（概率论与数理统计专业论文）关于多参数等变分歧问题的开折、稳定性及识别.pdf

摘要 1 9 7 9 年，g o l u b i t s k ym 和s c h a e f f e rd g 引入了应用奇点理论和 群论方法研究分歧问题的思想。对分歧问题进行研究所使用的工具主 要来自光滑映射芽的奇点理论中的相关技巧，研究内容包括以下几个 方面： 第一分歧问题的开折它研究分歧问题在一般扰动下的变化状 态，如果一个分歧问题存在通用开折，那么经过扰动后产生的每一个 开折都可以由它的通用开折导出，这说明研究分歧闯题的通用开折是 非常有意义的。对于含一个分歧参数的等变分歧问题，当它的状态空 间与靶空间相同时，g o l u b “s k ym ，s t e w a r ti 和s c h a e f f e rd g 给出了 通用开折定理。其后，许多学者对此继续研究。特别在国内，李养成 教授带领他的研究生建立了各种形式的通用开折定理。 第二，分歧问题及其开折的稳定性对光滑映射芽的各种稳定性 的讨论是奇点理论的一个重要部分。利用奇点理论的技巧，l a v a s s a n i l 和l uy c 研究了等变分歧问题及其开折的稳定性，刘恒兴、张敦 穆教授则讨论了等变分歧问题开折的( d 稳定性。 第三分歧问题的识别与分类为探讨一个分歧问题在什么条件 下等价于给定的标准形式，必须寻找这些标准形在等价群作用下的轨 道特征。借助于奇点理论中的一个基本概念( 有限决定性) ，这一问 题常常可以转化为有限维的情形来处理。等价群模去高阶项将以l i e 群方式作用在一个有限维空间上，因而可以将轨道描述成由一些这样 的映射芽组成，它们的t a y l o r 系数满足有限多个多项式约束，并以方 程或不等式形式表示，这正是识别问题的解。在分歧问题的识别研究 中，g a f f m e yt 引入了幂单代数群和幂零l i e 代数作为研究工具，建立 了多参数等变分歧问题的d 等价理论：m e l b o u m ei 研究了含一个 分歧参数的等变分歧问题，建立了u ( 1 - 3 - 等价理论；李养成教授则更 一般地建立了多参数等变分歧问题的u ( r ) 等价理论。研究分歧问题 在等价意义下有几类，是一个非常有意义但又很棘手的问题。到目前 为止，只解决了几类分歧问题在低余维数条件下的识别与分类问题。 通常，对分歧问题的研究不考虑分歧参数的对称性，即使考虑， 也仅限于分歧参数与状态变量具有相同的对称性，而且常将所有状态 变量同等对待而不加区别。本文则在更一般情形下研究分歧参数与状 态变量均具有对称性的静态多参数等变分歧问题，其中分歧参数所具 有的对称性可以与状态变量所具有的对称性不同，而且将状态变量分 为两组，区别对待，其中一组中的诸状态变量可以独立变化，而另一 组中诸状态变量在变化过程中则依赖于前一组中的变量。 本文第一章研究上述分歧问题在接触等价群作用下的开折，借助 于d a m o nj 所提供的d a - 代数工具，去掉了前述各种形式的通用开折 定理中对分歧问题的余维数的较强要求，仅在余维数有限的前提下得 到了通用开折定理，从而所得结果包含了许多已有的相应结果。 本文第二章进一步研究在接触等价群作用下上述等变分歧参数 及其开折的稳定性问题，得到了这类分歧问题是稳定的等价于它是无 穷小稳定的结论，并且用横截性条件刻画了这类分歧问题的稳定性。 本文第三章继续利用奇点理论中光滑映射芽的接触等价，研究状 态变量和分歧参数均具有对称性的等变分歧问题，得到了状态变量具 有d 6 对称性、分歧参数具有z ，对称性的等变分歧问题的两个识别条 件，所得结果是进一步对这类分歧问题分类的基础。 本文第四章利用奇点理论中光滑映射芽的左右等价关系，讨论分 歧参数带有对称性的等变分歧问题的开折的稳定性，刻画了无穷小稳 定开折的特征，并指出该类等变分歧问题关于左右等价而言的通用开 折必为无穷小稳定开折。 本文第五章利用奇点理论中光滑映射芽的左右等价关系，考虑在 左右等价群的一个子群的作用下，分歧参数具有对称性的等变分歧问 题的开折问题，得到了相应的通用开折定理。 关键词等变分歧问题，接触等价群，通用开折，稳定性，左右 等价群，识别 a b s t r a c t i n1 9 7 9 ，g o l u b i t s k ym a n ds c h a e f f e rd gi n t r o d u c e dt h ei d e ao f a p p l y i n gt h em e t h o d sa n dt e c h n i q u e so fs i n g u l a r i t ya n dg r o u pt h e o r yt o t h es t u d yo fb i f u r c a t i o np r o b l e m s t h et o o l su s e dt ot h es t u d yo f b i f u r c a t i o np r o b l e m sc o m em a i n l yf r o mr e l a t e dt e c h