（概率论与数理统计专业论文）可交换的两值数据的统计分析.pdf

摘要 在很多应用中，我们可以合理的认为来自于同一个团( c l u s t e r ) 的数据是可 交换的实际上，在一些团型抽样调查( c l u s t e rs a m p l es u r v e y s ) 中，畸形学试验 ( t e m t o l o g i c a le x p e r i m e n t s ) 中、眼科及耳鼻喉科研究( o p h t h a l m o l o g i c a la n do t o - l a r y n g o l o g i cs t u d i e s ) 中和其它的临床试验中，经常出现可交换的两值数据本文 的主要目的就是给出可交换的两值数据的统计分析的新方法 为了解决可交换的两值数据中的统计问题，我们先给出了一类最优无偏估计 方程和关于一般估计方程的解的相合性和渐近正态性的一些理论结果，并且进一 步给出了当估计方程中出现缺失数据时，利用一种迭代算法来解估计方程我们 把这种算法称作a u 算法由于a u 算法在以下两步中迭代：在a 步中，利用完 全数据函数的条件期望的近似值来代替完全数据的函数，在u 步中，用一个显示 表达式来更新待估参数所以此算法使得计算带有缺失数据的估计方程的求解具 有了可行性和简单性关于此算法的收敛性和由此算法得到的估计方程解的大样 本性质，我们也给了一些理论结果而且我们还给出了a u 算法中关于a 步中条 ；件期望的一种的近似形式 基于我们得到的有关估计方程的这些理论结果，我们利用成对似然的方法 ( p a i r w i s el i k e l i h o o dp r o c e d u r e ) 给出了一组近似最优无偏估计方程来计算带有随 机簇( r a n d o mc l u s t e rs i z e s ) 的可交换的两值数据的均值参数和相关参数然后把 这一方法应用到发育毒性数据分析中通过模拟，我们得到了对于可交换的两值 数据来说，我们的这一方法比g e e 方法产生的结果好 当可交换的两值数据中出现缺失数据时，我们把成对似然的方法和a u 算法 结合起来我们把这一方法应用到来自于繁殖毒性研究中的一组数据通过模拟 结果，也可看出我们的这一方法是有效的，而且此方法产生的结果也比忽略了带 有缺失数据的个体的完全情形分析的结果好 关键词：可交换的两值数据；发育毒性数据；g e e 方法；成对似然；估计方 程；缺失数据；繁殖毒性研究 a b s t r a c t i nm a n y a p p l i c a t i o n s ，i ti sr e a s o n a b l et oe x p e c te x c h a n g e a b i l i t yt om o d e l t h ed a t a f r o mt h es a m ec l u s t e r i nf a c t ，e x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t aa l ec o m m o n l ye n c o u n t e r e d i nc l u s t e rs a m p l es u r v e y s ，t e r a t o l o g i c a le x p e r i m e n t s ，o p h t h a l m o l o g i c a la n do t o l a r y n - g o l o g i cs t u d i e s ，a n do t h e rc l i n i c a lt r i a l s t h i sd i s s e r t a t i o na i m st op r o p o s es o m en e w s t a t i s t i c a lm e t h o d sf o re x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t aa n a l y s i s i no r d e rt os o l v et h ep r o b l e m ，w ef i r s tp r e s e n tag e n e r a lf o r mo fo p t i m a lu n b i a s e d e s t i m a t i n ge q u a t i o n sa n ds o m er e s u l t sf o rt h ec o n s i s t e n c ya n dt h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t y o f t h es o l u t i o n st og e n e r a le s t i m a t i n ge q u a t i o n s t h e nw ep r e s e n ta l li t e r a t i v