性积分方程+ ， l k ( t ，s ) ，( z ( s ) ) + 9 ( 。( s ) ) 】d s = 1 + g 1 ( 亡) z ) 一g 2 ( ) z ( t + 丁) 一g 3 ( t ) ， r m 这里t 、丁r m 。 需要指出的是在三、四两章所获得的结果中并没有对相关的算子作 紧性或连续性假设。 1 2 多项式零点的分布 本文还讨论了自动控制领域所提出的多项式零点的分布问题。关于 该问题已有很长的历史，它可以追溯到a l c a u c h y 1 4 】的经典结果： 对n 阶首一的复多项式 f ( z ) ：= z 礼+ a n - 1 扩一1 + a n - 2 z 礼一2 + + a l z + a o ， ( 1 2 1 ) 4 第一章绪论 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 多项式零点的分布 其所有零点都分布在圆盘d = z c il z l 1 + a ) 中。其中，q = ，n n z i ，l o t l ， ，l a n _ 1 1 。 这个问题大致包含两个方面的内容：一个是研究在何条件下多项式 的全部零点都分布在一个给定的区域d 中，也就是所谓多项式的稳定性 问题；另一个是找到区域d 使得给定多项式的零点都分布在d 中，若 d = 名c ir ，h r z ) ( r ，芝o ) ，则区域d 称为该多项式零点的环形 界。从中我们可以看出这两个方面实际上是相互关联的。 首先，我们谈一下多项式的稳定性问题。我们知道在工程技术中，系 统的稳定性是一个重要的定性性质，任何一个希望付诸于实际应用的系 统必须是稳定的系统，否则毫无意义可言。对下面的线性离散时间系统 z ( 忌) + a n - 1 z ( 庇一1 ) + + a o z ( k n ) = 0 ， k = 0 ，1 ，一， 其相应的特征多项式正如( i 2 1 ) 所示。如果它的全部零点都分布在单位 圆内部则该系统是渐进稳定的，亦称为s c h u r 稳定的。更一般地，若多项 式，( z ) 的所有零点都分布在区域d 中则称f ( z ) 是d 一稳定的。特别地， 如果d = z c lh o ) ，则称f ( z ) 是r 厂一稳定的。因此人们为了考 察系统的稳定性，或者对鲁棒控制系统进行参数空间设计( 也就是计算 参数空间中自由参数的取值范围，使得以该参数的函数为系数的多项式 是d 一稳定的) 时都要对特征多项式的稳定性与其系数的关系进行研究。 目前已有许多关于此类问题的结果( 如文献 珠 j ；】、 9 】、( 1 1 、f 1 8 】、 5 4 】、 【7 1 、 8 3 】、 1 0 3 】、 1 1 1 】等) 。特别是出于研究线性离散时间系统的需要， 很多学者竭力寻找多项式s c h u r 稳定的充要条件。 1 中给出一个众所周 知但条件较强的c o h n 稳定性判据： n 一1 若；a i l 0 使得 l i z + 秒| 1 c ，vx ，y p ，i l z i l = i l y l l = 1 ( v i i ) 存在常数7 0 使得 | i z + y l l 7 m a x l l x l l ，i l y l l ，vz ，y p 关于锥和由锥导出的序关系的详细讨论可参见文献 3 5 、 2 2 几类非线性算子 在本节我们将介绍几种本文所讨论的非线性算子。 由于引入了锥的概念，我们可以如下定义正算子_ o 定义2 2 1 设日，易为两个序向量空间。算子t ：e ，_ 易称为正算子 ( 记为t 0 ) ，若t ( p 1 ) c 尼，这里r 、b 分别为e 1 、e 2 上的锥。 在序b a n a c h 空间e 中我们可以将通常的单调函数的概念推广到高维 空间，即得到下面的单调算子的定义。 定义2 2 2 设wce 。若算子a ：_ e 满足 x l x 2 净a z l a x 2 ，z l ，z 2 彬 则称4 为增算子；若算子a 满足 z 1 x 2ja x l a x 2 ，x l ，x 2 彬 则称a 为减算子。 定义2 2 3 设wce ，于是w wce e 。若算子a ：w w _ e 关于 z 增y 减，即 x l ，x 2 ，y l ，y 2 彤x l x 2 ，y l y 2 a ( x l ，y 1 ) a ( z 2 ，到2 ) ， 9 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识2 2 几类非线性算子 则称算子4 是混合单调的。 