（应用数学专业论文）超连续格和双scott拓扑若干问题的研究.pdf

摘要 本文在完备格上定义了超逼近元，得到关于超连续格的一个范畴性质，证明 了完备格工为超连续格当且仅当关系“_ ”具有插入性质且觇，y 厶x 缈铮 f f 引入了超连续d o m a i n 的基b ) 、权瞰) 和特戤) 的概念，给出了它 们的等价刻画，对超连续d o m a i n 的权、特征与超连续d o m a i n 带上啦) 拓扑构成 的拓扑空间权毗，啦) ) 、拓扑空间特征z 犯，抄仁) ) 之间的关系进行了讨论，证得 对超连续d o m a i n , w ( l ，以) ) 瞅) 、疋) s 职) 、石犯) 习犯，氓) ) 对拟超连续 d o m a i n 上的拓扑进行了讨论，给出了拟超连续d o m a i n 成为拟超代数d o m a i n 的一 个条件，证明了对拟超连续d o m a i n , ，秒) ) 为局紧空间最后，在双定向完备偏 序集上定义了双s c o t t 拓扑，给出了关于双s c o t t 拓扑紧性的刻画 关键词：超连续格；超连续d o m a i n ；双s c o t t 拓扑；紧性；基；特征 a b s t r a c t i nt h ep a p e r , f o rac o m p l e t el a t t i c e ，t h eh y p e r - a p p r o x i m a t i n ge l e m e n ti so b t a i n e d w eg e tac a t e g o r yp r o p e r t yo nh y p e r e o n t i n u o u sl a t t i c e ，a n dp r o v et h a tt h ec o m p l e t e l a t t i c eli sah y p e r c o n t i n u o u sl a t t i c ei f ft h er e l a t i o n ”s a t i s t i e st h ei n t e r p o l a t i o n p r o p e r t ya n dv x ，j ，乱，x , y 甘f 啪t h ed e f i n i t i o no fb a s e 曰犯) ，w e i g h tw ( l ) a n d c h a r a c t e rz 犯) o nah y p e r c o n t i n u o u sd o m a i na r cg i v e n ，a n ds o m ec h a r a c t e r i s t i c t h e o r e m sa r eo b t a i n e d t h er e l a t i o nb e t w e e nt h e w e i g h t a n dc h a r a c t e ro n a h y p e r e o n t i n u o u sd o m a i na n d t h a to ft h er e l a t e dt o p o l o g i c a ls p a c e 州t h 啦) t o p o l o g y a g ed i s c u s s e d ，a n dw ep r o v et h a tw ( l ，t ，伍) ) 职) ，疋) 矸弛) ，彤犯) 习 ，啦) ) o i l t h e q u a s i h y p e r c o m t i n u o u s d o m a i n w ea l s od i s c u s st h e t o p o l o g y o nt h e q u a s i - h y p e r c o m t i n u o u sd o m a i n ，g e tac o n d i t i o nt h a tl e tt h eq u a s i h y p e r c o m t i n u o u s d o m a i nt ob eaq u a s i - h y p e r a l g e b r a i cd o m a i n , a n dp r o v et h a t 伍，秒犯) ) i sl o c a l l y c o m p a c ts p a c eo nt h eq u a s i - h y p e r c o m t i n u o u sd o m a i n a tl a s t ，t h ed e f i n i t i o no ft h e b i s c o t tt o p o l o g yo nad o u b l ed i r e c t e dc o m p l e t ep o s e ri si n t r o d u