ea l g o r i t h m f o rs o l v i n ge s t i m a t i n ge q u a t i o n si nt h ep r e s e n c eo fm i s s i n gd a t a t h ea l g o r i t h mi s c a l l e dt h ea ua l g o r i t h m i tm a k e st h ec o m p u t a t i o nv e r yf e a s i b l ea n ds i m p l eb e c a u s s ei t i t e r a t e sb e t w e e nt w os t e p s ：a l la - s t e p ，i nw h i c ht h ef u n c t i o n so ft h ec o m p l e t ed a t a 剐旧 r e p l a c e db yt h ea p p r o x i m a t ev a l u e so ft h e i rc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n s ，a n dau - s t e pi n w h i c ht h ep a r a m e t e r sa l eu p d a t e du s i n gac l o s e d f o r me x p r e s s i o n t h e o r e t i c a lr e s u ! t s a l eo b t a i n e de s t a b l i s h i n gc o n v e r g e n c ep r o p e r t i e so ft h ea l g o r i t h ma n dt h el a r g es a m p l e p r o p e r t i e so f t h ee s t i m a t o r sp r o d u c e db yt h ea l g o r i t h m m o r e o v e r , w eg i v eag e n e r a l f o r mo ft h ea p p r o x i m a t i o n so ft h ec o n d i t i o n a le x p e c t a t i o n si nt h ea - s t e po ft h ea u a l g o r i t h m b a s e do nt h et h e o r i e so fe s t i m a t i n ge q u a t i o n sw eh a v eo b t a i n e d ，w eu s eap a i r - w i s el i k e l i h o o dp r o c e d u r et og i v eas e to fa p p r o x i m a t e l yo p t i m a lu n b i a s e de s t i m a t i n g e q u a t i o n sf o re s t i m a t i n gt h em e a na n dv a r i a n c ep a r a m e t e r sf o r t h ee x c h a n g e a b l eb i n a r y d a t aw i t hr a n d o mc l u s t e rs i z e s a na p p l i c a t i o nt od e v e l o p m e n t a lt o x i c i t yd a t aa n a l y s i s i sg i v e n s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a to u rp r o c e d u r ep e r f o r m sb e t t e rt h a nt h eg e e p r o c e d u r ef o rt h ee x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t a w h e nt h ee x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t ai n v o l v em i s s i n gd a t a ，w ec o m b i n et h ep a i r - w i s el i k e l i h o o dp r o c e d u r ew i t ht h ea ua l g o r i t h m a na p p l i c a t i o ni sm a d et oad a t as e t f r o mar e p r o d u c t i v et