（理论物理专业论文）复杂网络上ashkinteller模型的相变.pdf

摘要 在本文中，我们运用m o n t ec a r l o 方法研究了复杂网络上各向同性 a s h k i n t e l l e r 模型的铁磁相变，其内容和结果包括以下两个方面： ( 1 ) 利用m o n t ec a r l o 模拟，我们研究了一维附加型小世界网络上各向同 性a s h k i n - t e l l e r 模型的铁磁相变，得到了不同附加概率p 下的三类相图。结果 表明，各向同性a s h k i n - t e l l e r 模型的三类相图都包含三个相，即完全有序的铁 磁相( 0 ， 0 ， 0 ，但 - - - - ) 、完全无序的顺磁相 ( = 0 ， = 0 ， - 0 ) 以及部分有序的铁磁相( 0 ， = 0 ， - 0 ) 。当附加概率p 较小时，各相之间的转变都是二级相变；而当附加概 ? 率p 增大时，在咒k = 1 0 附近，完全有序的铁磁相和完全无序的顺磁相之间 以及完全有序的铁磁相和部分有序的铁磁相之间的转变将逐渐出现一级相变。 ( 2 ) 利用m o n t ec a r l o 模拟，我们研究了二维重连型小世界网络上各向同 性a s h k i n - t e l l e r 模型的铁磁相变，并得到了不同重连概率p 下的相图。结果表 。 一 明，重连概率p 对相图的结构影响很小，此类相图均由3 个相组成，即完全有序 的铁磁相( 0 ， 0 ， 0 ，但 = ) 、完全无序的顺磁 相( = 0 ， = 0 ， _ 0 ) 和部分有序的铁磁相( 0 ， = 0 ， = 0 ) 。在x 。k = 1 0 附近，完全有序的铁磁相和完全无序的顺磁相之间以 - 及完全有序的铁磁相和部分有序的铁磁相之间的转变都出现了一级相变线，这与 规则二维格子上各向同性a s h k i n t e l l e r 模型的铁磁相变有很大的不同。 关键词：相变；复杂网络；m o n t ec a r l o 方法；相图 a b s t r a c t i n t h i st h e s i s ，t h ep h a s et r a n s i t i o n so ft h ei s o t r o p i ca s h k i n t e l l e rm o d e lo i lt h e c o m p l e xn e t w o r k sa r es t u d i e db yu s i n gm o n t ec a r l os i m u l a t i o n s a n dt h em a i nr e s u l t s a r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) w es t u d i e dt h ep h a s et r a n s i t i o n so ft h ei s o t r o p i ca s h k i n t e l l e rm o d e lf o rt h e f e r r o m a g n e t i cc a s eo nao n e - d i m e n s i o n a la d d i n g - t y p es m a l lw o r l dn e t w o r k , a n dg o t t h r e ev a r i e t i e so fp h a s ed i a g r a m sf o rd i f f e r e n ta d d i t i o n a lp r o b a b i l i t y p i ti sf o u n d ， t h a te a c ho ft h et h r e ev a r i e t i e so fp h a s ed i a g r a m s ，f o rt h ei s o t r o p i ca s h k i n t e l l e r m o d e l ，c o n s i s t so f t h r e ep h a s e s ，i e ，t h ef u l l yo r d e r e df e r r o m a g n e t i cp h a s e ( 0 ， 0 ， 0 ，b u t = ) ，t h ef u l l yd i s o r d e r e dp a r a m a g n e t i cp h a s e ( = 0 ， = 0 ， = o )a n dt h e p a r t i a l l y o r d e r e df e r r o m a g n e t i c p h a s e ( 0 ， = 0 ， = 0 ) t h e r e a r e o n l ys e c o n d o r d e r p h a s e t r a n s i t i o n s a m o n gt h r e ep h a s e si nt h ep h a s ed i a g r a m sw i t has m a l l e ra d d i t i o n a lp r o b a b i l i t yp 。 ， y h o w e v e r , w i t ha d d i t i o n a lp r o b a b i l i t ypi n c r e a s i n g ，f i r s t o r d e rp h a s et r a n s i t i o n se x i s t b e t w e e nt h ef u l l yo r d e r e df e r r o m a g n e t i cp h a s ea n dt h ef u l l yd i s o r d e r e dp a r a m a g n e t i c p h a s ea sw e l la sb e t w e e nt h ef u l l yo r d e r e df e r r o m a g n e t i cp h a s ea n dt h ep a r t i a l l y o r d e r e df e r r o m a g n e t i cp h a s ei nt h ep h a s ed i a g r a m sc l o s et ot h es t r e n g t h k 4 | k ! 文0 ( 2 ) w ea l s os t u d i e dt h ep h a s et r a n s i t i o n so ft h ei s o t r o p i ca s h k i n t e l l e rm o d e lf o r t h ef e r r o m a g n e t i cc a s eo n at w o d i m e n s i o n a lr e w 。i r i n g - t y p es m a l lw o r l dn e t w o r k ，a n d g o tp h a s ed i a g r a m sf o rt h ed i f f e r e n tv a l u e so fr e w i r i n gp r o b a b i l i t yp i tc a nb ef o u n d t h a tt h er e w i r i n gp r o b a b i l i t yph a v el i t t l ee f f e c to nt h es t r u c t u r eo ft h ep h a s e d i a g r a m s ，e a c ho fw h i c hc o n s i s t so ft h r e ep h a s e s ，i e ，t h ef u l l yo r d e r e df e r r o m a g n e t i c p h a s e ( 0 ， 0 ， 0 ，b u tr = ) ，t h ef u l l yd i s o r d e r e d p a r a m a g n e t i cp h a s e ( = 0 ， = 0 ， = 0 ) a n dt h ep a r t i a l l yo r d e r e d f e r r o m a g n e t i cp h a s e ( 0 ， = 0 ， = 0 ) c l o s et ot h es t r e n g t h k 4 k 22 1 0 ，t h e r e a r ef i r s t o r d e rp h a s et r a n s i t i o n sb e t w e e nt h ef u l l yo r d e r e d f e r r o m a g n e t i cp h a s ea n dt h ef u l l yd i s o r d e