若z + w 满足z + = a ( x + ，z + ) 则称x 8 是混合单调算子a 的不动点。 类似地，我们还可以定义具有凸凹性的算子。 定义2 2 4 设w 为e 中的凸子集。若算子a ：w _ e 满足 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a x + ( 1 一t ) a yz ，y 彤z y ，t 0 ，1 ， 则称算子a 为w 上的凸算子；若a 满足 a ( t x + ( 1 一t ) y ) t a x + ( 1 一t ) a yz ，彬z y ，t 0 ，l 】， 则称算子a 为w 上的凹算子。 此外，还有两种算子在本文中是作为扰动算子出现的，即如下的次线 性算子和仿射算子。 定义2 2 5 若算子b ：e _ e 满足 b ( s x ) s b x ， z 只s l ， 则称b 为次线性算子。 定义2 2 6 设w 为e 中的凸子集。若算子b ：w _ e 满足 b ( t x + ( 1 一t ) y ) = t b x 十( 1 一t ) b y ， z ，y 彬t 0 ，1 ， 则称b 为仿射算子。 可以证明下面的命题。 命题2 2 7 若为e 中的凸子集且算子b ：w e 为仿射算子，则算子 b b o 是线性的。 也就是说，仿射算子可以看作是线性算子的平移。 最后，我i l l g l 入次线性泛函及次微分的概念。 1 0 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识 2 3 有界线性算子半群和正半群 定义2 2 8 如果虫：e _ i r 满足 和 西( z + y ) 圣( z ) + 西( ! ，) ，z ，y e ， 圣( a z ) = 入圣( z ) ， 。ee ，入0 则称虫是次线性泛函。而在x e 的次微分a 西( z ) 被定义为 a 圣( z ) = e + l = 中( z ) ， 圣( 可) ，vy + e ) ， 这里e + 表示e 的对偶空间。 由h a h n b a n a c h 定理可知对所有的：r e ，a 量( ：e ) 非空。 2 3 有界线性算子半群和正半群 作为现代分析学的一个十分重要的分支，有界线性算子半群的基本 理论是上世纪4 0 年代产生和发展起来的。由于它在微分方程、概率论 ( m a r k o v 过程) 、控制理论、逼近论和量子理论等许多领域中得到了广泛 而深刻的应用，故相关研究一直为人所关注，并已成为上述领域以及研 究抽象发展方程的c a l m h y 问题和积分方程的基本工具之一。近年来，肖 体俊教授、梁进教授等在这方面及相关领域中取得了一批出色的研究成 果( 参见【6 9 、 9 9 _ 1 0 2 及这些论著后面的参考文献) 。 这一节我们将简要介绍一下有界线性算子半群及正半群的有关概念 与结论。在本节，我们用x 表示b a n a c h 空间。 定义2 3 1 设 t ( t ) ) 踟是x 到它自身的单参数有界线性算子族，如果它 满足： ( i ) t ( 0 ) = j ，这里，为x 上的恒同算子； ( i i ) t ( t + s ) = t ( t ) t ( s ) = t ( s ) t ( t ) ，t ，s 0 ( 半群性质) ， 则称 t ( 亡) 是x 上的一个有界线性算子半群。 1 1 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识2 3 有界线性算子半群和正半群 若有界线性算子半群 丁( ) ) 脚满足 l t l o i r al i t ( t ) 一划= o 则称 t ( 亡) ) 幽是一致连续的。 t ( t ) - 脚的无穷小生成元，即线性算子a 定义为 d ( 舻 x ex il 圳i r a 竿刍) 和 a z = l i h 兰玉坚= d + t ( t ) x d ti t l oth = o ，z 刃( a ) 这里d ( a ) 表示a 的定义域。 关于一致连续半群的无穷小生成元，我们有如下结论。 命题2 3 2 线性算子a 是一致连续半群的无穷小生成元当且仅当a 为有 界线性算子。 现在，我们介绍强连续半群的概念。 定义2 3 3 若x 上的有界线性算子半群 t ( 亡) - 脚满足 嘧t ( 。) z = z ，比x ， 则称 t ( t ) ) 御是强连续半群，或g 半群。 下面的命题说明了强连续半群的指数性质。 