（逻辑学专业论文）浅析弗雷格对算术真问题的探讨及其意义.pdf

摘要 弗雷格是极具创造力的逻辑学家和数学家，他终生致力于把数学建立在逻辑 基础之上这项艰巨的工作。作为这项工作的准备，他建立了一套新的人工语言和 逻辑系统，为现代数理逻辑奠定了基础。他对数学最基本的“数是什么”的问题 作了深刻的探讨，提出了许多丰富而深刻的见解，以致于在二十世纪的分析哲学 和语言哲学中他也被视为奠基人之一。他为了实现自己将数学化归为逻辑的最终 目标，给出了一个只包含逻辑概念的数的定义，以之为基础建立了一个算术系统， 但凶罗素悖论的出现，他的系统被人们认为是不一致的因而是失败的。受此影响， 对弗雷格的研究工作主要停留在逻辑和哲学方面，而不是他的核心工作。弗雷格 的核心工作究竟是怎样进行的，究竟具有什么价值，是本论文研究和写作的目标。 笔者认为，对弗雷格的核心工作更合理的表述是：论证算术真的性质是分析 的。本文分三章，第一章分析了弗雷格对算术真问题的哲学论证，指出给出合适 的数的定义是关键。第二章分析了弗雷格有关数的哲学讨论以及在技术方面他如 何给出一个合适的数的定义。第三章比较了弗雷格和康德的思想，指出两人的工 作都牵涉到知识的客观有效性和人类对自身认知能力的信心。尽管弗雷格声称他 与康德一致的地方多于不一致的地方，但笔者通过比较后发现，康德将知识普遍 性的来源归结为认识主体，弗雷格则归结到认识对象上，在康德的理论体系中， 时间处于基础性的地位，在弗雷格的理论中，时间则完全被排斥，因此弗雷格的思 想显然不同于康德的思想。弗雷格以符号而不是表象作为认知中介，以关系而不 是个体为其逻辑体系的核心，都比康德的处理具有更多的优越性。弗雷格并不孤 立地进行哲学思考和技术处理，而是将两者有效地结合起来。弗雷格所使用的从 对象的相等关系构造出对象的方法在r 常生活和当代数学研究中都有广泛的应 用。因而在今天，弗雷格所作的工作，无论在思想上还是在方法上，仍具有相当 重要的价值与意义。 关键词：弗雷格，康德，算术真，数 中图分类号：b 8 1 0 9 a b s t r a c t a sac r e a t i v el o g i c i a na n dm a t h e m a t i c i a n ，f r e g ed e d i c a t e dh i se n t i r el i f et ot h e d e m a n d i n gw o r ko fd e r i v i n gm a t h e m a t i c sf r o ml o g i ca n de s t a b l i s h i n gal o g i s t i cb a s i s f o rm a t h e m a t i c s i nt h ee f f o r tt oc o n d u c tt h i sw o r k ，h ec r e a t e dan e ws e to fa r t i f i c i a l l a n g u a g ea n dl o g i c a ls y s t e m ，a n dt h u sl a i dt h ef o u n d a t i o no fm o d e mm a t h e m a t i c a l l o g i c h ei n v e s t i g a t e di n t ot h eq u e s t i o na so fw h a ti st h em o s te l e m e n t a r yn u m b e ro f m a t h e m a t i c s ，a n dc a m eu pw i t hn u m e r o u sp r o f o u n di n s i g h t s a sar e s u l t ，h ew a sa l s o r e g a r d e da so n eo ft h ef o u n d e r so fa n a l y t i c a lp h i l o s o p h ya n dl a n g u a g ep h i l o s o p h yi n t h e2 0 t hc e n t u r y i no r d e rt oa c h i e v et h eu l t i m a t eg o a lo fr e d u c i n gm a t h e m a t i c st o l o g i c ，h eg a v ead e f i n i t i o nt ot h et e r mn u m b e rr e l y i n ge x c l u s i v e l yo nl o g i cc o n c e p t s ， a n db u i l ta na r i t h m e t i c s y s t e mo nt h i s b a s i s b u tt h a tw o r kw a sc o n s i d e r e d i n c o n g r u o u sa n du n s u c c e s s f u lw i t l lt h ea d v e n to fr u s s e l lp