（理论物理专业论文）fidelity理论及其在一维模型中的应用.pdf

南京师范大学硕士学d - 文摘要 摘要 f i d e l i t y 理论是统计物理、量子信息科学和量子混沌中一个重要的概念，它 是表示受干扰情况下一个态在演化过程中能够保持原来状态的程度，被广泛应用 于很多领域的理论研究中，近年来对于它的关注程度越来越高，引起了物理学研 究领域的很大兴趣。本文就是通过引入f i d e l i t y 这个物理量，对一些熟悉的一维 模型的金属绝缘体转变( m i t ) 问题进行具体的计算和分析，从而得到一些有 意义的结果。 文章中，我们首先简单的介绍一下m i t 和f i d e l i t y 概念的提出和发展。其次 具体研究了一些熟悉的一维模型的金属绝缘体转变( m r r ) ，比如一维h a r p e r 模型、一维s l o w l yv a r y i n gp o t e n t i a l 模型，并将一些f i d e l i t y 量引入到这些模型 中。结果表明：f i d e l i t y 能够很好地表征这些模型的一些性质( 局域态、扩展态、 临界态、m i t 和迁移率边等) ，并且和前人使用的一些计算方法得到的结果一致。 因此，我们进一步拓宽了f i d e l i t y 理论的应用范围。 关键词：f i d e l i t y 安德森模型h a r p e r 模型s l o w l yv a r y i n gp o t e n t i a l 模型 扩展态局域态临界态迁移率边金属一绝缘体转变( m 1 t ) i i 南京师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo ff i d e l i t y ( a l s ok n o w na sl o s e h m i d te c h o ) i sa l li m p o r t a n tc o n c e p t i nt h ef i e l do fs t a t i s t i c a lm e c h a n i c s ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n d q u a n t u mc h a o s i th a sb e e na d o p t e da sas t a n d a r dm e a s u r ef o rq u a n t u mr e v e r s i b i l i t ya n ds t a b i l i t yo f q u a n t u mm o t i o nw i t hr e s p e c tt oc h a n g e si na l le x t e r n a lp a r a m e t e r i tc a l lb ec o n s i d e r e d a st h eo v e r l a po fa ni n i t i a ls t a t ew i t ht h es t a t eo b t a i n e da f t e rt h ef o r w a r du n p e r t u r b e d e v o l u t i o nf o l l o w e db yab a c k w a r dp e r t u r b e de v o l u t i o n d u r i n gt h el a s ty e a r st h e t h e o r yo ff i d e l i t y i sas u b j e c to fi n t e n s i v er e s e a r c ha c t i v i t y t h i si n t e r e s tw a s m o t i v a t e db yv a r i o u sa r e a so fp h y s i c s i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h ef i d e l i t ya n d s t u d ym e t a l - i n s u l a t o rt r a n s i t i f i r r ) i ns o m ef a m i l i a ro n e - d i m e n s i o n a lm o d e l s w e c a ng e tm a n ym e a n i n g f u lr e s u l t s i nt h i s p a p e r , f i r s t l y , w ei n t r o d u c es o m eb a s i cc o n c e p t so fm e t a l i n s u l a t o r t r a n s i t i o n 似哪a n df i d e l i t y s e c o n d l y , w en u m e r i c a l l ys t u d yt h ef i d e n t