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中文摘要 r m f + s l a p 方法对碳同位素链性质的研究 专业： 研究生i 指导教师： 理论物理 王培伟 陈洪教授 摘要 相对论平均场理论( r m f ) 是迄今为止原子核中最成功的微观模型之一，它 不仅能够很好的描述稳定核与奇特核的基态性质，而且可以更好地描述核物质 的饱和性质，自然地给出自旋轨道势，赝自旋对称性的起源等。一直以来，对 关联在核物理中扮演着重要的角色。它是原子核的许多物理量表现出奇偶差异的 本质因素。如何在相对论平均场理论框架下进一步处理对关联是人们普遍关注 的问题。通常情况下采用b c s 近似和b o g o l i u b o v 变换处理对关联，但它们在处理 对关联时遇到如下困难：粒子数不守恒，p a u l i 堵塞效应的近似处理，假态问题 等。而在相对论平均场( r m f ) 理论框架下，采用严格保持粒子数守恒的类壳模 型方法( s l a p ) 来处理对关联，即r m f + s l a p 方法，可以避免以上困难。 本文采用r m f + s l a p 方法研究了c 同位素链的基态性质，并与没有考虑对 关联对平均势场影响的非自洽计算进行了比较。说明了对关联对原子核的单 粒子占据几率的影响，也给出了原子核形变随平均对力强度的变化。从整个 同位素链来看，r m f + s l a p j r y 法合理的给出了单核子结合能。并且对于单中子 和双中子分离能，以及对能的描述正确地再现了奇偶差。同时，也很好的描 述了质子和中子半径随质量数的变化。这表明在研究原子核基态性质时，利 用r m f + s l a p t y 法考虑核予核子之间的对关联是非常重要的。 关键词= 相对论平均场，对关联，形变，c 同位素，类壳模型方法 e n g l i s ha b s l m c t r m f + s l a p a p p r o a c hs t u d i e st h e p r o p e r t i e s o fc a r b o ni s o t o p e s m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s a d v i s o r ：p r o f c h e r th o n g a u t h o r ：w a n gp e i w e i a b s t r a c t t h er e l a t i v i s t i cm e a nf i e l d ( r m f ) t h e o r yi so n eo ft h em o s tu s e f u lm i c r o s c o p i c m o d e l sd u et oi t ss u c c e s si nd e s c r i b i n gm a n yn u c l e a rp h e n o m e n af o rt h es t a b l en u c l e i a sw e l la sn u c l e ie v e nf a rf r o ms t a b i l i t y ，i th a sb e e ns h o w nt h a tt h er e l a t i v i s t i cm e a n f i e l dc a l lr e p r o d u c eb e t t e rt h en u c l e a rs a t u r a t i o np r o p e r t i e si nn u c l e a rm a 肚e fa n dg i v e n a t u r a l l yt h es p i a o r b i tp o t e n t i a l ，t h eo r i g i no ft h ep s e u d o s p i s y m m e t r y e t c p a i r i n gc o r r e l a t i o n sp l a y a l li m p o r t a n tr o l ei nn u c l e a rp h y s i c s ，a n di ti se s s e n t i a lf a c t o rf o ro d d g v e ne f f e c ti nm a n yp h y s i c a lv a r i a b l eo fn u c l e i h o wt ot r e a tt h e p a i r i n gc o r r e l a t i o n sh a sr e c e i v e da r e n e wa t t e n t i o n u s u a l l y , t h ep a i r i n gc o r r e l a t i o ni s t r e a t e db yu s i n gt h eb a r d e