（理论物理专业论文）强磁场中氢原子的能级和波函数的研究.pdf

摘要 天体物理学家在白矮星和中子星表面发现强磁场这一重大发现激发了许多对强磁 场中原子与分子性质的研究，这在天文学中具有很重要的意义，推动了天体物理的发展。 研究强磁场中原子与分子性质的方法主要有：变分法、绝热近似、分子轨道方法、胁捍绍 白，f d 方法等。本文通过绝热近似和绝热变分近似两种方法首先计算出了强磁场 ( = 1 2 0 0 0 ，即b = 1 0 5 1 0 8 t ) 下的基态和激发态( o ，聊，u ) ( 聊= o ，一3 ，u = 0 ，1 ) 的4 个能级，由于可采用柱坐标计算，所以我们可以对波函数在z 方向和p 方向作图讨 论，发现z 方向的波函数变化比较大，而p 方向的波函数的差别很小，最后同其他人的 计算结果进行了比较。其次，本文还介绍了强磁场中的量子蒙特卡罗方法。 关键词：绝热近似，绝热变分近似，蒙特卡罗方法，波函数，能级 t h es t l i d yo fe n e r g yl e v e l sa n dw a v ef u n c t i o n sf o rh y d r o g e na t o mi n s t r o n gm a g n e t i cf i e l d s l in i n g ( t h e o r 嘶c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yp r 0 j i a oz h i - y 0 n g a b s t r a c t t h ed i s c o v c ro fs 仃0 n gm a g n e t i c1 f i e l d sd i s c 0 e r e di nw h i t ed w a r f 觚d 玳眦r o ns t a | 船b y a s 仃o p h y s i c i s te x c i t a t e dm 锄ys t u d yo fa t o ma i l dm 0 1 e c u l ei i ls 仃o n gm a 驴e t i c6 e l d s ，a n di t l k l v eg r e a ts i 鲥f i c a i l c ea n dh a _ v ep r o m o t e dt l l ed e v e l o p m e n to fa s t m p h y s i c s t h ef o u r e i l e 哂髓o f ha t o m i 1 1e x c i t a t e ds t a t e s ( o ，聊，d ) ( m = o ，一3 ，d = o ，1 ) i 1 1s 仃o n gm 姆l e t i c f i e l d s ( = 1 。2 0 0 0 ，即b = 1 0 5 10 8 t ) i sc a l c u l a t e db yu s i n gm e 础a b a t i ca p p r o x i m a t i o n a 1 1 d 础a b a t i cv 碰a t i o n a la p p r o x i m a t i o nm 砒o d sf i r s t l y ，u s i n gc y l i n “c a lc 0 0 r d i n a t e ，m u sw e c a n 黟a p ht l l ew a r e - f - u n c t i o ni i l d i r 。c t i o no fza 1 1 dp t h er e s u l ti sm a t 如n 以o ni l ld i 聆c t i o n o fzh a sal 鹕ev 撕e 够o nc o n v e r t ，矗m c t i o ni i ld i r e c t i o no f p i ss m a l l a n dr e s u l t sw e r e c o m p 鲫e dw i mt l l eb e s tr e s u l t so fr o s n e r t h es e c o n d ，i ta l s o 砷d u c e d 廿1 em o n t ec 砌o i n e m o di ns 勺旧n gm a 盟e t i cf i e l d s k e yw o r d s ：a d i a b a t i ca p p r o x 妇a t i o n ，a d i a b a t i cv 撕a t i o n a la p p r o x 硫a t i o