（理论物理专业论文）扩展三态potts模型相变性质的研究.pdf

摘要 三态p o r t s 模型与许多具有超导超流相的物质属于同一普适类，所以有关其和变性 质的研究有着重要的意义，因而受到了物理学界的广泛关注。虽然| 三| 前人们对铁磁= 态 p o t t s 模型有了较深入的研究，对反铁磁三态p o t t s 模型的相变问题有了一些了解。但在 浚领域仍然存在一些有争议和有待于进一步了解的问题，如反铁磁三态p o t t s 模型的相 变类型的确定；系统由反铁磁态向铁磁态过渡时，在相空间是否存在三重相变点的问题， 以及三重相变点的l 临界性质等等，需要我们作更深入的研究。 本文用m o n t e rc a r l o 方法，应用标度理论，对三角形格点上的扩展三念p o t t s 模型 的相变性质及由反铁磁态向铁磁态的转变过程进行了研究。给出了该模型在三维空间中 的相图；计算了该模型由反铁磁惫向铁磁态变化的过程中相变潜热的变化，我们的研究 表明反铁磁三态p o r s 模型的有序到无序的转变为一级相变。系统在由反铁磁态沿一特 定路径向铁磁态转变的过程中相空间( 00 2 5 ，2 9 7 5 ) 处存在一个三重相变点；我们计算 了该三重相变点系统的部分临界指数，其结果为： i o 8 5 o 0 6 ，口= 0 1 1 00 4 ，这些结果对深入了解三角形格点上的三态p o n s 模型的 相变性质，进而对超流超导问题的研究有着重要的意义。 关键词：m o n t e ( r 如方法；扩展三态p o 甜模型 三重相变点；临界指数。 a b s t r a c t 。i 。h r e e s t a t ep o r t sm o d e lh a sb e e ng r e a ti n t e r e s t i n gt ot h et h e o r e t i c a lp h y s i c i s t s a si t b e l o n g st ot h es a r r t eu n i v e r s a lc l a s sw i t haf e wk i n d so f m a t e r i a lw i t hs u p e r c o n d u c t i v i t yo r s u p e r f l u i d i t y i ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yi t st r a n s i t i o n a lp r o p e r t yo ft h r e e s t a t ep o t t sm o d e l a l t h o u g hp e o p l eh a v eg o tc o m p a r a t i v e l yag o o dk n o w l e d g ea b o u tt h ep h a s et r a n s i t i o n a l p r o p e r t y t h e f e r r o m a g n e t i c t h r e e - - s t a t ep o r t s m o d e l ，a n d k n e ws o m et h i n ga b o u tt h e a n t i f e r r o m a g n e t i co n e s h o w e v e r , t h e r ea r es t i l lm a n yi n c o n s i s t e n tr e s u l t sa n dp r o b l e m sh a v e n o tb e e ns o l v e d y e t i n t h i sa r e a ，s u c h a st h e i d e n t i 句i n g t h et r a n s i t i o nc l a s so ft h e a n t i f e r r o m a g n e t i ct h r e e 。s t a t ep o r t sm o d e l ；t h es e a r c h i n gf o rt h et r i c r i t i c a lp o i n t sb e t w e e n t h e f i r s tm a ds e c o n do r d e rt r a n s i t i o n ，f i n d i n gt h ec r i t i c a lb e h a v i o ro f 廿l et r i c r i t i c a lp o i n t se t c o n w h i c hw o r t hu st om a k e d e e ps t u d y , i nt h i sa r t i c l ew eu s em o m ec a r l om e t h o ds t u d yt h et r a n s i t i o n a lp r o p e r t yo fe