（理论物理专业论文）应用路径积分方法研究一维系统的格林函数.pdf

摘要 在现代物理学中，半经典近似方法有着广泛的应用。其中，w k b 方法和路径积分 方法是两个非常成功的方法。w k b 方法很好的处理了势垒贯穿和求解束缚态能级等问 题，而路径积分方法则建立起了标准的量子力学的另一个完全等价的版本。一些文献讨论 了w k b 方法和路径积分方法的等价性，得到了求解作为坐标和时间域的传播子的傅立叶 变换的坐标和能量空间的格林函数的一套规则。 利用这套规则，我们研究了谐振子，双势阱和脉冲型势垒的透射这三种量子力学中典 型问题的格林函数。在前两种情况下，我们利用求得的格林函数，并结合在量子混沌研究 中有广泛应用的迹公式，研究了这两种情形下体系的态密度。在脉冲型势垒的透射问题 中，我们利用前面提到的求解体系格林函数的规则，得到了脉冲性势垒的透射系数，数值 分析表明与用标准的量子力学方法得到的结果相一致。 关键词：半经典方法，w k b 方法，路径积分，格林函数，迹公式。 a b s t r a c t s e m i c l a s s i c a la p p r o x i m a t i o nh a sc o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o n si nm o d e r np a y s i c s a m o n g t h e s ea p p r o a c h e s ，w k bm e t h o da n dp a t hi n t e g r a la p p r o a c ha r es u c c e s s f u lm e t h o d s w k b m e t h o di ss u c c e s s f u li nd e a l i n gw i t ht h ep r o b l e mo fb a r r i e rp e n e t r a t i o n ，e v a l u a t i n gb o u n d s t a t ee n e r g i e s p a t hi n t e g r a la p p r o a c hi sa n o t h e rv e r s i o no fq u a n t u mm e c h a n i c se q u i v a l e n t t ot h es t a n d a r ds c h e m e i ns o m el i t e r a t u r e s ，a n o t h e re q u i v a l e n c eb e t w e e nt h ew k bm e t h o d a n dt h ep a t hi n t e g r a la p p r o a c hh a sb e e nd i s c u s s e d ，as e to fr u l e so fc o n s t r u c t i n gs e m i c l a s s i c a l g r e e nf u n c t i o n sw i t hr e s p e c tt o t h ep o s i t i o na n de n e r g yw h i c h i st h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o no f t h es e m i c l a s s i c a lp a t hi n t e g r a lp r o p a g a t o rw i t hr e s p e c tt op o s i t i o na n dt i m ew a se s t a b l i s h e d w ea p p l yt h e s es e to fr u l e st os t u d yt h r e ek i n do ft y p i c a lq u a n t u mp r o b l e m si n c l u d i n g h a r m o n i co s c i l l a t o r ，d o u b l ew e l lp o t e n t i a la n di m p u l s eb a r r i e rp e n e t r a t i o n i nt h eh a r m o n i c o s c i l l a t o ra n dd o u b l ew e l lp o t e n t i a le a s e s ，w es t u d yt h ed e n s i t yo fs t a t e so f ，t h e s et w oc a s e s a l o n gw i t ht h et r a c ef o r m u l aw h i c hh a se x t e n s i v ea p p l i c a t i o n si nt h es t u d yo fq u a n t u m c h a o s i nt h ei m p u l s eb a r r i e rp e n e t r a t i o np r o b l e m ，w eu s et h es e to fr u l e so fc o n s t r u c t i n g t h es e m i c l a s s i c a lg r e e nf u n c t i o nt oo b t a i nt h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tw h i c hi si d e n t i c a lt o t h er e s u l t se v a l u a t e dv i as t a n d a r dm e t h o d s k e yw o r d s ：s e m i c l a s s i c a la p p r o a c h ，w k bm e t h o d ，p a t hi n t e g r a l ，g r e e nf u n c t i o n ，t r a c e f o r m u l a 果。 学位论文独创性声明 本人郑重声明： l 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 y 9 8 1 1 5 4 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意。 作者签名：缢兰蝗 日期；竺! 鱼：墨! 墅 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解 密后适用本规定。 