（理论物理专业论文）无序库仑系统的若干统计特性.pdf

摘要 很长时间以来，考察无序和长程相互作用对多粒子系统特征行为的组合影响一直是非常 活跃的研究领域。库仑捧斥与无序之间的竞争导致了一种特殊非晶绝缘体的出现，我们称之 为库仑玻璃。为了研究其热力学性质( 如比热、系统中是否存在电子高度冻结排列的玻璃相 变、电导率以及库仑能隙) ，人们已经做了大量的工作。 再者，分形无处不在，因此其物理性质的研究具有相当普遍的意义。在过去的二十年里， 人们在分形方面的研究已经取得了显著的成果。这些系统表现出了许多不同寻常的特性。例 如：在分形结构上，非相互作用电子系统表现出了分形能谱和分形波函数等等。因此，研究 在分形结构上的相互作用电子系统是相当有趣的物理问题。本文的第一个工作就是研究在分 形结构上的库仑玻璃。基于定性的分析考虑，我们从理论上给出：对于处在零温的系统，单 电子态密度在费米能级附近的标度行为与分形维数遵循简单的幂指关系，即 p ( f ) 一l 占- ai o , - 1 。为了验证我们的分析结果，我们对不同的无序分布在一系列的无序强 度范围内进行了大量的蒙特卡罗模拟。数值结果表明：库仑排斥确实导致了库仑能隙的普遍 存在，单电子态密度在费米能级附近的渐近行为很好地符合我们的分析预测。此外，我们还 发现这种渐近的标度行为与无序的具体分布形式及其强度无关。 本文的另一个工作就是首次利用多正则蒙特卡罗方法计算库仑玻璃( 被约束在二维方点 阵中) 的一些热力学量。我们的数据与以前用m e t r o p o l i s 算法获得的模拟结果一致。数值结 果表明：随着温度的升高，单电子态密度所呈现的库仑能隙逐渐消失；电子在格点上的平均 占据数完全符合费米分布。由于库仑玻璃的位形空间存在大量的能量局域极小值，多正则蒙 特卡罗方法在加快模拟收敛方面显著地优于m e t r o p o l i s 算法。这与别人用该方法研究自旋 玻璃、一级相变、以及超临界慢化等方面得出的结论完全一致。 关键词：库仑玻璃，分形，库仑能隙，蒙特卡罗方法。 v a b s t r a c t t h eo 咖丑b j n e di r l n u e n c eo fd i s o r d e ra n dl o n g - m a g ei n t e 僦- t i o no n 吐玲p l o p 嘶e so fr a c y p a r t i c l e ss y s t e mh a sb e e nas 1 岈鳅o fg r e a ti n t e r e s tf o ral o n gt i m e t h ec o m 删d o nb e t w e a 3 c o u l o m b r e p u l s i o na n d 蠡础珥o d 嘲a c o u l o m b g l a s s w h i c h i s 锄8 n 删l o u s i n s l l l a 吼a 倒d e a lo fe f f o r th a sb e e ne x p a n d e di n 劬】d 如【l gv a r i o u s 岫x l y n a m i cp i o p e r f i e so ft h e c o u l o m bg l a s ss u c ha st h es p e 碰ch e a t t h ep r e s e n c eo fac o u l o m b # a s sp h a s eu a n s i f i o ni n w h i c ht h ee l e d 舢孺f i o z e ni n t oa h i 罾a l yd i s o r d e r e da r r a n g e m e n t , t h ee l e c t r i c a lc o n d u c t i v i t y a n dt h ec o u l o m bg a pa n ds of o r t h o n t h ec f l a e r h a n d , f r a c t a l sa r e u b i q u i t o u s i n n a a a e a n d t h es t u d y o f f l l e i r p h y s i c a l p r o p e r t i e s h a sc o n s i d e r a b l yu n i v e r s a ls i g n i f i c a n c e d u r i n gt h ep a s tt w od e c a d e s ，t h e r eh a sb e e nm u c h a t t e n t i o nd e v o t e dt of r a e t a ls y 蚰, e m s i th a sn o wb e e nw e l l - k n o w nt h a ti nf r a c t a lf r a m e w o r k n o n i n t e r a c f i n g e l e c t r o ns y , a e r m e x t a n t m a n y u n u s u a l f e a t u r e s i n c l u d i n g f r a c t a l e n e r g ys p e c t m m a d f r a c t a l w a v e f u n c t i o n s t h e i e f o r e , s t u d i e s o n t h e s e s y s t e m s i n t h e 弘髓e n c e o f i n t e r a c t i o n s h 砌d a l s ob eaq u i t ei n t e a e s t i n gp r o b l e mo h 蜘c a n y m o t i v a t e db yt h ei d e 扎w ef i r s t l yf o c u so n z e r o - t e m p e r a m 把s t a l i cp t o p d f i e so ft h ec o u l o m bg l a s si nt h ef r a m e w o r ko ff r a c t a l o nt h e t h e o r e t i c a l 刚e w e p r o p o s e b y n 黜o f a q u a l i t a t i v e l y a n a l y a e a lc o n s i d e r a t i o n t h a t t b e b e h a v i o r o ft h es i n g l e - e l e c u 瑚d e n s i t yo fs t a t e sd o s et ot h ef 