x t e n d e d t h r e e - s t a t ep o t t sa n dt h ep r o c e s so fc h a n g i n gf r o mt h ea n t i f e r r o m a g n e t i ct h r e e s t a t ep o t t s m o d e lt ot h em o d e lo n t r i a n g l el a t t i c ea n d t h ef e r r o m a g n e t i co n e ，a c c o r d i n gt os c a l i n gt h e o r y w eh a v eo b t a i n e dt h et h r e ed i m e n s i o n a lp h a s ed i a g r a mf o rt h i ss y s t e m ；a n dw ef i n dt h a tt h e t h e r ei sat r i c r i t i c a lp o i n tb e t w e e nt h ef i r s ta n ds e c o n do r d e rt r a n s i t i o na r e aa l o n g as p e c i a l l i n ea t ( o ，0 2 5 ，2 9 7 5 ) i nt h ep h a s es p a c e ，t h ec r i t i c a le x p o n e n t sa tt h i st r i c r i t i c a lp o i n th a v ea l s o b e e nc a l c u l a t e d t h er e s u ki st h a tv = 0 ，8 5 0 0 6 ，= 0 11 0 0 4 t h e s er e s u l t s a r e s i g n i f i c a n tf o rt h ef u r t h e rs t u d yo f t h et r a n s i t i o np r o p e r t yo ft h et h r e e s t a t ep o r t sm o d e lo n t r i a n g l el a t t i c ea sw e l l a sf o rt h es t u d yo f t h em a t e r i a lw i t hs u p e r f i u i d i t yo rs u p e r c o n d u c t i v i t y k e y w o r d s ：m o n t ec a r l om e t h o d ； t r i c r i t i c a lp o i n t ； i i e x t e n d e dt h r e e s t a t ep o t t s m o d e l ； c r i t i c a le x p o n e n t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：互! 叠l i l 日期：丛：1 2 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：互! 亟遮指导教师签名 日 期：d 生6 ： 一期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 电话： 邮编： 编虼 堑璺7 i 引言 传统的物理学分为理论物理与实验物理两大分支，理论物理是从一系列基本原理 出发，如各种运动定律、守恒定律、各种物质间的相互作用原理等，列出数学方程( 较 多的是微分方程，此外，也有积分方程和代数方程等) ，并用传统的数学分析方法求出 显式的解析解；然后，利用这些解析解所得的结论与实验观测的结果相比较，解释物 理现象，预见运动的发展，指导具体实践。实验物理则是从实验观测出发，发现新的 物理现象，为理论物理提供新的物理规律的素材，检验理论物理的假设或理论的f 确 程度和适用范围等。这两大分支相辅相成地推动着物理科学的蓬勃发展。 然而，随着实验与理论的不断发展，人们研究问题的不断广泛与深入，事情变得 越来越复杂，实验与理论遇到越来越多的各自难以克服的困难，而且无论是理论物理 还是实验物理，都离不开大量的数值计算，二十世纪四 + 年代初，由于战争的需要而 发展起来的核武器研制工作，美国科学家们研究的由流体动力学过程、核反应过程、 中子输运过程、辐射输运过程和物态变化过程等交织在一起的系列问题，涉及的都 是十分复杂的非线性方程组，用传统的解析方法求解是根本不可能的，这需要在短时 间内进行大量复杂的数值计算，而且实验条件越来越苛刻，费用越来越昂贵，比如建 造一座大型粒子加速器是要由国家而不是某一个团体或组织消耗巨额资金就能完成 的。另外，实验得到的信息也经常带有很多缺陷。