o x i c i t ys t u d y s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a to u rm e t h o di sv a l i d i a n dp e r f o r m sb e t t e rt h a nt h ec o m p l e t e - c a s ea n a l y s i sw h i c hi g n o r e st h es u b j e c t sw i t h m i s s i n gd a t a k e yw o r d s ：e x c h a n g e a b l eb i n a r yd a t a ；d e v e l o p m e n t a lt o x i c i t yd a t a ；g e e p r o c e d u r e ；p a i r w i s el i k e l i h o o d ；e s t i m a t i n ge q u a t i o n ；m i s s i n gd a t a ；r e p r o d u c t i v e t o x i c i t ys t u o y i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名：杰蠢蕉 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：辫指 日 期：互鱼堕堡工；o 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：艘又，学 电话：丝型兰“蹈厂 通讯地址：章袁园以孕理萤院邮编：互蚴 第一章绪论 1 1 概述 近年来，随着科学的发展，在许多与人类生活密切相关的领域都有相关两 值数据( c o r r e l a t e db i n a r yd a t a ) 的出现，例如：在团型抽样调查( c l u s t e rs a m p l e s u r v e y s ) 、相关重复性癌症筛选( d e p e n d e n tr e p e a t e dc a n c e rs c r e e n i n g ) 、畸形学试 验( t e r a t o l o g i c a le x p e r i m e n t s ) 、眼科和耳鼻喉科研究( o p h t h a l m o l o g i ca n do t o l a r y n - g o l o g i cs t u d i e s ) 、及其它临床试验中，我们经常会碰到一些诸如环境中的危险因 素或者药物剂量或者某种新药对于繁殖、受孕、先天性缺陷、发育异常及人体的 某种疾病的影响问题在实际中，为了能有效的评估某种疾病的发病率与毒性物 质的暴露之间的关系，科学工作者往往是通过对试验动物的毒性研究做出相应的 结论在对试验动物的毒性研究中，药物毒性对发育影响的研究是当今许多科学 工作者非常关注的问题 1 2 药物毒性对于发育影响的研究 有关药物毒性对于繁殖、受孕、先天性缺陷及其发育异常的影响问题是关系 人类生存和发展的重要问题近年来，无论是科学工作者还是一些国家机构也 都越来越关心这一问题在美国一些管理机构诸如美国环境保护机构( t h eu s e n v i r o n m e n t a lp r o t e c t i o na g e n c y ) 和食品药物管理局( t h ef o o da n dd r u ga d m i n i s - t r a t i o n ) 对于防止一些有关免受有害的药物、化学药品及其它一些环境危害的措 施给出了越来越多的优先权在流行病学的研究中，由于要得到环境中某种化学 药物对胎儿发育的负面影响的证据往往是有非常大的难度的，因此利用试验室里 】 的小型哺乳动物来评估这种化学药物的潜在毒性应该是一种可行的方法由于伦 理上的原因，动物研究对于多水平的控制比流行病学更好控制而且还可以在对 人暴露之前就可以实施动物试验 在以前由于对于动物研试验的究没有合适的给予更进一步的重视，已经出现 了一些惨剧例如镇静剂的惨剧就个非常突出的例子【1 1 在全世界至少有4 6 个 国家在使用许多不同商标的镇静剂这种药物在以前做动物试验时，由于发明者 对于所作的试验非常肤浅及其不完全，没有发现它对动物有损害，所以它曾经一 度被认为是安全的不幸的是，事实并非如此由于这种药物的影响，在当时，全 世界出现了大约一万个儿童畸形，有的直接在肩膀上长出了象手的东西、有的长 了超乎寻常小的肢体或者没有长出来、有的眼睛和耳朵是畸形的、有的生殖器向 体内生长、有的却少了一个肺、有的生下来就已经死亡或者不久即将死亡等等 这类惨剧的发生应归因于药物的发明者没有对动物做畸形学试验( 药物剂量对动 物畸形的影响) 根据德国瑞士籍医生帕拉塞尔苏斯的理论：所有的化合物都是 潜在的毒性物质，药物剂量决定了毒性影响的程度 为了能更好的避免这类惨剧的发生，保护人类免受新药物导致的危害，所以 