yi nt h e o n e - d i m e n s i o n a lh a r p e rm o d e la n di nt h eo n e d i m e n s i o n a ls l o w l yv a r y i n gp o t e n t i a l m o d e l t h ee x t e n d e da n dl o c a l i z e de i g e n s t a t e sc a nb ed i s t i n g u i s h e db yt h ef i d e l i t y t h e r ea l ed r a s t i cd e c r e a s e si nf d e l i t yo ft h ei n d i v i d u a le i g e n s t a t e sa tm o b i l i t ye d g e s i nt h ec u r v eo f t h es p e c t r u ma v e r a g e df i d e l i t ya saf u n c t i o no f p o t e n t i a lp a r a m e t e r ， as h a r pt r a n s i t i o ne x i s t sa tt h em e t a l - i n s u l a t o rt r a n s i t i o np o i m c = 2 0 t h e s er e s u l t s a r ec o n s i s t e n c ew i t ht h a to b t a i n e db yo t h e rm e t h o d s s oi tp r o v i d e st h a tt h ef i d e l i t y m a yb eag o o dq u a n t i t yt od i s t i n g u i s ht h ee x t e n d e da n dl o c a l i z e de i g e n s t a t e sa n dc a l l r e f l o c tm e t a l - i n s l l l a t o rt r a n s i t i o n k e y w o r d s ：f i d e l i t y ，a n d e r s o nm o d e l ，h a r p e rm o d e l ，s l o w l yv a r y i n gp o t e n t i a l m o d e l ，e x t e n d e ds t a t e ，l o c a l i z e ds t a t e ，c r i t i c a l s t a t e ，m o b i l i t ye d g e , m e t a l i n s u l a t o rt r a n s i t i o no m t ) i h 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名： 日期： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 ， 作者签名： 日期： 南京师范大学硕士孝位论文第一章前言 第一章前言 二十世纪二十年代末和三十年代初建立起来的基于单电子近似的能带理论 比较成功地解释了固体的导电问题，认为固体导电与否取决于能带中电子的填充 情况，当存在部分填充电子的能带时，固体为导体，反之则为非导体。在一定的 外界条件影响下，某些固体材料可以从导体转变为非导体，这一过程称为金属一 绝缘体转变( m r r ) 。 1 9 5 8 年，a n d e r s o n 在研究无序系统中电子运动时发现了局域化现象，并提 出了局域化这个重要概念，证明了电子在无序系统中的局域化是波的一种属性1 ： 在无序系统中，电子本征态波函数不再是布洛赫函数，其电子本征态可以分为两 类：一类称为扩展态；一类称为局域态2 ，扩展态波函数分布在整个系统中，而 局域态波函数局限在某一局域范围内。后来，莫特基于安德森的理论结果，提出 了迁移率边的概念，说明在扩展态和局域态之间必然有一分界处，在该处有迁移 率的突变，依据f e r m i 能级处于扩展态还是局域态，也就是f e r m i 能级是否越过 迁移率边来表明系统处于金属态或者绝缘态，并进一步指出，当f e r m i 能级越过 迁移率边时会发生一种金属绝缘体转变( m i t ) ，即a n d e r s o n 转变。 波的局域化研究的一个重要里程碑是无序系统电导的标度理论。按照这一理 论，无序的一维体系总是局域化的，而二维系统也是局域化的，但处在边缘状态， 对于一维的a n d e r s o n 模型，所有的本征态是局域的，没有区分局域态和扩展态 的迁移率边。也就是说，只有在高于二维的系统中才存在局域态到扩展态的 a n d e r s o n 转变。 但是在最近的理论计算中发现，在一维或者准一维的系统中，可以发生退局 域化转变。