豇i 面e n e r g ys c a l e s 雒p ( 占) i 占一i d ，- 1 f o rf r a c t a ld i l l e n 西o n d ，s u b s e q u e n t l y , w cc a r r yo u ta s e r i e so fm o n t ec a t l os i m u l a t i o n sf o r d i f f e a e n td i s o r d e rd i s t r i b u t i o n so v e raw i d er a n g eo fd i s o r d e rs 呦g t h s t h en u m e r i c a lr e s u l t s d e m o n s t r a t et h a tt h ec o u l o m br e p u l s i o nb e i = 1 ) l f 鲍lt h el o c a l i z e de l e c t r o n sd o e sc 锄l s eau n i v e r s a l g a pi nt h es i n g l e - e l e c t r o nd e n s i t yo fs t a t e sn e a rt h ef e r m ie n e r g yw h o s ef o r mi si nr e a s o n a b l e a g r e e m e n tw i t ho u rs c a l i n gp r e d i c t i o n s i na d d i t i o n , w ef i n dt h a tt h ea s y m p t o t i cs c a l i n gb e h a v i o r i s i n d e p e n d e n t o f d i s t r i b u t i o n s m a d s l m n g t h s o f d i s o r d e r a n o t h e rf o c u so ft h i sp a p e ri st od g t e l m i n es o f t i eg e n e r a lt h e r m o d y n a m i c so ft h ec o d o m b g l a s sc o n s t r a i n e dt oat w o - d i m e n s i o n a ls q u a r el a t t i c e ，f o rt h ef i r s tt i m ee v e r , f r o mt h em u l t i c a n o n i c a lm o n t ec a r l os i m u l a t i o n s o u rd a t aa l ew e l lc o n s i s t e n tw i t he a r l i e rs i m u l a t i o n sm a i n l y b ym e , a n so ft h ec o n v e n t i o n a lm e m ) p o l i sa l g o d f l - a r l - n u m e r i c a lr e s u l t sc l e a r l ys h o wt h a tt h e c o u l o m bg a pi nt h es i n g l e - e l e c t r o nd e n s i t yo fs t a t e si sf i l l e dg r a d u a l l yu pa st h et e m p e r a t u r e i n c r e a s e s t h ea v e r a g e do c c u p a n c i e so v e rs i t e sc o n f o r mt ot h e 咖f u n c t i o nt op e r f e c t i o na s d e r i v e d t h e o r e t i c a l l y c o n s i d e r i n g t h a t t h e e n e r g y l a n d s c a p e o f t h e g l a s s ys y s t e m i s c h a r a c t e r i z e d b y am u l t i m d eo fk r a lm i n i m as e p a r a t e db yh i g h - e n e r g yb a i i i e r s w ew i s | 1t op o i n to u tt h a tt h e m u l l i c a n o n i c a lm o n t ec 8 i t om e t h o ds h o u l db el e m a d ( a t b l ys u p e r i o rt ot h em e t r o p o l i sa l g o r i t h m i ns p e e d i n g 印s u c hs y s t e m s t h i s 懈m o l ec o n f i l t mt h ea d v a n t a g eo ft h em u l t i c a n o n i c a l s a m p l i n gt e c h n i q u e sw h i c hh a sb e e ns u c c e s s f i a t l ya p p l i e dt om a n yc o m p l e xs i t u a t i o n ss u c ha s 1 1 1 s m g 妇，f i r s t o r d 鳗p h a m w a m i t i o n , a n d s u p e m f i t i c a l f l o w i n g d o w n m d s o o n k e y w o r d s ：c o u l o m b g l a s s ，f r a c t a l s ，c o u l o m b g a p ，m o n t e c a r l o m e t h o d 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 y9 8 0 6 6 0 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：芝燮 日期：碰：堑空 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标愿和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 