实验受到众多因素的限制，被研究 的体系总是处在众多因素的共同作用之下，实验所得数据研究是体系真实性质的反应 还是一些我们未加控制的因素或杂质所引起的综合现象有时甚至无法确定。人们很难 在真f 意义上单独改变某一条件来考察其对体系的影响。对于理论，除了面临越来越 多抽象的数学推导方面的困难外，即使对于人们已经获得的众多的方式，除了在少数 很特殊的情况下，人们很难精确求解。而对于像大分子这样存在众多关联和复杂相互 作用的多体体系，就连建立方程本身都比较困难，这样计算机的应用便提上日程。 尤其在电子计算机技术的飞速发展和新技术革命的不断深入的今天，计算机已广 泛地应用于自然科学研究的各个领域和工程技术的各个部门，且越来越多显示出它的 重要作用，人们已经把电子计算机当作一种计算工具，并应用各种数学方法来解决物 理问题。所以从原则上说，凡是局部瞬时的物理规律为已知，或已被作为假设，就可 以研究大范围的长时间的物理现象，具体地说，大范围的数据靠计算机的大存贮量来 记录，瞬时过程积累为长期过程靠计算机的高速运算来模拟，这样人们便可以从已知 或已被假设的局部瞬时的物理规律，得出大范围长时间物理现象的变化过程。以流体 力学( 包括空气动力学、气象学、海洋学等) 为例，牵涉到的局部瞬时的物理规律是 质量守恒、能量守恒、动量守恒以及物质状态方程( 压强、温度和密度的关系) ，这些 局部瞬时的物理规律都是己知的，但由于初始条件和边界条件的不同，情形干变万化， 这组偏微分方程的定解问题是无穷无尽的，但这些问题从理论上是可以利用电子计算 机来求解的，气象部门必须大量的应用大型快速计算机j 能解决这些问题。许多其它 重大科技问题都是综合性很强的课题，例如天体物理学、受控核聚变与等离予体物理 等都牵涉到许多物理过程，包括流体运动、粒子输运、热传导、核反应、电磁效应、 重力影响等等。但只要局部瞬时的物理规律已知，极其复杂的过程也可以利用大型快 速计算机来进行过程模拟，并求出大范围长时间的发展过程。在天体力学方面，天体 力学的基础是牛顿万有引力定律和牛顿第二定律，这些都是已经知道的局部瞬时的规 律，在这个基础上便可以用计算物理学的方法来解决三体问题和其他的天体力学的问 题，我们看到人类已经到达月球并返回地球，太阳系中行星探测器的运动则是利用太 阳系中太阳及大行星的引力场的变化柬设计探测器的轨道。流体力学中的三个守恒规 律：能量守恒、质量守恒、动量守恒，再加上一定的初值和边值条件，便可以进行计 算。 计算机在物理学各个领域中的应用极大地推进了物理理论的发展，其重要意义已 经肯定它作为扩展理论、突破解析方法限制的一种职能手段，f 在被越来越多的物 理学家所认识。事实上当代的理论研究已从解析解的阶段自然地进入到数值解的基本 阶段。因为研究的体系变得复杂时，大规模的计算就成为必不可少的了。尽管属于物 理领域的学科很多，复杂体系所表现出的复杂性亦有不同，但在方法、需要和计算目 的性等方面，却有着许多共同的特征。计算机模拟在科学研究上已经具有了与理论和 实验同等重要的地位，成为了研究自然界的第三种有效方法，并在很多领域取得了熏 大的成就。 第一章绪论 l 一1论文的选题背景及意义 p o t t s 模型包含着丰富的物理内容。例如，对于q 态p o t t s 模型，当q 为偶数的时 候可映射为s p i n - 1 2 ( q + 1 ) i s i n g 模型；q 为奇数时，可映射为s p i n 一 1 2 ( q 1 ) ) i s i n g 模 型，这些模型的研究对超导超流等问题的研究有着重要的意义。而d o m a n y 等人的工 作发现二维格点上的p o t t s 模型可以有直接的物理实现【l 】。因此对p o t t s 模型，特别是 对其相变性质的研究有着重要的意义。第一个对q = 3 情况下的p o t t s 模型进行深入研究 的是s t r a l e y 和f i s h e r 2 1 ，他们用系列分析的方法对p o t t s 的相变问题进行了研究。而后 人们又采用了一系列的系列分析方法和重正化群的方法研究了这一问题，但这些方法 不能给出关于p o t t s 模型的临界性质的一致结论。b o x t e r 的工作【3 】表明对于二维p o t t s 模型在q 4 时的相变是一级的，而在q 4 时为连续相变。没有一种系列展开方法或 重正化群技术能表明这种从一级相变到连续相变的转变。1 9 8 0 年，对三态p o r t s 模型 的研究取得了一些迸展：b a x t e r 研究了硬六焦格点气模型【4 j ，发现其相变是连续的， 而这一模型被认为与铁磁性三态p o t t s 模型属于同一普适类。后来e n t i n g 5 1 的工作证实 了对于纯两格点相互作用的铁磁性三态p o t t s 模型与硬六角模型有相同的临界指数。 至于更加复杂的反铁磁体的p o r t s 模型，目前有关其相变性质的研究所得到的结论 就更少了。一些研究 “卅表明，对于f 方形格点的p o t t s 模型，在q 3 时没有相变。 因此人们对三角形格点上的三态p o r t s 模型的研究产生了极大的兴趣。