目前有很多模型被用来研究并显示出了存在类似于a n d e r s o n 的从局 域态到扩展态的金属绝缘体转变：先是早期s d a ss a r m a 等人提出的一维 s l o w l y v a r y i n g p o t e n t i a l 模型4 5 ，且研究表明该模型存在着区分局域态和扩展态的 迁移率边：接着d u n l a p 等人提出无规二聚体( r a n d o md i m e rm o d e l ) 模型3 ，明确 的显示出存在关联的一维无序体系可以出现扩展态；后来，在很多推广或变形的 r d m 体系4 567 8 ，如r a n d o mn - m e rm o d e l ，r e p u l s i v eb i n a r ya l l o mr a n d o m b i p o l a r o nl a t t i c ea n dr a n d o md i m e r - t r i m e rm o d e l 等中也看到了这种关联引起的 南京师范大学硕士学住论文 第一幸前言 退局域化效应；另外还有一些由于其他系统，如具有准一维链问无规耦合、无规 链内耦合、或对角无序平面一均匀平面面间藕合的低维系统9 均可发生退局域化 转交；还比如对一个形式简单的一维h a r p e r 模型的研究表明，伴随着格点势强 度的增加，该模型也表现出类似于无序体系的a n d e r s o n 金属绝缘体转变， 以致于金属绝缘体转变问题一度引起大家的强烈关注。 近年来，v i d e l i t y 理论( 也被称为l o s e h m i d te c h o ) 在物理学的很多领域( 比 如原子光学1 0 1 2 、量子混沌1 31 4 、量子信息1 5 等) 得到很大的关注。f i d e l i t y 是 统计物理、量子混沌和量子信息中的一个重要的概念，它表示受干扰情况下一个 态在演化过程中能够保持原来状态的程度。 早期，在理论上，自从1 8 7 2 年b o l t z m a n n 提出h 一定理以后，宏观行为的 不可逆问题一直得到大家的关注，它要去解决时序单向性与一些潜在的可逆的微 观规律之间的矛盾。当时j o s e f l o s c h m i d t 、b o l t z m a n n 和w i l l i a mt h o m p s o n 等人 对于这个问题迸行了讨论且给出了解释，给出的解释和提出的相关物理量非常接 近后来f i d e l i t y 理论中的一些概念，虽然f i d e l i t y 理论对于统计力学和不可逆问 题非常重要，但是此后一直很多年无人关注 尽管f i d e l i t y 理论在统计物理中有着很大的重要性，但是对于f i d e l i t y 理论 的研究动机很大程度上却来自量子混沌领域。在1 9 8 4 年，p e r e s 5 41 6 第一次用 f i d e l i t y 测量一个系统的稳定性，认为混沌经典系统比一般经典系统的f i d e l i t y 衰 减的更快，但在他的工作以后很多年对于这个课题一直无人问津。直到1 9 9 6 年， b a l ! e n t i n e 和z i b i n l 7 讨论了一个和f i d e l i t y 相似的一个量，并且数值计算了这个量 的量子和经典行为，认为对于混沌动力学系统而言，量子的稳定性要更高一些， 然而这些结果都没有得到更好的解释。随后g a r d i n e r 等人1 81 9 提出了在离子势中 测量f i d e l i t y 的实验方法，i g ? v s t c i n 和p a s t a w s k i 团队提出的一系列n m r ( n u c l c a r m a g n e t i cr e s o n a n c e ) 实验给f i d e l i t y 的研究注入了新的活力，当时虽然对于实验 结果也没有完全一致的解释，但是结果表明可能存在着不同的f i d e l i t y 衰减区域， 从而引起了大家对其理论上和数值上的探讨。 j a l a b e r t 并f l p a s t a w s k i z o 用量子传播子的半经典展开方法发现了f i d e l i t y 依赖 l y a p u n o v 指数的一种l y a p u n o v 衰减，在文献2 1 中作者第一次数值的得到了这个区 域；随后不同的作者分别通过随机矩阵理论2 2 、半经典方法2 3 和关联函数方法2 4 2 5 2 南京师范大学硕士学位论走第一幸 前言 得到了f i d c u t y 的f g r ( f e r m ig o l d e n r u l e ) 衰减；而对于足够小的微扰，f i d e l i t y 衰减呈现c - a u s s i a n 衰减。对于一个有着经典混沌对应的量子系统，f i d e l i t y 的衰减 依赖于微扰强度的大小，即有三个f i d e l i t y 衰减区域：g a u s s i a n 衰减、f g r ( f e r m i g o l d e nr u l e ) 衰减和i 归p l l n o v 衰减，并且还得到了2 22 3 控制三个区域之间转换的 微扰强度的大小。 