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电磁场概率成像理论及应用基础研究 2 0 0 0 级研究生无线电物理专业研究生：许令周 指导教师：关继腾 摘要随着近年来数据采集技术的发展，反演解释的相对落后已经成 为制约电法勘探发展的主要因素。概率成像方法具有公式简单、计算方便、 速度快、精度高等优点，可适用于自然电场、重力场等位场成像。目前，国 内还没有这方面的研究报导。概率成像原理的数学基础是互相关边界不等式 和施瓦兹( s c h w a r z ) 不等式。本论文从其基础公式入手，在理论上对其进行 了比较全面、深入的探讨。主要研究结果如下：( 1 ) 根据其理论基础，对成 像分辨率问题提供较为全面的分析和建议；讨论扫描函数对分辨率的影响； 从提高分辨率方面考虑，给出了高次导数的概率成像公式；考虑了在数据进 行延拓后的成像特点；在考虑了数据误差的影响后，提供了新的概率成像公 式。( 2 ) 从理论上比较全面的理解、归纳了概率成像方法的思想。据此，给 出概率成像的新算法加法概率成像公式，给出了扫描函数的选择对概率 成像精度的影响，证实了对其思想归纳总结的正确性和其指导意义的重要 性。( 3 ) 为满足不同的测量条件，给出了在坐标变换等数学变换时的概率成 像公式。( 4 ) 在概率成像的应用算例研究中，给出了在部分不同钡0 量条件下 的成像组合，从而为实际应用做好理论基础。 关键词自然电场：概率成像：扫描函数：互相关积分 s t u d yo nt h e o r ya n db a s l 0a p p l j c a t l o no fp r o b a b l k i t y t o m o g r a p h yf o re l e c t r o m a g n e t l0fie l d s t u d e n t ：x u l i n g z h o u d i r e c t o r ：g u a n j i - t e n g r a d i o p h y s i c s ，d e p a r t m e n to f a p p l i e dp h y s i c s ，u n i v e r s i t yo f p e t r o l e u m ，c h i n a a b s t r a c t ：i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h ed e v e l o p m e n to fd a t aa c q u i s i t i o n t e c h n i q u e s ，r e l a t i v e w o r s ed a t a i n t e r p r e t a t i o n h a sb e c o m et h em o s td i f f i c u l t o b s t r u c t i o nf o rt h ea d v a n c i n go fe l e c t r i c a l p r o s p e c t i n g p r o b a b i l i t yt o m o g r a p h y i n t e r p r e t a t i o n c a nb e a p p l i e d i nn a t u r a le l e c t r i cf i e l dw o s p e 砸n ga n dg r a v i t y p r o s p e c t i n g f o rs i m p l ef o r m u l a , e a s yo rf a s ts p e e da n d h i g er e s o l u t i o n t o d a y , t h e r e i sn o r e p o r ti no n rg o u n t r y , c o n e l a t i o nb o u n d i n gi n e q u a l i t yo rs c h w a r z si n e q u i t y i st h em a t h e m a t i c a lb a s i so f p r i n c i p l eo fp r o b a b i l i t yt o m o g r a p h y i nt h i sa r t i c l e ，i n o r d e rt om a k eaf u l l ya n di n - d e e p e ds t u d yo nt l l i s t h e o r y , w es t a r tw i t hi t s m a t h e m a t i c a lb a i s t h er e s u l t ss h o w ：( 1 ) a c c o r d i n gt ob a s i so fp r i n c i p l e ，ag o o d a n a l y s i sa n da d v i c ei sw o r k e d ，a n ds c a n n i n gf u n c t