（理论物理专业论文）有限密度、有限温度qcd相变的研究.pdf

a b s t r a c t b e c a u s eq c d i ss t r o n gc o u p l e ds y s t e m ，t h ep e r t u r b a t i v em e t h o d f o rt h e q u a n t u m g a u g e f i e l di sn ol o n g e rv a l i d ，t h el a t t i c eg a u g et h e o r y ( l g t ) s i m u l a t i o n i st h eu n i q u e t 0 0 1 i nt h ep a s t y e a r s ，p e o p l e s h a v ep a i dm u c hs t r e n g t ho ns t u d y i n gt h ep h a s e d i a g r a mo f q c d t h i sw o r ki ss i g n i f i c a t i v ef o rm a n k i n dt oc o m p r e h e n dt h eo r i g i no fc o s m o sa n d p r o p e r t i e so fc o m p a c t s t a r s i nl g t , n a i v ef e r m i o n sh a v ef e r m i o nd o u b l i n gp r o b l e m b ym o d i f y i n gt h en a i v ef e r m i o na c t i o n ，t h ef e r m i o nd o u b l i n gp r o b l e m c a l lb eg e tr i d o f t w ok i n d so ff e r m i o na c t i o na r eu s u a l l ya d o p t e d ，k o g u t - s u s s k i n df e r m i o n sa n d w i l s o nf e r m i o u s k sf e r m i o n sr e m a i n st h ec h i r a ls y n m a e t r y , i ti s g e n e r a l l yu s e dt o s t u d yt h ec h i r a lp h a s et r a n s i t i o n b u tk sf e r m i o n sh a v eb o t h e r s o m ed e f e c t s ，i th a v e n o tc o m p l e t e l ys o l v e dt h e s p e c i e sd o u b l i n gp r o b l e m t h ed e f e c tw i l l a r i s es o m e t r o u b l e si ns i m u l a t i o no fq c d 1 i nc o n t r a s tw i t hk sf e r m i o n s ，w i l s o nf e r m i o n s p r e s e r v et h ef l a v o rs y m m e t r y , n of e r m i o nd o u b l i n gp r o b l e m ，b u ti tb r e a kt h ec h i r a l s y m m e t r y i ti sg e n e r a l l yu s e dt oc a l c u l a t em a s ss p e c t r u mo f h a d r o n s t i l ln o wi nl g t , m a n yi n v e s t i g a t i o na b o u tt h ep h a s ed i a g r a mw i t hk sf e r m i o n ss t i l l u n d e r w a y , b u t n o n ew i t hw i l s o nf e r m i o n s o u r g r o u p h a sd i s c u s s e dt h e p h a s ed i a g r a mu s i n g h a m i l t o n i a nl a t t i c eq c dw i t hw i l s o nf e r m i o n sa ts t r o n gc o u p l i n g 1 9 】h eh a sf o u n d t h et r i c r i t i c a lp o i n to n t h e ( u ，t ) p l a n e 2 o u rw o r ki st os t u d yt h ep h a s ed i a g r a mo f q c dw i t hw i l s o nf e r m i o n sa n dt o c o m p a r e t h er e s u l t sw i t hk sf e r m i o n s 摘要 研究q c d 的相变问题一直是高能物理领域的热点，这对人们了解宇宙起源以 及高密度星体的内部的物质形态都有重要的实际意义。