（理论物理专业论文）一维关联体系的单粒子激发和动力学研究.pdf

摘要 摘要 量子声子涨落和电子关联效应对于准一维体系的性质往往起着决定性作 用，本文着蕈讨论在同时考虑电子一声予相互作用和电子一电子相瓦作用情况 下，我们研究了单电子谱函数、金属绝缘体相变、自旋电荷分离以及时问演 化等问题。 在这篇文章里，我们将讨论一系列处理量子多体问题的数值近似方法，特 别的，我们将讨论基于对角化h a m i l r o n i a n 矩阵的精确剥角化方法和扩展的数值 重整化群方法，其中包括w i l s o n 的初始数值重整化群 h w h i t e 改进的密度矩阵重 整化群方法。这些方法是研究强关联量子系统的基本工具，特别是对于低维的 品格模型。并且我们用这些方法来计算动力学信息( 单电子谱函数，时间演化等 等) 。另夕卜，我们用最近发展的时问演化密度矩阵重整化群力法米讨论量子系统 的时间演化问题。 利用团簇微扰理论，我们计算了一维自旋l ，2 半满h o l s t e i n 模型的单电子谱 函数，而团簇内的g l e e n s f u n c l i o n l j 用优化卢予基近似结合l a n c z o s 精确列角化 的方法而得到。利用这种方法，即使只用很小的团簇尺寸和保留很少的几个优 化声子基，我们就可以得到可信的结果。所得的谱函数在强耦合和弱耦台极限 下的行为表叫存在一个从p e i e r l s 绝缘体相到金属相的相变，这与在强量子涨落 下p e j e l s 能隙被量子声子涨落所抑制相一致。 另外，通过团簇微扰理论、优化声子基近j 师l a n c z o s 精确对角化方法的结 合我们计算r 一维半满h 1 s t e i n h u b b a r d 模型的谱函数，研究了声子效应列目 旋一电荷分离的影啊。我们发现电子一电子相互作用和电子声子相互作用对于目 旋一电荷分离起着相反的作用，由于有限声子频率带来的推迟效应减小自旋一电 荷分离，并且在弱耦合区域电子对的发现与在h o l s t e i n 。h u b b a r d 模型中存存个 金属相相一致。 当前，对于强关联系统的时间演化问题的理解还很不完全，最主要原因就 是缺乏有效的近似方法来求解多体含时s c h m l n g e r 方程，这也使得强关联系统舵 时间演化问题成为当前理论上和实验r 的鼹具难度的挑战之一。我们将介绍最 新发展的几种处理一维强关联系统的文时演化方法，主要是精确对角化方法和 密度矩阵重整化群方法。并且我们将这些方法应用在只包食最近邻相且作用的 扩展s s 圳奠型中，以此来讨论一维电声系统中载流子的生成和输运问题。 摘要 聚并苯分子可以看成是由两条强耦合的聚乙炔链组成，是多通道聚合物的 典型代表。不同的元激发伴随着不同的局域振动模式，因此这些局域振动模 式可以作为鉴别它们的“指纹”。因此，我们计算了它们的振动谱，对于中 性的链间孤子，我们发现了9 个局域振动模式，其中4 个具有红外活性，5 个具 有r a m a n 活性。在单荷电的链问极化子附近，我们发现了1 3 个局域振动模式， 其中8 个是慢变的声子模，其它5 个是快变模。这1 3 个局域模式中，由于链间耦 合，有两个是不对称的，其它11 个局域模可以用d 2 群的四个不可约表示分类。 关键词：量子多体系统，精确对角化，密度矩阵重整化群，低维，角分辩光电 子谱，团簇微扰理论，单电子谱函数，量子相变，自旋一电荷分离，时间演化， 局域振动模 i i 垒! ! 坚! 竺 一 a b s t r a c t q u a n t u mp h o n o nf l u c t u a t i o na n de l e c t r o n i cc o r r e l a t i o np l a ya ni m p o r t a n tr o l ed e t e r m i n i n gt h ec h a r a c t e r i s t i co f ”一c o n j u g a t e dp o l y m e r o u re m p h a s i si n t h i st h e s i si s o nq u a s i o n e d i m e n s i o n a lw e l e c t r o nm o d e l st h a ti n c l u d eb o t he l e c t r o n p h o n o na n d e l e c t r o n e l e c t r o ni n t e r a c t i o n s ，0 1 1w h i c hw ei n v e s t i g a t et h eo n e e l e c t r o ns p e c t r a lf u n c t i o n s ，m e t a l i n s u l a t o rt r a n s i t i o n ，s p i n - c h a r g es e p a r a t i o na n d t i m ee v o l u t i o n i n t h i st h e s i s ，w ep r e s e n tar e v i e