a r a d o x a f f e c t e db yt h i s r e s e a r c h e sa b o u tf r e g eh a v el a r g e l yb e e nf o c u s e do n l o g i ca n dp h i l o s o p h yf i e l d s r a t h e rt h a nh i sk e yw o r k t h i st h e s i su n d e r t a k e st oe x p l o r eh o w f r e g ec o n d u c t e dh i s k e yw o r ka n dw h a ti st h ev a l u eo fh i sw o r k i nt h ev i e wo ft h ea u t h o r , am o r er e a s o n a b l ed e s c r i p t i o no ff r e g e sk e yw o r ki st h e d e m o n s t r a t i o nt h a ta r i t h m e t i c a lt r u t hi sa n a l y t i c a l t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e e c h a p t e r s t h e f i r s t c h a p t e re x a m i n e sf r e g e sp h i l o s o p h i c a ld e m o n s t r a t i o no ft h e p r o b l e mo nt h et r u t ho fa r i t h m e t i c ，a n da r g u e st h a tap r o p e rd e f i n i t i o no fn u m b e ri s e s s e n t i a l c h a p t e rt w od e a l sw i t hf r e g e sp h i l o s o p h i c a la r g u m e n to nn u m b e r , a sw e l l a sh o wh eg a v eat e c h n i c a l l yp r o p e rd e f i n i t i o nt on u m b e r t h el a s tc h a p t e rc o m p a r e s t h o u g h t so ff r e g ea n dk a n t ，a n dn o t e st h a tb o t ho ft h e mb a s e dt h e i rw o r ko nt h e o b j e c t i v e n e s so fk n o w l e d g ea n dc o n f i d e n c eo fh u m a na b i l i t i e s f r e g ec l a i m e dt h a t k a n ta n dh eh a dm o r ei nc o m m o nt h a ni nd i v e r g e n c e ，y e tt h ea u t h o rt e n d st oc o n c l u d e f r o mc o m p a r i s o na n a l y s i st h a tt h et w oh a da p p a r e n t l yd i f f e r e n t t h o u g h t s k a n t a t t r i b u t e dt h eu n i v e r s a ls o u r c eo fk n o w l e d g et oc o g n i t i v es u b j e c t ，f r e g ec o g n i t i v e o b j e c t i nk a n t st h e o r yt i m ew a sp r e l i m i n a r ya n dw a st h eb a s i s ，y e tf r e g ee x c l u d e di t f r e g eu s e ds y m b o l sr a t h e rt h a nr e p r e s e n t a t i o n sa st h ec o g n i t i v em e d i a t i o n ，r e l a t i o n r a t h e rt h a ne n t i t ya st h ec o r eo fh i sl o g i cs y s t e m ，a n dt h u sa c h i e v e dc e r t a i ns u p e r i o r i t y o v e rk a n ta p p r o a c h e s f r e g ed i d n tc a r r yo u tp h i l o s o p h yt h i