（理论物理专业论文）投影sd对壳模型的初步研究.pdf

接饕 摘要 本文利用投影s j d 对壳模型研究_ r 偶偶”8 _ “x e 和”o 1 3 6 b 核素的低 激发潜的集体燧质。为系统讨论上述核豢的性质，根据以往有关原子核配 列壳模型豹工季# ，我粥采用了如下豹方法构建s 蚤对，郄在两粒子体系中对 角化表面6 相互作用( s d 嗡密顿量，选淑第一个o + 稻第一个2 + 态被为我们 的s 对和d 对。然后由该方法产生的s d 对米构建s d 对子空间，并在此空间下 对谖硝组核素低激发谱性质进行了研究。通过对以上核黍的能谱、波函数以 及电疆获迁强艘瓣讨论，我们发现用一个投包含三个参数豹蹬密顿慧就可以 系统地、比较理想的再现原子核低激发谱的集体性质，而且随着梭子对数的 增加，理论和实验的近似程度也越来越好。 关键谪 投影s d 对轰模型集体性震 a b s t r a c x a b s t l l a c l e v c n “e n1 2 8 一1 3 4 x e a i l d1 3 0 t 3 6 嚣n u c i e u si ni h ep r o i e c 七e ds d p a 计 s h c i lm o d e la r es t u d i e dj nt h i sd i s s e n a t i o n ， f i r s t ，w ed i a g o 彻1 i z c 山es u r f a c ed i n t e r a e t i o n f s d j ) h 戚 b 戚a ni n 耄量l e 嘲。一p a n i c 王es y s 把m ，a n dc h o o s et h e 蛀r 啦o a n d t h e 蛀r s t2 s t a t c so f a t w o - v a 主e n c e n u c l e o n 氆s s - p a i ra n d d - p a i fr e s p e c t i v e l y f t h e n ，w e b u l l ds d p a | rs u b s p a c ew l 【hm esd p a i r sw h i c h w e r ec h o s e n ，a n ds t u d ym el o w - l y i n g s p e c t s c o p y o f t h e1 2 8 1 “x ea n d1 3 0 一1 3 6 嚣on u c l e u s i n t s u b s p a c e b yd i s c u s s i n g | h es p e d f a ，w a v e 轧n c 垃。珏s ，a n de l e c 拄o m a 霉n o 娃c 拄a 硅s i t i o n s ，w e 日n d 出班w ec a bu s e8 h a m i l t o n i a nw h i c ho n l yc o n i h i n s 1 r e epa l a f n e t c r st nr e p f o d u c et h ec o l l e c t i v j t yo ft h e l o w l y i n gs p e c t i _ o s c o p yq u i t ew e l l i ti sf o u n dt h a tt h e1 a 喀e rt h en u m b e r0 fn l en u c e e o n p a i r s ，t h eb e t t e rt h ea 帮e e m 嘶仆e t w e e nt h ee x p e f i m e n t sa n dt h ec a l c u l a n o n s k e yw o r d s轴咄c t e ds d 母斑 舒e l lm o d e l c o l l e c e i v i f y h 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 溺意如下备颂肉容：按照学校要求攫交学位论文的印刷本和电子版 本：学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫掇、数字化或其它手段缳存沦文；学校有权提供琶录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者枕掩送交论文黝复印彳譬张电，舨：在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：彩划疋 妒f 年岁月可霞 经指导教簿同意，本学位论文薄手镶密，在年嬲密磊适嗣 本授权书。 攒导教拜签褒：学照论文千# 者箍名： 解密时间： 年月日 各密级携鼓长溧密年浆及书写格式筑定期下 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：筠父後扳 肋f 年岁月埸日 第一章前畜 第一章前言 壳模型是由梅逸夫人( m g m a v e r ) 和詹森( j h d j e n s e n ) 在1 9 4 8 一 1 9 4 9 年分别提出的。