wo fan u m b e ro fr e l a t e dn u m e r i c a l l ye x a c ta p p r o a c h e st oq u a n t u mm a n y b o d yp r o b l e m s i np a r t i c u l a r ，w ef o c u so nm e t h o d sb a s e d o nt h ee x a c td i a g o n a l i z a t i o no ft h eh a m i l t o n i a nm a t r i xa n do nm e t h o d se x t e n d i n gc x a c td i a g o n a l i z a t i o nu s i n gr e n o r m a l i z a t i o ng r o u pi d e a s ，i e ，w i l s o n sn u m e r i c a lr e n o r r e a l i z a t i o ng r o u p ( n r g ) a n dw h i t e sd e n s i t ym a t r i xr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ( d m r g ) t h e s em e t h o d sa i cs t a n d a i dt o o l sf o rt h ei n v e s t i g a t i o no fav a r i e t yo fi n t e r a c t i n gq u a n t u r ns y s t e m s ，e s p e c i a l l yl o w d i m e n s i o n a lq u a n t u ml a t t i c em o d e l sw ea l s os u i v e ye x t e n s i o n st ot h em e t h o d st oc a l c u l a t ep r o p e r t i e ss u c ha sd y n a m i c a lq u a n t i t i e s ( e g ，s p e c t r a lf u n c t i o n s ，t i m e e v o l u t i o n ) ，a n dd i s c u s sr e c e n tp r o g r e s si nc a l c u l a t i n gt h et i m ee v o l u t i o no fq u a n t u ms y s t e m su s i n gt h ed m r g u s i n gt h ec l u s t e rp e r t u r b a t i o nt h e o r y ，w cc a l c u l a t et h eo n c e l e c t r o ns p e c t r a lf u n c t i o no ft h eo n e d i m e n s i o n a ls p i n 一1 2h o l s t e i nm o d e la th a l ff i l l i n g t h ec l u s t e r g i e e n sf u n c t i o ni so b t a i n e db yt h el a n c z o se x a c td i a g o n a l i z a t i o nm e t h o dw i t h i na n o p t i m i z e dp h o n o na p p r o a c h i t i ss h o w nt h a tt h em e t h o da l l o w sr e l i a b l ec a l c u l a t i o n s u s i n gar e l a t i v e l ys m a l ls i z ec l u s t e ra n daf e wo p t i m a lp h o n o nb a s e sf o l t h es y s t e m f r o mw e a kt os t r o n ge l e c t r o n p h o n o nc o u p l i n g i nt h es t r o n g c o u p l i n gl i m i t ，t h es p e c t r a lf u n c t i o ns h o w st h ee x c i t a t i o nb e h a v i o ro fab i p o l a r o ns t a t ew i t hal a r g eg a pa tt h e f e r m is u r f a c e h o w e v e r ，t h eo b t a i n e ds p e c t r a lf u n c t i o nd i s p l a y sam e t a l l i