就利用新药物对动物做试验由于在动物试验研究中，作为试验的动物数目非常 多，所以可以考虑利用最为合适有效的统计模型做推断在这类试验中，根据具 体研究的目的不同，试验可分为以下三种： ( 1 ) i 型研究其目的是来评估药物对雌性动物的繁殖力、雄性动物的繁殖 力和动物的繁殖力的影响这种研究是针对一种动物实施试验，在动物交配之前 雄性动物要暴露6 0 天，雌性动物要暴露1 4 天 ( 2 ) 打型研究也就是畸形学研究其主要目的是研究药物对动物畸形的影 响在这种类型的研究中，对受孕的动物( 例如老鼠，偶尔也会用兔子) 在胎儿的 主要器官组织形成期间暴露( 例如对于老鼠这些器官组织的形成是受孕后的第6 天一1 5 天) 剂量水平包括控制组和三个或者四个剂量组这些受孕的动物要在 正常的分娩之前就要被杀死，然后彻底检查结果 ( 3 ) i i i 型研究其目的是研究药物对主要器官组织形成后的胎儿的影响被 试验的动物要在受孕后的第1 5 天一直到整个哺乳期暴露在药物环境里 2 在这三种类型的研究中，数据结构最为复杂的是畸形学研究在畸形学研究 中，数据结果是层次结构【2 ，3 1 着床之后的受精卵在胚胎发育的不同时期都有可 能被吸收所以不能成活的胎儿是由没发育的胚胎( r e s o r p t i o n ) 数目和死亡的胎 儿组成受精卵的着床数目是由被吸收的胚胎数、死亡的胎儿数和成活的胎儿数 组成成活的胎儿可由畸形和非畸形组成非畸形可由研究的需要根据体重继续 分类在通常情况下，畸形可分为以下三类t ( 1 ) 肉眼可观测到的外部的畸形，例如没有肢体 ( 2 ) 骨骼类的畸形，可包括没有骨骼和畸形的骨骼 ( 3 ) 内脏类的畸形，例如心脏、大脑、肺等的畸形 每一种具体的畸形可被看作两值的变量、或者多值的变量【4 】或者几种畸形一起 被看作一个两值的变量【5 1 ，这可由研究的目的来定由于在试验中的动物是在受 精卵着床后被暴露，所以受精卵的着床数目是与剂量无关的随机变量对于多元 两值数据的研究很早就已有文献研究【6 7 引，由于畸形学试验中产生的数据具有 层次性、多元性、成团性( c l u s t e r e d ) 的特点，这给统计分析提出了很大的挑战性 【9 ，i 们 1 3 发育毒性试验数据数据的建模 在发育毒性研究中，我们考虑的数据多是两值的情况，对于这类数据的建模 有以下三种： ( 1 ) 条件专用模型( c o n d i t i o n a l l ys p e c i f i e dm o d e l s ) 【1 1 1 们 ( 2 ) 边缘模型( m a r g i n a lm o d e l s ) 【1 2 ，1 3 , 1 4 , 8 , 1 5 , 1 6 1 ( 3 ) 具体团模型( c l u s t e r e d s p e c i f i cm o d e l s ) 【1 7 】 其中条件专用模型是对同一团内的一个个体的响应概率在其它个体的响应 条件下建模边缘建模是直接把协变量与边缘参数建模而具体团模型把与团有 关的参数也考虑进来事实上，具体团模型类似于被广泛利用的随机效应模型 如果团的定义从广泛意义上理解，包括成窝的、家族性的、重复观测的、纵向测 量的等等那么它比随机效应这一术语含义更广事实上，在一个模型中处理具 3 体团效应可以有几种方法一般来说，可以处理具体团效应为固定的或者是随机 的、还可以辅助以具体团效应为条件的建模，例如在匹配的病例对照研究领域中， 经常用条件逻辑斯谛回归【1 8 】。 对于应选择以上哪一种模型较好，这要以所研究的问题而定【1 9 一, 2 h 至于 应如何选择什么方法来拟合这些模型，这不仅要依赖于研究者所作的的假定，而 且，在一定程度上，还要依赖于计算的可行性如果我们对联合分布建模了，可 以采用最大似然估计的方法来做统计分析 2 2 ，2 3 ，6 5 1 如果仅对边缘的或者条件的 概率建模可采用诸如g e e 的方法i 捌或者伪似然( p s e u d o - l i k e l i h o o d ) 的方法瞄】 本文所研究的问题的是考察药物剂量对动物胎儿非正常情形( 包括s 畸形 的胚胎没发育的、死亡的) 或者繁殖的影响，确定药物剂量对所产生的试验数 据的边缘均值和边缘相关参数的影响所以本文直接采用了边缘建模又由于我 们所考虑的试验的数据形式是一类可交换的相关两值数据 2 7 , 2 8 , 2 9 ( 其定义可参 看4 1 节) 这类数据是相关两值数据中一类非常重要的数据很多的家系数据， 发育毒性试验数据，以及眼科及耳鼻喉科的临床数据都是这一类数据基于建模 和数据特点，对于这问题的研究的方法我们采用了伪似然的方法事实上，我们 所研究的问题相当于对可交换的相关两值数据的研究下一节，我们就讨论一些 有关可交换的两值数据的研究方法 1 4 可交换的相关两值数据的研究现状 首先，我们先给出有关可交换的随机变量序列的概念 定义1 4 1 随机变量序列】，= ( y l ，晶) 如果满足，对于任意的刀维实向量 y = l ，n ) ，有 