命题2 3 4 设 t ( 亡) ) t o 是强连续半群则存在常数w 0 和m 1 使得对 任意的t 0 有 i i t ( t ) l | m e ( 2 3 1 ) 定义2 3 5 在( 2 3 1 ) 中如果w = 0 则称算子半群 t ( t ) ) 脚是有界的。特 别地，若叫= 0 ，m = 1 则称 丁( 亡) ) o 是压缩的。 由指数估计( 2 3 1 ) 我们可以定义强连续半群的一个重要的特征数 增长阶。 1 2 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识 2 3 有界线性算予半群和正半群 定义2 3 6 对一个强连续半群 t ( 亡) k o 我们称 + w o = i n f w r lja 1s t i i t ( t ) i i 几气，e 。，vt ( ) ) 为它的增长阶。 我们不加证明地引入下面的命题。 命题2 3 7 设 t ( t ) ) 创是x 上的强连续半群，a 是它的无穷小生成元，则 ( a ) 对z x 有 溉 t ( s ) x d s = t z ( 6 ) 对z x 有j o 。t ( s ) xd s 口( a ) 且 a ( 胁啦d s ) 叫班 ( c ) 对v 。l p ( a ) 有t ( t ) x d ( a ) 且 磊d 丁( 。) z = a t ( 归= 丁( ) a z ( d ) 对vz d ( a ) 有 t z t ( s ) z = t t ( 丁) a m d r = 。胛( 丁) z 打 由命题2 3 7 我们可得 命题2 3 8 若a 为强连续半群 t ( 亡) ) 脚的无穷小生成元，则口( a ) 在x 中 稠且a 为闭算子，即a 为闭稠定算子。 下面的命题说明了强连续算子半群与其无穷小生成元的对应关系。 命题2 3 9 设 t ( t ) ) 创、 s ( 亡) - 创为有界线性算子的强连续半群，a 、b 分 别为其无穷小生成元。若a = b 则t ( t ) = s ( 亡) ，t 0 对于强连续半群 t ( t ) ) t 0 和它的无穷小生成元a 我们有如下的l a p l a c e 变换、反l a p l a c e 变换和指数公式。 1 3 第二章预备知识 中国科学技术大学博士学位论文 2 3 有界线性算子半群和正半群 命题2 3 1 0 ( l a p l a c e 变换) 设 t ( 亡) k o 是x 上的强连续半群，议向为其增 长阶，a 是它的无穷小生成元。若a c 且r c a 1 1 o ，则入p ( a ) ，并对任 意的z x 有a 的预解算子 r ( 入；a ) = e - , h t ( s ) x d s 这里p ( a ) 表示a 的预解集。 命题2 3 1 1 ( 反l a p l a c e 变换) 设a 是强连续半群 丁( t ) ) 脚的无穷小生成 元，且l i t ( 亡) i l m e 训。，7 m a x o ，训) 。若z 秒( 么) ，贝l j 伽咖d s = 丽1z = 砌吁d a 且右边积分在t 的任何有界区间内一致收敛。 命题2 3 1 2 ( 指数公式) 设 t ( t ) ) t o 是x 上的强连续半群，j 4 是它的无 穷小生成元，则对任意的x x 有 t ( t ) z = 熙( 一熹a ) 1 1 z = 慨融n r n 亡；a ) 卜 且极限对t 在任何有界区间上是一致的。 下面的h i l l e y o s i d a 生成定理则刻划了强连续半群无穷小生成元的性 质。 命题2 3 1 3 一个线性( 无界) 算子a 是强连续半群 丁( 亡) 创的无穷小生 成元的充分且必要条件是 ( i ) a 是闭稠定的； ( i i ) a 的预解集p ( a ) 包含贰+ 且对每个a 0 有 忙( 入；a ) i i 现在，我们介绍正半群的概念以及它的一个基本性质。 定义2 3 1 4 设x 是序b a n a c h 空间， t ( 亡) ) 脚为x 上的强连续半群，若对 所有的t 0 有t ( t ) 芝0 ，即t ( ) 是正算子则称 t ( 亡) ) 脚是正强连续半 群，简称 丁( 亡) ) t 2 0 是正的。 中国科学技术大学博士学位论文 第二章预备知识 2 3 有界线性算子半群和正半群 由命题2 3 1 0 和2 3 1 2 我们可以给出正半群的一个性质，它刻划了半 群的正性特征。 命题2 3 1 5 强连续半群 t ( t ) ) 脚是正的当且仅当对所有的a z u o ，其无 穷小生成元a 的预解算子是正算子，即 冗( 入；a ) 0 对于有界线性算子半群与正半群的详细讨论可参见f 2 7 】、 7 6 、 7 7 等 文献。 