（理论物理专业论文）双higgs模型下b→φk衰变过程极化反常的研究.pdf

摘要 粒子物理的标准模型是迄今为止描述电弱和强相互作用的最成功的理论。该模型在过 去的三十年中得到了充分的检验。然而，标准模型并不是完美无缺的，它自身还存在着一 些缺陷。并且它对一些过程的理论预言和实验结果还有或大或小的差别。这些都表明了粒 子物理的标准模型并不是一个终极的理论，它应该是某一能标下的一个低能有效理论，在 更高的能标下应该有更基本的理论出现。 b 物理研究不仅能够揭示近距离时的强相互作用物理，而且也是研究c p 破坏、稀有 衰变和味改变过程等的良好场所，还可以通过对b 物理的研究寻找新物理存在证据。 本文的主要内容是在模型i i i 下，我们对曰_ 姬衰变过程的极化反常问题进行了研 究。我们考虑了来自于中性规范玻色子h o 、h o 和a o 传递的树图阶的味改变中性流( f c n c ) 的贡献，得到的有效哈密顿日箩，蟛和日筹不仅含有标准模型内算符的贡献，还含有新 算符的贡献，这些算符的强子矩阵元都用q c d 因子化方法计算到口。阶。最后，我们得到 了b _ 姆衰变过程的分支比和纵向极化关于参数i 九丸i 和的函数关系式，根据实验上 测到的b 斗纭衰变过程分支比和纵向极化的数据，我们给出它的分支比和纵向极化关于 参数i 九丸i 和庐的等高线图，我们发现口_ 姆+ 衰变过程中极化反常问题能够在合理的参 数范围内得到解决。 关键词；标准模型、q c d 因子化、b 介子非轻衰变、分支比、纵向极化。 a b s t l a c t t h es t a l l d 盯dm 0 d e l ( s 旧o fe l e m e r 岫yp 枷c l ei s 恤m o s ts u c c e s s f i l it h e o r e t i 翻m o d e li nd e s c r i b i t l g t h es 栅1 9 柚de l e 咖w e a l 【i n t e r a c 廿o n sb e 眦e nt l l ef u l l d 锄删p a n i c l e s d i l r m gt h ep 嬲t3 0y e a r s ，i t h a s s u r v i v e de x p e r i i n e n t a lt e s t se ) 如n s i v e l y h o w e v e t h es m 慨1 fi sn o tp e m c i ，m e r ee 姬s ts o m e p r o b l e i i l st 1 1 a t h a v en o ty e tb e e ns 0 1 v e dr e 鸹0 n a b l y b e t w e e x p e r i r 脯n t a l 衄dt 1 1 e o r e i i c a l r e s u l t s ，t h e r ea r es t i l ls o m e d i s c r e p a i l c i e sb ya n dl 鹕e a ut h e 协c o n s i 蚰m c ym a yi n d i c a t et i i 砒s mi sn o ta nu l t 皿g c em e o r y _ i ti s c o m m o l l l yb e l i e v e dt l l a ts mi s0 n l ya 1 1e f r e c t i v et l l e 0 珥a t 廿他h i 曲e re l l e 强，s c a l e ，t l l e s h o u l de 硪s ts o m e n e w a n d m o r e b i c t l l e m y t h e8 “嘶o f bp 岬i c so 船rn o to n l yt h e p o t c 玎廿a li l l s i g h ti 咖龇h a 出o n i cd y n 锄i c so fs 们n g i n i c 眦t i o n sa tv e r ys h o r t d i s t 缸c e s ，b u ta i s o a 9 0 0 d p l e t 0s t u d y p h 印o m 蛐as u c h 鹤c pv i o l 撕0 n ，础d e c a y s ， a n df l a v o rc h 蛐舀n gn e u n mc 岍e n t ( f c n c ) p m c c s s 昭m o m o v e nm a y p m v i d ci n d i r e c ts 姆l a l so f 1 en e w p h y s i c s i t l 也i st 1 1 e s i s ，w e 咖d yt l l e p o l a r i z a t i o n 咖m a l yo f t l l e 曰斗衄d e c a y si t lm e2 皿mi w e c o n s i d e r m e a d d i t i o n a lc o 劬d b u t i o 砸c o m _ m g 硒m t h c n 叫虹a l g a u g e s b o s h o 、h o 明d a o 。