e n - c o o p e r s c h r i e f f e r ( b c s ) a p p r o x i m a t i o na n db o g o l i u b o v t r a n s f o r m a t i o na ss t a n d a r dm e t h o di nt h en u c l e a rp h y s i c sl i t e r a t u r e s h o w e v e r , t h i s m e t h o de x i s t st h e s ed e f e c t si nb o t ht h eb c ga p p r o x i m a t i o na n db o g o l i n b o vt r a n s f o r - m a r i o nf o rf i n i t ef e r m i o ns y s t e ml i k en u c l e ic a l lb ea v o i d e di n t h es h e l l m o d e l l i k ea p - p r o a c h ( s l a p ) ，w h i c hw a so r i g i n a l l yr e f e r e e da sp a r t i c l en u m b e re o n s e r v i n gm e t h o d t h eg r o u n ds t a t ep r o p e r t i e so fc a r b o ni s o t o p e sa r es t u d i e dw i t hr m f + s l a pi n t h i st h e s i s t h er e s u l t so b t a i n e da r ec o m p a r e dw i t ht h ed a t aw i t h o u tp a i r i n gc o r r e l a - t i o ni nt h en o ns e l f - c o n s i s t e n tr m f + $ l a ew es h o wt h ee f f e c to fp a i r i n gc o r r e l a t i o n o no c c u p a t i o no fs i n g l ep a r t i c l e ，a n dg i v et h ec h a n g eo fq u a d r u p o l ed e f o r m a t i o na s 盎f u n c d o no fp a i r i n gs 址e n g t h t h ek m f + s l a pc a n 诧p d l 王c et h eb i n d i n ge n e r g y , s e p a r a t i o ne n e r g i e so fs i n g l ea n dd o u b l en e u t r o n ，o d d - e v e nm a s sd i f f e r e n c eo f c a r b o n i s o t o p e s m o r e o v e ri tp r o p e r l yd e s c r i b e st h er a d i u so fn e u t r o na n dp r o t o na sf u n c t i o n 一一 o fm a s sn u m b e r t h e r e f o r e ，i ti si m p o r t a n tt ot r e a tp a i r i n gc o r r e l a t i o no fn u c l e iw i t h r n 旺+ s l a pm e t h o d k e yw o r d s ： r e l a t i v i s t i cm e a nf i e l d 。p a r i n gc o r r e l a t i o n ，d e f o r m a t i o n ，c a r b o ni s o t o p e 。s h e l l - m o d e l l i l 【ea p p r o a c h m 一 插图 插图 3 1 截断能量为5 0 m e v 时，r m f + s l a 晰算得到的c 同位素链的奇偶 质量差( o ) 与实验值( ) 的比较。2 l 3 2 列出了r 卧s “垤方法计算得到1 6 c 的中子的单粒子能级占据几 率( a ) 和无对关联时中子的单粒子占据几率( b ) 。其中 2 2 0 1 1 2 + 以 上的单粒子能级占据几率都扩大了1 0 倍。2 1 3 3 中子的平均对立强度g 。