（理论物理专业论文）γ4140和相关分子态的qcd求和规则研究.pdf

声明尸明 舢l i | | i f f f i f f f i i i j f i j i j i f f i f i j j f f f | i j j i j j | 册 17 8 5 5 7 4 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文y ( 4 1 4 0 1 和相关分子态的q c d 求 和规则研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或 其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或 其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校 可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同 媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 日期： 华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 最近c d f 合作组在，泖阈值附近观测到一个窄结构，这个结构现在用y ( 4 1 4 0 ) 表示。y ( 4 1 4 0 1 与卿阈值附近的类粲素态y ( 3 9 3 0 ) 很相似。对于y ( 4 1 4 0 ) 的本质 有很多种解释，比如成谚分子态，j m = l - + 的奇特混杂粲素，c i i 的四夸克态，或 ，i 励阈值效应。为鉴定y ( 4 1 4 0 ) 为标量分子态，我们必须证明它的质量在 ( 4 1 4 2 ) g e v 区域。在本文中，我们假设存在标量d + 雳，d ：厉，口矿和曰：犀分子 态，用q c d 求和规则计算了它们的质量，数值为比相应的d 一6 ，历一历，b + 一矿 和曰：一霹阈值高( 2 5 0 5 0 0 ) m e v ，y ( 4 1 4 0 ) 不可能是历茸分子态。标量d 6 ，d ：犀， 召+ 百+ 和度犀分子态可能不存在，而标量d 一历r ，d ：历：+ ，b 一百一和召：+ 犀分子态可能 存在。 关键词：y ( 4 1 4 0 1 ，分子态，q c d 求和规则 a b s t r a c t r e c e n t l yt h ec d fc o l l a b o r a t i o no b s e r v e dan a r r o ws t r u c t u r e ( w h i c hl sd e n o t e da s t h ey ( 414 0 ) n o w ) n e a rt h e 泖t h r e s h o l d t h en a r r o ws t r u c t u r ey ( 414 0 ) i sv e r y s i m i l a rt ot h ec h a r m o n i u m l i k e y ( 3 9 3 0 ) n e a rt h ej ￥c o t h r e s h o l d t h e r eh a v eb e e n s e v e r a le x p l a n a t i o n sf o rt h en a r r o ws t r u c t u r ey ( 4 1 4 0 ) ，s u c ha sa 口犀m o l e c u l a r ，a n e x o t i c ( j 粥= 1 。) h y b r i dc h a r m o n i u m ，ac c s s t e r a q u a r ks t a t e ，o r t h ee f f e c to ft h e j 巾t h r e s h o l d i no r d e rt oi d e n t i f yt h ey ( 4 1 4 0 、a sa 或或m o l e c u l a rs t a t e ，w e m u s tp r o v et h a ti t sm a s sl i e si nt h er e g i o n ( 4 1 - 4 2 ) g ev i nt h i sa r t i c l e ，w ea s s u m e t h a tt h e r ee x i s ts c a l a r d 西，毯毯，b 吾1a n d 或嚣m o l e c u l a rs t a t e s ，a n ds t u d yt h e i r m a s s e su s i n gq c ds u mr u l e s t h en u m