（概率论与数理统计专业论文）框架局部化与广义banach框架和广义原子分解.pdf

摘要 摘要 g r 6 c h e n i g 和b a l a n ，c a s a z z a ，h e i l ，l a n d a u 等人提出了两种框架局部化的概念， 这两种局部化在近几年被应用到了g a b o r 框架，小波框架和采样定理，得出了许多 关于框架的超完备性、冗余度、框架界和密度的关系以及局部化框架的对偶框架 的结构方面的重要结果这些抽象的结果应用到不规贝, l j g a b o r 框架产生了一系列 新的结果采样定理是信号分析中最强有力的基本结果之一，窗口是指数的框架 在不规则采样的重构方面有非常重要的应用，一些学者对它的密度已经做过一定 的研究本文第二章将上面提到的局部化框架抽象的理论结果应用到了窗口是指 数的框架一方面用g r 6 c h e n i g 提出的局部化理论证明了窗口是指数的框架是一 类b a n a c h 空间的框架：另一方面用b a l a n ，c a s a z z a ，h e i l ，l a n d a u 提出的局部化理论 得出了一些关于框架界和框架密度，测度和指标集的密度之间关系的一些结果 近年来，许多学者对框架的概念做了推广，如有界双投影算子、子空间框架、 外框架、拟框架、斜框架和一类时频局部化算子孙文昌教授在他的文章中给出 了广义框架的概念，并且证明了上面提到的这些推广只是广义框架的特殊情况 从g r 6 c h e n i g 提出b a n a c h 空间框架的概念到现在，人们已经对b a n a c h 框架有了非 常深入的研究这篇文章根据广义框架的理论给出了广义b a n a c h 框架和广义原子 分解的定义，并给出了二者的一些扰动性结果 关键词框架，局部化，密度，广义b a n a c h 框架，广义原子分解 a b s t r a c t a b s t r a c t b o t hg r 6 c h e n i ga n db a l a n ，c a s a z z a ，h e i l ，l a n d a ui n t r o d u c e dt h ec o n c e p t so f l o c a l i z a t i o n t h ec o n c e p t sw e r eu s e dt og a b o rf r a m e s ，w a v e l e tf r a m e sa n ds a m p l i n g t h e o r e mi nr e c e n ty e a r s f u n d a m e n t a ln e wr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e do nt h ee x c e s sa n d o v e r c o m p l e t e n e s so ff r a m e s ，o nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf r a m eb o u n d sa n dd e n s i t y , a n d o nt h es t r u c t u r eo ft h ed u a lf r a m eo fal o c a l i z e df r a m e t h e s ea b s t r a c tr e s u l t sy i e l d e d a na r r a yo fn e wr e s u l t sf o ri r r e g u l a rg a b o rf r a m e s t h es a m p l i n gt h e o r e mi so n eo f t h em o s tp o w e r f u lr e s u l t si ns i g n a la n a l y s i s t h ef r a m eo fw i n d o w e de x p o n e n t i a l s p l a y si m p o r t a n tr o l e si nt h et h e o r yo fr e c o n s t r u c t i o nf r o mi r r e g u l a rs a m p l i n g ，a n ds o m e s c h o l a r sh a v ea l r e a d yd o n ec e r t a i nr e s e a r c ho ni t sd e n s i t y c h a p t e rt w oo ft h i st e x t a p p l i e dt h ea b s t r a c tt h e o r yo ff r a m el o c a l i z a t i o nt ot h ef r a m eo fw i n d o w e de x p o n e n t i a l s o no n eh a n d ，w ep