= o 4 m e v 截断能量为反= 5 0 m e v 时， r m f + s l a l p ( 实心圆点) 和r m f + s l a p * ( 空心圆点) 计算得到 的”c 价中子单粒子能级占据几率的比较2 3 3 4 是r m f + s l a p ( o ) 和r m f + s l a p * f a ) - = ! 自洽计算得到的i s c 的中 子、质子和总的四极形变随平均对立强度的变化。2 4 3 5r m f + s l a p ( o ) 自洽计算，r f 计算得到的结合能与实验值( ) 的 比较。2 6 3 6 是r m f ( a ) 、r m f + s l a p ( o ) 自洽计算得到的单中子、双中子分离 能与实验值( ) 的比较。2 6 3 7 利用r m f + s l a p l | 洽计算得到的中子( 口) 、质子( o ) 和总的对 能( ) 随质量数的变化。” 3 8 是r m f + s l a p 方法计算得到的c 同位素链质子( o ) 。中子( ) 半径随 质量数a 的变化。2 8 一v 一 表格 表格 2 1 核子介子耦合模型中用到的介子场5 3 1 对1 6 c ，r m f + s l a p i i 洽计算。 合能( e a ) i m e v ，中子，质子， r m f 计算得到的总结合能e ，每核子结 物质半径( f m ) ，中子，质子。和总的四 极形变与相应实验值【3 3 的比较。2 2 3 2 是用r m f + s l a p i ! i 洽计算在对立强度为常数时得到1 6 c 的中子多粒子组 态、价核子数目、中子、质子和总的对能随组态截断能量的变化。2 3 3 3 分别列出t c n 位素的质量数、中子数、总结合能、单核子结合能、中 子，质子、物质、电荷半径和中子、质子、总的四极形变。2 5 v i 独创性声明 学位论文题目： 些里墨坠叁里左造挝毯回焦塞鲑性厦的盟巍 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书面使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者：王雠签字日期：年月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名：王谵佑 签字日期：年月 目 学位论文作者毕业后去向： 工作单位 通讯地址 导师签名 签字日期： 电话 邮编 月 日 奠与 驴年 、p 第一章引言 第一章引言 1 1 引言 相对论平均场理论【l ，2 】成功地描述了稳定核【3 ，4 9 】以及远离稳定线原子核 许多奇特的核物理现象【4 ，5 1 和非相对论平均场理论相比，相对论理论更好地 再现了核物质的饱和性【5 】，给出超形变全同带【6 】和中子晕的新解释【1 8 】，预言 了近中子滴线原子核的巨中子晕现象【8 】，由于相对论条件的考虑，而不必再引入 唯象的自旋轨道势，自动绘出了自旋轨道势，给出赝自旋对称性【1 2 ，1 3 】的合理 解释【1 4 _ 1 6 】，预言反核子谱的自旋对称性【9 】，很好地描述了磁转动【1 0 】和集体 激发i “】，等等 为了描述非满壳核，需要考虑核子一核子之间的对关联，对关联在原子核的诸 多性质中扮演着非常重要角色，它足诸如原子核质量及丰度，结合能，奇偶效应。 单粒子能级占据几率，电磁跃迁，集体运动低级发能谱，和转动惯量等许多物理量 表现出奇偶差异的本质因素，是原子核在高角动量，高同位旋情况下出现奇异 现象( 如回湾现象，晕核，幻数的消失和新幻数等) 主要原因。如何更合理的处 理对关联成为核物理理论研究的重要课题。处理对关联的标准方法有b c s 近似 或者是b o g o l i u i b o v 变换。 b c s 方法最初在金属的超导性理论中取得了极大的成功，自 从b o h r , m o t t e l s o n p r i n e s 提出原子核的对关联和超导性的概念及实验证据 之后，很多人把b c s 方法移植到原子核中来并取得了相当的成功。b c s 方法优 点是在在概念上和计算上都比较简单，它把一个复杂的相互作用多粒子体系问 题简化成一个独立的准粒子体系问题。在此基础上可较方便地考虑其它剩余 相互作用( 例如四极和八极长程力) 的影响，也可以进一步考虑转动的影响( 推转 壳模型) 以处理原子核的高自旋态，都取得了显著的成绩。特别是对于比较稳 定的原子核，b c s 方法是简单有效的，但是对于奇特核，它会导致连续区中非 物理态的占据。需要首先挑选出连续区中的共振态( 如r m f + b c s 方法【3 0 】) 或采 用b o g o l i u b o v 变换( 如r c h b 【4 ，1 8 9 来进一步处理。 除此之外，对于原予核这样的有限费米子系统，b c s 方法和b o g o l i u b o v 变 换还存在着其它的严重的缺陷，( 1 ) 粒子数不守恒的问题，由粒子数不守恒带 来的问题需要认真对待，特别是对随粒子数变化较为敏感的物理量，用b c s 方 法处理就不可靠。