e r i c a lr e s u l t si n d i c a t et h a tt h em a s s e sa r ea b o u t ( 2 5 0 5 0 0 ) m e v a b o v et h ec o r r e s p o n d i n g d + 一历+ ，p ：一茸，b 一百+ a n d e 一层t h r e s h o l d s t h e y ( 4 1 4 0 ) i su n l i k e l yas c a l a r 毯历m o l e c u l a rs t a t e t h es c a l a rd 西+ ，谚犀，b + 百+ a n db ：豆：m o l e c u l a rs t a t e sm a y b en o te x i s t ，w h i l et h es c a l a rd 一西”，d ：d ：，b 一虱一a n d 彰d - - 。? m o l e c u l a rs t a t e sm a y b ee x i s t l i uz h i - c h e n g ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r o f w a n gz h i g a n g k e y w o r d s ：y ( 4 14 0 ) ，m o l e c u l a rs t a t e s ，q c d s u mr u l e 华北电力大学硕士学位论文目录 目录 中文摘要 英文摘要 第一章引言1 1 1 选题背景及意义3 1 2 国内外研究动态3 1 3 本论文的主要研究方法与内容4 第二章0 c d 求和规则6 2 1 量子色动力学6 2 2q c d 求和规则8 2 3 小结13 第三章d + 历+ ，谚犀，曰百+ 和e 嚣分子态的0 c d 求和规则分析1 5 3 1 关联函数的算符乘积展开1 5 3 2 真空凝聚的考虑1 6 3 3 小结2 1 第四章数值分析和讨论2 2 4 1b o r e l 参数m 2 和阈值的选择2 2 4 2 数值结果和不确定度3 0 4 3 小结3 5 第五章结论3 6 参考文献3 7 致谢4 0 在学期间发表的学术论文和参加科研情况4 1 华北电力大学硕士学位论文 1 1 选题背景及意义 第一章引言 最近发现的许多粲素或类粲素态，如x ( 3 8 7 2 ) ，y ( 3 9 3 0 ) ，z ( 3 9 3 0 ) ，x ( 3 9 4 0 ) ， y ( 4 0 0 8 ) ，彳( 4 0 5 0 ) ，y ( 4 1 4 0 ) ，x ( 4 1 6 0 ) ，乏( 4 2 5 0 ) ，y ( 4 2 6 0 ) ，y ( 4 3 6 0 ) ，z + ( 4 4 3 0 ) 和y ( 4 6 6 0 1 。这些态一个共同特点是都衰变到包含粲夸克和反粲夸克的终态。因为 它们的质量和衰变模式与势模型的预言不一致，它们被认为是奇特态，意味着比简 单的夸克反夸克态有更复杂的结构，如混杂态，分子态或者四夸克态。非常规夸克 结构的思想由来已久，但很少有奇特介子被最终识别。一般地，那些和孵量子数相 同的奇特介子会和普通的介子相混合，所以分析起来很困难。这些态的发现对我们 理解量子色动力学( q c d ) 是一个挑战。 2 0 0 3 年，五夸克态吸引了人们大量注意力，这也是一种可能的奇特结构。在得 出许多错误结果后这些研究被放弃了。但是，同年由b e l l e 合作组发现的一个罕见 的粲素态x ，引发了人们对粲素部分奇特态是否存在的讨论。此时，计算都是基于 势模型，并且很有效。证实这些态的存在是强子物理的一个重要进展。 仍有人把这些新发现的态解释为粲素c 一石。他们在势中引入一些修正。这种屏 蔽势改变了非屏蔽势得出的结果。另一个解释是由四个夸克组成的系统，一种情况 是双夸克和反双夸克组成的束缚态，称为四夸克态；另一种情况是这四个夸克可以 形成由两个互相作用的介子，这两个介子组成束缚态。 这些不同的结构由不同的动力学支配。在夸克偶素态中，夸克间短距离相互作 用主要是单胶子交换，长距离处是非微扰的禁闭作用，通常用一个线性引力势参数 化。四夸克态中，除了这两种相互作用，还存在一种我们不是很了解的双夸克反双 夸克之间的相互作用。在分子态和强子粲素态中，相互作用通过介子交换产生。 1 2 国内外研究动态 b e l l e 合作组首先在衰变召+ k y ( 3 9 3 0 ) - - - k c o j y 中观察到共振态y ( 3 9 3 0 ) 1 1 ， 后来被b a b a r 合作组证实2 1 。他们测得的质量分别是( 3 9 4 3 + 11 ) m e v 和 ( 3 9 1 4 3 3 ：+ 2 ) m e v 。