在q c d 的研究领域，格点 规范理论是研究非微扰现象的唯一工具。在格点规范理论中，由于n a i v e 费米子 的费米子加倍问题，实际中常常使用k o g u t s u s s k i n d 费米子和w i l s o n 费米予， 由于两种费米予作用力的各自特点，在研究相变问题时，过去的工作基本上都是 采用k s 费米子，但k s 费米子存在着一定的问题 1 ，有必要采用w i l s o n 费米子 研究q c d 的相变问题，这样对q c d 的相变问题的研究才是全面可靠的。本课题组 曾经在强耦合区针对w i l s o n 费米予作了研究 1 9 ，利用哈密顿格点理论讨论了 q c d 的相变问题，并找到了相变的三临界点 2 ，。 我们工作的重点就是采用w i l s o n 费米予方案研究q c d 的相变问题，并与采 用k s 费米子方案的结果加以对比。 第一章、简介 l 、 量子色动力学- - q c d 当代科学的发展的两个趋势，一是研究大尺度的物理过程，主要研究宇宙中天体以及宇 宙本身的运动发展规律：二就是研究微观尺度下物质的运动规律，包括界观尺度、原子尺度 以至于基本粒子的研究。自然界存在四种相互作用：引力作用、弱作用、电磁作用、强相互 作用，电磁作用及引力作用是长程作用，主要支配着宏观物理规律，这是我们最先了解的两 种作用。研究地较为清楚，特别是对电磁作用研究，不管是宏观电磁现象还是微观电磁现象， 我们都能用量子电动力学( q e d ) 完全解释。随着上个实际初开始揭示出物质的微观组成是 由电子、原子核构成，人们对微观物理地研究进入了一个崭新地阶段，人们并不满足于对原 子尺度的研究。而是进入到原子内部，探索原子核的构成和运动规律，继而提出了基本粒子 的概念，并认为所有的物质都是由这些基本粒子构成的。随着核物理技术的发展，在试验 中人们不断发现新的基本粒子，基本粒子的种类不断翻新。根据基本粒子的特性，基本粒子 被分成三类：强子、轻子和光子。对基本粒子的研究说明，微观粒子之阃的相互作用是短程 作用，根据作用的强度分成弱相互作用和强相互作用。强子之间的作用主要反映为强相互作 用，弱作用基本可以忽略；轻予不参与强相互作用，只参与弱相互作用；而光子只传递电磁 作用。 量子色动力学( q c d ) 是在夸克层次上描述强相互作用的一种理论，q c d 是s u ( 3 ) 非 阿贝尔规范理论，并具有渐近自由的性质。q c d 的提出使我们第一次可以使用微扰方法研 究强相互作用，而q c d 的很多理论结果也不断被试验所证实，从而使人们确信，o c d 是现 在描述强相互作用唯一正确的理论。 4 1 2 格点规范理论- - l g t o c d 理论是渐近自由理论。它让我们首次可以利用微扰法计算验证试验上所观察到的 强相互作用现象。但是这并不完美，q c d 重整化理论只适用于低耦合强度、低温下的强相 互l 作用。对于强耦合作用无法适用，直到格点规范理论提出以前，q c d 的所有研究都是基 于微扰理论展开的，而对于。为了解决这个问题，w i l s o n 在1 9 7 4 年提出格点规范理论( l g t ) l g t 理论使我们可以利用数值模拟的方法研究q c d 的非微扰现象，它不仅适用于强耦台区 域，也适用于低耦合区，随着计算机技术的突飞猛进的发展，l g t 理论越来越显示出无比的 优越性，在过去二三十年中，国际上已经形成多个大型的格点组还有无数小的格点研究组， 由于他们的努力。我们已经可以验证高能物理中的很多现象。也提出了很多有待验证的新结 论，例如混杂态、多夸克态、胶球等。 l g t 的基本思想是从第一原理出发，将连续的四维时空离散成分立的格点： a i t e t l i n k - - - i - 在这个四维时空中，我们可以定义费米场和规范场 格点之间的矢量连接定义链( 胶子场) ： u ( i ，五) ：口一* 一坶 这里，g 是耦合常数，爿( i ) 是规范场，i 是格点的位置，露为链的方向矢量。对于连续的 y 柚哥m i l l s 场来说，其作用量为： = 丢p 4 章乃啄，气，】， 在四维离散时空中，y a n g m 川s 场的作用量用差分表示为； 2 詈善品 这里= 歹6 ，s 定义为一个方块的作用量： - - i 昂：( 1 一r e t r u p ) 而酢为链变量在其中一个( ，矿) 平面上绕一个格子的有序乘积： ( 露，矿) = ( i ) u f ( 舅+ 乃) u ：( i + 矿) u ；( 王) 连续的费米子作用量定义为： 品= p 4 面( i ) ( 以q + 膨) g ( 刁 这里，m 是费米子的裸质量。