（理论物理专业论文）石墨烯中的理论研究.pdf

v 摘要 石墨烯是由碳原子构成的二维单层六边形格点，自2 0 0 4 年发现以来，它就引 起了物理学界的广泛关注，成为一个重要的基础研究方向在石墨烯的理论研究中， 学术界主要采朋两个模型：紧束缚近似模型和有效质量理论在本文中，我们分别从 这两个角度讨论了不同的关于石墨烯的性质 首先，以紧束缚近似为基础，本文第二章中讨论了量子群在h o f s t a d t e r 问题中的 循环表示，并将之推广应用到石器烯，得到以恒定磁场t - 石翠烯的能量本征态为 基的量子群循环表示为了得到石墨烯中的磁平移对称性算符，本文先将石墨烯 的h a m i l t o n i a n 取平方，于是h a m i l t o n i a n 便变成了一个三角形格点的h a m i l t o n i a n ，然 后将这个h a m i l t o n i a n 与方形晶格的磁平移对称性比较，最终得到了石墨烯f l 的磁平 移对称性算符在磁平移对称性基础上，h e i s e n b e r g - w e y l 对易关系，我们进一步得 到一组量子群的算符，同时我们发现了以能量本征态为基的循环表示，并根据这一 表示讨论了在石墨烯中的h o f s t a d t e r 问题的能级简并密度 接下来的工作都是基于石墨烯的有效质量理论本文第三章中通过对石墨烯的有 效质量理论一d i r a c 方程的求解，讨论了包含p n 结的石墨烯中电子运动的a h a r o n o v - b o h m 效应，其中电子运动的路线利用石墨烯中p n 结的特性来构成一个环路，最 终得到局域流密度相对丁磁通的变化在主流的研究中，关于白墨烯的a h a r o n o v b o h m 效应一般强调两点：1 ) 主要讨论环形的石墨烯系统，2 ) 强调南于磁通引起 的v a l l e y 昵量简并的破缺所导致的物理效应与主流的研究不同的是，我们利用了石 墨烯中p n 结的电子负折射透镜的性质，利用几个p n 结构成了电子运动的一个闭合 路线，然后在中间加入磁通，从而讨论a h a r o n o v b o h m 效应的可能性我们的讨论结 果显示了了d i r a c 方程的相对沦性质对a h a r o n o v - b o h m 效应的影响 本文第四章根据l a n d a u e r 公式计算了含有两个势阱的仃墨烯带状模犁中的电 导，得到由于电子经过势阱之问的区域所构成的干涉效应对电导的影响本部分是 基于q u a n t u m l i m i t e ds h o tn o i s ei ng r a p h e n e ，p h y s r e v l e t t 9 6 ，2 4 6 8 0 2 ( 2 0 0 6 ) 的 文章，存该文献中，讨论了含一个势阱的石墨烯带状模型中的电导及f a n o 因子( 也就 是电导的涨落系数) ，发现在这种情况下，1 ) 存在一个恒定的电导率，这是在普通的完 美晶格模型中所没有的，2 ) f a n o 因子和无序金属的相同本文将该文献的讨论推广到 两个势阱的情况，结果发现一种干涉效应：当电子波通过势阱中间的区域所获得的 相位为27 r 时，现象和文献的一致；而当相位为7 r 时，则得到不同的现象，这时f a n o 因 子为0 ，也就是电导无涨落，同时电导以对数形式依赖于和系统形状有关的因子 关键词：石墨烯量子群a h a r o n o v - b o h m 效应电导 a b s t r a c t g r a p h e n ei sa2 一d i m e n s i o n a ls i n g l e - l a y e rh e x a g o n a ll a t t i c eo fc a r b o na t o m s w h i c h h a sr e c e n t l ye m e r g e da saf a s c i n a t i n gs y s t e mf o rf u n d a m e n t a ls t u d i e si nc o n d e n s e d m a t t e rp h v s i c s f o rt h e o r e t i c a ls t u d y , t w om o d e l sa r ee x t e n s i v e l yu s e d ，w h i c ha r et h e t i g h t b i n d i n gm o d e la n de f f e c t i v em a , s st h e o r y w bs t u d yt h ep r o p e r t i e so fg r a p h e n e f r o mt h e s et w op o i n t so fv i e w f i r s t ，w i t ht h et i g h t b i n d i n gm o d e l ，w ed i s c u s st h eh o f s t a d t e rp r o b l e mo ng r a p h e n e a n df i n dt h ec y c l i cr e d r e s e n t a t i o ni nt h eb a s eo fe i g e n s t a t eo ft h eh a m i l t o n i a n t o g e tt h em a g n e t i ct r a n s l a t i o ns y m m e t r i c a lo p e r a t o r so fg r a p h e n e ，w ef i r s ts q u a r et h e h a m i l t o n i a n w h i c hi st r a n s f o r m e di n t oaf o r mo ft h eh a m i l t o n i a no ft r i a n g u a i rl a t t i c e 。t h e nw ec o m p a r et h em a g e n t i ct r a n s l a t i o ns y m m e t r yb e t w e e ng r a p h e n ea n d s q u a r el a t t i c e a n df i n a l l yw eg e tt h em a g n e t i ct r a n s l a t i o ns y m m e t r i c a lo p e r a t o r si n g r a p h e n e f r o mt h eh e i s e n b e r g - w e y lr e l a t i o n s h i po fm a g n e t i ct r a n s l a t i o ns y m m e t r y , w ec a nc o n s t r u c tas e r i e so fo p e r a t o r sw h i c hs a t i s f yt h eq u a n t u mg r o u p sc o m m u t a - t i v er e l a t i o n 。