平均质量为( 3 9 2 9 + 7 ) m e v 。这个态的c 和g 宇称都是正的，宽 度为( 3 4 ：2 + 5 ) m e v 2 1 。对于粲素态，衰变】，一彩是锄抑制的【3 1 ，y ( 3 9 3 0 ) 也是 如此。y ( 3 9 3 0 ) 被解释为混杂回态4 1 ，分子态5 邶1 ，和四夸克态1 1 1 。 最近c d f 合作组在衰变b + 专y ( 4 1 4 0 ) k + 一，y 矽k + 中观察到一个窄结构。这 著，通常的处理依赖与组分夸克确立的具体模型，而这里强子是由远离质壳的虚夸 克流表示的。流的关联函数在算符乘积展开的框架内( o p e ) 弓i 入和处理，短距离和长 距离的夸克一胶子相互作用是分离的。前者用q c d 微扰理论计算，后者有通常的真 2- 华北电力大学硕士学位论文 空凝聚项和光锥分布振幅来参数化。然后把q c d 的计算结果通过色散关系与强子态 的和相匹配。由这种方法得出的求和规则可以计算强子基态的可观测量。相反地， 如果我们知道了强子特性的实验值，则可以定出自旋宇称和真空凝聚密度等q c d 参数。由各种夸克组成的强子的大量特性参数已经由q c d 求和规则计算出来了，在 绝大多数问题中得到的结果与实验数据吻合的很好。因此当需要确定未知强子参 数，q c d 求和规则是个可以信赖的工具。 但是，这种方法的精确度是有限的，一方面，关联函数用算符乘积展开来近似； 另一方面，还有大量的复杂的不知结构的强子色散积分，后者通常用夸克强子对偶 来近似。因此，在应用求和规则和处理不确定性必须谨慎。 质量是描述强子的基本参数，为鉴定y ( 4 1 4 0 ) 为标量分子态，我们必须证明它 的质量在( 4 1 4 2 ) g e v 区域。在本文中，我们假设存在标量d 历，d ：度，矿百和廖度 分子态，用q c d 求和规则计算了它们的质量。数值为比相应的d + 一6 ，一6 ：， 曰一百+ 和z 一茸阈值高( 2 5 0 5 0 0 ) m e v ，y ( 4 1 4 0 ) 不可能是d ：虞分子态。标量d + 西+ ， 巧茸，矿否和e 分子态可能不存在，而标量d 一西”，d ：历：，曰一否一和b ：+ 屡分子 态可能存在。 3 华北电力大学硕士学位论文 1 量子色动力学 第二章o c d 求和规则 基本粒子之间有电磁作用、弱作用和强作用。目前认为，描述这三种相互作用 理论都是规范理论。量子色动力学( q c d ) 是一个描述强相互作用的规范理论。 个理论描述夸克和相应于“色 量子数的s u ( 3 ) 群的规范场的相互作用，是一种 有对称性自发破缺的规范场论。没有破缺的非a b e l 规范场论有一个独特的性质， 相互作用在近距离处变弱，这个性质称为渐进自由。它成功地解释了高能实验中 现的一系列现象，这些现象显示强子是由一些在近距离处的作用很弱的点状夸克 成的。为了解释在实验中没有观察到自由夸克及质量为零的带色的规范粒子，提 了“色禁闭 的假设。这个假设的含义是：在没有自发破缺的非a b e l 规范理论 ，能在远距离处观察到的物理粒子都不带规范群的量子数，带这种量子数的粒子 规范作用禁闭在一定范围内形成此量子数为零的集团。虽然量子色动力学对低能 相互作用现象的预言还不能精确计算，但在这方面已经取得了不少进展。 按照夸克模型的概念，实验上观察到的几百种强子是由少数几种组元组成的复 粒子。这一点是描述强相互作用的基础。夸克有六种不同的味道，或者说有六种 同味道的夸克，用g ，p = u 、d 、s 、c 、b 、f ) 表示。夸克既参与弱电作用，也参与 作用。在研究强作用的过程中发现，夸克不仅有味道，也有颜色，有三种不同的 色( r 、g 、b ) 。而且，决定着它们弱电作用的是它们的味道，决定它们强作用的 它们的颜色。所以，人们常用q ；c a = r 、g 、b ；，= u 、d 、双c 、b 、n 来表示既有 道又有颜色的夸克。 夸克有三种颜色，有夸克构成的强子是没有颜色的。用群论的语言来讲，夸克 颜色s u ( 3 ) 群的3 重态，重子是由三个夸克的3 重态合成的颜色单态，介子是由一 夸克的3 单态和3 。重态合成的颜色单态。换句话说，夸克及其组成的强子有s u ( 3 ) 群的对称性。这个s u ( 3 ) 对称和盖尔曼的幺正对称性在数学上是等价的，都是s u ( 3 ) 群；在物理上却是严格不同的，s u ( 3 ) 是颜色对称性，幺正对称是味道对称性。幺 正对称仅仅是一种整体对称性，而s u ( 3 ) 却还是一种定域对称性。有整体对称扩展 到定域对称，就意味着存在规范场。夸克具有s u ( 3 ) 的定域对称性，即意味着s u ( 3 ) 是一个定域规范群。它的群元素是 胛) - e x p 【_ 等】 4 ( 2 1 ) 华北电力大学硕士学位论文 1 口 口。