（理论物理专业论文）中性粒子在ioffe阱中的经典运动.pdf

湖南师范大学硕士学位论文 o 1中文摘要 中性粒子的磁囚禁是近年来研究的一个重要课题，具有磁矩的 中性粒子由于受到场的作用力，在特定的条件下可以实现对它的囚 禁。我们首先讨论了几种基本的静磁阱的结构，对其中的场进行了 精确计算，并在近轴条件下，利用级数展开等方法导出了场的近似 表达式，这种近似有利于经典和量子轨道及对称性的研究。对i o f f e 阱来说，因其能对中性粒子实现稳定囚禁而成为一种倍受关注的磁 阱。若只讨论阱中的近原点区域时，阱中的磁场可以呈现出一种简 洁的形式，人们把它称为理想i o f f e 阱。磁矩肛反平行于磁场的中性 粒子在阱中与磁场发生相互作用，借助相互作用势，可以获得粒子 在阱中的经典运动方程。在一定的近似条件下，我们可以采用逐次 近似的方法，使方程简化，其中三个分量式中关于z 的方程比较容 易求解，而关于x 、y 的方程则演化为我们熟悉的马丢方程的形式。 若阱的参数设置使得条件a q 0 成立时，我们可以利用传统的 w h b j 方法近似求解马丢方程。作为一种新的尝试，本文还采用傅立 叶级数展开的办法来对马丢方程进行求解，从而得到中性粒子在阱 中的经典运动规律。在研究i o f f e 阱对中性粒子的囚禁问题时，实际 上我们更感兴趣的是马丢方程的周期解，而要想获得这种周期解， a 和q 必须满足一定的关系，亦即必须选择阱的特定的参数和粒子 的特定初始条件，对这一问题我们进行了尝试性的研究。 关键词：中性粒子囚禁i o f f e 阱马丢方程w k b j 方法微扰近似法夫洛开解 i i 湖南师范大学硕士学位论文 0 2 a b s t r a c t t h es t u d yo ft h em a g n e t o s t a t i c t r a p sf o rn e u t r a lp a r t i c l e si s o n eo f t h em o s ti n t e r e s t i n gs t u d i e sa t p r e s e n t i nt h i sp a p e rw es t u d ys o m eb a s i c a n ds i m p l em a g n e t o s t a t i ct r a p s i nc y l i n d r i c a lc o o r d i n a t e sf r a m e ，b yu s i n g b l o t s a v a r ti a wa n do t h e rt e c h n i q u e s ，t h eg e n e r a lf o r m u l a so ft h e s ef i e l d sa r e g i v e n f r o mt h ee x a c te x p r e s s i o no ft h ef i e l d ，w eo b t a i nam u l t i p o l ep o l y n o m i a le x p a n s i o n ，a n du n d e rt h ep a r a x i a lc o n d i t i o nw ef u r t h e r m o r eo b t a i nt h e a p p r o x i m a t ee x p r e s s i o n t h ei o f f et r a p ，c o n s i s t i n go ft w oc o i l sw i t hp a r a l l e l c u r r e n t sa n df o u rs t r a i g h tc o n d u c t o r sw i t hc u r r e n t si na l t e r n a t i n gd i r e c t i o n s ， i so n eo ft i l em o s ti m p o r t a n tt r a p s ，w es p e c i a l l ys t u d yt h ef i e l ds t r u c t u r eo fi t b yu s i n gb o t ht h ee x a c te x p r e s s i o na n dam u l t i p o i ep o l y n o m i a le x p a n s i o nt h a t f a c i l i t a t e ss t u d i e so fc l a s s i c a lo rq u a n t u mo r b i t s i ft h er e g i o nn e a rt h eo r i g i ni s o f i n t e r e s t ，w em a y o b t a i nas i m p l ee x p r e s s i o no ft h ef i e l da n dt h i sc o n f i g u r a t i o n m