（应用数学专业论文）非局部双曲型偏微分方程解的渐近性态.pdf

摘要 本文首先研究了下述非局部双曲型偏微分方程解的渐近性态 u t + 仳z = a f ( u ) ( 启，( u ) d z ) p ，。 o ；( 1 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ，0 0 ，( s ) 是非增函数我们发现函数人( p ) = m p ( p ) # p 1 对讨论问题解的渐 近性态起到了重要作用，这里p = f od s f ( s ) 我们证明了，如果0 l ，当f ，( s ) p 一1 d s = 0 0 时，无界解在无穷远 时刻爆破；当f o o ，( s ) p - 1 d s 0 0 时，无界解在有限时刻一致爆破随后我们举了两个例子， 讨论它们解的渐近性态，当解有限时刻爆破时求得了一致爆破速率 其次我们讨论了方程( 1 ) 的变异方程解的渐近性态 u m 。扎( 詹( u + 1 ) 咖z ) p ， u ( o ，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = 仳o ( z ) ， 0 0 ： 0 z 0 方程( 2 ) 与方程( 1 ) 的区别是( 2 ) 中右边项的分子为增函数， ( 1 ) 中右边项的分子为减函数如果0 p 1 ，我们证明了方程的解是整体有界的且渐近稳 定的；如果p 1 ，我们讨论了参数理和p 在不同的取值条件下方程解的渐近性态最后当 方程的解在有限时刻爆破时我们得到了它的一致爆破速率 关键词：非局部双曲型方程，稳态解，整体存在，渐近性态，一致爆破 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l ew ef i r s tc o n s i d e rt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro ft h es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n g n o n l o c a lh y p e r b o l i cp r o b l e m 让t + = 川让) ( 詹m ) d z ) p ，。 0 ， u ( z ，0 ) = 咖( z ) ，0 0a n df ( s ) i sn o n i n c r e a s i n g i ti sf o u n dt h a tt h ef u n c t i o na ( p ) = j 汐( p ) 旷一1 p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro ft h ep r o b l e m ，w h e r e 恤= l ? d s f ( s ) i f0 1 ，w ed i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h es t e a d ys t a t ea n dp r o v et h a t t h eu n b o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o ni m p l i e si n f i n i t et i m eb l o w u pi ff ，( s ) p 一1 d s = 。oa n dt h e u n b o u n d e d n e s so ft h es o l u t i o ni m p l i e sf i n i t et i m eb l o w u pi f - ( s ) p 。1 d s o 。