n i q u e si nt h et h e o r y o fs i n g u l a r i t i e so fs m o o t hm a pg e r m s i tm a i n l yi n c l u d e st h ef o l l o w i n g a s p e c t s ： f i r s t l y,theu n f o l d i n g s o fb i f u r c a t i o np r o b l e m s i ts t u d i e s p a r a m e t e r i z e df a m i l i e so f p e r t u r b a t i o n so f t h eg i v e n b i f u r c a t i o np r o b l e m s i ft h e r ee x i s t sav e r s a lu n f o l d i n gf o rab i f u r c a t i o np r o b l e mf , t h e ne v e r y u n f o l d i n gw h i c hi sp e r t u r b a t i o no f f c a l lb ef a c t o r e dt h r o u g ht h ev e r s a u n f o l d i n g s ot h es t i l d yo fv e r s a lu n f o l d i n g so fb i f u r c a t i o np r o b l e m si s v e r yi n t e r e s t i n g f o re x a m p l e ，g o l u b i t s k y , s t e w a r tg i v e st h eu n i v e r s a l u n f o l d i n gt h e o r e mo fo n ep a r a m e t e re q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m s w h e nt h es t a t es p a c eo fab i f u r c a t i o np r o b l e mi st h es a m ea si t st a r g e t s p a c e a f t e r w a r d sm a n ys c h o l a r sc o n t i n u e t o s t u d yt h i sp r o b l e m ， e s p e c i a l l yi nc h i n a ，p r o f f e s s o rl iy a n g c b e n ga n d h i ss t u d e n t se s t a b l i s h k i n d so f v e r s i o n so f t h ev e r s a lu n f o l d i n gt h e o r y s e c o n d l y ，s t a b i l i t yo f b i f u r c a t i o np r o b l e m sa n dt h e i ru n f o l d i n g s t h e d i s c u s s i o no f v a r i o u ss t a b i l i t i e so f s m o o t hm a p g e r m si sa ni m p o r t a n tp a r t o ft h es t u d yo fs i n g u l a r i t yt h e o r y b yu s i n gt h et e c h n i q u e sf r o m s i n g u l a r i t yt h e o r y , l a v a s s a n ia n dl ud i s c u s st h es t a b i l i t yo fe q u i v a r i a n t b i f h r c a t i o np r o b l e m sa n dt h e i ru n f o l d i n g s ；l i uh e n g x i n g 、p r o f e s s o r z h a n gd u n m ud i s c u s st h e ( r , s ) - s t a b i l i t y o fu n f o l d i n g so fb i f u r c a t i o n p r o b l e m s t h i r d l y ，t h ec l a s s i f i c a t i o na n dr e c o g n i t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m s t ok n o wp r