在离散的四维时空，同样用差分将& 表示为： 足= 妒( 工) 颤，吵( y ) r ，y 这里鸭，被定义为费米子矩阵： 14 墨，= 嘁。，+ 去以瓯，+ 4 一笾，i 】 二p = l 这里，作了一定的替换 y ( x ) 矿( 工) m 是格点中的费米子裸质量。这种有差分直接离散得到的费米予我们称之为n a i v e 费米子， 这种费米子表示存在所谓费米子加倍问题：由差分直接代替微分，从理论上来说，当差分的 格距趋近于连续极限时a - 90 ，格点中的表达式应该回归到连续极限的表达形式，但n a i v e 费米子在回归连续极限时却出现2 “种极限形式，从对称的角度来说，也就是相当于存在2 4 种不同的费米子，这个结果主要是由于离散后的四维空间变成了超立方晶格，破坏了原有空 间的对称性，并产生出了附加的点群对称性。显然。原始n a f v e 费米予方案是不能接受的。 为了解决费米子加倍问题，在实际的计算中，费米子作用量都被作了一定的修正，不同的修 正方式产生出了不同的费米子作用量，在实际数值模拟和理论计算中常用的费米子作用量一 般采用两种形式：w i l s o n 费米子和k o g u t - s u s s k i n d 费米子( i ( s ) ，我们简单说明一下两种费米 子的特点。 l 、w i l s o n 费米子作用量： 6 埘一l 仃。万 。乞寸 1 拍 蚪 酗 为了解决费米子加倍问题，将n a i v e 费米子改写为w i l s o n 费米子形式，w i l s o n 费米子作 用量为： $ = 即一m 7 ( x ) m v ( x ) 这里： 鸠，。= 【( 1 一以) u ，口瓯，+ j + ( 1 + 以) u 以，j 】 u 这里，当格距口 0 时，- - 0 ，w i l s o n 费米子作用将回归至连续极限的表达形式，解 决了费米子加倍的问题，满足味道数守恒。当裸质量m = 0 时，连续极限下的费米子作 用量满足手征对称性，但对于w i l s o n 费米子来说，因为，0 ，即使m = 0 ，w i l s o n 费米子也不满足手征对称性。 2 、k o g u t - s u s s k i n d 费米子( s t a g g e r e d 费米子) ： 对n a i v e 费米子，作局域化变换： 缈( i ) = r ( i ) z ( i ) 乒_ ( i ) = 孑( i ) r ( i ) r ( 贾) 是2 “2 x 2 “2 么正变换矩阵，通过选择适当的变换矩阵，可以将，矩阵对角化： t t ( 王) 儿r ( i ) = r 1 1 这里j 是单位矩阵，玑是c 数，变换矩阵取为； r ( 膏) = ，而，屯y 而- ，。p 1 则钆为： r , = ( 一1 ) + ”，r l = 1 费米子作用量可以改写为： s = 仉o ) 牙a ，z ( 曲+ 脚及班( 力 我们利用z o ) 去掉了费米子作用量中的，矩阵， n a i v e 费米子作用量重写为s t a g g e r e d 费米子作用量： s = 三荟( 科烈x ) z + 一孑( 工) z 一) 】+ m 莓孑( 工k ( x ) 通过这样的改写，对时空的每一个格点只保留了一个自由度费米子加倍的问题虽然没 7 有得到完全的解决，但比n a “o 费米子要好味道数为r = 2 “2 。但是。s t a g g e r e d 费 米子的优点是保持连续极限下费米子作用量的是手征对称性，这点对研究夸克等离子体 相变是非常方便的，这也是至今格点理论中关于q c d 相变问题基本上都是采用k s 费米 子的原因。 上面简要介绍了两种计算中常用费米子作用量，他们各有特点，在实际操作上，根据研究地 具体问题，可以采用相应的作用量形式。实际上，还有其他改进的作用量形式，如：c l o v e r 费米子，g i n s p a r g - w i l s o n 费米子等等。这些改进作用量相当与重整化理论中考虑更多的圈 图近似更逼近实际的物理过程，但往往带来计算量的指数增加，有些改进作用量至今都很 难实现实际的数值模拟。但这些改进作用量在克服格点中传统费米子作用量弊端上是很必要 的，而且这些实际的问题并不是不可以逾越的。现在已经有很多课题组开始进行这方面的研 究工作，如果手征问题、费米子加倍本题在实际计算中可以同时完美解决l g t 将更加显 示出无比的优越性和实用性。 8 1 3 有限温度、有限密度格点规范理论简介 在热力学中，巨正则配分函数表示为： z ( v ，r ) = t r ( e 一。一埘7 7 ) 霄是夸克数，是化学势，t 是温度。任意可观测力学量d 的统计平均值为： ( o ) = t r o e 羽棚”】 在规范场中，正则配分函数被表示成泛函积分的形式： z ：( ) 脚埘刃【d i 炒妣嵋，( 删：彳( ) ，：y ( ) )z = ( ) i 【吐4 】【d 妒】【d y p 。