w ea l s og i v e t w oe x a m p l e so ff ( s ) a n dd i s c u s st h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro ft h es o l u t i o n s t h eu n i f o r m b l o w - u pr a t e sa r eo b t a i n e d s e c o n d l yw ec o n s i d e rt h ea s y m p t o t i c a lb e h a v i o ro ft h es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gn o n l o c a l h y p e r b o l i cp r o b l e m + = a u 1 ) 一p d z ) p ，o 0 ： 0z 0 t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h et w oe q u a t i o n si st h a tt h e n u m e r a t o ra n dt h ed e n o m i n a t o ra r ed e c r e a s i n gi n ( 1 ) b u tt h en u m e r a t o ri si n c r e a s i n ga n d t h ed e n o m i n a t o ri sd e c r e a s i n gi n ( 2 ) i f0 p 0 为常数 为了简化上述方程，我们假定： ( 1 ) 热传导系数k 很小，从而南很小；( 2 ) 食物的初 始温度分布而为常数；( 3 ) 当z = 0 时妒= 0 ，当名= l 时妒= v ，这里z 是食物在加热通 道的长度 在食物运动方向及垂直于运动方向上热传导可以忽略不计，电位势妒与食物温度丁只 随z 和时问t 的变化而变化，满足方程组 麦( 盯笔) = o ，似并+ 餐) = 盯( 笔) p o 名 厶 妒= 0 ，t = t o ，z = 0 ； 妒= vz = l 积分第一个方程得 盯掣：j ( t ) ，盯_ 2l z j ， u z 因此 v j id z ，1 这里了是电流密度这样问题就转化成 鲁+ u 务= 岳= ( 等) ( 导) ( z 二吾d z ) 一瓦扣瓦5 面5l 瓦八孑八以孑以j 东南大学硕士学位论文 这是一个非局部抛物型方程的双曲型简化，这里热的输送不再以扩散的形式，而是以对流的 形式令秒= 1 ，温度t = 铭( 。，t ) ，则问题转化成维非局部双曲问题 啦+ 毗= 州札) ( 詹m ) d z ) p ，。 o ；( 1 1 ) u ( z ，0 ) = ( z ) ，0 0 ，f ( u ) ( c x ) 表示因食物温度变化而变化的电阻，一般食物的电阻随温度 的升高而增加，我们这里假定f ( s ) 是一个递减的且是l i p s c h i t z 连续的函数，当s 0 时 f ( s ) 0 ，咖( z ) 是一个连续的非负函数且咖( o ) = 0 a a l a z y 从1 9 9 5 年开始研究非局部双曲问题( 1 1 ) 解的渐近性态，主要是针对p = 2 的这种特殊情况，参看f 8 】一 1 1 其他作者关于此方程的结果，参看 1 2 】一【1 6 本文的 目的是对于一般的p 0 ，研究问题解的渐近性态 我们还考虑( 1 1 ) 的一类变化形式，即下述非局部双曲方程 乱t + u z = a 让a ( f l o ( u + 1 ) 一p d z ) p ， 让( o ：t ) = 0 ， 让( z ，0 ) = u o ( z ) ， 0 o ； ( 1 2 ) 0 z o ( 1 2 ) 与( 1 1 ) 的区别在于( 1 2 ) 右边项的分子为增函数，而 ( 1 1 ) 右边项的分子为减函数( 有些物质的电阻随温度的升高而减小，因此我们研究一种 f ( s ) 是增函数的情况，讨论此时方程解的渐近性态) 1 2 主要结果 在第二章中我们主要讨论了( 1 1 ) 解的渐近性态，得到的主要结果有： 1 如果o 1 ，对于固定的a ，根据当肛_ o o 时a ( 肛) 的性质，u ( x ，t ) 可能整体存在也可能 无界我们证明了当厂。，( s 尸- 1 d s 1 ，我们有 躲( r t ) 南札( z ，t ) = ( a + 口一册) ) 志； 4 当p = 2 入= a + = l i m m ，m 2 南d s 时，对无穷远时刻爆破的解作出估计， 得到 c 4 l | u ( ，t ) l l 。