（应用数学专业论文）sobolev空间hs（r）中框架和标准正交小波基的若干结果.pdf

摘要 本学位论文由五节组成第一节回顾了l 2 ( r ) 上框架和小波的相关知识以及它 们的发展状况；第二节呈现出与本文相关的已知结果和一些准备工作。第三节至第 五节是本学位论文的主要内容第三节证明：由有限个非零函数的纯平移组成的函 数族不能构成空问h 8 ( r ) ( s 0 ) 上的框架；第四节给出了h 5 ( r ) 0 0 ) 上由函数整 平移组成框架序列的若干结果；第五节建立了h 8 ( r ) 0 0 ) 上标准正交小波基的特 征刻画 关键词：s o b o l e v 空间；框架序列；b e u r l i n g 密度；标准正交小波基 a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ff i v es e c t i o n st h eh i s t o r yo ft h er e l a t e dk n o w l e d g eo n f r a m ea n dw a v e l e ti n l 2 ( r ) i sp r e s e n t e di ns e c t i o n1 s o m er e s u l t sa n dp r e p a r i n g w o r k sa r el i s t e di ns e c t i o n2 7 f h em a j o l c o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ei n c l u d e di n s e c t i o n3t o5 i nd e t a i l ，w ew i l l p j o v ei n s e c t i o n3t h a tn oc o l l e c t i o no fp u r e t r a n s l a t i o n sc & uf o r maf r a m ef o r 日8 ( 月) ( s o ) ；s o m er e s u l t sa b o u tf l a m es e q u e n c e o ft r a n s l a t i o nw i l lb e g i v e ni ns e c t i o n4 ；c h a r a c t e r i z a t i o no fa no r t h o n o r m a lw a v e l e t b a s i si nh 5 0 r 1s 0 i se 吼a b l i s h e di nl a s ts e c t i o n i k e y w o r d s ：s o b o l e vs p a c e ；f l a m es e q u e n c e s ；b e u r l i n gd e n s i t y ；o r t h o n o r m a lw a v e l e t b a s e s i i 1 引言 帅十主警 序列的另一等价条件，即 定理11 设妒( r ) ，d 0 如果人cz ，则 妒 ，心构成l 2 ( r ) 的框 架序列当且仅当存在正常数a ，b 使得 a d ( f ，e a ) 2 ；f 0 1 i 他 吲) 必冬b 忖酽，砜， 其中 西。