（理论物理专业论文）witten弦场论中星代数的moyal乘积表述.pdf

摘要 非对易是弦理论中的重要内容。1 9 8 6 年w l t t e n 建立了三弦场论，引入了非对易的 乘法来实现弦场论中的基本相互作用。w i t t e n 的星乘积是不可交换的和可结合的。同 时我们知道存在另外一种乘积m o y a l 乘积，它是m o y a l 在相空间中建立起来的。最 近b a r s 的研究工作表明在弦理论中这两种非对易乘法是等价的，它们之间可以通过一 个映射联系起来。这就促使我们进一步来研究w i t t e n 的星乘积和m o y a l 乘积之间的关 系。在本文中，我们着重考察了在背景b 场中费米场中的w i t t e n 星乘积，将其表示为连 续的m o y a l 乘积，并且定出了非对易的参数。我们发现当背景b 场趋于零时，费米场中 的非对易参数和玻色场中的一样。最后我们运用共形映射的方法构造了费米场中的一 个投影算子蝴蝶态。 关键词：非对易几何，m o y a l 乘积，w i t t e n 乘积，三弦场论，b 场 a b s tr a c t s t r i n gt h e o r y a n dn o n c o m m u t a t i v e g e o m e t r y a r em o d e r ni d e a si np 1 1 y s i c s i n1 9 8 6 ， w i t t e nh a ds e tu pa ne l e g a n ts t r i n gf i e l dt h e o r yb yi n t r o d u c ea n e w ，b e a u t i f h la p p r o c h t oi n t e r a c t i o n s h eh a dd e v e i o d e dan e wm a t h e m a t i c a lf r a m e w o r ki nt e r m so fn o n - c o i n m u t a t i v ed i 艉r e n t i a lg e o m e t r yw i t t e n ss t a ri sn o n c o m m u t a t i v ea n da s s o c i a “v e a 1 s o ，w eh a dk n o w na n o 娃【e rn o n c u m m u t a t i v es t a r ，m o y a lp r o d u c t ，w h i c h 、v a sd e f i n e d i np h a s e s p a c e r e c e n t l y i nh i ss t i m u l a t i n gp 印e r b a r sf o u n dam a po fw i t t e n ss t a rt o m 8 扣l ，ss t a r t h i sm o t i v a t e du st os t u d yt h ee x p l i c i tr e l a t i o n sb e t w e e nw i t t e n ss t a r a n d 】o y a lp r o d u c t i nt h i sp a p e r ，w er e c a s tt h em a t t e rp a r to ft h eo p e ns u p e r s t r i n g s t a ri nt h ep r e s e n to fac o n s t a n tbf i e l d b yu s i n gad i 丹毡r e n t c o o r d i n a t er e p r e s e n t a t i o nt h em a t t e rp a r to ft h eo p e ns u p e r s t r i n g8 t a ri si d e n t i f i e dw i t ht h ec o n t j n u o u s m a y a lp r o d u c to ff u n c t i o n so fa n t i c o m m u t i n gv a r i a b l e s f o r t u n a t e l yw ef i n di td o e 8 n o td e p e n do nt h ev a l u eo ft h ebf i e l d i na d d i t i o n ，b yu s i n gc o n f o r m 出 i e l dt h e o r y t e c h n i q u e st h en sm a t t e rb u t t e r f l ys t a t ei sg i v e n k e y 、v o r d s ： n o n c o m m u t a t i v eg e o m e t r y ib6 e l d ，m 0 y a lp r o d u c t ，w i t t e n 8s t a r c u b i cs t r j n gt h e o r y l l 独创性声明 本人郑重声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论史中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：谚鹿埤 签字同期：沏弓年莎月6 日 第一章引言 弦理论以及其最新发展m 理论，是当今理论物理研究的热点。