（应用数学专业论文）非游荡算子及序列的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文在算子超循环性、混沌性的基础上，以微分动力学的思想及 算子、复合算子的基本理论为工具，对算子的非游荡性作进一步的研 究。特别地根据b a n a c h 空间上非游荡算子以及b a n a c h 空间上的p d e 的非游荡算子半群的定义，给出b a n a c h 空间上非游荡算子序列的定 义，运用特征向量的方法证明在无穷可分解析函数b a n a c h 空间上非 游荡算子序列的存在性。并给出非游荡算子序列的一些性质。 另一方面，本文对复合算子的非游荡性也作了特别的研究。证明 在线性算子理论和解析函数理论结合比较好的空间- h a u r d y 空间 ( h 2 ) 上，当妒是双曲线性映射时，由p 诱导的复合算子q 是非游荡 的，而且进一步证明在h ，和b p 上，当妒是双曲的时，c 。是非游荡算 子。 最后，本文对非游荡算子的稳定性作了进一部的研究研究b a n a c h 空间上的一类特殊非游荡算子一可逆线性有界非游荡算子，证明它的 小扰动下的不变性。利用矩阵和不变集的方法证明在非游荡算子的一 充分小的领域内，非游荡算子保持它的非游荡性不变。即充分靠近非 游荡线性算子的可逆线性算子是非游荡的。 关键词：非游荡算子( 半群) ，非游荡算子序列，复合算子，小 扰动，超循环算子，混沌算子 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep a p e rt a k e st h em e t h o do fd i f f e r e n t i a ld y n a m i c sa n db a s i ct h e o r i e so ft h e o p e r a t o ra st o o l so nt h eb a s i so fh y p e r c y c l i c i t yo fo p e r a t o r , c h a o s ，d of u r t h e rr e s e a r c h t ot h en o n w a n d e r i n gp r o p e r t yo ft h eo p e r a t o ra n ds e q u e n c e s e s p e c i a l l y , t h i sp a p e r b a s e do nt h ed e f i n i t i o no fn o n w a r d e r i n go p e r a t o ri nb a n a c hs p a c ea n dt h ed e f i n i t i o n o ft h en o n w a n d e r i n go p e r a t e rs e m i g r o u p so ft h ep d ei ns p e c i a lb a n a c hs p a c e ，w e g i v et h ed e f i n i t i o no fn o n w a r d e f i n go p e r a t o rs e q u e n c e sa n ds h o wt h ee x i s t e n c eo fi t o ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls e p a r a b l eb a n a c hs p a c eo fa n a l y t i cf u n c t i o no fs e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e sb yt h em e t h o d so fe i g e n v e c t o r s m o r e e v e r , w eg i v es o m eg o o d p r o p e r t i e so f n o n w a r d e r i n go p e r a t o rs e q u e n c e s o nt h eo t h e rh a n d ，w em a k ec e r t a i ns t u d yt ot h en o n w a n d r i n go fc o m p o s i t i o n o p e r a t o r s w ep r o v ec 口i sn o n w a n d e r i n go p e r a t o rw h e n 伊i sh y p e r b o l i c h o l o m o r p h i cm a po nh 2s p a c e ，w h e ni st h eb e s tp l a c et os t u d yt h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nt h et h e o r i e so fl i n e a ro p e r a t o r sa n da n a l y t i cf u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e c 。