( 2 ) p a u l i 堵塞效应的近似处理，堵塞效应足p a u l i 原理的一种特 第一章引言 殊表现。人们最早是通过奇偶现象才认识到核子有对关联，由于堵塞效应造成 的对关联减弱，这是一种很重要的奇偶差，在研究原子核时造成奇偶差的本 质原因足对关联中的堵塞效应，而处理堵塞效应是b c s 方法遇到的最致命的困 难。( 3 ) 假态问题。这是b c s 方法的另一个缺点。在计算的过程中会出现很多假 态，因此在准粒子激发谱的基础上来进一步研究其他问题所得出的结论的可靠 性是需要认真对待的。特别是用长程力来进一步分析原子核的”口振动态”的内部 态结构，其结论不是很可靠的。 粒子数守恒方法【5 0 可以避免以j ：b c s 和b o g o l i u b o v 【4 1 7 ，1 8 方法遇到的 困难，它通过在合理的多粒子组态空间下直接对角化对力哈密顿量来处理对关 联。称之为类壳模型( s h e l l m o d e l - l i k ea p p r o a c h ，即s l a p ) 方法。与通常的壳模 型计算中采用的单粒子能级截断不同的是，在把包含对立的哈密顿量对角化 时它采用的是组态能量截断的概念，这足因为所讨论的问题本来就足一个多 体问题，在原子核低激发态中，含有某个组态的成分主要取决于该组态的能量 的高低，所以采用组态能量截断的办法是合理的，它使计算变的实际可行，一 个相当精确的能量本征值与本征函数不难求出。相反如果采用单粒子能级截断 的概念，则一方面把大量的微不组道的组态卷入计算中来，使计算变的十分冗 繁，另一方面又会把一些重要的多的组态漏掉而使精度减低。 关于多粒子组态空间中组态截断能量的有效性以及与单粒子能级截断的比 较可以参考文献【2 5 s l a p 方法不但自动地考虑了堵塞效应，而且保证了粒子树 守恒，在同等条件下处理奇核子和偶核子系统，对于低激发谱也可以方便的获 得，结合唯象模型如n i l s s o n 模型或基于w o o d s s a x o n 【2 4 - 2 9 ，5 0 1 单粒子势，采 用s l a p 方法处理对关联已经得到了广泛应用 2 9 ，3 l 】。 结合两者的优点，在相对论平均场( r m f ) 理论框架下采用s l a p 方法处 理对关联的方法( 简称r m f + s l a p 方法) 将有广阔的应用前景，如考虑共振 态【1 9 - 2 2 ，处理奇特原子核。它是把经过r m f + s l a p 方法得到的核子密度重新 代入耦合的核子一介子方程进行自洽迭代求解，不仅可以给出原子核基态性质的 很好描述，而且由于采用了s l a p 方法。还提供了描述原子核激发态性质的基础 文献【5 2 通过与r m f 理论相结合，发展了r m f + s l a p 方法。 本文的主要工作就是在相对论平均场理论框架下，用类壳模型方法来研究 原子核对关联，并以碳同位素为例，列出相关的计算结果，以及与实验数据和 其他理论的比较，研究对关联对同位素链的影响 本文的内容组织如下：第二章简介r m f 理论，轴对称形变下的r m f 理论 一2 一 第一章引言 以及形变约束的r m f 理论，以及类壳模型方法，即s l a p 方法：第三章主要运 用r m f + s l a p 方法讨论对关联对c 同位素链的影响；最后是结论和展望。 一3 一 第，二章理论基础：相对论f 均场 第二章理论基础：相对论平均场 2 1 相对论平均场理论简介 相对论平均场理论( r m f ) 在描述原子核的基态性质和动力学性质等许多方 面取的了很大的成功，它是一种描述多体问题的唯象理论。其中，s k y r m e 力 的h a r t r e e f o c k 方法( s h f ) 和时间相关的h a r t r e e f o c k 方法是比较引人注目的理 论，相关的评论见文献【3 4 - 3 7 。s k y r m e 力是密度、动量相关的零程有效相互 作用，其形式可以从原子核g 矩阵的密度矩阵展开得到。只用少量的参数，该 力就可以从描述1 b o 到超重核的单粒子谱和各核的大块性质，如：束缚能，半 径，小动量的电磁形状因子，裂变、聚变位垒等在该模型中都有很好的描述。 但它的自旋轨道力是“手动”加入的，这需要引进一个参数。 多年的应用和发展证明相对论平均场是一个灵活而有力的方法。通过库仑 力和盯、u 介子，初始的线性相对论平均场对”o 至1 1 2 0 8 p b 范围内的原子核形状符 合的很好【3 8 _ 4 0 】。引入标量场的非线性自耦合项后，r m f 可以很好的描述原子 核的能量及不可压缩性【4 l _ 4 3 】。对核子一原子核的研究表明，自旋和极化性质 可以由平均场的相对论光学势自然的给出【4 4 1 。事实上，相对论的处理超越了 平均场，如可用梯图近似对核物质饱和密度和束缚能进行描述【4 5 ，4 6 。