a y b ec a l l e di d e a l i z e dl o f f et r a p w ec o n s i d e ran e u t r a lp a r t i c l ew i t hm a g - n e t i cm o m e n tpa n t i p a r a l l e lt ot h ef i e l d w i t ht h ei n t e r a c t i o np o t e n t i a le n e r g y b e t w e e nt h em a g n e t i cm o m e n to ft h ep a r t i c l ea n dt h em a g n e t i c f i e l d ，w eo b t a i n t h ec l a s s i c a lm o t i o ne q u a t i o no ft h en e u t r a lp a r t i c l e si nt h ei o f f et r a p i ns o m e l i m i tc o n d i t i o n s ，b yu s i n gt h ep e r t u r b a t i v em e t h o d ，t h e e q u a t i o n sm a y t a k eo n c o n c i s ef o r m s ，o fw h i c ht h et w oe q u a t i o n sa b o u tza n dya r em a t h i e ue q u a - t i o n si fw ep r o p e r l ys e tt h ep a r a m e t e r sa n dh a v et h ec o n d i t i o na q 0 ，w e c a ns o l v et h em a t h i e ue q u a t i o nw i t ht h et r a d i t i o n a lw k b jm e t h o d a san e w a t t e m p t a t i o n ，w i t hf o u r i e rs e r i e se x p a n s i o nw es o l v et h em a t h i e ue q u a t i o na n d o b t a i nt h ec l a s s i c a lm o t i o nl a wo ft h en e u t r a lp a r t i c l e s k e yw o r d ：l o f f et r a p ：n e u t r a lp a r t i c l e ，m a t h i e ue q u a t i o n ，w k b j n l e t h o d ，f o u r i e rs e r i e se x p a s i o nm e t h o d ，f l o q u e ts o l u t i o n 湖南师范大学硕士学位论文 第一章绪论 从事精密测量原子及其他中性粒子参数和研究它们的细微结构 及其微弱相互作用的物理工作者，包括从事高分辨率激光光谱、原 子碰撞和量子频标的研究人员，都渴望得到一种能使粒子处于静止 和无相互作用的理想状态，这就对包括中性粒子在内的粒子的冷却 和囚禁提出了技术上的要求 1 1 。随着近年来玻色一爱因斯坦凝聚1 2 i 这一领域的迅速发展，粒子的冷却和囚禁吸引了不少物理学家的兴 趣，理论和实验都已做出显著成绩，有的研究成果已展现出应用前 景，这是一个值得追踪的领域。 早期对中性粒子的冷却和囚禁通常是采用激光技术【3 14 ，5 ， 利用光子在吸收和辐射时产生的动量传递来冷却和囚禁中性粒子。 譬如，借助于与原子跃迁处于适当调谐的激光，可使原子样品冷却 到一个极低温度，从而实现原子的囚禁，并进而实现对原子的精确 操纵。 尽管离子囚禁限8 ，9 1 、囚禁离子的激光冷却i l o ，1 1 、囚禁离子 的光谱学已经出现多年i 埘，】，但中性粒子的囚禁还是一个相对新 颖的领域，直到1 9 8 5 年人们才第一次实现了中性粒子的囚禁1 1 4 1 。 中性粒子的囚禁依赖于一个非均匀电磁场与粒子的多极矩之间的相 互作用。由e a r n s h a w 理论可知，一个静电场不可能稳定地囚禁一个 带电粒子，但只要粒子具有电偶极矩，就能实现对它的囚禁。而未受 扰动的原子不具有电偶极矩，因此电囚禁需要诱导电偶极矩，这可 由近共振光场来实现，此即人们常说的光学囚禁 1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 j 。 另一方面，许多原子及中子等却具有基态磁偶极矩，这为实现磁场 对它们的囚禁提供了可能。 1 9 2 4 年，s t e r n g e r l a c h 实验第一次阐述了非均匀场对具有磁矩 的中性粒子的力的作用。这一现象在上世纪五十年代被广泛用于原 子柬的聚焦和原子态的选择上。