( x ) 是与时空坐标有关的参数，等 = 1 , 2 ，8 ) 是3 维表示的生成元，是盖尔曼 矩阵，满足对易关系 c 等，等卜矿晰等，t 等，等，= d 卿等 c 2 埘 的具体形式常常写成 0 以= 10 f l0 i 乃= j0 0 i o 五= ii 0 - i 0 i 0 0 l ， 0 0 l f，五= j 车三三l ， 0 一i i 0 0 i ， 00 i 1 0 以= 1 0 1 0 ：0i|， 0 0 if 10 0 j 一|，铲万10 i l 01 0i00 0 - 2 i 一| ，九= t l ii 把这具体表示代入对易关系式，就可以得到结构常数f , 2 p r 、d 卿的具体数值。和八 1 口 个生成元等 = l ，2 ，8 ) 相应，有八个规范场彳二( x ) 和 f ：v = a 。畿一a v 畿+ 西嘞 ( 2 - 3 ) 彳：( z ) 叫规范势，吆( z ) 叫做规范场强。我们把这八个规范场叫做胶子场，它们的量 子叫做胶子。 5 o o 0 o 1 0 一 l o o 1 o o o l o j i i = 丑 五 华北电力大学硕士学位论文 2 2q c d 求和规则 q c d 中的拉氏量为： 岛c d2 一丢g ：v g a r y + q 呒( 沏一m q ) ( 2 - 4 ) 其中q ，是胶子场强张量，。是夸克场，q = “，d ，s ，c ，是夸克的味指标。一般认为 该拉氏量决定了强子以及强子化过程的所有性质。但是，( 2 4 ) 式和其对应的费曼规 则只适用于微扰理论。即要求过程中一些夸克和胶子远离质壳，保证耦合系数 口。= g ；4 万比较小，从而可以进行微扰展开。但对于许多现象，如强子化过程，束 缚态问题等，夸克都被囚禁在强子内部，这就需要知道q c d 动力学的距离量级为 见。由口1 人疗r n 时的性质。这时微扰论中的耦合系数口。过大，微扰展开不合适。 1 9 7 9 年，s h i f m a n ，v a i n s h t e i n 和z a k h a r o v 提出了一种动力学的，基于q c d 的 计算强子特性的新方法：q c d 求和规则方法。其基本思想是由短距离过渡到长距 离。短距离处，由于渐进自由，夸克一胶子动力学是微扰的。长距离处强子态已经 形成，将非微扰效应一步一步加进来。然后用一些近似程序把强子的信息抽取出来。 q c d 求和规则计算是基于两个强子流的关联函数，两点关联函数一般形式为 n ( g ) 罩i s d 4 矿。( o 瞰( x ) 广( o ) 料 ( 2 - 5 ) j ( x 1 是与强子量子数相同的流，q c d 求和规则基本假设是：存在某个间隔q ，关联 函数可以在夸克和强子尺度上平等地描述。前者称为q c d 部分或者算符乘积展开 ( o p e ) 部分，后者称为唯象部分。然后通过色散关系，把求和规则的两部分相匹 配，我们可以得到强子参数的很多信息。由于夸克尺度上q c d 真空的复杂结构， 我们需要引入w i l s o n 算符乘积展开【2 4 1 。 在q c d 中，我们知道微扰区域的计算，因此( 2 5 ) 式中r i ( q 1 的微扰部分能可信 地计算。但不意味着q c d 求和规则中所有重要贡献都考虑进去了。完整的计算还 应该包含软胶子场效应和在q c d 真空传播的夸克的效应。一个计算关联函数真空 场贡献的实际方法是w i l s o n 算符乘积展开。运用这个方法，我们可以将两个流的乘 积展开为一系列定域算子 6 华北电力大学硕士学位论文 n ( g ) = f p 4 膨幻。( o i r ( x ) _ ，+ ( o ) ) l o ) = e ( q 2 ) 龟 ( 2 6 ) 其中， 龟 所有胶子场和夸克场组成的定域规范不变的算子。( 2 - 6 ) 式是w i l s o n 算符 乘积展开的简明形式。系数e ( q 2 ) ( q 2 = 一q 2 ) 仅包含短距离范围，可以微扰地计算。 只有定域算子包含长距离的非微扰效应。在展开式中，算子按维数n 排列。以= 0 的 最低维算子是单位算子，与微扰贡献结合，c o ( q 2 ) = n 删q 2 ) ，o o = 1 。在( 2 - 6 ) 式 中，q c d 真空场表示为真空凝聚。最低维凝聚为三维的夸克凝聚馥= ( 初) ，和四维 的胶子凝聚晓= ( 9 2 g 2 ) 。更高维凝聚的贡献被高次幂的人；c d q 2 所抑制，1 人口c d 是 典型的长距离尺度。因此在q 2 佃1 g e v 2 ) 的某个中间值，展开式( 2 6 ) 式可以截断为 有限项。 