( f ) = lp ( 生毒旦) j 2 ，风= 丽 一2 e ：n a ) ， z ” e a = ，h a ：圣b ( ) ，嬉) = 0 ，ne r ) 由此等价条件推导出2 ( 固中框架序列的若干结果本文的主要内容之 一就是在h 8 ( 月) ( s 0 ) 上讨论类似问题，它将包含在第3 和第4 节中 长期以来，人们对小波理论的研究主要集中在l p ( r ) ( p 1 ) 中，而在 s o b o l e v 空间中的讨论则相对较少，见文1 4 】，f 5 ，1 7 】，f 8 j ，由于s o b o l e v 空间 的范数是平移不变( 但却不是伸缩不变) 的，从而注定在文【9 1 中给出的 三2 ( 月) 函数成为三2 ( r ) 上标准正交小波的充要条件，即 f 驴( ) f 2 = 1 ， a e r ； 3 e z p ( 2 ) p ( 2 j ( + 2 m 丌) ) = 0 ，a , e r ，m 2 z + 1 ， j = u 不能平凡推广到丑8 ( 兄) 上为了解决了s o b o l e v 空间的不利因素，在文 4 中，f b a s t i n 和p l a u b i n 把多尺度分析的概念引入s o b o l e v 空间设 巧h e z 是日8 ( r ) 空间中的一列闭子空间如果下列条件成立： ( 4 1 ) 巧 巧十1 ，、由z i ( a 2 ) ( 屿e z v ) = h 5 ( r ) ； ( a 3 ) n e z k = 0 ) 的标准正交小波族( 定义见第五节) 的充 要条件，它将包含在第5 节中 3 2准备知识 设h 为可分的h i l b e r t ，a i ；q ，赋予内积 ，a 为可数指标集如果 存在正常数a ，8 使得 a | | ，。旷l ( ，。，t 。) 1 2 口l | ，旷， v f h ，( 21 ) t l a 则称序列f 厶 。垦h 为h 的框架，其中a ，b 分别称为序列( 厶 。e n 的 下、上框架界，二者不唯一，下框架界的上确界和上框架界的下确界又 称为最优框架界框架具有基的某些作用，即对任意，h ，f 都可以表 示成框架元素的线性组合，但表示不唯一对于框架f 厶) ，框架算子定义 为 s ：h 斗日，s f = 厶 显然对任意的f h 有 _ ，= s s f = 厶， 并易知 厶) 在打中是完全的，即，硒蕊 ，n ) = h 如果 厶) 是印丽协) h 的框架，则称 ，n 是一个框架序列；如果 厶) 在蕊科厶) h 中无冗余，则 称 ) 为e x a c t 框架序列，即，存在正常数a ，b 使得对任意的 ) 巴。( a ) 满足 a i 钿| 2 剑c 。厶1 1 2 茎b ic 礼j 2 ， ( 2 2 ) n e a 其中g 。( a ) 是有限非零序列空间，且g 。( a ) cf 2 ( a ) ， 定理2 1 设( 。a 为中的序列，则以下几条等价； ( a ) 厶) 。n 为h 的框架，框架界是a ，b ( 6 ) 存在有界算子v ：h 一1 2 ( a ) ，v f = ) 。 满足 a f f ，1 1 2s | | y ，| | 2 茎b i if1 1 2 ，v f h ( c ) 存在有界满射算子t ：2 ( a ) 一h ，t e 。= 厶满足 a j 1 n 1 j 2 s i | 丁o1 j 2 sb1 1 n1 1 2 ， o ( k e r t ) 上， 其中k ) 。为l 。( a ) 的典则标准正交基 ( d ) 存在有界满射算子t ：f 2 ( a ) 一h ，t e 。= ，n 满足 a d ( a ，口t ) 2 ； t a1 1 2 bl 。旷，v a z 2 ( a ) 详细证明参见文献1 1 0 ，f 13 1 定理2 2 在定理2 1 的条件下有 ( n ) s = 丁矿= r r 。，其中p 是t 的有界线性自伴算子 ( 6 ) 厶) 。n 是以a ，b 为界的框架序列当且仅当线性映射t 丁e 。= 厶可以延拓为f 2 ( a ) 上的有界算子并满足 a l l 1 1 2 s l it a1 1 2 曼bl la | 1 2 ， a ( k e r t ) 1 特别地，( 矗 是e x a c t 框架序列当且仅当t 是1 1 的 定义函数，己2 ( 矗) 的f o u r i e r 变换歹( ) = ，( z ) 8 一打2 d x 引进平移算子 g 。