（理论物理专业论文）光场与三能级原子相互作用的熵动力学.pdf

中南大学硕士学付论文摘要 摘要 1 9 8 9 年，p h o e n i x 和k n i g h t 等人将熵理论应用于量子光学领域， 研究光场与原子相互作用时的信息关联与演化，显示出很大的优越 性。由于熵函数自动包含了量子系统密度矩阵的全部统计矩，它不仅 是一种十分灵敏的量子态纯度的操作测量，还被用于描述量子系统的 纠缠程度，同时也是解释量子系统动力学特性的重要工具，在量子信 息领域有着广泛的应用。另一方面，原子一光场纠缠特性的研究对原 子、光场量子蕊的制备以及原子和光场的量子信息和量子计算领域有 着广泛的应用：近十五年来，人们对于标准j c m 以及各种推广形式 的j c m 中熵动力学作了大量的研究。但是，目前这些研究工作的一 个共同特点是：( 1 ) 原子与场的耦合系数简单地看作常数处理；( 2 ) 仅 限于考虑原子运动与模结构的二能级原子的讨论。本文将从这两方面 作有意义的扩展工作。 本文首先运用全量子理论，( 1 ) 导出了考虑原子运动的a 一型三能 级原子与单模场在共振情况下相互作用系统中的波函数；借助远离共 振的条件叫q 一吐i ( 即 0 ) ，也推导出了考虑原子运动与模结 构的简并拉曼耦合j c 模型中的波函数；( 2 ) 导出了在共振情况且原 子场耦合系数随时间线形变化时v 一型三能级原子与单模场相互作 用系统中的波函数，也推导出了变耦合系数的简并拉曼耦合j - c 模型 中的波函数。然后，利用p k 熵理论，借助已导出的波函数，具体 讨论了不同的初始光场、原子运动与模结构以及耦合系数的变化对原 子一场相互作用中场( 原子) 熵的影响。 研究表明：( 1 ) 原子运动导致场熵演化具有周期性，这种周期性 并不依赖场的统计分布和强度而是依赖于原子运动和模结构参数 印；( 2 ) 不论是共振情况还是远离共振情况，在选取合适的参数印( 这 种选取在实验上是可能的) 时，都能得到较长时间的纯态光场；( 3 ) 通 过a 一型三能级原子与单模场相互作用的演化过程并不能直接产生薛 定谔猫态；( 4 ) 初始光场统计性质的不同对场熵产生较大的影响；( 5 ) 线形调制使场熵呈现的完美周期性振荡遭到破坏，当原子场耦合系 数变化缓慢时，原子进入统计混合态的速度被减缓；而当原子场耦 中南大学硕士学付论文 摘要 合系数变化较快时，则使场熵演化曲线的振荡频率加快。 关键词：量子光学，光场，三能级原子，熵，耦合系数 中南大学硕七学付论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i n1 9 8 9 ，t h ee n t r o p yt h e o r yh a sb e e na p p l i e dt oq u a n t u mo p t i c sb y p h o e n i xa n dk n i g h t ，t h e yh a v es h o w nt h ee n t r o p yt h e o r yi sac o n v e n i e n t a n ds e n s i t i v em e a s u r eo ft h ei n f o r m a t i o nc o n c e r n i n ga n de v o l u t i o na b o u t i n t e r a c t i o no ft h ef i e l dw i t ht h ea t o m e n t r o p yn o to n l yi sav e r yu s e f u l o p e r a t i o n a l m e a s u r e o ft h e p u r i t y o ft h e q u a n t u ms t a t e ，w h i c h a u t o m a t i c a l l yi n c l u d e sa l lm o m e n t so ft h ed e n s i t yo p e r a t o r , b u ti sa p p l i e d t od e s c r i b et h ed e g r e eo fe n t a n g l e m e n ti nq u a n t u ms y s t e m , s oh a sa i n t e n s i v et l s ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o n o nt h eo t h e rh a n d , t h es t u d yo nt h e p r o p e r t i e so f t