n ，m d n t ec a r l o m e t h o d ，w a v e 劬c t i o i l s ，e n 鹕y1 e v e l s 1 1 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：茑2 宝l日期：力叫年了月；1 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：垄墅 指导教师签名：缝叠霆 日期：多醒年 ， o 日期：炒萨 妒； 日 月z 1 日 j 7 l 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言弟一早刖苗 1 1 对强磁场中原子与分子能级研究的促动因素和研究意义 上个世纪七十年代在白矮星和中子星上发现了高强磁场( 1 0 2 1 0 5 丁和 1 0 7 1 0 9 ，) ，这近3 0 年来，强磁场中原子、分子性质的研究引起了广泛的兴趣【1 捌，一 方面是，天体物理学家需要了解中子星的物理性质，现在普遍接受的观点是中子星表面 存在高达1 0 8 1 0 9 t 的强磁场；另一方面某些半导体中的激子、施主杂质等，由于介电 常数很大，而且有效质量很小，因此即使在实验室磁场的条件下，也可以得到很高的 有效磁场【3 1 。研究在这种环境下的原子、分子性质具有很重要的意义【1 1 ；另外，强磁场 中线性多原子链在中子星的表面的固体结构中起着重要的作用【4 】，定量研究强磁场中的 分子要比研究强磁场中的原子更为重要。 1 1 1 天体物理学促动因素 对于强磁场是用来标度的，= 纠鼠，玩= 聊；e 3 c 肛3 = 2 3 5 0 5 1 0 9g 。1 的强 磁场存在于中子星的表面。在x 射线联星中，大多数的射电脉冲星及合生中子星磁感应 强度范围为1 0 1 2 一1 0 ”g ；即使在低质量的x 射线联星中，再循环的毫秒脉冲星和旧中子 星磁场范围亦为1 0 8 1 0 9g 【5 1 。对中子星上的磁感应强度的物理上限遵循磁静力平衡维 里定理 6 1 。中子星上的磁场能( 质量m 肪，半径氏) ，( 4 万稚3 ) ( 尺胳8 万) ，永远不可 能超过它的重力束缚能，一g m 惫；这可由下式得到 心0 8 ( 急) ( 急) _ 2 g m 1 ) 、1 4 m 。一1 0 砌 这也表明强度为1 0 ”g 磁场或者更强的磁场能够在原始中子星上通过力过程产生阴，并 且一些资料已经提供了这样一些思想，就是软性7 射线发生器和慢自旋( 需要经历几秒 钟的时间) “不规则 x 射线脉冲星( 在超新星残余物中) 是被赋予了召10 1 4 g 的超强 磁场的中子星，就是所谓的“磁性体 ，最后，范围在1 0 5 一1 0 9 g 的磁性已经在几十个白 矮星上探测出来了【8 1 。天体物理学研究强磁场中的物质的主要动机来源于了解中子星表 面层的重要性，这在中子星研究进展和研究已观察到的现象中起着重要的作用。脉冲星 和磁性气体的理论模型依赖于强磁场中表面物质的内聚性。更重要的是，表面层是中子 星上热辐射的直接媒介。现在已经认识到中子星是在1 0 5 1 0 6 年冷却相中在超新星的爆 第一章前言 炸中产生的软x 射线的来源【9 】。中子星冷却的历史依赖于贫乏的内在约束性质，例如态 的核方程，超流体态和内磁场。x 射线成像望远镜的出现已经使得通过孤立的中子星 的表面辐射直接观察它们变的可能。尤其是，在对中子星的观察，例如r o s a t 已经探 测到脉冲x 射线热发射来源于许多射电脉冲星。有些已观察到的x 射线很可能是由非 热能磁球发射产生的，但是至少有三个脉冲星显示了发射物通过中子星表层的热成分 ( 温度范围在( 2 1 0 ) 1 0 5 k 的表层) 发射来支配。一些发射x 一射线的射电脉冲星显示 高温( 温度范围在( ( 1 5 ) 1 0 5 k ) 的类热辐射表明在中子星表面有一层热的极性的岩 石层。一些邻近的脉冲星也被探测到在紫外辐射端和连续光谱的光频段伴随有来自中子 星表面的热辐射。另外，年代久远的孤立的中子星( 在银河系发现有1 0 8 1 0 9 颗) 是通 过恒星内部物质的合生而发热的，也被认为是软性x 一射线或是激烈的紫外的辐射源。 一些邻近的脉冲星也被探测到在紫外辐射端和连续光谱的光频段伴随有来自中子星表 面的热辐射。最后，来自软伽玛射线转发器的静止的x 射线放射和不规则的x 射线脉 冲星有可能是由与衰败的磁场相联系的内部加热提供动力的。x 射线来源于星球表面 附近，因而允许在超强磁场区域探测辐射运输。观察显示有些磁性体在它们的x 光谱 中含有热成分。