r o v et h er e s u l tt h a tf r a m eo fw i n d o w e de x p o n e n t i a l si sab a n a c h f r a m ef o rak i n do fb a n a c hs p a c e sw i t ht h et h e o r yo fl o c a l i z a t i o no fg r f c h e n i g ，o nt h e o t h e rh a n d ，w eo b m i nt h ec o n c l u s i o n sa b o u tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nf r a m eb o u n d s ， f r a m ed e n s i t y , m e a s u r ea n dd e n s i t yo fi n d e x i n gs e tw i t ht h et h e o r yo fl o c a l i z a t i o no f b a l a n ，c a s a z z a ，h e i l ，l a n d a u i nr e c e n ty e a r s ，m a n ys c h o l a r sg a v ed i f f e r e n tc o n c e p t so fg f r a m e si nh i l b e r t s p a c e s ，s u c ha sb o u n d e dq u a s i p r o j e c t o r s 、f r a m e so fs u b s p a c e s 、o u t e rf r a m e s 、p s e u d o - f r a m e s 、o b l i q u ef r a m e sa n dac l a s so ft i m e f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o no p e r a t o r s p r o f e s s o r w e n c h a n gs u ng a v et h ec o n c e p to fg f r a m e s ，a n dh a sp r o v e nt h a tt h ea b o v ew e r ep e c u l i a rc i r c u m s t a n c eo fg - f r a m e s f r o mg r 6 c h e n i gp r o p o s e dt h ec o n c e p to fb a n a c h f r a m ef o rb a n a c hs p a c e st ot h ep r e s e n t ，p e o p l eh a v ed o n et h o r o u g hr e s e a r c ho nb a n a c h f r a m e s t h i st e x tg i v e st h ec o n c e p to fg - b a n a c hf r a m e sa n dg a t o m i cd e c o m p o s i t i o n s a n do b t a i n ss o m er e s u l t sa b o u tt h ep e r t u r b a t i o no ft h e s ea c c o r d i n gt ot h et h e o r yo f g - f r a m e s k e yw o r d sf r a m e ，l o c a l i z a t i o n ，d e n s i t y , g b a n a c hf r a m e ，g a t o md e c o m p o s i t i o n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：关、延钮 2 d d 君年岁月刁日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：昊必缸 2 0 0 男年5 月2 7 日 第一章引言 第一章引言 框架这一概念是d u f f i n 和s c h a c f f e r 在1 9 5 2 年研究非调和f o u r i e r 级数时提出来 的，它是r i e s z 基的推广，下面是它的定义设k 是整数集z 的子集，h i l b e r t 空间咒中 的一列元素妒七：k k 称为何的框架，如果存在正常数a ，b ，使得 v f 7 - t ，a l l y l l 2 i ( 厂，妒七) 1 2 b i i ，1 1 2 ， k e k 其中a ，b 分别称为框架下界和框架上界与r i e s z 基或标准正交基类似，咒中任一 元素可以用框架展开级数表示一般来说，框架并不是基，展开式中的系数不是唯 