这个模型仍在广泛地应用、发展着，与该模型有关的 研究成果不断涌现。与壳模型有关的会议也时有召开，例如不久前的费城 会议 1 】( 现代原子核壳模型，c o m e m p o r a r yn u c l e a rs h e l lm o d e l ) 和杜布纳会 议【2 】( 壳模型5 0 年，s h e l l s 一5 0 ) 等。目前无论是该模型理论本身还是其具体 运用都有较大程度的发展。该模型不但可以用于研究稳定核素以及弱束缚体 系，而且也可以用于研究双口衰变、丰中子核以及天体物理等问题【”。 壳模型广泛而持久地受到关注的原因是，这个模型反映了原子核结构的最基 本特征。在过去的几十年的时间里，已经积累了大量的关于原子核的低激发 谱实验结果。中、重核的低激发谱所显示的规律性表明原子核内存在集体运 动。通常的几何模型难于揭示集体运动的物理内涵。然而壳模型包括了核子 的所有自由度，原则上说也可以用来说明原子核的集体运动。于是如何利用 壳模型技术来描述原子核的集体运动成为核理论研究工作的一个中心任务。 近年来随着计算机技术以及壳模型计算技术的发展，大规模壳模型计算 也有了较大程度的发展，目前利用l a n c z o s 方法能处理的组态空间可以 达到1 0 9 。但这种大规模的壳模型计算仍然只能处理相对较轻的核。在处理 中、重核时，这种大规模的壳模型计算也只能处理那些接近满壳层附近的 核。值得指出的是近年来无核壳模型理论也有了一定程度的发展，但同时 由于组态空间太大，使得该模型也仅仅可以处理a 为6 的核素。同时我们知 道，即使这些大规模壳模型计算可以用于处理中、重核，但由于其组态空间 太大，其结果是否真的可以帮助我们理解物理内涵仍然是不能肯定的。也就 是说无论这种大规模的壳模型计算是否可行，要想将壳模型应用到中、重 核，一个简单有效的方法就是将模型空间合理有效的截断，从而使壳模型 计算简单可行并且便于对于对这些集体态性质的理解。考虑到上述问题， 南京大学陈金全老师提出了原子核配对壳模型( p s m ) ，该模型具有很多优 点：首先，许多其它模型例如破缺对近似、赝s u f 2 ) 以及费米子对称模型等 都是p s m 的特殊情形；其次，该模型允许各利各样的截断，从可以把模型 空间截断为s d 子空间直到全部壳模型空间；再次，该模型包括了单粒子能 级劈裂项，而在其它模型中如费米子对称模型只是当作参数处理；最后，该 模型中的集体对不是由对称性确定，而是真实的物理对。 第一章前言 相互作用波色子模型( ，b m ) 的巨大成功表明将模型空间截断为s d 子空 间是一个合理有效的截断【2 1 ，鉴于此我们将p s 吖空间截断为s d 子空间， 相应的模型就称为s d 对壳模型( s d p s m ) 。我们以往关于原子核配对壳模 型【3 j 的工作以及上海交通大学的赵玉民博士的工作【4 】也确实表明该截断可以 合理描述原子核低激发谱的集体性质。 但我们发现，即使将壳模型空间截断为s d 对子空间，原子核配对壳模型 的计算也只能进行到价核子对数小于等于4 的情况。更重要的问题是，在原子 核配对壳模型理论框架下，当系统的哈密顿量作用于s d 对子空间时，s d 对子 空间并不封闭，即 日毫m i 砂s d ) = = i 妒s d ) oi 妒。t h 。，) ( 1 1 ) 其中凰m 是壳模型哈密顿量，j 惦d ) 为s d 对子空间的基矢，j 妒。曲。) 为s d 对子 空间以外的基矢。通过与国内外专家的多次讨论，根据广义w i c k 定理【1 0 】， 利用投影技术，我们提出投影s d 对壳模型( p s d p s m ) 。该模型是原子核配对 壳模型理论的进一步发展。在该模型中，由于只考虑s d 对，所以空间尺寸明 显减小，计算速度将大大提高，同时空间不封闭的问题也得到解决。 由于这个模型具有以上特点，可以用于讨论复杂体系，为系统研究中、 重核低激发谱的集体性质提供了一个有效的方法。 近年来，原子核内出现了许多新的集体运动模式，混合对称性态就是其 中之一【5 1 。利用，b m 研究混合对称性态性质已经取得了巨大成功1 6 t7 1 。随着 实验技术的发展，混合对称态将逐一得到验证，同时也发现有更多的核素具 有混合对称性态。对混合对称性态的深入研究将有助于分析质子一中子之间相 互作用。对质子一中子相互作用的研究也是核结构理论研究的另一个重要问 题。其它问题，例如球形壳模型是否可以描述原子核的转动谱等问题，也可 以在上述的理论框架下进行一一探讨。 第二章投影s d 对壳模型 2 1 引言 第二章投影s d 对壳模型 在核物理里研究核子的集体运动，例如振动、转动、共振有重要的物理 意义。但是怎样描述核子的集体运动是核物理的一个重要任务。虽然壳模型 包含了核子的所有自由度，原则上说可以用来描述核子的集体运动，近年来 随着计算机技术的提高，壳模型计算也获得了很大程度的改进【8 】，但仍不能 解决大规模空间的计算，为此我们需要利用新技术对壳模型空间进行合理截 断，现有三种对壳模型空间的合理截断。 