它也是终极理论 最有希望的候选者。人们现在可以自信的认为，我们已经发现了自然界中的所有力， 而没有什么遗漏。但是，在描述这些力的规律时，科学家却缺乏同样的自信。标准模型 的成功在于它可以将强、弱以及电磁相互作用用同一个规律来描述，可是在描述人们 最早认识的力引力时，它却显得无能为力了。而且更让人沮丧的是，现代物理的 两大基石一一量子力学和广义相对论竟然是不相容的。广义相对论在微观尺度上 违背了量子力学的规律。面对这些困境，弦理论产生了。弦理论的成功在于让量予力 学和广义相对论在新的理论框架中相容起来【1 】。目前，有利于弦理论以及其的最新发 展m 理论的证据与日俱增，已取得了令人振奋的进展 2 】一 6 】。 在各种规范不变的自由弦论中，w i t t e n 通过弦的粘合与分离，定义了一个新的优 美的三弦场论。在这个理论中，最基本的相互作用是三弦之间的相互作用，即第一根 弦的后半部分与第二根弦的前半部分粘合，从而生成第三根弦。w i t t e n 所定义的星乘 法是不可交换，可结合的。在w i t t e n 的弦场论中，如果选择b r s t 算子q 是纯粹的鬼算 子，那么物质场就和鬼场退耦合，这就是所谓的真空弦场论。本文就是真空弦场论的 框架中讨论开弦的物质场部分。 弦理论和非对易几何是现代物理的主要进展之一【7 ，8 1 。很久以前在研究形变量 子化与传统的量子力学的对应关系时，w 匆1 ，w i g i l e r ，m o y a l 等人引入了非对易几何 的新思想f 9 ，1 0 ，1 l 】。利用w j y l - m 0 1 归l 变换，我们可以建立起作用在h i l b e r t 空间上的算 符的函数a ( 圣，西) 与其在相空间中原相a ( z ，p ) 之间的映射。在这里函数a ( z ，称为算 符a ( 圣，芦) 的s y m b o l 。那么，相空问的函数的乘积就可以用m q 归l 乘积 蚺，苔主互苫、 ( a b ) ，p ) = a 0 ，p ) e 2 k 孤昂筇“，曰( g ，p )( 1 1 ) 来定义，其中m o y a l 乘积是可结合，不可交换的。最近，b 盯s 的研究工作表明弦场论中 的w i t t e n 乘积与相空间中定义的m o = 心乘积可以通过一个映射联系起来 1 2 】。弦场论 中的场量_ ( ( 盯) ) 可以写成偶模相空间的场量a 0 ，知，p 袅) ，这里o 是弦坐标的 偶模式，p 幺是由奇模的线性f 0 u r i e r 变换得来。在弦的星乘积中，p 就是偶模式z 幺的 共轭动量，那么w i t t e n 乘积也就相应于这个相空间中的m 0 y a l 乘积。研究这两种星乘积 之间的关系也就成了一个有趣而且有意义的事情f 1 3 ，1 4 ，1 5 】。 另一方面，背景b 场也可以导致非对易。1 9 9 8 年s e i b e r g 和w i t t e n 指出【8 1 ，在背景空 间存在n s n s 的b 场时，在d - b r a n e 上开弦端点的坐标是不可交换的。这可以看作是矩 阵理论中非对易的结果。在开弦理论中，反对称的张量场也可以看作是作用在弦的端 第一章引言2 点的规范场。在合适的极限下，当引力的作用可以忽略时，开弦的行为就象电磁场中 处在最低l a n d a u 能级的电偶极子。在引力退偶合的极限下，我们就得到了一个非对易 的规范理论。在数学上，这个规范理论可以由m0 _ y a l 乘积代替函数的普通乘积得到。因 此我们有必要进一步讨论在背景b 场中w i t t e n 星乘积与m o y a l 乘积的对应关系。 本文的组织如下，第二章里我们简单介绍w i t t e n 的三弦场论，并且在f 0 c k 空间给 出了它的顶角算子，列出了n e u m a n n 矩阵详细的表达式。第三章里我们讨论开弦中 的w i t t e n 星乘积与m o y a l 乘积的关系，将w i e n 的星乘积表示成了连续的m o y 础乘积， 并且得到了相应的m o y a l 对之间的不可交换参数p 。在第四章里，我们将背景b 场中n s 弦 的w i t t e n 的星乘积表示成了连续的m o y a l 乘积，我们发现在背景b 场趋于零时，得到的 不可交换参数与开弦中的一样。第五章里我们利用共形映射的方法构造了n s 物质场的 一种投影算子蝴蝶态。 第二章弦场论简介 1 9 8 6 年w i t t e n 引入一种新的方法来描述弦的相互作用，借助于非对易的微分几何 语言，w i t t e n 建立了一个新的数学框架f 1 6 ，17 】。