r e dp a r a m a g n e t i cp h a s ea sw e l la sb e t w e e n t h ef u l l yo r d e r e df e r r o m a g n e t i cp h a s ea n dt h ep a r t i a l l yo r d e r e dp h a s e ，w h i c ha r e i l d i f f e r e n tf r o mt h ec a s eo ft h et w o - d i m e n s i o n a lr e g u l a rl a t t i c e k e yw o r d s ：p h a s et r a n s i t i o n ；c o m p l e xn e t w o r k s ；m o n t ec a r l om e t h o d ；p h a s e d i a g r a m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作薯签名：欲阳印 签字日期：矽曙年彭月牛日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：欧阳砷 签字日期：劢孝年月垆日 导师签名：cf ，生 中 签字日期：厶时肄6 月年日 复杂网络上a s h k i n t e ll e r 模型的相变 1 引言 1 1 相变与临界现象 1 1 1 相变及其分类 相变是指系统由一个热力学相转变为另一个不同的热力学相，它是自然界 广泛存在的一类突变现象。相变是有序和无序两种倾向矛盾斗争的表现，相互作 用导致组织和有序，热运动引起无序和混乱。从统计物理的角度看，它可以表现 为玻耳兹曼因子中蜃和k 丁的对比。在缓慢降温的过程中，每当一种相互作用的 特征能量e 足以和热运动能量如丁相比时，系统的宏观状态就可能发生突变。换 句话说，当温度降低到一定程度，以致热运动不再能破环某种特定相互作用造成 的有序时，就孕育着一个新相的产生。 根据化学势z ( 也可采用自由能f 或吉布斯函数g ) 在槽变点的行为可以 鬈- 将相变划分为不同的级。在相变点，如果化学势本身连续，但化学势的一阶导 数不连续，这种相变称为一级相变。系统发生一级相变时，其宏观状态发生突变， 伴有明显的体积变化和热量的吸收或者放出( 即存在相变潜热) ，并且在相变点 两相可以共存。在相变点，如果化学势和它的一阶导数连续，但它的二阶导数 不连续，这种相变称为二级相变。系统发生二级相变时，不存在体积变化和潜热， 在相变点每一侧只有一个相能够存在，不容许有过冷、过热和两相共存。其宏观 状态不发生任何突变，而是连续变化的。因此，二级相变也称为连续相变。连续 相变的相变点称为临界点，其温度用z 来表示。 1 1 2 序参量 发生二级相变时，体系的宏观状态虽然是连续变化的，但是其内部对称性却 发生突变。通常，在临界温度以上的高温相，对称性较高，有序度较低；而临界 温度以下的低温相，对称性较低，有序度较高。高温相对称性较高，但并不表示 它一定是无序的。许多相变都是从一种有序到另一种有序的变化。 为了描述相变中对称性的变化，或者说有序度之间的关系，热力学中引进 硕士学位论文 个参数7 7 ，令r = 0 代表一种比较无序的态，r o 代表一种比较有序的态，这个 参数7 7 就称为序参量。发生连续相变时，随着温度的降低，序参量在临界点t = z 处连续地从零变化到非零值。序参量反映了系统内部对称性的变化，只要它具有 无穷小的非零值，就意味着对称性发生了质的改变，出现了有序。对于不同的系 统，序参量可以对应不同的物理量，如气液相变的序参量是液相密度p ，与气相 密度如之差；液4 h e 的正常一超流相变，序参量是4 h e 原子的量子力学几率振幅； 对超导相变，序参量是电子对的量子力学几率振幅等。序参量本身并不是二级相 变的特征，对某些一级相变，也可引入序参量来描述，但它在相变点有不连续的 跃变。 现在以最简单的单轴各向异性铁磁体为例加以说明。铁磁物质的原子具有固 有磁矩。两个相邻原子在其磁矩平行时具有较低的相互作用能量。在绝对零度时， 系统处在能量最低的状态，所有原子的磁矩取向相同，是完全有序的状态。此时 系统的自发磁化强度我们用聊( 0 ) 来表示。我们知道，单轴各向异性铁磁体具有 一个容易磁化的晶轴，原子磁矩的取向只能平行或反平行于这个轴，因此聊( o ) 也 只能沿着这个轴譬向上或者向下是由偶然的因素来决定的。