r m f 理 论的应用表明它对核结构的描述与s i - f 方法一样成功，可以很好的描述有限核 的基态性质，如：原子核的方均根半径、束缚能、核密度的分布、单粒子能 谱、质量、同位素位移、磁矩等，并且可自然的给出自旋轨道力，同时可以 自然的给出赝自旋对称的解释；对核物质的计算得出的c o e s t e r l i n e 比非相对论 的结果好：由于其自然的自旋轨道作用，r m f 对远离p 稳定线的奇特核的壳效 应有很好的描述，可以给出皮、晕、巨晕等现象的新解释；对中能核子的散 射，集体激发中的巨共振和超形变带也有很好的描述：可通过介子场的处理将 核子相互作用与更基本的理论联系：对于高密的热核物质，相对论变的重要起 来，r m f 可做计算外拓的基础。 正如s k y r m e 力在非相对论平均场计算中是有效力一样，r m f 的拉氏量也是 一个有效拉氏量。不同之处在于，对s k y r m e 力的调试已经发展的较为完善，而 在相对论理论框架下，如何在一个、包含有介子和核子自由度的有效拉氏量中 处理多体效应和量子效应 4 7 ，4 8 ，仍在发展中。如果根据核子一核子相互作用的 单玻色交换( o b e ) 模型【4 6 来选择介子，就可以很自然的得到一个可重整化的拉 一4 一 第一章理论基础：相对论平均场 氏量，形式看起来与基本的场论拉氏量一致。值的指出的是，有效拉氏量中的 参数是在平均场近似下，通过多体原子核数据的符合得到的。通常核子一介子耦 合模型中用到的场见表2 1 表2 1核子介子耦合模型中用到的介子场 2 1 1 相对论平均场理论概述 相对论平均场理论从定域、洛仑兹不变的有效拉氏量密度出发，将原子 核中的核子看成包含了核子场，介子场和光子场及其相互作用的d i r a e 粒子， 在重整化的基础上，加入了平均场近似和无海近似，用来描述核多体理论。 在r m f 理论的构建中，人们选取参数时大多根据介子在单玻色交换势( o b e p ) 中 的重要性而进行取舍。核子核子之间通过交换介子和光子发生相互作用。考 虑到的介子包括同位旋标量标量介子盯，同位旋标量一矢量介子u 和同位旋矢 量矢量介子p 其中，1 7 介子提供中程吸引势，u 介子提供短程排斥势p 介 子描述质子和中子的区别，提供必要的同位旋依赖性。光子场则描述原子核的 电磁性质。 在实验上，最重要的介予是7 r 介子。1 9 3 5 年汤川秀树( h y u k a w a ) 提出了 一种新的关于核力的理论。核力是通过在核子之间交换一种粒子传递的。核 子在不断地发射和吸收这种粒子，根据量子力学的测不准原理，这种粒子只 能在很短的时间内存在，它是一种虚粒子。核力的力程与它的质量成反比， 即ro ( n m e 由此估计出粒子的质量大约在i o o m e v 左右。因为它的质量在核 子和电子之间，因此这种粒子被称为介子。1 9 4 7 年鲍威尔及其合作组通过宇宙 一5 一 第一章理论基础：相对沦平均场 射在实验上找到了这种粒子，即7 r 介子。它是实验上最早发现的介子，也是最 轻的介子但是在通常的i l m f 理论中并不考虑7 r 这是因为在r m f 近似下， 介子场被处理为经典场，即只考虑自能的直接项( h a r t r e e 部分) ，而忽略包含介 子发射与吸收的交换项( f o c k 部分) 。由于丌介子的赝标量性质，携带着负字 称，在h a r u e c 层次上其对应的平均场将破坏字称。而在实际原子核中宇称守恒 却具有很高的精度。当然，偶数个丌介子的宇称为正，但是构造介子对的平均 场相当复杂。因此引入唯象的盯介子，它可以理解为2 丌共振在介子图像上的 近似。盯介子的质量，耦合常数等参数足r 但模型中的自由可调参数【4 9 1 。 原则上，除了上面提到的o - , c j 。p 介子之外，有很多介子在核子核子相互作 用中扮演重要角色，比如6 介子可以使中子，质子的标量势有所不同。为了简 便，在唯象模型中尽量采用少的参数，而且这些介子对原子核基态性质的描述 不很重要，它们的影响可以通过对其他介子参数的调节来弥补。因此，在很多 实用有效的r m f 模型中，仅考虑几个最重要的介子场( r g v ，p 和光子场a 考虑了以上几种介子场和光子场的相对论l a g r a n g i a n 密度可以写为： 它包括描述自由核子场的b f 锄g i a n 密度： c = 石0 ，y “0 。一m ) 妒 自n h 介子场和光子场的i a g 阳n g i a n 密度： 厶= ；? 一钆口一矿i 。2 c r 2 一百1 卯盯3 一五1 卯一4 岛= 一；”。+ 互1 ”2 咋+ 互1 c 3 ( u 一蛳) 2 岛= 一；即+ ；m ；矿昨 j e p 枷一= 一i a ”a 相互作用l a 蓼a n 酉a n 密度： c ：f 。= 一9 ，盯( r ) 妒( r ) 妒( r ) 一吼，“扯( r ) 妒( r ) 矿砂( r ) c 幺州。= g p 砂( r ) 7 “r ( r ( r ) c 。p h o t o f 。n = e 巧( r ) 7 “i - - r r 3 。