( a ) 一日 ( 2 3 ) 取定z r ， 7 ：l 2 ( 尺) + 三2 ( 兄) ，( ，) ( y ) = f ( y z ) v y r 由于本文主要在s o b o l e v 空间上讨论，所以给出相关知识如下： 设s 0 ，s o b o l e v 空间h 5 ( 兄) 定义为： h 8 ( r ) = ，( 一) ：，( ) l 2 ( r ) ，l lf i f 。) o ) 的框架令r c r ，规定t ( g ，r ) = o ) 如果它满足框架不等式( 2 1 ) 式的左 不等式，则称它在空间h s ( r ) 上具有下框架界；同样，如果它满足框架 不等式( 2 1 ) 式的右不等式，则称它在空间伊( 且) 上具有上框架界 取f n k ，cr ，其中，为指标集，r 中的元素可以重复 定义3 2 设r = 饥) ：ic r ( 1 ) 如果j = 贼ir i r 5j 0 ，称r 是6 一致可分的，并称6 为可分常数 ( 2 ) 如果r 可以写成有限个一致可分序列n 的并，则称r 是相对一致可 分的；确切地说，存在，的一个剖分 ，使得每一个序列n = n ) 为氓一致可分的，其中颤 0 定义3 3 设f n ) 倒cr v h 0 ，令y + ( 7 t ) 和y 一( f * ) 分别表示r 落在 任何形如仉( z ) = ( z i h ，z + ) 的区间中点的最大与最小个数即 y + ( ) 2 甚纷4 ( r n q h 扛) ) ，y 一( ) 2 1 醛h ( r n q ) ) 其中h ( 4 ) 表示集合a 中点的个数r 的上b e u r | i n g 密度和下b e u r l i n g 密 度分别定义为 d + ( r ) _ 1 翟恕掣，d - ( 卟l h i m i n ，+ c o f 掣h h 一+ o 。 n 如果d + ( 1 1 ) = d 一( f ) ，则称r 具有b e u r l i n g 密度d ( r ) = d + ( r ) = d 一( r ) 引理3 4 设r = n ) 刚cr 则以下三条等价： ( 1 ) d + ( r ) 0 ( 或v h 0 ) ，j z + ，使得区间q ( n ) 至多含有帆个r 中 的点，即， v k = s u p4 ( r n q ( 站 ) ) o ) ，f cr 如果t ( g ，r ) 在h 8 ( r ) 空间上具 有上框架界，则r 是相对一致可分的 证明：( 反证法) 假设r 1 不是相对一致可分的取f 日8 ( 兄) 并使其满 足| _ f 忆) = 1 和 s g f ( a ) ：= 、( 1 + 汀瓜) 硒g ”4 = ( 。) 0 因为，0 且在r 上连续，所以存在常数c ， ( ，l o ) 使得 胪。蒜，) is ，( ) i o 选取n 0 ，则由引理3 4 知，必存在区间q ( ，它至少包含n 个r 的 点然而，如果n 钒( p ) ，则。一p + ce 仉( c ) 于是 蕃ll 1 2 甜) l ( s ) 1 2n w i ( 。) | 2 a r n q n ( p ) = i ( s ) 2 一p + c r n q h ( c ) = l 最f ( a p + c ) 1 2 n p + c e f n q h ( c ) 卢2 = 肛2i i 勺一。川轧 由n 的任意性知t ( g ，r ) 无上框架界，这与条件矛盾，从而命题成立 注：假设咙：，t ( g k ，r b ) ( r n ，ncr ) 在h 8 ( r ) 空间上具有上框架界， 则由定理3 5 知，每个n 是相对一致可分的故而r = u r n 是有限个相 对一致可分点列的并，当然也是相对一致可分的，从而d + ( r ) o ) 其中n 两两互不相交，f ：u r r 。如果u z ：。t ( 肌，r k ) 在h 5 ( r ) ( s o ) 空间中有下 框架界，则d + ( f ) = o o 证明：( 反证法) 设d + ( r ) o 。