a n dw ef i n dt h ec y c l i cr e p r e s e n t a t i o ni nt h eb a s eo fe i g e n s t a t eo ft h e h a m i l t o n i a n f r o mw h i c hw ed e d u c et h ed e g e n e r a c yd e n s i t yi nt h eh o f s t a d t e rp r o b - l e mo fg r a p h e n e 。 w i t ht h ee f f e c t i v em a s st h e o r yo fd i r a cf e r m i o n ，w ed i s c u s st h ea h a r o n o v - b o h m e f f e c t i ng r a p h e n ev i aam o d e lc o n s i s t i n go fp - nj u n c t i o n s ( p n j s ) i nt h er e s e a r c h o fm a i n s t r e a m ，t h es t u d yo ng r a p h e n e sa h a r o n o v - b o h me f f e c tg e n e r a l l ye m p h a s i z e s t w op o i n t s ：1 ) o n l yd i s c u s s e da b o u tt h eg r a p h e n er i n gs t r u c t u r e ；2 ) e m p h a s i z e dt h e p a y s i c sr e s u l tf r o mt h ev a l l e y d e g e n e r a c yb r o k e nc a u s e db yt h em a g n e t i cf l u x o u r d i s c u s s i o nt a k e sa c c o u n to fad i f f e r e n td i r e c t i o n b a s e do nt h en e g a t i v er e f r a c t i v e - i n d e xf e a t u r eo fp n ji ng r a p h e n e f o u rp n j sa r eu s e dt oe s t a b l i s ht w od i f f e r e n tp a t h s w h e r et h ee l e c t r o nm o v e st h r o u g hc i r c u l a t i n ga r o u n dac e n t r a ls q u a r ew i t hm a g - n e t i cf l u x 垂i n i t i a t e df r o mt h el e f ts i d eo ft h em o d e l t h ee l e c t r o nt r a v e l sr i g h t w a r d t h r o u g ht h ep a t h sa n di n t e r f e r e so nt h er i g h ts i d e ，w h e r et h ee x p l i c i ta n a l y s i ss h o w s t h a tt h em a g n e t i cf l u xw i l lr e s u l ti nt h ed i s t r i b u t i o no fl o c a lc u r r e n td e n s i t y o n r r e s u l ts h o w st h ei n f l u e n c et ot h ea h a r o n o v - b o h me f f e c tb yt h er e l a t i v i s t i cc h a r a c t e r o fd i r a ce q u a t i o n w ba l s od i s c u s st h ec o n d u c t a n c eo fg r a p h e n er i b b o nw i t hl a n d a u e rf o r m u l a 。a n d g e tt h ec o h e r e n te f f e c tt ot h ec o n d u c t a n c e t h i sw o r k i si l l u m i n a t e db yt h ew o r kn a m e d q u a n t u m - l i m i t e ds h o tn o i s ei ng r a p h e n e ，p h y s r e v l e t t 。9 6 ，2 4 6 8 0 2 ( 2 0 0 6 ) i nt h i s l v w o r kt h e yc o n s i d e rt h eg r a p h e n er i b b o nw i t hz e r oe l e c t r i cp o t e n t i a la n df o u n d ：1 ) t h e r ei sac o n s t a n tc o n d u c t i v i t yw h i c hi su n e x p e c t e df o rap e r f e c tc r y s t a l ；2 1t h ef a n o f a c t o ro ft h es y s t e mi st h es a m et oad i s o r d e r e dm e t a l t h es y s t e mw ec o n s i d e r e d i sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s w h e ne l e c t r o n sa r ei