p 妒, l r ) ( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第二章理论基础：相对论平均场 其中巧= 妒+ 矿，妒是核子的d i m c 旋量， 别是仉u 和p 介子的质量和耦合常数， 场的张量形式如下： 2 1 2 平均场近似 m 为核子质量，m ，如，m 。蚰，m p ，酆分 鲰，9 3 和c 3 分别为仃，“，介子的自耦合常数， 由给定有效相互作用拉氏量( 2 1 ) ，通过e u l c r - i a g m n g e 方程，我们可以得到核 子运动方程： 其中： 矿( - i o , + v ”) + m - f s ) 砒= 0 ( 2 6 ) s ( r ) = 如盯( r ) ( r ) = 轧矿啡+ 郇7 p r p + e 矿半4 ( 2 7 ) 介子运动方程和电磁场方程： ( 口+ m t 2 ) 咖( r ) = s 十( r ) ( 2 8 ) 其中： i 一站m ( r ) 一9 2 口2 ( r ) 一9 3 口3 ( r ) 对于口介子场 以扣 描咱以d 凳季篇 ， ie p p ( r ) 对于c o u l o m b 场 定义标量密度： a p o ( r ) = 厩( r ) 诎( r ) i = 1 1 一 ( 2 1 0 ) m 删 嚣一 俨胖p 第一章理论基础：相对论、f 均场 矢量密度： 重子流： 同位旋流： 电荷流： a m ( r ) = t b t ( r ) b i ( r ) l = l ( 2 1 1 ) a 广( r ) = 厩( r ) 矿砒( r ) ( 2 1 2 ) i = i a j ”( r ) = 磊( r ) 7 9 r 砒( r ) ( 2 1 3 ) i = 1 a 鳄( r ) = 厩( r ) ；( 1 + 码) 1 一讥( r ) ( 2 1 4 ) l = l 这里的求和仅对价核子求和由于拉氏量密度无法在完全量子的基础上进 行处理，通常平均场的方法忽略了来自负能态的贡献，也就足采用无海近似， 真空没有激发耦合方程( 2 6 ) 和( 2 8 ) 均为非线性量子场方程它们的求解十分复 杂，一般引入平均场近似，当介子源项很大时，介子场算符可以用它们的基态期 望值来代替( 标量场曲一( 钟三机矢量场k 一( k ) 三6 加v o ) ，这时介子场可以看 成简单的经典常数场，对于静止的均匀核物质，不存在空间特定的方向，从而矢 量介子只有时间分量存在，另外只考虑同位旋对称态，这种情况下，砂代表纯 粹的质子或中子，同位旋矢量矩阵对角化。这时，我们把核子看成是在经典的 场中运动的独立粒子，这就是平均场近似 耦合方程可以通过迭代进行自洽求解如果仅仅考虑保持时间反演对称性的 体系，原子核里没有核子流，则介子u 和p 以及电磁场a 的空间分量消失，只剩下 相应的时间分量u o ，p o 和a o ：电荷守恒使得只需考虑p 在同位旋空问的第三 分量，为了简便起见，我们把它记为矿 2 2 轴对称形变下的r m f 理论 一8 一 第二章理论基础：相对论平均场 在轴对称形变核中，转动不变性被破坏，总角动量j 不再是守恒量。但 是，绕对称轴( z 轴) 的转动不变性仍存在，所以我们在柱坐标系中研究比较方 便。柱坐标与直角坐标之间的关系为： z = 7 上c o sq a ，y = 上s i n i ，o ，o ( 2 1 5 ) 核子的旋量协由下列量子数标记： q t ，砸，t i ， ( 2 1 6 ) 其中q i = m l t + m 耐是对称算符珐魄在z 轴上的投影) 的本征值，以是宇称而屯是同 位旋。旋量可以写为： 蜘m = ( 纛：) 地= 砺1 由于o t 矩阵在拄坐标系下的表达式是： 因此 f 00 l oo 2 l oe 一印 o f ： ： 。i o _ 匏一印 i ， o o g z = o1 oo 00 一lo 一9 一 号 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 、 妒 妒 驴班 吼 啦 c i n 掣 掣 e e 山u k k弦f 计订 l-、 ，、 、，如 p o o o q o o o q e o o o 。渺o。 第二章理论基础：相对论平均场 0 纛 贝l j d i r a e 方程为： j l 扩+ r + m 一 m + 一 y ) v 、i - y ) 计 y ) 酊 对每个具有正的q 的解 + s ( r ) 】 0 v + m + s e 一却( - i a ，一 a p ) t 晚 + 8 z 口+ + 一8 ；9 _ + + 赴锭+ 一8 z | ；+ 一 晚 沙( 一i 钆+ 去如) v m s 0 ( 钆+ 掣) 玎= 矗矿 ( 缉。一簪) 对= 旬f ( 屏+ 雩) f = 一氏矿 ( 钆一署) 妒= - - c i 9 f 砒弓 口，f ，矿，订，q t ) e 一印( 一i 缉一古a 一) t 岔 o v m s 我们可以验证： ，蚝= 一y ；- ，付，9 f ，一9 ，一q t ( 2 2 4 ) 也是以上方程组的解，而且对应同样的能量本征值矗。