（数学专业论文）度量测度空间的曲率维数条件和常平均曲率超曲面.pdf

k，jji ，ii、l，l 度量测度空间的曲率一维数条件和常平均 曲率超曲面 t h ec u r v a t u r e d i m e n s i o nc o n d i t i o nf o rm e t r i c m e a s u r es p a c e sa n dc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e h y p e r s u r f a c e s 博士后姓名 合作导师 流动站( 一级学科) 名称 专业( 二级学科) 名称 研究工作起始时间 研究工作期满时间 邓勤涛 朱熹平教授 数学 基础数学 2 0 0 8 年1 1 月 2 0 1 0 年1 1 月 单位名称中山大学数学与计算科学学院 报告提交日期2 0 1 0 年1 0 月3 0 日 摘要 在这篇博士后出站报告中，我们主要研究满足一定曲率维数条件的度量测 度空间的乘积曲率性质和局部到整体性质以及空间形式中的常平均曲率超曲 面。 第一章，我们首先回顾l o t t s t u r m - v i l l a n i 3 0 】 3 1 】 2 3 $ 1 j 用最优传输定义 的奇异空间上的广义r i c c i 曲率下界，即曲率维数条件。然后我们证明了曲率维 数条件的乘积性质，并且给出了v i u a n i 关于局部到整体猜想的一个反例。 第二章，我们研究了双曲空间肘1 ( 一1 ) 中具有常平均曲率日及有限指数 的完备超曲面，证明了：4 ( 一1 ) ( 5 ( 一1 ) ) 中具有常平均曲率h 2 雨6 4 ( 日2 两1 7 5 ) 及有限指数的完备超曲面必紧致；特别地，4 ( 一1 ) ( 皿5 ( 一1 ) ) 中具有常平均曲 率h 2 鬲6 4 ( 日2 丽1 7 5 ) 的稳定完备超曲面必为紧致的测地球面。这个结果改进 了x c h e n g 【1 3 】的定理，并且我们应用这个结果说明了 1 2 】和 1 4 】中某些定理的 研究对象不存在。 第三章，我们首先回顾了陈省身猜想的进展。然后我们研究了礼+ 1 维单位 球面中具有常平均曲率日的n 维闭超曲面，推广了成庆明等的一个结果。具体 讲，我们证明了：如果i g l g ( 竹) ，则存在仅依赖于竹和日的常数j ( n ，h ) 0 ，使 得若s o s s o + j ( 仃，日) ，则s = s o 且m 等距于c l i f f o r d 超曲面，其中g ( 礼) 是 仅依赖于n 的充分小的常数。 关键词：熵，曲率维数条件，常平均曲率，有限指数 a b s t r a c t i nt h i sr e p o r t ，w es t u d yt h et e n s o r i z a t i o np r o p e r t ya n dl o c a l i z a t i o np r o p e r t y o ft h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o nf o rm e t r i cm e a s u r es p a c e sa n dc o n s t a n t m e a nc u r v a t u r eh y p e r s u r f a c e si ns p a c ef o r m s i nc h a p t e r1 w ef i r s tr e c a l lt h er i c c ic u r v a t u r eb o u n d sf o rs i n g u l a rs p a c e s ( c a l l e dt h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o n ) d e f i n e db yo p t i m a lt r a n s p o r t a t i o n w h i c hw a sd e v e l o p e db ys t u r m 3 0 【3 1 】a n dl o t t v i l l a n i 【2 3 a n dt h e nw e p r o v et h et e n s o r i z a t i o np r o p e r t yo ft h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o na n dg i v e a nc o u n t e r e x a m p l eo fv i l l a n i sc o n j e c t u r ea b o u tt h el o c a l i z a t i o np r o p e r t yo ft h e c u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o nf o rm e t r i cm e a s u r es p a c e s i nc h a p t e r2 ，w ew i l lp r o v et h a ta n yc o m p l e t ef i n i t ei n d e xh y p e r s u r f a c ei n t h eh y p e r b o l i cs p a c e 4 ( 一1 ) ( 丑5 ( 一1 ) ) w i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a t u r eh s a t i s f y i n g h 2 丽6 4 ( 日2 甭1 7 5r e s p e c t i v e l y ) m u s tb ec o m p a c t s p e c i a l l y , w eo b t a i nt h a ta n y c o m p l e t ea n ds t a b l eh y p e r s u r f a c ei nt h eh y p e r b o l i cs p a c e 4 ( 一1 ) ( 5 ( 一1 ) ) w i t h c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r ehs a t i s f y i n gh 2 | 6 4 ( h 2 丽1 7 5r e s p e c t i v e l y ) m u s tb e c o m p a c t i ts h o w st h a tt h e r ea r en om