关联函数( 2 5 ) 式可以写成色散关系形式 n ( 9 2 ) = 一p 燕+ 省略部分代表截断项，p ( j ) 可以写成关联函数的虚部 p ( s ) = 妻h n 兀( s ) ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 计算谱密度p ( s ) 比计算关联函数本身要简单，通过( 2 - 7 ) 式，我们可以用p ( s ) 恢复整 个兀f9 2l 函数。 唯象部分的计算过程是：插入一系列的中间强子态。流j ( j + 1 是量子数和流相同 的所有强子态的湮灭( 产生) 算子。所以，n ( q ) 包含所有这类强子的信息，包括我 们感兴趣的最低质量的强子。为使q c d 求和规则有效，我们必须用一个小参数把 p ( j ) 参数化。最低共振态一般窄，高质量态比较宽。我们可以把p 0 ) 参数化为一个 单极点项加上光滑的连续项，极点代表最低共振态的质量m ，光滑的连续项代表更 高质量的态。 p ( s ) = 五2 万( s 一朋2 ) + 如小( s ) 7 ( 2 - 9 ) 华北电力大学硕士学位论文 五代表流和强子的耦合常数 ( o i 1 日) = 五 ( 2 1 0 ) 单起见，我们假设谱密度的连续贡献，( j ) 在某个连续阈值下消失，在这个 之上才出现。因此 几。，( s ) = p 伽( j ) o ( j j 。) 我们尝试把关联函数的两个描述匹配起来 丌肋”( q 2 ) h n 。船( q 2 ) ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 这样的匹配并不实用，o p e 部分只在足够大的类空间隔q 2 中有效。唯象描述在 小的间隔驴，以极点为主导，或者说极点附近的类时间隔9 2 。为改进求和规则， 可以运用b o r e l 变换 重要的例子是 州9 2 ) ) = = 寥l 篙i m ：哮斟( 9 2 ) 仁 气： 9 2 “ = o ( 2 1 4 ) ： 南卜南并p 彳m 陆 其中n 0 。从上面两个结果中，我们可以看到，b o r e l 变换消去了色散关系的截断 8 华北电力大学硕士学位论文 项，并且把唯象部分激发态和连续态的贡献以指数形式抑制了。在o p e 部分，b o r e l 变换用一个因子项抑制了高维凝聚的贡献。 两边都做b o r e l 变换后，求和规则写为 2 2 e - m 2 旷= od s e - d m 2p o 船( s ) 一晌 ( 2 - 1 6 ) 如果求和规则的两边都能计算到任意高的精度，那么匹配是与膨2 无关的。实际上 两边的表示都不完美。存在这样一个m 2 区域，使得两边有很好的重叠，最低共振 态的信息可以抽取出来，这个区域称为b o r e l 窗。一般地，选择b o r e l 窗应当分析 o p e 收敛性和极点贡献。b o r e l 质量的下限由o p e 收敛性决定。引入极点贡献必须 大于连续贡献的条件，b o r e l 质量的上限由这个条件决定。 为得到质量历，我们对( 2 1 6 ) 式关于1 m 2 做微分，然后除以( 2 1 6 ) 式，得到 m ：当f = 坠。d s e - d m s p 。e e 二( 二s ) fd s e - d m i o o p e ( s ) ( 2 - 1 7 ) 与单独的求和规则相比，这个值的优点是对微扰修正较为不敏感。因此我们得出的 结果是比较精确的。 我们给出q c d 求和规则的一个经典例子。考虑岛介子( 同位旋为1 ，j 尸= 1 一) 的两夸克流形= ( 万以“一万以d ) 2 的关联函数 f i ，( g ) = f p 4 x e 译。( o i 丁 彤( x ) ( o ) ) l o ) ( 2 - 1 8 ) 关联函数的色散关系包含对所有中间强子态的和，是能谱表示的直接类比 呲) = 莩掣 ( 2 1 9 ) l o 华北电力大学硕士学位论文 按标准的方式定义p 介子的衰减常数，( p ol io ) = ( 2 ) 聊p 桫) 。夸克一胶子和三 胶子凝聚有非常小的w ii s o n 常数。因此被忽略掉。 存在肘2 的一个中间区域：这样仅p 介子的贡献可使求和规则( 2 2 3 ) 的左边饱和。 数值分析结果表明，在m 2 口1 g e v 2 区域，实验测得的疋与已略掉所有激发态及连续 态的贡献的方程( 2 2 3 ) 算出的参量符合得很好。利用夸克一强子对偶性原理。把微扰 贡献写为色散积分形式 畔= 、9 暑铲 p 譬f 跏l 0 知 ( 2 2 4 ) 方程( 2 - 2 2 ) 中对激发态及连续态的贡献之和是由对微扰能谱密度谬的第二个积分 近似的。这个积分可由方程( 2 2 2 ) i 撕边减掉。相应地方程( 2 2 3 ) 改为：左边仅包含 p 项，而右边的微扰贡献须乘因子( 1 _ e - s o l m 2 ) 。利用对偶性就得到了改进的求和规 则。