m ( o ) e 肛， 其中e ( 0 ，1 ) ，c = a + f ( o ) ，m ( o ) = m a xu o 第三章主要讨论了方程( 1 2 ) 解的渐近性态，得到的主要结果有： 1 0 p 1 ，如果0 1 ，当0 oa ( p ) 时，如 果u o 适当小，则u ( x ，t ) 整体存在且渐近稳定，如果u o 充分大，则u ( x ，t ) 在有限时刻 爆破；当入 a m “时，对于任意初值u o ，u ( x ? t ) 都在有限时刻爆破； ( 2 ) o t + 卢1 ， 这里又有三种情况：( i ) o + 励 1 ：让( z ，t ) 整体存在且渐近稳定；( i i ) 口+ 励= 1 ，当 0 入 1 ，当0 a 。舣 时，对于任意初值u o ，u ( x ，t ) 都在有限时刻爆破； 4 如果丁 ，则u ( x ，t ) 在( 0 ，l 】的任意子区间上一致爆破且 埘j i m 掣= m l i r a 骅乩 这里p 是爆破时间，g ( t ) = 名夕( s ) d s ，夕( t ) = a ( 詹( 仳+ 1 ) 一p d z ) p 运用此结果，我 们得到 帮l i m 吼r 叫南：( 咩字) 南 第二章方程( 1 1 ) 解的渐近性态 2 1 稳态解 为了讨论( 1 _ 1 ) 的渐近性态，我们先考虑其稳态解方程( 1 1 ) 的稳态方程是 叫7 ( z ) = a ( 叫, ( 0 1 ，( 彬) d z ) p ，。 oa ( p ) 利用上面的分析我们得到稳态方程( 2 1 ) 解的存在定理 定理2 1 1 ( 1 ) 如果0 0 稳态方程( 2 1 ) 存在唯一解； ( 2 ) 如果p 1 ，当a m 缸= 或者0 入 a m 啦 入m 舣时，稳态方程( 2 1 ) 无解 p 、 zd 、i ， 伽 ，、 ， l z 入 一一 p 令 东南大学硕士学位论文 定义2 2 1 如果型( z ，t ) 满足 2 2 比较原理 笪。+ a ，c 蓟( z 1 ，c 笪，d z ) p ， 。 z 。； 勘( z ) u o ( x ) ，0 z 1 称笪( z ：) 为问题( 1 1 ) 的下解 定义2 2 2 如果西( z ，t ) 满足 砚+ 砚a 厂c 面，( 1 厂c 面，d z ) p ， 。 z 。； 砀( z ) u o ( x ) ，0 z 0 使得0 f ( b ) 一( a ) g ( a 一6 ) ，这里b a m 在z = t + c 上，笪( z ，t ) 和u ( x ，t ) 都满足 方程 d u ，a f ( o ) 出二f p ( ，) 只要型( z ，舌) 和u ( z ，t ) 都比m 小因此当t ( m - s u p u o ) 厂p ( m ) a f ( o ) 时，我们有笪( z ，t ) m 和u ( z ，t ) m 取函数列u n ( z ，t ) ，其中v o ( x ，) = u ( x ，) ：对于扎1 ，( z ，t ) 满足方程 d v n a k a f ( v n1 1 a 一1 - - r - - ，。- - a i 百+ 而5 面丽+ 了丽 当z = 0 时( z ，t ) = 0 ，当亡= 0 时 n ( z ，t ) = u o 我们得到当t t 三( m s u p u o ) f n ( m ) a ( f ( o ) + k m ) 时，( z ，t ) m 因为咖( z ，t ) 是 下解，所以有 入，c 如j ( ：1f ( v o ，d z ) p d 咖d t ， 5 东南大学硕士学位论文 6 d v l a k v l 、d 蜘。a k v o d t 十p ( 丽mz d t 十7 丽) 一。户( m ) 并且当z = 0 和当t = 0 时都有v l ( z ，t ) 伽( z ，) 因此我们有v l ( x ，t ) v o ( x ，) ，并且 d u 。 a ，( u 。)a ，( ，) ( ( s 2s ( u ) d z ) p 一( f 孑f ( v o ) d z ) p ) a ( ，( u 。) 