i o n si n f l u e n c et or e s o l v i n gr a t e i sd i s c u s s e d i no r d e rt oi m p r o v e r e s o l v i n gr a t e ，w eg i v es e c o n dd e r i v a t i v ef o r m u l a a n dt o m o g r a p h yc h a r a c t e r i s t i ca f t e rd a t ab e e ne x t r a p o l a t e d an e w i n t e r p r e t a t i o n f o r m u l aa b o u ti n f l u e n c eo fd a t an o i s ei s g i v e n ( 2 ) p r o b a b i l i t yt o m o g r a p h y s e s s e n t i a li sg e n e r a l i z e d t h e r e f o r , a na d d i t i v ep r o b a b i l i t y t o m o g r a p h y a r i t h m e t i ci s c o m eo u t ，a tt h es a m et i m e ，i n t l u n c ed e g r e eo fr e s o l v i n gr a t ea b o u th o wt o s e l e c t i n gs c a n n i n gf u n c t i o ni ss h o w n t h e s ew o r k s m a k es u r et h a tt h eg e n e r a l i z e d i d e ai s 吨h ta n di m p o r t a n t ( 3 ) w eg i v em a t h e m a t i c a lt r a n s f o r m a t i o n so ff o r m u l a e t os a t i s f yd i f f e r e n ti n e a s u ec o n d i t i o n ( 4 ) i nt h er e s e a r c ho fe x a m p l eo fa p p l i e d p r o b a b i l i t yt o m o g r a p h y , s o m ei m a g e c o m b i n a t i o na r eg i v e ni nd i f f e r e n tc o n d i t i o n , s o ，a c a d e m i cp r e p a r a t i o ni sd o n e k e y w o r d ：n a t u r a l e l e c t r i c f i e l d ；p r o b a b i l i t yt o m o g r a p h y ；s c a n n i n g f u n c t i o n ；c r o s s c o r r e l a t i o np r o d u c t 独创i 生声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究 成果，也不包含为获得石油大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盘垒鱼 ，一。j 年，月，f 目 关于论文使用授权的说明 本人完全了解石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名：盗：垒塑 导师签名： 差继鲤耄 圳3 年r 月孑日 多一口3 年y - 月，扩日 石油大学( 华东) 硕士论文 前言 第1 章前言 1 1 地球物理成像概述 随着矿产勘探和石油勘探的深入发展和难度的增加，越来越需要高分 辨率的方法。电磁方法是历史悠久应用广泛的地球物理方法，对各种尺度的 目标体和各个地质矿产勘探的阶段都可发挥作用( 见图1 ) 。电磁方法是以地 壳中岩石、矿石、流体的电、磁学性质的差异为基础，利用电磁场的空间和 时间的分布规律，研究地质构造以及寻找能源和矿产的一组地球物理方法。 电磁方法本身有多种实施方案，其中包括自然电场法、电阻率法、电磁波法、 激发极化法、探地雷达，各种电测井法及层析成像等。近十年来数据采集技 术进步很快，反演解释方法的相对落后逐渐成为制约电磁方法发展和应用效 果提高的主要因素。 l测井l i 井间咸像l l 井地成像l 方法粪别 i 垂直电穰i 深i 厂可夏源天酶甄习 i 大地电磁法i i 航写呻磴洼ii 浒 嘲蚕睁成像 l 1 轫理分辨尺度 1 0 细l o 细1 挚i k m 1 咖1 0 m 1 霉l o c z nl 晋 地质分辨尺度全球 i 盆地 构造i 地层 i 断屡裂隙 结构 适用勘探情况普查 l 详主l 勘探l 评价与监测 图h 电磁方= f 去的物理与地质分辨足度 近年来，地球物理成像技术逐渐受到人们的重视。