i sn o n w a n d e r i n go i l h pa n db pw h e n 妒i sh y p e r b o l i c i nt h ee n d ，w ee x t e n dt h es t u d yo fs t a b i l i t yo fn o n w a n d e r i n go p e r a t o nw es t u d y o n ec l a s so fn o n w a n d e r i n go p e r a t o r s ( i n v e r t i b l ea n db o u n d e dl i n e a rn o n w a n d e r i n g o p e r a t o r s ) , a n dp r o v et h ei n v a r i a n c eo f i tu n d e rs m a l lp e r t u r b a t i o ni n i n f i n i t e d i m e n s i o n a ls e p a e a b l eb a n a c hs p a c e w ep r o v en o n w a n d e r i n go p e r a t o rk e e pt h e i r p r o p e r t yo f n o n w a n d e r i n go nt h i ss m a l ln e i g h b o r h o o db yt h em e t h o d so f m a t r i c e sa n d i n v a r i a n ts e t t h a ti st os a y ，i n v e r t i b l ea n db o u n d e dl i n e a ro p e r a t o r sw h i c hn e a rt o n o n w a n d e f i n go p e r a t o re n o u g ha r en o n w a n d e r i n go p e r a t o r s k e y w o r d s ： n o n w a n d e n n go p e r a t o r s a n d s e m i g r o u p s ，n o n w a n d e r i n g o p e r a t o r ss e q u e n c e s ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r s ， s m a l l p e r t u r b a t i o n ，h y p e r e y c l i co p e r a t o r s ，c h a o t i co p e r a t o r s i i 学位论文版权使用授权书 y 9 3 8 0 6 1 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 年月日 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密口。 指导教师签名： 年月 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期：年月日 江苏大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 。1 研究背景 冀予理论发展到今天，已产生了许雾分支，并且各个分支都驳撂了令人扳奄 的成聚，例如循环算子理论、超循环算子理论和亚循环算予理论。这些算子理论 的援离帮发溪始予不交予空阉阍题静骄究。不变子赛闻闻繇是说无穷缭b a n a c h 空闻上的每一个有界线性簿予是褡郝奢一个 平凡的闭不变予空阍，即是否有一 个非零子空间也非整个空间的闭线性流形，且在该算子作用下是不变的。在 b a n a c h 空阊鬻景下，这一阔瑟 ! 箨蓟了解决。cr e a d ，pe n f l o = i 芷嚼了存在一个琵 穷维b a n a c h 空闻上的有爨线性葵予，使褥它不具有i 平豇躲阙不变予空阕；并 且cr e a d 猩b a n a c h 空间上还构造了一个没肖非平凡闭不变子集的有：释线性算 子。