，( 一( o ) = 彳( ) ，( o ) = y ( ) ) 这里，、l g 和f 。分别是费米子、规范场、鬼粒子场的拉个朗日密度函数a 、y 分别是 规范场和费米子场。 对于格点规范理论，由于实际计算总是在有限空间进行，不存在规范场量子化过程中 出现的积分发散问题，所以可以不用考虑鬼粒子项，因而这里。正则配分函数可以改写为： z = ( ) “d u 】 d 刃【d 矿p 一+ s f ，( u ( o ) = u ( ) ，少( o ) = 妒( ) ) 其中，对于s u ( n ) 规范理论来说： = 7 ye g n ( 1 一- 专r e r r u ) 品2 车 死妒n + 盯善阮( 1 - l ) 虬一i 帆+ 一+ 死( 1 + 一) 虬”i _ + 椰呒( 1 一心) i + i + 死( 1 + n ) u , n - 4 ；l n 一4 】 = 币m l l ， 当考虑有限费米子密度的情况下在正则配分函数中要引入化学势。引入化学势的原则是在 连续极限下格点中的巨正则配分函数应该与连续空间中的巨正则表达相一致【1 7 】。在这个原 则f ，化学势的引入可以采用如下的方式 2 0 】： j 乩，4 = e a # “4 1 u t ：8 一o u u t 或 f 乩，4 = ( 1 + 日) u 4 1 u ! 。= ( 1 一口) u ： 9 在实际计算推导中，一般都采用第一种代换方式，在计算和推导时，指数形式比较容易处理。 利用，矩阵的特性，很容易证明，引入有限化学势后，以w i l s o n 费米子为例，费米子矩 阵为： 所以： 所以 螈， = 最，一匹【( 1 一巧) ，j 吒，j + ( 1 + 巧) u 二，瓦，口】 k l 一一) p ”以，。+ f 瓦，。盯+ ( 1 + ) 口一”u 。t 以，。一f 】 一心，。 = 壤，一r ，j ( 1 - y j ) u ，+ j 吒，+ ( 1 + 巧) 叱。矗，一口坎 ， 一矿r 【( 1 一y i ) e ”瓯州瓦”f + ( 1 + 以) p u 。t 。p ， y 5 瓯，。一茁【( 1 + 乃) u ，j 瓯，j + ( 1 r a v e _ ，氏，4 茁【( 1 + 一) p ”u ，。i 毛，。i + ( 1 一y t ) e 一。“u 二吒。- 】 ( ，j m ，肿如) = 玩。一r ( 1 + 巧) u j 。民，+ 7 + ( 1 一y j ) u 疋，p 】 ， r ( 1 + 五) p ”q 。磊。“+ ( 】一r a e 一”够。最。一，】 得： m = ( ，! m 儿) ，( = o ) m 驴j 砑扎) ，o ) 所以： d e t m 】= d e t m ，( = 0 ) d e t m 】d e t m ，o ) 由此得出结论，只有在。化学势时，费米子矩阵的行列式d e t m 才是实数，而一般情况下， d e tm 都是复数，因而指数因子e - i n ( 竿“”项不能再作为：l 甄率分布函数进行m 。n t ec w l o 重 点抽样模拟。直到现在，q c d 的精确模拟只能在淬火近似的情况下进行。 但如果这里令= i h ，肼为实数，则： ( r 鸩，以) 7 = 瓯，。一_ i r 【( 1 + 巧) 吃j 吒村+ ( 1 - r s ) u ，瓦，j 】 - x ( 1 + y , ) e - m u 。t ，瓯，f + ( 1 一只) p 蚋u 。露，j 则在任何情况下，d e t m 都是实数因而m o n t e c a r l o 都可以适用。 l o 第二章、l g t 的数值模拟 发展格点规范理论的出发点就是利用大规模的数值模拟计算来解决非微扰q c dl 司趣， 而用数值模拟q c d 的基本方法就是基于蒙特卡罗重点抽样方法。下面我们将简单讲述一下 蒙特卡罗方法以及我们在计算中具体使用到的m 和r 算法。 2 1 蒙特卡罗法( m o n t ec a r l o ) 前面我们已经说过，在规法场理论中，q c d 的巨配分函数表示为： z = 靠正 硐【f 妒 一( s ，+ 母( 1 4 8 ) 这里品，品分别是规范场、费米子场作用量( 在这里，我们忽略了鬼粒子项) ，分别为： 1 卢 s g ：2 鼍 a f s d 3 x f “r ；j v 1 卢 s f 2 专l n 。3 毋x t 7 ( y a + m 咖 如果只考虑纯规范场的作用则对于任意力学量d ，其期望值d 表示为： ( d ) = 在格点规范理论中，( o ) 改写为 ( 0 ) = d u d 刃【d 妒 6 p 一( 如( u ) + 母( 妒”) 丽面葫面茹丽 其中，u 是链变量。如果实际计算这样个积分，对于比较大的格点来说，将是非常巨大 的工作量，是否有行之有效的方法减少这样的运算量呢? 实际上q c d 的大部分组态的作用量都很大，从物理量期望值得表达式可以看出，这 些组态对积分的贡献极小，也就是说，实际计算过程中，只有极少数的作用量较小的组态对 实际的测量值贡献较大，由此，可以产生一种高效的计算方法：以玻尔兹曼函数局妒卜s ( u ) 】 为概率因子随机产生链变量并形成一系列的组态，这样任意力学量的平均值可以近似表示 为： ( 。) * 专冀。) ( 】，) 其中 【，) ( f = 1 , 2 ，n ) 表示组态的序号n 是总的组态数目t 产生组态的过程是马尔可夫 链。