地球物理成像按所利用 波的不同可分为地震波成像和电磁波成像。从波的传播特性看可分为射线成 像和衍射成像。电阻率成像可看作频率为0 时的电磁波成像，但由于理论和 方法的不同，可单独列为一类。若按数学方法的不同，可分为确定性电磁成 像方法和电磁场概率成像方法。“。 i i 油人学( 华东) 硕士论文 日u苫 地球物理成像主要是指地球物理层析成像。 所谓层析成像”1 ，就是从被调查对象周围的各个方向，收集其内部多方向 的投影数据，用其反映内部的物性值分布，作为断面像再构成图象的一门技 术。地球物理层析成像技术则利用地表布置发射点和接收点，也可利用钻孔 和坑道等布置，接收到投影数据后，用它再构成物性值的分布。因此，层析 成像属于地质参数成像。 层析成像最初是从x 射线层柝成像( 研) 引进的。x 射线一经发现，就首先 应用于医学领域。x 射线的透射影象可以为诊断提供有用的信息。但是，透 射影象是用x 射线将三维物体投射到平面上的结果，目标体前后的影象会重 叠在一起，使分辨率很低，为了区分这些叠加的影象出现了医学c t ，即计算 机断层扫描技术。 医学c t 是以b r a c e w e l l 于1 9 5 6 年公布的傅立叶投影切片定理做为理论基 础。在医学上，使用c t 对病者的患处进行多层面的扫描，并利用计算机进行 数据处理，可以在图象终端上清晰的重现身体的内部构造，为诊断病情提供 科学依据。 c t 技术在医学界的成功，被移植到其它领域。地球物理成像最早始于地 震波成像，它以广义逆拉当变换为基础，是波数域的傅立叶投影切片定理的 空间域形式。这是由于x 射线和地震波都被看作是直线传播，即不考虑波动 的影响，这类层析成像也可称为射线层析成像。 在医学上，由于x 射线对人体组织有害，人们自然想到用超声波、微波、 核磁共振等。但由于这些波的波长已不能忽略，必须考虑波的衍射现象。w o l f 在1 9 6 9 年发展了衍射层析成像，用一阶b r o n 近似将声波方程线性化。之后 1 w a t a 和n a g a l a 于1 9 7 5 年用r y t o v 近似做了另一种线性化。d e v a n e y 于1 9 8 2 年发展了被称为滤波反传的衍射层析成像算法，p a n 和k a k ( 1 9 8 3 ) 月j j 发展了插 值并直接反傅立叶变换衍射层析成像算法。直到1 9 8 4 年d e v a n e y 才将衍射层 析成像引入到地球物理领域。他考虑的是声波和高频电磁波的地球物理衍射 层析成像。 早期的地球物理层析成像侧重理论探讨，一旦具体实施就会出现很多问 题，如空间采样并不一定规范，噪声影响及b o r n 近似算法很难满足等，使成 像质量大受影响。 鱼鎏查堂! 兰查! 堕主丝苎i 堕一 在各种成像方法中，地震波成像最为成熟，在实际勘探中也应用最多； 其次是电阻率成像；电磁波成像则无论是从方法理论、仪器装备和应用现状 看都处于初始发展阶段。本章主要介绍电磁成像。 在成像算法上，现在的医学c t 几乎全都是采用a r t 代数重建算法或其变 种方法，如s a r t 等。这种算法也被应用于地球物理成像，当然主要是射线 层析成像。 从数学上来看，现在几乎都是使用的确定性的成像方法，而概率成像方 法自p a t e l l a 于1 9 9 7 年提出以来，还没有见到国内有报导。目前，这弛方 法还只适用于自然电场、重力场等位场勘探。 1 2 电磁成像的历史和现状 1 21 电磁波成像 电磁波成像有许多独特的优点。从理论上看，它可以获得地下电性高 分辨率的图象。利用它不仅能在传统地下勘探中发挥作用，而且也可在工程 勘察中具有广泛和潜在的应用前景。 对频率域的波动方程 v2 u + 2 u = 0( 1 2 1 ) u 是电磁场分量，k 是波数，它是一个复数；k2 = 2 # 艚一i u o - ，将上 式转化为积分方程，如下 u 妒，只，出) = u o 仃，c o ) + 埒f u 何，国) d ( f ，甜) ( f ，只国) 庙；7 ( 1 2 2 ) 其中k 。= 等，是背景波数函是角频率，u o 是背景场， 0 l2 o ( t 酊) = l 一鲁，是待求的异常体分布函数，g ( f + ，产，街) 是相应的格林函数， 庀0 因为u 既在积分号内又在积分号外，是一个典型的第二类f r e d h o l m 积分方 程，是一个非线性问题，是数学物理中的散射问题。对二维和二维以上睛况， 没有好的解决办法，只能采用近似计算。b o r n 近似认为积分号内的u 和u 。相 当于散射体内的总场和一次场，从而( 1 2 2 ) 式近似为 石油人学( 华东) 硕士论文日u西 u ( r ，瓦，甜) = u 。扩，只，0 3 ) 十k ：i u ，( 尹，曩，) d ( 广，) g 妒，f ，a , ) d e ( 1 ，2 3 ) j 这是一个线性方程，可以求解。但它仅适用于弱散射情况，即要求散射 目标体应很小，且散射场很弱。 由于b o r n 近似仅适用于弱散射情况，而b o r n 近似条件一般又难以满足， 因此，在成像算法中几乎都采用了迭代算法，这和常规反演差不多。 