现在剩下的问题是：无穷雅i - i i l b e r t 空蔺上的任一有界线性算子，怒否具有 乎凡的闭的不变予空闼? 不变子空间问题最先日【发了算子循环性、超循环性的研究。无穷维b a n a c h 空间搿上的有界线性算予r 称为超循环的，如果存程一向激x x ，使褥它在r 悖鼹下瓣孰遴o r b ( t ，x ) = t 8 x ：栉n 。 在盖枣携密；翅果这孰遂瓣线蕊扩张农 中稠密，则称r 是循环的；称r 是亚循环的，如果这轨道的纯蹙倍数在x 巾 稠密，即2 0 r b ( t ，= 丑r ”x ：m 毪n o ， c ) 猩石中稠密。一个算子丁不具有非 平凡静溺不变子空闻( 子集) 当且便当所有的菲零商量鄹是循环( 超循环) 向詹。 线性算予的超德环性研究可以追溯列1 9 2 9 年，gdb i r k h o f f 【l 】关予复乎甏 上整函数f r a c h e t 空间日( c ) 上平移算予瓦：日( c ) + 日( e ) ，l q ) = ，0 + 疗) ( ，( z ) 胃( c ) ，z c ) 的研究，当球0 时，平移算予是超循环的。1 9 5 2 年，g r m a c l a n e 【2 】表臻了对于嚣( c ) 上静微分葬子d ：，j 三旷v f 琏冒犯) ，算予 一h 瓦苁z ) = ：严8 厂魄是越循拜辩。1 9 6 9 年，sr - o i e w e z 翻聿鼋遥了b a u a c h 空闻上 n = 0 7 - 豹第令超箔舔算予勰，瑟1 2 ( ) 上静蠢热投蠢移毯嚣与一个模大于i 的标量仿 相乘之履是超循环的。1 9 8 2 年，k i t a i 4 在她寒发表的博士论文里给出了一条荔 于判别算子为超循环的条件；后来，g e t h n e r 和s h a p i r o 重新发现了这一条件，并 江苏大拳硕士擎位论文 给出了更简单的证明，这就魑所谓的超循环准则，即b a n a c h 空间上的有界线 性冀予f ，称为满足超循环拣准的，如暴中存在强个稠密子集蜀秘k 及 # 负 熬数序列魄) 和映射s ；：y 0 一x o ，使褥下列条件成立：( 1 ) t 一o 逐点在 局上，( 2 ) 一。逐点在上，( 3 ) 丁“一d 逐点在上( 其中掰是限 割凌磊上蕊擎霞浚袈) 。1 9 9 1 年，g o d e f r o y 积s h a p i r o 5 l 对b i r k h o f f - m a c l a n e 的结果进行统一并推广，证明了h ( c ”) 上所有与平移辣子( 或微分簿子) 可交 换的非标量有界线性算子都怒超循环的。1 9 9 9 年，kge r d m a r m 6 对舞子序列的 泛豫及超循嚣链瓣研究骰了详尽静j 琏鳙，麓现了算予怒循环往静一系翔躲结采。 f r a c h e t 空间e 上的算予序列佤) 。称为泛性的，如果存在一向量x e ，使得 缀并：n n ) = e 。众多学者对算子超循磷性的不辑研究，使褥这一理遵缛到了 不断的完善和丰富，并推动了算子超循环瓒论的选一步蜒伸，即当越循环算子还 具有一个稠密的周期点集时，它就是混沌的。一般而吉，算子超循环性可以看成 跫耪藜羚睫槐憾，嚣渥淹舞予中静周麓虑鼹蜜性列可麓艘是叠热在趋缓嚣夔规 褴上的一种拓扑有序性。 混沌线性算子是算子理论与动力学相结合而产生的一类具有奇特性质的算 予。关予线蛙冀予鼹这一溟漶性理论，g o d e f r o y 霉1 s h a p i r o 5 在1 9 9 1 年怒缓了开剖 髅的研究。他们对线性算子鼹有一些有趣的混淹动力学髋质的研究，不仅为算子 理论、解析函数及动力学之间建立了有趣的联系，而且也打破了长期以来众多学 者蝶认兔只有嚣线蛙系统右怒滢淹理象产黛戆源泉这一鼹念。当然，线性算子吴 有混沌行为是豢限制于无穷绒空间中的，程宥限维空间腱没有此现象。在超循环 的研究过程中，举者们还发现，大多数超循环算子是混沌的，即具有拓扑传递性， 溺溪赢疆密牲及慰褪蓬戆敏感袋羧洼，掰戳糖当一郝分黪湛淹篓子可戳壹接双超 循环算子的研究中获得。但并非所有的超循环算子都怒混沌的，如b e r g m a n 空间 1 上的后移位艿( 见【5 】，3 8 节) ，相应于教序数( 功= 之时，丑是超循环的， 封十l 然褥它却没有稠密的周麓点粲，因此它不可能是湿洮静。而盈，k i tc h a r t 及 s h a p i r o 发现b i r k h o 鼹初所研究的超循环平移算子当被限制于一个较小的整函数 h i l b e r t 空闯时，擞不是混滚的。溷姥，超锤坯冀予与混淹辣子是具有内在懿联系， 魂有本质上静隧澍。