在非均匀磁场中，一个具有磁矩“的 中性粒子由于受到场和磁矩之间的相互作用力，从而能够被拘禁。 这个力为f v ( ub ) = 一( v l b i ) c o s ( u ，b ) 2 0 ，2 l 2 2 1 。 2 湖南师范大学硕士学位论文 w p a u l 最初提出的磁阱是一个由载有相反方向电流的两相同线 圈组成的四极阱，这种阱是所有可能磁阱中最为简单的一种，其中 心电场为零。当线圈之间的距离是线圈半径的1 2 5 倍时，这种阱 具有相等的径向和纵向深度，由于具有实验上的简明性，使得它引 起了人们广泛的兴趣。阱中的场满足关系式| b f = a 、历巧乃，其中 卢2 兰z 。+ y 。，a 为常数，是场的梯度。显然，过原点沿任何方向的 场的梯度为常数，但沿不同方向场的梯度有不同值，因此，限制粒 子的力f = 一v ( p b ) 既不是简谐的，也不是向心的，角动量是不守 恒的【23 1 。 i o f f e 阱是一种可以实现中性粒子稳定囚禁的静磁阱，因而引起实 验上和理论上的高度重视。它是由两个同轴的通有同方向电流的线 圈和四根对称分布并通有方向呈交错状分布电流的长直导线组成， 如图1 1 所示。 霪。 图1 1 ：i o f f e 阱的结构示意图 i o f f e 阱被广泛地使用于中性粒子的囚禁技术中【7 ，抖】。因为它 具有非零极小值，甚至于最冷原子的拉摩频率都可以远大于轨道频 率，即u r ，其中“；= ( # b ) h 是拉摩旋进频率，u r 是粒子运动 的轨道频率。这样，粒子的自旋反转跃迁的机会会显著减少，可以 实现粒子的稳定囚禁。由于场和磁矩的相互作用依赖于它们之间的 角度，当原子在阱中运动时，磁矩相对于场的方向必须保持不变， 否则，粒子将不是被囚禁而是被推开。 借助毕奥萨伐尔定律，容易求得i o f f e 中磁感应强度的精确表 达式 2 5 1 。由于该表达式中含有第一、第二类椭圆积分，不便于进 行进一步研究。但如果我们所讨论的问题仅局限于原点附近，可以 对场进行泰勒级数展开，得到一个场的简明的近似表达式【2 l ，2 6 】， 该静磁阱被称为理想i o f f e 阱。考虑一个磁矩弘反平行于场的中性粒 湖南师范大学硕士学位论文 子置于理想i o f f e 阱中，在强场的条件下，我们可以考虑采用经典近 似，而不考虑量子效应。借助相对于阱中心的相互作用势，能够得到 中性粒子的经典运动方程f 2 7 。由于相互作用势比较复杂，这时的经 典运动方程用常规的方法是不可能求解的但在某些极限条件下， 如粒子的能量低于鞍点处的势能，粒子的能量远小于阱中的z e e m a n 能量等，我们可以将势能展开为坐标变量的幂级数形式，可以看出 一般情况下，各自由度之间是相互耦合的，但若轴向频率远小于极 平面方向的振动频率u ：u 。，粒子的能量远小于阱中的z e e m a n 能 量时，耦合很弱。我们可以略去高阶项，只保留二次、三次项，就能 获得运动方程的可以求解的形式采用逐级微扰近似法，可以看出 在三个分量方程中，关于坐标z 的方程容易求解，而关于坐标。、y 的方程在取一级近似时演变成马丢方程瞄跚。求解马丢方程也是一 项很复杂的工作，但若阱的参数及粒子的初始条件使得马丢方程的 参数a 、q 满足条件a q o ，可采用量子力学中惯用的w k b j 近 似方法来求解。本文还尝试引入一种新的方法，即利用微扰近似法 求解马丢方程，从而获得粒子在阱中的运动规律。实际上，对于中 性粒子的囚禁，人们主要关心的是粒子在阱中稳定的周期运动解， 即半周期解( 周期为2 ”) 和全周期解( 周期为丌) ，而要想获得这 种周期解，a 和q 必须满足一定的关系( 满足这种关系的a 叫做马 丢方程的本征值) ，而a 和q 是由阱的的参数和粒子的初始条件确定 的。因此文章的最后，我们研究了在怎样的阱参数和粒子运动的初 始条件的选择之下，才能获得我们所希望的周期性夫洛开锵。 本文主要研究了中性粒子在理想i o f f e 阱中运动，讨论了在强场 条件下近轴情况时具有磁矩的中性粒子在阱中的经典运动方程，通 过逐级微扰近似法，借助马丢方程，导出粒子的经典运动规律。本 文的安排如下：在第二章，我们展示了几种基本的静磁阱，它们是 构成其他复杂磁阱的基础。第三章，我们着重讨论了i o f f e 阱中的磁 场结构，并导出近轴时场的表达式。第四章：我们对中性粒子在阱 中的运动进行了详细的讨论，并在一定的近似之下对粒子的运动方 程进行求解。第五章：我们对全文作了简单的总结和讨论。 湖南师范大学硕士学位论文5 第二章 几种基本静磁阱中的磁场结构 对于单一的长直电流，若取。轴平行于电流建立柱坐标，则点 ( p ，z ) 处的磁感应强度的各个分量为f 2 5 】： b ：= 0 ， b 口= b e = 一世 曼! 垫! 尘二竺1 2 r s 2 + p 2 2 u c p c o s ( 妒一1 丝竺二兰! ! 墅尘二竺2 2 7 c s 2 + p 2 2 s p c o s ( 曲一d 1 ( 2 1 ) 其中s ，口是载流导线的坐标，并且我们已规定b 沿径向向外为正、 向内为负，岛沿逆时针方向为正、沿顺时针方向为负( 下同) 。 