a n i f o l d ss a t i s f y i n gt h e c o n d i t i o n so fs o m e t h e o r e m si n 1 2 1a n df 1 4 i nc h a p t e r3 ，w ef i r s ts u m m a r i z et h ep r o g r e s sf o rt h ef a m o u sc h e r n sc o n - e c t u r e a n dt h e nw ec o n s i d e rn - d i m e n s i o n a lc l o s e dh y p e r s u r f a c ew i t hc o n s t a n t m e a nc u r v a t u r e 日i nt h eu n i ts p h e r es n + 1w i t h 竹8a n dg e n e r a l i z et h er e s u l t o f 1 0 】t ob ep r e c i s e ，w ep r o v et h a ti flh l ( 佗) ，t h e nt h e r ee x i s t sac o n s t a n t 6 ( 佗，h ) 0 ，w h i c hd e p e n d so n l yo nna n dh ，s u c h t h a ti fs o s s o + j ( 扎，日) ， t h e ns = s oa n dm i si s o m e t r i ct oac l i f f o r dh y p e r s u r f a c e ，w h e r ee ( 礼) i sas u f f i - c i e n t l ys m a l lc o n s t a n td e p e n d i n go n 佗 k e y w o r d s ：e n t r o p y , c u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o n ，c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r e ， f i n i t ei n d e x 目录 摘要 i a b s t r a c t - i i i 目录 v c h a p t e r1o p t i m a lt r a n s p o r t a t i o na n d c u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n - d i t i o n 1 1 l 2w a s s e r s t e i ns p a c e s 1 2 p r 6 k o p a - l e i n d l e ri n e q u a l i t ya n db r u n nm i n k o w s k ii n e q u a l i t y 1 3s h a n n o ne n t r o p ya n de 咯n y ie n t r o p yo nt h es p a c eo fp r o b a b i l i t y m e a s u r e s 1 3 1s h a n n o ne n t r o p y 1 3 2 r 6 n y ie n t r o p y 1 4t h ec o n v e x i t yo fe n t r o p i e sa n dt h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i - t i o nf o rm e t r i cm e a s u r es p a c e s 1 5t e n s o r i z a t i o np r o p e r t yo ft h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o n 1 1 2 5 5 6 6 8 1 6 d i s p r o v i n gc o n j e c t u r e3 0 3 4i n 3 8 】1 1 c h a p t e r 2c o m p l e t eh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a nc u r v a - t u r ea n df i n i t ei n d e xi nh y p e r b o l i cs p a c e s 1 7 2 1i n t r o d u c t i o n 1 7 2 2p r o o f so ft h et h e o r e m s 1 9 c h a p t e r 3c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r eh y p e r s u r f a c e si ns p h e r e s 2 7 3 1i n t r o d u c t i o n 2 7 3 1 1m i n i m mh y p e r s u r f a c e si ns n + 1 2 7 度量测度空间的曲率一维数条件和常平均曲率超曲面 3 1 2c o n s t a n tm e a nc u r v a t u r eh y p e r s u r f a c e si ns 几十1 2 9 3 2 b a s i cf o r m u l a sf o rc l o s e dh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n tm e a n c u r v a t u r ehi ns 叶1 ( 1 ) 3 0 3 3p r o o f so ft h et h e o r e m 3 1 参考文献3 7 简历4 3 发表文章目录4 5 科研基金目录4 7 承担教学情况5 1 致谢5 3 c h a p t e r1o p t i m a lt r a n s p o r t a t i o na n d 11r、j11 u u r v a t u r e l ，l m e n s l o n 乙；o n q i t l o n i nt h i sc h a p t e r ，w em a i n l yt a l ka b o u tt h er i c c ic u r v a t u r eb o u n d sf o rs i n g u l a r s