s c h i c k 和 g r i f f i t h s 用重正化群的方法对这问题进行了研究。他们工作表明该模型存在反铁磁有 序相，其相变为连续的。他们还发现在有限温度下，存在铁磁性和反铁磁性两相的共存 态。这种共存线以二重相变点为端点。e m i n g 和采用封闭的三态p o r t s 模型对上述 问题进行了研究，发现了在共存线上存在一级相变，这意味着在铁磁相附近存在着由一 级相变过渡到二级相变的三重相变点 8 。因此，对反铁磁三态p o t t s 模型相变性质的研 究以及对三重相变点的确定，成为了令人关注的问题。 在文献中l a v i s 等，用低温系列方法对三角形格点e 的扩展三态p o r t s 模型【1 1 1 进行了研究，其结果与s e h i c k 和g r i f f i t h s 的结论相一致，即反铁磁模型的有序无序相 变为二级相变。而最近的一些关于这种模型的m o n t ec a r l o 研究预言了该模型存在反铁 磁的一级相变，并在铁磁区内存在三重相变点【1 2 1 。但并没有给出有关该问题的完整清晰 的图像。因此这些问题仍需要我们作深入的研究。 l 一2 论文的主要研究内容 本文用m o n t e rc a r l o 方法，应用标度理论对三角形格点上的扩展三态p o t t s 模型的 3 相变性质及由反铁磁态向铁磁态的转变过程进行了研究。( 1 ) 给出了该模型在三维空间 中的相图；( 2 ) 对该模型由反铁磁态向铁磁态的变化过程进行了研究；( 3 ) 找到了由一 级相变转变为二级相变的一个三重相变点；( 4 ) 计算了三重相变点系统的部分临界指数。 这些结果对深入了解三角形格点上的三态p o r t s 模型的相交性质，进而对超流超导问题 的研究有着重要的意义。 4 第二章相变理论 2 1 相变理论的发展概况 近年来，连续相变的理论有了很大的进展，这里说的连续相变是指- 类以卜的相 变和一类相变线的结束点i 临界点，长期以来，这类现象是用平均场理论来描述的， 然而二维晶格统计模型的严格解和三维基数展开解给出与平均场理论不一致的结果， 人们开始对平均场理论的正确性提出了怀疑。 传统的解决相变理论的方法都是通过计算配分函数，进而求出一些相关的热力学 量和临界点附近的性质，直到五十和六十年代，由于实验技术的发展，陆续积累了不 少有关临界现象的实验资料，发现平均场理论的预言有很多的不足之处，从而建立了 l 临界现象的重正化群理论，尽管重正化群理论为凝聚态物理的发展打开了新的一页， 但是还不够理想，还需要进一步的完善。对于临界现象的研究大体可以分为如下几个 阶段：1 8 6 9 年安住撕引进了临界点这名词到1 9 4 4 年是临界现象研究的第一阶段，范 德瓦尔斯应用分子动力理论讨论了气液两相转变和临界点问题，麦克斯韦随即对这理 论提出了等面积法则，1 8 9 5 年居里指出了铁磁相变与气液相变的相似性，外斯于 1 9 0 7 年提出了顺磁铁磁相变的分子场理论，1 9 2 8 年g o r s k y 首先引入有序度概念， 1 9 3 4 年和1 9 3 5 年不喇格和威廉斯分别提出了长程序概念，1 9 3 9 年c e m u s e h i 和e y r i n g 讨论了晶格气体模型，朗道又提出了二级相交理论：1 9 4 4 年昂萨格关于二维伊辛模型 的严格解，揭开了人们研究相变的第二阶段，向第一阶段的所有相变理论提出严重批 评，在相变点，比热不是不连续，而是对数发散；直到六十年代的第三阶段，威东理 论揭开了重f 化群方法发展的序幕。 相变理论的进一步发展和生产生活中的应用使相变临界点的性质得到进一步的研 究和探索，不断的应用到超导超流现象中。自从1 9 1 1 年o n n e s 首先发现h g 在4 2 k 附近电阻突然消失以来，开拓了一个新的超导物理领域，直到5 0 年代，超导只是作为 探索自然界存在的现象和规律在研究，1 9 5 7 年b c s 理论的建立揭示了漫长时期不清楚 的超导起因，1 9 5 4 年m a t t h i a s 发现了超导化合物，1 9 6 1 年又有人制成了高场磁体，将 超导应用推广到一个崭新的领域。到八十年代中期，高临界温度氧化合物超导体被发 现以来，将相变理论应用到了高温超导超流现象中。液氮温区超导体，甚至室温超导 体，早己被人们作为梦想提出来，高临界温度氧化合物超导体的发现，是二十世纪科 学技术发展史上的一个新的里程碑，它对超导电性研究领域，凝聚态物理，以至整个 物理学和其他相关学科，高新技术的发展已经并正在继续产生着深远的影响，近几年 来随着国内外的计算物理的兴起，人们开始把计算物理方法应用到解决临界现象问题 上来，用蒙特卡洛方法对临界性质进行研究，极大的推动了凝聚态物理的发展，蒙特 卡洛方法在凝聚态物理上的应用，为凝聚态物理实验上不能验证的结论提供了重要的 5 科学依据，做了必要的补充和验证，使相变理论更加完善。 2 2 相变的分类 相变是自然界中广泛存在的一类突变现象，例如固相、液相和气相之间的转变( 包 括固相不同晶格结构之间的同素异晶转变) 存在相变潜热l = 丁( j ( ”一s ) 和体积突变 d = u ”一u ”，而且可能出现亚稳态。