（应用数学专业论文）两类发展方程的数值方法.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声明的， 本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示谢意。 学位论文作者签名：走衣翻 签字日期：2 0 0 4 年f 月矽日 导师签字： 委善k 签字日期：2 0 0 4 年牛月2 瑁 两类发展方程的数值方法 赵庆利 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 摘要 本文讨论了两类发展方程一s o b o l e v 方程初边值问题和均匀棒纯纵向运动方程 初边值问题的数值方法，得到了这两类问题离散格式的误差估计 第一章讨论s o b o l e v 方程初边值问题 ， l u d x ，t ) 一v - o ( 。，t ) v u t + b l ( x ，) v 让( z ，力) = ，( z ，t ) qx ( 0 ，卅， l u ( x ，t ) = 0 ， ( z ，t ) a q 【0 ，t 】， i l 钍( z ，0 ) = u o ( x ) ， z q 的扩展混合元方法若采用标准有限元方法，对解空间的光滑度相对要求较高并且 在进行误差估计时，只能直接得到关于未知纯量的误差估计采用传统的混合有限 元方法，不但降低了对解空间光滑度的要求，而且还可以同时高精度的对未知纯量 及流量进行估计该方法是传统混合元方法的一种推广，它能同时逼近未知函数、 梯度、流量，较好地刻画了具有混合边界条件的s o b o l e v 方程初边值问题，同时避 免了对小系数进行求逆数值分析结果说明扩展混合元方法是稳定的，得到了逼近 以上三个量的最优l 2 误差估计和关于未知函数u 的拟最优的三。估计 第二章讨论均匀梓纯纵向运动初边值问题 r l 钍挝= u 。+ ，( 钍。) 。， 盘f 0 ，1 】，t 0 ，钉， l l u ( 茁，0 ) = u o ( x ) ，z 【0 ，1 】， l 让t ( z ，0 ) = 4 1 ( z ) ， z 【0 ，1 】， l 、 l 钍( o ，t ) = 4 ( 1 ，t ) = 0 ，t o ，邪 的有限元方法这是引起广泛关注的一类重要的非线性发展方程，它典型反映了一 类自由应力状态下均匀粘弹性棒的纯纵向运动问题对于此问题的研究仅限于差分 2 方法及稳定性估计等，本文则给出了有限元方法半离散格式和全离散格式的误差分 析，得到了离散解逼近未知函数u 的关于空间和时间的最优三2 误差估计最后我 们通过一个数值例子来进一步说明我们得到的误差估计是合理的 关键词：s o b o l e v 方程，扩展混合元方法，均匀棒纯纵向运动方程，有限元方 法，全离散格式，最优误差估计 分类号：0 2 4 1 8 3 f i ；季三主：g ，句v u t + 6 l ( z ，v 仳( z ) = ，( z t ) ， c墨；2：三毫翟； 4 v a l u ep r o b l e mo fp u r e l yl o n g t u d i n a lm o t i o no fah o m o g e n e o u sb a r u 托= 乱$ 耐+ f ( u x ) ， u ( x ，0 ) = 乱o ( z ) ， u t ( x ，0 ) = t l ( z ) ， u ( o ，t ) = u ( 1 ，t ) = 0 z 【0 ，1 】，t 【o ，卅 。f 0 ，1 】 。【0 ，1 】 t 0 ，t 】 i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v et h ee r r o ra n a l y s i so ft h i sd i s c r e t es c h e m e sa n dg e to p - t i m a le r r o re s t i m a t e sf o rt h ed i s c r e t es o l u t i o no fu k e y w o r d s ls o b o l e v e q u a t i o n s ，e x p a n d e dm i x e d e l e m e n tm e t h o d ，p u r e l yl o n g - t u d i n a lm o t i o ne q u a t i o n so fah o m o g e n e o u sb a r ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f u l ld i s c r e t e s h e m e ，o p t i m a le r r o re s t i m a t e c l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 8 5 第一章s o b o l e v 方程扩展混合元方法 1 1 引言 令n 为r “伽= 2 或3 ) 中具有l i p s h i t z 连续边界a q 的有界区域，对固定的 满足0 t o o 的t ，我们考虑如下的s o b o l e v 方程初边值问题 饥( z ，t ) 一v o u ( x ，t ) = 0 ， u ，0 ) = u o ( x ) g ，t ) v u t + b l ( x ，t ) v 仳( z ，t ) ) = ，( 。