电磁波成像有两大困难”1 ：1 由于电磁波传播常数是复数，这导致高频电 磁波快速衰减，因此，电磁波成像实际上只能是低频电磁波成像。但是，低 频电磁波的方程是扩散方程而不是波动方程，从而使成像在数理基础上遇到 很大困难。2 在电磁波散射中，地下介质电性差异大，在某些情况下，散射 场可能比一次场更强，从而使b o m 近似条件难以满足，使电磁波成像很困 难。 电磁波成像无论在方法理论、仪器设备和应用上都处于初始发展阶段， 而且其发展的脉络也多沿用了地震波成像的方法技术。但由于电磁波不同于 地震波，因而并不能直接采用地震波成像的技术。 目前电磁波成像。主要研究上述第二个问题。而第一个问题，才是电磁 波成像能否快速的发展的瓶颈，但研究尚未深入。瞬变电磁场波场变换方法 ”3 ( 1 9 9 8 ) 是解决这个阀题的方法之一，实质就是利用数值积分交换( 如拉氏变 换) 的方法，将满足扩散方程的低频电磁场转换为满足波动方程的高频电磁 场，然后借助于地震勘探中发展起来的成像技术来求解物性参数或几何参数 的方法。 1 22 电阻率层析成像 电阻率层析成像是利用探测区周围各个不同方向上观测的直流电场来 研究地下电阻率分布的。在理论上，控制电流场的是拉普拉斯方程。因此， 它与电磁波成像有本质的区别。 电阻率层析成像的概念由s h i m a 和s a k a y a m a 于1 9 8 7 年首次提出，并提 出反演方法。目前，电阻率层析成像研究仍然主要集中在日本。 电阻率层析成像的分辨率比常规电阻率精度高，比地震波层析成像经济 实惠，比电磁波成像勘探深度大，而且野外作业方便。因此电阻率层析成像 4 石油大学( 华东) 硕士论文 目u蔷 具有广泛的应用前景，受到了人们的极大关注。在解决资源、矿产、环境”“” 等一系列问题上都有特殊的意义。 电阻率层析成像的方法原理，由自登海“作了详细的介绍。在文中他还 进一步讨论了s h i m a 和y o r k e y 给出的两种不同的反演方法，并讨论了影响电 阻率层析成像分辨率的因素以及这两种方法的优缺点，提出今后的工作将主 要集中在寻找更好的观测方式，以提高观测精度；探索有效的反演方法，以 提高成像质量。 1 221 电阻率成像物理基础 在稳定电流场中，地层介质中任一点p 的电流密度满足微观欧姆定律 髟 ( 1 2 4 ) 式中了为地层介质中的电流密度，p 为地层岩石中的电阻率，豆为场强。 上式两边取散度，并令豆= 一v u ，可得 v 2 u = 一p v 了十v u v ( 形) 】 ( 1 2 5 ) ( 1 2 5 ) 式的解用泊松积分表示为 u ( p ) ：兰f - p l y y + v u v ( 形) d 矿 ( 1 2 6 ) u ( p ) 2 去j 了d 矿 ( 1 2 - 6 ) ，为d v 到j d 点的距离 这是将电位测量与未知的电阻率p 分布联系起来的一组第一类非线性 积分方程。由区域边界的上的电压和电流值来确定区域内部电阻率p 的分布 即为稳定电流场的电阻率层析成像问题。 实际上，求解p 常用( 1 2 6 ) 式的等效方程式： v ( c z v u ) = 6 伊)( 1 2 7 ) 仃为f 龟导率，为电流强度，占为狄拉克j 函数，在无源区，上式右端 为0 。 求解以上各式的算法，从数学上看，可以归结为3 种类型：积分变换法， 线 生迭代反演方法和非线性迭代反演方法“。 石油大学( 华东) 硕士论文 前言 12 22 电阻率层析成像方法简介 电阻率成像是现在电法勘探研究的重点。这种方法一般都以正演为基 础，常规的正演方法主要是有限单元法和口中心法。 ( 1 ) 有限单元法 有限单元法适用于对任意地形、任意电性分布的地电结构作数值模拟， 但该方法计算量大、数据准备不便，而且不便于分析模型参数与模拟结果之 间的关系。当其用于反演时，不易得到反演函数，且对模型修改不利。 ( 2 ) 口中心法1 ”1 ”嗍 口中心法是较早提出的一种快速正演算法( s t e 最m e s 吼1 9 7 0 ) 。口中心法采 用了一个非线性变换，将复杂的场方程简化为拉普拉斯方程或亥姆霍兹方 程，使得电位成为一个级数和，因此计算方便、速度快，但该方法用于描述 高阻体和电导率存在急剧变化的介质模型时，极易导致较大的误差。口中心 法用于成像的算法最早是求解静电场问题( 1 9 7 4 ) ，由于静电场和稳定电流场 的可类比性，1 9 9 2 年s h i m a 成功的将其应用于电阻率成像。 反演方法则主要是最s b - - 乘法。 关于层析成像反演的算法很多“。，如a r t ( a l g e b r a i cr e c o n s t r u c t i o n t e c h n i q u e ) 代数重建法、s v d ( 奇异值分解) 方法、共轭梯度法、滤波反投影重 建法、f o u r i e r 重建法等等。电阻率层析成像也有一些借鉴了以上的方法。 近年来，国内外对电阻率成像方法进行了研究和改进，并提出了一些新 的方法和算法，如电流线追踪法“”、等位线追踪法“”“、基于波恩迭代的成 像方法及电流密度法叭3 、模拟退火法1 、遗传算法。1 等。在此，就不再一一 介绍。 1 2 3 电磁场概率成像方法简介 电磁场概率成像方法是一种新颖的地下成像反演方法伽嘲“”。