由引理3 4 知r 以及i m k = 1 ，r ) 都是 相对一致可分的，从而对任意的k ，n 可以写成有限个一致可分点列的 并，不妨记为a 蛳j = 1 ，_ m ，其中o 是可分的定义6 = m i n 誓) ， 取h ：0 t t d ，令q = q ( o ) ，可知区间 q + n ) 。e 。，是互不相交的定义 b k j = u 。b ( q + a ) 取：0 e o ) 中不存在由有限个函数平移构成的框架 这是定理35 和定理36 的直接结果 9 4 平移框架 设妒h 5 ( r ) ( s o ) ，b j0 ，t = 0 ，1 ) 疋义 吲沪葛( 1 + ( 宁) 2 ) ( 宰) f 2 ， n t o 显然吼l 1 ( t ) 且以1 为周期对任意的整数n 有 2 厶( 1 + 押f 洲弦2 k d f = 逐肌+ ( 学) 2 ) 啪( 学 e 砌吣必 = z 1 吼( ) e 嘞嘣 = 二 哦( n ) 设a z ，并定义 h ：= 司面瓦 e 2 仉“：礼a ，e a ：= f h a ：中b 幢) ，健) = o ，n ，已) 知h a l 2 ( t ) 如果f a ，用d ( ，e a ) 表示，与子空间e a 的距离 定理4 1 设妒h 8 ( 固扣 0 ) 且b 0 如果a z ，则f n 6 讲。a 是 日8 ( r ) ( s 0 ) 上以a ，b 为界的框架序列当且仅当 ( 1 ) 删，e a ) 2 s ；j ( 1 驯2 吲铷圳川2 ，v ，巩； 或等价于 ( 2 ) ai i f 酽s ；z 1 圳f f ) d 0 ) 上界为a ，b 的c x a c t 框架序列 1 0 证明：由定理2 2 知， 妒k 足以a ，b 为界的框架序列当且仅当 线性映射t ：( j 。( 人) 一，一( r ) ，n ，。= 厂t 可以延拓为f 2 ( a ) 上的有界线性算 子并满足 a d ( u ， f 77 1 ) 2 兰l i1 1 “1 1 2 1 31 l 1 1 2 ， v u p ( 人) 令u ：h 一f 。( a ) ，u f = ，( ”) k ，可以知道u 为保范算子从而对v f 钒， 有 l | t u f | | s ) 2 | | 。e ( n ) 妒i l l 又 = 厶( 1 + 汀i = 厶( 1 + p ) 8 i 巾t ) 驴( ) e 以”mf 2 n e a ( ) 1 2 i 巾t ) e _ ”k1 2 必 7 = ；1 恳和+ ( 学一( 学 l 三m ) e _ 2 叩畦 = 0 1 饥( ) l ，( f ) 1 2 蜓， d ( u ，k e v t ) = = ，i t t 。f ，丁l l “。l l 。l ) 2 。u 口e i n f 。，r | i ，【7 9 i l l a ) 2 ，。e h ， f 。，r j j ，一9j j 以2 列i n 口kj j ，一g | j 巩 2 妻划，一9 i i n 2d ( f ，既) 由上面过程君p 知结论成立 定理4 2 女日果妒h 5 ( r ) ，b 0 贝u ( 1 ) ( 靠s 妒k z 为标准正交序列当且仅当 心( ) = f ，n nf t ( 2 ) h 6 妒k z 是以以，b 为界的似i 确i 架序g e l - l ie l 仅当 b a i ) b ( ) sb 1 3 ，m ( l ( 3 ) r 咿) 。z 是以a , b 为界的框架序列当且仅当 b a 由6 任) sb b ，a ef t b 具甲肌= ：吼( f ) = 0 j 证明： ( 1 ) 因为妒eh 8 ( 脚，所以级数 黾( 1 + ( 宁) 2 ) ( 宁) 1 2 地 n z ” 以1 为周期，且垂。( ) l 1 ( ? ) 又对任意的整数 ，有 f)e-2rrilgjor i f = 乏j ，0 1 ( 1 + ( 譬) 2 ) ( 学)m z移p = 厶( 1 十( 和( ；) 1 2 e - 2 1 r i l ( ：、厶( 1 + 汀愀) 弦2 “蜒嫩 = 6 纠 ( 2 ) v c k 1 2 ( z ) ，令g ( ) = c k e , 一2 ”。