e c i s e l yw h e nab i f u r c a t i o np r o b l e mi se q u i v a l e n tt oag i v e n n o r m a lf o r m w em u s t 丘n dt h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h eo r b i to ft h en o r m a l f o r m su n d e rt h ea c t i o no fs o m ee q u i v a l e n tg r o u p n l i sp r o b l e mc a l lo f t e n b er e d u c e dt oo n eo ff i n i t ed i m e n s i o n sb yu s i n gak e yi d e at h ef i n i t e d e t e r m i n a c yi ns i n g u l a r i t yt h e o r y t h ee q u i v a l e n tg r o u pa c t s a sal i e g r o u po naf i n i t e l yd i m e n s i o n a ls p a c eb ym o d u l oh i g ho r d e rt e r m s ，t h u s i t so r b i t sc a nb ec h a r a c t e r i z e da sc o m p r i s i n gt h o s eg e r m sw h o s et a y l o r c o e f f i c i e n t ss a t i s f yaf m i t en u m b e ro f p o l y n o m i a lc o n s t r a i n t si nt h ef o r m o fe q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e s t h i sc h a r a c t e r i z a t i o ni sj u s tt h es o l u t i o nt o t h er e c o g n i t i o np r o b l e m s i nt h es t u d yo ft h er e c o g n i t i o no fb i f u r c a t i o n b r o b l e m s ，g a f f n e ye s t a b l i s h e sd ( r ) 一e q u i v a l e n c et h e o r yb yi n t r o d u c i n g u n i p o t e n ta l g e b r a i cg r o u pa n dn i l p o t e n tl i ea l g e b r a s ，m e l b o u r n es t u d y e q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t ho n eb i f u r c a t i o np a r a m e t e ra n d e s t a b l i s h e su 0 3 e q u i v a l e n c e t h e o r y l iy a n g c h e n g e s t a b l i s h e s u ( r ) 一e q u i v a l e n c eo fm u l t i p a r a m e t e re q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m s m o r eg e n e r a l l y t h ec l a s s i f i c a t i o no fb i f u r c a t i o np r o b l e m si sav e r y m e a n i n g f u lb u tr a t h e rd i f f i c u l ts u b j e c t td i s c u s s e sh o wm a n yc l a s s e s b i f u r c a t i o np r o b l e m sh a v eu n d e rs o m ee q u i v a l e n c e ，a n dw h a tt h e i rn o r m a l f o r m sa r e s of a rt h er e c o g n i t i o n sa n dc l a s s i f i c a t i o n so fo n l yaf e wt y p e s o fb i f u r c a t i o np r o b l e m su n d e rt