总之，对中子星表面放射的探测对中子星的结构和演变提供了有用的信 息，并且能够在核状态方程、多种热的或合生过程、磁场结构以及表层化学组成等方面 加一些约束。投入使用的x 射线天文望远镜，包括c h 龃d r ax 射线天文台和 x m m n 州o n 天文台，已经很大程度上改进了在软x 射线带的灵敏度和光学分解，使 得孤立或慢增长的中子星的分光镜研究得到了保证。既然表面层直接决定热放射的性 质，那么对观察结果的合适的解释要求对中子星的强磁场( 召1 0 1 2 g ) 的包层的物理性质 有详细的认识。 1 1 2 实验物理学促动因素 目前，在地球上的实验室里能产生的最强的静态磁场是4 5 ，( 4 5 1 0 5g ) ，这低于 丑。；利用爆炸性磁通量压缩技术能产生1 0 3 丁的瞬变强磁场，但是这仍旧低于b 。但是， 高强磁场条件可利用半导体来模拟，在半导体装置中，很小的有效电子质量胁和大的 介电常数占能减弱与磁场力相关的库仑力。对于半导体中的类氢激子，原子的单位长 度口o = s 壳2 ( 胁p 2 ) ，对于磁场相应的单位是召o - 聊；矿c “e 2 壳3 ) 。例如，在g a a s 制中， 介电常数是s = 1 2 5 6 ，并且从一个正电荷的施主( 能给出电子的半导体) 弹出的电子有 一个有效的质量胁= 0 0 0 6 6 5 坍。，则b o 。= 6 7 5 r 。对于i n s b 临界区域b 0 小到0 2 t 。这 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 样小的丑。表明，在实验室磁场区域的半导体中的激子、双激子分子以及量子的点( 类似 多电子原子) 的结构，一定经历了重大的改变【1 0 】。一些早期的关于强磁场中原子的研究 是由半导体物理学家所推动的。 研究在匀强磁场中原子与分子性质在天文学中具有很重要的意义。这是因为在这种 场中类氢原子有很多简化方法。另一方面的重要原因，就是因为有很好的近似方法可应 用于包含许多活跃电子和核中心的系统，而这些方法都是可行的，对强磁场中的重原子 和由这些原子构成的物质已经进行了很多研究。推动了天体物理的发展。 1 2 对强磁场中原子与分子能级研究的方法及研究现状 1 2 1 对强磁场中原子的研究 对强磁场中原子与分子性质的研究首先是从对氢原子的研究开始的，而对氢原子的 结果可以很容易的推广到类氢离子( 有一个电子和核电核数为z 的离子) 。多电子原子 能的可靠解可通过胁砒p f o 出方法来计算【l l 】。胁肌p 一凡靠方法是近似的，这是因 为电子之间的相互关系被忽略了。由于它们之间的相互斥力，任何一对电子之间的相互 距离都比协肌p 一乃幽波函数所得到的要大。在零磁场，这种相互影响由于电子零自 旋态的空间波函数对是对称的而更加显著。在强磁场中，电子自旋都是反平行于磁场排 列的，空间波函数是关于两电子互换而对称的。因此，在胁舰p 一而西方法中的误差 比在零磁场中用协砒p 一，d 如计算方法【1 1 ，1 2 】的精度预期要显著小于1 。另外计算强磁 场中的重原子还有r h o m 缈一凡删f 统计模型( 1 9 9 2 年凡j 办溉等人用了此方法) 和密度 泛函理论( 1 9 8 5 和1 9 8 6 年乃甩豁，1 9 8 8 年尉s s ，等人，1 9 9 6 年r e f d 坩如和尺“如，f 1 3 】， 都分别用了此方法对强磁场中的重原子进行了研究) 。丁h o m 船一凡朋i 统计模型在确定 渐进标度关系上非常有用，但是对获得精确的结合能和激发能还是不够的。密度泛函理 论可以象协舭p 一乃政方法一样给出精确的结果，但是没有别的方法的比较标度，很 难确定它的精确度。f 幻等人【1 4 】将磁场分成了五个不同的区域： z 4 3 ，一z 4 3 ，z 们z 3 ，z 3 ，z 3 ，对重原子的渐进行为进行了详细的讨 论。得到各种密度泛函理论在这些渐进限制内变得精确：丁h o m 嬲一凡肭f 理论对应前三 个区域，“密度矩阵泛函”理论可应用在第五个区域。1 9 9 6 年乃 以s e 刀和拗胛j 伽【1 5 】对 重原子的数值计算就是基于这些理论。 中性原子的质心运动可以从内部相关运动中分离出来，但是对于电子却做不到。电 子遭受依赖于内部态的旋转运动。但是，运动恒量近似的存在允许近似准动量的高磁场。 3 第一章前言 1 9 9 8 年召彩幽鲫统d v 等人【16 】给出了强磁场中胁+ 的数值计算结果。强磁场中的多电子系 统的质心运动还没有进行数值研究，尽管励办甩s d 玎等人在1 9 8 3 年和泐m e 比j j l p ，等人分 别在1 9 8 8 和1 9 9 4 年都进行了讨论。 