cc h a r a c t e ri n t h ew e a k c o u p l i n gr e g i m e ，w h i c hi si na c c o r dw i t ht h es u g g e s t i o nt h a tt h ep e i e r l sg a p i ss u p p r e s s e db yq u a n t u mf l u c t u a t i o no ft h ep h o n o n s p h o n o ne f f e c t so n s p i n c h a r g es e p a r a t i o n i no n ed i m e n s i o na r ei n v e s t i g a t e d t h r o u g ht h ec a l c u l a t i o no fo n e e l e c t r o ns p e c t r a lf u n c t i o n si nt e r m so ft h er e c e n t l yd e v e l o p e dc l u s t e rp e r t u r b a t i o nt h e o r yt o g e t h e rw i t ha no p t i m i z e dp h o n o na p p r o a c h i ti s f o u n dt h a tt h er e t a r d a t i o ne f f e c td u et ot h ef i n i t e n e s so fp h o n o nf r e q u e n c ys u p p r e s s e s t h es p i n c h a r g es e p a r a t i o na n de v e n t u a l l ym a k e si ti n v i s i b l ei nt h es p e c t r a lf u n c t i o na i i i s i g n a t u r eo fe l e c t r o n sp a i r i n gi nw e a ki n t e r a c t i o nr e g i m e sw a sf o u n dt ob ec o n s i s t e n t w i t ht h ee x i s t e n c eo fam e t a l l i cp h a s e t h el e v e lo l c u r r e n tu n d e r s t a n d i n go ft h ep h y s i c so ft i m e d e p e n d e n ts t r o n g l yc o r - r e l a t e dq u a n t u ms y s t e m si sf a rf r o mc o m p l e t e ，p r i n c i p a l l yd u et ot h el a c ko fe f f e c t i v e c o n t r o l l e da p p r o a c h e s r e c e n t l y ，t h e r eh a sb e e np r o g r e s si nt h ed e v e l o p m e n to fa p p r o a c h e sf o ro n e d i m e n s i o n a ls y s t e m s w ed e s c r i b er e c e n td e v e l o p m e n t si nt h ec o n s t r u c t i o no fn u m e r i c a ls c h e m e sf o rg e n e r a l ( o n e d i m e n s i o n a l ) h a m i l t o n i a n s ：i np a r t i c u l a r s c h e m e sb a s e do ne x a c td i a g o n a l i z a t i o nt e c h n i q u e sa n do nt h ed e n s i t ym a t r i x r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pm e t h o d w ep r e s e n tp r e l i m i n a r yr e s u l t sf o ra ne x t e n d e ds u s c h r i e f f e r h e e g e rm o d e lw i t hn e a r e s t n e i g h b o r i n t e r a c t i o na n di n v e s t i g a t et h e i ra c c u r a c yb yc o m p a r i n gw i t he x a c tr e s u l t s t h el