但是，混淹算子仍然广泛存在予无辩维空间中，不仅f r c h e t 2 江苏大学硕士学位论文 空闻上溪有满淹多颟式，藏是b a n a e h 空澜上氇存在混淹多项式；不仅有界线经算 予可能是混滤的，就是无爨箕子墩可能漫涟。 对于混沌线性算子的获取，除通常借助于比较经热的超循环准则外，以算子 静交换法( 鄄当菜个其有瀑淹行为的算予，能通过菜个映射与勇一个算子可以形 成交换关系时，则震一个算子也凝有渥洮性) 寒硬突也行之有效。曼终，fm g i m 6 n e z 及ap e r i s 2 7 j 丕提出了用张量积方法米研究f r 6 c h e t 空间上张量积算子 得到的混淹往和定义在算予理想、算子代数上的乘法算子的混淹褴。这是一种研 究箕子混涟憋瓣蔹方法，为实际阏题熬疆究提供了薮途径。 2 疆究现状 近年来，夔羞越疆巧舅予理论戆发展，漫逑算子爨论也逐步缮到了事鬻，嗣 时众多举者也在不断的探求新的混沌理论。 在微分动力学中，有一个著名的系统，即公理a 系统，这个系统起源- - p s m a l e 对微分波力系绞绩搦豫定，陡秘q 一稳定蛙戆磅究。黪潺公壤矗，楚疆紧皴光漕 r i e m a n n 流形j d 上的一个微分同胚，满足如下条件：( 1 ) f 的a 游荡集f t ( f ) 具有 双曲结构，( 2 ) f 的周期点集在q 盯) 中稠密，即p e r ( f ) = n ( f ) 。这里的双曲结 橡是关予一个w h i t n e y 努解没每一赢韬瑟豹双馥往质，并且公淫a 系统是建立在有 照维紧致r i e m a n n 空阆上。 ；睡于线性箕子的线性性质，其切丛裁是它本身，因此， 田、卢 1 1 在研究线性算子超循环性、混沌性的基础上，再结合微分动力系统中 公理矗系统理论开餐设酶弓 搿了定义在无穷维可凳b a n a c h 空间上菲游荡算子这一 掰概念。通过班究，这类算予具煮漫涟瞧理论，势广泛存在予无穷终物理察阕良 殿数学空间。在 1 2 中f r 6 c h e t 空间上的非游荡算子理论得到了检验，并给出了 嚣游荡算子的渣传超循环势解。程 1 3 中将菲游荡算子这一概念撩广至半群领 域，尊褥到了箕予半嚣为j 游荡熬一个充分条 牛。蚀爨对i 游荡舅子性溪黪磅究， 为线性混沌算予的研究提出了新途径。 移彼算予作为算予理论中最基本的撰论工其，为许多理论问题掇出了具体的 例涯，戮她它被越来越重投，霹露瞧被箕予理论学家念名为“最磐瓣试验基建”。 加权移位算子怒般移位算子的非平凡推广，奠是丰寓了移位算子的理论和应 丽。自r o l e w i c z 研究了z 2 ( ) 上的蒋通盾移位与一个模大于1 的标量相乘舆有超 江苏天学硕士学位论文 循环性后，hs a l a s 1 4 特地研究了加权移位算子，并邋过对其权序列的刻画而 获褥了它识戆怒锤翻：洼。j8 e s 1 5 利瘸投垮裂刻匿了移位冀子故遗传遛循环蛙， kge r d m a n n 1 6 对加权移德葬子的超循环健及混淹髋傲了更一般的掰究，并雩l 出了许多相当澡亮的结果，而fmg i m 6 n e z 及ap e r i s 1 7 则研究了一类作用在 经典茨彦裂空趣嚣i t h ee c h e l o n j 捌空闼五。( 国( 葵申4 是一个k s t h e 矩簿) 上的移位算子的超循环性和滟沌性理论，不同程度的统了先前关于此方面的工 作，如= 口 中d f = 1 ( v f ，) 时，五p ( a ) 可看成p 空间；当= d 时，如( a ) 穰警子热投毒弼空蓠；当癌。= 歹“辩，童。蠢) 秀复平嚣上懿整函鼗窒阕h ( c ) ；当 a 。= f 7 时，五。( 一) = ( 1 ) 即为g u l i s a s h v i l i 及m a c c l u e r 1 8 于1 9 9 6 年研究湮灭 算予是超循环的快速递减蘧数f r 4 c h e t 空闽。另外，移饿算子也是葵予扰动性理 论研究不可或少的工其。 s a l a s 证臻了擎逑加投屠移僚经一恒等算子扰动后， 可以成为超循环；jb b s h g 镄至证明了这样的扰动算予是混沌的。f1 , 1g i m 6 n e z 及ap e r i s 1 7 磷究了o o d e f r o y s h a p i r o 意义下的广义砖移位加上一个恒等算予 也怒超循环的，并将珏s a l a s 的结果推广到k s t h e 序剜空阚，同时给国遮些算子的 混沌刻画；他们也发现紧算予被恒等算予扰动后不可熊怒混沌的。关于算子扰动 霹熬超疆琢性磷究与存在不变予空闯的闯题也被联系在起，fls a a v e d r a 和a 醯r o d r fg u e z 2 0 t 正明了菜黧舅子如果是- 4 , 范数辩紧辣子扰动，刚在适当的条 件下有一个超循环不变子空间，这个结果引发了一大批从事不变子空间研究的学 者瓣兴趣。