1 2 2 对强磁场中分子的研究 对强磁场中分子的研究采用的是波恩奥本海默1 刀近似。在波恩奥本海默近似中， 系统的总电场能e ( 口，墨) 给出了原子间的势u ( 口，墨) ，其中口是沿着磁场的分量，q 是 垂直磁场的分量。一旦得到e ( 口，墨) ，电子的平衡态就由e ( 口，r ) 面的最小值的定位确 定了。许多作者已经研究解决了强磁场中的氢负离子日一的量子力学问题。研究最早的 之一是觑，z w 等人在1 9 7 4 年用变分方法对其进行了研究。它们对弱场区域和中强场 区域进行了定性的研究。1 9 7 5 年地g 肪等人【1 9 】定性的描述了强磁场中基态3 ( 一1 ) 和高 场中的1 0 态。三口瑙口胛对强磁场中的氢负离子日一进行了很多的研究【2 0 抛】。一方面，他发 明了一个很简单的只有一个很小的变分系数的物理促动试探函数；另一方面，他的能级 在变分计算中是“艺术态”已经沿用了很长一段时间。他得到了在磁场区域= 0 5 中 最低态1 0 的束缚能，和在磁场区域= o 一3 中态3 ( _ 1 ) 的束缚能。他也得到了肌= 一2 和 m = 一3 时的单态和三重态的能量图表。后来他又得到了在高磁场区域态1 0 ，3 ( 一1 ) ，和 3 ( _ 2 ) 的总能和电子分离能。更明确的研究是对场强区域= 2 0 一1 0 0 0 中的态3 ( 一1 ) 和场 强区域= 2 0 一2 0 0 中的别的态的研究。此外，n 府和蚍m 【2 3 】给出了在最高和最低 束缚态的能量和在弱场中基态1 0 的结合能。 在九十年代一些作者用新的技术改进了结合能和总能量的精确度。1 9 8 9 年，玢胛出 和b 垆报导了m = 0 ，一l 和一2 在磁场区域= 4 4 0 0 中的几个场强的最低单态和三重态 的总电离能。1 9 9 2 年，l 口船p 阼和胁c 口胛刀瞄1 得到了在磁场区域：o 一2 0 0 中态1 0 的单 个粒子的结合能。此外，在1 9 9 3 【2 5 】年他们又同样研究了m = 一1 ，一2 的单态和三重态。 单态是在场强区域夕= 0 5 2 0 0 中进行计算的，态1 ( 一1 ) 是在场强区域= 5 5 2 0 0 0 中进 行计算的，态1 ( 一2 ) 是在场强区域= 1 一1 0 0 中的几个场强进行计算的。1 9 9 4 年， & w 口出f 2 6 】随后使用了一个高斯基组，他得到的计算结果精确度低于口糟绷和尬c 口，z 行 在1 9 9 2 年得到的结果。 还有些人使用了协m 馏一而c 觅方法进行了计算。在1 9 7 6 年n ，以m o 对场强区域 = 2 0 2 0 0 0 0 中的基态能级进行了研究。乃“埘盯等人对在场强区域 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 夕= 2 1 0 。一2 x 1 0 3 中的许多磁感应强度下的珑= 一1 ，一2 ，一3 的三重态进行了计算。 但是，他们只是在弱场中用了球谐波函数和在高强磁场中用了柱状波函数，因此，他们 对中强磁场的研究还是一个空白。2 0 0 0 年，d 一彳彳z 一商l 细，和p 鼢m p 触g r 【2 7 】用由各 向异性的高斯基组相互作用法计算了强磁场中氢负离子的基态和激发态能级。得到了氢 负离子的日一的较低变分能和一个粒子的较高结合能，并且计算结果的精度比前人都要 高。 对紧束缚态和弱束缚态的e ( 口，0 ) 的数值计算结果分别由口f 等人【2 8 】在1 9 9 2 年和 加i 和勋场p f 盯冽在1 9 9 6 年得到。量子蒙特卡罗法计算方法也已经被使用。 在以前的研究中，大多都是对平行组态的研究，分子轴和磁场线之间的夹角为 秒：o o 。只有u 锄酷和p j j l 聊p 纪 e 厂【3 1 3 在1 9 9 5 年和1 9 9 6 年给出了任何角度的详细 的定量分析，但是只是针对= 1 的磁场。以前的研究都是基于各种各样的数值方法， 用的最多的是各种变分方法，其中包括丁h o m 口s 一凡册f 方法等。做为一个规定，核运动 被从电子的运动中分离出来，用的是零磁场中的b d 朋一印p e ，2 j l z p f m p r 近似方法。在定量 研究上，氢分子离子日j 的一个最重要的特征是磁感应强度的增加总是与总能和结合能 的增加一起的，同时平衡间距的缩小也已被观测到。 彳矿尻幻加秽和，c 上d 纪狮在2 0 0 3 年【3 2 1 和2 0 0 4 年例分别对氢分子离子的基 态和激发态进行了研究，所用的方法也是变分法。但是研究范围限制在对态1 。