w h i c h i n d u c e n l e f c n c sa tt l l e 打e el e v e l 1 1 l ee 蜘i v eh 嘲i l l o l l i m 日箩，砖趾d 碟i n c l u d es 。m en e w 。p e r a t 。r s w h i c h 黜n o t 喇s t i n s m a s 蛐eo p 盯a t o r s i n s m ，血eh a d r 咖c m 枷xe l e m 蚰t so f m e n e w o p e f a t 0 舢a v e b e e nc a l c m a t e du pt ot l l e 哎0 r d e ru s j n g 也eq c d fa p p r o a c h w ef m dt l l 砒t h eh 锄岫g 糟廿oa n dn l c l o n g i t l l d i n a lp o l a r i 硎o nd e p 锄do nt h ep a r 锄e l e r s f 厶丸l 锄d a c c o r d h 唱t o l e 代c e n te 坤e r i m e md 峨 w eg i v em ec o n t o l 】r p l o t s f o rb r 跚蛐gr a t i 0 锄dt l l e l o n g j n j d i 删p o l a d z 确0 na b o u tt h ep 戤吼e t e r s 九l a n d w ef i n d t l l a t 也e1 a r g e l o n g i t i l d i n a lp o l 砒嘶o nc b es 0 1 v e d 、v i t h i nm er e 0 n a b l e p a 糟m e t e r s y w o r d s ：s t a l l d a r dm o d e l ，q c d 亿c 州删o n ，bd e c a y s ，b 啪c l l i j l g 删0 ，l o n 昏m d i l l a lp o “z a t i o n 第一章 f 言 第一章引言 1 1 粒子物理标准模型简介 1 1 1 简单回顾 古典物理学理论是对l9 世纪以前大量实验事实和所发现的物理规律的总结，它对于 描述低速宏观物理现象起着普遍作用。在2 0 世纪初，随着一系列新的物理现象和规律的 发现，物理理论经历了两次飞跃：对微观物理现象的研究产生了量子论，进一步发展为量 子力学；相对论是描述高速物理现象的得力工具。在相对论和量子力学两块基石上，人们 建立和发展了现代物理学，并逐渐成为研究物理学现象和规律的主导性理论。 粒子物理学所研究的现象和规律，既要反映微观粒子的量子性，又要反映粒子物理高 速运动的相对性，同时还应体现粒子的产生、湮灭以及粒子之间的相互转化过程。量子性 和相对论性要求对粒子运动规律的描述应是在量予理论和相对论基础之上的，而自由度可 变的特性又要求所描述的体系应具有无穷多自由度，即应以“场”理论为基础。因此，粒子 物理学的理论基础是相对论的量子场论。量子场论是由狄拉克、约旦、魏格纳、海森伯和 泡利等人在相对论量子力学的基础上发展起来的，其基本思想可以概括为：对应不同的粒 子，应有不同的场；粒子是相应场的量子或激发态；场的激发态对应粒子的产生，场的退 激发对应粒子的湮灭。 1 9 5 4 年杨振宁和米尔斯首先建立了普遍的规范对称性的数学理论。他们提出物理学中 的对称性有整体对称性和定域对称性，定域对称对理论要求更严格。为了使描写粒子间相 互作用的拉氏量在定域规范对称变换下具有不变性，就必须引入辅助的规范场，用来解释 粒子间的相互作用来源。根据规范理论，自然界的所有基本的相互作用都具有因果性，都 是通过规范场来传递的，而不是所谓的超作用；尽管各种场所属的表示可以不同，但所需 要的规范场却是统一的，各种场与规范场的耦合方式由定域规范不变性完全决定。在六十 年代后期关于对称性的真空破缺机制提出后，规范理论开始得到广泛的应用，并逐渐成为 描述粒子之间相互作用统一理论的基础。 众所周知，自然界存在四种基本的相互作用：强相互作用、电磁相互作用、弱相互作 用和引力相互作用。人们认为自然界是如此的完美、和谐，这四种相互作用应该可以统一 1 第一章引言 起来进行描述。为此，人们进行了多方面努力。到目前为止，虽然还没有获得最后的成功， 但人们已经将引力以外的其它三种相互作用成功的统一于粒子标准模型的理论框架中。理 论上，标准模型是一个基于规范对称群 s u ( 3 ) co s u ( 2 ) o u ( 1 ) r ( 1 1 ) 的量子场论( 其中s u ( 3 ) c 表示强相互作用对称群，s 【厂( 2 ) 。固u ( 1 ) ，表示电弱相互作用群) ， 标准模型是迄今为止人们公认的能最好的描述弱、电、强三种相互作用的规范理论。下面 简单介绍一下弱电统一理论的发展历史： 1 、1 9 6 1 年格拉肖( g l a s h o w ) 首先提出s 【，( 2 ) 。o u ( 1 ) ，弱电统一理论模型【1 ；但这个 模型是不可重整化的，因为中间玻色子的质量是手放进去的。 