n i e c t e df r o mt h el e f te l e c t r o d eo fa g r a p h e n er i b b o ns y s t e m ，t h e yg ot h r o u g ht w or e g i o n sw i t hz e r oe l e c t r i cp o t e n t i a l ，i n t h em i d d l eo fw h i c ha nn o n z e r oe l e c t r i cf i e l di sa p p l i e d ，a n df i n a l l yt h e ye n t e rt h e r i g h te l e c t r o d e w 色f i n dt h a tt h ec o n d u c t a n c e d e p e n d so nt h ep h a s ea c c u m u l a t i o n w h e nt h ee l e c t r o nw a v eg o e st h r o u g ht h em i d d i er e g i o n w h e nt h ep h a s eg a i n e df r o m t h i sr e g i o ni s2 7 r ，t h er e s u l ti st h es a m et ot h eb i b l e b u tw h e nt h ep h a s ei s7 r ，w e g e tad i f f e r e n tr e s u l tt h a tf a n of a c t o ri sz e r oa n dt h ec o n d u c t a n c ei sd e p e n d e n ti na l o g a r i t h m i cw a yw i t ht h ef a c t o r sr e l a t i v et ot h es h a p eo ft h es y s t e m k e y w o r d s ：g r a p h e n eq u a n t u mg r o u pa h a r o n o v - b o h me f f e c tc o n d u c t a n c e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：杏台( 直彳 和学年f 2 月1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最跃1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：孕匆炙斯 p 勿口彦年胆月f 日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n g r a p h e n ei sa2 - d i m e n s i o n a ls i n g l e - l a y e rh e x a g o n a ll a t t i c eo fc a r b o na t o m s w h i c h h a sr e c e n t l ye m e r g e da saf a s c i n a t i n gs y s t e mf o rf u n d a m e n t a ls t u d i e si nc o n d e n s e d - m a t t e rp h y s i c s f1 ，2 ，3 ，4 1 a san e wm e m b e ri nt h ec a r b o ns t r u c t u r ef a m i l y , a l o n g w i t hg r a p h i t ea n dc a r b o nn a n o t u b e ，g r a p h e n eh a ss o m en e wq u a l i t i e s c o m p a r i n g g r a p h e n ew i t hg r a p h i t e t h el a t t e ri sa 孓d i m e n s i o n a lm a t e r i a lt h a ti th a sm a n yl a v e r s w e a k l yb i n d e d6 yv a nd e r 鼢i sf o r c e o nt h eo t h e rh a n d t h o u g ht h e r ee x i s t ss i n g l e l a y e rc a r b o nn a n o t u b e g r a p h e n eh a sf l a ts t r u c t u r ea n dn a n o t u b ei sc y l i n d e r t h i s 2 一d i m e n s i o n a ls i n g l e - l a y e rf l a ts t r u c t u r ei su n e x p e c t e dt i l li ti sf a b r i c a t e di nt h el a b s u c c e s s f u l l y a se a r l ya s19 3 0 s l a n d a ua n dp e i e r l sh a dd r a w nt h ec o n c l u s i o nt h a ta r i g o r o u s2 一d i m e n s i o n a lc r y s t a l i st h e r m o d y n a m i c a l l yu n s t a b l ea n dc a nn o te x i s t 5 ，6 1 t h i sa r g u m e n tw e r es t r o n g l ys u p p o r t e db yt h ee x p e r i m e n ta l la l o n g g r a p h e n ec a n b ea ne x c e p t i o nf o rt w op o s s i b l er e a s o n s ：f i r s t ，t h e r ea r es t r o n gi n t e r a c t i o nb e t w e e n t h ee l e c t r o n si nt h ec r y s t a la n dt h el a t t i c es i t e sa t t r i b u t i n gt ot h ee