一，( u 。) ) 一d t 一( f 2f ( v 1 ) d x ) , 2 i 币丽丽币丽面i _ 一十可万面 + 羔( 咖咖) 0 + 而万( 咖一秒1 ) o 依此类推我们得到：墅( z ，t ) = v o ( x ，t ) s 1 ( z ，t ) 砚( z ，t ) s s 且z 和( z ，t ) - u ( z ，t ) u ( x ，亡) ，其中0 t t 用类似的方法我们可以得到u ( x ，t ) 瓦( z ，t ) 因此比较原理得证 在方程( 2 3 ) 中，让p 是个关于t 的函数，我i f 3 让肛( t ) 满足一定的条件使得叫( z ；肛( t ) ) 成为方程( 1 1 ) 的上解或者下解 记u ( z ，t ) 三t 7 ( z ；p ( t ) ) ，从等式( 2 3 ) 我们可以得到= p ( t ) ，( u ) ，将( 2 3 ) 从0 到z 积 分。我们有 舯= z ”高 再关于t 求偏导，上式变成 u t = p 7 ( t ) z ，( 秒) 因此 ( z ，t ) 满足 一丽a f 习( v ) 训小咖一端) 令p ( t ) 是下列方程的解， 刖= 端刊，则) 碘 ( 2 6 ) 如果存在脚满足 a a ( 肛o ) 和叫( z ；肋) 咖( z ) ， 那么p ( ) 是单调减，从而我们有u ( z ，t ) 是单调减且满足 仇+ 一了刁弓 s 是云厂0 东南大学硕士学位论文 因此v ( x ，t ) 是方程( 1 1 ) 单调减的上解 如果存在伽满足 a2a ( 肛o ) 和 ( z ；伽) ( z ) ， 那么弘( ) 是单调增，从而我们有v ( x ，t ) 是单调增且满足 时旷蒜驽列 因此v ( x ，t ) 是方程( 1 1 ) 单调增的下解 2 3 解的渐近性态 有了上面两节的准备工作，这节我们讨论方程( 1 1 ) 解的渐近性态和爆破性质 对于0 1 时，这时情况比较复杂，我们首先考虑方程( 1 1 ) 解的有界性和渐近性态我们 7 东南大学硕士学位论文 先给出带有参数入的常微分方程 删= 蒜叫 ( 2 7 ) 解的稳定性结果假设0 0 ，当弘l 伽 弘l + 时，p ( ) 是单调减 的且当_ o o 时p ( t ) _ p 1 ；另一方面，当p l 一 1 且入m 强= ( 3 0 时，对于任意初值u o ，u ( x ，t ) 是整体有界的而且当 用叫( z ；肛1 ) 代替引理2 3 2 中的p 1 时，引理2 3 2 也成立 证明：为了证明珏( z ，t ) 是整体有界的，我们只需构造整体有界的上解，选取踟充分大 且满足 入a ( 脚) 和 ( z ；伽) 咖( z ) ， 那么p ( ) 是单调减的，因此叫( 。；p ( ) ) 是个整体有界的上解 对彬( z ；p 1 ) 稳定性的分析和引理2 3 2 的证明一样例如，如果a ( p 1 ) 0 ，则存在充 分小的g 0 ，当弘1 踟 p 1 + 时， p ( t ) 是单调减且当t _ o 。时弘( 舌) 一弘1 ，因此 当t o o 时叫( z ；p ( t ) ) _ 加( z ；弘1 ) ；另一方面，当p 1 一e p o p l 时，p ( t ) 是单调增 且当t _ o o 时肛( t ) _ 肛1 ，因此当t 叶o o 时们( z ；p ( t ) ) _ ( z ；u 1 ) 运用比较原理，如果 叫( z ；p 1 一s ) a + 时，如果a 彬( z ；p + ) 且a 似) 0 ，我们 有a a ( p ) ，那么u ( t ) 是单调增且当亡一t + 时弘( ) _ o o ，这里t 。o 因此彬( z ；弘( 啪是 个单调增的无界下解 如果a 矿时人( p ) 矿 时p ( t ) 一o o 当锄( z ) 叫( z ；矿) 时，存在伽 矿那么有u o ( x ) 叫( z ；p o ) 叫( z ；矿) 因此叫( z ；p ( ) ) 是个单调增的无界下解 对甜( z ；p 1 ) 的稳定性的证明和定理2 3 3 的证明相似 当f ( s ) 满足一定条件时，无界解牡( z ，t ) 是有限时刻爆破 定理2 3 5 ( 1 ) 如果孔( z ，t ) 是无界的且有f o 。