p a c e sd e f i n e db yo p t i m a lt r a n s p o r t a t i o nw h i c hw a sd e v e l o p e db ys t u r m 【3 0 】 3 1 】 a n dl o t t v i l l a n i 2 3 1 1 l 2w a s s e r s t e i ns p a c e s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lr e v i e wb a s i cc o n c e p t sa n dr e s u l t si nw a s s e r s t e i n s p a c e s d e f i n i t i o n1 1l e t ( m ，d ) b eac o m p l e t es e p a r a b l em e t r i cs p a c ea n d 肛a n dz b et w ob o r e lm e a s u r e so nm w es a yt h a tab o r e lm e a s u r eqo nm mi sa c o u p l i n go fp a n d i fa n do n l yi f q ( a m ) = p ( a ) ，q ( m a ) = ( a ) f o ra l lb o r e lm e a s u r a b l es e tacm d e f i n i t i o n1 2t h el 2w a s s e r s t e i nd i s t a n c eb e t w e e n 弘a n d i sd e f i n e da s 如( p ，)曲f 。d e n o t e 乞( 彳，d ) = ：i sap r o b a b i l i t ym e a s u r e 。nm w i t h d 2 ( 。，x ) d ( z ) j m ) p r o p o s i t i o n1 3 ( 1 ) ( 伤( m ，d ) ，d w ) i sac o m p l e t es e p a r a b l em e t r i cs p a c e ，c a l l e d l 2w a s s e r s t e i ns p a c e ( 2 ) ( 。p 2 ( m ，d ) ，d w ) i sac o m p a c ts p a c eo ral e n g t hs p a c ei fa n do n l yi f ( m ，d ) i s 2 度量测度空间的曲率维数条件和常平均曲率超曲面 ( 3 ) d w ( ，p ) o0i fa n do n l yi f j 肛a n d f o rs o m ep o i n t0 m 舰s u p 厶b r ( 0 ) d 2 ( 叩) 训z ) = 。 1 2 p r 6 k o p a - l e i n d l e ri n e q u a l i t ya n db r u n nm i n k o w s k i i n e q u a l i t y i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lr e v i e wt h ep r 6 k o p a - l e i n d l e ri n e q u a l i t ya n db r u n n m i n k o w s k ii n e q u a l i t yi n 融a n dt h e i rg e n e r a l i z a t i o n st or i e m a n n i a nm a n i f o l d s p l e a s es e e 1 9 】f o rs u r v e yo fb r u n nm i n k o w s k ii n e q u a l i t ya n ds e e 1 7 】f o ri t s g e n e r a l i z a t i o no nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s f i r s t ，w er e c a l lt h et h ep r 6 k o p a - l e i n d l e ri n e q u a l i t ya n db r u n nm i n k o w s k i i n e q u a l i t yi nr na n dg i v ed e t a i l e dp r o o f s t h e o r e m1 4 ( p r 6 k o p a - l e i n d l e ri n e q u a l i t yi nr n ) l e t0 t)dt00jj 上- 厂( z ) 如+ a 上9 ( z ) 如 ( 上，c z ，如) 1 _ a ( 上9 c z ，如) a ， w h i l et h es e c o n di n e q u a l i t yh o l d sb e c a u s ef o ra n y0 亡) ) ( 1 一入) z ：f ( x ) t ) + 入 亡) ( 2 ) s u p p o s et h a tt h er e s u l ti st r u ef o r1 ，2 ，n 一1 t h e nb yf u b i n i s t h e o r e ma n di n d u c t i v eh y p o t h e s i s ，w eh a v e 上。 ) d x = 上上。一，九( 名，c ) 比如 ( 上厶郴z d a ) 1 。