尸( k 1 ) = j ，l ，= y n ) = 以k = y l ，匕= ) ，( 4 1 1 ) 其中颤1 ) ，顽刀) 是l ，刀的任一置换，则称随机变量序列y l ，匕是可交换的 近年来，对于可交换的相关两值数据，已有很多的学者认识到用简单的二项 模型或者泊松模型( p o i s s o nm o d e l ) 来描述这类数据往往是效果较差的【1 7 3 0 , 3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 4 , 2 4 对于可交换数据的研究文献虽然很多，但就其研究的方法可分为以下几种 第一种方法是用b b 模型及其推广形式【3 3 3 5 , 1 7 , 3 0 , 3 6 , 3 2 , 3 7 3 8 ，3 4 ，3 9 1 所谓b b 模 型实际上就是一种特殊的随机效应模型它假定第i 个团的任何胎儿的响应( 畸 形) 概率p f 服从分布；臣b ( a 二i 鼻皑t ) ，1 p 1 ，其中b ( ，) 表示贝塔分布所以在只 条件下，在第f 个团的响应胎儿的数目z f 服从二项分布z f 所服从的分布就是贝塔 一二项分布其均值为：五亿) = i t i = n i t f i = 胁蠡，方差为：砰= n i 7 r i ( 1 一l i ) 等， 其中研= 1 ( m + 届) 所以其内部相关系数可表示为：p i = 而i磊的分布 f ( z i l z t _ f ，所，疗f ) 可表示为： 仁j 口( m ( p 7 1 一1 ) + z i ，( 1 7 r f ) p f l 1 ) + t l i z i ) z i b ( u i ( p 7 1 一1 ) ，( 1 7 r f ) ( p 7 1 一1 ) ) 。 w i l l i a m s 在1 9 7 5 年【1 7 】把y ( z i l ，r i ，p f ，刀j ) 的对数表示为。l n f ( z i l j r i ，p f ，刀j ) = ，j = z ，i = o - - ! 加仇+ 尚) + 等- 1 跏( 1 一 l + 尚) 一g 加( 1 + 焉) 这样就可以求得 感兴趣参数的极大似然估计这类模型还可以进一步推广到对边缘响应建模对 于这种方法有两种缺点：第一，团内个体的数量趋于无穷大；第二，团内任意两 个个体的相关系数p i = t 石i 蕊必须大于零 第二种方法是采用拟似然和g e e 的方法 4 0 , 2 5 , 4 1 , 4 2 4 3 4 4 ，4 5 4 6 ，4 7 ，鸽- 4 9 - 5 0 2 5 1 5 2 5 3 5 4 ，5 5 5 6 j 拟似然这一术语是w e d d e r b u m 5 7 】在1 9 7 4 年首次提出在拟似然方法中，均值响 应由协变量的参数函数来表示，假定方差是由均值及可能未知的尺度参数的函数 来表示它的潜在的思想来源于在尺度线性回归模型中，随机误差项是独立的来 自于指数族为了估计参数，w e d d e r b u m 5 7 】在1 9 7 4 年建议用用指数族得分函数 来得到即使误差项分布的具体形式是未知的，甚至联系函数和方差函数与指数 族不一致。由这种拟似然估计方程得到的参数估计在任何广义线性模型下具有相 合性而且，w e d d e r b u r n 还首次注意到对于指数族而言，似然理论和拟似然理论 是一致的m c c u l l a g h 和n e l d e r 4 4 1 在1 9 8 9 年指出，当我们主要对一阶边缘均值 参数和成对的交互项感兴趣时，可用拟似然的方法代替完全似然的方法基于以 上拟似然的想法，对于团型数据和重复观测数据，l i a n g 和z e g e r t 2 5 1 在1 9 8 6 年提 出了g e e 或者是g e e l 的方法在g e e l 方法下，只需对边缘均值的建模正确， 对于团内个体或者重复观测数据之间的相关结构采用个假定的工作阵，就可得 到相合的边缘均值参数的估计p r e n t i c e t 3 3 】在1 9 8 8 年把他们的结果推广到对边缘 5 均值和边缘成对相关参数分别建立相应的g e e 方程l i p s i t z l a i r d 和h a r r i n g t o n 【5 0 j 在1 9 9 1 年把p r e n t i c e 的估计方程做了修改，考虑了通过边缘优比考虑对相关 结构建模在g e e l 方法中，即使给出了错误的相关结构的形式，也能得到边缘 均值参数的相合估计但是严重错误的相关结构会严重影响估计的效此外，当 感兴趣的参数是相关参数时，l a n g 等人【5 8 】指出应避免用g e e i 的方法而是采 用由z h a o 和p r e n t i c e d s 在1 9 9 0 年所提出的估计方程，l i a n g 等人在1 9 9 2 年称此 估计方程是g e e 2 g e e 2 是g e e l 的二阶推广l i a n g 等人 5 8 1 在1 9 9 2 