随着温度的升高，热 运动使得有序取向的趋势逐渐减弱，但只要温度不超过临界点z ，仍有为数较多 的原子磁矩沿某一取向。这就是铁磁物质存在自发磁化强度m ，且m 随着温度 的升高而减小的原因。我们以聊( 丁) 表示温度为丁时系统的自发磁化强度。当温 度达到居里温度乃以后，热运动占优势，两种取向机会均等，此时宏观的自发磁 ， 化强度变为零，铁磁性消失，由铁磁体变成顺磁体。图卜l 为r e ( r ) 随丁变化的 示意图。 在居里温度z 以上是顺磁相，没有自发磁化，自旋方向向上或向下的概率是 均等的；在居里温度r 以下是铁磁相，自发磁化或者向上，或者向下，于是破坏c 、。 了上下的对称性，这种对称性的突然降低，称为对称的破缺。我们可以用自发磁 化强度m 作为序参量。对于单轴铁磁体，序参量m 是一个代数量，正号对应于 磁矩向上，负号对应于磁矩向下。 2 复杂网络上a s h k i n - t e l l e r 模型的相变 _ 、 j 飞 ? 图卜1 m ( 7 ) 一t 图线 1 1 3 临界现象和临界指数 发生二级相变时，在临界点附近系统的热力学量表现出一系列特殊的性质， 比如某些热力学量趋于无穷，具有很强的涨落和关联，这种现象称为临界现象。 在临界点的邻域，这些热力学量可以表示为幂函数的形式。这些数幂一般是非整 数，称为临界指数。我们以铁磁体为例定义各临界指数： ( 1 ) 序参量随温度的变化，临界指数 当磁场b = 0 且温度t 很接近瓦时， 形式： m ( t ，o ) o c ( i 一丁) ， 磁化强度m 与瓦一丁的关系为幂函数的 ( r 哼z 一0 ) ( 卜1 ) ( 2 ) 零场磁化率随温度的变化，临界指数， 零场磁化率z 定义为： z = ( 丝a b 乩卅 当丁一乏时，z 以幂函数形式趋于无穷： z l 丁一互i - 7( 丁_ 瓦) ( 3 ) 比热随温度的变化，临界指数口 在磁场b = 0 时，当丁哼z 可以观测到比热c 趋于无穷： c 虻l 丁一z i - 1 7( r 一乃) ( 4 ) 关联长度，临界指数u ( 1 2 ) ( 1 - 3 ) 硕士学位论文 ，关联长度孝在r 一乏时趋于无穷大，这是临界现象的本质特征。这一发散行 为可以用临界指数d 来表征： 善芘i 丁一z 1 ”( 丁_ 瓦) ( 1 4 ) ( 5 ) 序参量随磁场的变化，临界指数万 当t = z 时，对小的b 值，。m 随b 的关系也是幂函数形式： m b “占( t = z ) ( 卜5 ) ( 6 ) 序参量的涨落，临界指数7 7 定义自旋密度一密度关联函数为 c 船( r ) = ( j ( r ) - s ) ( s ( o ) - s ) ， 其傅氏分量用c ”( 尼) 表示。实验表明，在丁一互时，对k 0 ( 长波长极限) ，c ”( 七) 随k 的变化也为幂函数形式： c 。( 露) k 。2 岬( t 一乏，k 0 ) ( 1 6 ) 在上述6 个临界指数中，除口联系着比热以外，其余5 个均与序参量在临界 点邻域的行为相联系，其中，万直接表征序参量随温度和作用场的变化，而，7 ，u 则联系着序参量的涨落。具有相同临界指数的不同系统属于同一个普适类，它们 表现出相同的临界行为。 1 2 复杂网络概述 网络是指一个包含了大量个体以及个体之间相互作用的系统乜1 。网络广泛地 存在于自然界和人类社会中，从i n t e r n e t 到w w w ，从化学反应到生物食物链， 再到人类社会的各种政治经济关系、科学家之间的工作合作关系、科技引文，以 及疾病、流言的传播等，都呈现出复杂网络的拓扑特性，因此大量的复杂系统都 可以抽象成网络来进行研究口刮。 对网络的研究最初主要是离散数学的分支一图论的范畴。在图论中，网络是 指由一个点集v ( g ) 和一个边集e ( g ) 组成的一个图，且e ( g ) 中的每条边乞有 v ( g ) 的一对点( ”， ，) 与之相对应。记顶点数为n = m ，边数为l = 蚓e 。如果任意 的( “，) 与( ，”) 对应同一条边，则称为无方向网络，否则即为有方向网络。网绛 ， 的拓扑结构主要包含了两个元素，即系统的节点元素和连接节点的边。网络中大 4 复杂网络上h s h k i n - t e ll e r 模型的相变 规模的节点和连接边的性质的不同意味着不同的网络内部结构。网络的拓扑性质 可以用度及其分布、集聚系数、最短路径长度以及介数等静态几何参量来描述。 