这 种方法由p a t e l l a 于1 9 9 7 年针对自然电场法勘探( - n 写为s p ) 的目的确定 地下电荷的位置而首次提出。同层析成像一样，它也要求获得高分辨率的测 量数据。目前国内还没有这方面的研究报告。 自然电场法勘测是一种最早的地质探测方法。但在很多应用地球物理领 石油大学( 华东) 硕士论文前言 域中如开采、考古、地震、地热研究等仍在使用。 自然电场的观测方法主要是电位观测法和电位梯度观测法。“，在野外 通常使用电位观测法。测量原理十分简单，一个电极放在远离矿体且电场稳 定的区域，另一个电极沿测线逐点移动进行电位测量。 s p 的逆问题是由测量的电位或场强来反演地下电荷积累的位置并描述 其存在的几何形状“】 “。 在物理上，电位是由任意分布的一级源电荷和由于地下电阻率不连续交 界面上的二级极化电荷产生，因此，在地表面上，电场沿任意确定方向的电 位公式都具有相同的、简单的数学形式，并可以写成互相关积分的和的形式。 借助于归一化的互相关积分，首先引入扫描函数的概念；其次，引入电荷出 现概率的概念，电荷出现概率函数就被用来描述地下电荷几何分布；因此， 可用电荷出现概率来成像：即在s p 观测区域上，用扫描函数扫描整个区域， 则可以计算出区域内每一点的电荷出现的概率，由每点的概率值画出等值 线，以此来估计一级，二级极化电荷集中的最大概率带。 1 3 本文的主要研究内容 本文主要是对概率成像方法在理论上进行了深入的探讨并给出在各种 条件下的概率成像公式。 本文的研究内容主要划分为以下五个部分。 第一部分是对自然电场概率成像原理进行介绍。从中得到了这种理论的 核心思想：实质就是要寻找一种算法，把测量得到的电场数据通过某种关系 的运算得到一组数据，这组数据要求与地下空间坐标有关，然后再根掘一定 的规则来解释这组数据，从而可以判断地下电荷分布情况。这是自然电场概 率成像方法的核心。 第二部分是对概率成像从数学上进行深入研究。这是本文的重点研究内 容之一，也是作者对概率成像研究问题的贡献之一。主要是考虑扫描函数对 成像精度的影响；概率成像方法的分辨能力；数据有误差时对成像结果的影 响及成像公式的调整；当成像结果要求较精确时的概率成像算法公式，如高 次导数的概率成像公式，并讨论数据进行延拓时的成像特点：最后讨论概率 成像与电阻率层析成像的联系。 7 石油入学( 华东) 硕= = 论文 第三部分是讨论了在数学变换时的概率成像公式，以适应不同的测量条 件。利用概率成像的思想推导了与概率成像公式不同的一种计算方法一加 法概率成像算法；讨论了当扫描函数或场函数变化时，对成像结果的影响： 证明以之作为我们的指导思想是可行的。本章同样是作者对成像研究的贡 献。 第四部分讨论了概率成像的算例研究和分析，通过正反演，论证了概率 成像的正确性，为概率成像方法的实用做好理论基础。 最后一部分，简单讨论了自然源电磁感应场的概率成像问题。 石油大学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 第2 章概率成像的基本原理 概率成像的思想由p a t e l l a 于19 9 7 年提出。由于本文要对这种方法进行较 为全面、深入的研究，因此本章的主要目的是介绍概率成像原理。电磁场属 于时变场，研究起来比较麻烦，而静电场相对简单，因此，概率成像原理是 以静电场为模型进行讨论的。时变场概率成像原理留在第六章进行分析。 本章直接从三维模型开始，给出了三维概率成像的基本公式。依据同样 的数学原理，给出了剖面法概率成像公式，并给出计算公式和算例分析，证 明概率成像方法是一种可行的反演方法。 2 ，1 三维概率成像原理 2 1 1 三维概率成像原理 假设水平的空地边界面下为任意的地质结构，在地面上测量各点的自 然电位。地面上p 点的电位u ，由下式给出 w 卜击l + 劳l 眨， 1 7 ，露分别为电流密度和电场强度矢量，r = 是从观察点p 到无穷小的 单元体积d v 的距离。p 是电阻率函数。上式是泊松方程的积分解。 ( 2 1 1 ) 式的第一部分积分式是点源( 正) 或汇( 负) 对p 点总电位的贡献， 它起主要作用。点源或汇是体积内惟一的v 7 0 的地方。因此令 v 1 7 = 一l 研胪一乇) t j 【伊一) 】占 扩一己) t ( 2 1 2 ) l 占【】是狄拉克占函数，l 是由第行个点源或汇引起的电流强度。r = 瓦l 是场点p 到第胛个点源或汇的距离。( 2 1 i ) 式的第一部分积分的结果，即电 位u 1 是所有个点源和汇的电位和。有 互迪盔堂! 生垒! 里主笙茎塑墨壁堂堂堕望堕墅里 一去掣= 喜筹 也1 3 1 p 。是第 个点源或汇附近的电阻率。 ( 2 1 1 ) 式的第二部分积分式给出了由于体积矿内的电阻率变化，对尸点 的总电位的贡献，它起次要作用。它不为0 的条件是v p 0 。只有经过电阻 率不连续的表面，p 的梯度才不为o 。有 一盟= 上兰口。研( f 一) l 】 ( 2 1 4 ) i 。是电阻率不连续分界面s 。上任一点的正方向的单位矢量。= i i 是从s 。的任一点到测点p 的距离，仃。是分界面上的极化电荷面密度。是 自由空间的介电常数。