n k i n ga n dt e c h n i c a l h a n d l i n gi ni s o l a t i o n ，b u tc o m b i n e dt h e me f f e c t i v e l y t h ea p p r o a c h e se m p l o y e db y f r e g et oc o n s t r u c to b j e c t sf r o me q u a lr e l a t i o no fo b j e c t sa r ew i d e l yu s e di nd a i l yl i f e 2 a sw e l la sm o d e m t i m em a t h e m a t i cr e s e a r c h e s c o n s e q u e n t l y , t h ew o r kd o n eb yf r e g e ， i nt e r m so fb o t ht h o u g h t sa n da p p r o a c h e s ，i so fs i g n i f i c a n ti m p l i c a t i o na n dv a l u ee v e n i nt h ep r e s e n ta g e k e y w o r d s ：f r e g e k a n ta r i t h m e t i c a lt r u t hn u m b e r c l cn u m b e r ：b 81 0 9 引言 一、写作缘起及方法 哥特洛布弗雷格( g o t t l o bf r e g e ) ，这位当代逻辑学最重要的奠基者， 究竟是仅作为一个历史人物、一个符号、一个象征，永载于逻辑学与哲学发展的 史册，还是仍对今天的学术研究具有相当的价值，值得人们予以更加全面与系统 的关注与研究? 从历史发展看，弗雷格受到的待遇颇为有趣。一方面，尽管罗素 ( r u s s e l l ) 、维特根斯坦( w i t t g e n s t e i n ) 包括胡塞尔( h u s s e r l ) 等人都认为 其思想受弗雷格启迪颇多，但弗雷格的工作为同代人所知晓，主要还是问接地得 力于他们的介绍。另一方面，弗雷格所关注与探讨的重点是逻辑与数学，虽然他 也意识到这必然会带来哲学上的成果，但那只被他视为研究工作的副产品；然而， 对弗雷格在逻辑方面的辛勤工作，人们只认可第一部分，即他所构建的一阶语言 与系统，这仅只是一项准备性的工作，而对他毕生致力的将数学化归为逻辑的努 力，包括他本人在内，都认为已经失败，并且认为这项工作根本就不可能成功。 产生重大影响的反倒是他未予过多关注的哲学方面的成果。二十世纪七十年代， 西方掀起了研究弗雷格哲学思想的热潮，他甚至被视为分析哲学和语言哲学的重 要奠基人之一。但对他在逻辑学方面的核心工作，人们并没有给予很多关注、研 究与思考。本文试图就弗雷格在这方面的工作作一些梳理，理清他进行研究的内 在理路，探讨其中涉及的一些较为基本的概念，并在此基础上考察弗雷格所作工 作的意义。 笔者认为，对弗雷格所作的核心工作，与其表述为将数学化归为逻辑，不如 表述为论证算术真( a r i t h m e t i c a lt r u t h ) 的性质是分析的，因为后者逻辑在先， 两者1 l j 的关系可看作是f ；i i 者为后者提供一个具体的例证或足技术性处理。本文的 写作在文本依据上拟以算术基础为主，以弗雷格的其他著作为辅。算术基 础是弗雷格这项工作在文本卜的体现，就内容而言，它既提供了算术真的分析 性的哲学论证，也给出了合适的数( n u m b e r ) 定义( d e f i n i t i o n ) 从而提供了将 数学化归为逻辑( d e r i v i n gm a t h e m a t i c sf r o ml o g i c ) 的技术手段。从著述时 间上看，算术基础之前的概念文字主要为这项工作提供严格的逻辑工具， 其后的算术的基本舰律是在技术卜作进一步的细化与发展。因此，以算术 基础作为本文写作的主要文本依据有利于对问题的分析与讨论。笔者认为，在 算术基础中，弗雷格对算术真问题的讨论大致分三个步骤。一、论证算术真 应当是分析的真。借助_ 】二证明( p r o o f ) ，算术真句子可以化归为数定义和算术规 律( t h el a w so fa r i t h m e t ic ) ，这两者都只能源自逻辑，并且算术规律也不是 4 综合的，因此算术真的性质应当是分析的。如果能够给出合适的数的定义，那么 甚至算术舰律也可由它逻辑地推出，因此，数的定义成为算术真问题的最终落脚 点。二、通过分析各种已有数定义可能会引起的困难，考察了数作为对象的客观 性，并充分意识到区分对象( o b j e c t ) 与概念( c o n c e p t ) 的重要性，得出了数 的给出包含了对一个概念的陈述这一重要结论。三、以这一结论为基石，借助从 相等关系( t h er e l a t i o n s h i po fi d e n t i t y ) 中给出对象的方法，寻找并给出了 数的合适的定义，通过定义，逻辑地推导出算术规律和数公式( n u m e r i c a l f o r m u l a e ) ，从面例证了算术真的分析性。