，( s ) p - 1 d s = o o ，那么u ( x ，t ) 在无穷远时刻爆破，即当 t 0 0 时u ( x ，t ) _ 0 0 ，对于任意0 z 1 成立； ( 2 ) 如果u ( z ，t ) 是无界的且有f o o _ 厂( s ) p - 1 d s 0 0 ，那么u ( x ，t ) 在有限时刻t 爆破，进一步 我们有u ( x ，t ) 在( 0 ，1 的任意子区间上一致爆破，即对于任意的x l ，x 2 ( 0 ，l 】我们有当 t _ t 4 时i u ( x l ，t ) 一u ( z 2 ，) i _ 0 证明：( 1 ) 因为我们已经构造了下解硼( z ；芦( ) ) 且讶( z ；p ( t ) ) _ 。对于任意的0 t o 在( t o ，t + ) 上积分得 蔗掣啦( m m m 这里t + 是p ( ) 的最大存在时间由上式得 胚而1 o 掣虮 因为m ( 0 ) = 0 和p 1 ，运用h a r d y 不等式( 1 7 】) 和( 2 4 ) z 等峪( 寺) p ( 删州寿) pf o 叭s ) ) 川a s 又因为f 0 0 f ( s ) p 一1 d s o o ，因此得到t 。o ，i e ，即u ( x ，t ) 在有限时刻p t + 时爆破 下面我们证明u ( z ，t ) 在( 0 ，1 的任意紧子区间上一致爆破由特征线法，令v ( t ) = 让 + 铷一t o ，曲，则 仇= 9 ( t ) ，( u ) ，t ( 0 ，t ) ，如果x o t o t ( t o x o ，t + ) ， 如果x o t o v ( o ) = u ( z o t o ，o ) ，x o t o ， v ( x o t o ) = 0 ， z o t o ， 其中9 ( 2 南 将上式积分得： 当z o t o 时， = ，高= t o g - j f 札( 驴幻，o ) ，( s ) v 严 当x o t o 时， 严知羔：厂幻咖胁 j 一= - 仃l 丁l f l 下 厶，( s ) 厶一跏趴叫 由于札( z ，) 在t = r 时刻爆破，可知f pg ( r ) d - r = 0 0 ，而且对于任意的z ( o ，l 】都有 也( z ，t ) _ ( t p ) 设0 z 1 沈1 ：并设z 】 p 0 ) 上 是一致的 2 4 两个例子 这一节对两个不同的，( s ) ，讨论这方程( 1 1 ) 解的渐近性态，再利用定理2 3 5 的一致爆 破的性质，在解爆破的情况下求爆破速率 2 4 1 ，( s ) = e - 3 方程( 1 1 ) 变成 u t + = a e 一“( 詹e 一乱d z ) p ， u ( o ，t ) = 0 ， u ( x ，0 ) = 伽( z ) ， 0 0 ，( 2 8 ) 0 0 ，当0 p f 时a 7 ( p ) 0 显然a m 舣= a ( p f ) 当0 入 a m 。时，& = 谚；& 。= 【芦f ) 运用定理2 3 1 ，2 3 4 ，2 3 5 可以得到下面的定理 定理2 4 1 1 0 1 ，当0 入 入m 缸时，对于任意初值u ( x ，t ) 都在有限时刻爆破当a = a 一 1 1 东南大学硕士学位论文 时，如果u o ( x ) 伽( z ；船) ， 则u ( x ：t ) 在有限时刻爆破同时我们还有，如果方程( 2 8 ) 的解在有限时刻爆破，那么它 在( o ，1 】的任意子区间上一致爆破，即对于任意两个点0 z l 。 令9 ( ) = a ( 詹e 叫妇) p ，在( 。，t ) 上积分得 e u ( 2 ) 一g ( t ) 兰9 ( s ) d s ， 当t _ r + 时 因为对于任意两个点0 z l 1 方程( 1 1 ) 变成 u t + = a ( 1 + 让) 1 一。( 詹( 1 + u ) 1 吲z ) p ， 、， u ( o ：t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = o ( z ) ， 0 0 ，( 2 9 ) 0 z 1 ，通过简单计算可知a ( p ) 是非递减且当1 0 满足当0 船时a ( p ) 0 ，显然还有a m a x = 人( 脚) 当 0 入 入m 醒时， & = 仍；民一= p f 】 运用定理2 3 1 ，2 3 4 ，2 3 5 可以得到下面的定理 定理2 4 3 1 当1 q 寺时，方程( 2 9 ) 的解整体存在且渐近稳定； 2 当q = 南时，如果0 入 。 