h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h ef i e l da n dt h ea t o mw i l lh a v ea e n t e n s i v eu s ei np e r f o r m i n gq u a n t u ms t a t ea b o u tt h ef i e l da n dt h ea t o m a n dt h ef i e l da n da t o mo fq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t i n g m u c h s t u d yh a sb e e nd o n eo ne n t r o p i cd y n a m i c si nt h ej c ma n da l lk i n d so f g e n e r a l i z e dj c m ，s i n c e1 5y e a r sr e c e n t l y b u t , a tp r e s e n tat r a i to ft h e s e s t u d yw o r ki ne o m m o mi s ：( i ) t h ea t o m f i e l dc o u p l i n gc o e f f i c i e n t si s s i m p l yr e g a r d e dt oac o n s t a n t ；( i i ) o n l yl i m i t e dt ot h ee f f e c t so fa t o m i c m o t i o na n df i e l dm o d es t r u c t u r eo nt h et w o 1 e v e la t o m i nt h i sp a d e r , a s i g n i f i c a t i v eg e n e r a l i z e dw o r kw i l lb ed o n ef r o mt h et w oa s p e c t s i nt h i sp a p e r , a tf i r s t ，w eb r i n gt ob e a rt h ef u l lq u a n t u mt h e o r y , ( i ) t o e d u c et h ew a v ef u n c t i o no ft h es y s t e mc o n s i d e r i n gt h ei n t e r a c t i o no fa a t y p et h r e e 1 e v e lm o v i n ga t o mw i t hf i e l du n d e ro n - r e s o n a n c ec o n d i t i o n a n dt h ew a v ef u n c t i o ni nd e g e n e r a t er a m a np r o c e s sj c mc o n s i d e r i n g a t o m i cm o t i o na n df i e l dm o d es t r u c t u r eb yu s i n gt h ef a r - o i t - r e s o n a n c e c o n d i t i o n ；( i i ) t oe d u c et h ew a v ef u n c t i o no ft h es y s t e mc o n s i d e r i n gt h e i n t e r a c t i o no f av - t y p et h r e e - l e v e ia t o mw i t hf i e l dw i t hat i m e d e p e n d e n t a t o m - f i e l dc o u p l i n gu n d e ro n r e s o n a n c ec o n d i t i o na n dt h ew a v ef u n c t i o n i nd e g e n e r a t er a m a np r o c e s sj c mw i t hat i m e d e p e n d e n ta t o m - f i e l d c o u p l i n g s e c o n d , w e u t i l i z e e n t r o p yt h e o r y , i n v i r t u eo ft h ew a v e f u n c t i o n t l l ee f f e c t so ft h ed i f f e r e n ti n i t i a lf i e l d 、t h ea t o m i cm o t i o na n d f i e l d - m o d es t r u c t u r ea n dt h e t i m e d e p e n d e n t a t o m - f i e l d c o u p l i n g 中南大学硕十学何论文 a b s t r a c t c o e f f i c i e n to nt h ef i e l de n t r o p yi sd i s c u s s e da tl e l l g t h 。 