a ( 上l 咖础) a ( 厶 f ( x ) d x t h ea b o v ei n e q u a l i t yh o l d sb e c a u s e w h i c hi m p l i e s 卜a ( 小帕) 入 h ( z ，c ) = ( ( 1 一a ) z 十a y ，( 1 一a ) o + a b ) = 九( ( 1 一入) ( z ，a ) + a ( 可，6 ) ) ( x ，o ) 1 - a g ( y ，6 ) a ， 厶一，c ) 如( 厶- l ，n ，如) 卜入( g f 豫n _ lg 岫) a t h e o r e m1 5 ( g e n e r a lb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i t yi nr n ) l e t0 入 1 t ( 1 5 ) t h e o r e m1 7 ( ar i e m a n n i a np r 6 k o p a - l e i n d l e ri n e q u a l i t y , e r a u s q u i n - m c c a n n - s c h m u c k e n s c h l e r ，2 0 0 1 ) l e tm b eab ec o n t i n u o u sc u r ? d e d _ ，n d i m e n s i o n a zr i e m a n n n i a nm a n i f o l do nw h i c hr i c ( 几一1 ) kh o l d s 如rs o m ek r f tt 0 ，1 】 l e tf ，g ，h20b en o n n e g a t i v ef u n c t i o n so n 尬a n da ，bb eb o r e ls u b s e t so fm c a r - r y i n gt h e 如z zm a s so f fa n dg ，r e s p e c t i v e l y a s s u m et h a t o re v e r y ( x ，y ) a b a n de v e r yz z t ，y ) a n dd ：= d ( x ，y ) s a t i s f y t h ；e n 吣) ( 珊) 舻1 f l - t g t ， 厶 ( 厶，) 1 - 。( 厶夕) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 1 3s h a n n o ne n t r o p ya n dr 6 n y ie n t r o p yo nt h es p a c eo f p r o b a b i l i t ym e a s u r e s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lr e v i e wt w oi m p o r t a n te n t r o p i e so i lt h es p a c eo fp r o b - a b i l i t ym e a s u r e s p l e a s es e e 【3 0 】 3 1 f o rd e t a i l s 1 3 1 s h a n n o ne n t r o p y l e t ( m ，d ，m ) b ea m e t r i cm e a s u r es p a c e ，w ed e n o t e 死( m ，d ，m ) ：= 死( m ，d ) t h e nw ed e f i n et h es h a n n o ne n t r o p y a sf o l l o w s ： ：m ) e n t ( i r a ) ：= 船厶f 9 1 n p 加 6 度量测度空间的曲率一维数条件和常平均曲率超曲面 f o ra n y 2 = p m 伤( m ，d ，m ) e n t ( i m ) ：= o o d e n o t e i f 伤( m ，d ) 伤( m ，d ，m ) ，w ed e f i n e 磁( m ，d ，m ) ：= p 2 ( m ，d ，m ) ：e n t ( v ) ) p r o p o s i t i o n1 8i fm ( m ) kf o rs o m ek ri fa n do n l yi ff o ra n yp a i ru o ， 1 磅( m ，d ，m ) t h e r e e x i s t sag e o d e s i c f ：【0 ，1 】- 磋( m ，d ，m ) w i t h s u c ht h a t r ( 0 ) = 峋，r ( 1 ) = j 1 e n t ( r ( t ) j m ) ( 1 一亡) e n t ( r ( 0 ) l m ) + e n t ( i 、( 1 ) l m ) 一虿k 亡( 1 一亡) 岛( f ( o ) ，r ( 1 ) ) f o ra l lt 【0 ，1 】，i e t h es h a n n o ne n t r o p yi sw e a k l yk - c o n v e x ( 2 ) w es a yt h a ta m e t r i cm e a s u r es p a c e ( m ，d ，m ) l o c a l l yh a sc u r v a t u r e _ ki ff o r a n yx m t h e r ee x i s t san e i g h b o r h o o dm 7 o fzs u c ht h a tt h es h a n n o ne n t r o p y i sw e a k l yk - c o n v e xi nm 7 f o ra l lk r ，n 1a n dp 乏+ ，t o ，1 】，w ed e f i n e f 岛( 口) ：= 【 i fk 0 i fk = 0 i fk n 1 5t e n s o r i z a t i o np r o p e r t yo ft h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o n c o n d i t i o n t h e o r e m1 1 2 ( d e n g - s t u r m ，2 0 1 0 ) l e t ( 坛，d i ，m t ) b en o n - b r a n c h i n gm e t r i c m e a s u r es p a c e ss a t i s f y i n gt h ec u r v a t u r e - d i m e n s i o nc d ( k i ，魁) w i t h 批1f o r i = 1 ，2 ，k t h e n 南 ( m ，d ，m ) ：= o i = 1 ( 尬，d i ，m i ) s a t i s f i e sc d ( m i n i 尬，警1m ) t h ep r o o fo ft h i sr e s u l te s s e n t i a l l yd e p e n d so nt h ee s t i m a t ei nt h ef o l l o w i n g l e m m a t h el a t t e rw