因此，设有总的m 层电阻率不连续表面，( 2 1 1 ) 式 的第二部分积分即电位u ，为 = 一去| ：业, o r 肌面i 蚤m m 眨1 5 ， 把( 2 1 5 ) 中右侧的每一个积分面s 。离散化，设各个小单元船。到p 点 的平均距离为。，且各个小单元的电荷均匀分布，平均面电荷密度为盯。，。 ( 2 1 5 ) 式可变为： = 去薹喜r b m , ， q 1 6 i n 此p 点总电位可被表示为和式+ l 的形式，每一项都随形变 化。当然，第一式代表主要电位。它是成像的目标。 因此，m n t 面的符号表示p 点的总电位u 叭p 、：争立 ( 2 1 7 ) u ( p ) = ( 2 1 7 ) f 。是第q 个电荷的强度( 包含各常数系数，以后均简称强度) ，不管是独 立点源还是二级的感应极化电荷，是0 到场点尸的相应距离。 建立直角坐标系，z 轴指向地下，( 2 1 7 ) 式可以写成 1 0 石油大学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 u ( x ，y ，o ) = _ 一- 【( x 地面沿x 方向的电场e ，( z ，y ，o ) 可由( 2 1 8 ) 式得到 t ( _ y ，o ) = 令求和号右侧的部分为 e 。b x q ，y y q ，z q = ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 1 1 。) e ( x ，y ，o ) 在整个地表面的能量能够被写为互相关积分的总和，如下 ( x 戊o ) 凼方= 兰ff ，( x ，y ，o ) e a x - - x q , y 一，z 。) d x a y 取上式第q 部分，并利用互相关边界不等式 巴巴” jj e ( 上，y ，o ) t ( x - - x q ，y - y 。，毛) d x a y 2 ff 霹( y ，o ) c 6 c 咖 一o ： j 霹( t y ，毛) d x d y ( 2 1 1 i ) 由于 jf e 阮炉渺痧= 器 引入三维扫描函数e ( x x 。，y y q , z q ) 如下( s d s 函数) ( 2 1 1 2 ) 而了石( x - - x 丽q ) ( 2 。) 0 一) 2 + ( y 一) 2 + z ： 必 定义概率成像函数( c o p 函数) ，如下 r l ( x q y q z q ) = c z ，ff ，( x ，y ，o ) 瓦。 研一p y忙一r 一 丽 t i 汕大学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 其中 c = 7 i 容易证| ! i j 一1 v ( x 目，y q ，z 口) + 1 ( 2 1 1 6 ) r l ( x 。，y 。，z 。) 包括可被计算出的常数c 和可被测量的函数e ，( t y ，0 ) ，而 且s d s 函数瓦( x x q ，y y 。，z 。) 可以认为是一个位于( x 。，y g ，z 。) 的单位正 点电荷的电场，它仅包含源位置的坐标。 叩( ，y 。，毛) 是一个无单位的纯数字，它的值在【一1 ，1 之间，值的大小仅 与坐标有关，因此，称之为电荷出现概率函数( c o p 函数) ，换句话说，c o p 函数可被看作一种地下电荷定位的几何模型。很明显叩( k ，y q ，乙) 的正值是受 f 电荷积累的影响，负值是受负电荷积累的影响。 2 1 2 三维概率成像的计算公式 数据测量以均匀网格化方式进行，网格间隔设为缸，a v ( x ，y ，0 ) 是沿平 行x o z 剖面、a x 长度上的电位差。为避免不含逻辑的边界效应，要求剖面线 必须足够长，假设电场分量在选定的区域外可忽略，即 e x ( w ，o ) = 一矿( w ，x x m i n ，x m a x ，y i f 。，】 e ，( x ，y ，0 ) = 0 x g x 。x 。】，y 【y 。，y 。】 ( 2 1 1 7 ) 令 x 。z a x ，x 。= 舡，y = 五缈，y g = y a y ，z q = 6 a z 其中z 、善、丑、，、占是整数，且巧 0 设缸= a y = 止 利用( 2 1 1 7 ) 式，( 2 1 1 4 ) 式可被离散成 孵彤沪划曼厮4 - 4 - z = z 。 = k m y 一卢r f j v r片2r 2 相应的，常数c 被离散成( 2 1 1 8 ) 舞。 彳_ 油人学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 c ： ! 厅艺艺，。) 必l 厅矿2 娩，a ，o ) i l z = z = z m m j ( 2 1 1 9 ) 设地下一个正电荷点源的强度为1 0 0 ，坐标位于( 0 ，0 ，1 0 0 ) ，数据取样间隔 为2 0 ，概率成像结果如图2 - l 一1 和图2 - 1 2 所示。图2 一卜l 是r ( x g ，y 目，毛) 在 x y 平面的投影，图2 一卜2 r l ( x 。，y 。，z 。) 在船平面的投影。从图上可以看出， c o p 函数最大处精确位于源点。 