自然界还存在另一类相变，在转变时既无相变 潜热又无体积突变。例如液气通过临界点的转变、铁磁顺磁的转变、合会的有序 无序转变、液h ei 和液h ei i 的转变、零磁场下金属超导状态和正常状态的转变，等 等。根据热力学理论可以把相变分成不同的类( 或级) ，它是按照化学势( 也可以用自 由能f 或吉布斯函数g ) 在相变点的行为来划分的。 根据化学势及其偏导数的连续或者突变可以将相变进行如f 的划分：在相变点两 相的化学势连续，但化学势的一级偏导数存在突变： 1 t o ) ( 丁，p ) = 2 ( 2 ) ( r ，p ) 鲨望鲨笙 即即 印印 称之为一级帽变，一级相变的显著特征是伴随有潜热的吸收或放出，并有体积变化， 在相变点两相可以共存，而且一级相变中存在稳定平衡态和亚稳定平衡态，自然界中 存在很多一级相变盼1 4 1 5 】。 如果在相变点两相的化学势和化学势的一级偏导数连续，但化学势的二：级偏导数 存在突变，称为二级相变，二级相变的特征是没有相变潜热和比容突变，但是二级相 变时体系的对称性发生突变，例如单轴各向异性铁磁体，在相变点( 居里温度) 以e 是顺磁相，没有自发磁化，从而自旋方向向上或向下是对称的，在居里温度以下是铁 磁相，自发磁化或者向上，或者向下，于是破坏了上下的对称性，把这种对称性突然 减少的现象叫对称性破缺，二级相变中没有两相共存，相变点函数二级微商不连续表 现出存在某种奇异行为，这种奇异行为用热力学量描绘就是某些热力学量( 如比热、 磁化率等) 在相变点趋于无穷，并且不存在亚稳态。由于 旷r 。一喙 1r a u 、1a 2 “ d l a 丁。do 丁印 。，：一上f 丝1 _ 一三塑 q 2 一i l 虿j ，2 一i 百；r 所以定压膨胀系数和等温压缩系数存在突变，根据二级相变在临近的两个点( r ，p ) 和 6 ( t + d t ，p + 印) 两相的比熵和比容变化相等，既：d s ( 1 ) = d s ( “，d o ( 1 ) = d o ( ”，可以得出 二级相变点压强随温度的变化遵循下面规律： 勿一口( ”一盯( 1 ) 面一 万 鱼：芝j 二趟 d t t u ( 口忙一”) 这就是爱伦费斯特方程。二级相变现象普遍存在于人们的 生产和生活当中，如气液通过临界点的相变、液4 h e 横过名 * 韶) ， 线相变、铁磁体的顺磁铁磁相变( 磁场b = 0 时) 、超 导相变( b = 0 ) 、二元溶液相变以及合金的有序无序 相变等等都属于二级相变，所以对二级相变的深入研究对 人类是非常有益的。 如果在相变点两相的化学势和化学势的一级、二 级、直到”一1 级的偏导数连续，但化学势的”级偏导 数存在突变，则称为n 级相变。人们习惯上把二级以一l 的 相变通称为连续相变。在连续相变中，不但t 、p 、s 、u 2 3 临界现象和临界指数 连续相变的相变点也称为临界点，其温度以r 表示，从图l 可以看出，与一级相 变刁i 同，连续相变在相变点的每一侧，只有一个相能够存在，不允许两相共存和哑稳 态的存在，在i 临界点附近表现出一系列特殊的性质，如前面提出的热力学量趋于无穷， 并有很强的涨落和关联等，这种现象称为临界现象，也可以说临界现象是指物质在连 续相变临界点邻域的热力学行为，在连续相变临界点的邻域，与化学势二级导数相应 的热容量、等温压缩系数、磁化率等表现出某种非解析特性，这些热力学量往往表示 成幂函数的形式，其幂次( 负幂次) 称为临界指数，临界指数一般是非整数。 以铁磁体为例m ，为了描述序参量随温度的变化，引用了临界指数声，因为当丁接 近r 时，m 与r r 的关系可以表示成如下的形式： l 和 1 j 印万 一 = 述描图如的续连是电 。 ， 性 、 特 型 、 典 p 的 且 中 而 变 ， 耕 的 续 续 连 连 在 是1 ， 点 强一玎 熊滢 相 一 鲥 了 m 仃，0 ) - 也一7 ) 4( t 呻t 一0 ) 就是一个临界指数： 同理，为了描述序参量随磁场的变化： m 占 p ：瓦) ， d 就是另一个临界指数： 类似的还有描述零场磁化率随温度变化的临界指数y ；比热随温度变化的临界指 数口；序参量涨落的临界指数r ；以及描述关联长度的临界指数v 。 后来人们发现这些临界指数之间存在某种关系，从而用热力学理论导出了这些关 系，称为标度律。最初发现了r u s h b r o o k e 标度律和w i d o m 标度律，它们分别为： a + 2 + y = 2 y = p 一1 ) 但这些只给出我们四个临界指数之间的关系，为了得到临界指数，y 与其它临界指数 之间的关系，考察了关联函数和关联长度，得出： y = 1 ，( 2 一叮) 把，l ，联系起来了，称为f i s h e r 标度律。后来k a d a n o f f 提出了标度变换的概念，根 据标度变换的理论，导出了j o s e p h s o n 标度律： v d = 2 一口 对于均匀系统，选择l 、t 为变量，自由能可以表示为： f ( l ，r ) = f 2 ”“f ( 趔7 0 这里，t = ( t 一瓦) 正，磁化强度、磁化系数以及比热可以表示成如f 的标度形式： m = l - n m 。