作者签名：王垒兰塑玺 日期：兰! 至：! 竺： a p p l i c a t i o n so fp a t hi n t e g r a li nt h es t u d yo ft h eg r e e nf u n c t i o no fo n ed i m e n s i o n a ls y s t e m c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i nq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h en u m b e ro fp r o b l e m sw h i c hc a r lb ee x a c t l ys o l v e di sq u i t el i m - i t e d t h e r e f o r e ，an u m b e ro fa p p r o x i m a t i o na p p r o a c h e sa r ed e v e l o p e dt oh a n d l es i t u a t i o n s s u c ha sa t o m i c sa n dm o l e c u l a rs p e c t r a ，v a r i o u sm o l e c u l a rr e a r r a n g e m e n t s ，o n ed i m e n s i o n a l s o l i ds t a t es t r u c t u r e sa l o n gar e a c t i o nc o o r d i n a t el e a d i n gt od i s s o c i a t i o n ，q u a n t u mt r a n s p o r t i nt h es o l i ds t a t ea n di no p t i c a ll a t t i c e s ，n u c l e a ra n de l e m e n t a r yp a r t i c l er e s o n s i c e s ，q u a n - t u r nt u n n e l l i n gp h e n o m e n a ，a n dq u a n t u mc h a o s f o ri n s t a n c e ，as p e c i f i cm o d e l ，u s i n gs q u a r e w e l l s ，h a sb e e ni n v o k e db yf a i s te ta l 1 f o rt h ea n a l y s i so fc o n t r o l ，b yt u n n e l l i n g ，o fi n t e r - f e r e n c ei no p t i c a la b s o r p t i o ni nq u a n t u mw e l l s a m o n gt h e s ea p p r o a c h e s ，w k b ( w e n t z e l - k r a m e r s b r i l l o u i n ) m e t h o d 2 】【3 】 4 1 ，o rs e m i c l a s s i c a lm e t h o d ，o b t a i n e dg r e a ts u c c e s s ，e s p e - c i a l l yi nd e a l i n gw i t hq u a n t u mt u n n e l l i n gp r o b l e m sa n de s t i m a t i o no nb o u n ds t a t e se n e r 西e s 【5 】【6 】 a n o t h e re x t r a o r d i n a r yi m p o r t a n tv e r s i o no fs e m i c l a s s i c a ls c h e m ew h i c hi sa l s ot h eb a s i c o fm o d e r np h y s i c si sp a t hi n t e g r a la p p r o a c h f e y n m a ns u g g e s t e dt h ep a t hi n t e g r a ll a s t c e n t u r y 【7 】【8 】a n dt h es c h e m eh a sf o r m e da n e wv e r s i o no fp e r s p e c t i v eo fq u a n t u mm e c h a n i c s a n dw i t ht h ed e v e l o p m e n to fq u a n t u mf i e l dt h e o r y , t h ep a t hi n t e g r a lh a sb e e no fe s p e c i a l l y i m p o r t a n c ei nm o d e r np h y s i c s f e y n m a na n dh i b b si n t e r p r e t e dt h ep a t hi n t e g r a la p p r o a c h i nt h ec l a s s i c a lb o o kf 9 】 i nf a c t ，t h e s et w oa p p r o x i m a t i o n st ot h ef o r m a ls c h r o d i n g e re q u a t i o nh a v ei n t r i n s i c r e l a t i o n s h i p s o m el i t e r a t u r e sd i s c u s s e dt h er e l a t i o n s h i pq u i t ee l a b o r a t e l ya n do b t a i n e d s o m es u g g e s t i v ea c h i e v e m e n t s ，s u c ha ss e r i a lp a p e r sw r i t t e nb yh o l s t e i na n ds w i f t 1 0 【1 1 ， d o u v r o p o u l o sa n dn i c o l a i d e s1 1 2 j 13 