一的，正因为框架的这种超完备性使得它在数学和工程的许多领域都有非常广泛 的应用，包括采样定理( 1 】) 、算子理论、调和分析、非线性逼近、拟可微算子理论、 小波分析、信号处理、图像处理等在大多数的应用中，正是这种冗余性使得得出 的结果更加稳定有关框架的理论和它的应用见 2 】 3 】 4 】 5 】 近来，g r 6 c h e n i g 和b a l a n ，c a s a z z a ，h e i l ，l a n d a u 等人提出了两种框架局部 化概念( 【6 】【7 ) 并且很多人已经证明了局部化是框架的一个非常重要的性质 g r s c h e n i g 用她提出的局部化理论证明了一个关于r i e s z 基局部化的框架是一类非 常重要的b a n a c h 空间的b a n a c h 框架这个结果推广了采样定理，时频分析( 【8 ) 和 小波分析中的许多重要的结果( 【9 】 1 0 】 7 】 11 】 1 2 】) 与此同时，b a l a n ，c a s a z z a ， h e i l ，l a n d a u 证明了他们提出的局部化理论在研究框架的冗余性和密度方面是非 常重要的，在他们的文章中给出了许多框架局部化方面抽象的理论结果，并且将 这些结果应用到了g a b o r 框架，得出了有关g a b o r 框架的一些新的结果，这使我们 对g a b o r 框架的密度和结构有了一个更深的认识有关框架的冗余和密度方面的 研究见 1 3 】 1 4 随着对h i l b e r t 空间框架研究的深入，人们又将其推广到了b a n a c h 空间1 9 9 1 年， g r s c h e n i g 把框架的概念推广到了b a n a c h 空间，定义了b a n a c h 空间中的一般框架 为b a n a c h 框架 定义1 1 ，j 5 1 设x 是b a n a c h 空间且是指标集为n 的b a n a c h 序列空间我们 设i l y k l o o f k = 1 x + ，且s ：x dhx 是有界算子，若 ( 1 ) v f x ， 鲰( 厂) ) 茫1 x d ； 第一章引言 ( 2 ) i x 与l i _ 鲰( ，) 川x 。等价j ( 3 ) v 厂x ，s 鲰( ，) ) = ， 则称( 鲰) 罂1 ，s ) 是x 关于托的b a n a c h 框架 b a n a c h 框架理论对研究框架和b a n a c h 空间理论有着重要的意义有关b a n a c h 空间 及b a n a c h 框架的知识见 7 】【2 】 1 6 】 1 7 】 18 】 1 9 近年来，许多学者提出各种关于框 架概念的推广，如有界双投影算子( 2 0 】【2 l 】) 、子空间框架( 2 2 】 2 3 】) 、外框架( 2 4 】) 、 拟框架( 2 5 】) 、斜框架( 2 6 】) 和一类时频局部化算子( 2 7 】) 孙文昌教授在他的文章 中给出了广义框架的概念( 【2 8 】) 定义1 2y ，咒是脚l b e r t 空间， k b x 是v 的闭子空间，t 3 ( th 巧) ，如 果存在a ，b 0 ，满足 a l l y l l 2 i i a j f l l 2 b i i f l l 2 ， j x 则称 ) 歹x 是爿关于 y j b x 的广义框架 并且证明了上面提到的这些推广只是广义框架的特殊情况而框架稳定性在实际 应用中是非常重要的，因此许多学者对此做过细致的研究，孙文昌教授也在他的文 章中对广义框架的稳定性做了一定的研究有关框架稳定性的知识见 2 】 2 9 】【3 0 】 【1 5 3 1 本文第二章是局部化的一些应用，主要给出了框架界和密度的关系，框架局 部化理论应用到指数窗口的框架得出的一些结果第三章给出了两个定义：广 义b a n a c h 框架和广义原子分解，同时对二者的稳定性做了一定的研究第四章给 出了本文得出的主要结论 2 第二章框架局部化的应用 第二章框架局部化的应用 首先给出本苹用到的一些符号和概念 g 是一个离散群，x 为一个序列，a ：x h g 是一个映射，对每个整数n 0 ，令： 鼬( j ) = 尼g ：i k - 引虿n ) ， x u ( j ) 表示踟( 歹) 在映射。下的逆像，即： x n ( j ) = a - 1 ( ( 歹) ) = _ z x ：a ( i ) 鼬o ) 定义x 关于n 的上下密度为： d + ( 跏) - 1 i ms u p 仰s u p 锹， _ ，gi o = ，i 州跏) = l i mi n f 触i n f 锱 y 也为一个序列，a x ：xhg ，a y ：yhg 是两个映射，定义 。x ( x ，。x ) 一i m _ i 。n f 拦瓦l a x 研( j ) l ， 吲。y ) = ，删瓣黜， 磁( x ，n x ) = 峨攀骝瓦l a x 丽( j ) l , d n ， _ o 。f giu ，l 磁( 。