与其他学者不同的是，弗雷格不仅在 哲学上论证了算术真的分析性，更重要的是，作为逻辑学家，他还要实现其技术， 实际地把它做出来，这就使得篇幅不长的算术基础具有不同寻常的价值。 本文在结构上包括作为主体的三个章节和引言、结语。在引言部分说明了写 作意图及内容方法，并从历史和学科的角度介绍了算术真问题的重要性和历史背 景。第一章对应弗雷格讨论的第一个步骤，主题是真与思想( g e d a n k e ) 的区分 及证明的重要作用、数定义和算术规律的逻辑性、算术知识非综合性和可增长性、 进行构造的定义和进行分析的定义。第二章对应弗雷格讨论的第二和第三个步 骤，分析了弗雷格的客观概念、对对象与概念所作的区分、各种已有数定义引发 的困难及弗雷格的解决办法、合适的数定义给出的过程。第三章将康德和弗雷格 的思想作一个对比，以双方解决知识客观有效性问题方案的差异，来说明弗雷格 所作工作的意义与价值。 需要说明的足，在没有特别说明的情况下，“数”指自然数，即0 和证整数。 对算术基础中“数”一词的翻译规则详见王路教授中译本的译者序。 二、算术真问题的历史背景 人类知识中最可靠的莫过于数学知识，数学又经过了算术化的历程，因而算 术真的性质问题直接关系到人类知识的性质问题，直接影响着人类对自身在认识 世界能力上的信心，因而算术真问题在哲学和数学方面都具有极其重要的地位。 1 、哲学方面 在哲学方面，算术真的性质与知识的性质问题、知识的普遍性和可增长性问 题相关联。自古希腊时代起，知识论在哲学中就占有重要地位。巴门尼德区分知 识之路和意见之路，认为前者才可到达真理。意见因人而异，知识人所共认，在 5 他那里，真、知识、普遍性便呈现出某种内在联系。知识的获得要通过理性能力 而不是感性能力，这是古希腊哲学表现出的重要倾向之一。这一倾向结出了丰硕 的果实。古希腊时代，便建立了数与形的系统理论，出现了几何原本这样的 巨著和阿基米德的流体静力学，甚至在缺乏任何实测条件下，阿罩斯塔克就尝试 着去计算太阳和月球之问的距离。 古罗马时代，人们对科学和哲学的兴趣减退，关注的主要是法律、政治等实 践领域。特别是基督教在西方社会确立统治地位以后，科学受到致命的打击，因 为大众需要的是信仰，科学沦入黑暗之中达千余年。幸运的是，在漫长的中世纪， 知识依靠理性能力推理得来的传统得以保存延续，尽管它被用来证明各种各样无 谓的宗教命题。因而，一旦人们丌始强调经验观察与实验的重要性，人类的知识 便以不可遏制的速度增长起来，人类历史迈入新的纪元。在这样的背景下，久违 的有关知识的性质的问题又摆到了哲学家面自订：知识从何而来，它源于经验还是 理性的能力，知识的普遍性由经验中归纳而来，还是先于经验的? 围绕这些主题， 经验论和唯理论的对立与斗争贯穿了近代西方哲学的发展历程，西方哲学呈现出 浓厚的知识论特征。 作为哲学史上的分水岭，康德站在理性批判的高度考察了先天综合命题的可 能性，指出了在人类认知过程中理性的能力与范围。康德的目的虽是论证形而上 学成为科学的可能性，但他将这个命题分为三个子命题，先论证了在数学和自然 科学中先天综合命题的可能性，换言之，他先论证了数学和自然科学之所以能成 为科学的先于经验的根据。从康德开始，对数学命题性质的处理就成为对矢h i , q 的 客观有效性进行证明的不可缺少的一环。弗雷格承继了康德的这一工作，并且他 对算术真问题的讨论对哲学产生了直接的影响。 2 、数学方面 在数学方面，算术最终成为整个数学的基础，这是数学自身历史发展的结果。 数学研究，在方法上，离不丌证明与推理。但同时，数学家的直觉、洞察力和综 合能力也经常成为数学发现的源泉；在发展动力方面，有的数学理论如复数的产 生完全基于数学家的个人兴趣，有的则源于社会发展过程中产生的需求；此外， 数学从一开始就表现为不同分支并行发展，并且它始终具有将小同部门统一在几 个基本原理之下的内在要求。这些因素交织于数学发展的整个历史中。 古希腊时代算术几何化，几何为数学提供了公理系统和证明的范例，儿何 原本充分体现了这一点。2 的发现，使数学遭遇了第一次危机。由于毕达哥 拉斯学派对其数哲学的偏执信仰，无理数的问题最终被回避，算术与几何也相互 6 分离，对算术与数的研究逐渐偏离了公理化的系统的理论研究，更多地满足于实 际上的需要。 古希腊之后，对欧洲数学产生重大影响的主要有阿拉伯及印度数学，它们的 共同特点之一便足实用性与经验有效性。因而在近代的欧洲，数学满足实际需要 这一倾向有所加剧。微积分的出现标志着人类思维水平的质的匕跃，它能够有效 解决各种自然科学及社会生产实践中的大量问题，然而它这种巨大的能力却建立 在模糊的基础之上，人们对数和数系尚缺乏系统的理论，特别是对于最基本的无 穷小概念，牛顿和莱布尼茨这两位微积分的创始人都没有给出清楚的解释。这遭 到了贝克莱大主教的猛烈抨击。无论数学家们持什么立场，他们都无法漠视这一 问题。因为就象弗雷格所说的那样：“以这种方式总是只得到一种经验的可靠性， 实际上人们必须准备最终还是会遇到矛盾，而这个矛盾将使整个大厦倒塌”l lj 。 无穷小量问题也被称为第二次数学危机。 