在这个框架里，场的动力学与b r s t 算 子相联系，w i t t e n 定义了对弦上函数的积分，并且与尖楔的乘积相类似，w i t t e n 引入了 不可交换的星乘积，它可以用来定义c h e r n s i m o n s 类型的相互作用，妒妒妒。由， * ，q 组成的系统，遵守下面的定理。 作用量 l q 砖地 q ( a b ) = ( q a ) b + ( ) 4 a ( q b ) ( a 口) g = a ( b c ) s = 州+ 弘妒0 ( 2 。1 a ) ( 2 1 b ) ( 2 1 c ) ( 2 2 ) 在规范变换( 脚= q 5 一e * 妒+ 妒) 下是不变的。w i t t e n 通过与黎曼面上的b r s t 流 的性质相类比证明了上述结论。从而在黎曼面约化为局域的6 函数叠加的极限情况下， 我们就得到弦场论。 在w i t t t e n 的弦场论中，三弦之间的相互作用是最基本的相互作用，用它可以来实 现更复杂的相互作用。所以w i t t t e n 弦场论的基本组成包括积分和三弦的相互作用顶 角，它们可以通过6 函数类型的叠加来定义。对于积分，我们有 j ( 。( 仃) ) = i i 6 ( 茁( 盯) 一。( 7 r 一盯) ) e 一3 4 ( 霄2 ) 2 6 ( ) ，( 2 3 ) 0 曼口s f 2 对于三弦相互作用 3 y ( z 3 ) = e 跏”7 2 m n 6 ( ( 盯) 一札l ( 丌一删6 ( 妒) ( 2 4 ) 这些公式都可以在谐振子的h i i b e r t 空间中表述出来。d g r o 锚和a j e v i c l 【i 在核 物理上的一系列文章中已经给出了它们在f 0 c l 【空间的具体表达式，它们都可以写成幂 函数的二次型【1 8 ，1 9 ，2 0 】。例如， k ) = e x p 哇d _ 嘿8 三。， ( 2 5 ) 3 第二章弦场论简介4 其中，系数矩阵焉称为n e u m a n n 矩阵，它可以通过6 函数的叠加方程或者共形映射的 方法求出具体的形式。因此，在算符形式的弦场论中我们就有下面的对应关系， ， 一队( 2 6 ) * 一i k ) ( 2 7 ) 例如， ， 垂一( 西h( 2 8 ) 西l * 垂2 + _ + ( ( 圣1 i ( 圣2 i ) i ) ( 2 9 ) 因此，知道了i ，) 和i ) 的算符形式，我们就可以做弦场论的计算了。为了后面的计 算方便，下面我们就分别列出开弦和n s 弦的顶角算子。 对于开弦： j ，) = e x p 卜；( o f m i 口+ ) 】f o ) ，( 2 1 0 ) 其中 其中 m = c ，g 。= 如。( 一) ” ) = e x p 【一；簖w 袅n 舢) u 1 1 = u 2 2 = 3 3 = ；( e + u + u + ) ， 沪= 沪= 沪= ；( 2 e u 一矿) + ；l 瓶( u 一矿) ， 沪= 俨= 泸= ：( 2 g u 一矿) 一；i 以( u 一矿) ， u 2 1 ，u t = 以u = e u e ， u = ( 2 一e y e 一1 + e 一1 y 功( e y e 一1 + e 一1 y e ) 一1 ， y = 一；g + ；似， m = = ”叫2 ( - + r ”) 志+ 黩 ( e 。1 ) 。= 如。、；+ 矗。 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 踟嘲 埘嘲旧 忉 ，州 哟 仁 p 仁 协 第二章弦场论简介 其中 对于n s 弦 ， f 。f 了 产) = e x p ； n s 1 2 k ) = e x p ( ；妒? t 馏蝶t ) | 0 ) m r ，s 1 2 y 。= ；( ，+ u + g u g ) ， y 。口+ 1 = ；( ，+ 。矿+ 。+ c u g ) y ”一= ；( ，+ q + u + n g u g ) u = 一生筹 5 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 a ) ( 2 2 1 b ) ( 2 2 1 c ) g 一字， 江。， 耻一；罴，m o a ( 2 ) ， 戽。：要竺，r ：5 + 1m o d ( 2 ) 7 rs r 利用f ，户和g 三弦项角也可以写成 y 1 1 ：婴 。 ( 1 一f ) ( 2 + f ) t ，1 2f + t c ( 1 一f ) 。 ( 1 一f ) ( 2 + f ) 矿组：! 二! 旦( ! = 1 2 。 ( 1 一f ) ( 2 + f ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 第三章开弦中w i t t e n 乘积的m o y a l 积表示 三弦场论中的w i t t e n 星乘积是可结合的，并且它在构造非对易场论中起着中心作 用。