y ) = l i z 罂s u p 两l a 爵研( j ) l nj 6 gdn _ = ，i 定义2 1 例若n 的子集的集舍p 满足： ( 1 ) d 不属于弘 ( 2 ) 若a ，b 弘则anb 弘 ( 3 ) 若a 弘且acb cn 则b 弘 则p 是一个滤子若滤子p 满足 ( 4 ) 都7 是n 上的滤子且满足pc ，则= 弘 则p 是一个超滤子不舍有限集的超滤子称为自由超滤子 第二章框架局部化的应用 弛c ) = p 一l i m n 1 x 晰n ( ( c c , v ) ) _ l v t i l ，i o j l 。x p ，c ) = p 一n l i ml l 鼬a x n ( ( c c n ) ) i - 设r = 五) 。x 是h i l b e r t 空间的框架，于= 五) t x 是其对偶框架，定义其测度 为： 州r ) _ l i m i n f 斛i n f 翮1 。确， 矿( r ) _ l i ms u p sup酾1n-，oo i e x q i g 。邑) ( 础， uj 1 ，：、 岬渤c h 一熙网1 ；蒹) ( 舳。 h p ( f ，于) = 1 ，= ( ，五) 五， ( ，五) ) f p ) i e x 对z r d 和h 0 ，q h ( x ) 表示中心在z 边长为九的矩形： 吣) = 毋d 歹一互h ，+ 互h ) ， 设x = m ) 谢cr a ，i - ：- f b e u r l i n g 密度定义为： 硝耻n m s u p 锄s u p 。掣， + z r d ，占w d b ( x ) = 1 卺警蒜掣 自局部化框架空间定义为： s 1 ：= r = 五) t xlr 是h i l b e n 空间的2 1 一自局部化框架) 窗口是指数的框架： s ( 夕，x ) = e 2 r 蛔9 ( z ) ：a x ) ，g l 2 ( q ) 第二章框架局部化的应用 定义2 2 3 2 1 设( = ( 厶) z x ，= ( e 掣) y 是两个函数列，a x ：xt - - - + g ， a y ：yhg ，r l p ( g ) ，若 v x x ，v y vi ( 厶，e ”) i r a x 扛) - - a y ( ) ， 则我们称( 关于对称护局部化 若对每个e 0 ，存在他 0 ，满足对任意y y ， k l ( 厶，e ) i p 0 ，存在c 0 ，满足对任意z x ， 比x ， i ( 厶，勺) i p e ， y e y a y l ( s n 。( n x ( 2 ) ) ) 则我们称( e ，) 一致f p 行衰减 2 1 密度和框架界的关系 币越厶11 0 l 恢2 ( 厶) z x 走月z z d e 疗笙l 曰j 1 - 1 叼框朱，介_ 刀a ，髟，且专2 【e y ) y e g 是日的框架，界为ef ，设n ：x g 是相关的映射，满足d + ( x ，a ) o o ，如 果( ( ，a ，) 既是1 2 列衰减又是1 2 行衰减，则以下成立： ( 1 ) 对每个自由超滤子p 和g 中的中心为c = ( o n ) n 的序列，有： 矿1 想一1 i 鼬( c n ) i 。蒹) i l e l 1 1 2 i 扩怨，每、。 去。c ) p 一导嚣口瓦1 研诞x e ( 。) i i 六1 1 2 ， 击。，c ) p 一舅嚣酉焉丽1 。x e ( c ) i i 五1 1 2 百1p 一熙丽1 研蜥e ( c ) | | e 2 1 1 2 - ( 2 ) 我们有? 昙器。一( x ，。) 。+ ( x ，。) 面b 锱 5 第二章框架局部化的应用 下面定理是上面命题的推广 定理2 2 ( = ( 厶) z x 是月f 场p 疗空间日的框架，界为ab ，= ( c y ) y 是日的 框架，界为e ，f ，设o x ：xhg ，a y ：yhg ，r l p ( g ) 是相关的映射，满 足d 支( x ，a x ) 1 ， 则我们有( 是关于z 1 一局部化的定义o ：xh 商) 他为一映射下面定理是命 题2 3 的应用 定理2 4 设( 9 ，x ) 是一个框架，雪l 1 ( ) ，则( 9 ，x ) 是h p 的砌m 如框粜 证明选择参照系： m 向南) n z d ，它是l 2 ( q ) 的标准正交基，设妒是紧支 撑函数，满足妒( z ) = 1 ，z q ，且p w ( l o o ，1 1 ) ，因为雪l 1 ( 剧) ，g = g q o ，所以 雪= 雪术p l 1 ( ) 木w ( l ，1 1 ) cw ( l ，l i ) ( e 2 j ，r i a x g ( 吐南瑚i | a 夕。