2 、1 9 6 7 年和1 9 6 8 年，温伯格( w j 协b e 玛) 2 】和萨拉姆( s a l 锄) 【3 】将这个理论建立 在杨一米尔斯( y 缸g m i l l s ) 规范理论的基础之上，并引入希格斯电弱对称性自发破缺机制 【4 ，使得中问矢量玻色子获得质量，从而使该理论成为一个自洽的，完整的理论。 3 、1 9 7 1 年和1 9 7 2 年，特霍夫特( h o o f t ) 和维特曼( v e l n i l a n ) 【5 】等人给出了具有 自发破缺规范对称性的杨米尔斯场论是可以重整的严格证明；在将此理论推广到包括夸克 和强子时，理论上遇到了如何保证奇异数改变( s _ 1 ) 的弱中性流不出现的问题，1 9 7 0 年，格拉肖( g l a s l l o w ) 等人提出了g i m 机制【6 】，引进了璨( c l l a r n l ) 夸克，解决了夸克 混合的问题，同时轻子和强子的 三角图发散( 即阿德尔( a m e r ) 反常) 正好抵消。 4 、1 9 7 3 年，小林( k o b a y a s h i ) 和益川( m a 也艮w ) 又将两代夸克的混合推广到了三 代夸克的情形，给出了c k m 混合矩阵 7 】。至此，s u ( 2 ) 0u ( 1 ) r 弱电统一理论模型最后 建立起来。 自理论建立到现在三十多年来，它经受住了对它进行的各种考验，它所包含的粒子( 除 h 蟾g s 粒子外) 都已经被实验所发现，所预言的粒子的性质以及弱中性流的存在的都已经 被证实，在单圈水平上理论与实验符合得很好，目前对该理论的检验已精确到1 0 4 的水平。 强相互作用理论是粒子物理学长期试图解决的重要课题之一。量子色动力学( q 岫n t i 】m c h r o m o d y i l a m i c s 或q c d ) 8 】是描述强相互作用理论的最好的候选者，它是描述夸克和胶 子间的强相互作用的可重整化的非阿贝尔的s u ( 3 ) 。规范理论，具有渐近自由的性质【9 】。 也就是说夸克和胶子间的耦合常数口。( q 2 ) 是随着转移动量的增加而呈对数型减少的： 2 第一章5 i 言 口。( q 2 ) = 哎( 饼) 1 + 2 城( 掰灿蛋 “：三( 旦 ” 8 万2 、2 ( 1 2 ) 因此，q c d 具有两重性：一方面在小距离大动量下耦合常数变小，可用微扰论来处理， 并且得到了很好的实验验证。到目前为止，微扰q c d 所作的理论预言都与实验定性的或 半定量的相符合。另一方面，在大距离小动量的情况下耦合常数变大，进入非微扰区域， 微扰论在此失效。这个非微扰的区域是至今为止人们理解最少的部分，因此人们不得不借 助于唯象模型。 现在，人们一般将s u ( 2 ) lo u ( 1 ) ，电弱统一模型和s u ( 3 ) 。量子色动力学( q c d ) 统称 为粒子物理的标准模型，它是迄今为止公认的描述弱、电、强三种相互作用的最好的理论。 尽管标准模型取得了巨大的成功，但它本身也还存在着一些基本问题，比如标准模型中c p 破坏的起源、1 9 个自由参数的起源等问题。尤其是标准模型中的质量起源问题，在模型中， 理论的规范不变性要求规范场和费米子场最初是没有质量的，为了使这些粒子获得质量， 人们引入了希格斯场，通过希格斯机制使它们获得了质量。但是理论所预言的希格斯粒子 至今尚未被发现，因此人们普遍相信：标准模型是在费米能标( v - 2 4 6 g d v ) 附近的有效理 论，在较高的t c ，能标下应当还存在着更为基本的物理理论。 1 1 2 标准模型的基本粒子和拉氏量 通常，基本粒子可分为成轻予、重子、介子和光子四类。但是，从规范场论的观点来 看，基本粒子应该分成新的三种类型：费米子、规范玻色子、h i g g s 粒子。费米予包括夸 1 克和轻子，是自旋为妄的费米子。已知的轻子包括荷电的电子p 一，一轻子和f 一轻子，以及 z 相应的电子中微子叱，一中微子u 。和f 一中微子。带电轻子既参与电磁相互作用，也参与 弱作用，它本身没有结构，可看作点粒子。中微子只参与弱作用，不参与强相互作用和电 弱相互作用，它只有左手分量，相应的反中微子只有右手分量。在标准模型中认为它们的 质量为零，因此需要引入轻子数三。，上。和三，来区分三代轻子( e ，魄) ，( 一，d 。) ，( f 一，q ) 之间的 差异。 夸克共有六种昧道( 上夸克u ，下夸克d ，粲夸克c ，奇异夸克s ，顶夸克t ，和底夸克 b ) ，每种味道的夸克又有三种不同颜色( 红r ，黄y ，绿g ) 。我们可以把颜色理解为夸克 的状态参量，所有的强子都是由更基本的组元一夸克构成的色单态。但是，自由的夸克至 第一章引言 今在实验上没被发现，使物理学家相信“夸克禁闭”的存在。在标准模型中，三个上夸克( 电 荷q 2 专p ) 之间是没混合的；而三个下夸克( 电荷q = 一；p ) ，其弱作用本征态以j ，和6 ，与 其质量本征态d ，s 和b 是不同的，二者之间通过c k m 矩阵【7 】相联系。c k m 矩阵元在后 边有具体的说明。 规范玻色子是传递相互作用的、自旋为1 的矢量玻色子。光子是电磁相互作用的交换 子；八个胶子传递夸克之间的强相互作用；三个弱玻色子矽+ ，z o 是弱相互作用的传播子。 