1 2 1 复杂网络的静态几何参量 ( a ) 度及其分布特征( d e g r e ea n dt h ed e g r e ed i s t r i b u t i o n ) ： 一个顶点”的度是指与这个顶点相连的边的数量，或这个顶点的最近邻的顶 点个数k ，用吮表示，即 + 吒= 8 7 = 后 ( 1 7 ) l e e 其中记号群表示当边，包含顶点甜时取值为1 ，否则为0 。 对于有方向网络度值包括两部分，即为出射度( o u td e g r e e ) 和入射度( i n d e g r e e ) ，它们的表达式分别为： = 矿 ( 1 8 a ) ， p e y 和 站= 8 ”。 ( 卜8 b ) w v 其中记号万”表示当存在由顶点u 指向顶点v 的边时取值为1 ，否则为o ；而记号 万“表示当存在由顶点1 ，指向顶点u 的边时取值为1 ，否则为0 。对于有方向网络， 通常万州万”。 在复杂网络中，通常情况下各顶点的最近邻数目时不同的。为了体现度的分 布特征，用度分布见( 尼) 表示顶点u 有七个最近邻的几率，它满足： 见( 七) = 1 ( 1 9 ) 量 度分布是网络的重要几何性质。、 ( b ) 集聚系数( c l u s t e rc o e f f i c i e n t ) ： 网络，。尤其是社会网络，具有一个重要特征：出现“小集团”，即网络集团 化，集团内部个体彼此“认识 。为了描述网络的这种性质，可以引入集聚系数 这个概念。定义如下：设顶点“有屯个最近邻，这吃个最近邻中可能存在的边的 数目最多为 c 2 = 屯( 吒一1 ) 2 。 而这些最近邻之间实际存在的连接数为色，则 硕士学位论文 e 专2 惫( 1 - 1 0 ) 很明显e i o ，1 】。于是我们可以得到所有顶点的集聚系数，它的统计分布是刻划 网络性质的一个重要几何量，其平均值称为平均集聚系数c ： c = 寺q ( 1 11 ) n 急h 其中为网络中的顶点总数。平均集聚系数越大表明网络的集聚程度越高，网 络局域小集团的连接更为紧密。7 。 ( c ) 最短路径长度( s h o r t e s tp a t hl e n g t h ) ： 。两点的最短路径长度定义为网络中所有连通( i ，j ) 的通路中，所经过 的其它顶点最少的一条路径的长度。如果( i ，j ) 之间不存在通路，i nt o 是无穷 大。于是我们可以得到一个n n 的矩阵( 乇) 一枷其分布特征是一个重要的全局 几何量，其平均值 k 高磊乇1n(n - 1 2 一1 ) 嚣” 称为网络的平均最短路径长度。 一般的复杂网络都有较短的0 。研究表明，_ 个普通人平均只需要“六步 就可以认识世界上的任何一个人，即“六度分离”。也就是说，在由全世界人组 成的网络中，以单个人作为一个顶点，如果这两个人认识，就说明他们之间存在 一个连接，且这两个人之间只有一步“距离，那么这个网络的平均最短路径长 度为6 。 ( d ) 介数( b e t w e e n n e s s ) ： 顶点的介数定义为网络中所有的最短路径之中，经过该顶点的数量，它反 映了顶点的影响力。例如在铁路网络中，有些车站经过的火车比较多( 作为中转 站) ，如北京、西安、郑州等，它们在网络中起着至关重要的枢纽作用。记( f ，j ) 之间最短路径的集合为砖，顶点“的介数定义为 ，。= 善寄 m ，t ( 1 。 l “可i 由此可以得到每一个顶点的介数色。类似地，我们还可以定义边的介数，它定 复杂网络上a s h k i n t e l l e r 模型的相变 义为网络中所有通过某条边的最短路径的数量。 ( e ) 度的相关性： 一 网络中，有些度比较高的点有和度比较高的点相连接的倾向，而度比较低 的点有和度比较低的点相连接的倾向。这可以用度分布之间的相关性这个几何量 来描述。具体方法是，通过任意一条边都可以找到两个顶点，进而得到两个度值， 这样通过所有的边可以得到两个序列，分析这两个序列的相关性即可。 ( f ) 权重( w e i g h t ) ： 许多实际网络除了具有复杂的拓扑结构外，在连接的容量和密度方面都表 现出很大的差异。例如，社会网络中的个体之间存在弱的和强的联系口争1 0 1 ，在 新陈代谢路径中存在不均代谢物呻1 ，食物网中捕食者和被捕食者相互作用的多样 性n 卜1 3 3 以及航线网络中的运送旅客的不同载量n 钔等等。为了描述这些差异性，可 以对网络中的边附加带有度量连接强度的参数，即权重。 1 2 2 具有不同拓扑性质的网络 ( 1 ) 规则网络： 规则网络是最简单的网络模型，如一维链、二维正方晶格等，它是指具有平 移对称性的晶格。