在格点规范理论中常用到两种方法：m e t r o p o l i s 方法和分子动力学方法，下面我们分别 介绍一下。 m e t r o p o l i s 方法最初是在1 9 5 3 年由m e t r o p o l i s 提出，这是一个高效的重点抽样算法，我 们用u o ) 规范场为例来说明m e t r o p l i s 方法。定义p ( c c ) 为由组态c 变化到c 。的概率， 对于c 组态，其链变量为乩( ) = p ，我们通过随机地给某条链变量乘以一个因子 口”，( 石 z 厅) 来产生一个新的组态c 。如果口一3 。 e - s ( “，就是说组态c 。地存在概率小于组态c ，我们就以概率 r ：竺罢昙接受组态c 1 。这样的过程不断的重复进行，最终系统会达到热力学平衡， r 。丽接受组态c 。这样的过程不断的重复进行，最终系统会达到热力学平衡， m e t r o p l i s 的次组态的变化满足细致平衡条件。 m e t r o p l i s 方法总得来说是高效、通用性强的m o n t ec a r l o 模拟方法，但它也存在一些缺 点，一是两个相邻组态之间的变化不能太大，否则，新组态被接受的概率极小，这样会造成 计算效率严重下降，但是两个组态之间如果变化太小，虽然接受效率很高，甚至与1 0 0 接 受，但组态之间会产生严重的关联，这样产生的m a r k o v 链遍历效果就会很差。所以，m e t r o p l i s 方法要求在模拟过程中要平衡计算效率和组态关联之间的矛盾。 分子动力学方法是从哈密顿正则方程出发，生成m a r k o v 链。在量子场论中，任意力学 量d 观察量表示为： ( d ) = z = 肛一卅 通过引入正则麸厄动量，我们可以将上式改造成经典热力学统计形式 = 臀 z = 【积! 协矿4 这里，疗是场量a 的共轭动量，则哈密顿函数h ( a ，石) 可以表示为 1 2 m a ，厅】= 确12 + s m ， 在热力学中如果系统达到了热力学平衡态，则物理量的热力学期望值可以用正则系宗分布 表示为： 。= 禚淼d e 6 ( h 筹( a 、7 凹。 i 【正4 】【d 丌】l ，石；) 一占弦吖 而在能量壳上的微正则系宗平均值可以表示为： j r d a i d x o ( a ) d ( h ( a ，弼) 一e ) 0 ) = ! 一 、7 “时。 i “】【d 石】占( 月( 4 ，厅；) 一e ) 在热力学统计理论e e ，在热力学极限下，正则系宗平均可以用微正则系宗延能量壳的平均代 替。 o h ( a ，石) a = - a 彳 ； o h ( a ，筇) 厅2 一面一 由于力学量只是j 义坐标a 的幽教，如果糸统辆足通力性假砹，则力字量别望值j 以裁不 为： ( o ) 。_ l i m ；r 出。( ( 4 ( r ) ) ) 这里， 4 ( ，) ) 表示由正则运动方程确定的轨迹 具体做法如下，如果将每条运动轨迹分为n 步，每一步时间间隔s ，将4 ( + 占) 和 以( r + 占) 展开至f ： 胁叫= 钟) + 占4 譬矗( r ) + 。( 占2 ) 【柏卅= 柏) + 占础) + 孚毒( f ) + 。( 占2 ) 这里的t 是分子动力学时间。相据哈密顿诈则运动方程可得： 由此得： 庐= 巧( r ) 一鼎 厅i = a s 抛( t ) ( ，) =一莩斋( f ) 竹叫训f ) + 占 高m 叫 卜十詈焉小小害蠢卜桶+ 0 ( 引 这个方法在使用时要满足一定得条件，主要有两条，一是满足热力学极限条件，而是遍 历性条件，但实际计算时往往两个条件都无法满足，所以，这个方法一般都是和其他方法结 合使用，如h y b r i d 算法。 1 4 2 2 m 和r 算法 巾和r 的出发点都是基于配分函数的路径积分表示，对于四个味道的q c d ： z = 弘u p - s a ( u ) d e t m f u ) = t d v l t d a , l 口一岛“+ 矿啪”扣犷。 = f d u f 驯冲 这里( u ) 是规范场作用量，( u ) 是加入费米子后的有效作用量，膨( u ) 是费米 子矩阵，中是引入的赝费米子矢量，为了避免费米子加倍问题巾只在偶格点上由定义。 这里我们具体以k o g u ts u s s k i n d 费米子为例，w ( u ) 表示为： m j ，( u ) = 2 m 4 ，+ 研，( q ，莓，一u ：，。4 ，) 1 接下来采用分子动力学方法确定规范场。 