t h er e s u l t ss h o wt h a t ：( 1 ) t h ea t o m i cm o t i o nl c a d st ot h ep e r i o d i c e v o l u t i o no ft h ef i e l de n t r o p y , t h i sp e r i o d i c i t yd o e sn o td e p e n do nt h e s t a t i s t i c a ld i s t r i b u t i o na n dt h ei n t e n s i t yo ft h ei n i t i a lf i e l dm o d e ，b u t d e p e n d so nt h ea t o m i cv e l o c i t yv , t h el e n g t ho ft h ec a v i t yla n dt h e f i e l d - m o d es t r u c t u r ep a r a m e t e r sp ( 2 ) b o t ho n - r e s o n a n c ec o n d i t i o na n d f a r - o f f - r e s o n a n c e c o n d i t i o n ，w h e nm a k i n g as u i t a b l ec h o i c ef o r p a r a m e t e r e p ( t h i sc h o i c ei se x p e r i m e n t a l l yp o s s i b l e ) ，w ec a ng e tp u r ef i e l d s t a t ef o ral o n gt i m e ( 3 ) t h e r ea r e1 1 0s c h r o d i n g e v c a ts t a t e si nt h e e v o l u t i o np r o c e s s e so fi n t e r a c t i o no ft h ef i e l dw i t ht h ea - t y p et h r e e - - l e v e l a t o m ( 4 ) t h ed i f f e r e n c eo fi n i t i a lf i e l dw i l lp r o d u c eg r e a te f f e c ti nf i e l d e n t r o p y ( 5 ) t h ep e r f e c tp e r i o d i c i t yo ff i e l de n t r o p yh a sb e e nd e s t r o y e dd u e t h el i n e a rm o d u l a t i o n ，w h e nt h ea t o m f i e l dc o u p l i n gc o e f f i c i e n tc h a n g e s s l o w l y , t h es p e e do fa t o me n t e r i n g t h es t a t i s t i c a ls t a t e ；w h e nt h e a t o m - f i e l dc o u p l i n gc o e f f i c i e n tc h a n g e sr a p i d l y , t h eo s c i l l a t i n gf r e q u e n c y o f t h ee v o l u t i o no fe n t r o p yi sf a s t e n e d k e y w o r d s ：q u a n t u mo p t i c s ，f i e l d ，t h r e e - l e v e la t o m ，e n t r o p y , c o u p l i n gc o e f f i c i e n t 中南夫学硕士学位论文引言 引言 我们知道，经典熵的概念和理论起源于热力学、统计物理。