对于半径为r 的环形电流，以其对称轴为z 轴，并使圆心处于 。= a 处建立柱坐标，场点( p ，妒，。) 处的磁感应强度为： b e 2 0 ， ( 2 2 ) b 2 = 等而葡南瞰+ 两r 2 _ 研p 2 研_ ( z - a ) 2 踯2 ) 】， b p 2 是而毒等葡m 舻) + 筹黼粥】， 其中k 和e 分别是完全椭圆积分的第一、第二种形式，而 女2 = 面再厅4 r 孺p ( 2 3 ) 由以上讨论，结合场的叠加原理和级数展开知识，可以进一步分析 各种静磁阱中的场的特征。 2 1线四极阱中的磁场 若四根长直导线对称地分布于一个柱面上，电流方向呈交错分 布，大小为，取柱面的中心轴为。轴，并使极轴过一根导线位置， 容易得到此四极场中导体外部的磁感应强度的各分量为： b 。= 0 ， 6 湖南师范大学硕士学位论文 马一等塾。r 1 蕊器糕糟碧丽 ， a ) 风= 等萎4 “考蔷簇斋糯一 由( 2 4 ) 式，我们可以来讨论该场的一般特性。对于一个给定的p ， b = 、：虿了葛随毋的变化如图2 1 所示( b 的标度为肛，2 丌s ，以下图 2 2 、图2 4 、图2 5 均以此为标度，图2 3 以, a i 2 1 r s 2 为标度，而图2 6 是以# i 2 7 r 争) ，四条曲线血，b 矗d 分别对应于p 为o ，9 s ，0 ，7 s 、0 5 s ，0 3 s 图2 1 ：p 确定时，b 随曲的变化 曲线显示，p 越大，b 随妒的波动越大。在靠近导线的地方， 即= 0 、丌2 、7 f 、3 一- 2 时，口值最大，而在相邻导线的中间方 位，即= 7 r 4 、3 丌4 、5 a 4 、7 7 r 4 的方向，b 值最小。当p 减 少时，b 随庐的波动减少，当p 减少到大约0 3 s 时，b 随的波动 很小，以至于可以认为b 不随曲而变化。 对于一个给定的西，b 随p 的变化如图2 2 所示。 圈2 2 ：咖确定时，b 随p 的变化( p 以s 为标度) ，氛b 分别对应于西为。 和”4 湖南师范大学硕士学位论文7 可以看出，在p 较大处，两曲线的差异较大，这进一步证明了 b 随的波动较大，而在p 较小处，两曲线的差异较小，b 随p 的 变化几乎是一次线性的。 当p s 时，可以获得场的近似表达式，将( 2 4 ) 式中b 。、 岛对p 在零点处做泰勒展开，取二级近似，可得： b p = - 磊2 # i p s i n ( 2 毋) ， 凰= 一裂p c 。s ( 2 咖) ， ( 2 5 ) b = 孬2 # i p 上述结果表明，在近轴条件之下，b 随p 的变化是一次线性关 系b p ，而b 。、b 4 随妒的变化呈现出正、余弦周期性，图2 3 显示了此时场的特征。 b 图2 3 ：线四级阱中的场的特征 5 2 2线六极阱中的磁场 对于六根对称地分布于一个柱面i 的长直导线，通以方向呈交 错分布、大小为j 的电流，我们可以按照与上节相似的方法，得到 此六极场的磁感应强度的各分量： b ：= 0 8 湖南师范大学硕士学位论文 驴一等妻”妒屯碌剖糕高，。， 驴筹甄7 z = l 矿1 群篙裳# 拦一 同样，我们可以做出在不同p 值时b 随曲的变化曲线如图2 4 所示。在不同咖值时b 随p 的变化曲线如图25 所示。 图2 4 ：p 确定时，b 随的变化关系，其中a 、b 、c 分别对应于p 为0 9 s 、 o 7 s 、o 5 s 的情况 图25 ：妒确定时，b 随p 的变化关系( p 以s 为标度) ，其中a 、b 分别对 应于咖等于0 和”6 时的情况 司以看出上- - d , 节的一些结论在此f 司样成立，而且司1 , 2 注惹到， 当p 小于0 5 s 时，b 随的变化很小，而b 随p 的变化呈现出二次 关系b 一矿。 同样我们可获得在近轴条件下，场的近似表达； b p = 一。3 # 。1 3 。1 + 2 c 。s ( 2 ) s i n 矿， 协= 一7 r 3 , m s 3 r 。- 1 + 2c o s ( 2 西) c 。s 毋p 2 ，( 27 ) b = 器矿 ，一一 j，j i八一一 垩=i二_二j八一一j八一燮 湖南师范大学硕士学位论文 9 b 图2 6 ：线六级阱中的场的特征 5 显然b 随p 的变化是二次关系，而b ，、b 随咖的变化呈现出 比四长直导线情况下稍微复杂一点的周期性，但由图2 5 可以看出 b = 务3 u l p 2 对于ps0 6 s 的区域都成立，因而它比线四极阱有更大的 囚禁区域。此时场的特征如图2 6 所示。 2 3圆四极阱中的磁场 我们这里只讨论两同轴圆环半径相同，且电流强度相等时的情 况。首先，我们考虑两环的电流方向平行。以两环共同的中心轴为 z 轴，使两环的中心点的坐标为士a ，建立柱坐标，由( 2 2 ) 可得 场点( p ，。) 的场的三个分量为： b e = 0 ， b z = 券而葡南瞰确删确 i ；：j 描 + ：7 e 蠢乏i ；南【k ( t 腔)面；厅赫 + 顶丽丽军丽陋( 1 十斋揣) 】 ， ( 2 s ) 岛2 筹而高褊m 妒) 删确 i ；! = ：；端】+ ：7 百荤亏；| 褊【_ k ( e 。) 