o c a l i z e dp h o n o nm o d e sc a nb em e a s u r e dt ob et h e f i n g e r p r i n t o fl o c a l i z e d e x c i t a t i o n si np o l y m e r s s o ，w i t h i na ne x t e n d e ds u s c h r i e f f e r h e e g e rm o d e l ，w em a d e al a t t i c ev i b r a t i o n a la n a l y s i so f p o l y a c e n ei nas i n g l y c h a r g e dp o l y a c e n e ，t h eg r o u n d s t a t ec o n t a i n sa ni n t e r c h a i n c o u p l e dp o l a r o no fq u a s i d 2 hs y m m e t r y ，a r o u n dw h i c hw e f o u n dt h i r t e e nl o c a l i z e dm o d e si nt o t a l a m o n gt h e s el o c a l i z e dm o d e s ，f i v e ( t h r e eb 2 “ a n dt w ob 3 u ) a r ei n f r a r e da c t i v e ，s i x ( f o u ra 。a n dt w ob 1 。) m o d e sa r er a m a na c t i v e ， a n dt h eo t h e rt w ol o c a l i z e dm o d e sa r ea s y m m e t r i c ，w h i c ha r eb o t hi n f r a r e da c t i v ea n d r a m a na c t i v e f o rt h ec a s eac h a r g e dp o l a r o ni sc o u p l e dw i t han e u t r a ls o l i t o ni naf i n i t e p o l y a c e n ec h a i n ，t h ev i b r a t i o n a lm o d e sa r ea l s oc a l c u l a t e dt od i s p l a yt h ec o u p l i n ge f f e c t b e t w e e ns e l f - t r a p p i n ge x c i t a t i o n so np h o n o n si t i sf o u n dt h a tt h el o c a l i z e dp h o n o n s a r ed e t e r m i n e dm a i n l yb yt h ec h a r g e dp o l a r o n ，b u tt h en u m b e ra n df r e q u e n c i e so ft h e l o c a l i z e dm o d e sa r ei n f l u e n c e db yt h ee x i s t e n c eo ft h en e u t r a ls o l i t o n k e y w o r d s ： q u a n t u mm a n yb o d ys y s t e m ，e x a c td i a g o n a l i z a t i o n ( e d ) ，d e n s i t ym a t r i x r e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ( d m r g ) ，l o wd i m e n s i o n a l ，a n g l er e s o l v e dp h o t o e m i s s i o ns p e c t r o s c o p y ( a r p e s ) ，c l u s t e rp e r t u r b a t i o nt h e o r y ( c p t ) ，o n e e l e c t r o ns p e c t r a lf u n c t i o n s ， q u a n t u mt r a n s i t i o n ，s p i n c h a r g es e p a r a t i o n ，t i m ee v o l u t i o n ，l o c a l i z e dv i b r a t i o n a lm o d e i v 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 1 1 引言 凝聚态物理中的很多问题可以有效的用单体图象来描述 1 ，但是在强关联 系统中，映射到单体图象往往得到错误的结果。