l e c t r o n i cs t r u c t u r e o fc a r b o na t o m i1 ，7 ，8 ，9 i ；s e c o n d ，g r a p h e n ei sn o ta b s o l u t ef l a tt h a ti ts t i l lg e n t l y c r u m p l e si nt h et h i r dd i m e n s i o n 1 0 ，11 1 ，w h i c hm i n i m i z e si t st o t a lf r e ee n e r g y g r a p h e n ew a sf i r s t l yf a b r i c a t e ds u c c e s s f u l l yi n2 0 0 5 1 1 ，7 ，8 ，9 1 ，a n di m m e d i a t e l y a t t r a c t st h ei n t e r e s tf r o mt h et h e o r e t i c a lp h y s i c i s tb e c a u s eo fi t sr o v e lf e a t u r e sf r o m t h eu n u s u a lc o n i c a lb a n ds t r u c t u r e ，o ri no t h e rw o r d s ，f r o mt h ef a c tt h a tt h ee f f e c t i v e m a s sh a m i l t o n i a nh a p p e n st ob et h ef o r mo fd i r a ch a m i l t o n i a n w h i c hw i l lb es h o w n a sf o l l o w s 1 1h a m i l t o n i a no fg r a p h e n e i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c ew h e r et h ec o n i c a lb a n ds t r u c t u r ec o m e sf r o ma n d t h ee f f e c t i v em a s st h e o r yb yt h ea n a l y s i sb a s i n go nt h et i g h t - b i n d i n gh a m i l t o n i a no f g r a p h e n e t h e o r e t i c a l l y , g r a p h e n ei sc o n s i d e r e da sah o n e y c o m bl a t t i c es y s t e mw h e r et h e e l e c t r o n sh o p sb e t w e e nt h es i t e s ，t h eh o n e y c o m bl a t t i c ec a nb ev i e w e da st h es u - 2c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n p e r p o s i t i o no ft w ot r i a n g u l a rs u b l a t t i c e sa a n db ，w h i c hi ss h o w ni nf i g 1 1 1 3 t h e 、7 ： ： 一o 、 a o b ， i 、r i i - 、， ： ： ， 、， f i g u r e1 1 ：g r a p h e n eh o n e y c o m bl a t t i c ec o n s t r u c t e da sas u p e r p o s i t i o no ft w ot r i a n - g u l a rl a t t i c e sa a n db ，w i t hb a s i sv e c t o r sa if o rl a t t i c eaa n dv e c t o r ss ic o n n e c t i n g at ob 。f 3 】 b a s i sv e c t o r so ft h el a t t i c ea r ea la n da 2 ，a n dt h et h r e ev e c t o r ss ic o n n e c ta n ys i t e f r o ml a t t i c eat oi t sn e a r e s tn e i g h b o rs i t e sb e l o n g i n gt ob t h ee x p r e s s i o no fs ii s s ，= c 。，一，粤，s 2 = ( 雩，丢) 粤，s 3 = ( 一雩，互1 ) ( 1 1 ) w h e r e i st h el a t t i c es p a c i n g w h e nw et a k et h et i g h t b i n d i n ga p p r o x i m a t i o n t h e e l e c t r o n so n l yh o pb e t w e e nt h en e a r e s tn e i g h b o rs i t e s d e n o t et h eh o p p i n gs t r e n g t h a s - t ，t h eh a m i l t o n i a ni s 1 2 凰= 一f r ) 6 ( r + s t ) + 6 t ( r + s t ) 口( r ) 】， r e ai = 1 ，2 ，3 w h e r et h ef e r m i o no p e r a t o r saa n dba c to ns u b l a t t i c e saa n db ，t h a t a t ( r ) l0 ) = ir ) a ，b t ( r + s i ) 10 ) = ir + s i ) 日 t h eh a m i l t o n i a nh oi se a s yt ob ed i a g o n a l i z e di nt h em o m e n t u ms p a c e a n o t h e rg r o u po ff e r m i o no p e r a t o r sw h i c ha c t so i lt h em o m e n t u ms p a c e ： ( 1 2 ) ( 1 3 ) d e n o t e ( 1 4 ) ， ， ： 、 、 、 、， ， ， ， ， ， ，： 、 1j r r 0 6 k e 似 = k k 0 6 1 1h a m l l t o n i a no fg r a p h e n e 3 r e p l a c eo ( r ) a n db ( r ) w i t ha ( k ) a n d6 ( k ) a n dt h e n 凰t u r n so u tt ob e ： 凰；( m ( k ) 一( k ) 5 ( k ) + 旷( k ) ”( k ) n ( k ) ) ( 15 ) k 、 ， w h e r e e l k ) = 一t 产 f 】6 ) i l 2 3 i t i s o b v i o u s t h a t t h es i n g l e p a r t i c l es p e c t r u m o f t h e h a m f l t o n i a n i s e ( k ) = - k l m ( k ) l ， a n d i t i ss h o w n i n f i g l2 1 4 1t h i ss p e c t r u mh a ss i xz e r op o i n t s ，b u to n l y t w o o f t h e m a k ,a k f 远l 肿l2 ：t h ee u e r g vb a n ds t r u c t u r eo fg r a l ) h e n ev a l e n c ea n dc o n d u c t i o nb , m n l s m e e ta ts i x kp o i n t s a 咒i n d e p e n d e n tw h i c ha r ec h l e dd i r a cp o i n t s l 4 ： k _ k “( 焘，o 弘郴) - 0 - i fw ej u s tr e m a i nt h ep a r ta r o u n dt h ed i r a cp o i n t sa n dc u tt h eo t h e rp a r to 圩f r o m f i g12 ，w eg e tt h es p e c t r u me ( k ) e x p a n d e da tt h ed i r a cp o i n t s ，w h i c hi sj u s tt w o c o n 鹳u p w a r da r i d t h e o t h e r t w od o w 1 w a r d t h i s i s e x a c t l y t h ec o n i c a lb a ds t r u c t u r e o fg r a p h e n e h e r e w e e x p l a i n w b y t h e s p e c t r u m i se x p a n d e da t t h e d i r a cp o i n t sf o r o n e c a r b o n i nh o n e y c o m bl a t t i c e ，o n l yo h ee l e c t r o ni sf r e ef r o mt h eb o n d sw h i c hf o r mt h el a t r i c es t r u c t u r ei no t h e rw o r d s ，o h el a t t i c es i t ec o r r e s p o n d so h ee l e c t r o ni ng r a p h e n e b e c a u s et h en u m b e ro fs i n 目ee l e c t r o n ss t a t ef o raf i n i t el a t t i c ei st h en u m b e ro f s i t e st i m e s2 ( t h ef a c t o r2c o m e sf r o mt h es p i n ) t h en u m b e ro fs t a t ei st w i c eo ft h e n u m b e ro ff r e ee l e c t r o n s a n di ti sa l s om e n t i o n e da b o v et h a te ( k ) = im ( k ) l ， 4c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i et h en u m b e r so fs t a t e sf o re 0a n de 0a r ee q u a l s oi nt h eg r o u n ds t a t eo f t h es y s t e m ，t h ee l e c t r o n so c c u p i e da l lt h es t a t eo fe a sam a t r i x ： ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) t h e na c c o r d i n g l y , t h et i g h t b i n d i n gh a m i l t o n i a na l s oh a sa ne f f e t i v em a t r i xf o r m 12 j f 0 & 一啼g ：，i m + 锄 。 爿剐i o0 l f 00嘞0 00 z p u0 锄 ， i p 。+ i 协，i 一p z 一 ( 1 1 2 ) 、tili， r r r r 风“n 以 嗨西西畛 ，i-_ill、 = i i 1 2 r e 乙p 、i v l s t i cf e a t u r ，e so fg r a p h e n e 5 1 e h = v p o r0 亿，( 1 1 3 ) w h e r e = 3 t e 2i st h ef e r m iv e l o c i t yo fg r a p h e n e ，p i = - i h o i + a i ( r ) a n d 盯，t zi st h e p a u l im a t r i x t h i sf o r mi sc a l l e dd i r a ch a m i l t o n i a no fg r a p h e n e ，a n df o rc o n v e n i e n c e ， s u b l a t t i c eaa n dba