在这蹙瑰有的研究蒸础上，本文探讨了移位算子鹣稳定性及提关豹阉 题。 在算子理论中，算子序列是研究算予性质的一个熏舞分支。所以，在超循环 募予戆磅究中蠢没有一些序列满足怒循繇条锌i 嚣残力越键环痔裂就娥毙诲多数 学家近几年的研究热点。如聚记n 为正熬数集，c 为复数域。令x ，y 为两个拓 扑空间，l ：x 呻y ( n n ) 为一个连续映射序列，x x ，那么x 对于也) 来说 是怒德嚣熬磐聚善在豫 下瓣软遂辑善：弹g n 芒e y 孛蔻壤密匏。枣巅投 是趣疆 环的当它有一个超循环元素。很明显，为了 l 是超循环的，y 必须是可分的。 程 3 5 中给出了序列超循环的些充分条件：如果x 为线性拓扑贝尔空间，y 为度量可分线缝蕹羚空麓，d 匕x 夜x 稷密，e y 在y 中繇密，著量 4 江苏大学硕士学位论文 l ：x - - y 白e n ) 为满足下列条件的一个可数连续线性映射类：对于每一个 d d ，g e ，存在一个序列k 亡x 和正整数的一个子序列 使得 x 。寸d ，l k ) - - e - - o o ) ，那么亿) 是超循环的。其中作者特别的证明了微 分算子序列在满足一定条件时为超循环序列 3 5 ，定理8 ，结合文中的思想我们 证明这类超循环序列同时也是非游荡算子序列。 复合算子的研究是解析函数论和算子理论结合的产物。复合算予的研究是利 用经典解析函数论中的结论探讨线性算予理论中的一些最基本的问题，同时也利 用算子理论作为工具研究函数论中的经典问题；复合算子的研究给解析函数论中 古老课题的研究以新的方法，给泛函分析增添了一类十分有趣的具体算子。复合 运算是函数间的一种基本运算，一个固定的函数与某个函数空间上的函数复合作 为该空间上的一线性算子进行研究则是不久的事情，这可追溯到本世纪6 0 年代 e n o r d g r e n 的工作。近3 0 年来，关于复合算子的研究引起了许多数学家的注意， 大量非常深刻的结果不断涌现，而且许多有趣又十分基本的问题还未得到解决。 复合算子涉及许多领域且在各种问题中自然的出现。它们出现在乘法算子和更一 般算子的交换子的研究中，在动力系统理论中也起着重要作用；d eb r a n g e s 关 于b i e h e r b a c h 猜想的证明就是依赖于解析函数空间上的复合算予；遍历变换有时 看作为导致复合算子。随着关于复合算子的专著的出现( j h s h a p i r o ：r k s i n g h 和j s m a n h a s ( 1 9 9 3 ) ：c c c o w e n 年h b d m a c d u e r ( 1 9 9 5 ) ) ，该领域的研究正日趋 深入。复合算子的动力学行为的研究已经取得了许多非常好的结果。 j h s h a p i r o 3 6 证明了当诱导函数p 是单页的，并且在单位圆盘中没有不动点 的情况下，c 。在解析函数空间上是超循环的，且是混沌的。在经典解析函数空 间h 9 和b 9 ( o o p 0 ) 上，对于每一个a u t 移) ( 单位圆盘上的解析函数) 中 的双曲线性映射p ，复合算子巴是混沌的 3 7 。本文从复合算子的角度来研究 非游荡算子，证明当诱导映射为双曲型时，对应的复合算子在h ，和b ，是非游 荡的。 在微分动力系统( 2 9 卜 3 0 ) 中，结构稳定性直是其研究的主要内容。自 1 9 3 7 年，有了平面有界域上系统为结构稳定的充要条件后，到2 0 世纪6 0 年代， s m a l e 提出的两个著名的推测，以及国内外学者为此推测所傲的研究，都极大的 江苏大学硕士学位论文 推动了该主要问题的蓬勃发展，并吸引了相关学科分支稳定性的研究。众所周知， 单边后移位映射算子b 不可能是超循环的，但它在恒等算子的扰动下是超循环的， 甚至成为混沌算子。f m a r t i n c e g i m e n e z 和a p e r i s 1 2 得到在 g o d e f o r y s h a p i r o 意义下的广义后移位映射 1 加上恒等算子是超循环的；而且 他们推广了s a l a s 在k o t h ee c h e l o n 空间上的结果，刻画了它们的混沌。同时他 们还得到在f r e c h e t 空间上恒等算子扰动下的紧算子不可能是混沌的。b r u n k a l l a k a ip e t e r 3 8 在他的博士论文中讨论了超循环和亚循环算子的扰动问题，超循 环算子的小扰动问题与不变子空间问题有联系。f 1 e o n s a v v e d r a 和 a m o n t e s r o d r i g u e z 2 7 证明了模小于1 的紧算子扰动下的超循环算子在合适的 条件下有一超循环不变子空间。