正因如此，完备的解决多体系 统是必要的。但是就如我们后面将要看到的，一般来说即使用数值的方法来完 备解决多体问题也是不现实的，但是在凝聚态的研究中一般更多的是关心系统 的基态和低激发态特性。在这一章中，我们将讨论处理系统低激发态的数值计 算方法。 数值上处理物理问题一般需要先将连续模型离散化或者将模型映射到一 个有效的品格模型( 如图11 ) ，然后描述该模型在晶格上的性质( 是不是一个自 旋系统? 粒子是费米子还是波色子? ) 、品格的拓扑性质、系统的维数( 一维 的链或环，二维正方晶格，三维立方品格) 和边界条件等等。这样整个系统 可以用v 个位于格点j 上的量子子系统来表示，每个子系统可以用系列基 矢a ：) f = 1 ，2 ：s l 来描述。相对有限的系统，人们对物理模型的普适性质更 感兴趣，因此，往往需要研究特殊极限下的行为，即研究当s ，- - 4 c o ( 连续极 限或热力学极限) 或_ o o ( 热力学极限) 时的性质。但是作为数值计算，我们 将只讨论包含个格点的有限量子系统。给定了组基矢l d ：) ，整个体系的状 态，。5 ，0 - f ) 可以写成组成系统的每个子系统的直积形式 d ：，! ，o k ) 三10 ，i ) oi “! ) i o f ) ( 1 1 ) 下面，我4 t 将略去每个子系统中状态的指标2 ，所有可能的这些状态组成一 4 - 图11 左边：一维原子链势场的示意图，相应的w a n n i e r ) t 道位于原子中心。右边： 有效的昂格模型7 由于w a n n i e r 轨道的交叠随距离变化下降的非常快，所以通常只考虑 最近邻格点之间的跃迁，也就是紧束缚近似。 一 一k 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 套完备的基矢，因此任意一个态可以用这套基矢表示成 砂) = 妒( 。，叻，o f n ) i o ：l ，( 地，t e n ) ( 】2 ) 所有可能组合的数目兀：。s ，即是h a m i l t o n i a n * e 阵的维数。显然的，呈指数增 长的维数是数值处理量子多体问题中要解决的最关键的问题。原则上，只 有未来的量子计算机才有可能完全的解决一个任意的量子多体问题，而在 当前的计算机上，只有通过各种的数值近似以得到”精确”的结果。在这一 章中我们将讨论一系列相应的数值近似方法，特别的，我们将讨论精确对 角化( e x a c td i a g o n a l i z a t i o n ，e d ) 矛n 数值重整化群方法( n u m e r i c a lr e n o r m a l i z a t i o n g r o u p ，n r g ) ，其中包括w i l s o n 的初o 台n r g t 2 和w h i t e 改进的密度矩阵重整化 群( d e n s i t ym a t r i xr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ，d m r g ) 3 ，4 方法。 1 2 精确对角化方法 精确对角化一般指一些直接对角化一个有限晶格系统的h a m i l t o n i a n 矩阵 表示的数值近似方法。最简单，也是最耗c p u b ；j 间、最耗内存的方法是完全 对角化矩阵，可以得到系统的全部信息。但是就如引言中所示的，强关联系 统h i l b e r t 空间的维数随着系统尺寸呈指数的增长，因此这种方法只能处理很小 的体系。但是如果只是最低或最高的几个本征态是需要的( 在凝聚态的研究中一 般只关心最低的几个激发态的特性) ，我们可以用迭代对角化的方法得到更大的 系统尺寸，而精度也可以达到机器精度的范围。迭代对角化的方法不光可以计 算基态，也可以计算一些低激发态，另外也可以计算动力学信息( 谱函数，时间 演化等等) 以及有限温度的行为。下面，我们将介绍几种常用的方法。 1 2 。1 完全对角化( c o m p l e c ed i a g o n a l i z a t i o n ) 对角化一个实对称或者厄米矩阵是数值计算中经常遇到的一个问题。例 如，在下面将要介绍的d m r g 算法的每一步处理中需要对角化密度矩阵一 个非稀疏的实对称矩阵。许多数学软件库提供完全对角化的子程序，输入 一个矩阵，返回所有的特征值和特征向量。当今几乎所有的成品化程序都可 以追溯到它们的前身，即w i l k i n s o n 和re i n s c h 发表的“h a n d b o o kf o ra u t o m a t i c c o m p u t a t i o n ，v 0 1 i i ，l i n e ra l g e b r a ”( 后简称h a n d b o o k ) 的程序 5 。该书包含了许 多位作者的优秀论文，它们是这一领域的权威之作。h a n d b o o k 中公开的部 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 分f o r t r a n 程序是e i s p a c k 程序集 6 ，很多的子程序被n u m e r i c a lr e c i p e s 7 ， 8 _ 乖1 2 l a p a c k 9 库中所引用。