c e d ，a n dg e t ss o m e r e s u l ta b o u tt h eb i s c o t tt o p o l o g yc o m p a c t n e s s k e yw o r d s ：h y p e r c o n t i n u o u sl a t t i c e ；h y p e m o n t i n u o u sd o m a i n ；b i s c o t tt o p o l o g y ； c o m p a c t n e s s ；b a s e ；c h a r a c t e r i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意一 学位论文作者签名： 召解 j 签字日期：如啊年歹月尹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文话者签名：1 弓雯谚 签字日期：卿9 年易月中日 导师签名：j 瓣 导师签名：j 吆了，。p t 签字日期：础6 月甲日 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 己i吉 ji f j 近三十年来，由于计算机科学所引起的关注和数学若干领域所取得的重要 进展，计算机科学和数学的交叉之研究，尤其是拓扑结构、格序结构、范畴结构 等在计算机科学中的应用引起了人们的广泛关注这些结构及其相互交叉之研 究愈来愈受到数学家和计算机科学家的重视 二十世纪七十年代初著名数学家和理论计算机科学家、t u r i n g 奖获得者 s c o t t 1 ，2 】创建了连续格理论，为确定性程序的指称语义奠定了坚实的理论基础 其后p l o t k i n 3 指出需要更一般的数学对象用于建立非确定程序的指称语义的数 学模型因而形成了d o m a i n 这一重要概念从此d o m a i n 的结构理论成为计算机 程序的指称语义学研究的一个关键点【4 ，5 ，6 7 ，v8 1 d o m a i n 理论发展的另一个动力 来自纯数学的若干领域大约与s c o rt 作的同一时期，著名数学家h o f m a n n ， l a w s o n 、k e h n e l 等人由于各自的深入工作从完全不同的途径独立地开展了连续 格理论的研究( 参看【1 0 】) 八十年代以后，对更一般的具有某种连续性的格序结 构的研究逐渐成为国外数学家和理论计算机科学家的研究热点 无论从数学的角度还是从计算机程序指称语义学的角度而言，d o m m n 理论 研究的一个重要方面是尽可能地将连续格理论推广到更为一般的格序结构上去 在 1 1 】中g i e r z 和l a w s o n 在d c p o l 上定义关系“ ”如下：x y 骨若w 为三上的 一族上集且n t = t y ，则j 明，u 2 。，以似使nu , = t x 用关系“ ”定义了超连续格， h i 研究了超连续格性质，并且定义了格上的双s c o r 拓扑，把它用于刻画超连续格 超连续格具有良好的性质，如可用有限性质关系进行表示，有内蕴式刻画徐晓 泉教授在文 1 2 中把超连续格推广至拟超连续格并证明了拟超连续格恰为区间 拓扑t 2 之完备格杨金波在文【1 3 】中考虑了超连续格的一般情形超连续d o m a i n ， 作为超连续d o m a i n 与拟超连续格的公共推广引入拟超连续d o m a i n 的概念，并讨 论了它们的性质 本学位论文是在此基础上对超连续格和超连续d o m a i n 的性质做了进一步的 补充和推广在完备格上定义了超逼近元，得到关于超连续格的一个范畴性质， 证明了完备格三为超连续格当且仅当关系“ ”具有插入性质且垤，y e _ ，x , y 兮 f f 这里f = y e l ：y - x 引入了超连续d o m m n 的基b 犯) 、权毗) 和特征 z 犯) 的概念，给出了它们的等价刻画，对超连续d o m a i n 的权、特征与超连续 d o m a i n 带上砸) 拓扑构成的拓扑空间权吣，啦) ) 、拓扑空间特戤，啦) ) 之间 的关系进行了讨论，证得对超连续d o m a i n , w ( l ，v ( l ) ) s w ( l ) 、x ( l ) s w ( l ) 、 江西师范大学硕士学位论文 x ( l 产x ( l ，u ) ) 对拟超连续d o m a i n 上的拓扑进行了讨论，给出了拟超连续 d o m a i n 成为拟超代数d o m a i n 的一个条件，证明了对拟超连续d o m a i n ，犯，u ) ) 为 局紧空间最后，本论文在双定向完备偏序集上定义了双s c o t t 拓扑，给出了关于 双s c o t t 拓扑紧性的刻画 2 