目的，“熵”认为 是一种新的发展观念，并在诸如信息论、控制论、字宙科学乃至生命科学等现 代科学技术领域中得到广泛的应用；同时，这种理论已超越物理学范畴，证明 自然科学理论对于科学界以外的人们，也会有重要的思想、观念和方法上的启 示。但过去熵理论在作为物理学分支的光学领域中的应用还相对较少，尤其在 量子光学领域中的应用还几乎是一片空白。这主要是受制于量子光学自身的发 展。 1 9 6 3 年，e t j a y n e s 和f w c u m m i n g s 两人提出了表征单模光场与单 个理想二能级原子单光子相互作用的j a y n e s c u m m i n g s 模型1 1 1 ( 以下简称标准 j c m ) ，这就是历史上著名的标准j c m ，它是一个数学意义上的严格精确可解模 型。这标志着量子光学的正式诞生。此后，人们围绕着标准j c m 及其各种推广 形式做了大量的而且是富有成效的理论与实验研究工作。随着研究工作的深入 和深化，随着研究对象，研究内容和研究范围的拓展，以及随着研究方法和研 究手段的更新与改进，今天的量子光学领域已经出现了一系列全新的、重大突 破性进展。特别是在1 9 9 7 年，s c h u , c c t a r m o u d j i 和w ，d p h i l l i p s 等人 因研究原子的激光冷却与捕获而分获1 9 9 7 年度诺贝尔物理学奖 2 1 1 3 1 ，从而将量子 光学领域的研究工作推向了高潮。 j a y n e s c u m m i n g s 模型自诞生以来，在探讨光与物质相互作用等问题中，尤 其在激光物理、核磁共振和量子场论等领域，受到了广泛的关注，并展示出许 多有意义的量子效应，如真空r a b i 振荡【4 】、原子布局的周期崩塌与回复效j 立【5 l 、 光场的压缩效应1 6 】以及光子的反聚束效应1 7 等。另一方面，随着微波激射技术的 发展 8 1 1 9 1 ，随着单原子微波激射器的研制成功1 8 1 1 9 7 1 1 0 l ，人们目前已经能够在微波 腔中产生并制备各种非经典光场态【1 2 】，并利用单原子微波激射器来研究场一原 子相互作用过程中场及原予的各种动力学特性、各种线形和非线形效应的物理 机制，以及各种经典和非经典效应的物理本质等【1 3 1 。尤为重要的是，利用单原 子微波激射器还可以在微波腔内再现标准j c m 的各种物理属性等【1 0 1 1 1 l 。这就使 得j - c 模型从一个纯理论模型变为一个在实验上可以验证的模型。因此，对j c 模型的研究不仅具有深远的学术价值，还有重要的实际意义。如此同时，实验 上的成功进一步激发了人们对这个模型进行深入而广泛探讨和完善的热情。 中南大学硕十学位论文 引言 由f 标准j c m 过于简单，故不足以描述整个量子光学领域中场一物质( 原 f f 、分子或离_ f ) 之间的各种相互作用问题。其局限性主要表现在以下9 个方面： ( 1 ) 标准j c m 只考虑了单模光场情形，而对于双模及多模光场未进行任何讨论 1 1 4 1 ：( 2 ) 标准j c m 只考虑了单个理想二能级原子情形，而对于两个及多个二能 级原予以及两个及多个多能级原_ f 的情形未进行何讨论1 1 4 1 ；( 3 ) 标准j c m 只考 虑了场一原子之间的单光子相互作用，而对f 简并双光子和简并多光子相互作 用的情形末进行任何讨论【”1 ：( 4 ) 标准j c m 是一个线形相互作用模璎，瓜对于 场一原子之间以及原子一原子之间的各种非线形交叉耦合相互作用未进行任何 讨论【1 4 1 ；( 5 ) 标准j c m 是在旋波近似下获得的，而对于未作旋波近似时虚光场 的影响未进行任何讨谢1 4 l ；( 6 ) 标准j c m 足在忽略了原子沿腔轴空日j 运动和原 子波包宽度与腔模共振波长相比很小的条件下得到的( 即把量子化光场在原f 与 光场相互作用的尺度上看成是均匀的，原子被看成是静止的) 。面对于考虑原子 运动和场模结构的情形未进行任何讨论；( 7 ) 标准j c m 是在原子与场的耦合系 数看作常数的情形下得到的，而对于祸合系数随时间变化的情形未进行任何讨 论；( 8 ) 标准j c m 是在场频率不随时间变化下得到的，而对f 场频率随时自j 变 化的原子与场相互作用的情形未进行任何讨论；( 9 ) 标准j c m 足在腔场无任何 损耗的情形下得到的，而对于腔场存在能量损耗或位相损耗的情形未进行任何 讨论。 熵的理论在光学中的若干应用，最先由g a m a t ”1 对于部分相干光场作了考 察。