对于激发强子态，如j p 和p 道，已经有足够的实验数据可独立地检查夸克一 强子对偶性。 2 3 小结 2 0 世纪初，人们认识到形成原子核的相互作用力强度非常大( 强相互作用) 。 到2 0 世纪5 0 6 0 年代，利用宇宙射线和高能加速器，人们发现了一系列的介子和重 子( 统称为强子) 。2 0 世纪7 0 年代初，人们提出了关于强相互作用的量子色动力 学，2 0 世纪7 0 年代后期，人们开始关注s u ( 3 ) 规范理论，普遍认为量子色动力 学是强相互作用的正确的基本理论。量子色动力学( q c d ) 同时具有大距离处的色 禁闭和小距离处的渐进自由两种性质。在一个区域，低能q c d 对强子质量和衰变 宽度的微扰计算变得无效；与此相反的是，在短距离渐进自由极限下，微扰计算变 得有意义。 s h i f m a n ，v a i n s h t e i n 和z a k h a r o v 提出了一种动力学的，基于q c d 的计算强 子特性的新方法：q c d 求和规则方法。其基本思想就是研究小( 但不是太小) 的欧 氏距离上，对应于给定流的关联函数；由于渐进自由，允许在这样小的距离上进行 微扰计算，同时，非微扰传播子效应( q c d 的非平凡真空结构导致非微扰传播子效 应) 可作为算符乘积展开的级数修正而加以考虑。计算局域夸克、胶子算符的真空 平均值是求和规则方法的重要组成部分。通过色散关系，用能谱密度可表示关联函 数。由于夸克一强子对偶性，能谱密度又与物理中间态相关，这样就可以得到求和 华北电力大学硕士学位论文 法已成为强子物理中应用非常广泛的工具。大量的强子参量 ，在大多数情形，揭示了与实验数据非常吻合的结果。 1 2 华北电力大学硕士学位论文 第三章d + 历。，p ：巧，曰百和e 犀分子态的o c d 求和规则分析 在本章中，我们假设存在标量d 历+ ，巧犀，曰百+ 和e 嚣分子态，用q c d 求和 规则得出了它们质量的表达式。在q c d 求和规则中，我们用算符乘积展开把编时 的流展开成一系列的夸克和胶子凝聚，这些凝聚将q c d 真空的长距离性质参数化。 基于夸克强子对偶性。我们可以在唯像学方面得到强子参数的大量信息。 3 1 关联函数的算符乘积展开 我们先写下q c d 求和规则的两点关联函数兀肋( p ) ： 凡，( p ) = f p 4 矿。( o 叭，叩( x ) j , 7 + ( o ) ，( x ) = 豆( x ) 以j ( x ) i ( 功广q ( 力( 3 一1 ) 刁( x ) = 亘( 刁以“( 力孑( 功广o ( x ) 其中o = c ，b ，我们用标量流j ( x ) 和刁( x ) 分别内插到d + 历，巧茸，曰+ 否+ 和e 霹分子 态中。在关联函数兀肋( p ) 中插入一系列与流算符( z ) 和刁( z ) 具有相同量子数的完 备的中间态来得到强子的表示。分离出标量分子态y 极点项的基态贡献，这里我们 用y 来表示d + 6 ，谚历，b 百和e 嚣分子态。得到下面结果： n 加( p ) = j m ；l _ p 2 + 极点留数( 或耦合常数) 以定义为： 丑= ( o i j 7 7 ( o ) i y ( p ) ) ( 3 - 2 ) ( 3 3 ) 下面我们在类空动量区域( p 2 口o ) 对关联函数n 加( p ) 进行算符乘积展开。先写出包 含真空凝聚的重夸克的“全”传播子邑( z ) 和g ( x ) 1 1 3 华北电力大学硕士学位论文 岛( x ) = 堕2 万2 x 4 一砑e r o s 一鲁( 菇) + 鲁他( 西) 一箬( 强仃伍) + 篙他( 觋酬茹一去嚷( 如a v + o a v $ ) + ( 3 - 4 ) 嘶，= 南肚坼。 岛毋咿( 是+ ) + ( 髭+ ) 露一 4 ( 后2 一聊；) 2 + t 引- 叩7 g - 磊嵩+ ( 3 - 5 ) 咆叫= ( i g , o - o e 咻 1 ) 会扩大理 论预言和实验数据的差距。所以我们基于r = 1 预言是可信的。胶子凝聚不会在轻四 夸克态【3 1 - 3 2 1 ，重四夸克态【2 8 1 和重分子态【2 9 】中起重要作用，因为它贡献被大分母所抑 制。尽管它们的贡献非常小，在本文中我们还是完整地考虑进去了。 一旦得到解析结果，我们运用夸克一强子对偶性，对变量p 2 = 一p 2 进行b o r e l 变 换，最终得到内插流j ( x 1 的求和规则： 其中 和等：k 产( j ) p 一考 ( 3 8 ) 郎) = 小) ，( 小 略知) + 墙小) ( 竽 乜，小) ( 3 9 ) p o ( j ) = 土1 0 2 4 万6e d 口“d f l a f l ( 1 - c t - f 1 ) 3 ( j 镌) 2 7 s - 6 s - 2 + 瞳) + 土1 0 2 4 万6f 比“d 脚( 1 一口一) 2 ( j 一- 2 ) 3 ( 3 s 一弼) ( 3 - 1 0 ) + 面3 m s m qf 叫i 口d p ( 口+ p ) o - 口- p ) 2 ( 卜呓) 2 ( 5 纠而当) 1 5 1 6 砧g ) ( s ) = 华北电力大学硕士学位论文 堡2 4 庶m 2 v , p 丽1 卜 型6 4 n 掣 m 叫吉+ 南 22 k i 口2 。