在积分过程中为保持链变量u 始终为s u ( 3 ) 群，规范场的演化可以表示为 u = h i ，p ” 这里譬p 是迹为零的厄密矩阵，矽对应于分子动力学中的规范场对时间的偏微分，而日 在这里相应于分子动力学中的正则动量的角色，这样在配分函数里我们可以引入辅助场h 将配分函数改写为： z = i d u d o a n l e - q ”2 + m = i d u d o i d h i e c 这里榭2 = ，j v 二，# 为哈密顿函数。从配分函数的表达可以看出，辅助场h 的对规范 ，u 场的关联函没有影响，规范场的关联函只是u 和中的函数。 可以在s u ( 3 ) 群中展开为： q 矿a o h t , ， 这里五是s u ( 3 ) 的生成元，满足正交归一，( 丸如) = 2 。鬈。是展开系数，实际计算时， 令够一为高斯形的复随机数，并满足 | 够，2 ) = 1 。赝费米子矢量国是由高斯形随机数矢量 r 构造出来的： 中= m ) r r 按概率e - r 8 产生，这样生成的巾e x p 一西( m 7 肘) 一o 】。下面看一下如何作 微正则积分 为了保证微正则积分是在能量壳上进行，由哈密顿函数f 得： 2 = j , t ，【鱼，嘭，+ 詈( 嘭，_ 一十吧口。) 卜 孙砌m 甓乳+ 筹吒m 州叫c 竹中 = 0 这里h c 为对叼，的偏导数，v j p 为与链变量u j p s t a p l e 的和。为了方便处理 赝费米子部分，定义投影算符： 鼻，= 石z ：z = ( m 7 m ) 一中 这样： 2 = j , p 州舅，q ，+ 鲁( q ，+ d 卜 萎即【埘仲q ，p m 瓦o m i + 坍仲u ，尬p 衾笔+ 日叫 = 0 由此得： 2 = ，【一。，( 岛，+ i 6 ，( ) 】= o 由于圩的迹为0 ，所以只要毫。，+ 喝，( u ) 是常数矩阵即可满足上式，由此得： 哆，= u ，【譬_ ，一2 ( 机，p j + a + g j - - + 口吨，弓+ 4 碱，) 】， 奇格点 疵，= u j 。，【譬巧，一2 ( 弓帆，一t ，一弓帆卜一，) 】， 偶格点 j vr “ 通过对【7 、疗积分，就可以在广义相空间得到系统的运动轨迹，同时积分是在能量壳上进 行的，不改变粤。实际操作时，积分操作表示成差分近似的形式 1 6 缸 伙 0 加j 1 冷争 州 =吐 岫 一 以 q 小 呻 秒j 郴 卜r 纵嘶 铆 卜 一2 甜 罅 以 q 利用上式，就可以构造出关于u 的马尔可夫链，a 具体过程如下 ( 1 ) ：产生高斯形随即矢量r ，生成赝费米子中： m = m + r 并计算微正则积分开始时的作用量s ( t ) 。 ( 2 ) ：计算u ( f + 昙，) ： u ( ，+ a f ) = e i ；岘q ：( ，) ( 3 ) ：产生矢量z ： z 5 鬲弼1 中 护丽摹而中 ( 4 ) ：计算h o + ，) 2 爿j ，o + a t ) ：h j ，( r ) + 矗j 。( f + 要，) ( 5 ) ：计算u ( t + a t ) ； 。，( ，+ f ) = e i ；岘一f ，o + 要f ) ( 6 ) ：重复2 - - 5 的步骤，直到完成步微正则积分。 ( 7 ) ：计算步微正则积分完成后的作用量s o + f ) ，在这里根据s ( ，) 和 s “+ n a t ) 作一次m e t r o p o l i s 判断，看是否接受新的组态。 上面简述中算法的原理和具体操作，这个方法有一定的局限性，对于k s 费米子，它只能计 算四个味道的q c d ，对于w i l s o n 费米子，它只能计算两个味道的q c d 。针对中算法的缺 点，由m 算法发展出了r 算法。 还是先考虑配分函数的表示，r 算法与巾算法由很多地方是相似的，我们先看一下k s 费米子的配分函数： z ：f 【d u 】【棚一【扣2 + 驯删d e t ( m m ) 了n f ：f d u d h e - i ；m 2 制卧；，1 n ( “啪 = f 战，】 册】g 一 这里，p 为哈密顿函数，费米子矩阵j j l 矿m 只在偶格点上定义，代表四个味道的费米子，所 1 7 以这里多出来了m 4 n ：子为了便于讨论，作等效代换 p _ 爿 g 斗u 则由哈密顿函数可以写出哈密顿正则运动方程： f 当= b 庇一杀卜c 。一等汕( 吖t ) 一掣+ 等加 赤者( 肘t m ) 和中算法类似定义投影算符： ：石z ：z = 击肘嘧= 而l r r 是由高斯形随机数构成的矢量。由此，则户可表示为： 沪掣+ 争毒( m 啊) z 利用差分表示将正则运动方程表示为： f 吼( f + 出) = g ( f ) + 镌o + 三，) + o ( a t 3 ) 卜，) - 聃) 础毒w + 扣+ o ( 甜3 ) 利用这个式子，就可以进行微正则积分构造出马尔可夫链。再利用与与m 算法相似推导可 以得到： q ，( + f ) = e 哟一q ，( r ) 爿j ，( f + f ) ：月j ，( f ) + 乌，o + 1 2 ，) 这里； 峨，= 旦3 ，巧，一三j ，【莓u 帆，弓+ 。+ 6 , j - - e u j ，。廿一。】 奇格点 峨，= 譬u ，巧，一吾，【e + 口一u ，t ，一弓晡u 。