，t ) ，( ，t ) n ( 0 ，列 ( 茁，t ) a nx 【0 ，t 】 石q ( 1 1 1 ) 的扩展混合元方法，其中 t t t 表示对时间的导数，v u 表示函数u 的梯度， v - v 或者d i v v 表示向量v 的散度；a , b l ，f 均为已知的函数，a , b 1 均充分光滑。对a 存 在正常数c o ，c 1 ，满足0 c o c l o o ，h 1 ( o ，t ；l 2 ( n ) ) ，且u 0 h 5 ( n ) ( s 为一个固定整数) 对于上述问题的标准有限元方法，已经有了这方面的工作( 参见【1 j ) ，并且得到 了三2 模的最优误差估计由于对标准有限元方法进行误差估计时，对解空间的光滑 度相对要求较高并且在进行误差估计时，只能直接得到关于未知纯量的误差估计， 因此要对流量进行误差估计只能通过未知纯量间接进行，这样就大大增加了工作量 和计算误差。采用传统的混合有限元方法，不但降低了对解空间光滑度的要求，而 且还可以同时高精度的对未知纯量及流量进行估计( 参见f 2 j ) 采用混合有限元方 法可以有效且精确的解决油田二相流动模型，但在对地下水动力系统( 三相) 模型 的处理当中，效果并不理想( 参见f 3 】f 4 j ) ，尤其对于压力方程，由于介质的可渗透 性，其系数趋于零，这时系数的倒数一般很大，采用传统的混合有限元方法不理想 ( 参见f 5 1 1 】) ，因此直接采用混合有限元方法求解压力方程在现实中是不合适的 在文【1 2 】中。针对椭圆问题，z h a n g x i nc h e n 通过引入三个变蟹：未知纯量、未 知纯量的梯度、流量，提出了一种新的混合有限元方法，称之为扩展混合有限元方 6 法采用这种混合有限元方法的优点在于可以同时高精度的逼近三个变量，同时避 免了小系数求逆，减少了某些不必要的计算而引起的误差，可以很好的模拟具有混 合边界条件的问题 本章将文( 1 2 】的扩展混合有限元方法的思想推广到问题( 1 1 1 ) ，提出了问题 ( 1 1 1 ) 的扩展混合有限元方法，并进行了该扩展混合有限元方法的误差分析，得到 了最优的l 2 误差估计 为了叙述方便，我们先作如下的准备工作，对于满足条件1 s o o 的整数 8 和任意非负整数k ，令 如( q ) = ，l 3 ( a ) l d 2 ，l 5 ( q ) ，川s 女 表示装配了模 w = ( 渺川。f n ) ) i 1 q l k 的s o b o l e v 空间( 在不产生误解的情况下，下标q 经常被省略) 空间h 。( q ) = w k , 2 ( q ) 的模记为”= ”。，记号1 1 表示i i l 。c n ) 或”i i i ：( n ) 用( ，) 表 示空间三2 ( q ) 或l 2 ( q ) 2 的内积，即：扫，g ) = p q d x 或( p ，q ) = p q 如。定 j i l，iz 义如下空间： h ( d i v ，n ) = v ( l 2 ( q ) ) ”；v - v l 2 ( q ) ) ， v = h ( d i v ，n ) w = l 2 ( q ) ， a = ( l 2 ( n ) ) ”， 记| | v 慵= i i v f l 2 + | i 出t ，v i | 2 为了定义与扩展混合元方法相适应的( 1 1 1 ) 的弱形式，引入u 的伴随向量函 数( a 和p 都表示向量) ： 。= 等， = 一v u t 一6 v t ， 7 p = a a = - a v u t 一6 l v u c = 一v b ， 则问题( 1 1 1 ) 等价于如下的混合形式的一阶系统 u q - d i v p = ， a - b v 姚+ v ( b u ) + c 珏= 0 p a a = 0 ， u 0 ，t ) = 0 ， u ( x ，0 ) = u o ( x ) ， ( 正，t ) qx ( 0 ，t l ， ( z ，t ) qx ( 0 ，卅， ( z ，f ) q ( 0 ，卅， ( 1 1 2 ) ( $ ，t ) a n ( 0 ，邪， 口q 系统( 1 1 2 ) 的弱形式为：求( u ，a ，p ) w a v ，使得 ( u t ，w ) + ( d i v p ，w ) = ( ，叫) ，v w 