f ，1 一口、2 簪f d 口睁高卜 e fd a 2 埘( j 一髭) 旄) 弼) 万( j 一毽) 万( j 一埘z q 2 ) 万( s 一弼) ；j ( j 一髭) 一百m o _ ( - g g c r g s ) 弘 ，+ 卦( z 2 ) 1 7 ( 3 - 1 3 ) + + + 动，一4堕鲳 一鬻2 m f 比叫乒钟一小者+ 耕卜唾) 一 m 差2 罗- f d 口f 。卵( 蒡+ 参) ，+ 砉卜( j 一嘭) j + 等帮f d 口f 彬( 旁+ 参) 嘭万( j 一弼) + 嚣4m 肛和b 舢( 州) + 掣f 誓邶b 舢+ p ) o - 口- ：) i t + 跏喇) 一竺7 1 6 7 8 而n 2 ”m 门4 。、7 d 口口d ( 三- s + 考j ) ( 口+ ) 嘭万( j 一嘭) j 一趔6 4 2 2 f 比和防跏一) m ( 州) 1 + 警弘和防新音k 幅) 一m 盖2 掣u f 如f 。彬f 砉+ 专p ( j 一嘭) 一掣f 比聊州) 陪万( j 一暖) 岳万( j 一嘭) 7 + 拶f d 口i 。卵h 艿( j 一瑶) 。 1 8 ( 3 1 4 ) 华北电力大学硕士学位论文 ：卓一孽一寿磁：警和 髭= 高2 。 做如下一个简单代换，我们就能得到标量流7 7 ( x ) 的求和规则 ，( 两) ，( s g s o g s ) - - - m q ，( 初) ，( q g q o g q ) 对( 3 - 8 ) 式关于矿1 微分，消去极点留数乃。我们得到分子态y 质量的求和规则 m ；=k o ) z 如币d 硒舯 f ：i n 一，) 2 出p ( s ) p 了 标量流7 7 ( z ) 的求和规则可以用类似地得到。 3 3 小结 ( 3 1 5 ) 本章我们导出了d 历+ ，谚历，b 百和e 茸分子态的求和规则，考虑真空凝聚维 数到1 0 ，对于高维凝聚采用真空饱和假设，它们可以用低维凝聚因子化。 1 9 华北电力大学硕士学位论文 第四章数值分析和讨论 ) 和7 ( 石) 的求和规则后，我们取输入参数为能标= 1 g p 矿时的标 一( o 2 4 + 0 0 1 g e v ) 3 ，( 两) = ( o 8 + 0 2 ) ( 初) ，( 觋盯白) = 瑶( 盈) ， ， 竽) - ( o 叫4 ，叭= ( 0 1 4 - + 0 0 1 ) 侥矿， = ( 1 3 5 + 0 i o ) g e v 和= ( 4 7 + 0 1 ) g e v 。然后选择适当的b o r e l 参数m 2 和阈值 ，得出数值结果。 本章是这样安排的：第一部分我们讨论了b o r e l 参数m 2 和阈值s 。的选取，第二 部分得出数值结果和不确定度，第三部分是小结。 4 1b o r ei 参数m 2 和阈值s 。的选择 在传统的q c d 求和规则中【3 3 , 3 4 1 ，选择b o r e l 参数m 2 和阈值的标准是极点主 导贡献和算符乘积展开收敛。在分子态的b o r e l 参数m 2 和阈值j 。的选择上，我们也 引入这两个标准。图4 1 和4 - 2 分别展示了石以西c 和巩西广c 流算符乘积展开各 项的贡献。么，召，c ，d ，e 和，分别对应微扰项，( 西) + ( 砖) ( 强矿西) 项，( 型i ) 项， + ( 竽) ( 螽) + ( 强盯伍) + ( 两) 2 项，( 菇) 2 + ( 西) ( 强盯白) 项和( 强盯国) 2 项 的贡献。口，厂，允，p 和丁分别对应阈值= 2 1 g e v 2 ，2 2 g e v 2 ，2 3 g e v 2 ， 2 4 g e v 2 ，2 5 g e v 2 和2 6 g e v 2 。图4 - 3 和4 4 分别展示了b r u d r 6 和b r s y r 6 流算符 乘积展开各项的贡献。a ，b ，c ，d ，e s n f 分别对应微扰项，( 西) + ( 盈) ( 酝仃国) 项， ( 咖( 觋酬删 项，( 科巾) ( 强侧项 和( 强盯岱) 2 项的贡献。口，厂，见，p 和r 分别对应阈值= 1 3 2 g e v 2 ， 2 0 华北电力大学硕士学位论文 1 3 4 g e v 2 。