除了关于量子f i d e l i t y 的研究，同时大家也关注经典f i d e l i t y ，在文献2 5 中对其 进行了初步的定义，且在一般系统和混沌系统中对其进行数值计算和讨论，得到 经典f i d c l i w 的l y a p u n o v 衰减2 6 ，表明量子f i d e l i t y 的l y a p u n o v 衰减是量子和经典相 对应的结果。 此外，近年来，由于量子信息和量子计算等领域的发展，f i d e l i t y 在其中也 得到广泛的应用。比如被应用于量子通信、量子克隆、量子纠错和量子计算理论 研究中，如纯态编码中的保真度2 72 8 凹，研究了n e u m a n ne n t r o p y 与保真度之 间的关系，并指出纠缠保真度与输入输出保真度之间的共性；量子信息传播过程 中保真度的最低匿蚕度，以及如何提高信息传播过程中的保真度3 0 3 1 3 2 3 3 3 4 ；量 子纠错中的保真度3 53 6 ；量子信息和量子隐性传态理论中的保真度；如何准确理 解不同环境下f i d e l i t y 的行为对于量子设备的稳定性有着重要的意义等。 总之，f i d e l i t y 的研究已成为很多领域中的一个热门问题，对于它的研究显 得非常重要，在本文中，我们要进一步拓宽f i d e l i t y 的应用范围，利用f i d e l i t y 去研究一些模型的金属绝缘体转变( m i t ) 问题，即把f i d e l i t y 引入到一些一 维模型当中，通过定义一些与时间有关和无关的f i d e l i t y 量，分别进行数值计算 且展开讨论，从而得出一些有意义的结论，具体如下： 在第二章中，我们对局域化、金属绝缘体转变和f i d e l i t y 的一般定义做了详 细的介绍，同时也给出了一些一维模型和目前对其的研究结果。 在第二章中，我们利用一个简单的一维h a r p e r 模型，先介绍其它作者对该 模型的研究结果，然后我们根据f i d e l i t y 理论定义与时间有关和与时间无关的 f i d e l i t y 量，进行一些数值计算，且讨论了相关模型参数对结果的影响。数值计 算结果表明：f i d e l i t y 可以区分局域态、扩展态和反映金属绝缘体转变 在第四章中，我们利用另外一个简单的一维s l o w l yv a r y i n gp o t e n t i a l 模型， 同样定义与时间有关和与时间无关的f i d e l i t y 量，进行一些数值计算。数值计算 南京师范大学项士学位论文 第一幸前言 结果表明：f i d e l i t y 可以反映这个模型的迁移率边的存在，且可以区分局域态、 扩展态和反映金属绝缘体转变 在第五章中，我们给出本文的主要结论及对以后工作的展望。 4 南京师范大学硕士学位论文第= 幸基本概念与背景 第二章基本概念与背景 2 1 引言 1 9 5 8 年，p w a n d e r s o n 在其著名的文章“a b s e n c eo fd i f f u s i o ni nc e r t a i n r a n d o ml a t t i c e s ”耵中讨论了无序晶格中电子的运动，提出了无序体系中电子 局域化的新概念，明确的提出了无序导致电子态局域化，使人们认识到无序体系 在本质上有新的行为，并不能纳人原有的理论框架，人们开始用新的眼光来审视 无序的影响。研究工作除物质的电子结构外，还扩展到其他领域，比如一些经典 波，+ 如光波3 8 ，声波3 9 等的局域化问题。 随后，随着一些其它科学家的相继加入，这个领域的一些基本的概念，比如 a n d e r s o n 局域化加，相干背散射和弱局域化，迁移率边4 1 ，局域化的标度理论4 2 等 被相继提出，局域化理论不断得到深化和扩展。并且相应的一些理论在很多方面 都取得了很好的验证和应用，其中金属绝缘体转变度引起大家的强烈关注。 2 2a n d e r s o n 模型 在低维凝聚态系统中，电子状态的局域化问题一直是一个引人注目的方向。 由于它与系统的输运性质，相变行为等密切相关。在那篇开拓性的工作中， a n d e r s o n 讨论了无序体系的电子态，明确的提出了无序导致电子态局域化这一 重要概念。论文假定格点的几何排列仍然是规则的，而每个格点的位场( 也可以 称为势o n - s i m ) 是变化的，如图2 1 示意地画出a n d e r s o n 假定的无规变化的势4 3 。 图2 - - ia n d e r s o n 无序势模型 用n 表示格点的位置墨，每一个格点上有一个轨道，也就是有一个波函数 w ( r r ) ，我们用i 一) 表示，能量本征值用e 表示，哈密顿量日可表示为： = e i 以) o i + 吃| i 栉) ( 即1 ( 2 1 ) 南京师范大学硕士学位论文 第= 幸基本概念与背景 a n d e r s o n 的原始模型基于紧束缚近似，在a n d e r s o n 模型中，e 与格点位 置有关，e 就是这个模型中的无规部分。