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 1预备知识 设但，5 ) 是偏序集，三的非空子集a 称为定向集，若v a ，6 酬，j c 刮使a c 且 6 s c l 称为定向完备偏序集( 简称d c p o ) ，若三的每个定向子集都有上确界 s x = l u e l ：“x l ，忙 ，三：工s ，1 设三是d c p o ，矿) 表示上的s c o t t 拓孝b ，定义u e c r ( l ) ，当且仅当( 1 ) u = t u ； ( 2 ) 对任一定向集d 直，s u p d u 有d n u - ；：o 对偶地：叩是d c p o ，矿表示工叩 上的s c o t t 拓扑l 上以 从s x ：工) 为开子基生成的拓扑称为上拓扑，记为啦) 对偶地定义三上的下拓扑( 肥) 拓扑空间犯，啦) ) 简记为n 伍) 设v x ，) ，乱，若对三的每一个定向子集d ，当y _ _ s u p d 时了d 印使工吐则称x w a y b e l o w y , 记着石q 。 设eg _ c l ，称f w a yb e l o wg ，记作熙g ，若对任一定向集d ，s 印d t g j d n t f o 若凡 工l 简记为f 鼢对偶地，在印中，fw a yb e l o wg 记作，口pg 记 f ，= 缸乱：) 称产 r ：f d 是下定向的，若对任意的局，f ，e y , 都存在r 冗使得 晟g t r nt 巧 彳豇称为凸子集，若口s c 6 ，其中a ，6 彳，则有c 彳 定义1 1 t 1 4 l 称三满足性质d i n t , 若对任意的彳闭于下拓扑，存在下定向的 产 个f ：f e l 曲) ，使彳= n f 此时称a 为有限生成上集的下定向交 定义1 2 【1 4 】 设三是d c p o ，对任意的x 厶记) = 个，( ：f x ) ，称上 是拟连续d o m a i n 若协厶下定r t x - = n w ( x ) 定义1 3 【l l 】 设上为d c p o ，在三上定义关系 如下：x 秒铮若研为l 上 的族上集且n 伽u 则j 阢，珑。，以w 使nu ，= t x i = 1 3 江西师范大学硕士学位论文 记恃陟三：y q ) 段犯) = 协三：石q 1 记罗u ) = i t f ：，三( 且a c _ i n t “l ) 个用歼) 简记为卿) 命题1 4 【1 1 】 设三为d c p o ( 1 ) 下列条件等价： ( i ) x y ， h ( i i ) 若o q ：q 1 v ( l ) 且n 佻何，则了矾，协，骗刨使nu 住， j i l ( i i i ) j ，觑饥) 个x ( 2 ) x 秒号x 秒 ( 3 ) 为辅助关系且u y ，v yju v v y ( 若u v v 存在) 4 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 2 完备格中的超逼近元 定义2 1 1 1 】完备格l 为超连续格当且仅当搬乱，x = v i ( x ) 命题2 2 1 1 1 若l 为超连续格，则 具有插入性质( 矾t 性质) ，即工勺嚼j z 芭 使x z y 定义2 3 设三为完备格，x 三称为超逼近元，x = v i ( x ) 令曰犯) 表示上的全 体超逼近元之集 命题2 4 对任一完备格l ，曰) 按照l 中的序是一完备格，且曰犯) 对l 中的 并运算封闭 证明 首先l 中的最小元0 曰) 其次设妒b ) ，则v ，妒，f v ( f ( ，) ) 又不 难证明 f ( 厂) f ( v 妒) ，对任一，妒成立这里假设 妒o ，由 v ( f ( v 妒) ) v 庀妒( v ( f ( 力) ) = v r 矿= v 妒及v 妒v ( f ( v 妒) ) 可得v 妒v ( f ( v 妒) ) 故v 妒b 犯l 从 而曰) 对上中的并运算封闭因此曰犯) 为完备格 命题2 5 设l 为完备格， 具有插入性质，则【- 上，存在唯一超逼近元曰 满足下列条件： ( 1 ) f p ) = f ， ( 2 ) “，f 0 归f jj ，b o ) 证明 v x _ l ，取b = v f ( 矽我们证明b 满足( 1 ) ，( 2 ) 且曰曰犯) 显然若 ( 1 ) 得证，则有b o ) b 犯) 由曰g 知f 但0 ) ) 啪假设a e 啪，即a x 由 具 有插入性质知，了6 乱使口_ 6 q 所以a b v i ( x ) ，口f ( v ) 故如) f 但) 即( 1 ) 成立现设f = f ，那么y v i ( ) ，) = v f = 曰? 