这个结论引起了很多研究不变子空间问题的学者 的兴趣。本文尝试将有限维微分动力系统的这一核心问题推广到无穷维空间中， 继钟光胜给出非游荡算子局部结构稳定性的研究后，给出非游荡算子小扰动下的 不变性的研究。 1 3 研究意义及内容 目前关于算子超循环性理论、混沌性理论的研究已比较完善，非游荡算子作 为算子理论中- r 新的特殊分支，是有限维微分动力系统中公理a 系统自然推广 到无穷维空间中的线性算予，从而该类算子是有意义的。通过其性质的研究表明， 这类算子是一类特殊的混沌线性算子，它既与超循环算子有联系，又与超循环算 子有不完全相同的性质。因为对于超循环算子而言，其谱与单位圆必相交，而对 于不可逆的非游荡算子，其谱与单位圆是可以相交的；但对可逆的非游荡算子来 说，要求其谱与单位圆不交。因此，非游荡算子的研究不仅很好的组合了算子超 循环性和微分动力学中的某些思想，并为算子混沌性的刻画提供了新途径，同时 也为算子理论的研究开拓了新方向。 本文组织如下：第二章列举了一些基本的概念和记号；第三章从超循环算子 理论、混沌算子理论出发，通过对非游荡算子的研究，给出了非游荡算子序列的 定义，并以此而获得了一类微分算子序列是非游荡算子序列的结果；在本章还给 出了非游荡算子序列的一些性质。第四章研究了符合算子的非游荡理论，着熏探 索了在经典解析函数空间上，由解析映射妒诱导的复合算子c 。的非游荡性。通 江苏大学硕士学位论文 过对在线性算子理论和解析函数理论结合比较好的空间_ h a r d y 空间( h 2 ) 上 的由矽诱导的复合算子巳的研究，发现当伊是双曲线性映射时，巴是非游荡的， 而且迸一步证明在h p 和b 一上，当p 是双曲的时，c 。是非游荡算子。第五章在 现有的研究基础上，进一步研究了非游荡算子的稳定性。从微分动力系统中结构 稳定性的定义出发，利用矩阵和不变集的方法证明在非游荡算子的一充分小的领 域内，非游荡算子保持它的非游荡性不变。 本文通过对无穷维可分b a n a c h 空间上算子、算子序列及复合算子的非游荡性 研究，不仅丰富和发展了关于这一理论的前期工作，也使得该理论体系得到了进 步的完善，而且为该项研究的后续工作提供了很好的思路与方法。另外，微分 动力系统与算子理论中不断成熟的理论也必将为本文的后续工作提供很大的启 发。 江苏大学硕士学位论文 第2 章基本概念及记号 本文假设为无穷维可分的b a n a c h 空间，上( ) 表示上的线性算子集 合，b ( x ) 表示l ( x ) 中的有界线性算子之集。p e r ( t 1 为算子r 的周期点集合。 表示自然数集，n o = n u 0 ) ，如无特别说明c 一般表示复数集。 定义2 1设e 是z 中的线性闭子空间，而e 、e 是e 中的线性闭子空间， 如果对任一x e ，有唯一的分解：x = x l + x 2 ，x l e 1 ，x 2 e 2 ，e l n e 2 = 0 ) ， 则称e 是关于e 。和e ：的直和分解，并记e = 局0 e ：，其中。表示直和符号。 定义2 2 假设t b ( 工) ，如果 ( 1 ) 膏中存在一具有双曲结构的线性闭子空间e ，即e = e 5 0 e “， t e = e ，e ( i = s ，u ) 也是闭子空间；并且存在常数c 及r ( 0 f 1 ) 使得 铡c f 制j ，v f e e 5 ，k ，( 2 1 ) 叩忙c f - k i i , l l l ，v 可e e “，k ， ( 2 2 ) ( 2 ) p e r ( t ) 在e 中稠密，即p e r ( t ) = e ； 则称r 为工上关于e 的一个非游荡算子。 注1 ) t 允许可逆，也允许不可逆。如果r 是可逆算子，则式( 2 1 ) 、( 2 2 ) 分别等价于 旷刮c 。1 r 1 1 4 ，v fe e 3 ，k ， ( 2 3 ) p “盯忙c - i f k ，v 叩e ”，七， ( 2 4 ) 且非游荡算子的谱与超循环算子的谱不同；如果丁是不可逆的情形，其性质将更 为复杂。 2 ) 如果丁是一个非游荡算子，则p e r ( t ) 与e 不相交。 3 ) 因为关于线性算子r 上每一点的切丛就是其本身，所以非游荡算子的定 义是有限维微分动力系统中公理a 系统在无穷维空间中的自然推广，因此非游荡 算子的研究是有意义的。 定义2 3 对于x 上的有界算子半群t ( f ) ， x的轨道为 兰茎查堂塑主堂堡堕墨 o r b ( t ( t ) ，x ) 2 r ( 0 z l t o ) 如果存在x x 轲目l j f f _ o r b ( t ( t ) ，x ) 在x 中稠密，我们就 称x 为一相对于t ( f ) 的超循环矢量。对于t ( f ) 上( x ) ，如果存在t ( f ) 的超循环矢 量，则称t ( f ) 为超循环算子半群。 