假定e 围绕平均值变化的范围为w ， 是转移积分，表示不同格点之间的相互影响，在这里a n d c r s o n 只考虑了最近 邻相互作用，而且它是一个常量，即吃= t 。a n d e r s o n 证明了，当e 起伏足够 大时，能带中所有状态都将是局域态，存在一个临界值( w f ) 。，当( w f ) ( w t ) 。， 则在三维点阵中所有的电子态都是局域态，当( w f ) ( w t ) 。，在带边的电孚态 是局域态，而在中央的是扩展态。 2 3 迁移率边 基于a n d e r s o n 模型，m o r t 提出了迁移率边的设想，图2 - - 2 是其示意图“。 迁移率边是区分定域态和离域态的临界能量e 。迁移率边的概念可用于研究发 生金属绝缘体转变的掺杂半导体的杂质电导。通过改变无序度，特别是掺杂 半导体的杂质浓度，f e r m i 能级附近的离域态可以被定域化，这一过程可以改变 电导，从而使材料出现金属绝缘体转变，这就是a n d 豇 s o n 转变。 、新( 聊唆 。k 晦 疋 图2 2迁移率边 对于小的无序度，只有带尾的态是局域的。定域态的能量对应于价带顶或 导带底的尾巴，这些尾巴伸入能隙是因为无序势的存在使得相应的附加态成为合 理的。在每个能带的主要部分内，态都是扩展的。对小于临界值的中间无序度， 像图2 - - 2 显示的那样，有两个能量把定域态从扩展态里分离开来，这种能量分 界线称之为迁移率边。在无序绝缘体或半导体能隙的两边，定域态的尾巴延伸至 6 南京师范大学硕士学位论文 第二幸基本概念与背景 能隙中，它们可以交叠或不交叠，两个迁移率边之间的能量间距叫做迁移率隙， 这是晶态半导体能隙概念的直接延伸。 区分两者的能量界限是e 被称为m o r t 迁移率边。后来m o t t 依据f e r m i 能级 处于扩展态还是局域态，也就是f e r m i 能级是否越过迁移率边来表明系统处于金 属态或者绝缘态，并进一步指出，当f e r m i 能级越过迁移率边时会发生一种金属 绝缘体转变( m r r ) ，即a n d e r s o n 转变。很多人都企图分析临界值( w t ) ，但 是不同作者采取的方法也不相同。 2 4金属绝缘体转变( m i t ) “ 二十世纪二十年代末和三十年代初建立起来的能带理论比较成功地解释了 固体的导电问题，认为固体导电与否取决于能带中电子的填充情况，当存在部分 填充电子的能带时，固体为导体，反之则为非导体。在一定的外界条件影响下， 某些固体材料可以从导体转变为非导体，这一过程称为金属一绝缘体转变。 经典的能带理论是建立在单电子近似基础上的理论，不仅忽略了电子一声 子相互作用，而且认为每个电子在晶格中的运动是彼此独立的。但是这些电子的 运动实际上是相互关联的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。在窄 能带中，电子间的关联效应显得尤其明显，这就使得能带理论无法解释很多过渡 金属化合物的特性。同样，有些金属绝缘体转变用经典的能带理论就能够解 释，有些则与电子的关联效应有关，用经典的能带理论是不能解释的。 大体说来，金属绝缘体转变目前主要存在以下四种转变机制：w i l s o n 转变、p e i e r l s 转变、m o r t 转变和a n d e r s o n 转变。 ( 1 ) w i l s o n 转变 如图2 3 所示，如果两个能带没有交叠，f e r m i 能级位于两个能带之间， 材料是绝缘体( 或者是半导体) ；如果两个能带是交叠的，材料则是金属( 或 者是半金属) 。压力和温度的变化可能改变能带之间的相对关系，从而使材料发 生金属绝缘体转变。这种与能带是否交叠相对应的金属一绝缘体转变称为 w i l s o n 转变。 7 南京师范大学项士擘位论文第二幸基本概念与背景 ￥弧蕊 图2 3w i l s o n 转变示意图 ( 2 ) p e i e r l s 转变 图2 4 示意地画出了一维晶体由于结构变化引起的金属一绝缘体转变，设 想每个原胞中只有一个价电子。其中图( a ) 表示的是金属，具有半满的导带：图( b ) 表示近邻原子之间有一个小的位移，从而使原胞的晶格常数由a 变成2 a ，布里 渊区的边界发生移动，恰好落在f e r m i 面上( 如图( c ) 所示) 。由于在布里渊区边 有能隙存在，使得电子系统能量降低，这时由于能带分裂，电子填充能带的情况 由半满带变成了满带，从而使金属转变成为绝缘体。这种由于结构变化引起的金 属一绝缘体转变称为p e i e r l s 转变。 小八，、 几 厂、肌 昂弦弦呀昂荡葱 ( i ，( b ) 聃 q 砌f a k c 】 图2 4p e i e r l s 转变示意图 ( 3 ) m o r t 转变 对于只有一个s 电子的原子组成的晶体，按照能带理论，其价带是半满的， 它将呈现出金属导电性。