1 用平均场理论来截断壳空间 h a n r e e f 0 c k - b o g o i i u b o v 方法包含对力和形变力，它为核子提供了合理的 平均场，其中基态波函数用一个行列式表示，这个方法的缺点是没有确 定的粒子数和角动量。近来采用的q u a n t u m m o n t e c a r l o 方法获得了很大 的进步【9 - 1 1 1 ，它是用多体基通过m o n t ec a r l o 方法来对空间进行截断。 2 用集体费米子对，其角动量为t ，”= 0 + ，2 + ，作为多体波函数的基 础。 ( a ) 对于h e c h te ta 1 【1 2 1 和m c g r o r y 【1 3 】的满意对模型或赝一s u ( 2 ) 模 型，j = l + i ，其中l 是赝轨道角动量，i 是赝自旋角动量，值为1 2 。 通过耦合两个核子的赝自旋角动量为0 来进行截断，s = 0 。对两个中子 对和三个质子对的计算比较合理。 ( b ) 破缺对近似( b p a ) 15 1 ，所有同类核子的角动量耦合为，= o + 。 ( g ) 根据相互作用波色子模型( ，日m ) u 6 】，我们知道在低能级光谱中， j 5 对和d 对起着重要的作用”， ，1 8 】，由于在费米子空间计算大矩阵很困 难，用s d 子空间( 1 0 2 一1 0 3 1 来处理也不是很容易。 3 群论的截断方法 ( d ) 在费米子动力对称模型里( f d s m ) 2 叭，用s o ( 8 ) 或s p ( 6 ) 对称 的s 对和d 对来构建s d 子空间，但是这样的构造造成了主壳的正宇 称单粒子能级是简并的。与，b m 相似，f d s m 也只是对称极限。 ( e ) 广义赝一s u ( 3 ) 模型f 2 1 ，2 ”。正规一赝的转化使这个模型甚至在a 1 0 0 情况下也能进行计算。 第二章投影s d 对壳模型 相互作用波色子模型f ，b 肘) 的巨大成功表明将模型空间截断为s d 子 空间是一个合理有效地截断。这一截断已经在费米子动力学对称性模 型( f d s m ) 中得以应用并成功地再现原子核集体运动的主要特征。但其不足 之处在于该模型中的s d 对是由对称性决定的，而并非真实的物理所要求， 而且在f d s m 中，哈密顿量的单粒子能项如是主要项，但对单粒子能级劈 裂项没有考虑，同时在该模型中对侵入态的影响也没有正式的考虑。另一种 模型是f a v o r e dp a i r sm o d e l ( f p m ) 也没有考虑单粒子能级劈裂项和侵入态的影 响。 2 2 多对基和s 对，d 对的确定 定义对核子的非正交归一态为， h 山蛳 ：i 2 r 】 如如 = a 赢( 五) f o ( 21 ) r i ( r l r ；l ，1 山) ， r 1 = ，r l = o ，2 用a 磊( 以) 代表个对态，其中r f ) 以及如分别代表第t 对角动 量，前i 对耦合后的角动量以及对基的总角动量，具体可以表示为， 硪( 7 ；， ) = 硪= ( ( ( 州) 止) a 。) 二c z 国 现在我们面临的问题是如何选择一个完整的非正交归一多对基。根 据( 2 2 ) 式可以构造对核子的波函数。如果我们只考虑角动量耦合，对于同 一个j ，但中间角动量不同，可以得到许多态。 对于多对态i n r 2 r ；以如t ， ，选择惯例记法? 1 1 r 2 r 。 给定的角动量山，对中间角动量 有许多可能值，现在对每个 值选择 其最大值，使其产生线性独立态。对于对核子的各种态的确定与i b m 的s u ( 5 1 极限选择方法一样，即用参数礼，n d ，t ，o ，l ，下面我们给出具体计算 4 第二章投影s d 对壳模型 过程 丁= 礼d ，n d 一2 ，礼d 一4 ，1 ( 0 ) n 口= ( n d 一丁) 2 a = n d 一2 n d 一3 n l = 2 a ，2 a 一2 ，a + l ，a( 2 3 ) 其中珊是两个d 对，礼是三个d 对。例如对三个d 对，有三个线性相关 态，l ，= 2 ，l ( d + ) 3 ，2 0 2 ，i ( d + ) 3 ，2 2 2 ，) + ) 3 ，2 4 2 ，但只有一个是线性无关 的，选择为i ( d + ) 3 ，2 4 2 。 