k l 2 ( t ) k e z “庐( f ) c _ “坂】2 k e z = 厶( 1 + ( 黔ic 。p ( ；) e 啾i 。武 k e 占 一，量0 1 ( 1 + ( 宇一( 字坪i g 陬 一吼( ) ic ( f ) 阳 1 2 不妨令g ( f ) = 播豫利用p a r s e w l 恒等式 c k 川压( z ) = 1 1c 怯【? ) ， 有 a s ；i l l ( i ) s ( f ) 9 ( ) s b 如果b a 墨晚( f ) b b ，t ，则显然 h b 妒) 。z 为h 5 ( r ) 的r e i s z 序 列另一方面，取目( ) 为高斯函数9 。篮u j 、并令a 趋子0 + ，则有 b as 中b ( ) b b ，a d 2 t ( 3 ) 如果a = z ，可知h a = l 2 ( 丁) ，甄= l 2 ( 脯) ，容易证明 d ( ，e a ) 2 。厶帆鹾- 由定理4 1 知命题成立 下面定理将讨论平移序列 。妒) 。z 与 h 。订。e 牙之间的关系 定理4 3 令a ，b r ，其中0 0 ) 使得n a 妒 。三为框架序列，但 。妒) 。；z 不是框架序列 证明： ( 1 ) 定义妒h 3 ( 月) 使得 驴( 9 = ( 南) ；，o ： 而a b ( 南) ；僖一 ) j i 1 0 ，其它 1 3 那么对任意的f t 中一( ) = e 一( i + ( 旦) 2 ) 8 ip ( 旦) 1 2 n = ( i + ( ；) 2 ) 5i9 ( ) 1 2 因此，吼( ) 在t 上无非负下界，从而f h 舻 。z 不是框架序列另外， 如果fet ，有i 0 ，：) ，不难看出吼( f ) 21 ，而屯( f ) 在t 上显然有上界， 因此( 。妒) 。z 为框架序列 ( 2 ) 由假设知，存在整数m 使得a = m b 故而 圣。( ) = x 一( i + ( 警) 2 ) 8i 驴( 警) 1 2 n e z ” 2 舢e ( 1 + ( 害) 2 ) s f ( 等) f 2 = 邑( 1 + ( 半) 2 ) 8i 驴( 半) 1 2 u 、一、h ，lr、， f “= 令n = k m + 1 ，其中七ez ，忙0 ，1 ，m 一1 则上式 = 量m 量- 1 ( + ( 毕) z ) s11p ( 缸乒) l 。 = (+ ( 平) 2 ) 8p ( 五焉监) 1 2 k e zl = 0 。 。 = m - 。1 ( ( + ( 学) 。) sie 1 驴( 学) i z= ( ( + ( 寻! ) 2 ) 3 驴( 军! ) 1 2 f = 0k e z ” ” = 莒吼( 等) 如果 咿) 。e z 为框架序列，由定理4 2 可知吼( ) = 0 或a 吼( f ) b m 故而， 。讲。z 也是框架序列 ( 3 ) 因为：毛z ，所以存在( o ) 使得 宰 ；，i 1 刊，皤o f s 1 4 定义妒h 8 ( 门) p ( f ) 南， ， + s 】 0 ，其它 则对任意的f ( o 0 如果 b 咖h z 和 咿) 。z 构成 3 ( r ) 的同一子空间h 的r i e s z 基，则存在 一周期函数4 ( d 和常数c r 使得 9 ( ) = a ( ) 咖( ) 且c 一1s ia 偿) i sc 证明：因为 妒 。e z 是剪的r i e s z 基，妒h 所以存在序列扣k k 。z 1 2 ( z ) 使得 妒( 一j ) = n 砂( z n b ) 两边取f o u r i e r 变换得 p ( ) = a k e 吨”砷西( ) k e z 令a ( ) = a k e2 丌t n k ，习b 么 k t 驴( f ) = 4 ( f ) 乒( ) 等价于 哦( ) = la ( ；) 1 2 。