的研究， 是在束缚态存在的情况下对系统的基态的研究。是在前人对平行组态的研究的基础上进 行的研究。 1 2 3 对中强磁场的研究 当b 玩一1 0 9 时，绝热近似不再有效，电子能够占据朗道激发能级。在这些中强 磁场区域内，库仑和磁场力都不能看作是微扰。对日原子的在任意场内的精确能级解 首先是在1 9 8 4 年尺洳玎p ，等人计算得到的；这个方法包括以球谐波或柱朗道轨道为依据 的波函数的膨胀和之后的双积分微分方程系统的近似解决方法。后来的对磁场中的日 原子进行计算的有：国朋和g d 铷伽【3 4 1 ，施忱矗汝【3 5 1 ，凡琊6 f 刀加和 w p 扬【3 叼和 胁v 幽绷勋等人【3 7 1 。尺“枷【2 1 用胁舰p 一而蔬方法对磁场中的胁原子计算的结果近似 于只诱挖等人的结果。近年来对中磁场区域的多电子原子的计算已经使用了更精细的 用不同基函数的胁砒p 一乃如方法。彳，一胁施，和i j l m e 比| i l p r 【2 刀对氢负离子日一进行计 5 第一章前言 算得到了精确的结果。1 9 9 7 年乃刀酷等人【3 8 3 发展了量子蒙特卡罗方法计算胁原子。 b 1 0 9 g 时的肌原子能级的精确解被用来解释磁白矮星g d 2 2 9 。 1 3 本文研究的内容 第一章：概述了对强磁场中原子与分子性质研究的方法及历史现状。 第二章：介绍了在强磁场中原子与分子性质的理论基础。 第三章：介绍绝热近似和绝热变分近似方法并进行理论推导。 第四章：使用绝热近似和绝热变分近似的方法得到在不同磁场下氢原子的能级，并 得到氢原子在不同磁场中的概率密度益线，最后对结果进行分析。 第五章：介绍了量子力学中的蒙特卡罗方法，可以将量子蒙特卡罗方法应用到对强 磁场中氢原子的研究。 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第二章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 2 1 朗道能级基础 对于一个所带电量为p ，和质量为m ，的自由粒子处在稳定磁场区域( 假设磁场沿z 轴方向) ，横向运动的动能被量子化为朗道能级 t = 三鸭疗i _ ( + 三) 壳哆 = 0 ，1 ，2 ， ( 2 一1 ) 这里敛= 蚓曰( 他c ) 是旋转( 角) 频率，疗= 户一( q c ) 五= 矿是机械动量，户= 一疏v 是正 则动量，力是磁矢势。朗道能级是简并的，并且反映了一个事实：能量是不依赖于回旋 运动指向中心位置的。计算简并态，定义一个广义角动量( 或是一般的角动量) 是很有 用的 霞= n + ( 弓c ) 雪尹 ( 2 2 ) 这里的霞是个运动常量( 例如，哈密顿变换) 这可以很容易地从粒子运动的经典方程中 得到，d 疗出= ( q c ) ( 办出) 雪。在数学上， 霞守恒是在空间的变换加上标准变换情 况下哈密顿不变性的结果阴。指向中心的位置矢径冠与墨的关系是由 是= 等= 赢妇+ 气 ( 2 3 ) 。 b 曰2e 居兀 1 来确定的。这里的雪是沿着雪的单位矢。很明显旋转半径，p = 吼 p = 嘶( 1 q l b ) ，是通过下式量化的 卜尾1 赤剖邶叫) 啦风 4 ) 其中 扁= ( 击严节。 ( 2 _ 5 ) 扁2 厢卜 是旋转半径( 或磁场长度) 。我们可以利用霞来确定本征态。只有一个分量可以对角化 为静态。这意味着粒子的导向中心不能被指定。如果我们利用来确定态，那么波动 方程会有众所周知的形式e 一7 6 矽( y ) 川，这里方程矽( y ) 是以儿= 一畋( q b ) 为中心的。因 7 第二章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 此在区域4 = 上的朗道简并态可由下式得到 鲁r 崛= 铷g l = 4 警= 刍 浯6 ) 这里利用了k w = 一q 以c 。从另一方面说，如果选择对角量化砰= 霹+ 霹，将得 到柱坐标中的朗道波函数睨。( 尹) ，这里聊是轨道量子数。朗道基态函数为( q = 叩) 。( 五) 三既( p ，矽) 2 南( 赤) m e x p ( 岳) e x p ( - f 珑) ( 2 - 7 ) 其中采用了忙2 尹上l 形m 1 2 = 1 的归一化。粒子的导向中心与坐标原点之间的距离可由下式 得到 l 尿i 一成= ( 2 所+ 1 ) v 2 岛，聊= o ，l ，2 ， ( 2 8 ) 与q 相对应的值是砰= ( 力蚓b c ) ( 2 柳+ 1 ) 。既然为了使波动方程是单个值而要求，l 是 正数，那么记砰假设为离散值。