令夕( t ) = a ( 詹( 1 + 乱) 1 一。d z ) p ，在( o ，t ) 上积分得 ：( 1 + u ) 9 一g ( ) 三f tg ( s ) d s ， 当t _ t 时 因为对于任意两个点0 x l z 2 1 ，当t _ p 时有 l u ( x 1 ，t ) 一让( z 2 ，t ) i 一0 ， 1 3 东南大学硕士学位论文 因此取任意z ( 0 ，1 ) ，当t p 时有 言( 1 + u ) 9 g ( t ) = 0 2 巧手南， 通过简单计算得 u ( x ，t ) 一( t + 一t ) - - # - 丙- - ( a g p q ) ) 罚靠， 从而我们得到爆破速率 1 i m ( t 一t ) 丽= ；商让( z ，t ) = ( a g p g ) ) 丙彳丽 t _ t + 、7 2 5 无穷远爆破 在第三节中，我们讨论了在一定条件下方程( 1 1 ) 的无界解在无穷远时刻爆破，在这一节 中我们给出了当p = 2 a = ”时无穷远时刻爆破解的估计方程( 1 1 ) 写成 u c + 魄= w ( u ) ( 詹m ) 如) 2 ，o 0 ； ( 2 1 0 ) ( z ，0 ) = 仳o ( z ) ，0 0 1 4 1 5 这里o y ( z ) = z e 1 ( 是一个在( o ，1 ) 之间的任意常数) ，并且彬( y ( z ) ；p ( t ) ) 满足方程 姚= 譬，( 彬) ，0 0 ，t 0 ， 这样我们就有g ( v ) 乏0 ，当z ( ，1 】时，这样我们就得到y ( z ，t ) 是方程( 2 1 0 ) 的一个上 解同时将上式两边从0 到t 积分我们有 喜= 蔗志蔗警= l n m - l nm 0 因此我们有l i u ( ，t ) l l m ( o ) e 班 下面我们来证明另一个等式，首先我们有 d m ， 入i ( m ) 、a f ( m ) 一，v ： 二 d t 一( f 0 1 ( m ) d z ) 2 二，2 ( o ) 当_ o 。时，由关系式( 2 1 3 ) 我们得 d ma + c d t “m s 2 ( 0 ) 将上式两边积分，我们得到当t _ o o 时m ( ) 之蒿以因此我们有i l u + ( ，t ) l l o o c 以，这里 c = 入+ f ( o ) 近几年，a a l a c e y 和d e t z a n e t i s 都致力于这方面的研究，参看【1 8 】一【2 2 】 1 6 第三章方程( 1 2 ) 解的渐近性态 令u ( z ，t ) = u 1 - o ( z ，t ) ，方程( 1 2 ) 变成 时刮1 刊( ( 口击+ 1 ) 吧) p ， 秒( o ：t ) = 0 ， u ( z ，0 ) = 让j 一口( z ) ， 类似于引理2 2 3 ，可以证明( 3 1 ) 的比较原理成立，下面我们主要研究方程( 3 1 ) 的渐近性 态 3 1 稳态解 令p = a ( 1 一q ) ( 詹( 叫击+ 1 ) 一卢如) p ，则稳态解满足方程 毗2p ， 积分得 彬( z ；肛) = 肛z 令m = m a x o 0 ，当p 一0 + 时a ( p ) _ o + ；而当p o o 时情况比较复 杂，我们分三种情况讨论： ( 1 ) 0 1 ，如果口+ 1 ，则当p _ 。时有a ( u ) 一0 ；如果q + p 1 ，此时又有三种 情况：( i ) o + 励 1 ，当p o o 时有a ( p ) 一0 ( 1 ) 的情况显而易见在( 2 ) 中，如果a + z 1 ，则臂( s 击+ 1 ) 一口d s j 1 l oa ( 肛) ) 定理3 1 1 ( 1 ) 0 1 ，当0 1 ，如果q + f l 1 ，当0 入 a 。