( 趔“)z = f “z 。( f 已“)c = u “c 。( 趟”) 令变量x = 橱“，其中m o ) 、矿( x ) 和c o ) 是标度函数。只有在足够大尺度下的临界 n n 9 4 , 寸j 丘_ ，有限尺度的标度理论才有效；在相变点，标度函数m o ( 0 ) 、矿( o ) 和c 。( 0 ) 为 比例常数，因此： m 1 2 # v z e i 、 c 口i v 我们就可以精确地估计出临界指数了。 2 4 序参量和普适性 一、序参量 为了对连续相变进行理论分析，1 9 3 7 年朗道提出了序参量的概念，认为连续相变的 特征是物质有序程度的改变及与之相伴随的物质对称性质的变化，通常在临界温度以下 的相，对称性较低，有序度较高，序参量非零；i 强界温度以上的相，对称性较高，有序 度较低，序参量为零，随着温度的降低，序参量在临界点连续地从零变到非零。 对铁磁体，序参量是磁化强度，微观上对应的量是自旋，这时序参量维数n 就是白 旋矢量的分量数目。例如，对单轴各向异性铁磁体，自旋取向只能沿着一个方向( 正或 负) ，相应有行= l ；平面各向异性铁磁体，自旋可取平面内的各个方向，故 = 2 ；多数铁 磁体自旋可取三维空间的各个方向，有”= 3 。与这三种情况相应的理论模型分别为i s i n g 模型，x y 模型和海森伯模型，普通流体( 气液相变) 的序参量是两相密度差，这是 只有大小的一个量，相应于n = l 的情形，又如二元溶液，合金有序一无序相变也属于n = 1 。 液4 h e 与超导，其序参量是复数，有实部和虚部，相当于 = 2 。 二、普适性 表1 是几种材料的l 临界指数实验值，从表中可以看出，某些物理上不同的体系，它 们的临界指数十分接近，尽管它们属于不同的晶体结构，或不同的相互作用，这表明， 对于临界行为，某些共性起主导作用，而代表特殊物质特殊相变的一些差别似乎不起作 用，六十年代后期，在总结实验的基础上，提出了普适性假设：只有两个量决定体系的 临界行为，即空间维数d 和序参量维数n ，具有相同的d 和行的体系属于同一个普适类， 它们有相同的临界指数，亦有相同的临界行为。普适类由d 和n 两个量决定，而与晶格 常数、对称性、互作用性质和力程长短等因素无关。 表1 临界点材料 口 8 ，j卵 铁磁 f eo 1 60 3 4l _ 3 3o 0 7 反铁磁r b m n f 3 o 1 60 3 1 61 3 9 70 0 6 7 气一液c 0 2 o 1 2 50 3 4 4 71 2 04 2 二元溶液 c c l 4 - c 7 f 1 4 0 3 3 51 _ 24 二元合金 c o - z n0 3 0 51 2 5 普适性假设毕竟是根据一定范围的实验结果总结概括而提出的，理论上也有一定的 论证，但仍有不少问题有待进一步研究和解决。 9 2 - - 5 磁介质的临界现象 一、物质磁性的分类 磁性是物质的基本属性之一，外磁场发生改变时，系统的能量也随之改变，这时就 表现出系统的宏观磁性，从微观的角度来看，物质中带电粒子的运动形成了物质的原磁 矩，当这些磁矩取向为有序时，便形成了物质的磁性。物质的磁性可以分为弱磁性和强 磁性两大类。 弱磁性只有在具有外磁场的情况下，才能表现出来，并随着磁场增大而增强，按照 磁化方向与磁场的异同，弱磁性又可分为抗磁性和顺磁性，前者起因于电磁感应，后者 则由于原磁矩在外磁场下的取向，抗磁性的磁化率z 是负的，其数值在1 0 1 0 。2 之间， 比起铁磁性来，它们的磁性要弱得多。 强磁性主要表现为在无外加磁场时仍存在自发磁化，它的另一个重要特点是存在一 个临界温度，即居里点。根据自发磁化方式的不同，强磁性可以分为铁磁性、反铁磁性、 亚铁磁性和螺磁性等。铁磁性和反铁磁性物质的原子磁矩在空间的取向，都遵循长程有 序的规律，通称之为磁有序( 或磁序) ，这种原子磁矩取向在空问的周期性可以用中子 衍射技术显示出来，与x 光衍射技术对晶格结构所给出的结果一样，因而人们把这种磁 有序叫做磁结构，铁磁性材料有好几种类型的磁结构。 二、铁磁性 对于铁磁系统，铁磁物质在外磁场为零时，物质的磁化强度不为零，称为自发磁化 强度，自发磁化强度m 是温度r 的函数，随温度的升高而减小，以矸，表示铁磁顺磁转变 的临界温度( 也称为居里温度) ，以下物质处在铁磁状态，若温度高于咒，铁磁性消失， 转变成顺磁性，热扰动能破坏了分子场对原子磁矩有序取向的作用，铁磁性消失的温度 就是居罩温度n ，这时热扰动能完全破坏了自发磁化，铁磁物质内的原子磁矩从有序排 列变成紊乱分布，自发磁化强度为零，物质转变为顺磁状态，顺磁状态没有自发磁化， 但在外磁场的作用下可以发生磁化。 铁磁系统在临界点的邻域内，存在以下的实验规律： ( 1 ) 我们以f = 三三生表示温度与临界温度差的对比值，当温度趋于临界温度的 c 左邻域时，自发磁化强度随一f 的变化遵从以下规律： m o c ( _ f ) 9 ，f - + - o 临界指数的实验值在o 3 0 0 3 6 之间。