彬0 t t ( a ，v ) 一( ”t + b u ，d i v v ) + ( c ，v ) = 0 ， ( p ，丁) 一( 口a ，_ r ) = 0 ， v v v ，0 t t ， ， ( 1 1 3 ) 杆a ，0 t s z ( u ( 0 ) ，w ) = ( u 0 ，叫) ， v w 为了给出( 1 1 3 ) 式的相应的半离散的扩展混合元格式我们考虑空间wx axv 的有限维子空间仰kxa hxv h ，其中与w i a h v h 相联系的拟正则剖 分死将n 剖分成直径不大于h ( 0 h 1 ) 的三角形单元e 剖分死边界单元 只允许有一条曲边我们可以采用r a v i a r t t h o m a s n e d e l e d 空间( 参见 9 ，1 0 ，i i ) 或b r e z z i - d o u g l a s f o r t i n m a r i n i 空间( 参见【1 3 】) 空间v ，a h ，w i 的定义为 a h = 芦a ；# i e v h ( 曰) ，v e t h ) ca ， v = v v ；v f e v h ( e ) ，v e t h c v ， = 删w ；伽i e w h ( e ) ，v e a cm 由此我们可以得出( 1 1 1 ) 的扩展混合有限元方法的半离散格式为t 求( u ，h ，p h ) 8 w h a h v h ，使得 ( “ 山鲫) + ( d i v p h ， ) = ( ，叫) ， ( a ，v ) 一( 让h ，+ b u h ，d i v v ) + ( c u ，v ) = 0 ( p h ，7 _ ) 一( a a h ，7 ) = 0 ， ( 让 ( o ) ，w ) = ( r i o ，叫) ， v 叫w h ，o t t v v v h ，o t t ( 1 圳 w - a h ，0 t s z v 伽w h 其中豆。的定义见后面( 1 3 4 ) 为讨论问题的需要，我们引入如下三个投影算子( 参见【1 3 】) ( i ) 标准三2 投影算子p h ：w - 4 嘶。，其定义为 ( 叫一p h w ，v v h ) = 0 ，v w 彤v v h v h ， 并具有性质 l l 一p | | c l l w l l , h ，0 l 冬k + 1 ， l i 伽一p 叫| i l c l l 训l l l + l h ，1 f ( i i ) 投影n ：( 日1 ( q ) ) 2 - 4v h ，其定义为 ( v ( v i i h v ) ，w h ) = o ，v v v ，v w a w h ， 并具有性质 j i v f l h v isc h i l v l l , ，1 f 七+ 1 ， i i v ( v n v ) 1 1 1sc h 。i l d i v v l l s ，0s 8 k + 1 ( i i i ) 投影r h ：a - - 4a h ，其定义为 ( a j 2 a ，a ) = 0 ，v a a ，v a a h ， 并具有性质 f f a r h a i c h f f a m ，0 z k + 1 ， i | a j 该a l l lsc h l i a i l + l ，1s l k 9 ( 1 1 ，5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 - 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) ( 1 1 1 0 ) 坳 埘 1 i 1 0 q 本章的大体安排如下；在1 2 将证明扩展混合元格式形式解的存在唯一性， 在1 3 将讨论广义混合椭圆投影的估计和一些基本的引理，在1 4 将给出本章的 主要结果即半离散误差估计。如无其他说明，a 表示不依赖于h 和t 的任意正常 数或这些正常数的组合，在余下的几节中k ，l ，r ，s 均表示固定的非负整数 1 2 扩展混合元格式解的存在唯一性 本节中，我们将论证扩展混合元离散格式( i 1 4 ) 解的存在唯一性。 由扩展混合元离散格式( 1 1 4 ) 的线性性可知：只需证明其相应的齐次系统 ( u h 。t ，w ) + ( d i v p h ，叫) = 0 ，v w 眠，0 t e ( 1 2 1 ) ( a ，v ) ( i , h ，t + b u h ，d i v v ) + ( c l l h ，v ) = 0 ，v v v h ，0 t z( 1 2 2 ) ( p h ，丁) ( 口a ，r ) = 0 ，计a h ，0 tsz ( 1 2 3 ) ( 让 ( o ) ，w ) = 0 ，v w w h ( 1 2 。4 ) 只有零解即可。 