显然满足( 1 ) ，( 2 ) 的元b 是唯一 的 定理2 6 设三为完备格，则工为超连续格当且仅当下述两条件满足： ( 1 ) _ 具有插入性质 ( 2 )v x ，y 三，石 哕车亭f o ) f ( y ) 5 江西师范大学硕士学位论文 证明必要性：由超连续格的定义可知 充分性：由命题2 5 可知v x e l ，存在唯一超逼近元b 使f ) ：f ，由已 知曰爿从而三中的任一元都是逼近元由定义2 1 知上为超连续格 命题2 7 设l 是超连续格，则眠y b ) ，x q 龇 曰) y 其中x 口c l ) y 表示 x y 在曰犯) 中成立 证明必要性：显然 充分性：设x ，y b ( l ) ，x 雄) y 下面证明x y 由y b ) 及b 犯) 的定义知 尸v f 由 具有插入性，劫三使x p y 令口= v f ) 。则a 9 且口。b ) 事实 上，由口+ 印秒知口秒成立下证口曰) 首先i ( a ) f p ) 另一方面，设w i ( p ) 即w p 由 具有插入性，3 w l 使w _ w l 印，这时w w l a 即w a 从而i ( a ) = f ) 显然口= i v f ( p ) = v i ( a ) ，故a b 犯) 由此我们可以得到尸v f ( y ) = v 伍岜秒) _ 口+ d 罗) ： 口秒 又因为v a y , 口s 口由x b ( l ) y = v i ( y ) 及口b ) 且b ) 中的并运算与三中 相同可知，了口秒使x a ) ，故工勺 定理2 8 设三为完备格，关系_ 满足插入性质，则曰仁) 为超连续格 证明 设6 口) ，那么b = v i ( b ) = v 协三：x 6 l ，v x i ( b ) ，存在使x c 6 这时有曰( c ) c o ) 6 且b ( c ) 为逼近元又x s 曰( c o ) ) ，显然有b ( ) 之口) b 这时6 = v 伽上：x b ) sv b ( c ) ：x b ) v t w b ( o ：y b ( ub ls6 从而b = v t w b ( l ) ： y n f l ) b 又雄) 中的并运算与三中相同故扣v 杪丑犯) ：) ， 丑( 上) 6 ，所以眦) 为超 连续格 定义2 9 t 1 5 l 范畴彳的子范畴曰称为在彳中是反射的，若包含函子殷曰一彳 有左伴随r 彳_ 曰；范畴a 的子范畴b 称为在彳中是余反射的，若包含函子彪曰 _ 彳有右伴随pa b 以下用彳表示以完备格为对象且 具有插入性质，保任意并和 的映射作为 态射的范畴而b 是彳中以全体超连续格为对象的满子范畴 定理2 1 0b 在彳中是余反射的 证明 设p 是彳中任一对象，由命题2 2 可知，b ( p ) 是b 的对象设j ：b ( p ) 一 p 是嵌入映射，以下证明( p ) ，力是p 中的b 一反射 6 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 首先证明，是p 中的态射事实上，因为口( p ) 对p 中的并封闭，故，：b ( p ) 一p 保任意并，由定理2 7 可知，保 关系，从而，是么中的态射 其次，设肘是超连续格，厂：m p 是任态射，我们证明存在唯一的a 一态 射h ：m b 使f = j o h 事实上，由厂：肘叶p 保任意并及 关系，v x e m 有 x = v y 彪y 电1 故_ ，m 欢v y e m ：y 电j ) = v 妙) ：y m x ) e e p ：e f i y ) j 驰) 所以 删= v f ( 7 ) 即氕x ) b ( p ) 从而口( 尸) 令h = f i 占则乃是a 态射且满足要 求另外，这样的映射显然是唯一的，由p 的任意性，定理得证 7 江西师范大学硕士学位论文 3 超连续d o m a i n 的基与权 定义3 1 设三为定向完备偏序集上称为超连续d o m a i n ，若诋直，f g ) 是 定向的，且v f 阴? 命题3 2 设工为d c p o ，v x ，y 乱 ( 1 ) l 为超连续d o m a i n ，当且仅当觇乱，存在定向d 使得悦 ( 2 ) 满足定向择一原则，即若d 定向且x v d 使得了拒d 使工 d ( 3 ) 若l 为超连续d o n i a i n ，则 满足( 玳t ) ，即石勺j j z 直使工也9 定义3 3 1 4 1 设d ，e 为偏序集，口：d - e 及p ：e _ d 为s c o t t 连续映射 ，p ) 称为d 与e 之间的一个口掰6 p 抛略础砌刀即现简称叩对，若p 。e - - - i d n ，e o p i d e 命题3 4 设d 为d c p o ，e 为超连续d o m a i n ，( p ，力为d 与e 之间的一个叩 对，则d 为超连续d o m a i n 命题3 5 【1 2 】设三为d c p o ，则下列条件等价： ( 1 ) 三为超连续d o m a i n ； ( 2 ) 三为连续d o m a i n 且旷犯) = 玑) ；， ( 3 ) v u e v ( l ) ，u = u i n t v ( l ) ? x ：x ； ( 4 ) 啦) 为完全分配格； 若三为完备半格，则上述条件等价于：一 ( 5 ) v x e l ，x = v i a ”x eu e v ( l ) 。 