对多d 对态可能的角动量j 值为， ( d t ) 1 ，c ，= 2 ( d t ) 2 ，j = 0 ，2 ，4 ( d t ) 3 ，j = o ，2 ，3 ，4 ，6 ( d t ) 4 ，j = o ，2 2 ，4 2 ，5 ，6 ，8 ( d j = o ，2 2 ，3 ，4 2 ，4 ，6 2 ，7 ，8 ，1 0 ( 2 4 ) 如果我们考虑s 对时，基于( 2 2 ) 式和前面的规定，对5 个d 对的非正交归一基 5 第二章投影s d 对壳模型 为， ( 5 叶) ，以= 0 d + ( 伊) 一1 ， = 2 ( d + ) 2 ( 伊) 一2 ， 如= 2 0 ，2 2 ，2 4 ( d ) 3 ( s 叶) 一3 ， 以如= 2 2 0 ，2 4 2 ，2 4 3 ，2 4 4 ，2 4 6 ( d ) 4 ( s 叶) 一4 ，山如如 = 2 4 2 0 ，2 4 3 2 ，2 4 4 2 ，2 4 4 4 ，2 4 6 4 ，2 4 6 5 ，2 4 6 6 ，2 4 6 8 ( d + ) 5 ( 妒) 一5 ， 如 如= 2 4 4 2 0 ，2 4 4 4 2 ，2 4 6 4 2 ，2 4 6 5 3 ，2 4 6 5 4 ，2 4 6 4 ，2 4 6 6 5 2 4 6 6 6 ，2 4 6 8 6 ，2 4 6 8 7 ，2 4 6 8 8 ，2 4 6 8 1 0( 2 5 ) 在投影s d 对壳模型中，由于所有的单体和两体矩阵元均可以利用两个多 对基的内积( o u e r f o p ) 来表示，所以计算两个对基之间的内积是本模型的 关键，但解决此内积是个非常麻烦的工作，现在我们运用新的技术，即利用 广义w i c k 定理来处理缩并关系。新的技术：( 1 ) 先对算符进行耦合，这样避免 出现许多g g 系数：( 2 ) 再对算符进行缩并，这样自然而然出现一些对易 式，重复使用这些对易式，以便对一些复杂的对易式能进行递归计算。现简 单介绍一下一些递推公式。 对耦合张量采用从左到右的耦合顺序， ( a b ) ：= a p c ：- 6 口a a 昂 定义两个未耦合算符的缩并， ( 2 6 ) ( a ，b ) 三 4 ，b 士三【a ，b 口。三a b 一疗。b b a ( 2 7 ) b g = ( b ，g ) + 日k c b ( 2 8 ) 如果。和6 是半整数，则目。6 = 一1 ；反之，口。6 = + 1 。 6 第二章投影s d 对壳模型 通过计算得到式子， 嘶g 肛莩c 槲叼 ：鬈) c 州哟，) d fl 一 一o j 慨m 卅研 0 其中 ) 是6 j 一符号。 6 ：、 ( ( a ，硝 ( 2 9 ) c ，j 两个对基之间的内积 利用上述广义w i c k 定理得到两个对基之间的内积的递推关系为， 1 ( 矗一，知) ( 一) 山。；一， 蛳( s ”) 风+ - ( s w ) 妒k 6 l k l ， 一i 其中日k ( s ) = ( 一) + 一+ “一+ “一：c ，( “l k l 以一l s ；l 一2 以) ， u ( 亿k l 以一l s ；风一2 ) 是r n c o 一系数， 饥= 2 ( 一) 以一 一一t ( 矗五一1 ) 。赢( n 曲k “) g ( o 曲k s ) ，而r ：代表新的集体 对a r ，t ， ：f g n t r ：) ( n k o ) ( 2 1 1 ) 爿 哪 o 0 ll 一 r + r 一 仇 r r 一矗正一 ss ml 。#+ 。 第二章投影s d 对壳模型 结构系数可表示为， ( n o t r ：) = z ( o n i r ：) 一( 一) 。+ m + ：z ( n i n 凫r ：) 4 晚政瓣( s t ) q q ( t ) 庇( t r ：) 轰蜘幽咖晒咖池 苌麦洲：辅 均h b l 吨u jlu 凫毗j 0 ( s t ) = 一u ( s 一1 ；以) q t ( 亡) = ( 一) + 一+ l - + 厶一- u ( r l t 一l ；l i l ) 庇( 亡r ：) = u ( n t 五一l 厶；r ： ) ( 2 1 3 ) 中间量子数厶仇一2 l 一1 和l 小= j 一2 ，七一1 ) 是( 2 1 0 ) 式第i 7 对的角 动量。式( 2 1 0 ) 的右手边是一1 对o e r f n p 的线性组合，所有的o e r f o p 都可 以通过两粒子体系的d e r f n p 来计算，详细的模型参见文献【2 3 ，2 4 1 。 在p s d p s m 中，我们定义了投影算符p ，这样出现在一体两体矩阵元中的 新的集体对就只有s d 对了。也就是说在p s d p s m 中，只有角动量为0 和2 的集 体对是允许的。 对相互作用的矩阵元 ( o l a 勰( s z ) p a 8 + a 8 p a 勰( n ， ) + l o ) ( 一) 7 ”+ 8 一。一三一1 丑_ ( s ) 日k + 1 ( s ) 1 妒k 6 s ，k 6 l k l ， 一1 ( s l s 2 s ；爿j 0 1 t ，l r l r k 一1 ，r k + 1 r s ； 一1 l k l 一1 t ，) 其中r ：= 0 ，2 代表新的集体s 对和dp a i r 。 q 。矩阵元 4 b r 如 一 ll 一 s +仉一 rr 如 一 玲 一趼 扣。 “ 卸。“ + 第二章投影s d 对壳模型 ( o i a 。知( 黾，) | | 声q 声i i a 。一( n ， ) + i o ) l ( 一) q ( t ) 七= r ：= o ，2l l ( s 1 s ；。正。