h ec o n d i t i o no fl o wc o d i m e n s i o n sh a v e b e e mc o m p l e t e d g e n e r a l l y , t h es y m m e t r yo fb i f u r c a t i o np a r a m e t e r si sn o tc o n s i d e r e d i nt h es t l l d yo fe q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m s e v e ni fi th a sb e e n c o n s i d e r e d ，t h es t u d yi sl i m i t t e dt ot h ec a s eo ft h ep a r a m e t e rs p a c eh a st h e s a m es y m m e t r ya st h es t a t e s p a c e ，a n d a l ls t a t ev a r i a b l e so ft h e b i f u r c a t i o np r o b l e ma r et r e a t e de q u a l l yw i t h o u ta n yd i s t i n c t i o n i nt h i s p a p e r , w es t u d yt h es t e a d y - s t a t em u l t i p a r a m e t e re q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o n p r o b l e m sw i t hs y m m e t r yo nb i f u r c a t i o np a r a m e t e r s ，w h i c hm a yb e d i f f e r e n tf r o mt h a to fs t a t ev a r i a b l e s ，a n dt h es t a t ev a r i a b l e sa r ed i v i d e d i n t ot w ot y p e s t h ef i r s tt y p ec a l lv a r yi n d e p e n d e n t l y , w h i l et h eo t h e rt y p e d e p e n d so nt h ep r e v i o u so n ew h e nv a r y i n g i nc h a p t e r1 ，t h eu n f o l d i n go fs u c hb i f u r c a t i o np r o b l e m su n d e rt h e a c t i o no fc o n t a c te q u i v a l e n tg r o u pw a sd i s c u s s e d t h ev e r s a lu n f o l d i n g t h e o r e mo b t a i n e di nt h i sp a p e rb yu s i n gd a - a l g e b r a st o o l si n t r o d u c e db y d a m o nn o to n l yi n c l u d e sm a n yc o r r e s p o n d i n gr e s u l t sb u ta l s oc a n c e l st h e s t r o n g e rd e m a n do nt h ee o d i m e n s i o no fab i f u r c a t i o np r o b l e mi ns o m eo f r e l e v a n tr e f e r e n c e st oe s t a b l i s hm o r eg e n e r a lu n f o l d i n gt h e o r y i nc h a p t e r2 ，w ec o n t i n u e dt os t u d yt h es t a b i l i t i e so fs u c he q u i v a r i a n t b i f u r c a t i o np r o b l e m sa n dt h e i ru n f o l d i n g su n d e rt h ea c t i o no fc o n t a c t e q u i v a l e n tg r o u p t h ee q u i v a l e n c eo ft h es t a b i l i t ya n di n f i n i t es t a b i l i t yo f i v s u c h e q u