定义3 6 设三为超连续d o m a i n ，b _ c l 为三的一个基，若满足： ( 1 ) 垤出，n 曰定向 ( 2 ) 坛芭，x = s u p ( i ( x ) r 、g ) 定理3 7 设为超连续d o m a i n ，b 为的一个子集，则下列条件等价： ( 1 ) b 为三的一个基； ( 2 ) v x _ l ，j 定向子集d c _ i ( x ) a b 使x = s u p d ； ( 3 )v x ，y ，工乃3 d e b 使得工s d 叫； ( 4 ) v x ，y e l ，x y ，3 c l e b 使得工 d 妙； 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 ( 5 ) v x c = l ，j 定向子集d c b 使x = s u p d 证明( 1 ) 兮( 2 ) ：显然 ( 2 ) 号( 5 ) ：显然 ( 5 ) j ( 4 ) ：设x y ，由 满足( 盯) 性质可知，j z 工使x z y ，又由( 5 ) 知存在定 向子集d c b ，使z = s u p d ，所以x s u p d y 又x s u p d 知了d d 使工 以以下说明 d - y , 由s u p d , y 可推出j ，扬f t 犯) 个j l 归伽友肥) 下面则d y 即证 ( 4 净( 3 ) ：由( 4 ) 可知x 秒，3 d e b 使得x d - y 工 d 可推出d i n t u ( z ) t x c t x ，于是 工正即证3 d e b 使得x d y ( 3 ) 号( 1 ) ：执芭，令d i ，d 2 i ( x ) n b ，因为f 定向，所以3 m i ( x ) 使得函，d 2 - m 肌f 1 ，于是聊q j 由( 3 ) 得了挺召，所小则d i ( x ) n b 且d l ，d 2 - d , 这说明i ( x ) n b 定向再证x = s u p ( i ( x ) r i b ) 事实上，由f n 曰定向可知j 印( f n 功存在显然 s u p ( i ( x ) n 曰) g 另一方面：v y e i ( x ) ，y x ，由( 3 ) 可知了脚使得x s d 9f l p 3 d e ( i ( x ) r i b ) 使y - d , 因此x = v i ( x ) = v ( f r i b ) ，从而v ( i ( x ) n b ) = x 故刀为三的一个基 定理3 8 设三为超连读d o m a i n ，b 为的一个子集，则曰是的一个基当 且仅当协，y e l ，当) ，缸时3 b e b 使6 瓤且b y 证明必要性：设召为的基，则“，3 d c _ i o , ) n b ，d 定向使得y = s u p d 因 为j ，瓤，即v d 瓤，则了6 d 曰使6 缸由b e i ( y ) 知b y 充分性：v a i l ，令b a = b n i ( a ) ，则b c _ b ，玩c _ i ( 口) 故a 是悦的上界设c 为 玩的另一个上界，下证口s c 事实上，反设口荽c ，由条件可知了6 b 使6 篓c 且6 口 p , p 3 b e b a ，b e e 矛盾! 故a c 所以a 是玩的上确界，即a = v b d 再证玩是定向集设b t ，b 2 e b a ，则b t a ，6 2 _ 口由和) 是定向集可知q x e i ( a ) 使6 l ，6 2 9 再由x a = v b a 知3 b e b a 使x b ，从而石5 6 ，故b l ，b 2 6 ，所以玩定向 则b 为三的基 定理3 9 设三为超连读d o m a i n ，b 为三的一个子集，则占是l 的一个基当 且仅当k 4 l ) c _ b 且帆，y e l ，当y 瓤时了6 曰使6 瓤且6 $ ， 证明必要性：v * e k 4 l ) ，k k 成立由口是的基及定理3 8 知了6 b 使 k 6 岛则肛6 刀，所以疋( l ) c b v x , y z , ，由曰是三的基可知v ( f n b ) = y 若y 瓤， 则v ( f n b ) 荽x ，3 b e ( i o , ) n b ) 使6 缸且6 v ( f n b ) = y 充分性：v 口芭，令b a = b n i ( a ) ，则b 口c _ b 且玩f ( 口) 故a 是玩的上界设c 为 玩的另一个上界，t 证a s c 事实上，反设口篓c ，由v f ( 口阄知砂 乜使少篓c ，再由条 9 江西师范大学硕士学位论文 件知j 6 印使6 茎c 且b - y 由6 掣 口知6 f ( 口) ，又6 b ，所以6 玩，则6 c ，矛盾! 