在( 1 2 1 ) 中分别取伽= l , h t 及w = d i v p h 可知 lj 川sj i d i v p h l l ， i i d i v p h l i i | u ，d l ， 从而可得 j l “j j = l i d i v p h l l ，( 1 2 5 ) 在( 1 2 3 ) 中取r = h ，在( 1 2 2 ) 取v = p h ，在( 1 , 2 1 ) 中取w = d i v p h ，可得 ( a a h ，h ) + ( d i v p h ，d i v p h ) = ( b u h ，d i v p h ) 一( e l l h ，p h ) ，( 1 2 6 ) 在( 1 2 3 ) 中分别取r = p h 和r = h 可得 i i p h ljsc ij 儿玑( 1 , 2 7 ) 0 h 8 g 怕h m ( 1 2 8 ) 1 0 对( 1 2 6 ) 利用一不等式并由( 1 2 7 ) 则有 蛳1 2 + 慨p h l j 2 c i l u 圳2 + 扣出n 割h 悒 再由( 1 2 5 ) 可得 i | h 0 g i | u m f i 川e i 让 ， ( 1 2 9 ) ( 1 2 1 0 ) ( 1 2 1 1 ) 由( 1 2 1 1 ) 又知 忪川= | | z 钍 打8 ez 。j 一i l d v _ gz 2 一i j d ，- , ( 1 2 1 2 ) 对( 1 2 1 2 ) 应用g r o n w a l l 引理可得l i = 0 ，因此札 = 0 由( 1 2 1 0 ) 可知 lj h | j = 0 ，即h = 0 再由( 1 2 7 ) 可知i i p h l l = 0 ，因此p h = 0 因此齐次系统( 1 2 1 ) 一( 1 2 4 ) 只有零解这样我们就证明了扩展混合元格式 ( 1 1 4 ) 解的存在唯性 1 3 广义扩展混合椭圆投影和一些引理 在进行发展方程混合有限元方法的误差分析过程中，通常采用引入一个与所 讨论方程有关的混合椭圆投影的方法，我们将这种思想方法发展和推广到发展方 程的扩展混合有限元方法上来，引入广义的扩展混合椭圆投影t 求( 峨，h ，画) w h a h v h 使得 ( d i v ( p 一画) ，w ) = 0 ，帆w h ，0 t t ，( 1 3 1 ) ( a 一矗，v ) 一( i t t u i t + b ( u 一峨) ，d i v v ) + ( c ( u 一峨，v ) = 0 ， ( p 一西，r ) 一( a ( a 一矗) ，r ) = 0 ( 札( o ) 一牡 i o ) ，训) = 0 ， v v v h ，0 t z ( 1 3 2 ) w - a h ，0 t s e ( 1 3 3 ) v 伽w i ( 1 3 4 ) 下面证明广义扩展混合椭圆投影的存在唯一性只需证明相应的齐次系统只有 零解，对应的齐次系统如下 ( d i v i 画h ，甜) = 0 ， ( 矗，v ) 一( 砺，t + 6 峨，d i v v ) + ( c 诹，v ) = 0 ， ( 风，r ) 一( 0 h ，下) = 0 ， ( 珏 ( o ) ，叫) 7 - - 0 。 事实上，在( 1 3 5 ) 中取w = d i v i s h ，可得 v 讪w h v v v h ， v r a h ， v w w h d 2 w f f h2 0 在( 1 3 6 ) 中取t ，= 6 h ，在( 1 3 7 ) 中取r = 矗并由( 1 _ 3 9 ) 可知 ( 矗，风) = - - ( c 面h ，血) ， 从而 l f 矗f f c f l u - d 又在( 1 3 7 ) 中取7 = a 有 ( h ，惋) = ( a a h ，a ) ， 可得 l j 矗i | s 硎矗m 由( 1 , 3 1 1 ) 和( 1 3 1 3 ) 我们有 i j 矗1 i c l i , m ， 在( 1 3 7 ) 中取7 - = 6 h ，可知 i i 甄i | c l l a h l l ， 由r - t - n 空间如下性质 怕一i i - c 啡s u v p 。铲，v w h 6 1 2 ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 脚 嘲 哪 砷 鄙 劬 m 肌 肌 舭 舭 叭 驵 射 0 q 0 m 以及( 1 , 3 6 ) 和( 1 , 3 1 6 ) 可知 i l 诚。t l i c ( 1 l a h l l + i i 佩1 1 ) ， ( 1 3 1 7 ) 由( 1 3 1 4 ) 和( 1 3 1 7 ) 可知 陋i ，t l | c r l f 峨 f ， ( 1 , 3 1 8 ) 从而由( 1 , 3 1 8 ) 得 i | 砺i | = i l z 诉，t 打j i g z 。i l 峨f jj d r g z 。