年指出由 g e e 2 得到的均值参数和相关参数的估计都是非常有效的但是他们又指出当每 个团内个体的数量( 或者重复的观测的数目不同时) ，或者团内个体的相关性不 同时，由g e e l 和g e e 2 得到的估计的效都非常的差无论是g e e l 还是g e e 2 ， 在这些方法的实施中都需要工作阵的选取，选取的不好，会直接影响到估计的效 而且好的工作阵往往需要变量的高阶距例如要想得到相关参数的估计，就要需 要确定变量的三阶距和四阶距而且在很多实际中，对于相关参数的估计也是非 常需要重要的问题【的，6 1 , 6 2 1 第三种方法是g e o r g e - b o w m a n 方法 6 3 , 6 4 , 2 3 b o w m a n 和g e o r g e 6 3 】在19 9 5 年提出了对于可交换的两值数据的分布表达式； 俐枷蝴= 融竹乃) 妇， 其中 ，ip ( k l = l ，= l ，= 1 ) i f k = 1 ，h i ， 饥2 1 l f f k = o 并且，他们还进一步给出了z j 的高阶距和高阶相关系数的表达式，这些表达式都 可以表示为a n 的函数在团内个体独立的条件下。磊的分布就变成二项分布的 形式在这种理论的基础上，b o w m a n 和g e o r g e 2 3 1 ，s t e f a n e s c u 和t u m b u l l 【鲫考 虑了用饱和模型得到参数估计他们的方法无法考虑参数对协变量的依赖关系 忽视了协变量的影响会使得分析结果有偏差在很多实际应用中，参数对协变量 的依赖关系通常是我们感兴趣的虽然g e o r g e 和b o w m a n 在1 9 9 5 年通过折叠的 逻辑斯谛参数化( e p ：3 i 酣f - 而丽习两2 厕，其中疋= ( 1 ，4 ) 和卢= ( p o ，肋r ) 考虑了协变量对参数的影响但是a e r t s 等人 6 6 1 在2 0 0 2 年指出这种参数化在独 6 立情形不能简化成二项形式，而且，当成功失败的值l ，0 交换下，这个模型也发 生了变化，最大似然估计也发生了变化这可以说是一个很不好的特性k u k 6 7 l 在2 0 0 4 年基于这种折叠的逻辑斯谛参数化方法提出了q - p o w e r 模型k u k 的这 一方法在回归函数的选择上更为灵活性，而且在独立情形能简化成二项形式但 是当成功失败的值l ，0 交换下，他的模型也发生了变化 第四种方法是采用伪似然的方法 2 6 , 6 8 , 凹- 1 3 7 0 , 7 1 1 a r n o l d 和s t r a u s s 2 6 在1 9 9 1 年给出了伪似然下述的一般定义，在第f 个团内，团内个体数目为协，令s 舭， 且s 的每一个分量非零即一，令s 为所有非零j 组成的集合，奠印表示团内个体相 应于s 的分量非零的个体组成的变量集令一实数子集合6 = i a , l s s ，则对数 伪似然为： 旦一 ， p l = 以蛳叫印；o 班 百：苔 k u k 和n o t t 7 2 】在2 0 0 0 年考虑了一种特殊的伪似然：成对似然法在上述的对数 伪似然中，他们的方法是仅考虑了每一个团内的所有两两观测的对数联合似然， 也就是s 是所有只有两个分量为一的j 组成的集合他们的方法仅基于边缘的二 元分布，不需要给出团内所有个体的联合分布，但是却能产生有效的均值参数和 相关参数估计但是对于团内个体数量不等的情形，他们仅仅考虑一种最简单的 情形：没有协变量的情况 。 以上这些方法仅考虑了观测数据无缺失的情形当观测数据有缺失时，e l a s h o f f 和r y a n 7 3 】在2 0 0 4 年把e s 算法【7 3 ，7 4 】和g e e 方法结合起来处理带有缺失数据 的可交换的两值数据在他们的方法中，其中e s 算法实际上是e m 算法的推 广e s 算法处理的问题是如何解决带有缺失数据的估计方程问题这种算法虽 然在理论上有着非常重要的意义，但是它在实际实施中，却有很大的难度，因为 在大多数情况下我们往往对分布的情况是未知的，而e s 算法恰恰需要计算随机 变量函数的条件期望在e l a s h o f f 和r y a n 的方法中他们是直接对条件均值做了 一个假定，利用e s 算法解带有缺失数据的g e e l 方程由于前面提到的g e e l 方程对于相关参数的估计的效是较差的所以他们方法不但缺少了稳健性方面的 优点，而且得到的相关参数的估计的效也是不理想的 7 1 5 本文的主要工作和结构安排 本文所要解决的问题是考察药物剂量对动物胎儿的影响，实际上，此问题相 当于类可交换的两值数据的均值参数和相关参数的估计问题我们是在伪似然 方法的基础上，基于最优估计方程的理论结果，给出了一组近似最优无篇估计方 程，不但得到有效的均值参数的估计。