娲i r l r ：- r ；以- 以一l l - l ) ( 2 1 5 ) 其中r ：= o ，2 也代表新的集体s d 对。 q 。q 。矩阵元 ( o l a 勰( & ，z ) ( 一) 2 p q 。q 。p 4 ( n ， ) + i o ) q ( ) q k + 1 ( ) q ，( ) q ，+ - ( t ) ( s 1 s ：s _ ；一爿一1 l ：工，一1 工i n r ；r ；。，l 以一l l k l _ ) ( 2 1 6 ) 其中a ( r ：) + 和a ( s ：) ，r = o ，2 是新的集体s d 对。 2 。35 种构造s d 对的方法 构造p s m 的模型空间是真实的集体对a 0 ( 角动量r = o ，2 ，投影 为p ) ，这个集体对是由单粒子能级为n 和6 的非集体对( 晓) ；组成， ( n 6 r ) ( 晓c 2 ) ： ( 2 1 7 ) ( 曲r ) = 一日( 0 6 r ) ( 6 0 r ) 其中( 6 r ) 是配分系数。怎样选择真实的s d 对是个关键的问题，s 对 h“# 。一 筹 球 卸 。 第二章投影s d 对壳模型 其中( 曲r ) 是配分系数。怎样选择真实的s d 对是个关键的问题，s 对 和d 对的选取取决于哈密顿量的具体形式，不同的s d 对代表不同的壳空间 截断，在这里我们介绍五种确定s d 对的方法。 1 s d ，一a 截断 在参考文献【2 5 l 中我们注意到s 对对价核子数不是很敏感，因此我们使用 参考文献【2 6 】的方法来构造s d 对。在正交归一化基1 ( 0 6 ) r 肛 上对角化表 面6 相互作用( s d ) 的哈密顿量，即， = 【( 1 + 如6 ) ( 1 + 妇) 】一1 2 陋( 0 6 ，c d ) ( e 。+ 岛) + g g s d ，( n 6 r ) 9 - ，( c d r ) 】 6 ( 0 6 ，c d ) 7 = 6 。如d p ( 6 r ) 屯d 如c 选择o 和2 的本征态分别作为s 对和d 对。 2 s d ，一日截断 d 对是利用如下对易关系来确定的【2 5 1 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) d t = ；【q 2 】_ ( 曲2 ) ( 晓四) 2 ( 2 2 0 ) n o 咖= 一扣z ) 掣+ 华】 ( 2 z ) s 对的选取同s d 一a 截断的选择。 3 b g s 截断 对于给定的参数跏和g 。，我们使用b g s 理论 日= 日o + g 。s ( 丌) s ( 7 r ) + 夕。s + ( ) s ( 扩) ( 2 2 2 ) 来计算轨道。的空穴振幅“。和占据振幅”。注意5 是单极对力。集 1 0 第二章投影s d 对壳模型 体s 对选择【1 7 ，2 7 】 = ( o 。o ) ( 晓晓) o d 对选取同s d ，一b 截断。 u d o t 上 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 4 日f b 截断【2 8 | d 对选取同s d ，一b 截断，s 对通过对给定的核子对数的最小化来决 定，即采用变分法来确定s 对结构， “等) _ o 亿z s ， - 厂( 妒。) 是态i 砂。 的正规项。 5 用t d a 理论来确定d 对结构 考虑到原子核的多体效应以及我们所选取的哈密顿量的具体形式，我们 可以利用质子一中子t a m m d a j l c o f f 近似( r d a ) 来确定d 对结构， 彳 = l 掣* _ 1 d ? ，f = 1 ，2 ，矿 2 m = i s 移一1 d ： ，七= 1 ，2 ， d = 旧谚a = 。”，v ，i j ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 其中d z 为非集体对，i ，j 为某一个主壳层内的单粒子轨道。然后在空 间i s s 一1 d r ，l s s 沙- 1 d ： 内将哈密顿量h 进行对角化，得到 妒。= 暌i 2 m + c 1 7 7 r 2 m 第二章投影s d 对壳模型 我们由j 2 态的系数哗，叼，就可以得到d 对的结构系数 d = 可( 巧2 ) 盼g 2 ( 2 3 0 ) 玎 鲋捌= 学= 我，薯 其中c 硒i c ；0 r c 。 实际上除了上述方法仍有许多其他的方法来确定s 和d 对结构 1 8 2 ”。 2 4 哈密顿量的选取 我们按照如下的方式选取哈密顿量 日s d = 户e 9 m 户)( 2 3 1 ) 其中风m 为壳模型哈密顿量，户为投影算子。为了使用尽可能少的参数和避 免过多的复杂计算，我们首先选取一个相当简单的壳模型哈密顿量，该哈氏 量包含单粒子能级项、同类核子之间的表面d 相互作用( s d ，) 项m 1 、以及质 子一中子之间的四极四极相互作用项， 凰m = 凰+ y p ) + k q ；q ： ( 2 3 2 ) h o = 亢。，盯= ”，v n 口 1 2 第二章投影s d 对壳模型 其中e 。