i i 丽h l l d r ， 由g r o n w a l l 引理可得：i i 如j i = 0 ，峨= 0 ，再由( 1 3 1 4 ) 可得：h = 0 ，由( 1 3 1 1 ) 可得：西= 0 从而证明了广义混合椭圆投影的存在唯一性，因而投影中h ，癍，砺有定义， 因此我们提出的离散格式是有意义的 现在我们来研究矗，风，峨的误差估计令 u u h 2 “1 十u 2 u 12 p h u t t h ，u 2 2u p h u ， a 1 = a 一矗，p i = p f f h ， 则( 1 3 1 ) 一( 1 3 3 ) 变形为 卜鲫) = 0 ， 讹( 1 - 3 1 9 ) ( a l ，v ) ( t 1 j + 6 ( u 1 + t 2 ) ，d i v v ) + ( c ( u l + u 2 ) ，v ) = 0 ， v v v h ， ( 1 3 2 0 ) l ( p l ，r ) ( n a l ，下) = 0 ， 竹a h ( 1 3 2 1 ) 引理3 1 假定( 乱，a ，p ) 与( 峨，矗，画) 分别为弱形式( 1 , 1 。3 ) 以及广义投影 ( 1 3 1 ) 一( 1 3 4 ) 的解，设( 缸，a ，p ) 充分光滑，q 是2 一正则区域则对于v 0 ts t ， 存在与h 和t 无关的正常数c ，使得 f f “l i l e q i l a l i | + h t - 6 k 。| i a l i j + h l l 啦lj + j i t 2 i 一1 ) 打， 1 3 | | u 1 ，t | l g ( l | a i l + h 1 - 6 o0 a 1 l l + h l l u 2 i l + i | 札2 1 1 一l + l l u l i i ) ， 其中若七= 0 则氏o = t ，若南1 ，则以o = 0 证明：设妒厶2 ) ，庐h 2 ( q ) n 掰( q ) 是如下问题 巍! 竺乏? = 妒，比n ， i i 妒1 1 2 c i l 妒1 1 ( 1 3 2 2 ) 对o ， i i u t 一? h ，t i i c h f f t t r + i l “i f ，一1 + f i a i r 一1 + f i p l l ，1 r + ( i l 让1 1 ，一- + 0 t + i | a 一l + i i p i i ，一1 ) d 7 - ) ， j 0 ，t i i a a i isc h 7 0 札，a ，p 旷+ ( 0 地r + i i 训i ，一1 + i i a r l + i i p i i ，一1 ) 打) ， ， i i p p i | c h l i ，a ，p l l + ( 1 | u t + i i 缸l + i l a 一1 + i i p l l ，一。) 打) ， j0 ，0 + ( i i “t r + i l 乱l i ，一l + i l i l ，一1 + i t p l l ，一) d 7 _ 融舞：，v 邕w e w h 麓, 0 蓦t t , 甚( 1 篡4 1 ；) f = l f 札酬f ，m t f 打( ( t l 珏t 忡帆t i i ) d r c c i i ) d r j ， f f “4 f f = l f 牡 d t f f f f “4 ，t | f 打 珏4 i f + f f 让3 ，t ， ，o0 i l u 4 1 1 e z 。a 一帆 i i p 2 i i + i i “4 ，t i l + i i a 2 0 c ( 1 l t 3 ，t l i + i i u 3 t i l d e ) ， j 0 2 1 由( 1 4 1 ) 可知 ，t i i d i v p 2 l i s | | u 3 ，t | i + l i u “| | c ( 1 l u 3 ，t | | + i i u 3 t i i d t ) j0 由以上可得 一 i l u 一“ | i i i u 3 i i + g | | “”i i d r ， j o ，t l h t u h ，t | | c ( 1 l u 3 ，t | | + i l u 3 。t l i d 下) ， j 0 一 l l a a 0 0 a l i | + g ( i i 牡。，t | | + i i 仳。，, l l d ，- ) ， j 0 0 p p | i i i p l0 + c ( 1 1 , u 3 ，f l | + i l u 3 ，e i i d 7 _ ) ， j 0 i i d i v ( p p ) i i i d i v p l l i + | i d i v p = l l ， 综上由引理3 2 可得定理4 1 ，证毕。口 下面将考虑1 1 , 一的最大模误差估计为此我们首先引入如下定义的正则 g r e e n 7 8 函数( 参见 1 4 】) f g 1 + v a l = o ， z q ， v g l = 醴， z n ， i a l = o ， z a n 其中钟是对于。