丽n 叫j ， 8 第二章框架局部化的应用 设 2 s 蛾q 由( 商) l 爹( 入) l ， 由雪w ( l ，之1 ) 知r 1 1 ，从而知e ( 夕，x ) 是关于 m 高赢) n z a 对称z 1 一局部化 的，从而e ( 9 ，x ) 是对称1 1 一自局部化的，由命题2 3 知结论成立 口 下面是将6 1 中得出的一些结果应用到窗口是指数的框架得出的一些结果 定理2 5 设g l 2 ( q ) - g - ) c r a , 如果g ( 夕，x ) 是l 2 ( q ) 的框架，则以下结果成 立： ( 1 ) i q i d 3 ( x ) d 吉( x ) 0 ，e ( 9 ，q ) 是l 2 ( q ) 的框架，g ( 玩a z d ) 是其对 偶框架，则( g ，蚕) = o z d 证明由定理2 2 ( 2 ) 可得 p 一想去 ( 矿洳夕( z ) ，e 2 1 r i a x 酬) = ( 9 ，蚕) = 俐= ， 即( 夕，雪) = o z d 口 定理2 7g l 2 ( q ) ，给定xcr d ，如果( 夕，x ) 是l 2 ( q ) 的r i e s z 序列，则以下 成立： ( 1 ) 0 d 三( x ) d 击( x ) i a l ； ( 2 ) 如果( 9 ，) ( ) 是l 2 ( q ) 的r i e s z 基，则有 d 三( x ) = d 去( x ) = i q i 1 1 第二章框架局部化的应用 证明 ( 1 ) 0 d ；( x ) 是显然的，我们只要证明d 刍( x ) i q i 即可 选择参照系r = 赤加) n z a ，它是己2 ( q ) 的标准正交基，上面已经证 得( e ，r ) 是f 2 一局部化的，y e ( g ，x ) 是己2 ( q ) 的m e s z 序列，r 是l 2 ( q ) 的标准正交基， 所以 d + ( x ，a ) 1 ， 即 群= d 掀川 1 ， 从而证得 d a ( x ) j qj ； ( 2 ) 因为r i e s z 基是框架，故 d 三( x ) i q i 又因为r i e s z 基是r i e s z 序列，由上面证明知 d 击( x ) i q i 故 d a ( x ) = 珑( x ) = q 1 口 定理2 8 设夕l 2 ( q ) ，给定xcr d ，使其满足( 夕，x ) 是l 2 ( q ) 的框架，框架 界为ab 则我们有? ( 1 ) a l q i o a ( x ) 1 1 9 l l l d 吉( x ) i l g l l ；b i l l ( 2 ) 如果e ( 9 ，x ) 是紧框架，则x 有一靴p “砌g 密虎即 d ；( x ) = d 去( x ) 证明选择参照系f = 去尥) 。z d ，它是己2 ( q ) 的标准正交基，上面已 证得( ，f ) 是f 2 局部化的，由定理2 垒( 2 ) 得 盎妙( 掷) d + ( 挪) 盎， 第二章框架局部化的应用 d 一( x ，n ) = 可d b r ( x ) ， 州挪) = 群， , k 而得出 a d b ( x ) d 击( x ) b 研详群研， 即 a i q l d ；( x ) 1 1 9 i i ；d b + ( x ) i l g l l ；b l n l ( 2 ) 若( 夕，x ) 是紧框架，则a = b ，由上面结论得 a i q i d 三( x ) i l g l l l d 吉( x ) i l g l l l a l n l ， 由此得出 d b ( 舻硝舻器 1 3 口 第三章广义b a n a c h 框架和广义原子分解 第三章广义b a n a c h 框架和广义原子分解 b a n a c h 框架理论在实际应用中是非常重要的，引言中已经给出了b a n a c h 框架 的概念，下面给出b a n a c h 空间中原子分解的概念 定义3 1 1 5 1 设x 肋口，z 口幽空间且拖是指标集为n 的b a n a c h 序列空间我们 设 鲰 - 茫1 x + ，若存在 ) 茫1 x ，使其满足： ( 1 ) 鲰( 厂) ) 茫1 x d ，v f x ； ( 2 ) i x 与i i g k ( f ) l l x 。等价； ( 3 ) f = 七0 0 ：1 ( ，鲰) ，v f x 则称( 鲰) 茫。， ) 器，) 是x 关于拖的原子分解 3 1广义b a n a c h 框架和广义原子分解的概念 定义3 2x ，y 是占a n a c h 空间， r j b x 是y 的闭子空间序列，b ( xh m ) ， x d = 玑) t x ：y i ，诞x i i 玑忆 + ) 是一个肋凇砌序列空间，s ：h x ，如果 ( 1 ) 凡z ) t x j ( 2 ) i i a i x i e xi i 施和i l x l l x 等价； ( 3 ) s ( a z ) t x ) = z ，比x 成立，则我们称( 几) i x ，s ) 是x 关于的广5 ( b a n a c h ：框_ 架 定义3 3x ，y 是励m 砌空间， r j b x 是y 的闭子空间序列，a j b ( xh b ) ， 其中= 玑k x ：y i m ，溉i l y , l l k + ) 是一个砌m 如序列空间，我们设 算子1 眦侈( 巧hx ) ，如果 ( 1 ) _ 九z ) t x k f j ( 2 ) i i 九z k x l i 弛和i l x l l x 等价j ( 3 ) z = 溉讹( 凡z ) ，v x x 成立，则我 