和f i 。分别是单粒子能级和粒子数算符。 y ( 盯) = d ，( 盯) t ， g ”5 d 厂百 a 岛，a d ， s = 0 ，1 ，2 ， a 岛，= 拈d ，( 。b s ) ( 晚c 2 ) 5 0 6 始d ，( o b s ) = ( ) 2 a 6 舂曲。 0 b 。= ； 1 + ( 一) f d 地+ c 其中屯和如分别是单粒子能级。和6 的轨道角动量，应用了j 在文献【”，3 9 】中s d 的满意对( 以下将该方法简称为s d j 方法) 。 定义四极算符q 2 ， n 啡= r ；( 仇也) t = 1 它的二次量子化形式， = q ( c d 2 ) 瑶( c d ) c d ( 23 3 ) l + 。a 岛j 是 q ( c d 2 ) = ( _ ) c 一 去嗡峨如 c d 2 ：；【1 + ( 一) “+ l d + 2 】 砭= ( 晓岛) ： ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 何 6 。沪 fg 丌4 第二章投影s d 对壳模型 其中是哈密顿振荡波函数的主量子数，能量为( + 3 2 ) 鼬o 。在文 献【加1 中r 2 的矩阵元为， = 捺嘉言辛! 兰i 墨一b 十。干，。，。，。，k ：如土。 ( 2 3 6 ) 相位因子妒可以是一1 或+ 1 ，并且r 3 = 赤= 1 0 1 2 a 1 7 3 儡。 2 5 电磁跃迁算符 2 5 1e 2 跃迁算符 e 2 = e 。p q ；p + e ，p q ：p ； ( 2 3 7 ) 其中e 。和e ，分别是质子和中子的有效电荷。 2 5 2m 1 跃迁算符 m 1 = a 彳1 ( 丌) + 彳l ( ) ， z 1 ( 盯) = 肌。p l p + 乳。户s p ，( 2 3 8 ) 其中9 i 和9 ；分别是轨道和自旋的有效g 因子。 它的二次量子化形式， 其中， t ( 删= 厍眇胤“q 易) ( 2 s ，) q b = q ( c d l ) 嘭( c d ) c d q 岛= q ，( c d l ) 巧( c d ) c d 1 4 ( 2 4 0 ) ( 2 4 1 ) 第二章投影s d 对壳模型 a c 删- ( - 广岍“浮拼；) 亿4 z ， 。刊州2 如击越 1 5 ； 4 s ， 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 第三章投影s d 对壳模型理论的应用 3 1引言 在这章中我们把p s d p s m 理论应用于讨论偶偶x e 和b 。核素低激发 谱性质。根据以往有关原子核配对壳模型的工作，我们选择s d ，一a 方法来 确定s 对和d 对。理论结果表明s d ，方法能较好的再现x e 和b n 同位素的 低激发谱的集体性，与实验值符合的比较理想。 3 2 用s d ，方法讨论偶一偶x e 和b n 核素时的参数 我们应用投影s d 对壳模型研究偶一偶x e 和b a 核素，x e 和b a 核素在相 互作用玻色子模型( i b m ) 1 2 8 _ 和费米子动力学对称性模型( f d s m ) 4 2 】中 的研究已经很详尽了，在我们现在的模型中，对应一个给定的日0 ，只 需要确定三个参数，分别是表征质子或中子之间表面6 相互作用的参 数g 。和g ，以及表征质子和中子之间四极相互作用强度的参数托。我们 取凰= 瑶印( 7 r ) + 磁”( ) ，这里的瑶印( 7 r ) 和瑶印( ) 分别是核素嵴s b 8 1 和 错s b 8 】的单粒子能量，数据取自参考文献【4 3 t “】并在表3 1 中给出，x e 和b a 核 素的单粒子能量是确定的，尽管它们也随价核子数目的改变而改变【2 ”。所要 确定的三个参数通过拟合激发态能量的实验值来确定，并在表3 2 中给出。我 们可以看到，尽管这些参数是对应不同的核素独立调出来的，它们也是随帆 单调变化的。 表3l 中子与质予的单粒予( 空穴) 能级见参考文献【4 3 “l t a b l e3l s i n g l ep a n i c l e ( h o l e ) e n 。唱yl e v e lf o rn e u t r o n ( p m t o n ) 【4 3 “ 6 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 表3 2 计算中使用的参数 t a b l e3 2t h ep a r 趣1 1 e t e r su s e dj nt h ec a l c u l a t i o n n u c l g ”g ， k 1 3 4 x e 1 3 2 x e 1 3 0 x e 1 2 8 x e 1 3 6 _ b n 1 3 4 b o 1 3 2 b o 1 3 0 b o 0 1 8 5 0 1 7 8 0 1 7 3 0 1 7 0 0 1 9 0 o 1 8 5 o 】8 2 0 1 7 l 0 0 9 6 0 0 9 8 0 0 9 2 o 0 8 6 0 0 8 0 0 0 8 3 0 0 9 4 0 0 9 8 o 1 7 2 0 1 l o o 0 8 6 0 0 7 1 0 1 6 0 0 1 2 6 0 1 1 6 0 1 0 6 3 3 x e 和b o 核素的能谱 x e 和b a 核素能谱的理论计算值和实验值分别在图1 到图4 中给出。