q 的正则d i r a c 函数，满足 ( w ，卵) = 埘( z ) ，v w w h ， 选取适当的点z 可以得到 l i , l l o 。s2 i | ( ，j ) i i ，( 1 4 5 ) 令 g ，廿) 是 g 1 ，a - ) 的混合有限元逼近，则由【1 4 】可知 i l g 州c l t n h l ( 1 4 6 ) 定理4 2 设定理4 1 的条件成立，对充分小的h 和0 t t ，则存在与h 无 关的正常数c ，使得 ( i ) 若= 0 ，则 i j 珏一, z h l l o ，。c h l l n h l l l u l l l ，。+ 毗，p ，钍川1 ，。) ， i i u t u ，, 1 1 0 。c h l l n hj i l l u t l l l ，。+ i i a l l l + 0 u o l ，。+ i | 让t ，p ，u i l l ，。) ，t 其中川u t ，p ，u 川z 。= ( jj 饥j h + j j pj i l + j j 珏jj 1 ，o 。) d r ( i i ) 若k 1 ，2 r k + 1 ，贝h i i u 一札 0 0 ，。冬g r l 。n n iz s _ i i 训i ，。+ u t ，p ，钍川，) ， i i 钍t u h ，t i o ，o 。c h t t n h l l l 钍* t l ，o 。+ lj a + jj p + i i 肚+ j j 让# ，p ，珏肛) ， ，t 其中u t ，p ，钍川，r = ( i i u t 卧+ i l a r + i l p l | r + i i u ) d r 证明：( i ) 若= 0 ，可知 ( u l ，+ p h ( b ( u 一砺) ) ，6 ) = ( 趾l j + p h ( b ( u 一砺) ) ，d i v g t ) = ( u l ，t + p h ( b ( u 一如) ) ，d i v g 2 ) = ( 札1 t + b ( u 一诹) ，d w a ) ) = 似l ，g ) + ( c ( u 一豇 ) ，g ) c ( 1 l ；h l + f | “一面h 1 1 ) i f g f f ， 从而由( 1 4 5 ) 可知 i l 铿，t + p h ( b ( u 一砺) ) 1 1 0 ，o 。se ( i a ，f l + i 趾一如j j ) j g 扎 由三角不等式可知 | j u l , ij o ，o 。j j 让1 j + p h ( b ( u 一札 ) ) j j o ，o o + ij p ( 6 ( u 一“ ) ) j j o ，。 s c 1 1 x l l f + f l 钍一, 1 1 ) l l a ) l f + c ( 1 l , , l l l o ，。+ 1 1 ”2 1 1 0 。) ， 因此我们可以得到 一 il 钍11 1 0 ，o o c 1 1 u 1 ，tj j o ，* d r j 2 t c 【( i f a f i + i f 缸一缸 f f ) f f g f f 十i i u l i o ，。+ i i , - , 2 1 1 0 ，。】d 一 由g r o n w a l l 引理可知 1 1 u - i i o ，o 。c1 2 ( 1 l a d l + 1 i 札一豇 i i ) | | g 2 i l + 1 1 u 2 1 1 0 ，。o d t ，【 + 1 1 u 1 1 1 + ( 1 1 a 1 t + l + idrllch i i ；q l ,i i a l t , i p l l , l u l l l ) d s l d t l l n h l ；【 +1 + + l+ i 5 j 0 j 0 g h l t n h l l 2 ( i i ；q h + f b ，i i l + f l 札i f l ，。o ) 打， 从而 i l u 一, 如1 1 0 ，。= i b , , l l o ，。+ i l 札。| | o ，。 c h l t n h l l l u l l l ，。+ ( i i a l l l + i 旧1 1 1 + i i u 0 1 ，。o ) d r ) ， 进一步可知 f 陋一“i t o o c h l l t , 。i i o 。o + c ( 1 l a t l l + l i 札一吼i i ) | 1 g i l + c ( 1 l u , l l o ，o 。+ i l u 2 l l o ，o 。) c h i t 们“呲e lo o + t + i l p l l - + 1 1 t 1 1 l , o o q j c ( i i m i - + i l p l l l + + 1 1 u 1 1 - ，。) 州 ( i i ) 若k 1 ，我们有如下的逆估计( 其中2 8 ) lj 肌钍一如p e ；一钿p u 一峨。