f f l 称( a i i x ， 眦) x ) 是x 关于拖的广义原子分解 1 4 第三章广义b a n a c h 框架和广义原子分解 3 2 广义b a n a c h 框架和广义原子分解的扰动 命题3 1 1 5 1 设x 为b 口，l 口砌空间，“：xhx 为线性算子，如果存在常数a 1 ， a 2 满足a 1 ，a 2 0 ，1 ) ，使 j l u x x l l 入1 1 1 x l i + a 2 1 1 u x l l ，比x ， 那么“为有界可逆算子，且有 而1 - a 1 忙i i i l u x l l 戡， 而i - a 2 忙i i i l u - l x l l 苦， 对任意z x 成立 下面定理是对 3 0 】中得出结果的推广 定理3 2 设( 几 i t x ，5 ) 是x 关于的广义勘砌咖框架，let 3 ( xh 巧) ，算 子“满删z = 屯z ) t x 如果存在入1 ，入2 ，p 0 ，满足 ( 1 ) m a x 南 ( a 1 + a 2 ) l l u l l + u l l s l l ，a 2 ) 1 ， ( 2 ) i i a x r , x l l x d a 1 | i 凡z 川托+ 入2 i i _ n z 州施+ p l l x l l x ，v x x ， 则存在重构算子z 使( ( d b x ，丁) 是x 关于拖的广她加如框架，其中它的广 灿口加砌框架界为忪l l _ 1 1 一南 ( 入，+ x = ) l l u l l + u l l s l l ，南【( 1 + x o i l u l l + 纠 证明设v ：xh 拖，妇= r i x i x ，e h ( 2 ) 知 i l u x v x l l 入1 i i “z i l 氍+ a 2 l i v z i i 拖+ p l l x l l x ，协x ， 由此得到 i i v x l i 击 ( 1 + a i ) l l u = l l + u l l x l l 】 上一a 2 志 ( 1 + a z ) l l u l l + u l l z i i ， 故 、 i i ( u y ) z i i a 1 i l u l l l l z i i + 丁兰女 ( 1 + 入，) l l u l l + 川i i z i i + u l l z i i 1 5 第三章广义b a n a c h 框架和广义原子分解 2 赢+ 驯“i i + 纠i i 因此 i i j s y i i i i s l u v l i 击 ( 入1 + 九) l l u l i + 川i i s l i i a 2 l b 2 ，就 有( q 1 凡+ a 2 0 t ，s + t ) 为x 关于的广灿口凇c 忍框糖 证明 ( j ) 比x ， ( q 1 人i + 口2 e i ) z ) = q 1 a t z ) + a 2 o i z 托； ( j ，) 比x ， ( q 1 几+ 口2 e i ) z 川 = i i q 1 a t z ) + q 2 e z - 2 0 第三章广义b a n a c h 框架和广义原子分解 从而有 ( i i i ) 比x ， i q l l b l l l x l i - 4 - i q 2 1 8 2 1 1 x i = ( i q ，i b + i 及2 1 8 2 ) l l x l l ， m ( q 1 几+ q 2 e t ) z 川 = i l q 1 z 卜卜 q 2 e i z 川 i q l l a l l l x l i _ i q 2 1 8 2 1 1 x i = ( 1 a l l a l 一i q 2 i b 2 ) l l x l l ， ( 1 a l i a l 一i a 2 i b 2 ) l l x l i l i ( q l a i + q 2 e ) z i | ( i q ，l b l - 4 - i 口2 i b 2 ) f f x l l ； ( s + 丁) ( q 1 a + q 2 e i ) z ) = c t l x + q 2 z = z 由定义3 2 知，( a l a i + q 2 e i ，5 + 丁) 是x 关于拖的广义b a n a c h 框架 2 1 第四章结论 第四章结论 框架在数学和工程的许多领域都有和广泛的应用，因此对它的研究有非常重 要的理论和实际意义框架局部化是框架结构方面的一个重要的性质，从对它的 研究中人们对框架的许多本质特征有了更清晰的认识，如框架的密度，冗余度，衰 减性和光滑性等等广义框架是框架的自然推广，近年来也有许多学者对其做过 一定的研究本人在研究生学习期间阅读了大量关于框架局部化和b a n a c h 框架方 面的文献，研究了窗口是指数的框架的局部化性质和广义框架在b a n a c h 空间的推 广 本文第一部分主要研究了框架局部化在指数窗口是指数的框架中的应用，证 明了窗口是指数的框架是一类b a n a c h 空间的框架，同时给出了它的框架界和框架 密度，测度和指标集的密度之间的关系的一些结果 本文第二