1 0 - 湖南师范大学硕士学位论文 + 筹筹耻m 其中 舻= 两蒜 ( 2 9 ) 图2 7 描述了b 的等值图，其中b 以2 7 r 为标度( 以下图2 8 、 图2 9 、图2 1 0 均同) ，参考某些静磁阱的实际参数，作图时我们已 取j 4 = o 6 2 6 c m 、r = l c m 。 图2 7 ：电流平行时圆四级阱中b 的等值图 利用泰勒级数展开，可以得到在近轴条件下( 2 8 ) 式的近似表 达式( 取二级近似) 【2 6 】： b 。= b o + b 2 ( z 2 一p 2 2 ) ， b p = 一b 2 z p ，( 2 1 0 ) 其中 鼎 62：3#ir(4a2-r2)(21112(r2a 2 ) 7 2 上 ， 近轴条件下b 的等值图见图2 8 。 我们可将上述讨论推广到两环中的电流反平行的情况，此即有 湖南师范大学硕士学位论文 1 l 图2 8 ：电流平行时圆四级阱中，近轴条件下b 的等值图 关文献中讨论较多的四极阱，最初是由w p a u l 提出，是一个由载有 相反方向电流的两相同线圈组成的，这种阱是所有可能磁阱中最为 简单的一种，其中心电场为零。当线圈之间的距离是线圈半径的1 2 5 倍时，这种阱具有相等的径向和纵向深度，由于具有实验上的简明 性，使得它具有一定的吸引力。注意到两环中的电流方向相反，可 以得到此时阱中场的精确表达式 b；=丝1焉亍杀；f=需瞄(七2)+e(k2)2 4 一z r 。抓丽丽耳下= 酽p u “ 筹端卜而赫邶2 ) + 筹端艄 ) i ( 2 1 2 ) 耳5 筹而焉褊卜鼍固攀固 筹端，一而浠 i - k ( 妒) + 筹揣跗) 】) 12 i 湖南师范大学硕士学位论文 其中 图2 9 ：电流反平行时，圆四级阱中b 的等值图 同理在近轴条件下，场的近似表达为 b z = b l z + b 3 ( z 3 3 z p 2 2 ) ， b p = 一b l p | 2 3 b 3 ( p z 。2 + 孑s ) 1 卜高， 黼a - 可做出在近轴情况下的等值图如图2 1 0 所示。 图2 1 0 ：电流反平行时，圆四级阱中近轴条件下b 的等值图 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 湖南师范大学硕士学位论文1 3 2 4圆六极阱中的磁场 为简单起见，我们这里只讨论下述情况，三线圈等半径，通有 同样大小的电流，且中间线圈的电流方向与外部两线圈的电流方 向相反。取共同轴线为z 轴，使中间线圈的中心处于= ：0 处，而外 部两线圈的中心位于。= 士a 处，建立柱坐标，由( 2 2 ) 式可得场 的各分量为： 其中 玩2 券而两毒萨面畔 2 ) 帕( 妒) 筹籍高 + 而靠 ，( 2 ) + 筹粼酽) 】 ( 。1 5 ) 一焘删，2 ) + 篇洌，2 ) m b 2 筹而高褊m ( “( 固 筹端，+ 而蒜 - k 2 ) + 筹黼e ( k a ) 】 一了彳 南 一( ”2 ) + e ( 帕) 踹】， 。：两等毛 ( 2 1 6 ) 8 一面i 瓣 6 j 按照类似的方法，可导出在近轴条件下场的近似表达的形式与 ( 2 1 3 ) 式相同，只是其中的常数6 。和b 。取代了( 2 1 3 ) 式中的“。 和b 3 ，且为： 6 0 = j 肛兄i 。f ( 兄2 + 2 r a 3 可硒一1 ， 1 4 - 湖南师范大学硕士学位论文 b 2 2 丽看 丽 、冗2 + - 2 ( a 6 十3 a 4 砰+ r 6 + 3 a 2 r 4 ) 一2 r 7 + 8 a 2 r 6 ( 2 1 7 ) 以上，我们得出了几种基本的静磁阱中磁场的精确表达式，并得出 了很方便用于对称性研究以及经典、量子轨道研究的多极展开式， 在近轴条件下，我们可获得场的近似表达，这对于中性粒子的磁囚 禁是很有意义的。鉴于本文的篇幅，我们不能穷尽对所有的静磁阱 的讨论。实际上，我们可以推广以上的讨论到线性n 极静磁阱的情 况，对于这种所谓的n 极场，场的各个分量为： 日2 2 0 ， b ，= 一券 ( 一1 ) ”1 鬲篙2 坚p sco祟s2。-(n1 ) n ， ( 21 8 ) 矿+ s 2 一 一一 】 、1 b e = 筹f ( 一1 ) ”1 生二兰! ! 业二! ! ( 翌= ! ! 幽、 矿+ s 2 2 p sc o s f 咖一2 z ( n 一1 ) n r 对于环形电流所构成的静磁阱，我们同样可以讨论更复杂一些 的组合，如环的半径不等、环中电流不同等情况，若将三个不等半 径的环形电流按一定的规则置于球面上，可以构成所谓的球六级阱 等。而静磁阱中著名的i o f f e 阱则是由直线电流和环形电流组合而成 的，本质上就是一个线四极阱和一个圆四极阱的合成。接下来我们 来进步研究i o f f e 阱的情况，以获取中性粒子在阱中的运动规律。 