a r a v i n d 和h i r s c h f e l d e r t 惦1 在谈到二能级原子与量子场相互作用系统时，认为 半经典理论描述原予动力学特性的跃迁概率和感应偶极矩在全量子情况下不足 以描述该系统的动力学特性，还应有第三个动力学变量一熵，并第一次计算了 原子熵。1 9 8 9 年，p h o e n i x 和k n i g h t 等人【1 7 懈熵理论应用于肇子光学领域，研 究光场与原子相互作用时的信息关联与演化，显示出很大的优越性【8 1 。由于熵 函数自动包含了量子系统密度矩阵的全部统计矩，它不仅足一种十分灵敏的量 子态纯度的操作测量( o p e r a t i o n a lm e a s u r e ) 1 s l ，还被用于描述量子系统的纠缠程度 1 9 1 ，同时也足解释量子系统动力学特性的重要工列2 0 1 ，在量子信息领域有着广泛 的应用。另一方面，量子纠缠是量子力学最显著的特征之一，如果两系统足纠 缠的，则整个系统的态矢不能分离为两个子系统的态的直积。在这种情况下， 两个子系统不在是独立的，即使它们在空日j 是远离的，对一个子系统的测量， 不仅能给出另一个子系统的信息，而且还提供了对这个子系统操作的可能性。 因此，原子一光场纠缠特性的研究对原子、光场量f 态的制各以及原子和光场 的量子信息和量子计算领域有着广泛的应用。 中南大学硕七学位论文引言 近年来，在量子光学领域，反映光场与原子关联效应的场( 原子) 熵的研究 已成为一项较引人注目的课题之一。人们对于标准j c m 以及各种推广形式的 j c m 中熵动力学作了大量的研究。但是，目前这些研究工作的一个共同特点是： ( i ) 原子与场的祸合系数简单地看作常数处理，而在实际过程中，耦合系数在原 子与场相互作用的初始时段是随时间变化的，是一个逐渐耦合的过程。( i i ) 仅限 于考虑原子运动与模结构的二能级原子的讨论。事实上，原予运动和模结构以 及耦合系数的变化都会对原子一场相互作用中原子和光场的量子特性有较大的 影响。为此，本文首先运用全量子理论，( i ) 导出了考虑原子运动的a 一型三能 级原予与单模场在共振情况下相互作用系统中的波函数；借助远离共振的条件 a i 峨一，l ( 即a 0 ) ，也推导出了考虑原子运动与模结构的简并拉曼耦合 j c 模型中的波函数；( i i ) 导出了在共振情况且原子场耦合系数随时间线形变化 时v 一型三能级原子与单模场相互作用系统中的波函数，也推导出了变耦合系数 的简并拉曼耦合j - c 模型中的波函数。然后，利用p k 熵理论，借助己导出的 波函数，具体讨论了不同的初始光场、原子运动与模结构以及耦合系数的变化 对原子一场相互作用中场( 原予) 熵的影响，得到了一些有意义的结果，希埋对以 后原子、光场量子态的制各以及原子和光场的量子信息处理做理论上的指导。 本文共分六章，结构如下：第一章简单介绍了经典熵的概念和理论，这为 我们理解p k 熵理论奠定了基础；第二章详述了p k 熵理论以及简述了它的研 究现状；第三章光场与运动三能级原子相互作用的熵动力学：第四章耦合系 数随时间变化的三能级原子与光场相互作用的熵动力学；第五章变耦合系数的 简并拉曼祸合j - c 模型中熵动力学；第六章总结与展望。 中南大学硕十学位论文 第一章经典熵的概念和珲论 1 1 熵的概念 第一章经典熵的概念和理论 熵是一个古老而又难懂的概念。从它确立至今1 0 0 多年来，踪迹遍于自然、 社会乃至哲学等各个领域。今天，熵己成为众多学科研究的一个新焦点。熵这 个概念，最初是怎样提出来的? 它是如何定义的? 它的含义是什么? 这是我们 在这一节要搞清楚的问题。 1 1 1 熵及其性质 科学的发生和发展总是由生产决定的，熵的概念足生产发展到一定阶段的必 然产物。人们在研究如何提高热机效率的过程中，涉及自然界状态转化的方向 问题，逐步发现和建立熵的概念，可以说，涉及状态的转化就必然触及熵的问 题。 “熵”这个词是r c l a u s i u s 首创的。当时，c l a u s i u s 是为了进一步推广卡诺定 理，将热力学第二定律格式化，才引入这个概念的。1 8 5 0 年c l a u s i u s 先将f 掣 o 称为转交的等值量，后又改称为相关黾。最后( 1 8 5 4 年) 才称为“熵”，将它表述为 热鞋与绝对温度变化的比。他证明了当能量密集程度的差异减小时，这种确定 关系在数值上足增加的。他看到了热力学两个定律的同一性与差异性，将两者 加以综合，表达了熵的物理意义，给出了他认为足最简单而又最一般的数学表 达式： 晔蜘s o 称这样定义的熵为“转变含量”，建议根据希腊字“r p o u r ”，即“转交”一词写成与 德文词e n e r g i e ( 能) 很相似e n t r o p i e ( 熵) 。