而时间反演算符t = i ( k 是复共轭算符) 把i j m ) 变为b m ) ，同时加上一个相因子，相因子对能 量没有贡献。如果我们研究的系统具有时间反演不变性，介子场是时问独立， 核子以一定的能量运动：e - i v t ，则砒的时间反演态 如= z 也= 一疗，矿，g i - ，一站，一哦( 2 2 5 ) 也是体系具有相同能量本征值的解。原子核中的态与对应的时间反演态的密度 分布相同，所以我们人为地将所有解中正的q 。和负的哦分开，在求解时只需考 虑正的q 对应的解即可。 对于有时间反演对称性的核子，两个时间反演态i 和积十核物质密度的贡献 足相同的。因此我们有 a 风，= 2 啦 ( i 口1 2 + l 厅1 2 ) 千“矿1 2 + i 玎1 2 ) 】 i 0 一l o 第二章理论基础：相对论平均场 同样的方法可用于p 3 和p c 。求和在所有正q 的态上。这些密度可以作为妒 = 盯，0 3 0 。p o ，印的源。由在柱坐标系下的e i n g o r d o n ：y 程给出： 一去钆( r 上钆) 一晚2 + r 2 咖( 毛r 上) = 鄄( z ，r j ) ( 2 2 7 ) 上式等式的右边与妒无关，所以相应的介子场也与妒无关。不同的分别为 i g ，p s ( r ) 一9 2 a 2 ( r ) 一9 3 a 3 ( r ) 对于仃介子场 以归 揣咱。 筹篇 亿z s ， le p p ( r ) 对于c o u l o m b 场 对于轴对称核，我们用形变轴对称谐振子势的本征函数来展开旋量。形变 轴对称谐振子势为： 。( z ，n ) = 互1 。w 2 2 2 + ；m w l r 兰 ( 2 2 9 ) 两个谐振子频率壳u 上和鼬。用形变参数风表示为： 鼬：鼬oe x p ( 一画) 如上：唧( 互1 v 孓5 ) 佗3 0 ) f 2 3 d 对应的谐振子振幅参数为 虬= 压砌a = 压 亿。z ， 现在，形变谐振子基由两个参数危咖和风来确定，势的本征函数由以下量子数标 记： ln ) = i 他，m ，m l ，m ，) ( 2 3 3 ) 其中m l 和m 。分别代表轨道角动量和自旋沿对称轴的投影。在上面的计算中五的 本征值是守恒量 q = m l + m s l l 第一章理论基础：相对论平均场 宇称为 霄= ( - i ) ”。+ “( 2 3 5 ) 形变谐振子势的本征函数为 其中 和 蛾( 。，r 上，妒，8 ，t ) = 九；( z ) 2 ( r 上) 去e t m t 9 x 。( 5 ) x k ( ) ( 2 3 6 ) v z = 吒r ，s ) x t 。( t )( 2 3 7 ) 归一化常数为 州z ) = 笼以取) e 叫矶 蝴( q ) = 等t r i d 2 l 翱) e - 啦 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( = z b , ， ，7 = r j 2 ，口j - 2( 2 4 0 ) 眠。2 丽1、，r z “。n 。! 醒= 由谐振予本正函数的定义式我们可以得到： 玩“。( 。) = 矽i n z 鼠；( 护2 2 钆钟- ) = 等画( 删2 现咖吲2 f 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 其中 以；( ( ) = ( k ；( ( ) 一。e k 。+ 1 ( ( )( 2 4 4 ) 工2 ( 叩) = ( 2 r k + m l 一叩) l 2 ( 7 ) 一2 ( r k + m 1 ) l 2 一l ( 叩) ( 2 4 5 ) 在轴对称核中d i r a c 方程的解只有好量子数q 和7 r ，我们用如下的展开式 肌一= 了1 ( f + ( z , r x ) e q n - l 2 ) 9 ) 州忙摹加鼬瑚地亿4 回 第二章理论基础：相对论平均场 g i ( r , s , t ) = 去( 黧搿篇= 辜舳叫m m m 彻 这样，就用一系列的展开系数篮和丛来代替核子波函数来求解d i 脚方 程。为了避免出现伪态，量子数。和矗的取值应满足对应的主量子 数n = 他+ 2 n ，+ i n l 对小分量展开式不大于 r f + 1 ，对大分量展开式不大于f 将展开式( 2 4 6 ) ，( 2 4 7 ) 代a d i r a c 方程( 2 2 2 ) 中，可将d i r a c 方程的求解化为一 个对称矩阵的对角化问题： ( 2 笔) ( 雾) = 矗( 雾) 亿4 s ， 维度为n 。+ a ，一而矩阵元一4 ，层，c ，的表达式为( 注：下列表达式中m 和y 都足坐标的函数) ： 鼬= 。：。：哪n ：皤眠：咖一”扩谨( ，7 ) 工( q ) 警 必e 一铲巩。( ( ) 上k ；，( ( ) ( m + + v ) ( 2 4 9 ) b 耐 c “ = k 。嵋。