b a r s 最近的工作表明，开弦的星乘积可以表示为m o y a l 乘积。b a r s 指出，弦坐标的偶 模式和奇模式f o u r i e r 变换构成一个m o y a l 对，这些不同的m 0 y a l 对之间是相互对易的， 并且它们具有相同的不可交换参数口。如果我们在f 0 u k 空间重写弦场论，那么三弦的 相互作用顶角就完全代替了弦的星乘积。最近，代表三弦顶角的n e u m a n n 矩阵已经被 证明是可以对角化的，它的谱和本征函数也都已经详细的给出来了 2 1 】。而且这些本 征函数也已经被证明是正交和完备的。这些结果暗示，三弦顶角的n e u m a n n 矩阵可以 在某个连续的振子基中取对角形式，因而我们就可以构造一个由完全对易代数的乘积 组成的表示空间。本章中我们简单陈述f 2 2 1 中的方法和主要结果。我们发现每一个对 易因子的乘积都是一个m0 1 归l 乘积，而且每一个子代数都是一维的h e i s e n b e r g 代数。由 于n e u m a n n 矩阵的谱是连续的，因而我们得到了一个h e i 8 e n b e r g 代数的连续张量积， 其中m o y a l 对的不可交换参数口( 尤) 是光滑的连续变量。 3 1m o y a l 乘积的振子表示 首先，我们给出r 2 8 上m o y a l 乘积的标准定义 ( m ) ( 胪南淼( 2 矿m z + 如叫e 串m 创州喇吼 以及f o u r i e r 变换的定义 m ) = 删b 啉m ) = 蒜e 诎 转换到坐标空间，我们由下面的式子定义一个积分核 ( ，蚓( 瑚兰出如。酢- 渤m ) m - ) 北。) 利用动量空间的公式，我们得 酢- 。) = 貉爵e x p ( i 觚乜岫 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 这里0 是2 d 2 d 维的矩阵，表示标量积。积分上式可得标准的结果 ( 。) = 再击e x p ( 嘞( z ，z s ) 。一1 ( 。一z 3 ) ) ， ( 3 5 ) 6 ，、j 4 现 一 2 z ，【 ，口p 2 七+ 、j 3 o一 1 z ，【 z 第三章开弦中w m 锄乘积的m 0 y a 积表示 写成更明显的循环形式，即 k ( 巩卫。，。) = 万b e x p ( 删p ，。一1 z z + 蜩 s + z s 。一1 z t ) 为了便于后面的比较，我们将它进一步改写为矩阵的形式 t ，z 。，z 。) = 瓦b 百e x p ( 一；戈又) 7 ( 3 6 ) ( 3 7 ) = c z i ，( 喜1 要。芎1 ) ，文= c z - ，。，z s ， e s s ， ( 。，轧z 。，耽；z s ，拍) 一( 0 i ，6 i ；。l ，6 1 ；n j ，以) ( 3 9 ) 采用两分量的记法z = ( z ，可) ，五= ( 0 1 6 ) ，我们有 一印降y 尔 | 0 ) ， y = ( 亏三薹) ，力= c 拼，面，礤) t ，z 。，z 。) = ( ( 西固( 而f 。( 西k ) = 瓦毛丽e x p ( 一；文k 文) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 土v l 严l 严 童 _ p 位 渤 z _ p z t | p 一 一 ，i，一 徊 p h i 万上万 = = 引 司 第三章开弦中w m e n 乘积的m 咿j 积表示 得 故 志唧( 一戈) 圳唧( 一；又昌文) y = 蒜 8 ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 我们取。= ( 二：) 并且发现8 。时，矩阵( 1 + k ) 是可逆的，因此我们就得到 了y 的矩阵元如下 一等( ：珍= 南( 三。墨) 江忉 于是在非对易平面上，k 们= 8 ，三弦相互作用顶角的振子形式就可以写为 删) = p h ( 等) ( n i “6 t 6 均出c ) ( 3 1 8 ) 一( 南) ( i l + 。i 。! 十州习 一( 羔) ( 8 f 6 t - 6 i 8 l z t c ) 1 0 ) 3 2 连续的m o y a l 基中的开弦星乘积 下面我们将在连续的振子基中，写出三弦的相互作用顶角。这里我们先介绍连续 的k 表象( 托) ，在这组基下n e u m a n n 矩阵可以同时对角化，其中k 是连续的自由参数 例如( m = g ) ， 蛾：( k ) = p ”( 咖m ( 圪) ( 3 1 9 ) n = 1 n e u m a n n 矩阵的本征值如下 并且它们满足关系 p ( 圪) = p 1 1 ( 尤) = 一志 一等觜， 尸一等帮， ( 3 2 0 a ) ( 3 2 0 b ) ( 3 2 0 c ) p + 肛1 2 + 肛2 1 = 1 ，p 1 2 “2 1 = 肛( 肛一1 ) ( 3 2 1 ) 第三章开弦中w 孔c e n 乘积的 如) ，a 瞅表示 本征矢量( 托) 由下面的生成函数给出 肫) = 耋警灶k 唧( t a n ) ) 并且有 p ”( 一珂) = 芦盯( 托) 同时。