( ) 由定理4 ，2 ( 2 ) ，命题立即可证 推论4 5 令妒，妒h 5 ( 兄) ( s o ) ，b o 如果 b 妒 ，锄和 靠6 妒) 。z 构 成h 5 ( 月) 的同一子空间h 的标准正交基，则存在 一周期函数a ( ) ，并且 ja ( ) i = 1 使得 驴( ) = a ( ) 谚( ) 1 6 55 标准正交小波基的刻画 为方便起见，用p ( ，( ) 代替函( ) ，j z ，规定 丹，( z ) = 2 妒( 2 z 一) ，k z 引入s c h w a r t z 函数类 s ( r ) = ，c o 。( r ) ：i l ( 1 十j i ) ，( ) o ) 如果h 8 ( 尺) = i 丽 仍，k ) j k e z ，且 ( 。) = 西1 靠，。，巧，k ，z 、仃l z ， 则称 妒( j k z 为h 8 ( r ) ( s o ) 的标准正交小波族 引理5 2 设 勺：j = 1 ，2 ，) 是h f l b e r t 空间h 的点列如果对v k n 有| | e k 忙l ，且 i 1 2 = i 川2 ，v ，h ， k = l 则 e j ：j = l ，2 ，) 构成圩的标准正交基 证明详见【9 1 引理5 3 设 勺：j = 1 ，2 ，) 是h i l b e r t 空间日的点列如果 ei 1 2 = i l 川2 ( 5 0 ) k = l 在日的稠密子集上成立，则( 5 0 ) 式在日上也同时成立 证明详见【9 引理5 4 令d = ，s ( r ) ：，紧支且s 啪( ，) cr o ) ) ，则d 在( r ) 中 稠密 证明：因为s ( 兄) 在h 5 ( r ) 中稠密，所以只需证明d 在s ( r ) 中稠密( 在 ) 意义下) 1 7 v ，s ( 尺) ，可知，s ( r ) 定义 ( 1 ) ，n ( )0 ， i i 墨甄1 或i i 2 n 无限次光滑连接，其它 由上面定义知 ( r t 1 ) 属于s ( r ) 利用l e b e s g u e 控制收敛定理可得 | j 厶一；，j j 南= r ( 】+ f 2 ) 5j 五( ) 一，( f ) j 2d f o ，( n o o ) 定理5 5 设 妒( ，) ：j z ) 是h 8 ( r ) ( s 0 ) 中的函数列，且 r ( 1 + 2 2 ) 8 lp ( ) j 2 必= l ，je z ， 则 妒( ，) 胙z 构成h 8 ( r ) ( s 0 ) 的标准正交小波族当且仅当 1p o ( 2 一) 1 2 = ( 1 + 2 ) ，n e r j e z + o o 万石二嘲驴p j ( 2 ( + m ) ) = o ，n 息兄，m = 2 z + 1 j = o 注l ：( 5 2 ) 式中级数 + o o 诵9 ( 州( 2 + m ) ) j = o 是a e 收敛的事实上，对j z ，妒( ，h s ( r ) ， 蔓i 面f ：嘲p 一一j ( 2 j 嬉+ m ) ) i 磊厶妒卅( 2 洲p 计( 2 j ( + m ) ) i = 笺古五i 两瓣州( m ) i 武 s 誊古f j = 0 “ 1 8 ( 5 1 ) p z ( 5 2 ) j 孽= 0 击r ( 1 + 2 2 ( v - j ) ( 2 ) 5 杪刊( 吖d = 薹击 0 。 由b e p p o - l e v l 定理知誊面习嘲驴( ”刊( 2 ，( + ，n ) ) a 息收敛于一可积函数 注2 ：( 5 1 ) 式中的级数1 ，( 2 一，) l z ，由于j 取遍整数集合，所以其收 敛性不容易直接证明，但是却可以由下面的一些结果得出 证明：” = ”对充分性的证明 设( 5 1 ) ，( 5 2 ) 两式成立要证明 ，。z 构成h 8 ( r ) 的标准正交基， 由引理5 2 、引理5 3 和引理5 4 知，只需在d 上证明 成立即可v ，d ， 善j ( 。) 