1 9 世纪3 0 年代，数学研究中兴起了“分析批判运动 ，柯两借助极限概念 定义无穷小等基本概念，但他的极限概念要借助直观。魏尔斯特拉斯用静态的“ 一6 方法取代了“无限逼近于”、“最终达到”等动态观点。“实质上是把有 关无穷小和无穷大方面的叙述归结为有限量之间的关系，从而消除了无穷小和无 穷大 。这为分析的算术化奠定了基础。下一步，人们还需要实数连续统的概念， 需要完整的实数理论，需要对数的本质有更好的认识，需要对数系的扩展有更好 的处理，y j4 能完全将直观排除出去。康托提出的基本序列和戴德金的分割先后为 此作出了贡献，实数与直线上的点之间的一一对应关系得到证明，以致人们将戴 德金发表连续性和无理数的1 8 7 2 年作为微积分基础完成的一年。完整的实 数理论以自然数为基础，1 9 0 1 年皮亚诺给出了一个自然数算术的公理系统p a ， 通用至今mj 。弗雷格所处的就是这样一个在经历了数学分析化之后进行分析算 术化的年代，他的主要工作集中于这一时期，概念文字发表于1 8 7 9 年，算 术基础发表于1 8 8 4 年，他对算术真及自然数理论的思考紧扣着时代的脉搏。 7 第一章对算术真的分析性的哲学论证 弗雷格对思想与对思想的真的断定作了区分，这一区分使得证明具有重要地 位，因为证明是断定思想的真的最重要的途径。通过证明，算术真句子可以化归 为数的定义和算术规律。弗雷格论证这两者都应当是逻辑的，而且算术规律也不 是综合的，因此算术真应当是分析的。如果能给出合适的数定义，则算术规律也 可能由定义推导出来，因此，要实际地将数学从逻辑中推导出来，关键在给出合 适的数的定义( 见图一) 。定义实际上是构造系统时的任意规定，人们习惯上所 说的对定义进行逻辑分析实际上表明数真币的定义并没有被给出。 数公式口n 正 单个数的定义 ( 足逻辑的) 算术规律 ( 足逻辑的) 算术规律小足综合的 l 、若1 i 町证，j e 困难 2 、若日f i i e ，j 便利 l 、定义的内容4 i 包含或断定物理事实 2 、定义小由物理事实抽象得柬 3 、定义的合法件4 i 依赖于物理事实，即定义不 以物理事实为必薪条件 l 、它f i 足自然律，小仅仅适用十物理事实 2 、它也4 i 足归纳真命题，j 普遍性卜从抽象中 得米 l 、表象存n ；的困难 2 、 j 几何学的比较 3 、算术心用7 6 ；i f , i 广博 1 f ： 经 验 件 1 仁 综 合 性 矧此算术的真心当足分析的，确定数的定义的十牛质足关键 幽一 8 第一节思想、思想的真的断定、证明 一、思想和思想的真的断定 弗雷格赋予证明在算术真问题中以重要地位。弗雷格认为，认识一个句子的 真要经过不同的阶段，丌始的时候总是对少数的个别情况进行猜测，由此得到句 子，它因在运用中有效而被确认为真，真之确认与句子的内容相关联。其次，也 可以把句子与其它句子放在一起，看是否能形成推理串，如果可以，则无论是由 它可以推出真句子，或它可由真句子推出，人们就会认为它越来越可靠了，在这 一阶段，真的确立不与句子的内容相关联，而是与句子的依掘相关联。对这两个 阶段，弗雷格指出，应当重视并达到后者，才能使句子的真牢固确立。 弗雷格对两个阶段进行划分的思想后来发展为对思想、判断、断定进行区分 的思想，主要体现在思想：一种逻辑研究一文中。他指出，“真这个词为 逻辑指引方向”pj ，因而逻辑的任务是要认识“是真”的规律，这意味着逻辑 要考虑“把某物看做真”，在这一意义上看，弗雷格对真的观点接近成真的条件 说。 弗雷格在讨论真是什么时，确定了其范围限于只考虑科学的真，排除艺术与 心理学意义上的真。他认为，“真用来表达画、表象、句子和思想”【q j ，从语言 上看真近似于一个形容词，但画与表象不能依靠自身而被称为真的，只能就其与 某物一致而言称之为真的。一致则是个关系词，一致性不能出现在根本不同的东 西之间，例如表象只能与表象一致。但是人们总是希望把真确定为一个表象与某 现实的东西的一致性。弗雷格指出，这样得到的一致不是完全的一致，相应地， 没有完全的真，但真就是真，没有程度上的大小。在对真的诸多解释进行讨论后， 弗雷格指出真是不可定义的。因为定义就是要给出一定的标志，这标志是一个普 遍性的规定，它必定要用于具体情况之中，一旦用于具体情况，人们就不得不考 虑：“这些标志合乎实际，这是不是真的 ，对后面的“这是不是真的”，又需要 给出标志，于是就会陷入无穷倒退或是循环。 真既足不可定义的，它便不是某种类似于性质的可归于事物之下的东西。由 于人们说真的时候总是借助“某某表象与某物相一致 这类句子，因此弗雷格宣 称：“在滥用之下称之为画和表象的真的东西，就化归为句子的真 1 ) j 。句子总 有涵义，借助它可以考虑“是真的”，弗雷格把它称为思想，即某种能借以考虑 真的东西。他指出，句子表达思想，自身非感觉的思想用可感觉的句子表达出来， 思想是我们可把握的，并且是通过句子来把握的。 真借助于思想被把握，那么给思想添加真意味着什么? 认识到某事物有某性 9 质，必定伴随以下认识：该思想是真的；断定句p 和断定句“p ，这是真的 显 然具有相同内容，因此，给思想加上真似乎并未添加任何东西。但弗雷格否定了 这一点，他 兑：“并非如此! 研究者经过长期犹豫和辛勤的研究，最后可以说我 过去猜测的，是真的，难道这不是巨大的成功吗? 