1 3 6 g e v 2 ，1 3 8 g e v 2 ，1 4 0 g e v 2 和1 4 2 g e v 2 。输入参数我们取平均值。 我们用( y s ) 表示夸克凝聚( 初) 和( 两) ，用( y g ，o g s ) 表示混合凝聚( q g ：c q ) 和 ( y g , a g s ) 。从图中我们可以看出，在隐粲道和隐美道，b o r e l 参数分别在m 2 2 6 g e v 2 和m 2 7 0 g e v 2 范围变化时，算符乘积展开各项的贡献变化的很快。这种行为难以 得到稳定的求和规则。我们的数值结果证实了这种推测，如图4 - 6 和4 7 。 主要贡献来自微扰项和( 两) + ( 酝仃岱) 项；含有更多s 夸克的内插流有更好的收 敛性。含有胶子凝聚( 坐) 项的贡献非常小，不起重要作用。高维真空凝聚 ( 螽) 2 + ( 两) ( 强岱) 作为选择b o r e l 参数膨2 和阈值j 。的一个标准。 2 l 图4 - 1b o r e l 参数m 2 变动时，? r u d r c 流算符乘积展开各项的贡献 2 2 华北电力大学硕士学位论文 舻【g 潮 图4 - 2b o r e l 参数m 2 变动时，万儿西c 流算符乘积展开各项的贡献 2 3 华北电力大学硕士学位论文 图4 3b o r c l 参数m 2 变动时，b y , , u d r 6 流算符乘积展开各项的贡献 2 4 乞。罄u黟舞 华北电力大学硕士学位论文 图4 4b o r e l 参数m 2 变动时，b y , s y y 6 流算符乘积展开各项的贡献 华北电力大学硕士学位论文 当m 。2 i 。2 6 g e v 2 和s o 2 3 g e v 2 ， - d y u d 7 c 道和- d y , s - y y c 道的高维凝聚 ( 两) 2 + ( 盈) ( g g ，a g s ) 的贡献，分别小于1 5 和4 ；在所有的隐粲道，最高维凝聚 ( 堙。仃白) 2 贡献小于3 ，我们预计算符乘积展开在隐粲道是收敛的。当 m 三i 。7 0 g e v 2 和1 3 6 g e v 2 ，b y # u d y b 道和b y , s - g y b 道的高维凝聚 ( 砖) 2 + ( 盈) ( y g ，a g s ) 贡献分别小于1 1 和5 ，在所有的隐美道，最高维凝聚( 殛，仃白) 2 贡献小于7 ，我们预计算符乘积展开在隐美道是收敛的。本文中，我们取一个统 一b o r e l 参数g 。2 i i i ，即在隐粲道m 三i 。2 6 g e v 2 ，在隐美道g 。2 i 。7 0 g e v 2 。 图4 5 展示了极点项贡献随b o r e l 参数和阈值的变化。么，b ，c 和d 分别表示 - c t # u d 7 c ，- d y ，, s - g y c ，b y u u d 7 6 和b t u s - i y 6 道。在隐粲道，口，7 ，力，p 和f 分 别对应阈值为： g o = 2 1 g e v 2 ，2 3 g e v 2 ，2 4 g e v 2 ，2 5 g e v 2 和2 6 g e v 2 ；在隐美道，则 它们分别对应阈值为：晶= 1 3 2 g e v 2 ，1 3 4 g e v 2 ，1 3 6 g e v 2 ，1 3 8 g e v 2 ，1 4 0 g e v 2 和 1 4 2 g e v 2 。当m 乏。3 0 g e v 2 和s o 2 3 g e v 2 ( 2 4 g e v 2 ) ，矾“动c 道和石y , s y y c 道极点 项贡献分别大于5 1 和5 5 ，当m 。8 0 g e v 2 和1 3 6 g e v 2 ( 1 3 8 g e v 2 ) ，b y # u d 7 b 道和b y , 。s - y y b 道极点项贡献分别大于5 2 和5 5 。我们再取一个统一b o r e l 参数 膨0 ，即在隐粲道m 乙。3 0 g e v 2 ，在隐美道m 三a 。8 0 g e v 2 。 本文中，- d y # u d 一7 c ，一c y , s s y c ，b r , s y r b 和b r , u d r b 道的阈值分别取为 g o = ( 2 4 + 1 ) g e v 2 ，( 2 5 + 1 ) g e v 2 ，( 1 3 8 + 2 ) g e v 2 和( 1 4 0 _ + 2 ) g e v 2 。隐粲道和隐美道b o r e l 参数取为m 2 = ( 2 6 - 3 o ) g e v 2 和m 2 = ( 7 0 - 8 o ) g e v 2 。在这些区域，q c d 求和规则 的两个标准都完全满足。 2 6 华北电力大学硕士学位论文 m 2 删 图4 5 - b o r e l 参数m 2 变化时，极点项的贡献 2 7 华北电力大学硕