1 2 ，k 其中 l ( 。) 1 2 = l lf 临 = e ；。l 厶( 1 + 州( 弦5 丽跏螂叫1 2 = 磊j ( 2 。邑后“”2 ) 惘瓣挪1 f j 2 e ( 1 + + 2 f ) 2 ) 8 ，任+ 2 j r ) 万石疆手：研1 2 l e z 2 黜1 + 刚( f ) 嘲1 + ( 椭) 2 ) 。丽丽p 啦) 厶3 乏厶1 + 铲f 永m 凇2 一铘 1 9 1 2 = 厶1 + m ) 厕b l + ( + 2 q ) 2 ) 8 熊十2 q ) ( 2 + q ) d g 1 z j q o 由( 5 1 ) 式知 ，1 = 厶( 1 + 即f 豫) f 2 必= 不妨先设，。是绝对收敛的，其绝对收敛性将在后面给予证明令q = 2 1 m 其中忙0 ，1 ， m = 2 z + l ，则 忙丢厶( 1 + 州( ) 两两 ( 1 + ( + 2 j + m ) 2 ) 8 ，( + 2 j + r n ) p ，( 2 一( + 2 什m ) ) d 令j + f _ 札由( 5 2 ) 式得 ，2 = 上( 1 + 2 ) 8 ，幢) ( 1 + 任+ 2 ”m ) 2 ) 8 ，( + 2 r i m ) j r t n 6 2 z + 1t = 0n g z 一( 2 h ( + 2 ”m ) ) 习召= 砑 = ( ( 1 + 2 ) 5 ，( f ) ( 1 + + 2 “m ) 2 ) 5 ，( + 2 a m ) k 。 m e 2 z + 1n 6 z 0 + o o 一。( 2 。( 2 一”+ m ) ) 万项季f 砑嫩 注3 ：1 2 是绝对收敛的事实上，v f d 如l n ( 1 + 2 ) 8l ，( ) i i ( 2 一。) l zj 咒 e ( 1 + ( f + 2 j q ) 2 ) 3 ，嬉+ 2 j q ) i i 驴( 2 一o + q ) i 嫩 0 u ( 1 + 护) 5 ( 1 + ( + 2 j q ) 2 ) 5l ，嬉) i i ，( + 2 j q ) i 1 zq 0 j r 驴( j ( 2 ) ij 乒( j ( 2 一+ 】d f ( 1 + f 2 ) 3 ( 1 + ( + 2 q ) 2 ) 8l ，健) ，( e + 2 j q ) i “，zq 0j 月 【f 函“1 ( 2 一，) 1 2 十i u 1 ( 2 - j + 口) 1 2 】d ： ( 1 + f 2 ) 5 ( 】+ ( f 十2 ，口) 2 ) 5 i ，( ) j | ，馐+ g ) j | 9 ( ( 2 一0 1 2d 。3 z q 0 j r + ；( 1 + 2 ) 8 ( 1 + ( 一2 勺) 2 ) 8 i ，( ) l ，嬉一2 j q ) i i p ( ( 2 一) 1 2d 。j 2 口oj r 由q 的对称性知上式 = ( 1 + f 2 ) 5 ( 1 + 偿+ 2 g ) 2 ) 8 i ，嬉) i ，睡+ 2 q ) p ( 。( 2 一) 1 2 必 j e z q # o - i r = 芝】1 + 2 2 p ) 弋1 十2 飞+ 口) 2 ) 。 ，( ) l ，( 2 。( + g ) ) i2 j p o ( f ) i 2 d 。凡一z q # o 由于s 啪( ，) cr o 所以j ，g 都为有限个对f d 知，s ( r ) ，从 而有 i ( 2 j oi c 1 ，碟冗； 、( 1 + 2 卸( + g ) 2 ) 5i ，( ( + g ) ) 区岛， 垤r g 0 所以有 l 1 2i g 1 q 止2 7 ( 1 + 2 巧竹f ( ) 2 篮 ”n ，z = g q 2 + r ) 8jp ( ( f ) | 2 畦 ()11 2 2 j 5 3 7 e z = g 岛2 0 o ) 的标准正交小波族则对任意的f d 有 i ( 。) 