对于规则网络，它的任何一个格点的最近邻数目都相同。 。规则网络的典型几何性质可以用度分布、平均集聚系数以及平均最短路径长 度来描述。由于规则网络所有的顶点都是等价的，因此其度值都相同。设度值为 ，则度分布为8 ( k 一) ，其平均集聚系数只需要计算其中的任意一个点的值， ， 即c = - g 。其平均最短路径长度可以只考虑某一个顶点，计算它到所有其 它顶点之间的距离之和2 ，然后计算其平均值，= ( l x ) ( 2 x ) 一。 ( 2 ) 随机网络： 随机网络是网络类型的另一个极端。在由n 个顶点构成的图中，可以存在c ： 条边，从中随机地连接m 条边所构成的网络就是随机网络。另一种生成随机网 络的方法是，给定一个概率p ，对于数量为碍中任何一个可能的连接，我们都 尝试一遍以该概率p 的连接。如果我们选择m = p c i ，这两种建立随机网络模型 的方法是等价的。 随机网络g ( n ，p ) 包含了从空图到完全图的所有可能情况，因此随机图的几 何性质需要对每一种可能图做平均。研究结果表明，随机网络顶点的度值符合平 均值为坳的泊松分布，即 7 硕士学位论文 跗一嘶簪 ( 1 1 4 ) 如图i - 2 所示，图上各点来自于随机生成的一个随机网络，其中n = 2 0 0 0 0 ， p = 0 0 0 2 5 ，实线为泊松分布。 图1 - 2 随机网络的度分布，本图取自文献 2 对比规则网络与随机网络，我们发现，平均集聚系数和平均最短路径长度这 两个静态几何量能够很好地反映规则网络与随机网络的性质及其差异。一般来 说，规则网络的特征是平均集聚系数较大而平均最短路径长度较长，而随机网络 的特征恰好与其相反，它具有较小的平均集聚系数和较短的平均最短路径长度。 规则网络的平均最短路径长度z ，其集聚系数可以通过改变最近邻数目来调 整，例如在图1 - 3 所示的规则网络中，k o = 4 ，集聚系数为1 2 。而在图1 - 3 所 示的随机网络中，顶点数和边数都与规则网络相同，但集聚系数却明显非常小， 仅为0 0 2 ，然而正是由于其集聚系数非常的小，所以其平均最短路径长度很短。 考察一个顶点“的最近邻，假设其最近邻数为a ，由于随机网络的集聚系数非常 小，因此在a 个最近邻的最近邻之中相互重复的个数非常少，我们从顶点甜出发 经过两次最近邻关系就能够可以找到正比于a 2 的新顶点，最多经过l o g 。n 个最 近邻关系，我们就可以穷尽整个网络。所以，其平均最短路径长度满足，1 1 1 。 可见，对于规则网络，也正是由于其集聚程度高，重复率很大，所以平均最短路 径很长。 ( 3 ) 小世界网络( s m a l l w o r l dn e t w o r k ) ： 大量的实证结果表明，许许多多的实际网络既具有规则网络中较大的集聚系 数，又具有随机网络中较小的最短平均路径。我们把集聚程度高，最短路径小的 一类网络称为小世界网络。 复杂网络上a s h k i n t e ll e r 模型的相变 o0 。恭 争- o - - _ - _ _ _ _ _ _ - p t1 翻a 捌瞄嘲埘n 釉嘲 图1 - 3s m a l lw o r l d 网络模型，本图取自文献 3 w a t t s 和s t r o g a t z 巧妙地结合了规则网络和随机网络的拓扑性质，建立了。 这样一类小世界网络模型_ w s 模型1 。他们发现，只需要在规则网络上稍微做随， 机改动就可以使网络同时具有较大的集聚系数和较小的最短路径长度。改动的方 法是：对于一个由个顶点组成的规则网络，每个顶点有k 个最近邻，因此网络 中一共有n k 2 条边。通常我们只考虑n k i n n 1 的情况。对规则网络中 的每条边以一定的概率p 断开，再重新进行随机连接，且排除和自身相连接以及 重复性连接。这样，该操作就对p n k l 2 条边进行了重新连接。如图卜3 所示， 图中所示的小世界网络是在左图的规则网络基础上通过对边的重连得到的，因此 这一类网络也称为重连型小世界网络。特殊地，当重连概率p = 0 时网络成为规 则网络，而p = 1 时则成为随机网络。而对于0 0 的情况下模型的临界指数都将表现出平均场相变的特征。随后，m e d v e d y e v a 等人h 7 1 对小世界网络上x y 模型的动力学临界行为做了进一步的研究，得到了稳 定的动力学临界指数，并发现当重连概率p 0 0 3 时，动力学临界指数与重连概 率p 无关。