他认为“按照这些字所命名的这两个量， 就其物理意义来说彼此变得如此接近，以至在名称上有某些相同性，在我看来 似乎是恰当的”【2 1 1 。 1 8 5 1 年w t h o m s o n 独立地作了等价于c l a u s i u s 对第二定律表述的表述，并 将它用于有关学科。c l a u s i u s 与t h o m s o n 都把熵作为热力学系统的状态参量。 中南大学硕十学傍论文第一章经典熵的概念和理论 熵这个词的中文译名是我国物理学家胡刚复教授确定的，他于1 9 2 3 年5 月 2 5 日，在南京为德国物理学家普朗克来我国作热力学第二定律及熵之概念 讲学作翻译时，把e n t r o p y 译成为“熵”。胡刚复教授考虑，它足热量变化与温度 之比，又与火的动力有关，就给商加了一个“火”字旁，定名为熵。 关于熵，有几个性质，我们应该予以注意：m l ( 1 ) 嫡是一个态函数，与过程无关。当系统的平衡态确定后，熵就完全确定 了，与通过什么路径到达这一平衡态无关，所以熵仅是状态参量的单值函数( 即 单值性) 。 ( 2 ) p - v 图上的绝热线就是等熵线，即可逆绝热过程是一个等熵过程。 ( 3 ) 熵值可包含一个任意常数，因为( 1 1 ) 式只定义了熵的差值，熵常数可以 任意选择。但在许多实际问题中，为了方便起见，常选定一个参考态的熵值为 零，从而定出其他态的熵值。 ( 4 ) 熵是一个广延量。熵是广延量，整个系统的熵是系统各部分的熵之总和 ( 即可加性) 。由于熵的这性质，熵虽是在平衡态定义的，通过局域平衡假设， 有可能把熵的定义推广到非平衡定态。 1 1 2 熵的含义 熵与能量一样，是一个真实的物理量，作为变换容度或转变含量，它使不同 形式的转变可以相互比较。熵本身还有更深刻的含义，我们从宏观和微观两个 方面进行比较。 ( 一) 熵的热力学意义 我们理解能量，总是通过做功的过程来认识同样，也可以通过做功来认 识熵。从宏观上讲，熵是不可用能变化的量度。熵越大，不可用程度越高；熵 越小，不可用程度越低。因此，有人建议把熵译成“能趋疲”，它既近似是 e n 仰p y ( 熵) 的音译，又说明了熵是能量趋于疲惫，不可用程度增加的量度。 ( 二) 熵的统计物理意义 熵作为一个热力学概念，它的微观意义是什么? 从分子运动论的观点考察， 熵是分子混乱程度或微观态多少的量度。 1 8 9 6 年，奥地利物理学家玻耳兹曼( b o l t z m a n n ) 从分子运动论的角度考察了 熵，并做出了微观解释。他提出熵反映了分子运动的混乱程度，是无序性的度 量。在系统的总能量、总分子数一定的情况下，证明表征系统宏观状态的熵与 该宏观态对应的微观态数w 有如下关系 s = 七i n w ( 1 - 2 ) 中南大学硕十学伊论文 第一章经典熵的概念和理论 k 是玻耳兹曼常数。这就是著名的玻耳兹曼公式。它把熵和微观态数联系起束， 熵越大，微观态数越多，分子运动越混乱，熵成为分子运动混乱程度的量度。 经实践验证，这个称为玻耳兹曼关系的公式可以适用于各种独立的予体系。玻 耳兹曼关系是沟通宏观和微观以及热力学和统计力学的一座桥梁。( 1 2 ) 式还可 以表示成另一种形式。设孤立系的可及微观态为l ，2 ，w 。按玻耳兹曼等几率原 理，这矿个可及微观状态出现的几率p 。都相等，即只= i w ( i = 1 , 2 ，) ，因此 ( 1 2 ) 式也百r 表示为 旦 s = 一七p 。l n p 。 ( 1 3 ) ；i 玻耳兹曼对熵的这个解释，具有极为深刻的意义，使熵成为一个富有生命 力的概念。它不仅促进了热力学和统计物理学自身理论的发展，并且使它的应 用远远超出热力学和统计物理学的范畴，直接或间接地渗入了信息论、控制论、 概率论、天体物理，以及甚至生命科学和社会科学不同的领域。今天，在维也 钠大学绿草如茵的校园里竖立着玻耳兹曼的迥像，在他的迥像下面，就刻着这 一言简意赅的公式，它标志着玻耳兹曼一生所到达的光辉顶峰。 德国物理学家( m p l a n c k ) 从熵的基本性质出发，也分析得出了玻耳兹曼公 式。假定熵s 与热力学几率之问的关系可以写作一般的函数关系 s = f ( w ) ( 1 - 4 ) 因为熵s 是一个广延量，系统的总熵等于系统两部分的熵之和，即 s = s i + s 2 f ( w ) = 厂( 啊) + 厂( w 2 ) ( 1 - 5 ) 根据几率的运算法则，系统两部分中特定状态同时出现的几牢是这两部分中特 定状态各具有的几率的成积，即 w = 啊 ( i - 6 ) 要使上述两种运算关系都满足，( w ) 必须是对数函数 s=kin(w)(1-7) 从而十分简明地得到了玻耳兹曼公式。并计算出玻耳兹曼常数 k = 1 3 8 1 0 2 3 ，世。 熵是微观态数或热力学几率的大小的量度，这足熵的统计意义。 