x ( m ) 图2 - 1 一l 叩( z 。，儿，= q ) 在叫平面的投影图 图2 - 1 2 r ( x g ，y g ，：q ) ：i f _ x z 平面的投影图 概率成像的基本原理 2 2 剖面法的概率成像原理“ 当地下极化乜荷为点电荷且位于船平面上时( 特例取x o z 平面) ，假设剖 面外的电荷对剖面上的电场没有影响，此时称为剖面法。虽然剖面法并不符 合实际情况，有时甚至会得出错误的结论，但是在一定条件下，一定的近似 下，还是可以的。概率成像方法作为一种反演方法，剖面上成像，理论上是 讲的通的，而且，对概率成像的原理的理解会更容易一些。 22 1 剖面法的概率成像原理 剖面上，x 轴上菜点尸的电位仍满足( 2 1 7 ) 式，在二维直角坐标系下 可写成 相应的地面x 方向的电场强度为 e ，( x ，0 ) 沿地面总的能量能够被写为互相关积分的总和，如下 je ；( x , 0 ) d x = 艺je ，( x ，o ) e ， - - x q ，z q ) 出 一 q = i 取其第q 部分，利用互相关边界不等式得到 【e ( e o ) f - a x - - x q ，z q ) 出】2 fe ( x ，o ) 出占；( x ，z ，) 出 定义扫描函数( s d s 函数) 为 1 4 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 誉一 一h = 兰删 啪 = 扩 哆 x 工 一 “ 卜 e 令 e 石油大学( 华东) 硕士论文 概率成像的基本原理 0 一x 。) j 1 【o 一) 2 + z 扣力 由5 - - j 咖，即出2 毒 则概率成像函数( c o p 函数) 定义为 ie ，( x ，o ) i ，( x x 。，z g ) 出 “，2 j2 鬲e 磊面雨- g 2 面) d x【f：( x ，o ) 出f( x ，z 。 m = 乒je x ( x ，o ) 瓦( x 一，毛) a x 其中c 为 c = ! ! ： 防fe ：( t o ) a x 5 容易证明，同样 一1 v ( x g ，z g ) + l 对它的理解与前面相同，不过是由三维改为剖面。 22 2 剖面法的计算公式 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 电场沿剖面上x 轴的分量e 。( x ，0 ) 值，可由下式计算 e ，( x ，o ) = 一a v ( 。， ( 2 2 1 0 ) a v ( x ，0 ) 是在缸长度上的电位差。为避免不含逻辑的边界效应，同样应 假设剖面线足够长，电场分量在选定的区域外可忽略，即 e ，( x , 0 ) = 0 x 仨 x 。，x 。 令 x = z a x ，x ，= 缸t zq = 6 z 石油大学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 其中古、z 、占是整数，且5 0 假设缸= 业 则( 2 ，2 8 ) 式离散成如r 形式 ，7 ( 孝，占) ：一c 3 笠a v ( x , o ) 上芝 ( 2 2 1 1 ) z 篡。 【( z 一手) 2 + d2 乃 其中c 为 2 2 , 7 2 c = 防艺矿：( z ，o ) 巧 z 2 z m i “ ( 2 2 1 2 ) 假设地下一个正电荷点源，强度为1 0 0 ，坐标为于( o ，1 0 0 ) 处b ，数据取样 问隔为1 0 ，概率成像结果如图2 21 。从图上可以看处，成像位置相当准确。 工( 蜥) 图2 2 1 上e 电荷点源的剖面概率成像圈 图2 2 2 正负两个点电荷源的概率成像图 石油大学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 如果有正负两个点电荷源，强度相等，均为1 0 0 ，坐标分别为( i o o ，1 0 0 ) 和 ( 一1 0 0 ，1 0 0 ) ，数据取样问隔为1 0 ，概率成像结果见图2 2 2 ，可以看出，对 两个电荷的定位基本准确。 2 3 本章小结 概率成像方法是起先为了解释地下自然电场的机理而引入的，随着这种 方法的发展，逐渐引入到其它位场。 自然电场常规模型是具有一级电荷源或汇，这些源、汇位于任何具有空 气一地面为边界的复杂电阻率结构中。 概率成像的原理可分为如下三部分。首先，根据物理上对电位性质的解 释，即电位由任意分布的一级源电荷和与地下分层电阻率相关的二级感应电 荷产生。推导出一个在地表面上电场沿任意确定方向的普遍的电位公式，认 为总效果是所有基本电荷的贡献，而且都具有同样简单的数学形式。其次， 沿地面分布的总的电能可被写成一个互相关积分的和的形式，是关于总电场 的测量分量与组内单个基本电荷电场的分量的互相关积分。最后，借助于互 相关积分边界不等式，引入扫描函数和电荷出现概率函数的概念，并用概率 函数来描述地下电荷的几何分布。这个函数定义为所有的电场分量与扫描函 数的归一化的互相关积分。 成像过程可理解为用扫描函数扫描整个成像空间，在空间每一个网格上 电荷出现的概率可以计算。一套完整的的网格计算值可用来画等值线，以此 来估计一级、二级极化电荷集中的最大概率带。 