1 m s l i o 年h n a g ij 都提供f o r t r a n * f 1 c 编写的 专用程序的实现，这些程序也基本上是h a n d b o o k 中的程序。 原则上这些子程序可以直接用来对角化有限量子晶格系统的h a m i l t o n i a n 矩 阵，但是在计算大型稀疏矩阵的低激发态时一般没有后面将介绍的迭代对 角化的效率来得高。设矩阵a 为实对称矩阵，求解a 的特征值和特征向量一般 都是先用h o u s e h o l d e r 约化方法将矩阵a 三对角化，即求解一个正交矩阵q ，使 得t = q t a q 为一个三对角矩阵。再用q r 或者q l 算法求出特征值和特征向 量。在较大n 值的限制下，只计算特征值的h o u s e h o l d e r 运算量是2 n 3 3 阶，而特 征值和特征向量都需要计算则需要4 n 3 a 阶的运算量。q l 算法对于一般矩阵的 运算量是每次迭代o ( n 3 ) ，这对于一般矩阵来说运算量太大了。但是对于三对角 矩阵每次迭代的运算量只有0 ( n ) ，而对于h e s s e n b e r g 矩阵是0 ( z 2 ) ，故q l 算法 对于这两种形式的矩阵是很有效的。 正如上面分析的，用完全对角化的方法来对角化h a m i l t o n i a n 矩阵的限制是 显然的：整个矩阵必须被保存和对角化。由于h a m i l t o n i a n 矩阵的维数随着系统 尺寸指数的增长，即使考虑了所有的对称性将空间尽可能减小，还是只能计算 很小尺寸的强关联系统。对于h u b b a r d 链用完全对角化在超级计算机上一般只能 算到小于1 0 个格点，而用后面将介绍的迭代对角化方法考虑了所有的对称性后 可以计算到2 0 个格点。而对于一维系统，用d m r g 方法即使在普通p c 机上也可 以计算到超过t 0 0 0 个格点。下面我们将介绍这几种算法。 12 2l a n c o z s 精确对角化 如果我们只需要基态或低激发态的信息，我们可以用强而有效的迭代对角 化的方法。迭代对角化的方法不光可以计算基态，也可以计算动力学信息( 谱函 数，时间演化等等) 以及有限温度的行为，同时这也是d m r g 算法中用来计算基 态的很重要的个步骤。 所有的迭代对角化的思想都是： 辱h a m i l t o n i a n 矩阵投影到个m ( m n ) 维 的子空间中，使得在子空间中的特征值快速、准确的收敛到系统的特征值上。 在物理上用的最多的是l a n c z o s 方法* 日d a v i d s o n 方法。 很多文章对l a n c z o s 方法5 f 【l d a v i d s o n 方法作了改进，在这一节里，我们将只 讨论基本的l a n c z o s 和d a v i d s o n 方法。迭代对角化的基本思想可以用一个最简单 的幂迭代法体现。在这个近似中，要求的特征值通过不断的将h a m i l t o n i a n 作用 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 到一个初始的任意矢量1 w o ) 上得到 v 。) = 日“i v 0 ) 我们用h 的所有特征向量h | i ) = a i l i 作个展开 ( 13 ) ”。) = l i ( i i h “i v o ) = a 划”o i i ( 1 4 ) ii 明显的，当迭代足够多次数以后，只要( i l v o ) 0 ，具有最大的绝对值的本征态 占有最大的权重，但是如果次高的特征值和最高的特征值的差别很小，则不能 忽略次高特征值的影响。两次迭代的特征值之间距可以看作收敛的判据，但是 由于收敛性很差，这种方法很少在实践中使用。尽管如此，这种方法很容易实 现，而且内存的需求很低，因为只要储存扣。一。) ：l ”。) 两个矢量。 在上面方法中构造的子空间 被称为，l “k r y l o v 空间，这也是其它方法的起点。 在l a n c z o s 方法中 1 2 ，利用相互正交化的矢量l5 组成子空间的基 将h a m i l t o n i a n 矩阵投影到k r y f o v 子空间中，在这组基d l h a m i l t o n i a n 的矩阵表 示变成三对角矩阵。基本的l a n c z o s 算法如下： ( 0 ) 在h i l b e r t 空间中选择任意一个初始态f o ) ，如果l a n c z o s 方法是用来得到系 统的基态，那么要求系统真实基态f 妒o ) 和初始态f o ) 的交叠不为零。一般 我们可以简单的直接取一组归一化的随机数。 ( 1 ) 得到了初始态l 咖o ) ，我们可以l 哿h a m i l t o n i a n l d g 用到l 九) 上生成l a n c z o s 矢 量，一般 ) 锢一黜) ， ( 1 6 ) 满足( 西o i 咖，) = 0 。