1 1 3 熵概念的推广 熵这个概念最初是从平衡态热力学中总结出柬的。随着熵理论在各门科学 中南大学硕七学位论文第一章经奥熵的概念和理论 技术中的推广、应用和深入研究，熵概念在上世纪中叶得到进一步的发展。1 9 4 8 年，申农( c e s h a n n o n ) 1 2 3 】把玻耳兹曼熵的概念引入信息论中，把熵作为一个随 机事件的不确定性或信息量的量度，从而奠定了现代信息论的科学理论基础， 大大地促进了信息论的发展。 设一个经典随机变量x 的取值范围为r = “，x 2 ， ，r 是有限的或可数的， 即x 是一个离散随机变量。令只= e x = ，则“，p ， 构成了的一个几率分布。 定义随机变量的信息熵为： l 日( x ) = h ( p 1 ，一，p 。) = 一只l o g p , ( 1 8 ) l = l 这相当于在b o l t t m m n n 的定义中令k = l ，且各微观态等几率分布。显然，若j 对 应的某个事件是一个确定性事件( p = 0 或p = 1 ) 则信息熵为零，说明人们对该事 件的无知度为零，换句话说，对该事件有确定的把握和了解。另外从( 1 8 ) 式可 以看出，当x ，呈等几率分布时，信息熵日达到最大，这对应着一个混乱程度最 大的系统或一个最难把握的事件。 若一个系统的状态由两个随机变量x ，r 确定，令p ( x ，y ) = p ( x = x ，y = y ) 为x ，的联几率分布，则该系统的信息熵为： h ( x ，n = 一p ( x , y ) l o g p ( x , y ) ( 1 9 ) j ， 关于信息熵，有几个基本性质，我们应该予以注意：畔l ( i ) h ( p l 一，p 。) l o g n ( 1 1 0 ) 其中等号成立当且仅当p 。= l l n , k = 1 2 ，h 。这表明在基本事件( 状态) 数相同情 况下，等概场有最大熵。 ( i i ) h ( p l ，p 。) 0( 1 - 1 1 ) 其中等号成立当且仅当x 为退化分布。这表明确定场( 非随机场) 的熵最小。 ( i i i ) 日( ，( x ) ) h ( x )( 1 - 1 2 ) 这里y = f ( x ) 是随机变量x 的函数。此式表明随机场分辨越“模糊”，信息量就 越少。 ( i v ) y ( x ) = h ( i o + h ( x 功 ( 1 - 1 3 ) 其中y = f ( x ) ；h ( x l ，) 是已知r 条件下，x 的“条件熵”；一般定义为： 姒xf n = - z p ( x ，y ) l o g p ( x y ) o - 1 4 ) ， 中南大学硕士学付论文 第一章经典熵的概念和理论 其中p ( x ，y ) 及p ( x y ) 分别为x 与y 的联合分布及条件分布概率。 信息熵的建立丈大地扩展了熵概念的含义。这里我们看到信息熵与热力学 中的不可用能无关，它和状态的概率建立了密切的关系，从而成为系统状态不 确定程度的度量。由式( 1 - 8 ) 所定义的信息熵是一个独立于热力学熵的概念， 但具有热力学熵的基本性质( 单值性、可加性和极值性) ，且与热力学熵相比，信 息熵具有更为广泛和普遍的意义。 1 2 熵的理论 熵是源于物理学的一个基本概念，熵的规律足自然界的一条基本定律。以熵 的概念和规律为中心连同其他推论及有关定理，就构成了熵理论。爱因斯坦说： “熵理论，对于整个科学来说是第一法则。”1 2 5 1 1 2 1 熵增加原理 ( 一) 不可逆过程与热力学第二定律 描述不可逆现象或过程自发进行的方向性的规律足热力学第二定律。最常 见的经典表述有两种。 克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他的变 化。即热不能自动地从低温物体传到高温物体。这一表述指出了热传导的不可 逆性。 开尔文表述：不可能从单一热源吸取热量，使之完全变成有用的功而不产 生其他影响。即热不能自动地全部变成功。这一表述指出了功变成热的不可逆 性。 可以说，每一种不可逆过程都能作为热力学第二定律的一种表述。正是各 种不可逆过程的内在联系，使得热力学第二定律的应用远远超出热功转换的范 围，而成为整个自然科学中的一条基本规律，可以说热力学第二定律的实质就 足：一切与热现象有关的实际宏观过程都是不可逆过程。 ( 二) 热力学第二定律的数学表述熵增加原理 可逆绝热过程：d q = 0 ，系统的熵不变 d s = 0 不可逆绝热过程：d p = 0 。系统的熵增加 d s 0 即，系统经绝热过程从初态到末态，它的熵永不减少。 中南大学硕士学位论文 第一章经典熵的概念和理论 d s 0 意指在孤立系中，不可逆过程使熵增加。可逆过程使熵不变。这个结论就是熵 增加原理。熵增加原理是热力学第二定律的数学表述、它和克劳修斯表述，开 尔文表述都是等价的。