1p r e f a c e 1 1w h a ti st h ec 0 u i o m bg l a s s ? t h ec o u l o m bg l a s s ，ap r o m i n e n tm o d e lo fd i s o r d e r e ds y s t e m so fl o c a l i z e dp a r t i c l e sw i t h l o n g - r a n g ei n t e r a c t i o n ，h a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e do v e r3 0y e a r s i tp l a y s a l li r n p o t a n tr o l ea s as e m i - c l a s s i c a l m o d e l f o r d i l u t e t m r 脚t y b a n d s w h e n q u a n t u m i n t e r f e r e n c e s a s w e l l a s t h e r m a l e x c i t a t i o n t o t h e c o n d u c d o l l b a n d o r f r o m t h e v a l e n c e b a n d c a n b e n e g l e c t e d v a r i o u sa s p e c t s o f t h i s m o d e l 【1 - 2 】h a v e b e e n i n v e s t i g a t e ds i n c e t h e 皿】1 1 c 栅n g w o r k s b y p o l l a k a n d s r i n i v a s a n 【3 】 a n i m p o r t a n t a n d c h a r a c t e r i s t i c f e a t u r eo f t h e c o u l o m b g l a s s i s t h e m a n y - v a l l e y s l l - i l c t t l r e0 f 趣 c o n f i g u r a t i o n ，n o to n l yc o n c e r n i n gs i n e , l e - p a r d c l eh o p s ，b u ta l s ow i t hr e s p e c tt os o r r 】ec l a s s e so f m o i ec o m p l e xe x c i t a t i o n s t h i sc o n f i g u r a t i o n - s p a c es t l u c t u r ei sr e l a t e dt ot h ee x i s t e n c eo fa l a r g en u m b e ro fs o - c a l l e dp s e u d o - g r o u n ds t a t e s ，f i r s to b s e l v e db yb a r a n o v s k i ie t 以【4 】，a n d i e c e n ts t u d i e di nc o n n e c t i o n 埘山s l o wi e l a x 撕0 1 1t i m e s 【5 8 】i tw a sf i r s tn o t i c e db yd a v i e se ta t ( 1 9 8 2 , 1 9 8 4 ) 【9 】a n dc a o n e w a l de ta t ( 1 9 8 2 ) 【1 0 t h a tt h e r ei sac l e a ra n a l o g yb e t w e e nt h i s m o d e la n d a r a n d o m f i e l d l s i n g m o d e l o r a s 由g l a s s e s 【1 1 t h e y 删t h a t t h e e l e c t r o n i c s y s t e m m a y u n d e r g o a g l a s s t r a n s i t i o n w h i c h c l a r i f i e s t h e o n g i n o f t h e t e r m c o u l o m b g l a s s a l m o s ta l li n v e s t i g a t i o n s ，b o t ht h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a l ，o fd i s o r d e r e ds y s t e m sw i t h l o c a l i z e ds t a t e s ，i nw h i c ht h ec o u l o m bi n t e r a c t i o np l a y sa l li m p o r t a n tr o l e ，h a v eb e e nb a s e do n t h es o - c a l l e dc o u l o m bg l a s sm o d e l i tc o n s i s t so fl o c a l i z e de l e c t i o n sa tt h es i t e so far e g u l a r l a t t i c ew h i c hi n t e r a c tt h r o u g ha l ll l n s c l e e n e = dc o u l o m bp o t e n t i a l t h ed i s o r d e ri sd e s c r i b e db ya f l u c t u a t i n gp o t e n t i a la tt h e1 a t t i c es i t e s 1 2g e n e r a lb a c k g r o u n d t h eb e h a v i o ro fn o n - i n t e r a c t i n ge l e c t r o n sm o v i n gi nar a n d o mp o t e n t i a la n dt h e r e s u l t i n g p h e n o m e n o n o f l o c a l i z a t i o n h a v e b e e n w e l l u n d e r s t o o d s i n c e a n 