叫思想表现为句子的涵义， 因此弗雷格进一步探讨了真与句子之问的关系。在排除了其涵义不是可以考虑其 真的句子类型如命令句、愿望句和请示句以及其涵义需要补充后j 完整的特殊疑 问句( 弗雷格称为语词疑问17 1 ) 之后，剩下的只有以“是 与“不是”为匹i 答 的一般疑问句和断定句，每一一般疑问句都可对应一断定句，它们涵义相同，即 包含的思想相同，但显然它们之f b j 存在差异，弗雷格认为差别在于断定句还含有 更多的东西，即这种断定，所以弗雷格严格区分思维、判断与断定：思维是对思 想的把握，判断是对一个思想的真的肯定，断定是对判断即真之肯定的表达，这 种区分围绕着真进行，因而在逻辑学上具有重要意义。弗雷格还将断定句区分为 三个部分：思想、断定、与断定无关的而与感情、情绪、想象力相关的部分，后 者不牵涉到真，因而不被逻辑仅被哲学所考虑。 二、证明的重要作用 由于弗雷格区分了思想之把握、思想的真之断定及其表达，证明在逻辑中便 处于重要地位。因为证明能保证对思想的真之断定。本节开始提到的认识句子的 真的两个阶段实际上应当分别理解为对思想的把握与对其真的断定。因为只有在 对思想的把握过程中才存在“猜测”、“可靠 等适度性的修饰，对真的断定则只 能是二分的，要么真，要么假。经验上的反复有效性，或者运用中的无矛盾性， 无助于对真的断定而只有助于对思想的把握，这些都不能最终保证句子的真，不 能最终保证今后不会出现矛盾。只有借助于证明才可以避免这种情况的出现。证 明只需要一次，句子一旦得到证明，它便获得永真，人们不再会担心矛盾的出现。 因此，句子的真的牢固确立有赖于证明而不是运用，有赖于句子的依据而不是内 容。 数学的发展史说明了这一点：欧几里得严格地通过证明来构建儿何系统，他 所证明的大多是本已为人承认的东西，而算术在发展过程中以多次成功运用为依 据，就导致“一方面，严格地探讨这些学说遇到了极大的几乎不可克服的困难， 另一方面，为克服这些困难会出的努力似乎没有什么价值”p 】。合理性需要严 格的证明，不仅算术，几何也是如此，由于平行公理不够直观，人们便试图用其 它公理证明它。弗雷格时代的数学界对这种严格性的需求越来越强烈，人们对许 多过去被看作是自明的东西如7 + 5 = 1 2 和加法结合律等都努力进行证明。 强调证明还有另外两个目的。一是可以获得初真( t h ep r i m i t i y et r u t h s ) ， 1 0 同时达到概念上的简单，使得普遍有效性蕴涵于概念之中，从而获得概念构造和 论证的普遍方法。另一个目的，借助于初真，可以更好地考察算术真的性质。 在重视证明的基础上，弗雷格提出了不同于康德的关于分析与综合、先验与 后验的标准： ( 1 ) 分析的( a n a l y t i c ) 。如果能够通过证明，将算术中的真句子归结为： 逻辑定律、或一些定义、或与某些可接受定义相对应的句子，则算术的真是分析 的真。由于从这些句子能证明出其它的真句子，所以可称它们的真为初真。 ( 2 ) 综合的( s y n t h e t i c ) 。如果句子的真的证明最终依赖于某些不具普遍 逻辑性质的句子，则算术的真是综合的真。 ( 3 ) 后验的( p o s t e r i o r i ) 。其证明依据中包含了事实，即依据了这样的真 句子：它对确定对象有所陈述，没有普遍性，不可证明。 ( 4 ) 先验的( p r i o r i ) 。其证明依据仅只是普遍定律，而这些普遍定律既不 能被证明，也不需要被证明。p 1 那么，存在着具有普遍逻辑性质的初始定律么，弗雷格作如下论证：如果没 有，则初真只是纯个别的事实，但从这样的真句子中得不出任何东西( 即它没有 逻辑后承) 。按照这种思路，初真的句子集必定不能全部都是个别事实，其中必 定包含有普遍的定律。 弗雷格把算术真句子区分为数公式和普遍定律两类，前者涉及确定的数，后 者对所有的数都有效。数公式具有可证性，它们可以化归为数的定义和算术规律。 因此，根据新的标准，对算术真的性质的讨论就转化为对数定义和算术规律的性 质的讨论。 第二节数的定义及算术规律来自逻辑 弗雷格认为：数的定义和算术定律都足逻辑的。他分别作了论证。分析他论 证的层次，可以看出，对它们是不是逻辑的这个问题，弗雷格大体从两个方面着 手，一是它们与物理事实之间的关系，二足它们的普遍惟的来源，或它们与归纳 之问的关系。 关于同物理事实的关系方面，首先，数的定义并非如密尔宣称的那样，断定 了一个观察到的事实，因为假若如此，则一个数可以对应着无穷的物理事实，特 别地，找不到与o 和l 相对应的物理事实，但人们仍可以理性地运用它们；如果 定义或定律与物理事实相关联，就需要借助感觉印象，但相同的物理事实可形成 不同的表象，例如十个指头可有不同的排列而表象不同；数如果很大难有表象； 数可应用于抽象的非具体的场合，如钟的三次敲打、方程的三种解法等等，这时 无表象可言。这些理由同样适用于算术定律。算术定律不是象物理规律那样的自 然律，密尔为了能将算术真命题称为自然律，称“l = l 这个等式可以是假的，因 为一磅东西与另一磅东西的重量并非总是完全相等”l l ，但这给予以了一种它 们本没有的意义，而i = i 这个句子所要陈述的也不足这一事实。