1 5 第三章带非线性扰动的减算子正不动点 在本章我们将讨论带非线性扰动的减算子正不动点问题。第一、二两 节分别给出了扰动算子为次线性算子和仿射算子的减算子正不动点的存 在、唯一性及迭代序列的收敛性定理，并将其应用于非线性积分方程的 研究中。 3 1 带次线性扰动的减算子正不动点定理 3 1 1 引言 本节我们利用非线性泛函分析中的半序方法、锥理论、逐次迭代技 术，并结合正半群理论给出了带次线性扰动的减算子正不动点定理。 在 4 3 】中，郭大钧教授等利用有关的序不等式研究了实序b a n a c h 空 间上的非紧减算子的不动点，其中有 定理3 1 a ( 4 3 ，t h e o r e m3 2 2 ) 设p 是e 中的正规锥，a ：p _ p 是减算 子并满足以下条件： ( a ) a 2 护c a 0 ，其中0 e 0 ，使得 a ( t x ) 【t ( 1 + 即) 】一1 a x ， c a o z 4 0 ，t + 一c t t + ， 则a 在p 中具有唯一不动点z + 。并且，对任何z o p ，有 l i z 礼一z + | | _ 0 ( n _ o 。) ， 这里 z n = a x n 一1 ( 7 。= l ，2 ，3 ，) 定理3 1 b ( 4 3 ，t h e o r e m3 2 3 1 ) 设p 是e 中的正规锥，a ：p _ p 是减算 子并满足 16 中国科学技术大学博士学位论文 第三章带非线性扰动的减算f f - 丘- t w j 点 3 1 带次线性扰动的减算子正不动点定理 ( a ) a 2 0 a o ，其中0 1 ； ( b ) 存在0 7 1 使得 a ( t x ) t - r a z ，a 0 x a 0 ，e - t 1 ， 则a 在p 中具有唯一不动点z + 。并且，对任何z o p ，有 i l z 竹一z + | l _ 0 ( 凡_ 。) ， 这里 z 扎= a x n 一1 ( n = l ，2 ，3 ，) 同时还有如下的收敛速率估计： l i x 2 。+ 1 一z + i is2 n 2 i i a 0 1 i ( 1 一e “一) ( 礼= l ，2 ，3 ，) ， i i z 2 n + 2 一z + | | s2 n 2 i i a o i i ( 1 一。e _ r n - - 1 ) ( 五= l ，2 ，3 ，) ， 其中为尸的正规常数。 在这一节，我们仍然利用序不等式来研究施加了次线性扰动时减算 子的正不动点，而这个不等式条件比定理3 1 b 中的条件( b ) 还要弱。需 要指出的是，我们并不需要所讨论的相应算子具有紧性或连续性，而且 扰动算子也不要求是正算子。作为应用，我们考察了如下的非线性积分 方程： r o , 2 g ( t ，s ) ，( z ( s ) ) d s = 1 + g l ( t ) z ( t ) 一g 2 ( t ) x ( t + 丁) ，t ，7 _ 风， j ( t t l 并获得了正解的存在唯一性。 3 1 2 主要结果 首先介绍一个引理。 引理3 1 1 设p 为e 中的正规锥，d ：p _ p 是减算子。我们有如下假 设： 1 7 中国科学技术大学博士学位论文 第三章带非线性扰动的减算子正不动点3 1 带次线性扰动的减算子正不动点定理 ( i ) d 2 0 e d o ，这里0 0 使得 。( 亡z ) 渊。z ，。p z 。p ，亡 0 lu 2 礼t u 2 ，冲1 ) ，n = 1 ，2 ， 再由式( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 得 从而 礼= l ，2 ，( 3 1 5 ) 2 2 ( n 十1 ) t 。2 n t , n t t 2 n + 1 t n u 2 n + 3 ， 礼= 1 ，2 ，一( 3 1 6 ) 0 0 ( ? l = 1 ，2 ，) ，则 故而 因此，我们有 s 州冬志，佗“，2 ， 上( ￥+ 三，：h 2 t 1 2 一 ( ￥+ 一，= ， s 礼+ ls n 0 1 1 ? 1 + 1 = s n + l 冬一 11 忑再n a + 1 ，l = 7 i 从而，_ 0 ( n _ + 。) ，也就是k _ 1 ( 佗一+ ) 。 另外，由式( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 可知对任意n 、p n 有 ( 3 1 7 ) 0 u 2 ( n + p ) 一扎2 竹i t 2 n + l t