在临界温度以上，m = o ； 1 0 ( 2 ) 铁磁物质的零场磁化率z = ( 詈 ，在f 斗0 时是发散的，z 随r 的变化规律 为： zo c t ，f 斗+ o zo c ( - f 厂，f 一0 临界指数，和，的实验值约为1 3 ，两式的比例系数是不同的； ( 3 ) 在，- 0 和十分弱的磁场下，磁化强度卅与外加磁场h 的关系为： mo c h 6 临界指数占的实验值约为6 万4 ； ( 4 ) 在f j - + 0 时，铁磁物质的零场比热容= o ) 遵从以下规律： o ，t 0 ( _ f ) - d ，t t ) ，体系无白发 磁化，m ( t ，b = 0 ) = 0 ，即处于顺磁相；而当温度低于临界温度时p t ) ，体系有自发 磁化，m ( t ，0 ) 0 ，此时体系处于铁磁相，当温度从r 疋逐渐升高到t 时，m ( t ，0 ) 由 不等于o 的有限值连续地变为0 ，所以把m 称为铁磁体的序参量。 第三章几种自旋模型 3 1 o ( n ) 模型 d ( 糟) 模型 19 】的配分函数可以定义如下： 毛( 卢) = e x p ( - f l h ) ， 其中： 巩= 一t ，o - 。一；q = ( 一”，一“，可”1 ) ；i o i i = 1 。 这里卢= i k b t 是温度的倒数，d 维立方格点v = 驴的每个位置上的自旋为口，符号 表示对所有的最近邻格点对求和。 每个格点上的内部能量为8 = e v ，其中： e = 一1 d l n 矿z s ( 峨) ， 比热为： c k 2 丽d e = 眯咖一 岭2 ) y 磁场强度和磁化系数通常定义如下： = m 矿= ；0 a ，= o t v z = 卢矿( 一 2 ) 对于有限体积内，高温状态下磁化强度消失，磁化系数可以定义下： z 。= y 在o ( n ) 模型中，n = l 时为i s i n g 模型，我们将在下一节作详细介绍。 n = 2 时为船7 模型。此时，自旋限制在平面上，自旋算符s ，只有两个分量，这样的 模型称为船型。哈密顿量为： h = 一，s ，s ， ( p ) 二维册7 模型，物理实现有液4 h e 膜；三维x y 模型的例子有平面各向异性铁磁体。 13 在d ( ) 模型中，n = 3 时为h e i s e n b e r g 模型，| j i 面提到的自旋变量墨是定义在格点 上的单位矢量，一般有三个分量，最早是由h e i s e n b e r g 提出以描述铁磁性，这就是 h e i s e n b e r g 模型。哈密顿量的形式和x y 模型的形式是一样的： h = 一l ，s ，s ， ( f ) h e i s e n b e r g 的物理实现有三维空间各向同性的铁磁体等。 3 - 2 i s i n g 模型 i s i n g 模型是最简单的非平庸统计物理模型，它是由德国物理学家伦鲤在二十年代 提出的。i s i n g 模型的雏形来源于伦兹向他的学生伊辛建议研究铁磁性的一个简单原子 模型，现称i s i n g 模型。 伊辛当时只能在一维下求解，证明了在一维下这一模型不存在相变，1 9 3 6 年，佩 尔斯论证了二维i s i n g 模型有自发磁化，后来人们知道i s i n g 模型就是铁磁体的一种最 简单的理论模型，昂萨格( o n s a g e r ) 于1 9 4 4 年做出了零场下这一模型在二维空间的 严格解并计算了它的相变温度、比热在相变点的行为等热力学量；杨振宁在1 9 5 2 年 解出了外场很小时二维空间的i s i n g 模型，求出了序参量的临界行为。i s i n g 模型可 近似的描述单轴各向异性铁磁体，而且稍加改变，就可以描述反铁磁体、气液相 变、二元溶液相变以及合金的有序无序相变等。 设有n 个自旋，处于晶格格点位置上，每个自旋只能取向上或向下两个态，并只 考虑近邻自旋之间的相互作用，这样的自旋系统称为i s i n g 模型，其哈密顿量为： 日= 一，o 一b s ( 们 z = l 其中s ，代表第i 个格点位置的自旋变量，s ，取值为+ 1 或一1 ，分别对应于自旋向上或向 表示一切可能的近邻对( 扩) 求和，为与交换积分成正比的耦合常数，b 外场。 所对应的正则配分函数为： g 仃，四) = e “”一 5 l = 1 15 2 ；l5 n = l ：yp “b 7 商 其中代表对一切可能的自旋态矗j 求和，总态数为2 ”。这样就可以根据下列热力 “ 学的公式求出r a 由能、内能、比热等一系列物理量的值： f ( t ，b ) = 一七。t n q ( t ，占l u 却，班刍 若 则称自发磁化。 c 。= 券= 刁筹， m = 圆一篆 m ( r ，b = o ) 0 3 - 3p o t t s 模型 p o r s 模型是r b p o n s 在1 9 5 2 年提出的。