i v a r i a n t b i f u r c a t i o n p r o b l e m s i s o b t a i n e d t r a n s v e r s a l i 够 c o n d i t i o ni su s e dt oc h a r a c t e r i z et h e s t a b i l i t yo fs u c he q u i v a r i a n t b i f u r c a t i o np r o b l e m s i nc h a p t c r3 ，e q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e mw i t hs y m m e t r yb o t ho n t h es t a t ev a r i a b l e sa n dt h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r sw a sd i s c u s s e d t w o r e c o g n i t i o nc o n d i t i o n so ne q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hd 6 s y m m e t r yo nt h es t a t ev a r i a b l e sa n d 乙s y m m e t r yo nt h eb i f u r c a t i o n p a r a m e t e r sw a so b t a i n e d 。t h er e s u l t so b t a i n e dh e r ew a st h eb a s eo ft h e c l a s s i f i c a t i o no f s u c he q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m s i nc h a p t e r4 ，t h es t a b i l i t yo fu n f o l d i n go fe q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o n p r o b l e m sw i t hp a r a m e t e r ss y m m e t r yu n d e rt h ea c t i o no fl e f t - r i g h t e q u i v a l e n tg r o u pw a sd i s c u s s e d t h ei n f m i t e s i m a ls t a b i l i t yo ft h e u n f o l d i n go fs u c he q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw a sc h a r a c t e r i z e d i nc h a p t e r5 ，t h eu n f o l d i n go fe q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t h p a r a m e t e r ss y m m e t r yu n d e rt h ea c t i o n o fa s u b g r o u po fl e f t - r i g h t e q u i v a l e n tg r o u pw a s d i s c u s s e d k e yw o r d s ：e q u i v a r i a n tb i f u r c a t i o np r o b l e m , c o n t a c te q u i v a l e n t g r o u p ，v e r s a lu n f o l d i n g , s t a b i l i t y , r e c o g n i t i o n v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：日期：盟年兰，_ 月日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论 文：学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 日期：一月一日 中南大学博士学位论文 关于多参数等变分歧问题的开折、稳定性及识别 绪论 著名数学家t h o r nr 开创的奇点理论，经过m a t h e rj ，a r n o l dvi 等数学家的 杰出工作，在二十世纪七十年代已经取得了巨大的成就七十年代末，g o l u b i t s k y m 和s c h a f f e rd g 首先引入了应用奇点理论方法和群论方法研究分歧问题的思想 