麟时，稳态方程无解；如果q + p 1 ，此时有三种情况：( i ) q + t i p 0 稳态方程存在唯一解；( i i ) 口+ p = 1 ，当o a l ， 当0 a 入m 缸 时，稳态方程无解 3 2 解的渐近性态 在方程( 3 1 ) 所对应的稳态方程中，让弘是个关于t 的函数，我们让p ( t ) 满足一定条 件使得叫( z ；肛( t ) ) 成为方程( 3 1 ) 的上解或者下解 记k ( t ，x ) 三叫( z ；p ( t ) ) = p ( t ) z ，贝0k ( t ，z ) 满足 + 也一i 五彳掬2 丘 ) z + p ) 一 i _ i 三一 令( ) 是下列方程的解， 应5 弋：西- i 一一p 肛( 。) 2 p 。( 3 3 ) p 5 飞j i i 乙= ：鬲 三诵一p 肛。2 p 。3 3 如果存在加满足 a a ( 脚)和( z ；p o ) 2 伽( z ) ， 那么u ( t ) 是单调减，从而我们有k ( z ，t ) 是单调减且满足 东南大学硕士学位论文 2 0 n 丽筹两独 因此k ( z ，) 是方程( 3 1 ) 单调减的上解 如果存在p o 满足 入a ( 脚) 和加( z ；肛o ) ( z ) ， 那么p ( t ) 是单调增，从而我们有k ( x ? t ) 是单调增且满足 卜而等胬外 因此k ( x ，) 是方程( 3 1 ) 单调增的下解 通过上面的准备工作，我们运用构造上下解的方法来讨论方程( 3 1 ) 解的渐近性态和爆 破性质 对于0 p 1 我们有下面整体存在的定理 定理3 2 1 如果0 1 ，如果0 a q = 击f ( s 击4 - 1 ) 一p d s ，则方程( 3 1 ) 的解整体存在且渐近稳定；如果a c a = 击f ( s 亡；+ 1 ) 一卢d s ，则方 程( 3 1 ) 的解在无穷远时刻爆破；( 2 ) 口4 - p 1 ，方程( 3 1 ) 的解整体存在且渐近稳定 证明：( 1 ) 如果0 1 我们能得到当t _ 时i ( z ? t ) _ i x ) 运用比较原理我们得到方程( 3 1 ) 的解 在无穷远时刻爆破 ( 2 ) 从定理3 1 1 ( 2 ) 我们知道，对于任意给定的a ，方程( 3 1 ) 所对应的稳态方程有唯一 稳态解留( z ；p 2 ) ，这里a = a ( 舰) 取石( ) 满足( 3 3 ) 且弘( o ) = _ o ，对于任意的初值v o ( x ) 0 ， 因为有 a ( u ) _ 。o ，p 一 所以我们可以选择o 充分大且满足 a a ( 0 )和 ( z ；_ o ) ( z ) ， 这样我们得到万( t ) 是单调减且当t _ 时声( 亡) 一p 2 因此i ( z ，t ) = 彬( 。；j j i ( ) ) 是方程( 3 1 ) 一个单调减的上解且当t 一+ 时k ( x ，t ) 一叫( z ：p 2 ) 另一方面，我们取p ( t ) 满足( 3 3 ) 且p ( o ) = 匕因为 人( p ) _ 0 ， p 一0 ， 所以我们可以选择匕充分小且满足 爻a ( 如) 和加( z ；岛) 咖( z ) ， 这样我们得到丝( t ) 是单调增且当t _ o o 时丝( t ) 一p 2 因此盘( z ，t ) = 彬( z ；丝( t ) ) 是方程( 3 1 ) 一个单调增的下解且当t _ + 时查( z ，t ) _ 叫( z ，p 2 ) 运用比较原理得出 东南大学硕士学位论文 ( z ，t ) _ 伽( z ，p 2 ) ，t 一+ o o 因此方程( 3 1 ) 的解整体存在且渐近稳定 对于p 1 我们有下面的定理 定理3 。2 ，3 设p 1 ， ( 1 ) 如果o t + p 1 ，当0 入m 缸时，对于任意初 值咖，方程( 3 1 ) 的解都在有限时刻爆破； ( 2 ) 如果q + 卢1 ， ( i ) q + 励 1 ，方程( 3 1 ) 的解整体存在且是渐近稳定的； ( i i ) q + 励= 1 ，当0 入 1 ，当0 入m 娃时，对于任意初 值铷，方程( 3 1 ) 的解都在有限时刻爆破 2 2 证明：( 1 ) 从定理3 1 1 我们知道当0 1 和p 1 ，所以存在t a m 畎时，我们能构造方程( 3 1 ) 的一个单调增的下解，和上面的证明类似，我们 得到方程( 3 1 ) 的解在有限时刻爆破 ( 2 ) 的证明和( 1 ) 的证明类似 东南大学硕士学位论文 3 3 方程( 1 2 ) 解的爆破速率 下面我们先给出了