假设模型有n 个格点位置，分别标 上1 ，2 ，n ，每个位置f 和一个自旋量q 相对应，q 可以有g 个取值，分别为1 , 2 ，q ， 两个相邻的自旋盯，和盯，相互作用的能量为：一j 8 ，这里 f 1 ，：r r 屯2 o盯盯 其哈密顿量为： h = 一j q w7 如当q 为偶数的时候可映射为s p i n 一 1 2 ( q + 1 ) ，i s i n g 模型；q 为奇数时，可映射为 s p i n 一 1 2 ( q 一1 ) ) i s i n g 模型，这些模型的研究对超导超流等问题的研究有着重要的意义。 三念p o r s 模型的哈密顿量为： = 一， t 0 时，为铁磁体模 型，各个自旋倾向于同方向排列，j _ ) 就可以实现按照f 则分布抽样，式中p ( x ) 为所要达到的分布，此处为正则分布， 这一 式子义称为细致平衡条件。 三、随机变量及其分布 随机变量( 以下用f 表示) 可分为两类，一类是离散型随机变量，它口。以取一系列分 立值一，x 2 ，矗，其对应的取某一值的几率为# ，最，只，p 称为善的几率分布； 另一类是连续型随机变量，f 可连续取值，设孝在区间 墨x + d x 】内取值的几率为 p ( x f x + d x ) ，令 ( x ) = 腮坐鼍型 ( x ) 称为f 的几率分布密度，而善处于区间【a , b 】内的几率由下式给出 p ( 口f 0 ，有 熙尸 h 二l 。 f ( 小m = 加强的大数定理 尸 熙去享他p = 这个定理表明，只要样本足够大，就可以任意趋近想要的积分值。 ( 2 ) 中心极限定理 令 盯2 = & ( ，( x ) 一，) 2 = e ，2 ( x ) ( x ) 出一2 是s ( x 1 的方差，则满足 尸牌玳) 一十爿= 压e 坤( 。，z + 。( 晰) 对于给定的置信区间，误差界与仃成正比，与n 的平方根成反比。 蒙特卡洛方法精度的概念也不是通常意义下的收敛于真值，而是在某一置信度，或 者某一概率下收敛于真值。也就是说，精度是带有随机性的，我们只能知道多大的可能 性具有某一精度，而不能认准一定具有某一精度。 4 2 几种典型的m o n t ec a r l o 算法 典型的m o n t ec a r l o 算法有： m e t r o p o l i s 算法、c l u s t e r 算法、微正则系综蒙特卡洛 方法、等温等压系综蒙特卡洛方法等等。 “一、m e t r o p o l i s 算法 1 9 5 3 年n i c h o l a sm e t r o p o l i s ，ar o s e n b l u t h ，mr o s e n b l u t h ，at e l l e rm a det e l l e r 正 式提出了m e t r o p o l i s 算法。又称正则分布的抽样算法。 这种方法首要的任务是选择一个满足细致平衡条件的转移几率：考虑从r 态到s 态 的转移，若二状态的能量差为 d h ；h ( 砖) 一l - i ( x , ) c o ( x ， _ ) ( t 呻_ ) e x p 一膨h 当年m e 唧n s 选择：x r _ x s ) = 唧7 删荔： 目前常用的另一种选择是： 叱j x s ) = 扣柚降 珊的选择并不唯一，只要满足细致平衡条件的要求即可，但不同的收敛速度往往差别 很大。 具体的计算步骤可以归纳如下： ( 1 ) 规定一个初始状态x ( 2 ) 产生一个新状态x ( 3 ) 计算能量变化h ( 4 ) 若a h 0 ，接受新状态并回到第2 步 ( 5 ) 计算e x p ( 一a h t c 口t 1 ( 6 ) 产生一个随机数r o ，1 1 ( 7 ) 若r e x p ( 一a h c 。t ) ，接受新状态并回到第2 步 ( 8 ) 否则，保留原状态作为新状态并回到第2 步。 由于每次只对一个自旋进行翻转，所以在远离i 临界点时，系统很快地向平衡弛豫， 接近临界点时，弛豫慢下来，很难迅速达到平衡，出现了临界慢化问题。 二、c l u s t e r 算法 为了解决l 临界慢化，在c l u s t e r 算法中采用了每次对多个格点进行翻转，加快了系 统趋向平衡的速度。 对于任意一个i s i n g 模型，如图3 所示： ( 1 )以概率p f 仃1 。蔷屯对模型上的各个格点赋初值， ( 2 ) 如果两个相邻格点的白旋值相等，即0 i = 盯，以几率p = 1 一e “在两点间画 键， ( 3 ) 抹掉图中各个格点上所标记的自旋值，用连续的键相连的所有格点组成 个集幽，单个的格点也看成一个集团，这样每个集团中的所有点具有相同的自旋值， ( 4 ) 随机的给每个集团重新赋值， ( 5 ) 擦掉图中的键，完成了一个蒙特卡洛步。 + 4 - _ _ 幸 _ * 毋。争| 胄 - + _ + 一謦曩簪专 一 幸 丰。毫母 - _ 一_ 专 _ 专专 - 1 翌? 0 ：丑 + 专警 - 专 2 0 ；二量 _ 。_ 争簪t - -_ +十 一， 争争_ _ - 暑 母薯一v + _ 蔓 曩 争卡一 卡一母番_ 4 - 串丰+鼍+ - * t 一 4 5 图3研簋法中，秉兢的初态为l ，经过射自旋集 团进行翻转，系毫充状态变为新的状态5 ，这样就完成了一个 黄特卡洛步。 三