运用奇点理论研究分歧问题需引入适当的等价关系，以便考虑分歧问题的识别与 分类，研究开折理论，讨论分歧问题及其开折的各种稳定性，等等；在应用中， 人们都广泛采用非线性微分方程描述力学、通讯工程、控制过程、生态与经济系 统、化工循环系统及流行病学等领域的问题因而非线性微分方程一直是人们十分 关注且非常活跃的领域接触几何及辛几何等几何理论使得对奇点理论的研究与 对一阶非线性偏微分方程及其几何解的奇点的分类等研究得以联系起来( 见文献 7 4 8 3 】) ，奇点理论中的数学思想、方法技巧被应用到研究微分方程分歧理论中的 许多问题可见，无论是在理论上还是在应用上，对分歧问题的开折、稳定性和分 类等问题的研究都是重要的 近三十年来，奇点理论和分歧理论得到了迅速发展在开折理论研究中，对于 含一个分歧参数的等变分歧问题，当它的状态空间与靶空间相同时，g o l u b i t s k ym 等给出了通用开折定理其后许多学者对此进行研究，建立了在各种条件下多种形 式的通用开折理论( 见文献【8 2 9 】) ，如d u t e r t r en 给出了带有p 个分歧参数的” 元函数芽的通用开折定理( 见文献【1 2 】) ，李养成教授把通用开折理论推广到了带有 多个分歧参数的等变分歧问题( 见文献f 1 6 】) ，随后，李教授又与其研究生一起研究 了关于两状态变量组的分歧问题的通用开折( 见文献 1 8 ，2 2 2 5 】) 在奇点理论中，稳定性理论的相关成果主要见文献 3 3 - 4 7 】，其中g i b s o ng 给 出了映射芽的开折是a 稳定的一个充要条件( 见文献 3 8 9 ，张国滨、余建明讨论了 光滑映射芽的分级稳定性( 见文献 4 2 ，4 3 】) ，邹建成、熊剑飞讨论了映射芽的无穷 小稳定性( 见文献 4 4 】) ；在分歧问题的稳定性理论研究中，所得结果虽然不如开 折理论那样丰富，但也有不少研究成果( 见文献 4 5 5 0 p ，比如g e v a i sj j 讨论了 等变接触等价下开折的稳定性，l a r i - l a v a s s a n ia 等讨论了等变分歧问题及它们的 主塑奎兰竺主兰壁笙苎茎王兰垄茎竺奎坌些塑璺塑墅堑：璺塞丝墨塑型 开折的稳定性，邹建成讨论了分支问题开折的( r 咖稳定性 利用奇点理论研究分歧问题的另外一个主要内容是分歧问题的识别与分类 为探讨一个分歧问题在什么条件下等价于给定的标准形式，必须寻找这一标准形 在等价群d 作用下的轨道特征借助于奇点理论中有限决定性这一基本概念，这一 问题常常可以简化为有限维情形来处理g a f f n e yt 引入幂单代数群和幂零l i e 代 数作为研究工具，建立了多参数分歧问题的d ( r ) - 等价理论，m e l b o u r n ei 研究了 含一个分歧参数的等变分歧问题，建立了u ( r ) 等价理论，李养成教授建立了多参 数等变分歧问题在幂单等价群作用下的识别理论，其成果发表在中国科学 v 0 1 2 6 ( 3 ) 1 9 9 6 上在分歧问题的分类研究方面，k e y f i t zb l 给出了余维数不超过7 的不带对称性的单状态变量的分歧问题的分类，g o l u b i t s k ym 和s c h a e f f e rdg 给 出了余维数不超过3 的单状态变量以z 为对称群的单参数等变分歧问题的分类， g o l u b i t s k ym 和r o b e r t sm 得到了单参数两状态变量关于见对称的分歧问题在拓 扑余维数不超过2 的条件下的分类，f u r t e rj e ，s i t t aam 和s t e w a r ti 研究了分 歧参数与状态变量具有相同对称性的多参数等变分歧问题，并给出了状态变量与 分歧参数均关于d 4 对称的两参数等变分歧问题在余维数不超过l 的条件下的分 类，李养成教授和他的博士研究生高守平引进了状态变量与分歧参数带不同对称 性的等变分歧问题的理论，并给出了拓扑余维数2 的( d 4 ，) 的等变分歧问题的 分类，其成果发表在中国科学2 0 0 3 4 6 ( 6 ) 上之后。李养成教授和他的博士研 究生郭瑞芝又给出了余维数不大于3 的( b ，0 ( 2 ) ) 的等变分歧问题的分类( 见文献 6 8 】) 从以上成果可以看出，对分歧问题的研究通常将诸状态变量同等对待，并且 大多不考虑分歧参数的对称性，即使考虑分歧参数的对称性，也基本上限于参数 空间与靶空间有相同的对称性，因此，可迸一步考虑含两组状态变量的分歧问题， 且分歧参数可带有与状态变量不同的对称性，从而建立起更一般的等变分歧理论 另外，分歧参数带有对称性的等变分歧闯题在微分方程中的实际意义尚不明了， 需作进一步的研究 本人基于奇点理论，利用d a 代数工具，研究含两组状态变量且分歧参数也带 有对称性的等变分歧问题的开折、稳定性以及状态变量和分歧参数均带有对称性 的等变分歧问题开折的稳定性问题及识别等内容大致如下： 本文第一章研究上述分歧问题在接触等价群作用下的开折，借助于d a m o nj 2 中南大学博士学位论文关于多参数等变分歧问题的开折稳定性及识别 