光子无质量，不带电，无自相互作用：胶子也无质量，电中性且带有颜色量子数，它们不 仅和夸克有作用，而且自身之间也有相互作用；弱玻色子矽2 ，z o 有质量而且也有自相互作 用。形+ 分别带有电荷q = l ，而z o 不带电。 h i g g s 粒子具有奇异的性质：当它们以虚质量的面目出现时，破坏真空的对称性；当把 对称性的破坏由真空转向“实物”时，它们又以实质量的面日出现，并使其它粒子获得质量。 在规范场论的理论框架下，粒予物理标准模型的拉氏量可写为： 上。f 栅h + 三一m + h 鼬+ 月婚 ( 1 3 ) 这四部分拉氏量的含义分别为： 。：描述费米子的作用以及费米子与规苣玻色子y ，z ，w ，g 作用。 上。：描述各种规范玻色子的动能项和自作用项。 上：描述h i g g s 玻色子与费米予的作用，给出费米子质量。 脚：描述费米子与规范玻色子的作用，产生规范玻色子+ 和z 的质量。 1 2b 物理介绍 1 2 1b 物理研究的重要性 当前理论物理学界的两个主流研究方向：一个是继续检验和完善标准模型，而另一个 则是寻找超出标准模型的新物理存在的信号。b 夸克物理的研究不仅与微扰和非微扰o c d 相关而且与超出标准模型的新物理的探讨有密切关系。b 介子以及由b 夸克构成的重子的 弱衰变在检验标准模型的同时还有可能通过圈图效应来揭示新物理存在的证据。基于这些 原因，目前无论是在实验上还是在理论研究中，b 物理都是十分活跃的。同其它粒子相比， 第一章引言 在b 介子弱衰变过程中，由于有更多的衰变道被打开，末态相互作用的影响减弱，这些都 有利于抽取标准模型的自由参数，进而对标准模型进行更精确的检验。另外，b 介子衰变 的许多过程也都是研究、寻找c p 和t 破坏的理想过程，所以b 介子系统也是继k 介子系 统之外的研究c p 破坏的另一个良好的场所。当前，粒子物理界对b 介子弱衰变感兴趣的 方面主要有： 1 b 介子的稀有衰变研究一方面为检验标准模型提供了极好的机会，另一方面又是寻 找新物理的重要窗口。 2 它们可以用来测量标准模型的一些自由参数，尤其是提供了最为直接的方式来确定弱 混合角和c k m 矩阵元的幺正性。 3 由于夸克永远禁闭在强子束缚态中，因此强子弱衰变不仅与弱作用有关而且与强相互 作用的短距离行为( 微扰) 和长距离行为( 非微扰) 紧紧联系着。关于强子弱衰变的研究 会给我们提供关于强相互作用的信息。 4 b 介予弱衰变的许多过程都是研究、寻找c p 和t 破坏的理想过程。 基于以上几个方面，我们可以将发现b 介子系统的c p 破环、检验标准模型并测量模型中 的自由参数以及寻找超出标准模型的新物理存在的迹象或证据三个方面作为b 物理实验测 量和理论研究的三个目标。 1 2 2b 物理研究的理论及实验方面的进展 近几年来，无论在实验上还是在理论上，b 物理的研究都取得了很大的进展。 实验上对b 物理的研究情况可以简单地概括为： 1 1 9 7 7 年在正负电子对撞机试验中，人们发现了一个长寿命的重粒子，命名为y 粒 子，并发现y ( 4 s ) 共振态主要衰变到b 面对。从此，人们便开始了对b 物理的研究。 2 在b 介子工厂运行之前，欧洲核子研究中心( c e i ) 的l e p 和费米实验室的t c v a 仃o n 等实验都作了很多有关b 物理的实验。 3 从1 9 7 9 年开始，康乃尔( c o m e l l ) 大学的c l e o 合作组便在质心能量约为1 0 5 g e v 的正负电子对撞上的t ( 4 s ) 共振上收集数据，目前已经收集到约1 0 1 0 6 的b 面对事例 数，已经测量到了分支比1 0 - 6 的很多衰变道。 4 两家b 介子工厂b a r b 斫s l a c ) 【1 0 】和b e l k 【1 1 】从1 9 9 9 年也开始运行。由于 由非对称束流对撞所产生的b 介子对在实验室系不是静止的，运动很快，因而寿命延长， 5 第一章引言 有助于探测器来测量与b o 介子混合有关的物理。因此，k e k 、k e k b 和s l a c 的p e p i i 都采用了非对称的对撞束流。到目前为止，它们已经分别收集到了约8 8 1 0 s 和8 5 1 0 s 的 b 面对事例数，基本上接近测量分枝比为1 0 。7 的b 介子稀有衰变过程。 5 伴随着将来的s u p c r _ b 、费米实验室的b t e v 实验的运行，以及在即将开始的欧洲 核子研究中心的l h c - b ( c e r n ) 1 2 ，1 3 实验中，每年将产生1 0 ”个6 万事例对，其中的百 分之十将构成巨介子，它们将为将来的b 介子实验积累更多更精确的实验结果。 在理论上，b 物理研究的基本方法大致可以分为以下三种： 1 基于有效场理论的重夸克展开( h q e ) 和手征微扰理论( c l l p t ) 。在有效场理论中，通 常存在一个小的参数，我们可以按此参数作微扰展开，由于有微扰论的控制，原则上讲计算 结果是精确可靠的。 2 基于量子色动力学( q c d ) 的格点规范理论( l a t t i c eq c d ) 和q c d 求和规则( q c ds m m l e s ) 等动力学方法。