它也是扭曲矩征c 的本征空间， 。( 托) = 一( 一一) ，。= ( 1 ) “。 这些本征矢量有特殊的性质，奇的和偶的分量分别满足下面的关系 忱n + l ( 一，c ) = 抛n + l ( 尤) ， 2 。( 一托) = 口鼽) 并且它们是正交的，组成完备的本征空问， ( 一- ) ( 曲= d ( 仡- 一，c 。) ， d ，c 鸪。( k ) ( 圪) = k 。 由于本征矢量的性质( 3 2 5 ) ，我们可以将本征空问分成奇的和偶的两个正交完备的子 空间，即 2 抛。一- ( k - ) 忱州( 尤z ) = 6 ( 圪，k 2 ) ， n = l 2 耽。( 仡- ) 鼽( ，c 。) = 6 ( ，c t 一) ， n = i ， 2 如砚。( ，c ) 耽。( ，c ) = 如。， j 0 ， 2 d ，c 2 。一l ( 尤) t 恐。一l ( k ) = 如n 根据偶模和奇模的上述性质，方程( 3 1 9 ) 可以改写为 o 。 一 螺，鼽( ，c ) = ：( 肛7 8 ( ，c ) + p 。( k ) ) ( k ) ， n = 1 “ o o 吆扣。a 鼽一，( 蓐) = ：( 弘3 ( 咒) 一弘。( 圪) ， ( 3 2 7 a ) ( 3 2 7 b ) ( 3 2 7 c ) ( 3 2 7 d ) ( 3 2 8 ) ( 3 2 9 ) 9 衄 卿 均 卿 锄 陋 捌 侧 ，l，l 第三章开弦中w 1 6 e n 乘积的m q 州积表示 妻坛 。州- 1 ( 扣瓢) w - 1 ( n 3 。)l z 磊一，。一l 口2 。一- ( ，c ) = ；( 卢8 ( 咒) + 肛8 ( x ) ) 2 。一l ( k ) ，( 3 3 0 ) t t = l 蜗h 2 。啦。( 托) = ；( 肛”( 圪) 一肛5 ( ，c ) ) 啦。( k ) ( 3 3 1 ) n = l 上面的性质就允许我们引入依赖于连续参量的新振子，根据( 3 2 7 ) 式，我们引入相应于 偶模与奇模和的新振子e 。和o 。，即 e ：= 以( 咖! 。， ( 3 3 2 ) 一， ， 以f 毗( 尤) e 毛n ；。一。= 倔如一。( 尤) o o ( 3 3 3 ) j 0 0 这些新的振子d 。和具有b p z 共轭性质 并且满足下面的对易关系 6 p z ( ) = 一o ! ，幼。( ) = 一e ： h ，。：，】- ke ：，】_ 6 ( 尤一，c ) h ，e ! ，】= 【e 。，吐，】= o 到这里利用关系式( 3 2 8 ) 一( 3 3 3 ) ，我们就可以将三弦的相互作用顶角 k ) = e x p 卜；。袋( c m s ) 。】f o ) 在连续的基底中写出来 耻e x p 障z 。如州砌泼) f e 炒删) + 弘) 叫俐( t _ e 炒拶) ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 a ) ( 3 3 5 b ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 为了和前面一节的式子相比较，我们将上式按指标写成更具体的形式， = e x p l f 。如h ( e 撇) t + 。m 旧 一；( 芦1 2 ( 圪) + 芦2 1 ( ，c ) ) ( e 肚+ 。妙+ c c ) 一2 帮1 ( 尤) ) ( e ! l 岬一挑驴+ + 叼c ) 卅) ( 3 3 8 ) 一迸 一 喊 压一 | | 吐 第三章开弦中w j e n 乘积的m q 删积表示 现在我们将上式和( 3 1 8 ) 进行如下的对比 就可以得到下面的条件 上面的条件就给出了 ( g 。，6 f ) 一( e ：，。：) ， 小) = 等 肛1 2 ( 仡) 十p 2 1 ( k ) = 弘1 2 ( 圪) 一肛2 1 ( k ) = 口( k ) = 。t a n h ( 等) 1 1 ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 a ) ( 3 4 0 b ) ( 3 4 0 c ) ( 3 4 1 ) 掩一w甜一枷 西 西 第四章在b 场中开的超弦的w i t t e n 乘积的m o y a l 积表示 本章中我们将利用上一章中的方法，进一步来讨论n s 弦的星乘积与m o y a l 乘积之 间的关系。对于超弦。三弦相互作用顶角的n e u m a n n 矩阵以及它的对角化问题都已经 解决了，并且正交完备的本征函数空间也已经给出了，这些都使得我们下面的讨论成为 可能。另外，w i t t e n 指出，在背景空间存在n s n s 的b 场时，在d _ b r a n e 上开弦端点的坐 标是不可交换的。即背景场也可以导致非对易。