假设使其晶格常数不断增加，其s 能带的宽度将变窄， 当成为孤立原子时，相应的能带就退化成s 能级，而每个原子是电中性的，不可 能呈现金属化电导，然而按照能带模型，它仍然是有半满的能带，应该是导电的， 这与对应原理显然不符。在这种窄能带的情况下，需要进一步考虑电子的关联效 应。 b 南京师范大学硕士学住论文第= 章基本概念与背景 图2 5h u b b a r d 模型解释金属一绝缘体转变的示意图 同一能级中的电子之间存在库仑排斥作用，使得它们之间有相关能u ( 有时 称为h u b b a r d 能) ，这将导致单能带分裂为两个子带。如图2 - - 5 所示，矗表示第 一个电子的能量，r o + 【，表示第二个电子的能量，是紧束缚近似的能带宽度， 考虑半满能带中的情况，当a - - 0 时，即不同格点上的原子局域轨道波函数不重 叠，晶体中电子只可能处o = r o 和写+ 【，能级；当a ，时，各格点周围的瓦和 瓦+ u 能级分别展宽成很窄的子能带，分别称为下h u b b a r d 带和上h u b b a r d 带， 它们彼此不相交叠，下h u b b a r d 带是满带，上h u b b a r d 带是空带，因而晶体仍然 是绝缘体；当【，时，以r o 为中心和以乃+ 【，为中心的这两个子能带彼此相交 和重叠，实际上成为一个半填满的能带，因而晶体就呈现出金属导电的性质。因 此，晶体是金属性或者绝缘体性取决于u 和的相对大小，在某个确定的比值 ( a u ) ，处将发生金属绝缘体转变。这种由上、下h u b b a r d 带引起的金属一 绝缘体转变称为m o t t 转变。 ( 4 ) a n d e r s o n 转变 根据a n d e r s o n 的无序模型，无序系统中电子的本征态可以分为两类：扩展 态和定域态。扩展态波函数遍及整个材料之中，而定域态波函数局限在某一局域 范围之内，随着与局域中心的距离增大，波函数呈指数衰减。如图2 2 所示， 在带顶和带底区域出现带尾，带尾区域中的电子态为定域态，带中间区域的电子 态为扩展态，它们之间的分界称为迁移率边。由于系统总的电导主要来自f e r m i 面附近电子的贡献，当占，位于扩展态区域时，材料表现出金属导电性；当睇位 9 南京师范大学硕士学位论文第二章基本概念与背景 于定域态区域时，材料呈非金属性质。如果改变条件，例如改变电子浓度，使 f e r m i 能级b 的位置小同：或者改变无序度，使迁移率边的位置移动，就可能使 f e r m i 能级从定域态区域经过迁移率边进入扩展态区域，从而使材料从非金属性 转变成金属性，反之亦然。这类金属绝缘体转变称为a n d e r s o n 转变。 2 5a n d e r s o n 金属绝缘体转变的研究 波的局域化研究的一个重要的里程碑是无序系统电导的标度理论4 2 。这一理 论借用了临界现象的基本理论概念，将系统的维度和局域化的密切关系揭示出 来。按照这一理论，无序的一维体系总是局域化的，而二维系统也是局域化的， 但处在边缘状态。对于一维的a n d e r s o n 模型，所有的本征态是局域的，没有区 分局域态和扩展态的迁移率边。也就是说，只有在高于二维的系统中才存在局域 态到扩展态的a n d e r s o n 转变。 但是在最近的理论计算中发现，在一维或着准一维的系统中，可以发生退局 域化转变。理想晶格中原子是周期性排列的，势函数为周期函数，晶格中电子在 周期性变化的势场中运动，电子的本征态波函数是布洛赫函数。一维格点的完全 周期和随机无序两种极端势场中，电子运动的本征态行为已经了解得比较清楚。 对于介于完全周期和随机无序之间的准周期系统，准周期非线性系统中电子的波 函数不再是布洛赫函数，电子本征态存在扩展态、局域态及临界状态。临界态既 不是扩展态也不是局域态，能谱为康托集。临界状态的存在，可理解为系统的非 周期性，而产生扩展态的原因就比较复杂，与不同类型晶格中原子间具体的关联 形式有关。 目前有很多模型被用来研究并显示出了存在类似于a n d e r s o n 的从局域态到 扩展态的金属绝缘体转变。先是早期s d a ss a r m a 等人提出的一维s l o w l y v a r y m gp o t e n t i a l 模型，且研究表明该模型存在着区分局域态和扩展态的迁移率 边；接着d u n l a p 等提出无规二聚体( r a n d o md i m e rm o d e l ) 模型3 ，明确的显示出 存在关联的一维无序体系可以出现扩展态。后来，在很多推广或变形的r d m 体 系4 5 678 ，如r a n d o mi i - m e rm o d e l r e p u l s i v eb i n a r ya h o y , r a n d o m b i p o l a r o n l a t t i c ea n dr a n d o md i m e r - t r i m e rm o d e l 等中也看到了这种关联引起的退局域化 效应；另外还有一些由于其他系统，如具有准一维链间无规耦合、无规链内耦合、 1 0 或对角无序平面一均匀平面面间藕合的低维系统9 均可发生退局域化转变；还比 如对一个形式简单的一维的h a r p e r 模型的研究表明，伴随着格点势能强度的增 加，该模型也表现出类似于无序体系的a n d e r s o n 金属绝缘体转变。