r en a m e dt h ep s e d u o - s p i n ，a n dt h et w od i r a cp o i n t sa r en a m e d v a l l e y i s o s p i n 3 w h e nt h ev a l l e ym i x i n gi n t e r a c t i o ni sa b s e n ti nt h es y s t e m ，w ec a n a l s os i m p l i f ye q ( 1 1 3 ) t ob e h = v p 口 ( 1 1 4 ) b yn e g l e c t i n gt h ev a l l e y - i s o s p i no p e r a t o r r z b o t ht i g h t b i n d i n gh a m i l t o n i a na n dd i r a ch a m i l t o n i a na r ee x t e n s i v e l yu s e di n t h es t u d yo fg r a p h e n e 3 ，4 j c o m p a r e dt ot h ed i r a eh a m i l t o n i a n ，t h et i g h t b i n d i n g h a m i l t o n i a nc a nb ea p p l i e dt ot h ec a s ew h e nt h es t a t ef a rf r o mt h ed i r a cp o i n ti 8 n e c e s s a r yt ob ec o n s i d e r e d b u ti ti sm o r ed i f f i c u l tt od e a lw i t hw h e nt h ee x t e r n a l f i e l di sp r e s e n t a n dt h ep h y s i c a lv i s i o ni sm o r ev a g u e ，s od i r a ch a m i l t o n i a ni sm o r e f r e q u e n t l yu s e df o rt h ee x p l o r e i n go nt h en o v e lf e a t u r e so fg r a p h e n e ，a n dt h et i g h t - b i n d i n gh a m i l t o n i a ni su s e dt oc h e c kt h ei d e ao b t a i n e db yt h ea n a l y s i so fd i r a c h a m i l t o n i a n 1 3 ，1 4 1 i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fg r a p h e n ei nb o t ho f t h e s em e t h o d s 1 2r e l a t i v i s t i cf e a t u r e so fg r a p h e n e s i n c eg r a p h e n ec o m e so u t ，t h e r eh a sb e e np l e n t yo fr e s e a r c hf o c u s i n go ni t ，a n d m a n yn o v e lf e a t u r e sa r eo b s e r v e di nt h e o r ya n de x p e r i m e n t a m o n ga l lt h e s ef e a t u r e s t h e r ea r et w oo ft h e mg e tm o s ta t t e n t i o n ：t h ef i r s to n ei st h eu n s t o p p a b l en a t u r eo f t h ee l e c t r o n s a n dt h es e c o n di st h eh a l fi n t e g e rq u a n t u mh a l le f f e c t ，b o t ho fw h i c h a r et h ef u n d a m e n t a le l e c t r o n i cf e a t u r e so fg r a p h e n ea n dc a nb eu n d e r s t o o df r o mt h e d i r a ce q u a t i o n t h eu n s t o p p a b l en a t u r eo ft h ee l e c t r o n si sa l s on a m e dk l e i np a r a d o x w h e nt h e i n c o m i n ge n e r g yo fap a r t i c l ei sl e s st h a nt h eh e i g h to ft h eb a r r i e r ，t h ep a r t i c l es h o u l d c l a s s i c a l l yb er e f l e c t e dc o m p l e t e l y b u tt h ed i r a ch a m i l t o n i a n h a v ea c l a s s i c a l l ys p u - r i o u st r a n s m i t t e dw a v ei n t ot h ep o t e n t i a lr e g i o n ，w h e r et h ep a r t i c l es h o u l dc l a s s i c a l l y n o tb ea b l et o9 0b | ye n e r g yc o n s e r v a t i o n i1 5 ，1 6 | t h i sf e a t u r ec a nb ee a s i l yu n d e r s t o o df r o mt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h es o l u t i o n so f s t a t i o n a r yd i r a ce q u a t i o na n ds c h r s d i n g e re q u a t i o n 。f o rt h