一 湖南师范大学硕士学位论文1 5 = = = ! = = 2 1 1 = = = ! = = = = ! = = ! = = e 一一 第三章i o f f e 阱中的磁场 i o f f e 阱是一种重要的静磁阱，它是由两个同轴的通有同方向电 流的线圈和四根对称分布并通有方向呈交错状分布电流的长直导线 组成，如图1 1 所示。由于它具有非零极小值，即使是最冷原子的拉 摩频率都可以远大于轨道频率，这样，粒子的自旋反转跃迁会显著 减少，可以实现粒子的稳定囚禁。 3 1 i o f f e 阱中的磁场的精确计算 i o f f e 阱中的磁场可看做是两部分叠加丽成，n - - 是由n + n n 的半径为冗，载有相同的电流，。的线圈产生的。它实质上就是一种 圆四级阱，其作用就是实现对中性粒子的z 向囚阱。以共同的对称 轴为。轴，两线圈置于z = 士a 处，可以得到这一部分场的三个分量 为： 其中 且d 1 = 0 ， b 。= 筹 抓再可两下= 砰孵，+ 筹端 加( 翰】+ 而蔫南吲舻) + 筹端耶，2 ) 】) ) ( 3 ，) 易- 2 筹而毒睾面m 妒) + 筹端 姬渺) 】+ 而高褊m 瞬2 ) + 筹瓣础，2 ) 】 ( 兄一) 2 + ( g + a ) 2 u v “川o 7 2 = 面再丽4 r 丽p ( 3 2 ) 1 6 湖南师范大学硕士学位论文 另一部分为四根i o f f e 棒产生的场。四根i o f f e 棒对称地分布于z 轴周围，距z 轴的距离为s ，通有电流大小为j ：，方向呈交错分 布。它实质上就是一个线四级阱，其作用是实现对中性粒子的径向 囚禁。由前一章的讨论可知该部分磁场的三个分量为： j e 乙2 = 0 b p 2 = - _ 等善4 “再差糍裂器丽) ( 3 。) 驴百m 24 白“爵筹尝# 犏， 耻筹而蠡删) + 筹端 加渺) + 而葡南瞰妒j + 筹端耶) ， 驴笨而焘m ) + 筹锱 e ( t 2 ) + 了彳元亏i 参褊 一艮( 2 ) + 毒拿兰 揣 洲2 ) ) 一等壹i 万筹铽裂罄丽) ，= 1 驴万p 1 2 萎4 菇筹蒜# 拶一 江a ， 3 2 理想i o f f e 阱中的磁场 对于i o f f e 阱中的磁场，如果问题仅局限于原点附近，即r ，其中r 为坐标矢量，风是阱的特征尺寸，包括线圈的半径、两 线圈之间的距离及四根i o f f e 棒到轴的距离等。、我们借助泰勒级数展 湖南师范大学硕士学位论文 1 7 开，并做二级近似【2 7 1 ，可获得近原点附近，阱中场的近似表达式 其中 b ：= b o + 2 ( z 2 一p 2 2 ) b p = 卢z p 十p c d s ( 2 毋) ， b d = c r p s i n ( 2 ) ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 耻高斋，卢= 等，o - = 丽2 # 1 2 s ， 我们称这种静磁阱为理想i o f f e 阱。 湖南师范大学硕士学位论文 1 9 第四章中性粒子在理想i o f f e 阱中的经典运动 4 1 1原子的磁矩 4 1 中性粒子的磁矩 处于磁场中的原子的能量本征值与磁场有关，反映了原子具有 磁矩 2 0 - 2 1 1 。原子的磁矩可以理解为由两个部分组成，其中依赖于 外磁场的部分通常称为感生磁矩，本质上是由拉摩旋进所产生的附 加磁矩。与磁场无关的部分称为固有磁矩，它又可以分为轨道磁矩 p l 和自旋磁矩船两个部分， 灿c 一熹l ， 其中，e 为电子的电量， 量和自旋角动量。 卢s ：一三s ， m m 为电子的质量，l ， ( 4 1 ) s 分别为轨道角动 在l s 耦舍的情况下，可以证明总磁矩幻与总角动量j 存在 下述关系： 肛j = 一卯丽e j ，( 42 ) g 。称为朗德因子，常称为g 因子。 4 1 2中子的磁矩 引入粒子的磁矩算符 血= - g z l g s s 对于中子，其自旋为危2 ， 磁矩为 舻。9 1 3 轰， 其中为中子质量。 ( 4 3 ) g 因子为9 f _ o , g 。= 一3 8 2 6 ，其内禀 ( 4 4 ) 2 0 - 湖南师范大学硕士学位论文 的 在实验上测量的磁矩是由单粒子磁矩公式，即s c h m i d t 公式确定 p = g t j + ( g 。一g e ) 2 ，j = 工+ 1 2 ， p = 肌j 一南( 乳一州2 ， ，= 三一1 2 ( 4 司 对于中子，显然 “一m - 。轰， 州m 。南舞 ( 4 6 ) 在这篇论文中，为了简便，我们不涉及中性粒子的具体种类， 不涉及中性粒子的内部结构，只将它视为不带电荷，且具有磁矩为 舢的一种抽象化粒子。 4 2中性粒子在理想i o f f e 阱中的经典运动方程 对于磁矩平行于磁场的粒子，由于它在磁场中的取向能为正值， 即场和粒子之间表现为相互排斥作用，粒子不可能被约束于i o f f 阱 中。