， i i p h u t 一”i # i i o ，口c h 一；i l p h 让t u i ，t 6 1 0 ， 由引理3 2 我们可以得到 l l 札一峨1 1 0 ，。c h 7 ( 1 l 让，。+ ( i | a + | l p + 1 i 札盼) d r ) ， i i m 一剖b c h ( 1 l u i i 。o + i l p l l r + i l u l t r + 上( 1 l , 、l l r + i l p l l r + 1 1 1 , 1 1 r ) 州 利用g r e e n s 函数可知 ( u 4 + p ( 阮4 ) ，醴) = - - p h ( b u 4 ) ，d i v g ) = ( 珏4 ，t + 乩4 ，d i v g h ) = ( a 2 ，g 2 ) + ( f l u 4 ，g 2 ) 冬g ( i i a 2 i | + i i , - , , 1 1 ) l l 讲m 即 i l u 。，。+ p h ( b u 4 ) l l o ，。sc ( i i b i i + l i , - , , , 1 1 ) l l a ：l l ， 因此可以得到 从而 “4 ，, 1 1 0 ，。1 i u 4 ，t + p ( 6 钍4 ) l i o ，。o i | + i i p h ( b u 4 ) l l o 。o 。 d ( ( j j a 。i l 十i i , , , i i ) i i g ij + c l l u 4 1 1 0 。， 再运用g r o n w a l l 引理 进一步可得 综上由引理3 2 可得定理4 2 ，证毕口 z gg 丁 唾 。 曲 帆 _ 墨 岫 引 r，叫ii d 幻 口 k i j缸0i0( 嶙吖吖 j i 一 一 i 忆 rd h l g 、， r i d 知删忪 圳 ” 、 址 ( t ( z z e g 一 一 d l g 蛳 + b 厂加叭g 。讲，、j刚舭 川 地 f + 十 协 rt，l e g 一 一 第二章均匀棒纯纵向运动问题有限元方法 均匀棒纯纵向运动方程 2 1 引言 u “= 如。+ ，( 让。) 。 是引起广泛关注的一类重要的非线性发展方程，它典型反映了一类自由应力状态下 均匀粘弹性棒的纯纵向运动问题，其中u 表示位移文【1 5 】在函数f ( s ) 满足一定 条件的假设下得到了该方程初边值问题整体弱解的存在性；文【16 j 用g m e r k i n 方 法，研究了该方程的初边值问题，屈期边界问题和初值问题，并研究了一定的条件 下整体强解的存在唯一性；文 17 研究了对于此问题的差分方法的稳定性估计以 下我们假设函数“s ) 是一阶连续的且有0 l f l ，1 ，”i m 。 考虑此方程的初边值问题： r i 珏“= u “+ ，沁) 。， z f 0 ，1 】，t 0 ，卅， l “( z ，o ) = 私。( z ) z f 0 l j ， ( 2 1 。1 ) 气 l z j l j i u t ( x ，0 ) = u l ( x ) ，。 0 ，1 】， l iu ( o ，t ) = ( 1 ，t ) = 0 ，t f 0 ，研 则该问题的弱形式如下t 求牡： 0 ，引- + 珊( q ) ，使得 l ( 牡幽”) + ( t ，如) + ( ，k ) ，如) = 0 ， v = 硪( q ) ， 仳( 。，o ) ：u 。， ( 2 _ 1 2 ) 让t ( z ，0 ) = u l 下面我们讨论弱形式解的唯一性( 解的存在性由参考见【1 5 j ) 假设钍以及g 别为两个不同的解，并令e = 一矗，则e 满足 ( 6 t ，( t ) = 一( 已t ，e 刍) + ( ，( t 。) 一，( 瓯) ，厶t ) ，( 2 1 3 ) 进一步口j 得 d 1 l ( t l t 2 + i i 厶1 1 2 + 1 1 e 1 1 2 】+ 2j j 厶tj j 2 = 2 ( ，( u z ) 一，( 玩) ，g t ) + 2 ( 已，岛t ) + 2 ( e ，6 ) ，( 2 1 4 ) 利用e 一不等式可得 ( ，( u z ) 一，( 瓦) ，矗t ) i i 1 1 * 1 l 岛洲厶t i i 去i l ，1 1 1 1 厶1 1 2 + ；l i 矗t i l 2 ， ( 2 1 5 ) 2 ( g ，厶t ) 2 f f 厶川矗t i i ；1 1 矗1 1 2 + e l f 矗t i l 2 ， ( 2 1 6 ) 由( 2 1 5 ) 一( 2 1 6 ) 可得 翱郇+ 1 1 ( ：, 1 1 2 + 删2 _ c f l l 4 p + 1 1 。