这些方法的引入之处在于它们是从q c d 第一性原理出发，但是由于技 术上的原因，目前这些方法还只能适用到有限的情况。 3 唯象模型方法( 如夸克模型等) 。它们不是从q c d 的基本原理出发的，但其中所引入的 某些参数是可调的，通常在没有其它方法时才采用的方法，比如简单因子化方法、推广的因 子化方法、q c d 因子化方法、微扰q c d 方法以及软共线有效理论( s o f tc o l l i n e 盯e 航c t i v e 廿1 e o r y 或s c e t ) 等。 由于b 介子的弱衰变深受强相互作用的影响，尤其是末态都是强子的非轻衰变过程，唯 象模型的理论计算具有很强的模型依赖性，同时唯象参数也会给理论预言带来很大的不确定 性。特别是对于b 介子的非轻衰变过程，理论上最困难的是强子矩阵元的计算。 b 介子衰变的能标o ( m 。) ，而b 夸克的质量州。远大于q c d 的标度a o c d ，因此，我们 可以将强子矩阵元按耦合系数口，和幂次a 。m 。作展开，从而使和强相互作用相关的理论不 确定性得到一定的控制。本文所采用的q c d 因子化方法充分利用了这些事实并发展成为唯象 上对b 介予两体非轻衰变研究的一个重要方法。在这种方法中，强子矩阵元可以写成硬散射 函数和强子光锥分布振幅的乘积，硬散射函数是微扰可算的，而长程的非微扰贡献可以吸收 到b 到强子的跃迁形状因子或是强子的光锥分布振幅中，从而大大简化了强子矩阵元的结构。 并且在这种方法下，考虑了q c d 辐射修正之后所得到的b 介予衰变振幅在口。级是和重整化 第一章引言 标度、规范选取无关的，是红外有限的。 本文的主要内容是在q c d 因子化的框架下，引入双h i g g s 模型对曰一姆过程的极化反 常进行研究。主要内容有以下三部分组成：第一部分是综述部分( 即第二章) ，在这一部分中 我们首先对b 物理研究中所用到的基本理论工具进行了阐述；接着我们列举了几种计算强子 矩阵元的方法，并针对本文计算中所用到的q c d 因子化方法作了详细的介绍：最后我们介绍 了q c d 因子化方法在b 介子两体非轻衰变中的应用。第二部分( 第三章) 是我们的工作部分， 我们首先对双h i g g s 模型进行了介绍。接下来，我们在模型i i i 下，用q c d 因子化方法对 b 一拭+ 的分支比和极化反常进行了分析，在合理的参数空间内对曰专娠的极化反常进行 了解释。最后一部分( 第四章) 是我们的总结和展望。 第二章b 舟了弱衰变的基本理论框架 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 本章，我们将给出粒子物理规范场论计算经常用到的相关概念和理论工具，具体洋细 地讨论可参阅有关场论书籍 1 4 】。 2 1 重整化和重整化群 2 1 1 重整化 对任一给定理论，如果已知描述该理论的拉氏量，那么我们就可以利用路径积分等方 法导出该理论的费曼规则，然后就可以按照微扰理论对各种过程进行计算和讨论。但在涉 及到含有内线圈图的计算时，我们往往就会遇到有对内部动量积分所引起的发散，这是因 为在对内线虚粒子动量进行积分时，其相空间取值范围为o _ 。而导致的。发散困难的存 在反映点粒了量子场论基本理论结构的不完整。重整化理论就是一种分离并消去发散，从 而得到有限的物理可观测量的程序，它最初由费曼( f e y 玎m m ) 、施温格( s c h m i l g c r ) 在 1 9 4 8 年为了解决量子电动力学中的发散问题而引入的，最早的系统研究重整化的工作是由 戴逊( d y s o ) 等完成的【1 5 。在以后的发展过程中，它逐渐成为相对论量子场论的重要内 容。重整化程序包括两个步骤：正规化和重整化。分别加以阐述如下： 在重整化过程中，首先面临的一个问题便是如何计算发散，由于发散积分不便处理， 凼此，重整化第一步就是暂时修正理论使发散积分成为有限的且使得对收敛图的影响可以 忽略，这通常称为正规化。简单地说，正规化就是将发散积分作为某种有限积分的极限， 并在极限情况下将有限部分和发散部分分离出来。经过这一步之后，在构造拉氏量函数中 用来抵消发散的抵消项时，就可以保证所进行的数学处理有意义，而不致得到含混的结果。 在这方面，历史上曾经出现过多种正规化方案，例如，简单而直观的大动量截断法( 费曼 割断方法) ；在对动量k 的费曼积分中插入一个或多个因子1 似2 一斧+ f s ) 的泡利一维勒斯正 规子方案【l6 ；通过降低积分维数使积分收敛的特霍夫特维特曼维数正规化方案【1 7 。前 两神方法由于破坏规范不变性而不适用于非阿贝尔规范理论；而维数正规化方案能够自动 地保持原有理论的内部对称性，包括规范对称性，因而被广泛地应用到相对论量子场论的 地保持原有理论的内部对称性，包括规范对称性，因而被广泛地应用到相对论量子场论的 高阶计算过程中。 8 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 维数正规化所依据的基本事实，如果积分在四维时空是发散的，则它在较低的时空 维数d = 4 一s ( 4 ) 下是收敛的。其基本做法是：首先把发散积分延拓到d 维时空，使得积 分是收敛的，计算完之后再取极限d _ 4 0 斗o ) 。