因此我们考虑一个质量为m 磁矩为p 且反平行于场的中性粒 子，粒子磁矩与理想i o f f e 阱中场的相互作用势u ( r ) 为 u ( r ) = p 【b ( r ) b o 】 其中b ( r ) 为磁场的模 ( 4 7 ) _ b ( r ) = 【( b o + 卢z 2 ) 2 + ( 0 2 一卢b o + 2 c l f l z c o s ( 2 毋) ) p 2 + p 2 p 4 4 1 ，2 ( 4 8 ) 显而易见，由于玩是原点处的磁场，故让( r ) 是相对于阱中心 的相互作用势。为讨论问题的方便，我们引入特征长度、特征髓量、 特征频率的概念 b 蔷，耻c 笔门铲p 吾 ( 4 9 ) 可将长度、时间转化为无量纲的形式 r = ：，= q 。t ( 4 1 0 ) 湖南师范大学硕士学位论文 2 1 在直角坐标系下，可将相互作用势转化为下面的形式 u ( 。，9 ，z ) = 【( 6 + 。2 ) 2 + ( 1 6 ) ( z 2 + 9 2 ) + ；( x 2 + y 2 ) 2 + 2 ( z 2 一y 2 ) 。 1 2 一b ， 其中 6 ：# b o e c 中性粒子所受到的与坐标有关的力为 f = - v u ( r ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 由于相互作用势的形式比较复杂，此时的运动方程是难以求解 的。但在某些特殊条件下，我们可以找到解决这一问题的办法。 考虑情况b 0 ，可以利用w k b j 方法来求解马丢方程( 4 2 9 ) 、( 4 3 0 ) ， 对于( 4 2 9 ) ，令方程的篇为 r = e b ，”( ”) 如， ( 4 3 3 ) 2 4 湖南师范大学硕士学位论文 其中p = 弧，将( 4 3 3 ) 式代入( 4 2 9 ) 式，得 丢面d w + w 2 + p 2 = o ， ( 4 3 4 ) 其中p 2 = 1 一挈c o s ( 2 v ) 。因为p = 弧i ，我们可以将第一项；等 忽略，可得 = = h i p = 士i 【1 一警c o s ( 2 ) 】1 ，2 型士i 【1 一；c o s ( 2 ) 】 ( 4 3 5 ) 将( 4 3 5 ) 式代入( 4 3 3 ) 式，积分后可得 。：e 4 ，。m 0 ) d r 竺e = t i p 一矗s l u t 2 ”) 】f 4 3 6 ) 取两个线性无关的特解 c 。s 瓠卜蠡s i n ( 2 ”) ” c o s ( 嘲三一w t z t 一三) 一去s i n ( u ：t + 7 ) 】) ， ( 4 _ 3 7 ) s i n v 7 2 v 一暑s i n ( 2 u ) j ) s i n 钢( ；一警一j ) 一最s i n ( 吲+ 椰， ( 4 _ 3 8 ) 可将方程( 4 , 2 9 ) 的通解写为 。= 舢n 钢；百w z t j 一轰s i n ( u ：f + 7 ) 1 ) + 五c 。s 悯三一了c o z t j 一去s i n 。t + 协 ( 4 3 9 ) 运用完全类似的方法，我们可以得到方程( 4 3 0 ) 的通解为 固4 1 粒子熟迹在x o y 平面上的投影 g = 私扎 【警+ ；一甄qs i n ( 吲+ 7 ) j ) + 岛c o s 钢警十j 一帮q n ( w ：h 们n ，( 4 - 4 0 ) 湖南师范大学硕士学位论文 ”冀一 蓁0 y o 0 -0 2 广- 4 4 l 。州 ， (i = ，( (n = z = j _ e = ! 一一0i05 一l ，、 1 kj 上的投影 2 4 c m ，1 1 = 6 0 a ，屯= 5 0 a 若 上的投影 图4 4 ：粒子轨迹三维视图 取粒子运动的初始条件为：t = 0 时，跏= 0 0 6 ，y o = 0 , 0 5 ，动：0 0 4 5 v o z = o 1 ，v o y 亏 0 0 ：= o ，由( 4 2 s ) 、( 4 3 9 ) 、( 4 4 0 ) 可以绘出粒子在阱中 的运动轨迹如图4 1 吐4 所示。可以看出，粒子在阱中的运动是稳定 的，粒子的运动只能局域在阱中，即粒子被很好地囚禁在此静磁阱 中。 。 湖南师范大学硕士学位论文 4 3 2微扰处理法 对于马丢方程的求解，在关系式a q 0 成立的条件下，我们 还可以采用微扰处理法。我们将方程( 4 2 9 ) 改写为以下形式 荔一f a 1 一s ( 2 u ) 】卫= 0 1( 4 4 1 ) 其中 = 2 q a ( 4 4 2 ) 并令( 4 2 9 ) 式的解的形式为如下的级数形式 z = 【 ( u ) 胪】 ( 4 4 3 ) 将( 4 4 3 ) 式代入( 4 4 1 ) 式得到关于a ( ”) 的递推方程 堡垒d v 盟2 + a 厶扣) 一ac o s ( 2 ”) 一。( 口) = o ( 4 4 4 ) 显然，当k = o 时，有 掣+ 堋沪o ， ( 4 4 5 ) 其通解的形式为 f o ( v ) = d ls i n ( 瓠 ) + d 2c o s ( 弧 ) -( 4 4 6 ) 当k = l 时，有 掣州小c o s 胤吐 ( 4 4 7 ) 将( 4 4 5 ) 式的解( 4 4 6 ) 式代入上式，可以解出1 1 ( v ) 。