慨 s o r i g i n a l p a p e r o f l 9 5 8 【1 2 a f t e rt h a lt h ee f f e c to f e l e c t r o n - e l e c t r o ni n t e r a c t i o no r ls u c has y s t e r f ig r a d u a l l yb e c o m e sa f o c u so fs t u d i e s i n1 9 7 0 ，p o l l a kw a st h ef i r s tt op a ya t t e n t i o nt ot h ei m i x ：a t 锄tm l eo f e l e c t r o n - e l e c t r o ni n t e r a c t i o n a n dp o i n t e dt 0t h a te l e c a o n - e l e c t r o ni n t e r a c t i o nl e a d st oag a pi n t h es i n g l e - e l e c t r o nd e n s i t yo fs t a t ( s e d o s ) s e p a r a t i n go c c 晒e da n dv a c a n ts t a t e s i n s o f 盯a s w ec a n 跣t h e yh a v et a k e ni n t oa c c o u n tt h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nn e i g h b o r i n ge l e c a x m i cs t a t e s o n l y t h e t h e o t s o f s r i n i v a s a n i n1 9 7 1 p r e d i c t e d a d e c r l x l s e o f t h e s h ) o s b y a f e w t i m e s a t t h e c h a p t e r1 p r e 强c e f e t r me n e r g y t h i st e s t d tw a ss u b s t a n t i a t e db yk u r o s a w aa n ds u 垂m o t o 【1 3 1u s i n gt h em o n t e c a r l os i m u l a u o n s e 丘d sa n ds h k l o v s k i i 【1 4 1 ，h e i e ：缸妇，e m p h a s i z e dt h a tt h el o n g - r a n g et a i lo f t h eu n s c r e e n e dc o u l o m bi n - - o ni n d u c e sap s e u d o - g a pi nt h es e d o s t h i sm e a n st h a t , f o r z e r o t e m p e r a t u r es i t u a t i o n ，t h e d e n s i t y o f s i n g l e - e l e c t r o n e x c i t a t i o n s i sr e d u c e d i n t h e v i c i n i t y o f t h ef e r m ie n e l g y t ，i ns u c haw a yt h a ti tt e n d st oz e r oa t ，b u ti ti sn o n z e r oe l s e w h e r e t h e s ea u t h o r so b t a i n e d , b yi n e a i lo faq u a l i t a t i v ea n a l y f i c a lc o n s i d e r a t i o n t h ef o l l o w i n g u n i v e r s a lr e s u l t s ( u n l e s so t h e r w i s es t a t e d , t h ed i m e n s i o n l e s su n i t su s e dt h r o u g h o u 0 p ( ) = o oi 一i o - 1 ，( ) ( 1 1 ) w h e r e i s t h es i n g l e - e l e c l r o n e n e r g y m e a s t a e d f r o m t h e f e r m ie n e r g y “a di s d i m e n s i o n l e s sc o e f f i c i e n tc o r r e s p o n d i n gt os p a c ed i m e n s i o n a l i t yd 2 , 3 ) t ob ei i ml ：n e c i s i o n ，t h e y o b t a i n e dt h i se x p r e s s i o na s 锄u p p e rb o u n do nt h es e d o sp ( 占) b yu s eo f as e l f - c o n s i s t e n c y a r g u m e n t , t h e yc o n c l u d e dt h a tp ( 占) s h o u l dh a v e j u s tt h i sv a l u e t h e r ea r et w om e t h o d su s e df o rq u a n t i t a t i v es t u d yo ft h ec o u l o m bg a p t h e ym et h e m e t h o d so fs e l f - c o n s i s t e n te q u a t i o n s ( s c e ) a n dc o m p u t e rm o d e l i n go fam a c m s c 叩i cs y s t e m t h es c er t z a h o df o rt h es e d o sh a sb e e np r o p o s e db ye f r o s 【1 5 】，i nt h eo t i 咖a lf o m a , t h e m e t h o dt a k e si n t oa c c o u n tt h es t a b i l i t yc o n d i t i o no ft h eg r o t m ds t a l ea g a i n s ts i n g l e - e l e c t r o n e x c i t a t i o no n l y ：= 占，一。