再步，可以得到与前面两个矢量都正交的矢量 ) 锢一踹筹协) 一涨) ( 1 ) 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 显然的，( o l 。) = ( l 咖z ) = 0 。重复这个过程可以生成一系列正交化的矢 量： 。+ - ) = h i 。) 一( z n4 咖。) 6 ：l 曲。一，) ，( 1 8 ) 其中n = 0 ，1 ，2 ，而系数 一锵，牡僳磊， ， n b o = 0 ，l 一1 ) = 0 。 ( 2 ) 检查收敛的条件( 莎，州i “+ ，) e 是否满足，如果满足跳到步骤( 4 ) ，否则继 续。 ( 3 ) 重复步骤( 1 ) ，直到 = 肘( m 是最大的维数) 。 ( 4 ) 如果停止的条件达到，用基本的q l 算法对角化下面的三对角矩阵 t n o ob l b l0 1b 2 b 20 2 b 。 b no n 由此可以得到特征值岛：e 一，晶和特征向量l 讥) ：1 妒，) ：i 慨) 。 ( 1 1 0 ) l a n c z o s 力法有很高的内存效率，因为只需要储存 咖n - - i ) ，i 九) ，| “+ 。) 三个矢 量。当然也可以用只储存两个矢量的迭代方法，不过收敛性会受到一些影响。 与典型的迭代对角化方法一样，主要的时间花费在计算矩阵乘h i 如) ，而这个算 法中别的步骤占用的c p u 时间基本可以忽略，因此日l ) 这个子程序对执行效率 起着至关重要的作用。 迭代一定次数以后( 一般远小于h i l b e r t 空间的维数) ，利用l a n c z o s 方法可以 收敛到与真实特征值相比非常高的精度，一般小于1 0 0 次迭代即可以收敛到基 态达到机器误差的精度。前面已经说了，l a n c z o s 算法是基于幂级数迭代法， 所以一般先收敛到极值的特征值，而要收敛到激发态就需要更多的迭代次数。 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 这个方法被认为是粗略的得到大范围内能谱的标准方法。但是，有两个需要 注意的问题。首先，收敛到的激发态是不规则的：很有可能几次迭代收敛到 一个值，而下一次忽然就变到另外一个值，因此为了得到高激发态，必须作 足够多的迭代次数。第二个问题被称作“g h o s t ”特征值，即得到不能映射到 原h a m i l t o n i a n 矩阵的错误特征值。“g h o s t ”特征值往往起源于迭代数次以后由 于机器的误差使得l a n c z o s 矢量失去了正交性，这也是算法固有的一个缺陷。也 正是这个原因，一般用相对l a n c z o s 算法更具稳定性的h o u s e h o l d e r 算法来将整个 矩阵约化成三对角的形式 7 。但是，由于非常好的收敛到基态、非常少的内存 占用率，l a n c z o s 算法被广泛的应用在研究量子晶格系统等物理问题中。 应用一些改进，克服算法本身带来的失去正交性的缺陷也是可能的。最 直接的方法就是用g r a m s c h m i d t 方法重正交化每一个l a n c z o s 矢量，但是这个过 程需要每一个l a n c z o s 矢量l 九) 都被保存，因此f ：包失去了低内存占用率的优点。 当然也可以用部分正交化的方法。c u l l u m 和w i l l o u 曲b y 1 3 ，1 4 】发展了一个方法 消除“g h o s t ”特征值而不用重正交化l a n c z o s 矢量。在他们的方法中，三对角 矩阵t 。的特征值与一个相似的矩阵t 。相比较，而t 。可以通过删除t 。的第一行 和第一列得到。由于“g h o s t ”特征值由于数值误差产生，它们与初始态妒o ) 无 关，而且对两个矩阵都是一样的。当经过足够多次的迭代以后，“g h o s t ”特征 值将向原矩阵日的特征值收敛，由此，t 。的每一个多重特征不是“g h o s t ”，而 唯一的并且不是t 。的特征值是原矩阵的特 i f 值。这个改进保留了原l a n c z o s 算 法的高速、高内存效率的优点，但是引入了错误的多重特征值，并且要提高迭 代次数。另外的一个改进l a n c z o s 方法f 1 5 中，迭代过程在两步以后中断，即只 考虑两个l a n c z o s 矢量、对角化一个2 2 的矩阵。把得到的新的矢量作为下一 个2 2l a n c z o s 步骤的起始矢量，这个过程一直进行到两次特征值的差别足够 小。改进l a n c z o s 方法的缺点是收敛比较慢，并且比较难得到激发态。但是这个 思想经常在实际中使用，比如迭代l o 一1 0 0 次以后对角化三对角矩阵，用得到的 新矢量再重新作l a n c z o s 迭代过程。 在物理中l a n c z o s 方法有着广泛的应用，比如计算t w o 一1 e g 梯子系统 1 6 ，分 子和纳米设备之间的输运【】7 等等。 