同样，符号+ 的 意义也不在于陈述物理世界中的聚合关系或整体与部分之间的关系，“5 + 2 = 7 并 不意谓，当人们把2 个单位容量的液体注入到5 个单位容量的液体中，就得到7 个单位容量的液体，相反这是那个句子的一种应用，只有在不是由于譬如化学作 用而发生容积变化时，这种应用才是允许的i 】。真句子当然和物理事实之间 存在联系，康德曾说：人类的一切知识都是以经验开始的，但弗雷格指出，要把 纯数学句子本身和它以物理的、观察的事实为前提的应用区分丌来。这罩还是回 到前面提到的根据与内容的区别，句子的真来源于其根据，来源于它与初真句子 之问的关系，而不是来自于句子内容与物理世界问的符合关系，弗雷格所举的例 子能较好地说明这一点，荒诞故事当然是假的，人们需先对各种事物进行观察， 才能虚构出这些故事，因此在这种意义上故事的内容都是经验的。因此，弗雷格 宣称：“数舰律实际上是不能用于外在事物的：它们不是自然规律。但是它们一 定可以应用于对外界事物有效的判断：它们是自然规律的规律。它们断定的不是 自然现象之间的联系，而是判断之i h j 的联系；而且这些判断也包括自然规律”。 【i2 1 以上论证说明的是数的定义和算术定律具有普遍性，但这对于论证它们是逻 辑的还不够充分。在弗雷格看来，除了逻辑可以带来普遍性外，对经验世界的抽 象，或者说归纳也可以带末普遍性，因此还需要证明数的定义和算术定律的普遍 性不从归纳中得来。数的定义，由于其普遍性，如果对应物理事实，将会是无穷 的，因此数无法在这些无穷的物理事实全部被观察到后才被定义。也不存在这种 情况，即通过观察到的部分事实，再通过归纳法得出一条普遍规律，这规律包含 着所有的物理事实。弗雷格认为，通过归纳得到的只是存在性，即存在着可被分 解的大聚合，但这对数的定义是远远不够的。也不能通过抽象归纳得出一条包括 所有数定义的规律，因为抽象之后得到的东西不再具有那些被抽象掉的具体的特 征，属于每一个数的独特的东西就不会保留在抽象之后得到的规律之中，但这些 独特的东西，恰好就必定属于那个数的定义，因此存在着矛盾。 归纳必定嘶临管从哪些东西出发进行抽象的问题。如上所述，从物理事实出 发归纳出数的定义存在困难，同样，从数句子出发归纳出算术定律也存在着i i j 难： 由于数公式可由数定义和算术定律证得，因而定义和定律逻辑在先，若其普遍性 由数公式归纳得来，则数公式逻辑在先，那么就需要寻找另一种建立数公式的方 式，这会使前面所有的讨论变得没有意义。 归纳还必面临另一个问题：相同或相似性在哪罩。抽象以相同或相似性为基 1 2 础。数表达了在量上的差异，在量的方面，不可能找到相同。数也不能在其它的 方面找到相似，偶数可以对分，奇数则不能，4 和9 是平方数，8 则是立方数。 能发现的相同之处也许是：它们都是一个数，但这是无意义的。“尽管我们已经 习惯于在许多方面都把数看作是同类的；但这仅仅是因为我们知道一系列对所有 数都有效的普遍句子。然而现在在这里我们必须基于这样的立场，即还不知道任 何这样的句子”11 j i 。特别地，数与数之间具有特定的排列次序，3 只能在2 之 后，4 之前，这是由3 的本性决定的，而这样的性质只能被构造出，不能被抽象 出。 隐藏在归纳后面的，其实是另一个问题：从个别的、具体的东西出发，怎能 得到普遍性的东西? 这是个相当令人困惑的问题。弗雷格峰持认为，数的性质不 可能从归纳中得来，由归纳提供的东西，不能通过推理使尚未遇到的东西的性质 得以确立。通过观察，人们归纳出“太阳每天都从东方升起”这个句子，但它的 确推论不出，明天的太阳是否还会升起。归纳并不能把没有确定的东西告诉给人 们。但数却是另外一种情况，任何一个数，无论人类以前是否使用过它，一旦被 指明，就可确知它的全部性质奇数? 偶数? 素数? 或是某个数的平方，如此 等等。这些不是通过归纳而得，而是通过合适的定义即继续加一构造而得，从数 的定义得出数的性质，显示出一种极有价值的可能性：一方面，如果能找到特殊 数的形成方式，可以得出个别数的特殊性质，另一方面，如果能找到所有数共同 的形成方式，那么数的普遍规律可以化归到数的定义，由数的定义证明而得。j 下 是在这种认识的基础上，弗格区分了通常意义上的归纳法和数学归纳法( 伯努利 归纳法) 。他有可能仅借助算术的普遍句子就能证明数学归纳法的合理性。这一 想法由数学的发展予以证实，在公理集合论中，数学归纳法就是由自然数的定义 中得出的。归纳与数学归纳法有着本质上的差异，前者只是事实旬的堆集，而后 者在于，首先我们知道所讨论对象的构造方法，其次我们借助了真句子与真句予 之间的依赖关系。 第三节算术规律的非综合性和算术知识的可增长性 算术规律不是综合的 数定义和算术舰律是逻辑的，因而也就是先天的。康德不仅区分了先天和经 验判断，也区分了分析和综合判断，并且他宣称算术真句子是先天有效的，同时 也是综合的。弗雷格从三个方面否定算术定律的综合性质，一是算术同直觉的关 系，二是算术同几何的关系，三是算术的应用范围，以此证明算术真完全是分析 性的。 1 3 弗雷格认为，综合的必诉诸直觉( i n t u i t i o n ) ，而直觉要么与感性经验相关， 要么无关。如果相关，则我们既不能承认对大数的直觉，也不能承认对普遍的数 的直觉，不能承认对普遍的量的直觉。如果无关，则直觉就难以作为先验综合判 断的认识原则和依据。这是持综合观点面临的第一个网难。 