而且还得到了有效的相关参数的估计并 进一步对于可交换数据中的缺失数据问题给出了一种可行有效的解决方法具体 结果和结构安排如下， 在第二章中，我们就一般的估计方程给出了一些理论结果，首先基于估计方 程的最优性准则，给出一类最优无偏估计方程由于以往的估计方程的理论研究 都是基于估计方程有目标函数的情形，于是我们给出不需要估计方程有目标函 数、适用范围更广的一些有关估计方程的理论结果 在第三章中，对于一般的带有缺失数据的估计方程问题，我们提出了一种 a u 算法来解方程我们的算法在理论上意义要比r o b i n s 、r o t n i t z k y 和z h a o 7 5 7 6 】 的方法更广，我们的方法对缺失机制的要求放宽，不需要缺失机制是随机缺失 对于算法中要求的补值也不需要是严格的均值补值，因而在实际实施中，要比 e s 算法更具有可行性和灵活性 在第四章中我们基于第二章中的估计方程的理论来研究可交换的两值数据 我们由成对似然的方法和第二章中的有关最优估计方程的理论结果，给出了一组 关于可交换的两值数据的近似最优无偏估计方程由这个估计方程不但可以得到 有效的均值参数估计，还可得到有效的相关参数的估计通过模拟和真实数据的 研究发现我们的方法比g e e 方法更稳健，而且还能产生更有效的估计 在第五章中，我们对于带有缺失数据的可交换的两值数据提出了一种可行的 方法我们把a u 算法和成对似然的方法结合起来首先我们利用第四章中的结 果建立近似最优无篇估计方程，让后利用a u 算法来得到参数估计模拟试验和 真实数据的研究发现我们的方法具有稳健性和有效性 8 第二章估计方程 在统计应用中，最大似然的方法、最d x - 乘的方法、伪似然的方法和g e e 的 方法是我们经常应用的主要的统计方法实际上，这些方法都可归为一类估计函 数或者估计方程的方法关于估计函数或估计方程，它的应用及其广泛估计函 数的理论可以把以上的这些统计方法比较优劣并统一起来在本章，我们首先引 入有关估计方程最优性准则的理论，然后基于这些理论，我们给出了一类最优无 偏估计方程进一步我们给出了有关一般的估计方程的解的大样本性质 2 1 最优无偏估计方程 在实际应用中，由于可用来估计的方法越来越多，在这些众多的方法中，如 何选择最可行、最有效的估计方法成了我们急需解决的问题而有关无偏估计方 程的最优性准则的理论使我们对于各种各样的估计有了更好的理论指导首先我 们由最简单的最d x - - 乘估计来探讨一般的有关估计函数的最优性准则的理论知 识 2 1 1 最小二乘估计的合理性解释 最小二乘方法和极大似然的方法是最早使用和至今都在经常使用的方法 l e n g e n d r e 在1 8 0 5 年提出了最d x - 乘方法及这一术语g a u s s 在1 8 0 9 年和1 8 2 3 年给出了最小二乘法的合理性解释t ( 1 ) 在正态分布族里，最d x - - - - 乘和最大似然 的方法是一致的( 2 ) 在线性无偏估计类里，最d x - - - 乘估计是最优的这也就是 众所周知的g a u s s m a r k o v ( g m ) 定理这个定理通过把最小无偏方差估计与最大 9 似然方法的联系合理的解释了最d x - 乘方法为了说明其基本的思想，我们先考 虑最简单情形的最d x - 乘估计和g m 定理令门，n 为独立的随机变量，其期 望和方差分别为 西劬) = 以) = o 2 ，i = l ，2 ，刀( 2 1 1 ) 其中参数口是未知的基于最d x - - 乘方法，对于参数0 的估计是求得使得冬嘶一 缈2 达到最小的0 通过简单的计算可得目的最j 、- 乘估计为样本均值万= ( ：iy t ) n a a m a r k o v 在1 9 0 0 年给出了这种特殊情况下的g m 定理的形式为t g m 定理1 令j ，“，为独立的随机变量，其期望和方差满足( 2 1 1 ) 式， 为0 的任一线性无偏估计，即t ，= 啪， ( 2 1 2 ) i - - i 其中a t ，i = l ，f 满足： a t = 1 ( 2 1 3 1 ) j = l 则当a t = 1 n ，江1 ，。r l 时，的方差达到最小也即是最d x - 乘估计样本均值页 是参数0 的最小方差线性无偏估计。 g o d a m b e 和k a l e l 7 7 1 把这一想法又做进一步的推广，不再仅仅考虑观测值的 函数，而是要考虑观测值和参数0 的函数tg = 9 0 l ，朔，缈函数g 称为估计函 数于是他们考虑了下述的估计函数形式： ( 2 1 4 ) 其中b 如i = 1 ，t 是任意常数由估计函数( 2 1 4 ) 可得，通过选择适当的常数 b j ，i = 1 一，疗，任一线性无偏估计( 2 1 2 ) 是方程g = 0 的解于是他们得到了g m 定理的另一种形式。 