朗道能级区域4 = 万的简并态就由下式决定 p 鸭= ( 2 ) v 2 岛= 毽，又得到聊。= 4i qi 曰( 而c ) ，就如方程( 2 6 ) 那样。我们将取不 同的聊态作为不同的朗道轨道。尽管在方程( 2 8 ) 和( 2 4 ) 之间存在相似之处，但是 它们的物理意义是完全不同的：圆户= 成并不对应于任何粒子的回旋运动，能量也是独 立于聊的。 已认识到k i 是与z 坐标上的角动量以相联系的，显然是来自于柱坐标方程( 2 7 ) 中的p 嘲9 因数。通常意义上我们有 正2 碑一皿2 去( 霹一疗i ) ：( 聊一) 盥 岛 这里利用了1 i = ( 壳蚓c ) b ( 2 + 1 ) 。包括电子的自旋能 k = 葫( 2 c ) 厅雪= j 1 t 2 ，总的电子能可以写为 8 ( 2 9 ) ( q 一一p ，q 专) ， 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 e = 吼惫+ 篓 ( 2 1 0 ) z 聊， 这里指数吃包括自旋。对于朗道能级基态( t = 一1 ) 自旋简并态为1 ；对于激发能级， 自旋简并态为2 。 在壳吆m 。c 2 或 曰：掣：4 4 1 4 l o z 3 g ( 2 - 1 1 ) p 力 的极强磁场中，电子的横向的运动变为相对的了。自由电子的能量的方程( 2 1 0 ) 应被 下式代替 e = c 2 z + 砖c 4 ( 1 + 2 露) 怛 ( 2 - 1 2 ) 其中 刁暑昙：口2 ( 2 1 3 ) 刁暑i 础 。 1 3 对方程( 2 1 2 ) 中p 2 的高级阶正的形式为以4 万) c 4 ，( 刁) ，同时有 ，( 7 7 ) = 一巧，叩1 ；f ( 刁) = 【1 1 1 ( 2 7 7 ) 一( y + 3 2 ) 】2 + ，矽1 ，见= o 5 7 7 2 为欧拉常数；这些修 诈将被忽略。 2 2 强磁场中的原子 2 2 1 氢原子 在1 的强磁场中，电子被束缚在朗道能级基态，库仑势可看作是微扰。假设质 子质量为无穷，则氢原子能量光谱可由两个量子数( m ，v ) 来确定，m 测度的是方程( 2 8 ) 中电子与质子之间的平均横向分量，v 指的是z 方向上的波函数的节点数。谐电子的波 函数为。，酽) = 呢( ) 厶，( z ) 。薛定谔方程代替这个函数并在横向上均分，得到一个一 维的厶。0 ) 薛定谔方程 一去丘一丢圪( z ) 厶，= 乜，厶 ( 川，v = o ，1 ，2 ，) ( 2 1 4 ) 平均势可以由下式得到 9 第二章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 匕( 加p 2 磕i 既( 五) | 2 吾 ( 2 - 1 5 ) 用岛作为所有波函数和平均势中的单位长度，使它们变为无量纲函数( 因此 正= d 2 厶，( z ) 出2 ，z 在风单位中) 。 在能量光谱k ，中有两种截然不同的态。紧密束缚态在它们的z 波函数没有节点 ( v = o ) 。在态( m ，o ) 原子的横向大小为t 成= 【( 2 m + 1 ) 蟹】啦。由于以1 ，原子就被 加长为丘t 。我们可以在原子单位( p 2 ) 中通过模拟已知的占一窖一互1l z l ( t z 1 ) 来估算纵向大小t 。得到 。面焉k 乩， q 1 6 其中 乙兰l n 南 ( 2 - 1 7 ) 则紧密束缚态的能量为 l = 一o 6 么艺口剧( 2 聊+ 1 夕) ( 2 1 8 ) 因为成口。，或是2 m + 1 但是仍然( 2 聊+ 1 ) ，因此绝热近似( 1 已i ) 是有效 的】，我们得到t 一碟2 口0 ，能级近似 乜= - 0 6 ( 熹严z 朋+ l 【2 朋+ 1 ( 2 ，z + 1 ) - 1 】 ( 2 一1 9 ) 在方程( 2 1 8 ) 和( 2 一1 9 ) 中，数字系数是通过薛定谔方程( 2 1 4 ) 的数值方法得到的； 方程( 2 1 8 ) 中系数么随着卢的变化范围是接近一致的，并且随着和m 缓慢变化。( 例 如，当蜀2 = l 时，班= 0 5 ，则4 = 1 0 1 1 3 ；当互2 = l o 时，m = o 一5 ，则彳= 1 0 2 1 0 4 a 当寸时，得到乜渐进于一o 5 匕) 2 1 1 。在基态( 聊，v ) = ( o ，o ) ，原子波函数垂直和平行 于磁场的大小级别为t 反= 一彬和t 一石1 ，这里乇三1 1 1 。