t 】 偶格点 o- pr 现在来计算u ( ，+ 出) 、h ( t + n a t ) 1 8 ：先计剿州三一争 呻+ ( 争f ) = e m 出翁一觯) r u j 。d ( 2 ) ：产生高斯形随即矢量r ，计算赝费米子矢量m ： 巾= m t ( ，+ 畦一争，r ( 3 ) ：计算u o + j 1 ，) ： ( r + 扣岸h 一嘣r + 哇一争出) ( 4 ) ：计算矢量z ： z 。而再1 巾 舻丽丐而石巾 ( 5 ) ：计算h ( t + a t ) ： _ ，( ，+ f ) = q ，( r ) + 岛，( r + 三f ) ( 6 ) ：重复如上步骤，直到完成n 步微正则积分。 由于r 算法每一步微正则积分都要生成新的随即场，所以，r 算法的微正则积分效果不如m 算法好，但是，r 算法可以计算不同味道甚至是不同质量的夸克的q c d 。 1 9 2 3 有限温度、有限密度格点q c d 的数值模拟 还是从配分函数出发，规范场的热力学正则配分函数表示为： z ：肛埘旷】【d 帅一脚( w f ) 一( j ，0 ) = 一( i ，) ，0 ) = 吵( i ，) ，欢i ，o ) = 旷 ，) 这里考虑到我们工作是格点规范理论，所以不再考虑鬼粒子场，为规范场的拉个朗日密 度函数，为费米子场的拉个朗日密度函数，= 西1 。在格点规范理论中，z 可以表示 为： z = 且d u d 旷】【d y 一岛u h 昂矿肌 u ( i ，o ) = u ( i ，芦) 矿( i ，o ) = 妒( i ，户) ，妖萱，o ) = 妒( 孑，) 这里，品是规范场作用量： 够，= 争莓( t j 1r e 打) & 为费米子作用量，前面已经讨论过，由于存在费米予加倍问题，格点理论中用到的费米 子作用量都是经过修改过的费米子作用量。实际使用中擐常使用的是s t a g g e r e d ( k s ) 费米 子和w i l s o n 费米子。当费米子的密度不为零时，即考虑费米子有限化学势的情形下，为了 满足在连续极限下回归到连续极限表示，通常是通过如下代换引入有限化学势： j 玑4 = p ”以，4 i 吧。= e u 二 而一般情况下，d c tm 都是复数，这造成传统的m o n t ec a r l o 重点抽样模拟无法进行。这个 问题一直困扰着格点规范界，直到现在，仍然没有完美的方法解决这个问题。不过针对高温 小化学势情形，现在己经发展出了两种比较成熟的近似方法解决有限温度、有限密度的格点 规范数值模拟问题：r e w e i g t i n g 方法【5 】和纯虚化学势方法【6 】。我们采用的是纯虚化学势的方 法研究费米子的相变问题。 纯虚化学势方法就是将化学势取为纯虚数斗讹，这样- 我们可以看到，引入纯虚 化学势只是相当于对规范场加入了一个u ( 1 ) 背景场，d e t m 依然是实数，常规的m o n t e c a r l o 方法依然适用在化学势不是太大得情况下，由纯虚化学势得测量结果可以理由t a y l o r 展开式外推到实化学势的结果。从而得到物理的结果，在下面的讨论中将加以阐明。 2 l 第三章数值模拟和分析 3 1w i l s o n 费米子的纯虚化学势的数值模拟 热力学系统得巨正则配分函数为： z = p 一( n - e c q ) 7 7 这里豌= p 妒d 3 x 是粒子数算符，是化学势。从配分函数可以看出，如果化学势取为纯 虚数 i t l ，则巨正则配分函数相对于化学势来说是周期为2 z t m 的周期函数： z ( 肼) = z ( 胁+ 2 石灯口) ，( k = o ，1 ，- 这意味着。对于纯虚化学势来说，q c d 具有z ( 3 ) 整体对称性。对于s u ( n ) 群来说，这个周 期为2 z t ( 虬) ，所以对于三种颜色的q c d 来说，严格的周期应该为2 z r t ( 3 虬) 7 】。 应该注意的是，物理的化学势总是实数，这种z ( 3 ) 整体对称性是由于引入纯虚化学势而引入 的附加对称性，因而是非物理的，这对实际的数值模拟有很大的影响，下面我们会加以说明。 先定义p o l y a k o v 圈： n t - i j p ( i ) = t r 1 1 u ( 动 t = o 在格点规范理论中，p o l y a k o v 圈是用来衡量夸克之间作用强度的尺度，被用来作为标度 q c d 去禁闭相变的序参量。下面再定义( 痧妒) ： ( 即) = 专f 【删w 】f 矿融峨倒 = 嘉 d u ( u ) ( d e t m ( 嗍 在q c d 理论中，( 庐妒) 也被成为手征凝聚密度，一般用作标度q c d 手征对称相变的序参量。 在下面的讨论中，我们主要利用这两种序参量来定量的研究q c d 的相变问题。 上面我们已经说过。当化学势为纯虚数时，q c d 具有整体z ( 3 ) 对称性。