除 了”4 x e 和1 3 6 b o ，x e 和b a 核素的理论结果和实验值整体上都是相符的。其 中偶晕态符合的很好。准一1 带的预测也可以满意，1 2 8 1 3 2 x e 和1 3 0 一1 3 4 b o 的 准一7 带都和实验值符合的较好，只是3 十态比实验值稍高，并且。值越大符合 的越好。从图中可以看出，o 态的理论值要比实验值偏低。 对于x e 和b a 核素，他们均为s o ( 6 ) 核素，其重要特征之一就是4 能级 总是比2 高。理论结果中表明在模型可以很好地在现s 0 ( 6 ) 核素的这一特 征。 从图l 到图4 的能谱来看，肌越大，整体的能谱就越低，理论值和实验值 符合的程度就越好。比如。= 4 的1 2 8 x e 的能谱中角动量，8 的时候和实验 值符合的都比较好，而。= 1 的1 3 4 x e 角动量大于4 后与实验值的符合就已经不 能令人满意了。 对比x e 和b a 核素的能谱，我们可以看到b a 核素的能谱符合程度要比 x e 核素的更满意一些，比如；= 3 ，。= 2 的1 3 4 b n 的能谱角动量为6 的能级和 实验值符合的很好，而。= 2 ，= 2 的1 3 2 x e 的角动量为6 的能级理论值要比实 验值高一些。这说明，质子对的数目越大，理论值和实验值符合的就越好。 综合以上两个方面，我们至少可以在所研究的区域内得出结论，核 子对的数目越大，s d 对的近似就越好。造成这个现象的原因是：s d 子 空间的满意程度取决于单粒子能量的相对值和有效剩余相互作用1 k ，i ， 当凰i k ，小也就是说，当平均场比核子间的剩余相互作用大的多时，核 子的运动就会更独立，这样拥有不同角动量的所有的核子对就几乎是简并的 因而采用相同的标记，如果这时候仍然坚持用核子对作为基本单元来描述系 1 7 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 5o 45 40 35 3o 甚2 5 羔 锄“2o l5 lo 05 0 0 5 0 45 40 3 5 30 甚2 5 兰 【工】“2o l5 lo o5 0 0 e x d f 一1 2 t h c 。 1 2 一+ ： 一1 0 + 一 _ 7 + ： 一6 + 一2 +一6 _ 一5 一5 + 一2 一0 + 一。+ 二! 一6一r+ 一o + 一4 一 + ( a ) 核素1 2 8 x e e x d t 一1 0 + t h e “ 一b 一6 +一5 + 一 。一6 一4 + 一矿 一。 一6 一 一4 + 一3 一，+ 。 一 一o + 一4 一+ 一4 一r 1 3 0 x c ( b ) 核索1 3 0 x e 图3 1 y e 同位紊的能谱圈( 用s 上) 方法计算所得) 。实验结果取白文献f 4 5 “g 3 ie n e 唱yl e v e jf o rx ej s o t o p e s e 。p e r i m e n tr e s u j l sf 而mr e f e r e n c e f 4 5 j 1 8 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 50 45 4 0 3 5 3o 甚2 5 羔 山。20 1 5 10 05 0 0 45 40 3 5 30 25 羔20 _ 衄 l5 lo o5 o o - e x p l 一1 0 + t h e 0 一1 。+ 一8 一5 + 一矿 5 + 一一f 一4 一3 一矿 一0 + 一4 + 3 一， 一一一2 + 一4 + 一1 + 一0 ! 一 一。+ ”0 x e ( a ) 核索1 3 2 x e 哪 一8 t h e 0 一6 + 一5 + _ 一妒 一6 + 一2 + 一一二；_ 2 + 一4 2 + 一矿 一。 一0 + 一 一2 + 一0 - i h x e ( b ) 核素1 3 4 x e 图32x e 同位素的能谱图( 用s d 方法计算所得) 。实验结果取自文献【4 5 1 f i g3 2e n e 略yl e v e lf o rx ei s o t 叩e s e x p e m n e n tf e s u l t sf 如mr e f e r e n c e i 4 5 7 1 9 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 6 0 55 5 0 4 5 4 0 35 矗3 o 宝 2 5 2 o l5 lo 05 0 0 65 60 55 5o 45 4o 一3 5 宅 茎3o 、 【工】25 20 l5 l 0 05 0 0 一1 2 e x d tt h e o 一1 2 一1 0 一8 +一7 + 一1 0 + 一1 0 一8 8 一8 6 +一5 + 一6 5 + 一6 4 一+ 一2 +一6 +一4 + + 一4 +一2 + 一4 + 一2 。 