同理，将y l ( v ) 代入关于是( u ) 的微分方程，我们又可以求出厶( ”) ，依此类推，理论 上我们可以求出k 为任意值时的f d v ) ， 若所讨论的问题满足条件a q ，即h l ，则在( 4 4 3 ) 式中， 可以忽略二次以上的高阶项而取z 的近似解为 、。- y o ( ”) + ( ”) = f o ( ；一t w , t j ) + h f l ( 2 一警一；) ( 4 4 8 ) 为了获得上式的具体形式，我们取初始条件为 肌仆：o = 砘掣i t = 0 = b 0 “k 0 - 0 ，掣k 。= 等( 4 4 9 ) 湖南师范大学硕士学位论文 2 7 我们初始条件的设置是这样考虑的，将h 视为微扰，当t = 0 时即微 扰还没加上时，z 的零级近似即为粒子在。方向的初始坐标，其导 数即为粒子在。方向的初始速度，而微扰刚加上时，粒子将受到一 个冲击而使粒子的初始速度产生一个偏移盯。，但粒子的初始位置 的改变量仍然为零。由此可以解得 f 0 ( v ) = a ls i n ( 瓜 ) + a 2c o s ( 弧 ) ， ( 4 5 0 ) ( u ) = a a s i n ( ”瓠) + a 4 c o s ( ”弧) + 硕与 a 胁 弧) c o s ( 2 v ) 一2 s i n ( 2 ) c o s ( v 弧) + a 2 【c o s ( u 弧) c o s ( 2 v ) + 以s i n ( 2 v ) s i n ( v 以) ) ( 4 5 1 ) 其中 a 。s i n ( 止攀) 一塑学， 耻吲学，+ 警， a 。= 萄i 靠( ，6 ( - 一a ) 盯。c 。s 学 + a u z 卜4 。 ( 1 + 、x ) c o s ( v + ( ”一，y ) 、x ) + ( x 一1 ) c o s ( v 一( 7 r 一7 ) 五) 】+ a 2 2 ( 1 一x ) s i n 3 + ( 1 + 、x ) s i n ( ，y + ( ”一7 ) x ) + ( 1 一 x ) s i n ( 7 一( 7 r 一7 ) x ) 】) ) ，( 4 5 2 ) 山= 丽再丽1 1 6 ( 1 一a ) a o 。s i n - - - 一k 1 、- - - 1 + a u ： a l 【2 ( a 一1 ) s i n ( ，y ) + ( 、a + 1 ) s i n ( ，y + ( 7 r 一7 ) 、a ) + ( 1 一、a ) s i n ( , 一( 7 r 一7 ) 、厅) 】+ a 2 ( 1 + a ) c o s ( 7 + ( 7 r 一7 ) 、a ) + ( 、a 一1 ) c o s ( 7 一( ”一7 ) 、a ) ) ) 将( 4 5 0 ) 、( 4 5 1 ) 代入( 4 4 8 ) 式即可得到关于z 的解的具体形式。 z = a ls i n ( 以口) + a 2c o s ( , x ) + h a 3s i n ( v 狐) + a 4c o s ( 顾) + 积与s i n 扣以) c 。s ( 2 v ) 一瓠s i n ( 2 u ) c 。s ( u 蝴 + a 2 【c o s 如、a ) c o s ( 2 v ) + 、a s i n ( 2 v ) s i n ( v 、入) ) ) ) ( 4 5 3 ) 2 8 湖南师范大学硕士学位论文 j 司理，我们司以用同样的方法，司求出方程( 4 3 0 ) 式的解为： y = b 1 s i n ( 弧u ) + b 2c o s ( 颤仙) + h b 3s i n ( 瓠址) + b 4c o s ( v q u ) + 丽与 b ，【- 以c 。s ( 以u ) s i n ( 2 u ) + s m ( 以u ) c o s ( 2 让) 1 + b 2 【c o s ( 瓠u ) c o s ( 2 u ) + 弧s i n ( 2 u ) s i n ( 瓠也) ) ) i( 4 5 4 ) 其中 b 1 _ s i n ( 竿协+ 去c o s ( 竿h ， 岛s ( 竿一去s i n ( 竿， ( 4 5 5 ) b 。2 丽靠 8 ( 卜1 ) c o s ( 竿) 印v 枷知z 【b 1 ( 、xc o s ( y ) c o s ( 7 、压) + s i n ( 7 ) s i n ( 7 、压) ) + b 2 ( ( 1 一a + c o s ( 7 瓠) ) s i n ( y ) 一瓠c o s ( 7 ) s i n ( 7 以) ) ) ， 马= 而靠 8 ( 1 叫s i n ( 竿h 舢概 b 1 【( 一1 + c o s ( 7 、压) ) s i n ( 7 ) 一、压c o s ( 7 ) s i n ( 7 、压) 一岛f 瓠c 。s ( 1 ) c o s ( 1 瓠) + s i n ( 7 ) s i n ( 1 瓠) 4 3 3周期性夫洛开解 在研究i o f f e 阱对中性粒子的囚禁问题时，实际上我们更感兴趣 的是马丢方程的半周期解( 周期为