定义2 4 假设t ( f ) 工( x ) 为x 上的算子半群，如果 ( 1 ) 存在一闭子空间ecx ，有双曲结构： e 2 e ”0 e 5 ，t ( t ) e “= e “，t ( t ) e 。= e 3 ，e “，e s 为闭子空间。 而且存在常f ( o o ，都存在正常数k = k g ) ，使得陋g ) k e 5 卧ze c n ) 。 定义2 7 映射q ：z - + z 称为蜥一齐次多项式，如果存在一多重连续线性 映射爿：x x 足寸x ，使得q ( = 4 ( t x ，z ) ( 垤j ) ；如果j p ：l 绒， 其中绒是聊一齐次多项式， 则称p 为连续多项式。 定义2 - 8 c n 上的整函数序列 巾。，n n 满足p 条件是指： 存在c ”的两个非空开子集a ，b ，使得对每一对有限子集fc4 和只cb ， 9 江苏大学硕士学位论文 都存在正整数的子序列k ) ，满足对任意的ae e ，! 鳃m 耽( 口) = 0 ，对v 6e e ， ! 受中。( 6 ) = o 。 定义29 记上( e ，e ) = t 阻e - - e ) ，t 为线性有界算子。 n ( e ，e ) = t r 三( e ，e ) ，t 为可逆非游荡算子。 定义21 0 设v 为一度量空间，厂：v 斗v 叫做混沌映射，如果下列条件满 足： ( 1 ) f 对于初始条件有敏感依赖性，即存在盯 0 ，对于v s 0 ，z e v ，存在 一点y 属于z 的占邻域，使得 d ( f ”( 石) ，f “( y ) ) 盯 ( 2 ) 厂具有拓扑传递性，即对于任意的矿的开子集x ，y ，存在k 0 ，满足： 厂。( z ) n y 中 ( 3 ) f 的周期点在矿中是稠密的。 注2 1 1 如果y 是有限维空间，厂是混沌映射，那么，一定是非线性映射。 当v 是无穷维空间，是混沌映射，那么f 可能是线性的也可能是非线性的映射。 定义2 1 2 假设t 上伍l 我们称t 为一线性混沌算予或线性混沌映射，如 果它满足下面两个条件： ( 1 ) t 是拓扑传递的，即t 在x 中有一个稠轨道。 ( 2 ) t 的周期点的集合在中是稠密的。 注2 1 3d e v a n e y 意义下定义的混沌映射还需要另一个条件： ( 3 ) t 对于初始条件有敏感依赖性( 参看 4 0 ) 事实上，条件( 1 ) 和( 2 ) 蕴涵( 3 ) ( 参看 3 9 ) 定义2 1 4 设( 肖，1 ) ，( y ，：) 是两个b a n a c h 空间，称r ：z 寸】，是 l i p s c h i t z 算子，如果存在口 0 ，使得阿( x ) 一r ( y ) l l ：口l l x - y l l 。，v x ，y x ，并 简记最小的a 为l i p ( t ) 。 定义2 1 5 设i ：x 斗。( i = 1 , 2 ) 是b a n a c h 空间置上的两个同胚映射，若 存在一个同胚映射矽：x 1 一五，使得妒。正= e 。妒，则称五与e 是拓扑共轭的。 定义2 16 设丁b ( j ) 关于e c x 是非游荡的。s t 在b ( ) 中是局部结构 江苏大学硕士学位论文 稳定的，如果存在，的一个算子邻域y b ( x ) 和一个非空开子集v 匕e ，使得 对任意的算子s t ，s 与丁在矿上是拓扑共轭的，即存在同胚日：v - - 矿，使得 - 。t = so 日。 设( x ，) 是一个b a n a c h 空间，记吼( x ) = 厂l 厂：z z 为蓬续线性算子， 且8 u pj i 厂( 刮| 0 ，使褥 对任意的掌尝e ”， 黔l c r 一喇| 对任意的，7 e 。， 阪翠8 e r 喇l p e r ( t ) 夜e 中是稠密的 那么，序列也，竹n 称为e 上的非游荡算子序列。 3 。2 解析函数b a n a c h 空间上菲游荡算子序列酌一个例子 设x 为解析函数肋 钟 空间，考虑定义在x 上的函数序列心。( z ) = z ” ( 。c ”，拜) ，显熬。为x 上匏子螽数鍪整函数，嚣置扫。，拧 满足p 条捧 ( 仅需考虑a = 扛：h l i b = 扛：闰 1 ) ，下证微分辣子序列 扣。( o ) ，挣n ，d 为徽分算予 为x 上的j # 游荡算子序列。 首先，我们找到一闭予黧俺ecx ，使得e 有双赫结构。 对于中。0 ) 足口e4 ，设如寅为x 的组基，取y 。= 岛邑( 疗，爿) 满足 江苏大学硕士学位论文 西。( d ) 虬= 巾。0 。h ，我们可得一矢量 y 。= b a l a le a i ，a 。2 氏， 8 1 。4 令e 5 = 面硼，易得e 3 为中。( d ) = d ”对应于特征值巾。h ) 的一个特征向量闭不 变子空间。而且对于比g s 有z = 勿。