原子的结合能( 或电离能 q ) 为 q l = l e 旧) l = o 1 6 么名 ( 2 2 0 ) 彳 可近似 为 么= 1 + 1 3 6 l o - 2 陋( 1 0 0 0 ) 2 5 ， ( 夕 o ) 。这些态都是弱束缚态。例如， v = 1 的态与零磁场中处于基态的氢原子有大约相同的束缚能，e = 一1 3 6 p y ，支配奇偶 性的方程与由零磁场中处于s 态的氢原子满足的径向方程也是相同的。弱束缚态的能级 可由下式近似 已，一鬲高删“_ 1 2 ，3 ，) ( 2 - 2 2 ) 其中 万：2 成亿。，( v _ 2 m - 1 ) ( 2 _ 2 3 ) d2 l 么一z jj 【陋( 口o 成) 】- l ，( v = 2 k ) 波函数的大小是垂直于磁场的成与沿着磁场方向的t ，2 口。 以上的结果是假设了由质子产生了一个固定的库仑势( 质子质量是无限的) 。减小 了的电子质量m 。聊p ( + ，z p ) 的应用，为能量 ( 他所p ) i 已，i 引进了一个很小的修正。但 是，在强磁场中，质心运动对能量光谱的影响是复杂的。对磁场中的两体问题的一种分 析显示，即使处于静止状态的氢原子，对能量也仍然有一个质子旋转修正，m j l = ，l ( 垅。m p ) 。 2 2 2 重类氢离子 氢原子的结果可以很容易的推广到类氢离子( 有一个电子和核电核数为z 的离子) 。 绝热近似( 电子处在朗道能级基态) 的条件是( 岛口0 z ) ，或是 z 2 ( 2 2 4 ) 对一个紧束缚态( 聊，v ) = ( 聊，0 ) ，当径向大小为 乞 ( 孔去r 1 屯5 时，横向大小为之一成。能量为 邑一o 1 6 1 i l 古( 嘉) 】2 ( 2 - 2 6 ) 第二章强磁场中原子与分了能级研究的理论基础 此时夕( 2 掰+ 1 ) z 2 。对弱束缚态( ， 0 ) 的结果可由方程( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 相似归 纳而得到。 2 2 3 重原子 被充满的最低能级是v = l 的紧束缚态。当z 止玩时 2 2 3 ( 2 2 7 ) 所有研= o ，1 ，2 ，z l 的电子都处于紧束缚能级。原子的能量大约都是由方程 ( 2 2 5 ) 的本征值给出的。因此，得到z 1 的渐进表达式 e 一z 3 ( 2 2 8 ) 其中 c 煮爿乩压 2 9 ， 原子的大小为 之 ( 2 z - 1 ) 啦岛，之参 ( 2 - 3 0 ) 对于中强磁场( 但是仍足够强而忽略朗道激发) z 纠3 2 2 3 ( 2 3 1 ) 在内部朗道轨道上的许多v 0 的态是由电子占据的。在这个区域内对于电子汤姆斯一 费米模型是很适合的( 至少是对于处在小朗道轨道上的核电子) ，电子可以看作是一维 的约是球形原子洞的电子气【2 8 1 。电子占据在朗道能级基态，动量z 上升为费米动量 办，这里的以为原子内电子的数密度。电子动能的每单位的容量为 q 一p ；一，l ：声2 ，总的动能为色一r 3 ，l ；p 2 r 6 ，这里的只是原子半径。势能为 三。一z 2 r 。因此原子的总能量可以写为 e 罢一竺 ( 2 - 3 2 ) 2 r 6 尺 随着尺增加z 减小的关系为 尺一z l 5 一邪，e 一一z 9 5 扔 ( 2 3 3 ) 因为这些关系是有效的，所以电子必须停留在朗道能级基态上；这就要求 1 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 z 疋壳= ，来与z 形3 相对应。在这个区域更详细的汤姆斯一费米模型已经得 到了发展，近似给出了相同的缩放关系。 对多电子负离子的研究。首先是设想加一个电子给处在基态( ，z = o ) 上的日原子来 构造一个日一。如果忽略质子势对第一个电子的屏蔽，那么额外的电子只能处在m = l 的 态上，拥有如式( 2 1 8 ) 中的束缚能i e i 。两个电子之间的库仑排斥作用减小了对加= 1 电子的束缚。排斥能量是以( 1 i l ) t 为阶，与i 巨i 有相同的阶。但是排斥能由于两电 子间的柱状电荷分布而小于l 巨i 。因此日一相对于日+ p 被束缚，电离势正比于( h 1 ) 2 。 相似的考虑方法可以应用到强磁场区域( 夕z 3 ) 中，具有个电子和z 个电荷的离子。 离子垂直于和平行于磁场的大小为 n 等即如扣k h c 争 浯3 4 ， 电子的基态能量为 e 一警f 2 ( 4 z 一人r + 1 ) 2 ( 2 3 5 ) 将这样的结果应用到z = 1 的氢离子，得到日一到日+ p 的离子电离势大约是氢原子 束缚能的1 1 0 。同时也可得到，l 2 时负离子日却- 1 是非束缚的。