我们可以从熵增加原理导出克劳修斯表述，也可以从熵 增加原理导出开尔文表述，还可以从熵增加原理推导出其他一个个不可逆现象， 所以熵增加原理是对热力学第二定律最有力的概括。 ( 三) 正确把握熵增加原理 关于熵增加原理，应该注意以下几点。 ( 1 ) 熵增加原理的条件足过程绝热。离开了绝热条件，把熵增加原理理解为 “可逆过程熵不变，不可逆过程熵增加”，是完全错误的。 ( 2 ) 孤立系统的熵永不减少，因为孤立系统必然绝热。当孤立系统到达平衡 态时，熵取得极大值。所以熵增加原理给出了孤立系统自发过程的方向和限度。 ( 3 ) 总系统的熵永不减少，对于非绝热系统，可以把系统与外界合在一起作 为总系统。总系统总是绝热的，所以总系统的不可逆过程总是朝熵增加方向进 行。 普朗克在1 8 7 9 年完成的博士论文中专门讨论了热力学第二定律的基本表 述。他把熵增加原理表述成：“在任何自然的( 不可逆的) 过程中，凡参与这个过 程的物体的熵的总和永远是增加的。”这是现代公认的关于熵增加原理的最严格 最全面的论述。普朗克在这里所说的“凡参与这个过程的物体”，就是指系统和 外界构成的总系统。 ( 四) 熵增加原理的实质 从热力学意义上看，熵是不可用能的量度。熵增加意味着系统的能量数量不 灭，质量却越来越坏，转变成功的可能性越来越低，不可用程度越来越高，即 所谓能量耗散了。 从统计意义上看，熵反映了分子运动的混乱程度或微观态数的多少。熵增加 反映物理过程总是自发地从热力学几率小或微观态数目少的宏观状态向热力学 几率大或微观态数目多的宏观状态演变。系统的最终状态是对应于热力学几率 最大也即最混乱的那一种状态平衡态。 可见，熵增加意味着宏观能量的耗散和微观混乱程度的增加，这两者是一致 的。 1 2 2 最小熵产生原理 尤拉( e u l e r ) 曾经说过：“如果宇宙中最大值或最小值规律不出现，那么宇宙 中南大学硕士学位论文第一章经典熵的概念和理论 问根本不会发生任何事情。” 2 2 1 自然界中存在许多极值原理或极值现象。上节讨 论的熵增加原理就反映了热学中的极值现象：孤立系统自发进行的过程，足熵 增加直到取得极大值的过程。热学中还有一个最小熵产生原理，它表明在线形 非平衡区，系统状态随时间演变，总足朝着熵产生p = = ；减小的方向进行，直 到定常态，此时熵产生取得极小值p j f 舳，不再随时阿变化。这一原理的数学 表达式为 d p 0 西 等号对应定常态，不等号对应非定常态。最小熵产生原理反映了线形非平衡定 态的极值性质：它以最小的熵产生速率增加着熵。 1 3 熵在社会科学中的应用 今天，在社会科学的众多领域中，都广泛地涉及了熵的概念及其应用问题。 如系统科学、经济学、哲学、文学、艺术及历史学和宗教学等门类众多的学科 中，都不同程度地引进了熵的概念，运用熵的基本思想和基本方法来研究本学 科的基本问题，并获得了新的启发和新的进展。正如有一位著名作家说过，不 了解热力学第二定律( 或者说不了解熵和熵增加原理) 与不懂得莎上比亚同样糟 糕【2 6 1 。 中南大学硕七学伊论文第二章甜子光学中的p k 理论及研究现状 第二章量子光学中的p k 熵理论及研究现状 j a y n e s c u m m i n g s ( 以下简称j c ) 模型是量子光学中描述光场与原子相互作 用的精确可解的理论模型”。目前，人们对该模型所展示的许多有意义的量子效 应，例如原子布局的周期崩塌与回复效应【5 1 ，光场、原子的压缩效应嘲以及光子 的反聚束效应1 7 1 等作了大量的研究。熵的理论在光学中的若干应用，最先由 g a m a t ”】对于部分相干光场作了考察。a r a v i n d 和h i r s c h f e l d e r l l 6 1 在谈到二能级原 子与量子场相互作用系统时，认为半经典理论描述原子动力学特性的跃迁概率 和感应偶极矩在全量子情况下不足以描述该系统的动力学特性，还应有第三个 动力学变量熵，并第一次计算了原子熵。1 9 8 9 年，p h o e n i x 和k n i g h t 等人【1 7 1 将熵理论应用于量子光学领域，研究光场与原子相互作用时的信息关联与演化， 显示出很大的优越性【l ”。近年来，在量子光学领域，反映光场与原子关联效应 的场熵( 原子熵) 的研究已成为一项较引人注目的课题之一。 2 1 量子光学中的p k 熵理论 1 9 8 9 年，p h o e n i x 和k n i g h t 等人【1 7 1 将量子熵应用到光场与原子相互作用的 研究中。在j c 模型的框架内研究了光与原子相互作用的子系统的信息关联与演 化，基本概念和理论要点如下： 2 1 1 量子熵 量子力学熵( q u a n t u mm e c h a n i c a le n 仃o p