一2 1 3 0 b a 。 一0 ( a ) 核索1 3 0 b n e x m 一1 2 t l i c 0 。 一1 0 + 。 一1 0 。二：o “_ 7 + 一8 6 + 一5 + 一6 + 一5 + 一4+ 一6 + 一4 + 一2 一6 一4 + 一3 _ 一2 + 一；+ 。 一 一4 一，+ 二亭 一o + 一。十 一41 + 一4 + 一2 + 1 3 2 b a ( b ) 核素1 3 2 口n 图33b ( 洞位素的能谱图( 用s d ，方法计算所得) 。实验结果取自文献【4 5 f i g 3 - 3e n e 嘻y1 e v e lf o rb ai s o t o p e s e x p e r i n l e n tr e s u l t sf r o m r e f e r e n c e l 4 5 】 2 0 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 50 4 5 40 j5 30 矗2 5 皇 【工】。20 l5 10 05 0 0 4 0 35 30 25 o2o 茎 、 叫l5 l _ 0 05 0 0 e 。一 ! 一b = 竽+ 一6 + 一5 一一矿 二：笋 = 茅 6 一1 + 一2 + 一r 一0 一 + 一o + ：“+ 一 一4 一+ 。 一一2 十 一一。+ i b a ( a ) 核素1 3 4 b n ： 脚“ t h 。 一6 + 一5 + 一4 + 一0 + ! 一6 一。+ 2 一：+一手 一一一2 + 一0 + 一一2 一矿 1 3 6 b a ( b ) 核素1 3 6 口。 圈3 4b o 同位素的能谱图( 用s d ，方法计算所得) 。实验结果取自文献【4 5 】 f i g 34e n e 曙y1 e v e lf o rb ai s o t o p e s e x p e r i m e n tr e s u l t sf r o mr e f e r e n c e l 4 5 l 2 第三章投影s d 对壳模型理论的应川 统，就需要包含进来所有可能的角动量的核子对，这样s d 截断就很不适合 了。随着短距离内同类核子的有效相互作用的增加，s d 对的能量也就越来 越低，这样，s d 截断的结果就会越来越好。因为剩余相互作用随核子对数 目的增加而增大，我们就可以预料s d 近似的效果在核子对数目较大时会更 好。 3 4 x e 和b 。核素的波函数 从参考文献【2 3 1 我们得知由非正交( 己归一化) 的多对基态的线性组合表示 的波函数有助于给出一个态的宏观图景，并且可以用于判断某个态是否是多 d 对态的连续或非连续混合。在表3 和表4 中，分别给出了x e 和b n 核素的一 些典型态的波函数的主要组成部分。在表示多对态时，我们采用了下面的缩 写表示： l ( d ) “( 磷) 川”“”( 珑) m ( 观) 虬”v ；j m ) 一l ( d 。) “( d 。) “；，m ) l ( 砩) “( 观) “；j m ) 一i s ；j m ) 表3 和表4 中带有括号的系数对应的是出现多次的多对态，它们由中间角 动量来区分。比如，1 3 0 x e 的2 态就是 1 2 ) = o 8 2 4 2 l d ，) + o5 8 8 8 l d 。) + o2 3 8 5 l d ：) i d 。) + o 2 6 0 0 i d ：) i d 。) l + o 3 0 9 2 1 d ：) i d 。) 2 我们先来看一下什么是壳模型中的对称态和混合对称态，在m m 一2 中， 如果拥有= 。+ 风个玻色子的原子核的一个态属于【n 】( 【n l ，1 ) 的u ( 6 ) 不可 约表示，并和f 一自旋f = j l m 。= 粤( j m 。一1 ) 相关联，则称之为对称( 混合 对称) 态。由于壳模型中没有自己的群结构，所以我们只能这样定义一个态 的对称性：如果一个主要组成部分为1 】 = o i d 。) + p i d ，) + 的态中o p ， 则我们称之为一个对称单d 态；若q 一口，则称之为混合对称单d 态。类 似的，我们可以得出对称( 混合对称) 双d 态等。另一种类型的混合对称态 是( d 。d 。) o j = 1 ，3 ，i b m 【4 6 ，4 7 1 或n p s m 23 1 的简单讨论都显示，e 2 跃迁只在两 个对称态之间才比较强，而m l 跃迁则只在一个混合对称态和一个对称态之间 时才比较强。因而，我们可以预测n p s m 的波函数和b ( e 2 ) 或b ( m 1 ) 跃迁的值 是紧密相关的【2 3 】。 表3 和表4 显示： 1 、o 十态主要是零d 态，同时混有相当数量的双d 态( d 。d 。) o ，而2 、4 和6 态 则基本上