】t h e s ep a p e r ss h o wt h a tw k b m e t h o da r ee q u i v a l e n t t op a t hi n t e g r a la p p r o a c hi nc o m p u t a t i o no fp r o p a g a t o ro fo n ed i m e n s i o n a lq u a n t u ms y s t e m 1 a p p l i c a t i o n so fp a t hi n t e g r a li nt h es t u d yo ft h eg r e e nf u n c t i o no fo n ed i m e n s i o n a ls y s t e m o nt h eo t h e rh a n d ，i nd e a l i n gw i t ht h ep r o b l e m so fb a r r i e rp e n e t r a t i o n ，i ti si n e v i t a b l e t oa p p l yt h en o n t r i v i a lw k bc o n n e c t i o nf o r m u l a e s i n c et h ew k bm e t h o di se q u i v a l e n tt o t h ep a t hi n t e g r a la p p r o a c h ，i t sn a t u r a lf o ru st ot h i n ko fa p p l y i n gt h ep a t hi n t e g r a lt ot h e b a r r i e rp e n e t r a t i o np r o b l e mt oa v o i dt h ea p p l i c a t i o no fc o n n e c t i o nf o r m u l a e b u td i f f i c u l t i e s a r em e th e r e ，f o ri nt h ep r o b l e m so fb a r r i e rp e n e t r a t i o n ，t h e r e sn oc l a s s i c a lp a t h sc o n n e c t i n g p o i n t so no p p o s i t es i d e so fab a r r i e r ，w h i l et h ec l a s s i c a lp a t h si sr e l e v a n ti nt h ec o n s t r u c t i o n o f p a t hi n t e g r a lp r o p a g a t o r 【1 1 】【1 4 】t 0s o l v et h ep r o b l e m ，c o m p l e xt i m em u s tb ei n t r o d u c e d t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n to b t a i n e dv i ap a t hi n t e g r a ls h o u l db ea g r e e a b l ew i t ht h er e s u l t sv i a t h ew k bm e t h o d m e a n w h i l e ，p a t hi n t e g r a lp r o p a g a t o ri sa c t u a l l yt h eg r e e nf u n c t i o no faq u a n t u ms y s t e m g r e e nf u n c t i o nh a sa p p l i c a t i o n si ne x t e n s i v ea r r a n g eo ff i e l d s g u t z w i l l e rd i s c u s s e dt h eg r e e n f u n c t i o ni nt h el i t e r a t u r e s 1 5 】【1 6 l i t e r a t u r e s 【17 】【1 8 】 1 9 【2 0 】【2 1 】 2 2 a x ea l s od e d i c a t e di nt h et h ed i s c u s s i o no nt h e f o u n d a t i o n sa n dm e t h o d o l o g yo ft h es e m i c l a s s i c a la p p r o a c h i np r e s e n tw o r k ，w ew i l la p p l yt h es e m i c l a s s i c a lp a t hi n t e g r a la p p r o x i m a t i o n si no n e d i m e n s i o n a ls y s t e ma l o n gw i t ht h et r a c ef o r m u l a ，a n dd i s c u s ss o m et y p i c a lc a s e si nq u a n t u m m e c h a n i c sw ea t t e m p tt oo b t a i nt h ed e n s i t yo fs t a t e sn u m e r i c a l l yv i at h et r a c ef o r m u l a a l o n gw i t ht h eg r e e nf u n c t i o no ft h es y s t e mt oa v o i dt h ea p p l i c a t i o no ft h ew k bc o n n e c t i o n f o r m u l a e i nt h ep r o b l e mo fb a r r i e rp e n e t r a t i o n ，w et r yt oc a l c u l a t et h et r a n s m i t t e da m p l i - 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p r o x i m a t et os t a n d a r ds c h r s d i n g e re q u a t i o nw h i