结果发散图形的奇异性表现为1 ( 4 一d ) 型的极点。利用维数正规化计算时唯一的问题就是如何处理儿，由于四阶全反对称张量 s ，唧是四维时空所特有的。无法直接将其延拓到d ( 4 ) 维时空中去，因此认为常规延拓 y s2 素8 一唧，”y ”，。y 9 是与规范不变性不相容的。在所谓的简单维数正规化( n a i v ed i m e n s i o i l a lr e g l l l a t i o n 或n d r ) 1 8 】中，度规张量被推广到d 维时空g ：= d ，并且狄拉克，矩阵 以及扎遵守与四维时空相同的运算关系，即 移o ，凡 = 2 9 ，b o ，儿 = o ( 2 1 ) 尽管这些规则在代数上存在着某些不一致性 1 9 】，在某些情况下会得到不正确的结果( 如 果无法得到轴矢流反常的结果) ，但在不涉及求诸如办( 扎以凡心) 等运算时，利用简单维 数正规化方案，我们仍能得到正确的结果【2 0 】。 另一种处理方案是由特霍夫特和维特曼提出的h v 方案 1 7 】。在这种方案中，除了引 入d - 维和4 维度规张量g 和誊之外，还引入了f 一维张量雪，并满足； 雪，= 垂w ，营，矿雪f = 雪， 雪盏= s ( 2 2 ) 三个张量g ，季和雪满足条件： 童。g ：= 童。，g ：= 。v t 童：= o ( 2 3 这时，d - 维狄拉克矩阵儿便可以分成4 - 维和一s 一维两部分 ，= 瓦+ 九 ( 2 4 ) 其中y 和尹分别遵守反对易关系 以，凡 _ 2 9 慨，瓦 = 2 季 ( 2 5 ) 而尹满足 铣，丸j = 2 喜眈，冗j = o ( 2 6 ) 在以上规定的基础上，我们便可以引入与歹反对易而和尹对易儿矩阵 9 第二章b 介予弱衰变的基本理论框架 ，；= l ，饥，死j = o ， 讥，六 = o ( 2 7 ) 到目前为止，这一方案是唯一的在处理蚝矩阵时的前后一致( 在维数正规化下) 的方案， 然而，在这种方案中，由于蚝和九并不具有简单的对易关系性质，将给计算过程带来很大 的复杂性。 一般的，经过正规化处理后的费曼积分，其结果是一些发散部分( 表现为无穷极限或 极点) 和有限部分之和。因此，重整化的第二步就是使发散部分消去，以得到有限的贡献， 这一部常称为重整化( 方案) ，其中有两个问题需要解决；一个是如何消去发散部分，二 是如何划分发散部分和有限部分。 对前一问题的回答导致两种重整化的观点：一种观点认为理论的原始拉氏量中的参量 ( 如质量、耦合常数等) 都是裸( b a r e ) 量，是非物理的。通过对它们重新定义以吸收相 应的发散部分，我们便可以得到有限的物理量( 重整化量) ；另一种观点认为原来拉氏量 中的量都是物理的，在最低阶近似下是可以得到正确的物理结果的；但在高阶近似下，我 们需要在各个相应项中引进适当的抵消项来消除发散，( 钟a ) 则是裸拉氏量( 其中 的参量都是裸量) 。后一个观点是目前比较流行的一种，其所用的方法常称为抵消项方法， 具体的讲，首先我们定义裸量( 带下标“o ) 和重整化量( 不带下标) 之间的关系 兰 g o = ze g p 2 ，m q = z _ m ， 吼= z ”g ，钟= 司”彳“ ( 2 8 ) 其中具有质量量纲的参数的引入是为了保证耦合常数g 的无量纲性。互为引入的重整化 常数，理论计算中的所有发散都应归入到这些常数中去。然后，根据上式，他们用重整化 量来重新表示原来的拉氏量上。 o ；上+ 三 ( 2 9 ) 一般的讲，抵消项正比于( z ，1 ) ，可以看作新的相互作用项，相应的费曼规则也可以 导出，通过要求这些抵消项恰好抵消掉格林函数中的发散部分，从而得到有限的物理结果， 我们就可以将重整化常数z 确定下来。 对后一问题的回答导致各种重整化方案，所有的重整化方案都是通过固定抵消项来划 分发散部分和有限部分的。最简单也最适用于规范理论的重整化方案是从维数正规化中自 i o 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 然产生的所谓最小减除( m s ) 【2 l 】方案。在这种方案中，抵消项的各种参量恰好是相应的 极点项，因而只将发散部分减除掉而将有限部分保留。在维数正规化中，由于观察到的与 极点项同时出现的一定还有h 4 万一( 为欧拉常数) ，因而也可将其归入到抵消项需减 除的发散部分，这种重整化方案通常称为修正了的最小减除( 埘s ) 2 2 】方案。上述两种方 案的出色之处在于它们是与质量无关的，这对于解重整化群方程式很有用的。另外，常用 的重整化方案还有在壳( o n s h e l l ) 方案和离壳( o 蕾s h e u ) 方案等。在这些方案中，抵消 项是由对传播子和基本正规顶角附加边界条件( 称为重整化边界条件) 而确定的。 最后说明两点：无论是在最小减除方案( 包括修正了的最小减除方方案) ，还是在离 壳重整化方案中，“重整化质量”，“熏整化耦合常数”仅是表征格林函数的参数，只有在壳 重整化方案中，它们才是实际观测到的质量和耦合常数，因而在壳重整化方案也称为物理 重整化方案；无论选择何种重整化方案来确定重整化常数，格林函数都是唯一的值，这意 味着由于所采用的重整化方案不同，由它们所确定的重整化常数可能相差一有限量。 