1 1 2 + 2 】， 对( 2 1 7 ) 两边从0 到t 积分，并利用( 满足齐次初始条件可知 | f 6 l | 2 + f f 矗 f 2 + i ( 1 1 2sc 6 i j 2 + i | 厶 1 2 + ( j | 2 】打， ，t j0 对( 2 1 8 ) 由g r o n w a l l 不等式可得 j i e , 1 1 2 + i i e , 1 1 2 + | i q l 2 三0 ， 所以e 兰0 ，从而弱形式解的唯一性得证 定义v 的有限元子空间： k = y ；k p k ( 耳) ，v k t h ) 其中k 1 ，p k ( k ) 表示k 上次数k 的多项式 设h 硪( n ) ，则相应的半离散逼近形式为 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( u m w ) + ( u h 。，) + ( f ( u h 。) ，) = 0 ，v v v h ， ( z ，0 ) = p h u o ， ( 2 1 9 ) 其中算子r 定义见引理1 下面我们讨论半离散逼近形式( 2 1 9 ) 解的存在唯一性 n 事实上。设u h ( x ，t ) = 啦( t ) 班( z ) ，啦( z ) k 为空间的一组标准正交基则 = l 由( 1 9 ) 可知 n 口? ( t ) ( 他( z ) ，也( z ) ) + q ：( t ) ( 妒缸( z ) ，咖z ( z ) ) i = 1 i = 1 + ( 唱n 删剩) ，舭= o ，= 1 2 仇 ( 2 “0 ) 札 x ，0 ) = o i ( o ) 啵( z ) ， u h t ( 石，0 ) = a ：( o ) 慨( 。) 设a ：a 玎) 。其中a i j = ，奶) ，由a 的对称正定性及由f 满足l i p s c h i t z 连续 性可知( 2 1 1 0 ) 的解是存在唯一的 为处理问题方便，我们引入下三个面引理。 引理1 存在算子p h ：v _ ，使得讹v 都有 ( 口一p h v ，v h ) = o ，v v v h ，l i p v l l o i l y 而且当 h ( q ) 时，有 l i v p 口l lsc h 7 5 l i ，s = 0 ，1 ，s r k + 1 引理2 ( g r o n w a l l 引理) 设g ( t ) 是在 o ，t 】上可积而且几乎处处正的函数 c 0 为常数，若妒( t ) c o ( o ，t 】) 且满足不等式 0s 妒( t ) c + 9 ( s ) 妒( s ) d s ，v 【o ，叫， j 0 则妒( t ) 也满足 0s 妒( t ) c e x p ( g ( s ) d s ) ，v t 【o ，t 】 j 0 而且当c = 0 时，妒( t ) = 0 引理3 ( 离散g r o n w a l l 引理) 令“t ) ，g ( t ) ，h ( t ) 为定义在【o ，t 】上的非负函数 t = i t , j = o ，1 ，2 ，n ，r = 斋口为常数，g ( o 是单调增嫡数，如果 t - r 巾) + sg ( t ) - i - o r ，( s ) ， 8 = 0 则有 ，( t ) + ( t ) g ( t ) e “c g ( t ) 本章的大体安排如下；在2 2 将给出关于投影的估计和一些引理，在2 3 将 给出半离散数值分析，在2 4 将给出全离散数值分析，在2 5 将给出一个数值模 拟例子如无其他说明，c 表示不依赖于h 和t 的正常数，在余下的几节中k 表 示一个固定的正整数 2 2 关于投影的估计和一些引理 我们定义关于此问题的投影豇： 0 ，胡- - 4 坛，满足 ( u 以一面科，) + ( _ ，( u 。) 一，( 豇。) ，v 。) = 0 ，v v y h ，0 t t 面( ，0 ) = p h u o ( 卫) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 由积分中值定理可知 ，( 让。) 一，( 矗。) = ，7 ( 豇。+ s ( 仳。一豇。) ) d s ( 钍。一面。) = o p ，t ) ( u 。一面。) ， j 0 ，( 如) 一，f 。) = z 1 厂( 。+ s ( 如一让蛔) ) 如( 如一牡h ) = 6 ( 茹，州如一“b ) 由f ( s ) 的一阶导数有正的上下界可知o ( 。，t ) ，b ( x ，t ) 均有正的上下界，以下用a ，b 表示a ( x ，t ) ，b ( x ，t ) ，由u 。，u x t 均是有界函数( 参见【1 5 】) ，我们可以知道a t 是有界 的。 设u h ( x ，t ) = e 啦( t ) 嘲( 。) ，c d x ) k 为空间的一组线性无关基则 ( t ) ( 砂妇( z ) ，咖。( z ) ) i = 1 n + ( ，( 啦( t ) 妒缸( $ ) ) ，咖。( 茁) ) = 0 ，j = 1 ，2 ，札， i = i n u h ( x ，0 ) = 啦(