a sa l r e a d yo b t a i n e db ys 0 h t a ( s e e 2 6 1c l a i m3 4 ) w i t ha l o n gc o m p u t a t i o n b e l o ww ep r e s e n tas h o r tp r o o fb a s e do nl e m m a 1 2i n 3 1 】 t h e a n a l o g o u se s t i m a t ew i t ht h ec o e f f i c i e n t s 磺_ r e p l a c e db yt h es l i g h t l ys m a l l e r c o e f f i c i e n t s 磺h a db e e nu s e di n 2 】t od e d u c et h et e n s o r i z a t i o np r o p e r t yo ft h e r p 小c e dc u r v a t u r e - d i m e n s i o nc o n d i t i o n l e m m a1 1 3 f o ra n yk ，r ，a n yn ，n 7 ( 1 ，o o ) ，a n yt 0 ，1 】a n da n y c h a p t e r1o p t i m a lt r a n s p or ：i a t i o na n dc u r v a t u r b d i m e n s i o n c o n d i t i o n9 口1 ，口2 毫+ w i t hp 2 = 口 + 口；w eh a v e r k t ，) n t ) ) p 2 ) p r o o ft h ei n e q u a l i t y 盯( p ) 撑，和) 7 d e r i v e di n 【3 1 】，l e m m a1 2 ，i m p l i e s ) + ，( 口) + 盯怂k ，+ ，( 口) + 2 ，( 口) = t 盯铭, n t - 1 ( 口) 7 一= 疆l ( p ) 1 盯嚣, n - i ( 日) 7 1 摆，( p ) c o m b i n i n gt h i sw i t ha n o t h e ri n e q u a l i t yf r o m 3 1 ，l e m m a 1 2 ： y i e l d s ) ( 日) 仃铭，( p ) ) ( p ) j ，( 口) ，t ，k ( k t ) + k ，+ ，( p ) + 7 i k ，+ ，( 口) + ( 1 1 5 ) n o w 。b s e et h a t ) ( 叫= 嗡k ，( 秽) a n d k 舻2 ) = 嗡之 ，( 口) t h e n t h ec l a i mf o l l o w sf r o m ( 1 1 5 ) l e m m a1 1 4l e ta ，b ，c ，db ep o s i t i v en u m b e r sa n dp ( 0 ，1 ) ，t h e n a p b l - p + d d 1 - p ( a + c ) p ( b 十d ) 1 一p p r o o fb yt h ec o n c a v i t yo ft h ef u n c t i o ni nz ，w eh a v e 山而a ”刊l n 丽b 1a n df o re a c hp a i rk t h e r ee x i s t sa0 + 0 s t f o ra l l0 ( 0 ，p 4 ) ，a l lt ( 0 ，1 ) a n da l ln n o ，o 。) j ，( p ) 盯2 ( 口) ( 1 1 9 ) t os i m p l i f yn o t a t i o n ，h o w e v e r ，i no u rp r e s e n t a t i o nw ew i l lr e s t r i c to u r s e l v e s t ot h ec a s ek 0 r e c a l lt h a ti nt h i sc a s e 盯芸( 口) = s l n( 侮口) ( 停) s 1 n a n d 碟) ( 9 ) = 亡1 艘一，( p ) 1 一州 1 2 度量测度空间的曲率维数条件和常平均曲率超曲面 i nt h eo t h e rc a s e s0 k k 7a n dk 0 k 7 c o m p l e t e l ys i m i l a ra r g u m e n t s w i l la p p l y c l a i m1 1 6 3 c 0 ，8 0 ：v t ( 0 ，1 ) ，v 0 ( 0 ，) ： a n d s s i i n n ( t 0 ) _ 9 ( 1 + ( 1 - t ) 萨 1 + ) 丽s i n ( t 0 ) 狰( 1 + 石1 ( 1 。炉 1 一 ) p r o o f u n i f o r m l yi nt ( 0 ，j ，t h ec l a i mi m m e d i a t e l yf o l l o w sf r o mt h es t r a i g h t f o r - w a r da s y m p t o t i c s 丽s i n ( t o ) = 百t o - - 西t 8 1 3 而3 _ 1 _ 0 万( 0 5 ) “( 1 + 石1 ( 1 。) n 叩4 ) ) f o r p 。 a l r e a d yp r e s e n t e di nt h ep r o o fo fp r o p o s i t i o n5 5 f o rt i 1 ，1 ) w eu s et h i s a s y m p t o t i c s ( w i t h1 一ti nt h ep l a c eo ft ) t od e d u c e 丽s i n ( t 0 ) = c o s ( ( 1 删一则) 哿 = 1 一学n ( 1 叫州) = 一1 - 互1 仃2 + 。( 口4 ) ( 1 一亡) ( 1 + 2 t ( 1 - - t ) 0 2 + o ( 秽4 ) ) = 亡( 1 + 石1 ( 1 一亡2 ) 口2 1 + 。( 口2 ) ) c l a i m1 1 7p u tp 1 = m i n o o , 刍g ，赤) t h e nf o ra l l 目( o ，口1 ) ，a l lt ( o ，1 ) a n da l ln 1 ，) 峨矽- (