因此，概率成像的数学基础是互相关边界不等式。由此，给出了三维、 剖面等常见模型的概率成像原理公式和实用的计算公式。并通过正反演的实 例证明了概率成像方法的准确性。 通过前面的分析，我们可以得到一个更普遍的结论：概率成像的实质就 是要寻找一种算法，把测量得到的电场数据通过某种关系的运算得到一组数 据，而这组数据要求与地下空间坐标有关，然后再根据一定的规则来解释这 组数据，从而可以判断地下电荷分布情况。这应该是概率成像方法的核心。 这个结论，可以说是对所有勘探方法的一个概括，即使如现在研究的前 1 7 石油人学( 华东) 硕士论文概率成像的基本原理 沿课题，如常用的电阻率层析成像，其实质也是通过一种运算，得到一组数 据，不过，这是组带有单位的数据而已，这是与概率成像的区别之处。由这 个结论，就概率成像方法而言，我们还可以延伸出许许多多的算法。这些算 法，各居特色，理论上应陔都是可行的。 但是，由于互相关边界不等式的适用范围较窄，因此，在涉及到非直角 坐标系统时，通常都是采用施瓦兹( s c h w a r z ) 不等式，这个不等式比互相 关边界不等式更具有普遍性。在第四章中会涉及到这个不等式。 石油大学( 华东) 硕士论文 概率成像方法的深入分析 第8 章概率成像方法的深入分析 概率成像的思想被提出后，作为一种反演成像方法，理论上还没有对这 种方法进行更为深入的分析和研究。因此，本章从概率成像的基础公式入手， 讨论了各种因素对概率成像方法分辨能力的影响。本章包括以下研究内容： ( 1 ) 二维概率成像公式的推导。 ( 2 ) 关于扫描函数的分析讨论。 ( 3 ) 概率成像的分辨率的分析讨论。 ( 4 ) 三维概率成像公式的扩展。 ( 5 ) 精细概率成像的讨论。 ( 6 ) 分析了在进行数据延拓时的概率成像特点。 ( 7 ) 对概率成像方法与电阻率层析成像方法作了初步的比较。 3 。1 二维概率成像原理 虽然实际的地球物理模型都是三维的，但在一定的近似条件下可视为二 维模型，甚至是一维的，这种近似在较小的空间范围内和一定精度意义下是 允许的。3 “。因此，此处给出二维成像公式。 假设地下电荷沿y 方向均匀分布，且为无限长，此时便为二维问题。 3 1 1 二维概率成像原理 在二维隋况下，假设地下有q 个线电荷，地面上某点p 的电位由( 2 1 7 ) 式变为 口 u ( p ) = f 。l n r q q = 1 是第g 个线电荷到p 点的距离， 度等物理量有关。 ( 3 1 1 ) 是一个常数，它与单位长度上的强 相应的，在直角坐标系下，j d 点的电位为( 常数并到l 中) 石油大学( 华东) 硕士论文 概率成像方法的深入分析 u ( j d ) = l n ( x 地面上，沿x 方向的电场为 e 芒r g ( x x q ) a x , o ) = q = l 考群； 、“ 口，t 4 令 e c x - - x q l z q ) - - 拦篙 e ，( x , o ) 沿地表面的能量，仍然可以表示成互相关积分的和，为 e 沁o ) d x = e x ( x ，o ) e ，( x - - x q ，| z q ) 出 取上式第q 部分，由互相关边界不等式得 t ( x ，o ) e ( x - - x q , z q ) 出 2 je ；( x , o ) d x 由于 p m 渺= 瓦r 2 q y g 扫描函数( s d s 函数) 取为 ，z ，) 2 瓦x 可- - x 啊q 定义电荷出现概率函数( c o p 函数) 为 je ( x ，o ) 瓦 一，气 叩( x g ，z 口) = 【fe ：( x , o ) a x 霹( 印。) 州 e ，2 ( 那。) a x ( 3 1 2 ) ( 3 i 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 化简得 即( ，毛) = c 厅j e ( 工，o ) 瓦( x - - x qz q ) 出 ( 3 1 6 ) 常数c 为 行油大学( 华东) 硕十论文概率成像方法的深入分析 e ：( x ，o ) a x y g ( 3 1 7 ) 一1 r f f x 。，z q ) + 1 x 如7 ( x 。，如) 的理解与前边三维隋况相似，r l ( x 。，) 极大和极小的地方也 必须解释成正线电荷和负线电荷最有可能集中的轨迹。 31 2 二维概率成像的的计算公式 数据沿x 方向测量，测量间隔为血，其电场分量e ，( z ，0 ) 值，由下式计 算 e ，( x ，o ) = 一y ( 一 ( 3 1 8 ) a v ( x ，0 ) 是在心长度上的电位差。为避免不含逻辑的边界效应，仍假设 x 轴足够长，电场分量在选定的区域外可忽略，即 e ，( x ，0 ) = 0 x e 【x 。，。，x 。 令 x 2 z a x ，x ，= c a x ，z q = 8 a z 其中f 、z 、j 是整数，且占 0 设a x = a z 则( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 式离散成如下形式 叩( 善，j ) = c 拓芝疋( z ，o ) l