r o b e r g e 和 w e i s s 研究了带有费米子的s u ( n ) 规范理论的相变问题【7 】，他们发现，配分函数具有z ( n ) 整体对称性，这种对称性类似于纯规范场所具有的整体z ( n ) 对称性他们发现，当温度大 于某个临界温度毫时，p o l y a k o v 圈在参数目= 肼t 为2 x ( k + l 2 ) n ，( = 0 ，l ，) 时出现 不连续的尖峰，这意味在疋温度以上，q c d 随化学势的变化存在着一级相变而在瑶温度 一下，不存在着相变，这个一级相变就是z ( n ) 相变对于q c d 来说，就是2 ( 3 ) 相变 他们给出的相变图如图一。 剖一 我们来看下对z ( 3 ) 相变的特点。于p o l y a k o v 圈，引入纯虚化学势后，定义辅助变量 三( i ，所) ： 上( i ，) = p ( i ) p 坩， 这里，口= m 4 所。等，r = 。志a 令： p ) = i p ( i ) 1 8 币。 妒就是p o l y a k o v 圈的相位。对于纯规范理论，只有在去禁闭相p o l y a k o v 圈的平均值才不 为零。其中心对称是自发破缺的： ( ) = 2 k n 3 ，后= 一1 ，0 ，1 ， 而在禁闭相，p o l y a k o v 圈是中心对称的，且为零。 当考虑到虚电子圈对q c d 的影响，在作用量中引入费米子矩阵后： ( i ，朋) = i p ( i ) p 一“， 费米子矩阵对p o l y a l ( o v 圈的影响类似于引入了一个固定的外场，并破坏了巨正贝配分函数 的z ( 3 ) 对称性，使得p o l y a k o v 圈恢复中心对称性( ) = o ，而在高温下，z ( 3 ) 对称性退化- ( ) = o 。如果肛0 ，在作用量中实际上添加到费米子矩阵中的附加项为 上( i ，肼) = f p ( i ) i 8 咿这时- 在低温相，费米子矩阵破坏z ( 3 ) 相变使得 = o 所以， = 一口：而在高温项。z ( 3 ) 对称性退化都是一样的，所以。 = 0 。从上面 的讨论可以看出我们可以采用p o l y a k o v 圈的相位作为z ( 3 ) 相变的序参量。 后来的研究结果与r o b e r g e 和w e i s s 的结果并不完全相符。根据p i s a r s k i 和w i l c z e k 的 讨论【8 】，在零化学势时对于一个味道的q c d ，不存在手征相变，对于两个味道的o c d ， 存在手征相变的可能，而对于三个味道以上的q c d ，存在着一级手征相变。对q c d 的m c 模拟研究也说明【4 6 】，当温度大于某个温度t 小于时，q c d 存在着手征相变。已有的研 究都说明。r o b e r g e 和w e i s s 的相变图应该修正为图二的形式。 t 荡 t c 图二 在护= 2 万( 1 j + 争，时出现的尖峰是z ( ) 相变，而处于两个尖峰之间的曲线为手征相交 点。 我们采用的m c 模拟方法是r 算法，采用了8 3 4 格点，味道数为4 ，微正则步长为 断= 0 0 2 ，r 为o 1 5 ，每个组态作2 0 步微正则积分，每2 0 个组态保留一个有效组态。我 们采用的源代码是由m i l c 修改厉得到的【9 】。 过去对k s 费米子的研究说明，当味道数为4 时，q c d 的手征相变是一级相变。所以， 在( 所，) 参数空间上，通过观察物理量的突变，这里主要是澳。璧p 。l y a k o v 旷y ) ，就 应该可以大概确定相变点。为了更精确地确定相变点，我们同时还采用了测量物理量的置信 度来确定相变点地位置。在这里，对于任意的力学量0 ： 拈亩莩矧 置信度定义为；： 筋= 眦( d 一( d ) ) 2 在相变点附近，物理量的涨落相对于其他情形表现出非常明显的起伏，因而置信度z 在相 变点一般达到一个峰值1 名。，通过寻找z 。可以更确切的确定相变点的位置，另外，通 过置信度是否出现峰值也是用来确定相变发生的一个判据。 对于不同的参数，我们测量了p o l y a k o v 圈随虚化学势m 的变化曲线，结果如图三， 图三 ( 乒v ) 随虚化学势所的变化曲线结果如图四。 2 5 1 1 3 6 1 1 2 4 j 1 1 2 0 0 0 0 2 0 4 0 60 81 0 、 a p , i 图四 从图三、四可以看出，p o l y a k o v 圈和( 乒妒) 随着虚化学势的变化具有近似的周期性，周期 大概为丌，6 。当所= ( k + l f 2 ) n - 6 时，当声较大时，p o l y a k o v 圈和( 渺) 都同时出现了 不连续的变化。这些点对应着z ( 3 ) 相变点，而临界值尻“5 2 5 。 为了在( 鸽，刃参数平面上确定q c d 的相变曲线，我们测量了在不同参数所时 p o l y a k o v 圈和( 即) 随参数卢变化的曲线。图五为( 卿) 的结果： 图五 2 6 艘 髂 ” 荸 我们可以看到，随着参数逐渐增加，( 驴妒) 连续地减小，当接近石6 时，也就是接 近z ( 3 ) 相变点时，( 痧妒) 在拐点处地变化逐渐陡峭，由连续变化向不连续变化转