下面我 们简单的给出一些这方面常用模型： 2 5 1h a r p e r 模型 h a r p e r 模型是一个最简单最常用的一个模型，在紧束缚近似下，一维h a r p e r 模型的哈密顿量可以用表示： h = - t ( c 一。+ t ，q ) + 圪q ( 2 2 ) 肛i- - l 其中，t 是最近邻跃迁积分( 一般取t = 1 ) ，( q ) 为第n 个格点位置 的产生( 湮灭) 算符，对于一维 - l p e r 模型，吒的形式如下： k=2cos(2册n)(2-3) 结果表明：当五 2 0 时，所有的态都是局域态。 2 5 2 s l o w l yv a r y i n gp o t e n t i a l 模型4 5 这个模型比h a r p e r 模型表现出更丰富的性质，它的哈密顿量同样如式 ( 2 2 ) ，所不同的是其中的 圪= 2 e o s ( 2 n o n o ) (0o1)(2-4) 有关研究表明；对于o d l ，当五 2 0 时存在两个迁移率边 e = ( 2 0 - 2 ) ，其中扩展态位于带的中间q e i 2 0 - 2 ) ，局域态位于带的边缘 ( 2 0 一名 i e l 2 0 时，所有的态都是局域态。 2 5 3 ( r a n d o md i m e rm o d e l ) 模型3 哈密顿量形式同( 2 - - 2 ) ，在这个模型当中，存在两种在位势圪和圪且 随机的安排在2 n 个格点上( 假定k 。= 匕。) ，其概率分别为q 和l - q ，结果表 明：扩展态出现在- 2 圪一l 2 区域。 南京师范大学硕士学位论文 第= 幸基本概念与背景 2 5 4 长程关联无序势( l o n g - r a n g ec o r r e l a t e dd i s o r d e r e dp o t e n t i a l ) 模型撕 哈密顿量形式同( 2 - - 2 ) ，模型中的在位( o n s i t e ) 势形式为： k ：秆阿町卜( 等也) c 2 曲 其中n 是格点的数目，呶为分布在【o ，2 石】范围内的n 2 个独立的随机相位， 有关研究表明：当口 2 0 时，既有局域态又 有扩展态，存在迁移率边。 2 6f i d e l i t y 的一般定义 f i d e l i t y 理论是统计物理、量子信息科学和量子混沌中一个重要的概念， 它是表示受干扰情况下一个态在演化过程中能够保持原来状态的程度，并广泛应 用于很多领域理论研究中，近年来对于它的关注程度越来越高，引起了物理学研 究领域的很大兴趣 2 6 1f i d e l i t y 在物理研究中的一般定义鲥耵 不失一般性，我们考虑一个含时哈密顿算符； 以( f ) = h o ( f ) + 矿( f ) ( 2 - - 6 ) 其中s 表示一个外部参数，比如磁场、势并形状等，如用玑( f ) 表示传播子 以( f ) = t e x p ( 一言f 出7 也( f ，) ) ( 2 7 ) 其中于代表时序。那么对于一个任意的初态i 甲) ，经过时间t 演化以后，状态变 为： l 甲，( f ) ) = 以( f ) i 甲) ( 2 8 ) 因此。对于同一个任意的初态i 、壬，) ，哈密顿量被扰动和未被扰动两种情况下 随时间演化时对应状态的交叠，我们把它定义为f i d e l i t y 振幅正( f ) ： 正( f ) = ( 壬，。( f ) l 甲。( f ) ) 1 2 南京师范大学硕士学位论文第= 章基本概念与背景 - - ( , e l u o ( 一f ) ( f ) i 甲) 它的模的平方就称之为f i d e l i t y = c o ) = ( f ) 1 2 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 从上述可以看出：f i d e l i t y 表示被扰动和未被扰动两种情况下随时间演化时对应 状态能够相同的概率。 2 6 2l d e l i t y 在量子信息科学中的应用 一、量子信息科学鹌 经典信息论诞生于2 0 世纪4 0 年代，是c e s h a n n o n 等人把数学概率 论应用于信息研究创立的。1 9 4 8 年，美国工程师c e s h a n n o n 发表了通信 的数学理论的论文，给信息以定量的科学描述，这是“信息论”作为一门科学诞 生标志。 2 0 世纪科学史上的另一重大发现是量子论。2 0 世纪2 0 年代诞生的量子力 学，告诉我们自牛顿以来诸多物理科学家们所建立的经典物理学，仅适用宏观世 界，对微观世界不适用的，微观世界遵循的是量子规律。量子力学就是我们描述 微观粒子运动规律的科学理论。世界本质上是量子的，经典规律只是量子规律在 宏观条件下的近似，因此量子力学加深了我们对物质世界本质的理解。 2 0 世纪8 0 年代以前，信息理论、计算机科学和量子力学作为不同的学科 互相平行地发展，几乎无人注意到它们之间的交叉和联系。