i g l 6 i 和t u r b a n h 町利用w e i s s 平均场近似，研究了无标度网络上g 态 p o r t s 模型的相变，得到了依赖于度指数y 的相图。d o r o g o v t s e v 等人h 们利用递 推方法，研究了无关联随机网络上g 态p o t t s 模型的相变。结果表明，度的重尾 ( f a t - t a i l e d ) 分布对该模型的相变级数和临界温度有很大的影响。此外，复杂 网络上的渗流问题也受到了人们的关注陋配1 。 正如1 3 节所述，尽管人们已在平移对称晶格以及分形晶格上对 a s h k i n - t e l l e r 模型的相变进行了大量的研究，但目前就我们所知，对复杂网络 上a s h k i n - t e l l e r 模型的相变进行研究还未见报道。 本章在介绍m o n t ec a r l o 方法后，我们采用m o n t ec a r l o 方法研究了一维附 加型小世界网络上各向同性a s h k i n t e l l e r 模型的铁磁相变，并得到了不同附加 概率p 下的三类相图。 2 2m o n t ec a rlo 方法介绍 统计物理学嵋3 3 的一个基本任务就是从系统的哈密顿量出发，计算出的各种热 力学量的统计平均值，例如每个自由度的平均能量e 或平均磁化强度m 等， e = ，m = 鼠 n ( 2 - 1 ) _ f 其中 表示热力学平均。对于任何可观测量彳( x ) ，如日，暑等，其热力学 f 平均在正则系综中为： 。 。 = 专p 坩“y v 彳( x ) d x ( 2 - 2 ) 其中z 为配分函数， z ：阽圳x ) ，k s r d x 一( 2 3 ) x 是相空间中的矢量，表示系统自由度的一组变量的集合。对于自旋系统x = ( s i , s ：，s ，) ，系统在x 处的概率密度p ( x ) 为： 1 6 复杂网络上a s h k i n t e l l e r 模型的相变 p ( x ) = 与p 州“y b r ( 2 4 ) 厶 由于在一个宏观系统中，要通过式( 2 2 ) 解析求得一个可观测量a ( x ) 的热 力学平均 是十分困难的，这时我们可借助计算机模拟的方法来近似把它求 出。 平衡态统计物理学中的m o n t ec a r l o 方法的出发点就是近似求得热力学平 均。式( 2 2 ) 中的积分是在一切态 习上按每个态的固有权重p ( x ) 来求积分。 我们可以考虑用相空间点的一个特征子集合 x l ，x 2 ，x 。 上的求和来近似。这 些相空间的点x 。，x ：，x l 用作一个统计抽样。显然，当- - - 0 0 的极限情况下， 离散和式 一e - 小m 咐彳( x ，) 一 一。 彳( x ) = 上i _ 一 ( 2 5 ) ye - h ( 1 ，) 7 v ， j _ _ 一 1 = 1 。 必定会趋近于式( 2 2 ) 。式( 2 5 ) 描述的即为m o n t ec a r l o 中的简单抽样，简 单抽样虽然简便易行，但是要使式( 2 5 ) 趋近于式( 2 2 ) 需要的样本l 很大， 而且模拟结果的误差也相对较大。因此，我们需要一个更好的方法，而不是完全 随机地对式( 2 - 5 ) 中包括的各种位形x ，进行简单抽样。 考虑这样一个抽样过程，根据某一概率选取相空间，然后取这一组来求平均， 则式( 2 5 ) 变为 一p 叫“y v a ( x ，) p ( x ，) 么( x ) = 丝可一 ( 2 6 ) 口州“一r p ( x ，) f ；l 对式( 2 6 ) 中的p ( x ，) 种简单而自然的取法是 p ( x ，) 芘p h 彬一r ( 2 - 7 ) 这时式( 2 - 6 ) 转换为简单的算术平均 丽= 7 1 彳( x ，) ( 2 8 ) 山1 = 1 这样的抽样方法称为重要性抽样。 m e t r o p o l i s 等人提出了以下想法：不要彼此独立无关地选取相继诸状态 x ，) ，而是构建一个m a r k o v 过程，过程中每一状态x m 由前一个状态x ，通过适 1 7 硕士学位论文 当的跃迁概率w ( x ，- - - x ) 得到。有可能选取跃迁概率肜，使得在，专o o 的极限 下，m a r k o v 过程产生的状态的分布函数趋近于所需要的平衡分布 匕( x ，) = 专p 州“一他， ( 2 9 ) 达到这一点的充分条件是加上细致平衡条件： 乞( x ，) 形( x ，寸x ，) = 名( x ，) ( x ，一x ，) ( 2 1 0 ) 上式意味着，x