，满足 i p 。( o ) z l l = i i 肺。0 ，砂。0 = p 。0 ，) | l l z l i 1 。0 ，】= i ? l 1 取e = e 5 0 e ”，f ( m a ) ( 0 中。g 。】，p 。( 6 。】_ 1 ) r 1 ) ，那么有 i p 。( d 膏0 , r - n 蚓1 v fe e ”，咒 l i o 。c d h | l t n l i 叩v 叩es ，n 最后我们证明p e ，。( d ) ) = n ，( d ”旌e 中稠密。 假设 巴为对应于特征值巾。0 ) 自勺特征向量，即巾。( d ) 巴= m 。0 ) 巴 ， 中。0 洳单位根。则根据 1 2 中的定理3 5 可得n ， 。( d 左e 中是稠密的。 所以 o 。( d l 以n 为x 上的非游荡算子序列。 3 3 非游荡算子序列 上面的结果启示我们对于无穷可分解析函数b a n a c h 空间上的所有满足上述 条件的整函数对应的微分算子序列是否都是非游荡的算子序列。下面的定理将证 明回答是肯定的。为了定理的证明，我们先引进下面的命题。 命题3 1 如果g c c “为一非空开子集，m ( z ) = 口p z p 为一子指数型整函 芦苏欠学硕士学位论文 数，那么级数( d ) = 盯，9 在日( g ) 上您义了一 f 算- t 。 证瞬：f f 取- - f 嚣( g x 帮一紧子集爱cg 。令占= 妄毋( 爱，c ”g ) 。酃么存在 a ( o ，+ m ) ，使得j i a ( p 2 ) 剖) ( 恻o ) a 取点群k ，由微分的c a u c h y 公式( 参看 1 2 】) 可褥： 帅口，f 訾羔訾 墨为一紧襄蟊：d ( z ，芷) s 。注意舞罡c k ，c g ，爵以意： 耖i l l 。- p ! h 墨一。| f a p d 9 州。茜球。爿( 2 ) 叫) ( p q l f l l 托1 6 1 e 1 ) = 2 n 蠢捌。 所以级数。d ，d 在趾一致收敛且m ( d ) 定5 l t h ( g ) 上的自映射。线 性憔是显然的，而且因为对于v f 日( g ) ，睁( d 圳i 。2 “a t l i t l 。，所以我们褥到 零：征日( g ) 上是连续酶。命遂证毕。 定理3 1 假设g 为c ”的一个龙格区域，m ，中。( 肛) 都为c ”上的整函 数。设设垂为嚣整鼗，盈记玩= 蛰。( 圆积扔。蟊累每一个垂。郝必予撂鼗鍪丞 数( 或指数溅函数) 且序列 m 。，h 氍n ) 满足p 撩件，那么弹子序列 扛。，行 = 。) 一e 为非游荡算予序列。 证明：蓄惫，鑫愈蘧3 1 胃翔，每一个磊鄂是定义农劈p ) 上懿一个舞子( 懿 聚m 。是指数型的，每一个三。都是定义在尉( c ”) 上的一个算子) 。在下璇的证明 中g 可以是e ”( 当函。是指数塑) ，也可以不是( 当中。为予指数型) 。注意到对 每一个，e l ，2 3 ，n ，裔 d j e 。2d j e 。 ( v a c ”) 砖任意夔多羲撵糠p ， 对v a c ”，n n d e ，= q p e o 毛繇= 蚤。( d ) 繇= 蛰。( a ) e o 1 4 江苏大学硕士学位论文 即每一函数已为l 。对应于特征值中。( 口) 的一个特征向量。 第一步。证明有一闭子空间ech ( g ) ，满足e 有双曲结构。 由已知，由。满足p 条件，即存在c ”的非空子集a 使得对于意的有限子，都 存在正整数子序列溉) ，满足： ! 受巾n 。0 ) = 0 ( v 口e e ) 取有限子集e 。c a ，存在正整数子序列k ， ，使对v 口e 。，有 溉中( 口) = o 取有限子集巧：c 彳，佤，n e ：o ) ，存在正整数子序列如。： ，使对 v 口曩2 ，1 2 i + r a 。( ) = 0 ，而且若令1 = e l n f , 2 ，则对于v d q ，有 牌中( 口) = o ，i = 1 ，2 取有限子集舅。c 4 如，n e ，中) ，存在正整数子序列如。，) ，使对v 口鼻，有 艘。( 口) = 0 令彩2 = 1n e 3 ，则对v 口2 ，有 舰中( 口) = 0 ，i = i ，2 ，3 此过程可以继续进行下去，所以我们总可以找到一有限子集e 。c4 ，存在 正整数子序列协如j ，使对v 口曩，有 墨爨。如) = 0 今彩p l2 p 一2n 使得 则有对于v 日 艘中( 4 ) = f _ 1 23 ，p 纸，i = 1 2 ，p ) = 如，n p 取e 。= n 只，= 。川，则对v 口e i ，有 i = 1 江苏大学磺士学位论文 嬲。一：” 摊 x c v e 。q ) 震如e t ) ，由开始的分析易知幺如e 1 ) 为与中。0 ) 对应的特征向量 三。已= 辔。( d