一1 勺 0 ( 1 2 ) w h e l es u b s c r i p tia n djd e n o t e sa l lo c c u p i e ds i t e s 龃da l lv a c a n ts i t e s ，r e s p e c t i v e l y , i i lt h e s y s t e m b u ti tc a nb ee x p a n d e dt oi n c l u d et h ec o n d i t i o nr e l a t e dt os i m u l t a n e o u sh o p so ft w o e l e c u o n s 【1 6 1 i ti sak i n do ft h es o - c a l l e dm e a nf i e l dm e t h o d , h e n c ei ti sn o te x a c te v e ni nt h e f r a m e w o r k o f t h e c o n d i t i o n ( 1 - 2 ) i t p r o v i d e s ，h o w e v e r , a n a n a l y 删d e s c r i g i o n t h ec o m p l e t ed e r i v a t i o no f t h es c ef o rl a t t i c es y s t e m si sg i v e nb yb a r a n o v s k i ie l 以【1 6 t h e ya i eb a s e do nt h ec o n d i t i o nr 1 - 2 ) w h i c hp r o h i b i t st h a tt w o s i t e sia n djw i t had i s t a n c e c a l lh a v ee n e r g i e sw i t h i na ni n t e r v a l1 ，a r o u n dt h ef e r m ie i 】艘鼢s u m m i n gu pt h e c t m r s p o n d i n g p r o b a b i l i t i e s l e a d s d i r e c t l y t o t h e f o l l o w i n g s c e p ( 占) 2 风e x p 卜三0 p s 可蜀：；寺，。= z - u 。i 。， n 一3 a ) a n d 雕唧卜警p 拚苦矗 m s b ， w h e r ep 0i st h ed e n s i t yo fs t a t e sw i t ht h ec o u l o m bi n t e r a c t i o ns w i t c h e do f f t h ed e r i v a t i o no f t h e s ee q u a t i o n si sb a s e du t r mt h ef o l l o w i n gi d e a , c o n s i s ta no c c u l 蝻e ds i t ew i t he n e r g ys 0 i tf o l l o w sf r o mt h ec o n d i t i o n0 - 2 ) t h a ta ta n yd i s t a n c er 1 i 占lf r o mt h i ss i t et h e r e 勰n o v a c a n ts i t e sw i t he n e r g y 。 l r - l i ( d = 2 ) l a y e r ( r ，r + d r ) i s g i v e n b y “， d n 2 砌j d p ( e ) ，d 2 2 ； 0 3 h ea v e r a g en u m b e ro fs u c hs i t e si nah e m i c i r c l e a n di nah e m i s p h e r i c a l ( d = 3 ) l a y e r c o n e s p o n d i n g l y 1 i r - h d n = 2 册2 d r s d e p ( e 1 ) ，d = 3 o t h e r e f o r e ，t h et o t a ln u m b e ri nt h ee n t i r eh e m i c i r c l er d 一1 f o rd = 2 ，s a r v e s t de t 越f o u n d 五= 1 7 5 0 1 ，a n df o rd = 3 ， 五= 2 7 0 1 t u n n e l i n gm e a s u r e m e n t so ft b ec o d o m bg a ph a v ea l s os e e nt h a ti tf i l l si na s t h et e m p e r a t u r ei sr a i s e d 【2 刀 t h es e c o n dr e a s o nf o ri n t e r e s ti nt h er i n s e so ft h em o d e l ，a st h et e ：m p e 朔m r ei sr a i s e d , a r i s e sf r o mt h ee v i d e n c et h a tt h eg r o u n ds t a t es h o w sb e h a v i o r 嘶c a lo fag l a s s a sm e n t i o n e d a b o v e ，t h ec o u l o m bg l a s si se q u i v a l e n tt oa ni s i n gs p i ng l a s sm o d e ls u b j e c tt ol o n g - 嘲g e a n t i f e r r o m a g n e t i ci n t e r a c t i o n 协af l u c t u a t i n gm a g n e t i cf i e l d t h e r e f o r e o n em a y w e l lc a l c u l a t e t h es p e c i f i c h e a t , s u s c e p t i b i l i t i e s ，a n do i e k tp a r a m e t e rt