有关带b 场的弦场论也已经得到广泛的 研究 2 1 ，2 3 ，2 4 ，2 5 】o 本章中我们将背景b 场中的n s 弦的星乘积表示成连续的m o y a l 乘 积。 4 1在b 场中开的超弦的三弦相互作用顶角 我们现在来考虑w i t t e n 提出的在背景b 场中开的超弦场论。超弦在世界面上的作 用量如下 1， s = 一南d 盯d 7 - ( 铴矿6 如x a 6 x 一2 丌。7 z i ；i j e n 6 晓x a x ) 一去d 2 z ( z ) 剐( z ) + 卿) 舻( j ) ) ， ( 4 1 ) 其中，俄f 是常数度规，世界面上的度规叩曲的符号是( 一，+ ) ，反对称张量e 曲设定为e 0 1 = 1 。和分别代表玻色和费米场。考察如上所示的作用量，通过对场量做变分，我 们得到z = 2 的边界条件 ( 9 + 2 7 r b ) 。a x = ( g 一2 7 r a b ) 埘a x j ， 0 + 2 7 r b ) 玎( 。) = 0 2 丌q b ) 玎( 牙) 现在我们引入新的费米场量妒( z ) ，( 孑) ，定义如下 ( z ) = g 村+ 2 7 r 乜7 b k 砂( 。) ， 驴( 2 ) = g 掣( g 一2 开b ) j 毒( i ) ， ( 4 2 a ) ( 4 2 b ) ( 4 3 a ) ( 4 3 b ) 其中 萨= 万南9 f 嘉画) ( 4 4 ) 由于新引入的场( 和( 三) 满足和没有背景场时一样的边界条件，所以我们可 以对这些场( z ) 和( 牙) 做普通的模式展开， ( 盯) = e 抒9 妒； r = n + l 2 1 2 ( 4 5 ) 第四章在b 场中开的超弦的w 扎e n 乘积的m 0 y a 积表示1 3 僻，珐) = 4 托o g ”( 4 6 ) 为了计算简单，我们选择时空的度规是平直的，而且背景场只出现在第8 和9 个 空间维度，即( 三苫) 。由于( 4 5 ) 和( 4 6 ) ，妒的模式满足下面的关系 蝣，蝶 = g 善矗托o = 售露托o ，( 4 7 ) 其中= 1 ，1 ，l ，1 ，1 ，1 ，l ，1 ，南麓铬，罱籀) 。 在弦场论中，所有的物理量都被看作是坐标x 和的函数，而这些坐标又可以用 无穷维的玻色和费米的振子来展开。世界面上的作用量仅仅控制了弦的模式展开，而 不是弦的相互作用。这里我们引入w i t t e n 的三弦相互作用：第一根弦的下半段和第二 根弦的上半段粘合在一起，然后生成第三根弦。这可以表示为下面的形式 中。 妒 ( 盯) ) 】= f 口妒( 。) d 妒( ) 】圣，【妒( 茹( 盯) ) 】西。f 妒( ( 矿) ) 】 m 2“f 2 6 ( 妒( z ( 丌一硼一妒( 封( 盯) ) ) 6 ( 妒( z ( 州一妒( z ( 硼) 6 ( 妒( 可( 嘲一妒( z ( 训) ( 4 8 ) 很显然这种乘法是不可交换的，因为交换一弦和二弦的次序会产生两种不同的第三 弦。为了更清楚的解释这种不可交换性，我们可以采用算符形式来描述。事实上，对于 任意的函数中，我们都可以通过坐标表象来构造一个算符圣。最主要的思想就是要建立 一个表示空间，在这个表示空间里每对反对易的算符都能取它的本征值。这些反对易 算符的性质就代表了相应的物理量的不可交换性质。 采用如上的算符形式，三弦的相互作用可以描述如下 毒3 = 毒l 毒2 ( 4 9 ) 利用费米场的模式展开式( 4 7 ) ，三弦的相互作用可以表示为三弦的顶角 喈) = e x p 睦i p 掣搿) 妒霉】 = e x p ( ；g 埘g “( 9 + 2 耐b ) l 鹕搿) ”( 9 2 耐b ) 。妒嘲 = e x p b 洲础) 妒乳 ( 4 1 0 ) 第四章在b 场中开的超弦的w i c e n 乘积的m 啪j 积表示 1 4 其中f ( 0 6 ) 代表了没有背景场是的三弦相互作用的n e u m a n n 矩阵。值得指出的是背景b 场 并不改变三弦相互作用的n e u m a n n 矩阵。有关n e u m a n n 矩阵的详细的表示可以参看文 献f 1 9 ，2 7 】。 n e u m a n n 矩阵有下面的性质： f 1 1 = f 2 2 = f 3 3 ，f 1 2 = f 2 3 = f 3 1 ，f 2 1 = f 3 2 = f 1 3 ， ( 4 1 1 ) 并且对不同的n ，6 = 1 ，2 ，3 ，它们是对易的。这就说明它们可以同时对角化 ( c ? f 8 6 ) 。 。( k ) = 肛。6 ( k ) t h ( k ) ，( 4 1 2 ) 其中g i m 。= 。( 一1 ) “。为了方便起见在这里我们重新定义n e u m a n n 矩阵r + 1 2 ，川1 2 为r 。n e u m a n n 矩阵的本征矢量可以由下面的生成函数给出 2 6 】： 纵力2 薹秽2 南e x p ( 州a r c t a n ( 砌， ( 4 1 3 ) 而且这些本征矢量是正交和完备的 ( ，c ，) ( 仡：) = 6 ( ，c ，一k 2 ) n = 1 r o 。 