所提供的d a - 代数工具，去掉了前述各种形式的通用开折定理中对分歧问题的余 维数的较强要求，仅在余维数有限的前提下得到了通用开折定理，从而所得结果 包含了许多已有的相应结果 本文第二章进一步研究在接触等价群作用下上述等变分歧问题及其开折的稳 定性问题，得到了这类分歧问题是稳定的等价于它是无穷小稳定的结论，并且用 横截性条件刻画了这类分歧问题的稳定性 本文第三章继续利用奇点理论中光滑映射芽的接触等价，研究状态变量和分 歧参数均具有对称性的等变分歧问题，得到了状态变量具有n 对称性、分歧参数 具有z ，对称性的等变分歧问题的两个识别条件，所得结果是进步对这类分歧问 题分类的基础 本文第四章利用奇点理论中光滑映射芽的左右等价关系，讨论分歧参数带有对 称性的等变分歧问题的开折的稳定性，刻画了无穷小稳定开折的特征，并指出该 类等变分歧问题关于左右等价而言的通用开折必为无穷小稳定开折 本文第五章利用奇点理论中光滑映射芽的左右等价关系，考虑在左右等价群的 一个子群作用下等变分歧问题的开折问题，得到了相应的通用开折定理 3 中南大学博士学位论文 关于多参数等变分歧问题的开折、稳定性及识别 1 1引言 第一章含两组状态变量且分歧参数 具有对称性的等变分歧问题的开折 对光滑映射芽开折的研究是奇点理论中的一个重要问题文献f l - 4 讨论了在 接触等价和左右等价下光滑映射芽的开折，给出了各种形式的通用开折定理借助 奇点理论中光滑映射芽的接触等价和左右等价，定义分歧问题及其开折的等价关 系，文献6 2 1 讨论分歧问题的开折，得到了各种形式的通用开折定理其中文献 8 】给出了带有一个分歧参数的等变分歧问题当它的状态空间与靶空间相同时的万 有开折定理；文献【1 6 】将文献 8 】的结果推广到带有多个分歧参数的等变分歧问题， 且允许状态空间与靶空间可以不同f u r t e r , s i t t a 和s t e w a r t i ”1 研究了参数也具有对 称性且对称性与状态变量所具有的对称性相同的等变分歧问题；文献 t g n i j 讨论了 参数具有与状态变量不同的对称性的等变分歧问题 值得指出的是，以上关于分歧问题的开折的讨论中，对于分歧闻题的诸状态 变量或诸分歧参数是“平等”对待而不加以区分文献 2 2 】则将诸状态变量分为两 组，其中一组的诸状态变量可以独立地变化，而属于另一组的诸状态变量在变化 过程中则依赖于前一组中的诸状态变量，研究该类分歧问题在接触等价群下的开 折，得到了通用开折定理；文献 2 3 ，2 4 ，2 5 贝j j 讨论了这类等变分歧问题在左右等价 群下的开折；文献 2 6 ，2 7 贝j 按这种思想将分歧问题的分歧参数分为两组，研究其在 接触等价群下的开折 上述相关文献中的通用开折定理对分歧问题的余维数都有较强的要求文献 【2 s 借助于d a m o n i t 9 1 所提供的d a - 代数工具，给出了具有有限余维数的分歧问题 的通用开折定理本章将分歧问题的状态变量分为两组，且允许分歧参数带有对称 性，讨论这类分歧问题的开折，试图建立起更一般的开折理论借助于d a - 代数工 具所得到的通用开折定理不仅包含了文献 4 ，6 , 7 , 1 3 ，1 4 , 1 7 ，2 8 】中的相应结果，而且去 掉了上述有关文献中对分歧问题的余维数的较强要求，所得结果已发表在数学学 报英文版上l ” 4 中南大学博士学位论文 关于多参数等变分歧问题的开折、稳定性及识别 1 2 预备知识 设r 与是紧l i e 群，r 线性地作用在尺”“与月，上，线性地作用在科 上r ”( 0 ) 与 0 x r ”为r 一不变子空间光滑函数芽g ：( 胄”舻，( o ，o ) ) 一只称为 ( r ，a ) - q ；变的，如果 g ( r z ，觋) = g ( z ，a ) v z = ( 五) ，) r m m ( 0 ，0 ) ) ，兄( r ，0 ) ，r ：万a 其中z = ( 毛，吒) 尺“，y = ( 朋，靠) e r ”，y z = ( v c ，) 记所有这样的函数芽所成之集为。( r ，) ，其惟一的极大理想，即在原点取值为 零的正) 一不变函数芽全体记为段。( r ，厶) 光滑映射芽f ：僻”x r “彤，( o ，0 ，o ) ) 一r 9 称为以) 一等变的，如果它满足 厂( ，茁，觐) = y f o ，y ，五) ，v x ( r “，o ) ，y ( r ”，o ) ，a ( r 。，o ) ，f ，万a 其中x , y 称为状态变量，五= ( 五，五) 称为分歧参数将所有这样的等变映射芽所 成之集记为e ， ；，( r ) ，当刀，时，简记为晟础( r ，) 记 m 。，却( r ，) = ，& 。却正) 砸0 ) = o 定义1 2 1 一个具有两组状态变量的争参数( r ，a ) 一等变分歧问题( 以下简称为 等变分歧问题或分歧问题) 是指映射芽丘，知( r ，) ，满足 ，( o ) = o ，( 见，) 。