m ，叼帆；皤 k d 犯1 r r 锻( 叩) 工( 叩) ， j 0 必e 掣风水) ( ( ) ( m l y ) ( 2 5 0 ) 州赫，牛卜+ 厚罔 ，宰 瓯，叫。，最嵋。+ 1 厂咖e 一”，7 ”1 ，2 谨( q ) ( 三( ”) 一( m l 1 ) l 嘉( 叩) ) + 氐。州) m l ，靠。嵋+ - 咖e 1 7 ”1 2 l 2 ( 叩) ( 三( ，7 ) + ( m l + 1 ) 工善( q ) ) 第：一章理论基础：相对论平均场 f 2 5 d “= 啦厩咖 = 1 m = n i 坩哦 k i zn p 3 = 啦蝣讳一啦蝣“ 口霉i，l_ol z m = n i 蝣 p ；l f 2 5 2 ) m ( 。，r i ) = 2 啦i 垂幽。拶吒m 。千拶垂。x t , 拶圣砒。i ( 2 5 3 ) i 0 l a a 7 j 代入形变谐振子势的本征函数可以得到坐标空间的密度矩阵 核物质密度具有对对称轴( 取为z 轴) 的转动不变性，在坐标空间标量密度和 矢量密度为： m ，v ( 。，n ) = 碡1 孑i e p 一”以8 , v 一， u n a ， 帆：心：，风：( ( ) 风：，( ( ) 嚣叩m ll 。m 川| 胪m l ( q ) ( 2 5 4 ) 其中 碰，= 2 啦( 名千拶) ( 2 5 5 ) i o 对于p a 和风则有下式计算： p z = p ；一瑞 m = 硝 一1 4 f 2 5 6 ) 第章理论基础：相对论平均场 我们知道。在柱坐标系下的k l e i n g o r d o n 方程为( 等式右边与l p 无关，所以 相应的介子场也与妒无关) ： ( 一孝钆( r 上钆) 一统2 + m 2 ) 妒( 毛r 上) = s 十( 。，r 上) ( 2 5 7 ) 对于有质量的介子场我们也用形变谐振子势基展开来求解，我们知道介子场的 自旋为0 ， 取自旋为0 的基态来展开介子场，则介子场波函数为： n 8 ( z ，n ) = 壶e - 2 2 吲2 札。，玩，( ( ) 以l ：，( 7 ) u on z * n 8 = 以，。以。观 ( 2 5 8 ) 上式中有m l = 0 和m ，= 0 ( 一去钆r 上钆 我们得到一套线性方程组： ，。n ，* ，如，* 一= 8 ：。 ( 2 6 0 ) 厶：。，。，= ( 机。嘏，i 一去屏r 上a r 一晚2 + m t 2 i 九：镀；) 。冁热= 二躲2 。q 4 - 砉( n ，乳，i r + l + k m ，+ 1 ) ( 2 6 1 ) e = b m + 昂+ 日+ 局+ e + r + g e m a m ( 2 6 2 ) 一1 5 一 儿 眨 = 旌 如 蜥一 m+ 岔 一 第一：章理论基础：相对论平均场 其中 = 啦2 q = 一等d 3 r 肿) m ) = 一三2 d 3 r ；虫盯( r ) 3 + ；卯口( r ) 4 】 = 卫2 d 3 r 加) 护( r ) = 一誓d 3 r 舶( r ) p o o ( r ) = 一嘉d 3 嘣舭0 ( r ) ：一；：一；4 l a 一 = 一互厅“，o = 一五4 l 5 电荷半径为： r c = 唁+ o 6 4 ( f r o ) ( 2 7 0 ) 其中的0 6 4 是因为质子的有限大小效应。 。 中子和质子的电四极矩q 。p 和电八极矩日。分别为： q n 巾= n p = n p( 2 7 1 ) 和 风。= 。= 杀 。，( 2 7 2 ) 一般的形变参数p 可以从算出的电四极矩得到 q = 仉+ g = 警嘉a 瑶p ( 2 7 3 ) 其中r o ：1 2 a f f m ) 2 3 形变约束的r m f 理论 一1 6 一 卿 卿 卿 卿 卿 卿 卿 伫 但 但 q 但 但 g b 易 最 第j ：章理论基础：相对论平均场 非约束的r m f 计算仅仅能给出能量曲面上一个点的数值，即局域极小点 我们通常对能量曲面上的其他点也感兴趣，这样能够得到原子核结合能随某个集 体参数( 例如四极形变) 的变化通常的做法是人为的加上一个补充条件，使得加 上这个条件后出现一个能量极小点，这些通过约束得到的一系列能量极小点就 构成了原子核结合能随某个集体坐标的变化。 某形变下的结合能可以通过在哈密顿量的期待值( 日) 上加入电四极矩( q 2 ) 约束来得到【5 3 】： ( ) = ( 四+ 妄c i ( ( q 2 ) 一q 2 ) 2 ( 2 7 4 ) ( q 2 ) 代表电四极矩算符的期待值，妇为给定的电四极矩期待值c ；为约束乘子 中子和质子的电四极矩算符( q 2 ) 。口= ( 2 r 2 b ( c 0 8 口) ) 。，= ( 2 2 2 一妒一护) 。，p 总 电四极矩的期待值与形变恳的关系是： q ：一、警未a m 5 ) 2 4 对关联和类壳模型方法( s l a p 方法) 实验表明，一切偶偶核的基态的自旋都为零，而奇a 核的白旋和宇称可 用( 球型势或n i l s s o n 势的) 单粒子态的自旋和宇称较好的解释这说明偶数个相同 的核子的配对态