最近2 0 多年来，人 们越来越清楚地认识到，它们之间存在着深刻的、密切的联系，人们用量子观点 对以经典物理为基础的信息论和计算机科学重新加以审视，于是产生了以量子力 学为基础的量子信息理论( 量子信息学) 。 量子信息( q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，q i ) 科学，是以量子力学的态迭加原理为基 础，研究信息处理的一门新兴的前沿科学，是现代物理学基础理论与信息科学技 术相互交叉而产生的一门充满活力的学科。量子信息是用量子态编码的信息，具 有和经典信息不同的新特点如量子态的非克隆性、量子信息的隐匿性、稠密编码、 量子隐形传态等。量子信息学包括量子计算机、量子离物传态、量子保密通讯、 量子非破坏测量等几个方面。 南京师范大学硕士学位论文 g - 章 基奉概念与背景 在量子通信、量子计算机和量子密码术中，量子态是信息的载体，量子通信 和量子计算机的运行要涉及量子态的传输问题，而量子态的传输必然要考虑保真 度的问题。 二、 f i d e l i t y 在量子信息科学中常用的定义 保真度是量子光学和信息科学领域中的一个重要的概念，是表示信息在传 输过程中保持原来状态的程度，它是通讯质量的一个重要参数，而且任何形式的 信息编码也要考虑保真度的问题。j o z s a 依据“跃迁几率”( t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y ) 首先提出保真度的概念，定义了量子混合态的保真度，后来被人们称为 b u r 龉 f i d e l i t y ( 或者i n p u t - o u t p u tf i d e l i t y ) ，其定义式为 讹枷= t r 佩历) ； 2 ( 2 1 1 ) 式中岛和岛为源信息和目的信息的密度矩阵。f ( 岛，岛) 取值范围在l 之间， 当f ( 岛，岛) = o 时，表示信息( 量子态) 在传输过程中完全失真，即表明初态和 末态相互正交，而当，( n ，p 2 ) = 1 时，表示为理想信息传输过程，即表明初态和 末态相同。一般情况下，0 f ( a ，岛) 1 表示信息在传输过程中存在失真现象。 另外在量子编码术中，为了描述量子信息的保真度，人们又定义了 e n t a n g l e m e n tf i d e l i t y 和a v e r a g ef i d e l i t y 4 9 ，e n t a n g l e m e n tf i d e l i t y 和a v e r a g e f i d e l i t y 主要应用于量子编码中。 假设r 和q 是两个量子系统，q 由n 维希尔伯特空间描述，在初始时刻， 复合系统r q 被制备在纠缠态i 甲尬) ，系统r 被隔离，与外界没有任何形式的 能量交换，其内部的哈密顿量也为零，而系统q 初始被制备在p 。态，受到演 化算符严的影响( 其中可能包括与外部环境的相互作用) ，态矢量发生变化，q 的演化可能经过编码、传输、译码等过程，而最后的态r q 可能是混合态，由 密度算符p 脚来描述，而在这个过程中的保真度 ，= 乃i 甲腔) ( 甲加i p 州= ( 甲叼i p 删f 甲垃) ( 2 1 2 ) 1 4 南京师范大学硕士学位论文第：幸基本概念与背景 就称为e n t a n g l e m e n tf i d e l i t y ”，是量度q 系统和参考系统r 的纠缠程度的保 真度，而e n t a n g l e m e n t f i d e l i t y 的大小仅与矿和严有关。 假设有一系列纯态，且第i 个纯态i 甲，。) 的几率幅为层，那么整个系列可以 表述为p 。= 卑j 壬，尸) ( 甲尸i ，如果我们把第i 个态使于动力学算符妒，则态可 演化为p d = 善oi 甲，。) ( 甲，。i ，则此时的输入一输出保真度为 e = ( 1 l ，。i n d i 甲，。) f = 层巧= 露( 甲尸i n di 甲，o ) ( 2 1 3 ) f 称为a v e r a g ef i d e l i t y 南京师范大学硕士学位论文第三章f i d e l i t y 在一雏h a r p e r 模型中的应用 第三章f i d e l i t y 在一维h a r p e r 模型中的应用 3 1 引言 + 自从a n d e r s o n 在1 9 5 8 年发表了那篇著名的论文3 7 ，金属绝缘体转变得到广 泛的关注。我们知道5 15 2 ，在一维无序系统中，所有的本征态是局域的，没有区 分局域态和扩展态的迁移率边；在二维情况下理论也肯定了定域态，至于是否存 在扩展态尚有争议：至于三维情况，一般都认为有定域态和扩展态，也有临界值。 也就是说，只有在高维的系统中才存在局域态到扩展态的a n d e r s o n 转变。然而 对高维的系统进行数值计算时，对系统的尺寸有着很大的限制，因此我们非常希 望找到一些一维的能够出现金属绝缘体转变的模型，从而对其进行各种各样的研 究。近年来，我们也发现在一些一维的模型中存在局域态到扩展态的金属绝缘体 转变和( 或)