所以a 是玩的上确界，即a = v b o 再证玩是定向集设b l ，b 2 b ，则b l a ，b 2 a 由f ( 口) 是定向集可知3 x e i ( a ) 使b l ，b 2 立再由x a = v b 知3 b b a 使x b ，从而x 5 6 ，故b l ，b 2 5 6 ，所以玩定向 则口为己的基 推论3 1 0 设三为超连读d o m a i n ，b 为三的一个子集，则b 是三的一个基当 且仅当坛，j ，乱，当y 塾时j 6 口使6 缸且6 缈 定理3 1 1设三为超连续d o m a i n ，则下列两条件等价： ( 1 ) 曰为三的一个基； ( 2 ) v x e u v ( l ) ，了6 b 使得工觑0 旺) t 6 个6 u 证明( 1 ) j ( 2 ) ：显然 ( 2 ) = 亭( 1 ) ：、矿x 三，记d = - b b ，工f 阼啦) 个6 l ，贝0d c _ i ( x ) n b 首先证明d 定向v b l ，境d ，石沏矗弛) t 6 1 ) n ( 加厶肚) t 6 2 ) ，又由( 2 ) 知，j 如田，使 得x 伽讹) t 6 个6 ( 觑f t 肥) 个6 1 ) n ( 加厶犯) 个6 2 ) ，贝i jb l ，6 2 b 3 ，即d 定向 i 其次证明s u p d = - x 显然s u p d _ x 若反设x 薹s u p d ，则 石上、【s z 够d 抄犯) ，由( 2 ) 可知了6 丑，使石f 玎f 啦) t 6 下6 豇u j 印d ，则6 d ，从而 b s u p d 这与? b c l $ s u p d 矛盾即证s u p d = x 综上可知曰为超连续d o m a i nl 的基 定理3 1 2 设d 为d c p o ，e 为超连续d o m a i n ，( p ，p ) 为d 与e 之间的一个叩 对，若b 为e 的基，则p 为d 的基 证明e 为超连续d o m a i n ，( p ，p ) 为d 与e 之间的一个e - p 对，则d 为超连续 d o m a i n vu e v ( d ) 及x eu 则p o ) 印- 1 ( 矿( d = u 【d ，又由e 为超连续d o m a i n ，b 为e 的基，于是j f d 6 曰使酬夙s f c ? b c _ _ p _ 1 ( ，则工d + p ( 1 0 c _ 伽( 6 ) u 首先说明艇d 切假设3 z f , 使工印( z ) ，则如) 印立，这与e ( x ) ee j ，f 矛 盾，故x d 如下证d 切印伊) 任取y d 切，贝i j y s p ( z ) ( v z f ) ，从 而e t y ) 韶，则p ) n 上凡：个6 ，故6 p 于是p ( 6 ) 掣因此却( 6 ) 印) 使 x e i n t 啦3 p ( 6 ) 仞( 6 ) u 则p ( b ) 为d 的基 推论3 1 3 设d 为超连续d o m a i n ，k ：d d 为s c o t t 连续内核算子，b 为d 的基，则以口) 为即) 的基 1 0 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 下述命题的证明是直接的 命题3 1 4 设三为超连续d o m a i n ，啦) 为三上的上拓扑，则下列条件成立： ( 1 ) v u e v ( l ) ，u = u i n t v ( l ) t x ：x e ( 2 ) u c l 为上拓扑开集当且仅当v y e ur r e u 使工秒 ( 3 ) x y j 加札以为y 的一个领域 、 ( 4 ) i n t 以l ) ? x ：石乱) 为拓扑空间犯，啦) ) 的一个基 ( 5 ) i n t v ( l ) 仳：x 秒 为y 的一个领域基 定义3 1 5 设三为超连续d o m a i n ，令w ( l 户r n i n i b l ：b 是工的基l ，则称w ( l ) 为超连续d o m a i n 的权 定理3 1 6 设三为超连续d o m a i n , 则毗) u 当且仅当w ( l ，u ) ) ，这里 w ( l ，啦) ) 表示空间拓扑犯，啦) ) 的权 证明必要性：设毗) 山，则存在的一个基曰且旧i = 动，令户 觑厶弛f i b ： b e b ，则吲s 吲s c l j ，这时可以证明卢是拓扑空间，t ，) ) 的基由命题3 1 4 可知， 拥“弛) 仳：x e l 为拓扑空间犯，抄) ) 的一个基因此只需证明c 厶i n t v ( l ) ? x 可表示 成卢中若干成员中的并v y e i n t v ( l ) ? x ，工秒由丑为l 的基可知，j 如印使石 b 秒 这时易验证i n t , , ( l ) r x = u i n t v ( l ) 个以：以司，所啪是拓扑空间犯，啦) ) 的基，因此 w ( l ，啦) ) 用s u 充分性：设毗，t ，犯) ) u ，则存在拓扑空间，v ( l ) ) e e 的基p 且t a l c o ，又郑叩 中的每个对口= 1 ，也) 若j 6 厶使b 2 c ? b c _ b 2 ，则取定这样的元素b ，并记作玩 这样可以得到一个集b _ c l 且i b l c o ，这时可以验证口为上的基事实上，v x ，y 厶 若x y ，则y e i n t t ，( l ) 仳邮为拓扑空间犯，u 犯) ) 的基可知，j 曰l 印使y 风扬毳弛) h 这时由圬b 1 及b 1 为上拓扑开集知了“b 1 使u y 再由y i n t 眦) t u 及卢为，u ) ) 的基知j 疡尹使y 曰2 伽f 眦) t u ，则b z c _ i n t v ( t ) t “t ”b l 伽啦) 1 _ ，即曰2 个“b 卜由 曰的构造知：9 b 口曰使b 2 c _ ? b 口目由y 丑2 知3 v b 2 使 ，秒由个k 曰l 伽眦) 仳 知石 k 又由v e b 2 t k 知6 口，因此x - b 口 ，叫，即x b 口秒故曰为三的基，因 此f 眦) s i b i s 似 定理3 1 7设l 为超连续d o m a i n ，则毗) s 匠i 2 眦) 证明显然w ( l ) i l i ，只需证明忆i 2 江西师范大学硕士学位论文 事实上，设b 为三的一个基，且i b i - - w ( l ) ，v a c l ，由基的定义知弛a c _ b n i ( a ) 使a = v b 口，这时建立了一个映射厂：l 一2 口，其中v 口乱，贝口) 碱若口，6 乱且a q ：b ， 则以口) 钡6 ) 因为反之则有b a = b o ，即a = v b a = v b b = b 矛盾! 所以厂是单射，因此 i l i - 1 2 口i 2 旧i - 2 吣) ，由此可得哗) 忆l s 2 毗) 定理3 1 8设为超连读d o m a i n ，b 为三的一个基，则 切眦) t 6 ：b e b 是， u 旺) ) 的基 证明设口为的基且i b i = w ( l ) ，令舻 i n t v c l ) ? b ：b e b ，贝j j i f i _ i b i = w ( l ) v 陕 讹) ，由命题3 1 4 可知，u = u f f n t 吣) 仳：石叨跏以3 x e u 使x y 这时由口为三 的基可知，3 b ：b 使x b y y 记v = u i n t v ( l ) ? b y ：y u i ，则泸矿事实上：v z e u 3 y e u 使z i n t v ( l ) ty c _ i n t v ( l ) ? b y , 即z e f , 这说明垤矿反过来，由v 的构造可知： 若y e u 则以以即i n t “l ) ? b y c _ 以则琏uu = v = u i n t t e c ) t 匆：y e u i 因此 3 = n t v ( l ) t b ：6 田) 是仁，t ，) ) 的基 推论3 1 9 设三为超连续d o m a i n ，则w ( l ，啦) ) s 毗) 1 2 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 4 超连续d o m a i n 的特征 定义4 1 设三是超连续d o m a i n , x “若d x c _ i ( x ) ，协定( 司r v d x = x ，则称协 为x 的局部基 定义4 2设是超连续d o m a i n ，石乱，锄o ，l ) - - - r n i n i d x l ：岛是工的局部基) ， 则概o ，三) 为超连续d o m a i nl 中点x 的特征锄) = s u p l x ( x ，) ：工乱 称其为超连 续d o m a i nl 的特征记y 似眦) 为拓扑空间m 中点工晌特征，名( 皿) 为拓扑空间 m 的特征，其定义见文献【1 6 】 定义4 3 设工为超连续d o m a i n , 杀) u ，则称是第一可数的超连续 d o m a i n 下述命题的证明是直接的 命题4 4 设三是超连续d o m a i n ，x e l ，则下列条件成立： ( 1 ) 若j 有局部基，则f 为x 的最大局部基 ( 2 ) 若z 电且a 为x 的局部基，则x - d x ( 3 ) 若j q 则 x 为j 的局部基，臣眈o ，三) = 1 ( 4 ) 若工现且取，岛分别为毛j ，的局部基，则岛上风 命题4 5 设上为超连续d o m a i n ，口吐且d c _ i ( a ) ，则d 是a 的局部基当且仅 当v c ef ( 口) ，3 d _ d 使c 正 证明必要性：v