2 1 2 重整化群 通过前面重整化程序的讨论，我们可以看到场论的重整化是与一些具有质量量纲的参 数有关。例如，在维数正规化方案中【1 7 】需要引入一个质量尺度( 重整化标度) ，以使拉 氏量保持正确的量纲；如果我们采用质量无关的重整化方案( 如最小减除方案) ，就会 作为一个明显地保留在重整化的正规顶点函数中，习惯上常把看作一个标志所需要考虑 的过程的特征能量或质量。裸参量是与重整化标度因子无关的，而重整化的物理量是与 重整化标度相关的：g ；g “) ，m s m 0 ) ，g ；9 0 ) ，不同的将给出不同的参数值。 为了从实验上决定重整化的物理参量，我们需要选择具体的标度。重整化标度因子是 可以任意变化的，其交换具有群的结构，称为重整化群( 础l m l i 刎o ng m u p 或r g ) 重 整化的物理量随着标度的改变满足一定的方程，通常称为重整化群方程( r e n o 衄a l i z a t i o n 窖r o u pe q u a t i o n 或r g e ) ，它表示当重整化标度改变时，重整化量9 0 ) ，埘0 ) 等要作相应的 改变，从而使得未重整化的量( 与芦无关) 保持不变。 有关重整化的量随标度变化的重整化群方程，我们可以由裸参数与重整化标度无 l i 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 关这一事实而得到。例如，在量子色动力学中，根据关系式( 2 8 ) ，我们可以得到跑动耦 合常数和跑动质量所满足的重整化群方程 裂= 地咖) ，黜1 瓴批) ( 2 1 0 ) 其中一函数和质量算符的反常量纲分别定义如下 盹伽) _ _ 盯去怒， q ，= 专岳 按照重整化程序，准确到两圈水平，我们得到 g s = 缸o ”= 一蔷属一南属 o 。) = 老+ ( 老 其中 风= 卫气型，届= 孚2 一詈，一2 c f 厂， 砖k s c f ， = c f ( s c ，+ 詈一詈， ， 哎) = 掣， 。 2 1 l ，2 1 矿 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 州为兮兑阴颜色毂，f 为夸冗的味道数) 。 通过求解方程( 2 1 0 ) ，我们便可以得到 2 2 】 幽，= 碉瞻訾瑚， 泣 荆砒4 制甏 1 + ( 差一筹 学掣 ， m 这里a 丽是在硒方案下量子色动力学的特征标度，依赖于磊和届中的夸克颜色数n 和味 道数，假定夸克有三种颜色( n = 3 ) 和六种味道( 厂= 6 ) ，则院：7 和，9 ，2 风：4 7 ，均 1 2 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 为正的。因此，随着标度的增加，耦合常数0 ) 将对数型地趋于零，这种现象称为渐 进自由。同样，质量聊0 ) 也是随着标度的增加而减少。 利用重整化群的好处在于它可以将大对数项自动的求和起来。在某一具体过程中，除 了标度因子_ f l 之外，如果还有更高质量( m ) 的粒子，大对数项l o g ( m p ) 就可能出现在重 整化的物理量中，从而使微扰论展开不是一个很好的近似，一个简单而有效的方法，就是 把过程计算到所有阶，然后把这些大对数项有效的求和起来。显然，这个工作量是如此之 大，以至于是不可能的。而上面介绍的重整化群技巧恰好能做到这一点。为表明这一点， 我们将口，的表达式( 2 1 6 ) 重写为 擗错陪掣错 旺 其中 y o ) ：1 一尾掣1 1 l 冬 ( 2 1 9 ) 斗石“ 如果我们将( 2 1 8 ) 的领头阶按哦如o ) 展开，则有 幽) 吨“壤陋曼掣k 甜 眨2 。， m 一0 、 1 一 p ， 将上式与式( 2 1 6 ) 相比较，我们可以看到，重整化群方程的解将自动把对数项l n 扛；，卢2 ) 求和起来( 如果 m 。时，我们用基本理论 来计算格林函数：在 聊。时，我们就用把重粒子y 积分掉的有效场理论进行计算。匹配 条件( m a t c h i n gc o n d i t i o n ) 要求在边界= 聊，时，两个理论所计算的格林函数在p 2 川：的 适当幂次级上一致。一旦= 时的有效拉氏量三胛确定下来后，我们就可以利用重整化 群方程把有效拉氏量三毋从= 聊，标度向下跑动，直到我们感兴趣的能量范围。并且在匹 配时，与重粒子无关的相互作用项在两种理论中是一样的，可以相互抵消，因而在两种理 论中可以同样处理。比如说，所有的长距离物理贡献、红外发散等，在有效理论中处理这 些问题的方法与基本理论中处理的方法一样，因此，只有短距离的贡献能进入到有效理论 中的有效算符系数中去，原有基本理论中的红外发散等问题在有效理论中仍然无法消除。 2 2 3 低能有效哈密顿和威尔逊系数 利用算符乘积展开( o p e ) 和重整化群方法，可以把强予弱衰变的低能有效哈密顿量 写成如下形式 2 4 】： 日咿= 睾。c 。娩o ) ( 2 2 4 ) v 二， 其中g ，是费米( f e 玎：1 1 i ) 常数，因子。是和c l ：m 矩阵元相关的因子，c ，称为威尔逊 ( w i l s o n ) 系数，q f 是和衰变过程相关的定域算符。