1 _ 2 3d a v i d s o n 精确对角化 前面已经况了，一般迭代对角化的思想都是j 哿h a m i l t o n i a n g 阵投影到 一个远小_ t - h i l b e r t 空间大小的子空间，对角化子空问中h a m i l t o n i a n 的矩阵表 第一i i 戋联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 示，得到的特征值兄称作r f 拓v n 觑8 ，相应的特征向量f 扳) 称作r 娩- v e c 幻，。根 据r i t z 变换原理，所得的五总是比真正的特征值要略大 18 。而误差可以用日作 用到i 五) ，用残量近似的表示成 ) = h i c k ) 一a k i 机) 1 9 7 5 年，d a v i d s o n 1 9 用交替迭代的方法来构造展开子空间的基，r i t z v e c t o r 的精确修正如下给出： z ) = l 妒) 一l 砂e )( 11 2 ) 因此 ( h a k l ) l z ) = 一( h a k l ) l 妒k ) ( 1 1 3 ) 因此，解决 ( h 一1 ) l z ) = 一h )( 1 1 4 ) 将得到对l 机) 精确的修订：。这个过程相当于作逆迭代法【7 。但是，精确的特征 值儿并不知道，而且数值求解这样的一个线性系统与完全迭代对角化的难度相 当。d a v i d s o n 的想法是由 ( 1 1 5 ) 来近似的得到修正矢量。其中对角化的矩阵d 包含h a m i l t o n i a n 矩阵的对角元。 如果原来的h a m i l t o n i a n 矩阵是对角元占主要的话，这是一个很好的近似。如 果d 用单位矩阵1 来代替，d a v i d s o n 算法将等同于b l o c k l a n c z o s 方法。因此，如 果日的对角元都是相同的话，这两种方法将有相同的性能。但是在大多数问题 中，d a v i d s o n 对对角元的改进是很重要的，d a v i d s o n 算法有着更好的收敛性。 对于基本的d a v i d s o n 算法【1 9 ，有如下步骤： ( o ) 如果需要得到个特征值，我们先任意选取2 ( c ) 个正交化的向 量1 咖) ，i 。) ，) 构成子空间。在下面，我们定义矩阵b 是包含这些列 向量的矩阵。 ( 1 ) 得到并保存矩阵h i 咖。) ，日i 。) ，日胁) 。在下面，我们定义矩阵五是包含 7 第一章关联系统中基于对角化雨i 数值重整化群的计算方法 这些列向量的矩阵。计算并对角化矩阵a = ( 也l 九) ，得到k 个特征 值a 2 和相应的特征向量l 血：) 。上标( f ) 表示这些特征值是由保留( f ) 个向量 得到的矩阵a 得到。 ( 2 ) 计算个特征向量的残量表示： = f 五一a 2 b 1 岸) ( 1 1 6 ) ( 3 ) 计算向量的模) 1 。如果1 】m ) 1 e ，保留这个特征态，否则的话继续。 ( 4 ) 计算修正向量l 咖) = 一( d a k i ) _ 1 协) ，其中d 是包含矩阵h 的对角元的矩 阵，i 是单位矩阵。正交化f 毗) 和l ，) ，i 咖z ) ，) 以得到+ ) 。把“) 作 为新的一列加入矩阵b 。 ( 5 ) 得到并保存向量日+ 1 ) ，设i = l4 - 1 ，重复步骤1 。 尽管d a v i d s o n 算法的过程! y , l a n c z o s 算法要复杂，但是它的收敛性和稳定 性都要好于l a n c z o s 算法。特别的，前面提到的“g h o s t ”特征值的问题不会出 现。与l a n c z o s 算法相比，d a v i d s o n 算法的缺点是矩阵a = ( c d h l 西，) 并不是三对 角化的，而且在第4 步需要作重正交化过程，所以所有的协) 都必须被保存。 与l a n c z o s 算法相同，选择错误的初始向量可能导致算法的失败。d a v i d s o n 算 法的实际使用中可以应用改进l a n c z o s 方法【15 a o 同的思想，即减少d a v i d s o n 迭 代次数，而用上一次得到的新向量作为初始的向量i 咖- ) ：l 击。) ，) 重新开 始d a v i d s o n 的迭代过程。 1 2 4 小结 在这一节中我们讨论了几种常用的数值精确对角化方法，以当前的计算 机来说，利用精确对角化，对于s = 1 2 的自旋系统，最大可以算到= 4 0 个 格点；而对于半满的h u b b a r d 模型可以算到= 2 0 个格点；包含声子自由度的 如h o l s t e i n 模型计算将更加困难，因为声子是波色子，原则上声子的自由度是无 穷大，但是利用声子的截断，可以算到= 1 4 个格点。即使如此，由于空间的 指数增长，可计算的系统尺寸还是远远不能达到可比拟实际系统的大小。在下 面的章节中，特别的对于一维的系统，我们将讨论新的数值方法来克服这个限 制。这些方法可以计算大得多的系统，甚至可以达到近上千个格点，使我们可 第一章关联系统中基于对角化和数值重整化群的计算方法 以作外推到热力学极限。尽管如此，大部分情况下精确对角化能够数值得到精 确的结果，可以作为别的近似方法的一个基准，同时可以解决很多别的近似无 法解决的问题。精确对角化方法仍将在数值解决强关联物理问题中扮演着重要 的角色。 1 3 数值重整化群