c i ( a ) ，c a 由三为超连续d o m a i n ，d 是a 的局部基则a = v d 由定向择一原则，：l d d 使c z 充分性：先证明d 为定向集设d l ，如d 则西 口( 卢l ，2 ) ，由f ( 口) 定向可知3 b e i ( 口) 使d l ，, t 2 s 6 ，又由条件q d e d 使6 反即j d d ，d l d 2 d 故d 是定向集显然 口= v f 位) v d 口，则a = v d 即d 是a 的局部基 命题4 6 设三为超连续d o m a i n , 口直且d c _ i ( a ) ，则d 是a 的局部基当且仅 当d 定向且垤乱，若口瓤则了挺d 使姆 江西师范大学硕士学位论文 证明必要性：显然d 定向，又由a = v d 知，若d 瓤，则j d d 使d 缸 充分性：证明a = v d 即可v d _ a 显然若口苎v d ，则j d d 使畦v d ，矛盾! 故 a = v d ，所以d 是a 的局部基 命题4 7 设三为超连续d o m a i n ，口三且d c _ i ( a ) 贝j jd 是a 的局部基当且仅当 v x ，若x e i ( a ) ，贝归d d 使x d 证明必要性：由命题4 6 可知 充分性：先证明d 为定向集设d l ，如d 则西 口( i = 1 ，2 ) ，由f ) 定向可知j 6 f ( 口) 使d l ，d 2 _ b ，又由条件j d 印使6 s 正即j d d ，d t ，d 2 _ d 故d 是定向集易见 a = v i ( a ) _ v d a ，则a = v d 即d 是a 的局部基 定理4 8 设三为超连续d o m a i n ，贝o x ( l ) - w ( o 证明设曰为超连续d o m a i nl 的基，且i b i = w ( l ) 坛“，令岛书n f ，则毋 定向，x = v b 工故毋为x 的局部基，从而_ o ，l ) _ i b a _ i b i = w ( l ) 由x 的任意性可 知：z ) s w 犯) 定理4 9设为超连续d o m a i n ，贝忱犯) = x ( q 乙) 证明 首先证明x ( n z ) - x ( z ) 协直，存在z 的局部基d 使t d i - x ( l ) ，令 f l = i n t u ( l ) t y ：y e d 下面证明p 为m 中x 的一个领域基首先i n t v ( l ) ? y c _ v ( l ) ；其次 v u e v ( l ) ，若x e u = u i n t v ( l ) 个“：u e 且x = s u p d ，则s 印d 【厂- u 伽勺) 个“：u 6 u i ，所 以：l u u 使s u p d i n t u c t ) 个“，即u s u p d 由定向择一原则：了“u 使) ，加矗旺) t “，即 x e i n t v ( l ) 砂u 故卢为工的领域基，则彤似d 忆) - i d i x ( l ) ，由j 的任意性可知 x ( n z ) - x ( l ) 再证0 ) 瓠( q 已) y x e l ，存在u 犯) 中z 的一个领域基卢使i b l - x ( t l l ) v u 邵，由石u 且【，为上拓扑开集，3 y e u 使x e i n t v ( 1 ) t y c _ 个y c u 取这样的y 记着 ) ，u 设d = t w , u 邵 下面证明d 为j 的一个局部基首先d 中元素的取法可知 d c i ( a ) 其次v z i , ，若z q 则有x 6 i n t v ( l 1 t z ，由卢为x 的领域基可知，3 u 1 3 使x e u c _ i n t v ( l l t z ，又由u 为上拓扑开集，3 y eu 使x 6 i n t v ( l ) 砂砂c _ u c _ i n t v 但) ? z ，从而3 y ：_ d 使z y v , 由命题4 5 可知，d 是超连续d o m a i nl 中点z 的局部基蚍g ， 三) s p i _ 归i - - - x ( f l l ) 由x 的任意性有x ( l ) - x ( n z ) 从而在超连续d o m a i nl 中 z ) 习( q 已) 推论4 1 0 设三为超连续d o m a i n ，工芭，贝忆o ，三) 习o ，n l ) 1 4 超连续格和双s c o t t 拓扑若干问题的研究 命题4 1 1设三为超连续d o m a i n ，则三是第一可数的超连续d o m a i n 当且仅 当仳是第一可数的拓扑空间 江西师范大学硕士学位论文 5 拟超连续d o m a i n 与拟超代数d o m a i n 定义5 1 【1 3 】设三为一个d c p o ( 1 ) 称为拟超连续d o m a i n ，若协“，u e v ( l )