d 圪t h ( 总) t 。( ，c ) = 4 。， ( 4 1 4 a ) ( 4 1 4 b ) 本征值分别如下： p ( ，c ) 2p 1 1 ( ，c ) = 行；i ；眚，( 4 1 5 a ) p ，( k ) = ；( p 1 2 ( 尤) + p 2 1 ( k ) ) = 行主篙， ( 4 1 5 b ) 地( ，c ) 2 抄2 ( k ) 一肛2 1 ( ，c ) ) = 篙 ( 4 1 5 c ) 在上式中有7 = i t a n h ( 警) 。在这里我们可以看出自由的参量一决定了n e u m a n n 矩征的 不同本征值。事实上n e u m a n n 矩征本身是无穷维的，应当有无穷多个本征值，正好自 由参量苊体现了这种性质。 根据矩阵g f 的本征值，我们可以定义一套新的连续阵子基如下：( 为了简单起 见，我们先仅仅只考虑时空中的一个维度) ( 4 1 6 a ) ( 4 1 6 b ) 胆 ，凯 坳r厢神“ s | 1 屈一 l l 吐 胆 蠓 广瓜 脚 厄 1 1 吐 第四章在b 场中开的超弦的w 孔6 e n 乘积的m 咖j 积表示 珐_ 1 。= 以妣( ，c ) 廊e 毛 j 0 携。+ l 2 = 以z 毗一1 ( 仡) 佩： 这些新的振子o 。和氏具有b p z 共轭性质 6 p z ( o 。) = o ：， 幼z ( 吐) = 一o 。 并且满足下面的反对易关系 6 p 。( e 。) = e ：， 劬z ( e ：) = 一e 。 1 5 ( 4 1 7 a ) ( 4 1 7 b ) ( 4 1 8 a ) ( 4 1 8 b ) o ：，) = e 。，e ：，) = 6 ( 仡一圪，) ，e ：，) = 氏，o ：，) = o ( 4 1 9 ) 利用方程( 4 1 6 ，4 1 8 ) 和完备性关系( 4 1 4 ) ，经过一些计算我们可以得到在连续基底下的 三弦顶角 i 瞪) ：肌。x p 等厂如脚- - ( 托) ( 。+ 叩) + ( 肛1 2 ( 仡) 一p 2 1 ( k ) ) ( e 9 ) e 乎) + 0 0 ) d 譬) + c 暑，c ) + i ( p 1 2 ( k ) + p 2 1 ( k ) ) ( e 0 ) 0 2 ) 一d 2 ) e 譬) + c c ) 】i o ) ( 4 2 0 ) 4 2 费米弦场论中m o y m 乘积的振子表示 在上面的表示中，三弦的相互作用是由弦的模式决定的，而不是用我们在非对易 几何中知道的不可交换量来表示的。为了描述三弦场论中的不可交换性质，我们需要 用不可交换的变量的函数来重写弦场量。这可以仿照玻色弦的情形在费米的“坐标表 象”中实现。下面我们就来引入费米的“坐标表象”。 考虑一对算符4 ，西，满足反对易关系 尊，庐) = 口， 尊，尊) = o ， 芦，p ) = o ， 并且w j y l 算符依赖于反对易的变量r 和s u ( r ，s ) = e ) ( p ( 1 r 口+ i 印) 因此这些w j y i 算符满足下面的关系 舻- ) 阶z ，s 2 ) = 阶+ r 2 m + s 2 ) e x p 艮，r 2 + 叩。) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 第四章在b 场中开的超弦的w l 的蛐乘积的m 0 y a 脓表示 如果两个反对易变量口和矽的函数，( 毋p ) 可以写成如下的f o u r j e r 变换形式 ，( g = 如办e 卅g n 枷加一， 那么就可以通过下面的公式和算符，联系起来 ，= d s d r u ( r ，s ) ，( r ，s ) 1 6 ( 4 2 4 ) ( 4 2 5 ) 这个过程代表了w j y i 量子化，函数，( g ，p ) 就是算符，的s y m b o i 。如果已知函数，l ( g ，p ) 和，2 ( q ，p ) 是算符五和五的s y m b o l s ，那么算符积五五的s y m b o l 由m o y a i 乘积( ，2 ) ( g ，p ) 给 出。转化到f 0 u r i e r 空间我们可以由下式定义一个积分核符( z 。，2 ，现) ， 并且可以得到 ( ，l + ，2 ) ( 茹3 ) d 茁- 如。k ( z ，。z ，。a ) ，1 。) ，2 ( z 。) ( 4 2 6 ) ( z t ，。，z s ) = d 乜d 乜e x p f ；e 玎磁+ i - 一现) 乜+ t 如。+ 。一2 。) 乜2 】 = m 啦唧【；( 七+ 2 洳z 一嘲e _ 1 ) e 心。一2 舻- 小。一嘲) + 2 ( z 2 一幻) 9 1 - ( 锄一z i ) j ， ( 4 2 7 ) 这里 是一个2 2 对称矩阵。积分( 4 2 7 ) 可以得到 k ( z ，z 。，z 。) = 譬e x p 2 ( z 。一z 。) e t ( z 。一茁，) 】 ( 4 ，2 8 ) 现在我们引入新的坐标表象如下， ( 暑i = ( o ie x p ；z 一+ 冗暑仉+ ：机朋导机，】， ( 4 2 9 ) 其中z 。