这些估算通过数值计 算得到了确定【3 9 1 。 当1 时，多电子原子能的可靠解可通过胁舰e 一乃蔬方法来计算1 1 1 。当在朗 道能级基态的电子自旋排列反平行于磁场时( 绝热近似) ，动能和自旋能将会增加到 ( 1 2 犯) z 。因此具有z 个电子的中性原子的哈密顿量为 疗2 军未；一z e 2 军号+ e 2 吾吉 c 2 3 6 ， f 标志电子。一个电子波函数的基元为 。，( 尹) = 乙( p ，矽) 厶，( z ) ， m ，v = o ，1 ，2 ， ( 2 3 7 ) 在胁舭p 一，d 如近似中，z 电荷电子的波函数是由z 电荷一个电子的基函数的反对称 积形成的。取横向朗道函数哈密顿量的平均，得到 o 的态将变为非束缚态。 对于小的q ，哈密顿量疗中的动生斯达克项可被看作是微扰。对紧束缚态p = o ) ， 有 l 。( k ) = 乞+ 是， ( h 墨，) ( 2 - 5 4 ) 乞是固定库仑势中束缚电子能。横向运动时有效质量帆。随着的增加而增加。对于 m = 0 的态 帆叫矿伽+ 南m 静 浯5 5 ， 善是的一个慢变函数( 例如，当= 1 0 2 1 0 5 时，善= 2 3 ) 。对于加 0 的态可以得到 相似的结果：虬。= m + 磊( 2 垅+ 1 ) 夕乞，这里磊是与善具有相同阶的数量， 乙= 1 1 1 ( 2 m + 1 ) 】。1 9 9 8 年p d f 踟砌给出了虬。的一个简单适宜的公式 m 上。= m 1 + ( 屁) 勺】 ( 2 5 6 ) 屈= 6 1 5 0 ( 1 + o 0 3 8 9 聊纠2 ) ( 1 + 7 8 7 m 纠2 ) ，c o = o 9 3 7 + o 0 3 8 研1 5 8 。方程( 2 4 1 ) 仅当q 远 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 小于微扰限t p 才是有效的，( 掰= o 时) t p 夕v 2 ( 1 埘l n 够) ，对应于 砰p ( 2 m 上) = 1 7 ( 1 + 尾够) 。1 9 9 4 年由p d 纶砌伽进行的数值得到方程( 2 5 4 ) 在 q q 。时是很好的近似。其中 q 。= 2 m e i ( 2 5 7 ) l 乜。( h 。) i i e l 。墨q 。态有时被称为中心态。 当q q 。时，动生电场导致电子和质子之间一个小的横向分量( 垂直于霞) 。选 择用一个更方便的新的坐标系统来说明这种效应。既然t 测度的是电子的导向中心和 质子的分量，则将方程( 2 5 2 ) 中的“斯塔克”项由置换坐标尹= 尹= 砭移动。经过标度 变换 婀) _ e x p ( 云箐盛磁力 ( 2 - 5 8 ) 得到疗矽( 广o = 却( 尸) ，哈密顿量为 肌篆+ 寺( 户+ 丢翮22 朋2 “、2 c 7 一毒岳妒卜南 5 9 ) 聊p c+ 比i 其中户7 = 一珐a 矽。我们可以估算心两个不同区域的原子沿着z 轴方向的大小丘和能 量瓦，( q ) ：( 1 ) 心丘1 ( 但是不需要心 成或q 万) ，得到( 1 ，= o 的态) t “( 1 1 1 焘) - 1 口。 蹦刈1 6 ( 1 n 焘) 2 ( 2 _ 6 0 ) 当尾时，不同，z 态之间的混合是不重要的。( 2 ) 当心1 时，电子一质子之间的相 互作用不包括库仑对数，能量可写为。( 墨) 一p 一( 置+ ) 一班。在极限心1 ，关 于t 独立于研束缚的最小限度为 t 碟4 取，乞。( 置) ，亡2 一是 ( 2 6 1 ) q 吒的态有时作为偏态被提及，但是指出对于给定的( m v ) ( 定义在q = o ) ，存在 第二章强磁场中原子与分子能级研究的理论基础 一个连接处于小墨的中心态到处于大墨的偏态的连续能玩。( 墨) 。计算一般墨的能 乜，( q ) ，需要包括不同朋轨道之间的混合。可用在方程( 2 5 2 ) 中用 矽( f ) = 。，( 五) 厶，( z ) ；而对于q q 。，在方程( 2 5 9 ) 中用( 芦) = 。，吸，( 尹) 厶( z ) 会方便。1 9 9 4 年助f p 砌砌给出数值计算，1 9 9 8 年又给出了能量的合适的解析公式，原 子大小和振荡强度。 1 8 中国石油火学( 华东) 硕士学位论文 3 1 绝热近似概述 第三章理论推导 原子核质量远大于电子质量，在质心系中原子核运动很慢，可以把原子核的运动与 电子的运动近似地分开。在讨论电子的运动时，原子核可以暂时看成是不动的( 波恩一 奥本海默近似) 。而在讨论原子核的运动时，由于电子运动速度较快，两个原子之间的