= o ， 其中d i 表示厂对2 求导记 e 肿；，( r ，) = s ：氓4 r 4x r * , o ) - - 9 g ，职) 满足s ( 鸬，飘) y = r s 化只五) 勺k ( r n ，o ) ，y ( r ”，o ) ，五( 科，o ) ，r ，万 由文献 6 】定理6 8 知，e ( r ，) 和e 咄，( r a ) 均为有限生成的f 。j ( r ，a ) - 模 类似地，记 巳( ) = a ：( 硝，o ) 一只la ( 颤) = a ( 五) ，v g 僻，o ) ，万 ， 丘( ) = a ：( 群，o ) 斗群f a ( 跏= 矾( ，v a ( 钟，o ) ，万 ， 段( ) = a e 岛( ) i a ( o ) = o ， 帆( ) = a 巨( ) j a ( 0 ) = o 则五( a ) 是有限生成的岛( ) 一模 设r 僻“) 为僻”，0 ) 上所有r 一等变线性映射芽组成的向量空间，f 僻”) o 为 f 僻“) f i g l ( r “) 中包含单位元的连通分支类似地可定义p ( 舻) o 定义l t 2 2 令 ! 堕奎兰坚主兰堡笙奎 茎王兰至塾竺奎坌些塑壁墼茎堑：翌塞丝墨堡型 鬈( r 矗) = ( s ，x ，y ，a ) e 肿，( r ，) 弘。( r ，) a t ( r ，) 磊毛( ) 1 5 ( o ，o , o ) e f 俾) 0 ，( 皿j ) ( 。舯) f 职4 ) o ，哆y ) ( o o ) r 似“) o ，( 协a ) 。cl 6 ( r ) o ) ， 其中乘法运算规定如下； ( 足，五，r 2 ，人：) 。( s ，墨，墨，a 。) 也只= 似弘a ) 是( 五o ，乃五) ，】：( 弘2 ) ，人i ( 五) ) ， j ：( 墨( t j a ) ，k ，a ) ，a 。( 五) ) ，e ( k ( 只兄) ，a 。( 五) ) ，a ：( a 。( a ) ) ) 易证k ( f ，a ) 在上述乘法运算下构成一个群，称为( r ，) 一接触等价群m 1 8 】群 k ( r ，) 在巨。却( f ，) 上的作用定义为 ( s ，】，a ) g ( 只d = s ( x , y ，a ) g ( x ( x , y ，z ) ，r t y , 五) ，a ( 乃) 这时g 的轨道记为k ( r ) g 设，g 邑肿，( r ，) ，若z 占在同一轨道中，则称，与g 是足( r z x ) 一等价的，并记为- - g 因此产g 的充要条件是：存在( s ，工，y ，a ) k ( r ，a ) ， 使得 f ( x , y , 2 ) = s ( t y ，a ) g ( x ( x ，y ，五) ，y ( j ，a ( a ) ) 若此时还有a z i d ( r 。) ( 即a 为r 上的恒同映射芽) ，则称厂与g 是强圈e ) 一等价 的 定义1 2 3 设ge 毛础；，( r ，) 是( r ) 一等变分歧问题g 的卜参数开折是指 ( r ，) - 等变映射芽g ( x ，弘a ，口) 或。鼬，( r ，) ，满足g ( x ，y ，五，o ) = g ( x ，y ，a ) ，其中 口= ( 喁，缉) 是开折参数 类似地，定义 己。“；，( r ，) = p ：僻“x r “x r x r t ，o ) 专g ，氓) 满足s ( 芦，积，口) ，= 声( z ，弘五，口) ， v x ( 尺“，o ) ，j ，( 尺“，o ) ，兄( r 七，o ) ，d e ( r t , o ) ，e f ，万 豆，( ) = a ：( 群x r t , 0 ) 殿i a ( 8 2 ，口) = 趴q ，口) ，v 2 e ( r ，o ) ，口( 更，o ) ，j a 令 民。口，9 = ( s ，置j ，a ，- 0 磊埘 幻( r ，a ) 取。“a ) 丑。j 0 - - , a ) 玩j ( ) m ， 其中m = ，：职，o ) 一r 1 i f ( o ) = o ) 氏( r ，) 也是一个群，称为开折的) 一接触等价群它在卮， 幻( r ，) 上的 作用为 ( s ，石，r a ，锄g ( x ，弘a ，口) = s c x ，y ，2 ，口) g ( x ( x , y , a ，口) ，y o o a ，口) ，a o t ，口) ，a ( a ) ) 这时g 的轨道记为e 。e ) g 若g 的两个卜参数开折g 和日位于同一个轨道中， 则称它们是以a ) 一等价的 为定义上述两个群的切空间，需看原点是否被保持若映射不保原点，则切向 6 中南大学博士学位论文关于多参数等变分歧问题的开折、稳定性及识别 量可看成群k ( f , a ) 中的单位元的卜参数开折f ，y ，a ，t ) e k 。旷，) 在原点的速度 岳f 。f ( x , y ，五，f ) 因而对于k ( r ，) 在其单位元处的切空间t i c a ) ，有 t k ( f ，厶) 兰e 。 ；，( r ，a ) e e ，j ( r ，) o 瓦 ( r ，a ) 0 巨( ) 同理，对于e 。正a ) 在其单位元处的切空间刃l 。( r ，) ，有 t k ( f ，