g m 定理2 令y i ，为独立的随机变量，其期望和方差满足( 2 1 1 ) 式( 2 1 4 ) 中的b j ，i - - 1 ，刀在满足条件 6 ，= c ( 2 1 5 1 ) = - i 1 0 玩d 一 刀斟 = g 下，估计函数g 的方差在b 产c n ，l = l ，r 时达到最小把b i _ c l n ，1 = 1 ，刀 带入( 2 1 4 ) ，由方程g = 0 的解可得到参数0 的估计：样本均值 上述两种形式的g m 定理的思想实际上是不同的第一个定理是在线性无 偏估计类里，由u m v 准则寻求最优估计，而第二个定理是在估计函数类g = 冬l 劬一回6 j 里寻求最优估计函数为了由方程g = 0 得到估计瓦= 冬l6 辨，可 定义估计函数类g o 为： 打 ? - g o , ，d = 2 劬一o ) b i ， ( 2 1 6 ) i 1 = 。l 其中常数b j 满足：冬lb l 0 在条件( 2 1 1 ) 下，由于任意的估计函数g g o 满足e o f g ) = 0 ，所以g 是无偏的因此g o 实际上是线性无偏估计函数类由于 在估计函数类g o 里，方程g = 0 和方程兰k g = o ，k 0 的解是相同的，但 是v a r ( g ) = j | 2 陆 所以g a r ( k g ) 可以任意的小在这种情况下，g o d a m b e 和 k a l e 在1 9 9 1 年给出了该类估计函数的标准化形式： 函= m 一回玩 - - b ，1 ( 2 1 7 ) i - - 1f - l 这样方程g = o 和函= 0 的解是相同的，而且v a r ( g ；) = v a r ( g p = a r 2 ? ：l 铆2 八厶扛nib i ) 2 这样就可建立如何寻求最优估计函数的准则：如果对于任意的g g o ，g ：满足： ) v a r ( g s ) ( 2 1 8 ) g ：为g o 类里的唯一( 最多相差一个常数项因子意义下) 最优估计函数从而可 得到在线性无偏估计类内要使砌，- ( 免) 达到最小等价于在g o 内使得v a r ( g , ) 达到 最小时对应的方程g = 0 的解由此，可得到下述的更一般形式的g m 定理： g m 定理3 令y l ，为独立的随机变量，其期望和方差满足( 2 1 1 ) 式则 伊= 名i 劬一d 为g o 内的最优估计函数由方程舻= 0 得到参数0 的估计：样 本均值 以上几种形式的g m 定理是等价的但是不同于g m 定理2 ，g m 定理3 的形式更一般g o d a m b e 和k a l e 又进一步考虑了一种范围更广的估计函数类 g i = g l ，其中g ( y ，d = 冬1b i ( o ) ( y i d 和b i ( o ) 为0 的可微函数于是g o d a m b e 和k a l e 得到了g m 定理的更一般的形式为： 1 1 g m 定理4 令y l ，为独立的随机变量，其期望和方差满足( 2 1 1 ) 式则 扩= 冬l 劬一d 为g i 内的最优估计函数由方程扩= 0 得到参数0 的估计t 样 本均值 有一点要指出的是并不是所有的由g 中对应的估计都是无偏的，但是g - 中 的估计函数是无偏的由此，g o d a m b e 和k a l e 定义了更为一般的无偏估计函数 咖i 此，n ，回( 其中g 满足岛( g ) = o ) 其标准化形式为： 岛= g e p ( 嘉) ( 2 1 9 ) 基于使v a t ( g ) 达到最小的最优性准则，如果对于任意的g g ，矿g 满足。 v a r ( g s ) s ) 则称矿是估计函数类g 里最优的 g m 定理4 要比前面的几种形式的g m 定理提供了最d x - 乘估计的更为合 理的解释实际上，g m 定理4 不但比前面的g m 定理意义更广而且也比最小 二乘方法的意义广g o d a m b e 和k a l e 在1 9 9 1 年给出了其解释例如前三种形式 的g m 方法解释最小二乘方法失效的情形s 令y i ，耽，朋为独立随机变量序列， 如果满足条件 e o t y i ) = a i ( 0 ) ，v a r y , ) = ，i = 1 ，2 ，刀，。( 2 1 1 0 ) 其中嘶为0 的可微函数且可逆由最小二乘估计的思想使得：i 劬一口，( d ) 2 达 到最小的0 即为最小二乘估计只有当嘶( d 是0 的线性函数时，前三种形式的 g m 方法才能很好的解释最小二乘方法由最d x _ - 乘方法可得到下列方程： 善劬咱( d ) 等 ( 2 1 1 1 ) 现在用g m 定理4 的方法来解释这类最小二乘估计考虑估计函数类g 2 里的元 素雷为z 季= 6 ，( d ( 所一嘶( d ) ( 2 1 1 2 ) 百 把雷标准化得到t 豇2 善6 f ( d 劬叫脚) ( 一委6 f 丽o a r ) ( 2 1 1 3 ) 1 2 通过简单计算可得到当6 j ( = k ( e ) a c r d a e ，v a r ( 蠡) = 0 r 2 ：l 以2 ，厶h 训b i 等) 2 达到 最小这说明了估计函数各l 以一口，( 回) 等在估计函数类g 2 里是最优估计函数 下面讨论最t j 、- - 乘方法失效的一种情形考虑独立随机变量序列y l ，y 2 ，肌 满足。 上玷( r i ) = 口f ( 回，v a r ( f i ) = 一( 回， i = l ，2 ，刀， (