os e a r c h f o raw a n s i t i o nf r o ma p a r a m a g n e t i c t oa g l a s s y s t a t ea ts o m et e i 印咖t d a v i e s e ta 【9 】a n dg r u n e w a l de t a 1 0 d e f i n e da no l d e rp a r a m e t e rw h i c hi ss i m i l a rt ot h a to fe d w a r d sa n da n d e r s o n 2 8 】f o r s p i i le 如s e s t h en e wd e f i n i t i o n , h o w e v e r , yt oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t i e sa r i s i n gi nt h eo n g m a l d e f i n i t i o ni nt h ep r e s e n c eo far a n d o mf i e l d t h er e v i s e do l d e rp a r a m e t e rw a sc a l c u l a t e d n u r e l e i i c a l l ye i t h e rb ym e t r o p o l i sa l g o r i t h m 【2 9 】o rb ys o l v i n gl o c a lm e a n - f i d de q u a t i o n s a l m o u g ht h ed i s t r i b u t i o no ft h eo r d e rp a r a m e t e rw a sf o u n dt om c r e a s ef r o mz e r ot oaf i n i t e v a l u ew i t hd e c r e a s i n gt e m p e 翻n e ，t h eq u e s t i o nw 胁 l e rt h e r ei sa s h a r pt r a n s i t i o no rn o c o u l d n o tb ea n s w e r e dd e f i n i t e l y t h er e s u l t sw e r et h e r e f o r ei n c o n c l u s i v ew i t hr e s l x ：c t 幻a n e q u i l i b r i u mp h a s et r a n s i t i o n m o s tr e c e n ts t u d i e s 【3 0 ，h o w e v e r , c l a i mt h a tf o rat h r e e - d i m e n s i o n a lc o u l o m bs y s t e mt h e r ee x i s t sag l a s s yp h a s et r a n s i t i o nr e l a t e dt ot h ea p p e a r a n c eo f c o u l o m bg a p t h e ya r ee i t h e rb a s e do nl l o n l i n e 口s c r e e n i n gt h e o r yg i v e nb yt h ec l a s s i c a ll i m i t o ft h ee x t e n d e dd y n a m i ci m 觚f i e l dt h e o r y 【3 1 】0 rb a s e do i lt h el o c a t o ra p p r o x i m a t i o nf o rs p i n g l a s s e s 【3 2 t h e r e f o r e ，t h ep i d b e r nu n d e rw h i c hc o n d i t i o n st h ec o u l o m bg l a s ss u b j e c tt ot h e i n t e r p l a yo fi n t e r a c t i o na n dd i s o r d e re x h i b i t sag e n u i n ep h a s et r a n s i t i o nr e m a i n ss t i l lo n eo ft h e m o s ti m p o r t a n to p e no n ei nt h ec o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c s 4 1 3o b j e c t i v e so ft h i sw o r k o nt h eo t h e rh 觚dt h ec o n c e p to ff i a c t a l si sp l a y i n ga l le v e ri n c r e a s i n gr o l ei nt h e c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ep r o p e i l i e so fc o m p l e xs y s t e m si np h y s i c s 3 3 1 t h e s es y s t e m sw i t h f r a c t a ls t r u c t u r e sh a v es p e c i a ls c a l i n gp r o p e a i e sa n & i nt h i sr e s p e c t , m a yb r i d g et h eg a pb e t w e e n c r y s t a l l i n em e d i aa n dp u r e l yd i s o r d e r e dm a t e r i a l s 【3 4 f o ri n s t a n c e ，f l a c t a l sm a yr e p r e s e n t p e r c o l a t i o nc l u s t e r s ，q u a s i - c r y s t a l s ，f r a c t a le l e c t r i c a ln e t w o r k sa n dp o r o u sm a t e r i a l s d u r i n gt h e p a s tt w od e c a d e s ，t h e r eh a sb e e nc o n