2 = i l 川器) ，k e z 与充分性的推导相似，对任意的，d 有 i ( 。) 1 2 = ，l + 1 2 j ，k e z ，2 乏如1 + 秽l 熊) 渺( 2 一谢d ； i 2 = e ( 1 + 2 ) 5 ，( ) 万丽丽e ( 1 + ( f + g ) 2 ) 3 ，( 十2 j q ) p 力( 2 3 + g ) d 专 ? z g 0 因此 。t 2 乏如1 + 妒i 熊) m 计( 2 叫) 2 d 。 由，d 可知( 1 + 2 ) 8 ，( ) 1 2 sc 0 ，0 e 2 d ，q 0 时，有 五，。( 2 ，日i i 五，。( 2 一- + 2 - j q ) i = 0 因而只需讨论2 一。曼2 5 的情况不妨设j o 是满足2 ，去的最小的j ，直接 可得 i 霹i 冬止2 - s ( 1 + 2 - 2 j f 2 ) 8 ( 1 + ( 2 一。十2 一口) 2 ) 5l 五，。( 2 一誓) l “j = j q # o 如，。( 2 一+ 2 - j q ) l i 驴( - j ( f ) 1 2 必 2 4 如果五，( 2 一) 0 ，则2 ，一j ，姚+ 川( 可设o 一6 0 至于w o + 5 0 的情形，证明方法相似) ，从而 2 7 ( t 蚺i 一再) f 2 j ( 钍b + 巧) ，如s ， 因为掣。2 去，所以2 j o ( 帅一6 ) 1 ) 充分小，就能使得一6 ，0 + 卅 和+ 2 m w o d ，矗+ 2 l j n + 5 】都不包含0 点为方便起见，可设岛 0 ( 岛 0 的证明相似) ，0 6 牺，0 e d 取 其中 如。( ) = ，= 矗。( z ) d ，9 = 9 镜。( z ) d 而l ( 1 + f 2 ) 一；，f f 矗j + e ，岛+ 5 一f 】 无限次光滑连接，一6 ，f 0 一d 十e 】u + 5 一e ，如+ 5 0 ，其它 9 6 ，( ) = 五。( f 一2 o 竹) ( 1 + f 2 ) 一5 ( 1 + ( 一2 - o m o ) 2 ) s ， 则 五，。睡) 如，。幢+ 2 m m o ) = ( 五。 ) ) 2 ( 1 + 2 ) 8 ( 1 + ( + 2 n o m o ) 2 ) 一s 由( 5 5 ) 式知 0 = d ( 1 + f 2 ) 3 ( 1 + 幢+ 2 “m ) 2 ) 8 。，。( ) 五，嬉) 五i 磋j l i i ；破 m 6 2 z + 1 n z 厶( 1 十f 2 ) 。( 1 + ( f + 2 t o o ) 2 ) 气。五，( f ) 丽丽面石破 + 上赢纛t 萎o , t t o ) ” s ( 1 + ( 埘蝴一流瓣碲 两边同时令e 一0 + ，由l l ! b t 一一g l l ( 、控制收敛定理知 ( 】一晨6 ( 1 憎。m 般) f f t 。( ) 。( f ) 蠡，。( + 2 “仉) 必 再同时令 一o + ，有 0 = ( i + 品) f t u m 。( 6 ，) + 兽嚣。鸳如，c 所以要证明t ：n o , m o ) = 0 ，只需证明 m n l j ! n 如。= 0 ， c y r i l + 一0 + 其中 r r 巩，。：，m c 鲁2 z ，+ ，in 厶e z 、( 1 + f 2 ) s ( 1 + ( + 2 n 7 n ) 2 ) 5 巩广厶删咖o ) 1 + 洲1 + ( + 2 ”7 坩 t 。，。( f ) 如。( ) 她。( + 2 n m ) d 如果磊，。( f ) 瑟恧了面两o ，则有 i 一如i s6 ，且l + 2 “仇一岛一2 咖m o1 6 又有 i2 “订。一2 “o h i , 0i= if 一矗+ 2 “7 h 一2 “o ”l o f + o 曼i + 2 ”7 ，l 一o 一2 “o 竹1 0i + i 一矗 2 6 ( 5