在数学中，几何既被康德，也被弗雷格承认为是综合的。但算术与几何学有 着本质上的区别。单个的点( 或线、或面) 无法与任何一个其它的点( 或线、或 面) 相区别，因为这个单独的点只是作为它们整个属( 所有点的集合) 的代表， 如同任何一个其它的点都是这个属的代表一样，它们不是特殊的东西，只有在直 觉中同时把握许多点时，它们之间才能被区分。但算术则完全是另一种情形，因 为每个数都存在着仅属于自身的特殊性。 弗雷格指出，比较算术真句子和几何真句子，也会发现算术与几何学之间的 巨大差异。欧氏几何中，三角形内角和是1 8 0 度，平行线也是不相交的，但在非 欧几何中，三角形的内角和可以大于1 8 0 度，也可以小于1 8 0 度，平行线也可以有 相交点，“人们可以总是假定与这条或那条几何公理相对立的东西，而在根据这 些与直觉相悖的假定进行推理时又不陷入自相矛盾”l i 引。弗雷格认为这一方面 表明了几何公理的相互独立性，也说明几何公理不依赖逻辑的初始规律，因而它 们是综合的。但在算术中，否认公理就会得到矛盾。另外，算术真支配一切可计 数领域，远比几何真支配的领域广博，它包括一切可被思考的东西，因而同思维 规律办即逻辑联系最为密切。以上这些，都不利于那些认为算术真是综合性质的 论断 因此，只剩下一种可能性：算术真是分析的。需要指出的是，从弗雷格所确 立的先验、后验、分析与综合的标准看，先验的与分析的是重合的。 二、算术知识的可增长性 如果否认了算术定律的综合性质，就自然面临一个根本性的问题，即算术知 识的可增长性。弗雷格意识到这是个困难，“这株高大挺拔、分枝广远而且仍然 还在增长的数的科学之树，难道能够植根于纯粹的同一性之中吗? 而且如何能够 最终从逻辑的空洞形式获得这样的内容呢? ”l i 刈 弗雷格指出，首先，语法与语义之间存在着一定的关联。他说，如果不给予 符号以意义，从空洞的符号中不可能产生出有意义的东西。但这意义从何而末? 他认为，数学家不将符号理解为可直接感受的东西时仍可进行计算，这时并未考 虑符号的内容，因而符号本身也有意义，符号本身的意义不同于它的内容。人们 需要知道以下两点，“应该如何以逻辑方法处理从符号感受到的内容；在打算应 用于物理学时，必须如何实现向现象过渡”t t o 。其次，演绎具有相当重要的作 1 4 用。归纳建立起一些规律，可以推导出一些并不包含在这些规律之中的新句子， 其性质需要通过推导来揭示。但这些新句子能通过演绎推导出来，说明它在所有 规律的整体之中，只不过是以某种方式隐藏着罢了。因此，可以把一个推理串与 事实分离丌来，一方面，单独地考虑推演系列，另一方面，将事实的内容作为条 件接受，在这种意义上，算术规律就会是分析判断，同时，又能保持知识的不断 增长。 因此，定义在算术真问题中具有极其重要的地位和作用。定义是联系符号与 其意谓最直接的地方，是以逻辑方法处理从符号感受到的内容最直接的地方，也 是把推理串与观察的事实直接联系起来而实际上达到的地方，对恰当的定义，许 多规律也可化归于它。在弗雷格的标准上，算术真命题当然足分析判断，而恰当 的定义则保证了从逻辑的空洞形式中能不断增长出新的知识。算术真是分析的 真，而要把这种分析性实际地展现出来，有赖于数的定义定义乃足算术真问 题的最终落脚点。 第四节进行构造的定义和进行分析的定义 弗雷格指出，人们经常混淆解释与真f 的定义。在一门科学刚j l ：始的阶段， 使用的是r 常语言中的语词，人们并不总是确切地知道其意谓，并且经常不是很 严谨地使用它们，因此需要对它们作出解释，一是保证对其意谓有一致的理解， 二是排除可能的误解。解释仍须借助同常语言中的语词，于是又需要新的解 释。从理论上讲解释达不到目的，但事实上人们最后还是能够达到一致，因而这 种一致的产生是因为有定义。定义是在构造系统之时的仟意规定，解释则都发生 在构造系统之前，因为在构造系统之初，对语词都必须预先假定其有确切的意谓。 定义是在系统中引入简单符号代替可能重复出现的符号组。按照弗雷格的观 点，句子的部分的涵义是句子的思想的一部分，因而一个符号组也具有涵义，它 也构成定义这符号组的那个简单符号的涵义，这涵义是一个规定，也就是一个定 义。因此从涵义的角度看定义没有为内容增加任何东西。在意i 肖方面也是如此。 符号可通过定义而被给予一个意谓，并转变为一个断定同一性的句子，它也不能 扩展认识。因此，“每当确实表现为一条定义的东两使一个真命题的证明成为可 能时，我们所有的就不是纯定义”l i 酬，其巾必定隐藏有某种或足定理或是公理 的东西。弗雷格指出，下定义对逻辑来说完全不重要也不必要，但对思维与心理 活动则相当重要，它可以把十分复杂的涵义联系到一个简单的符号上，符号象容 器一样把复杂涵义封装起来，可以使思维活动变得更加轻便快捷。 但许多人持有对立的看法。他们认为，在定义中可以进行逻辑分析，从而使 一些原先未得到证明的真命题得到证明，使符号所表达的简单的涵义更为简单。 1 5 分析必然得到一个复合构成的表达式，它的各部分的涵义为我们己知，它们产生 新表达式的涵义，这就引起一个困难：这一涵义与先前的长期使用的涵义是否重 合。一方面，这应当是新的涵义，两者应当不会重合，除非有一条公理说两个涵 义是相同的。另一方面，尽管新的涵义是从对定义的分析中得出的，但它本就应 当