标度卢将衰变振幅分成能标大于的 短程贡献和能标小于的长程贡献，这是算符乘积展开的特点，也是唯象上研究强子弱衰 变时经常采用低能有效哈密顿量的原因之一。标度的选取是任意的，从一个能标变到另 一个能标，我们只是将能标大于的物理贡献从强子矩阵元转移到威尔逊系数去，而整个 衰变振幅并不依赖于爿。 由于q c d 的渐进自由性质，只要不是很小，威尔逊系数就可以用微扰轮进行精确 计算，它代表着理论中的短距离贡献，并依赖于在有效理论中被“积分”掉的重粒子的质量； 威尔逊系数包含着高能标时的所有物理信息。另外，有效哈密顿量的形式( 2 2 4 ) 和强子 的结构没有关系，因此威尔逊系数g 0 ) 就像规范耦合系数一样是和具体过程无关的，具 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 有普适性。目前，标准模型框架下的威尔逊系数已经被计算到了次领头阶 2 5 ，2 6 】，而长距 离的贡献则包含在与具体过程相关的强子矩阵元 中，对强子矩阵元的计算没 有很好的方法，我们只能借助于非微扰方法( 例如1 n 展开，求和规则，或格点规范理论 等) 对其进行处理。唯象上常用的方法是基于一些简单的模型和假定，尽可能地利用o c d 知识来估算它的贡献，因此衰变振幅中的不确定性也主要来自于强子矩阵元部分。这种将 长距离和短距离动力学信息分开进行处理的方法，习惯上称之为因子化( f a c t 谢z a t i o n ) 方 法。我们也可以形象地把因子化看作将大对数l n 毒州：) 分成l i l 毒2 ) 和l n 讧2 m ；) 两 项，前一项包含在威尔逊系数中，而后一项则包含在强子矩阵元中。 2 2 4b 介子弱衰变的低能有效哈密顿 有效哈密顿是讨论b 介子非轻衰变的出发点。对于夸克水平的三体衰变 6 一g 矿- ( g p ，s xg 如，d ，j ) ，利用算符乘积展开和重整化群方程等，我们可以将描写b 介子非轻衰变的低能有效哈密顿写为 = 景 妻c l ( ) 眩噶饼似) + 屹唁饼( 卢) 】 v 二i l = l 一曙 挚c 坞c 小吲鹇m 蚝c 鹏渺， ) + 知 眨z s ， 一曙l 芝弘( ) 9 ( ) + c 7 ，( ) q 7 ，) + c 8 。( p ) q b 。( ) l + 矗 ( 2 2 5 ) l - 3 j j 式中的威尔逊系数c i ( ) 代表着理论中的短程距离贡献，并依赖于在有效理论中被“积 分”掉的重粒子的质量，它包含着高能标时的所有信息，与具体的外部粒子状态无关并且是 可以用微扰论进行计算的。在标准模型中，包括次领头阶的q c d 和q e d 辐射修正 2 5 ，2 6 】 的威尔逊系数的计算目前已经完成。( 2 - 2 5 ) 式中的定域四夸克有效算符，可以分为四类： 流流算符( c u r r e n t - c u r r c n t ) 饼= ( ”a 吒) 。( g 口) ， 饼= ( c a 屯) 一( g p ) r “， 鹾= ( a ) n ( g 口甜。) ，饼= ( c a ) n ( g ，c 。) n ， ( 2 2 6 ) 其中口，卢是s u ( 3 ) 。颜色指标。 q c d 企鹅算符( q c d 醐i n s ) 易= ( i 。k ) 。( _ 口口，) ，一。，q 4 = 函。) ，一。( 孑，矿。) ，一。， 旷 一 1 7 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 q 5 = 西。虬) 。( _ p 矿，) 。，q 6 = 6 。) 。( 孑口g 。) 。， ( 2 2 7 ) 矿 一 其中g 是在一定能标下未被“积分”掉的所有味道的夸克，对b 介子弱衰变来讲，能标通常 取为o ( ) ，这时g 函，d ，s ，c ，6 ) 。 电弱企鹅算符( e l e c 虹o w e a kp e n g l l i i l s ) q 7 = 吾函。九) ，一。等吩( 孑，g ，) ，+ 。，q 8 = 吾6 。) 。手勺( 孑，n ) ，+ 。， q 92 三6 。虬) r 一等e r ( ，矿一) 一，q 1 。2 丢6 。) 一手e ( _ 印。) 一 ( 2 2 8 ) 其中e ，是夸克g 的电荷( 以e 为单位) 。 电磁偶算符和色磁偶算符 q 7 ，= 嘉埘s 石。盯f ”( 1 + 扎) 6 。，q g 。2 毒；。盯”( 1 + y s ) 瑶g ：， ( 2 2 9 ) 其中玛( a - 1 ，8 ) 是盖尔曼( g e l l m 锄) 矩阵，巴，和g ：，分别为光子场和胶子场的场 强张量。 由低能有效哈密顿的表达式，我们很容易得到b 介子衰变到两个末态强子的衰变振幅： 4 ( 露_ m 吖：) = 睾c ，( ) ( m 。m ：b ( ) i b ) ( 2 3 0 ) 一v 二4 - cj 其中v 。是和c k m 矩阵元相关的因子，并定义为： i 对于b 寸d 跃迁过程， k = l 对于b 斗s 跃迁过程a 对b 介子两体弱衰变，能标通常取为0 ( m 。) ，利用维数正规化( n d r ) 方案，我们已 经