= ( 吼，) 和妒= 讯，氟) 是由反对易变量组成的两维矢量，并且有 c 日= c ，冗口= 佗 丽，朋日= m ( 4 3 0 ) 2 2 的矩阵厶，冗。和m 。分别如下 缸( 三：) “= ( 鬻鬻) 批= ( 下品一卅m ， 第四章在b 场中开的超弦的w m 印乘积的m o y a j 积表示 反对易坐标z 。= ( 吼，m ) 是算符妒= ( 氨，氟) 的本征值，这里妒是连续振予的线性组 合， 靠= 一高( 州咖一一e ：州咖一+ i 。：) 氐= 一赤( 州咖一十e ：叫咖一+ i 0 1 ) 蠢，氨) ：o ， 4 。，芦。) ：o ， 多。，】；。) ：o ， 并且z 。) 满足下面的关系 砂。i z 。) = 。i z 。) ( 。i z ：) = i 赢6 ( ，c 一仡) ( 4 3 2 a ) ( 4 3 2 b ) ( 4 3 2 c ) ( 4 3 3 a ) ( 4 3 3 b ) 现在我们将式( 4 2 0 ) 和( 4 2 8 ) 改写为矩阵形式， l 馏) = 肌e x p 【等z 0 。如识( d ) 嵋6 识( ”0 ) ， ( 4 3 4 ) 其中识( 。) = ( e + ，o 擘) + ) ，v 是6 6 矩阵，由( 4 2 0 ) 定义如下 同时积分核变为 k = 其中x = ( z l ，z 2 ，z 3 ) ( z 。，z 。，z 。) = 譬e x p ( ；x k 又) ， 定义为如下形式 ，000101 10o 1010 = ；i 三i 1 ：；： l010一l0o 、101000 ( 4 3 5 ) ( 4 3 6 ) ( 4 3 7 ) 柏讹：呈o ? 啪警却：呈班。讹? 警却? 啪啦。弛呐佻：呈。邶?啪擘啪 第四章在b 场中开的超弦的w 砖锄乘积的m 0 ) ，a 瞅表示1 8 x l = 扛l l 和2 l 扛3 l = ( o l e x p ；x l 日x + x r 日。移+ ；妒。w b 妒】 ( 4 3 8 ) 址啡兰) s 。， k 。z ，勘，如) = ( x j 谬) = 譬e x p ( ；x k x ) ， ( 4 4 。) 兰三日+ 只b y b ( 1 + m 日y b ) 一1 r 且 ( 4 4 1 ) r = ；镢耳丽， 肛= 掣料， 舻一等辫， 舻黼 ( 4 4 2 a ) ( 4 4 2 b ) ( 4 4 2 c ) ( 4 4 2 d ) 从上面的解我们可以得到p ( k ) 的值 日( 仡) = 2t a n h ( 竿) ( “3 ) 从而，在背景b 场中w i t t e n 的星乘积就表示为连续的m0 _ y a l 乘积，即 ，风，) ? = 2 t a i l h ( 竿) 6 ( ，c 一) ( 4 4 4 ) 上面我们仅仅局限的考虑第1 个时空维度，更一般的情形，即既包括有背景场的情 形也包括无背景场的情形，我们可以选择表示空间如下， f 贾) = 。眇) ， ( 4 。4 5 ) 第四章在b 场中开的超弦的w 她e 刀乘积的坳j 积表示 并且i x “) 取如下形式 f e x p i x p l ( p ) x p + x p 兄札) - 妒”+ ；妒“- m 妒”】， b = o x “) = 【e x p 【 。x p l ( p ) 口x p + y p - r p b 妒p + ；妒p m p b 妒p 】， b o 其中 ( ) 口= p ，兄( p ) b = 冗撕丽，m ( p ) 口= m 同时我们得到了一般情形下的结果 1 9 ( 4 4 6 ) ( 4 4 7 ) ，砖) ? = g 2 t a n h ( 等) 6 一心，) ( 4 4 8 ) 并且当_ 8 一o 时，我们发现从上式中得到的不可交换的参数和玻色情形时的相同。 第五章投影算子 投影算子在弦场论中有重要的作用，当作用量中鬼的部分可以和物质部分相分离 时，物质场的运动方程就变成了投影方程，而每一种投影算子就对应物质场的一种孤 子解。在本章，我们将采用共形映射的方法来构造费米场中的蝴蝶态。 5 1引言 m m a r i n o 和r s c h i 印p a 在b e r k o v i t s 的理论框架下已经将真空弦场论推广到超 弦场论 2 6 】。i y a r e f e v a 等人也讨论了相同的问题f 2 7 ，2 8 】。他们假设真空超弦场论的 作用量如下 s = 嘉 ；一4 * q 4 + ；一4 4 卅， c s - ， 其中q 是纯粹的鬼的算符，筋是耦合常数。对作用量( 5 1 ) 进行变分，我们可以得到它 的运动方程( e o m ) q a + 且一4 = o ( 5 2 ) 假设场量4 能分离成物质场和鬼场两部分，那么运动方程就可以分解成下面的两个 一4 。+ 一4 m 4 。= o q 凡 + 4 口 4 曲= o ( 5 3 a ) ( 5 3 b ) 这说明物质场和鬼场退耦合，这正是真空弦场理论。把它应用到n e v e u s c